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Physique Correction - TD n o 9 : Induction électromagnétisme Correction - TD n˚9 - Induction électromagnétisme 1 Chauffage par induction 1. -→ B = μ 0 ni(t) -→ u z : voir cours ou exercice vu en première année. On peut utiliser le fait que le champ -→ B est nécessairement nul à l’infini car sinon, le champ magnétique serait constant à l’infini, ce qui implique une énergie infinie. 2. La distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ et par translation suivant l’axe z , donc le champ ne dépend ni de θ, ni de z . Tout plan passant par un point M à la distance r de l’axe du solénoïde, et orienté suivant les vecteurs -→ u z et -→ u r est un plan d’antisymétrie du problème, donc le champ électrique est nécessairement selon le vecteur -→ u θ , donc : -→ E = E θ (r) -→ u θ 3. Calculons la circulation de -→ E sur le cercle de rayon r, avec r<a, orienté dans le même sens que le courant, et de surface S : C -→ E · d -→ = x S -→ rot -→ E · d -→ S = - x S -→ B ∂t · d -→ S = - dΦ dt où l’on a utilisé successivement l’équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes sur le contour C . Or : C - E · d -→ =2πE θ (r) et - dΦ dt = -πr 2 dB dt = πr 2 μ 0 ni 0 sinωt, donc : - E = 0 ni 0 2 sinωt -→ u θ 4. Dans le cylindre conducteur, il se crée donc un courant : -→ j = γ -→ E = γrμ 0 ni 0 2 sinωt -→ u θ 5. La puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre correspond à la puissance moyenne dissipée par les forces de Lorentz , qui s’écrit : P Lor = y cylindre -→ j · - E dτ = y γE 2 = y γ ωμ 0 ni 0 r 2 2 sin 2 ωtrdrdθdz = π 16 (μ 0 ni 0 ) 2 γω 2 b 4 L Cette énergie est dissipée sous forme d’effet Joule et va donc chauffer le milieu. Le chauffage étant causé par les courants induits par le champ magnétique appelés courants de Foucault, on parle donc de chauffage par induction. 6. Les plaques à induction sont des plaques de cuisson fondées le même principe, c’est à dire utilisant l’effet Joule généré par les courants de Foucault. Dans ce type de plaque, des inducteurs magnétiques sont placés sous la surface en vi- trocéramique. Ces inducteurs génèrent un champ magnétique (car ils sont parcourus par PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

Correction - TD n 9 - Inductionélectromagnétisme

1 Chauffage par induction

1. −→B = µ0ni(t)−→u z : voir cours ou exercice vu en première année. On peut utiliser le faitque le champ −→B est nécessairement nul à l’infini car sinon, le champ magnétique seraitconstant à l’infini, ce qui implique une énergie infinie.

2. La distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ et par translation suivantl’axe z, donc le champ ne dépend ni de θ, ni de z.Tout plan passant par un point M à la distance r de l’axe du solénoïde, et orienté suivantles vecteurs −→u z et −→u r est un plan d’antisymétrie du problème, donc le champ électriqueest nécessairement selon le vecteur −→u θ, donc :

−→E = Eθ(r)−→u θ

3. Calculons la circulation de −→E sur le cercle de rayon r, avec r < a, orienté dans le mêmesens que le courant, et de surface S :

C−→E · d−→ =

x

S

−→rot−→E · d−→S = −

x

S

∂−→B

∂t· d−→S = −dΦ

dt

où l’on a utilisé successivement l’équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes

sur le contour C. Or :∮C−→E · d−→ = 2πEθ(r) et −dΦ

dt= −πr2dB

dt= πr2µ0ni0sinωt, donc :

−→E =

rµ0ni02 sinωt−→u θ

4. Dans le cylindre conducteur, il se crée donc un courant :

−→j = γ

−→E =

γrµ0ni02 sinωt−→u θ

5. La puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre correspond à la puissancemoyenne dissipée par les forces de Lorentz , qui s’écrit :

〈PLor〉 =y

cylindre

−→j ·−→Edτ =

yγE2dτ =

(ωµ0ni0r

2

)2

〈sin2ωt〉rdrdθdz =π

16(µ0ni0)2γω2b4L

Cette énergie est dissipée sous forme d’effet Joule et va donc chauffer le milieu. Le chauffageétant causé par les courants induits par le champ magnétique appelés courants de Foucault,on parle donc de chauffage par induction.

6. Les plaques à induction sont des plaques de cuisson fondées le même principe, c’est à direutilisant l’effet Joule généré par les courants de Foucault.Dans ce type de plaque, des inducteurs magnétiques sont placés sous la surface en vi-trocéramique. Ces inducteurs génèrent un champ magnétique (car ils sont parcourus par

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un courant électrique à une fréquence réglable entre 50 Hz et 50 000 Hz) qui induit descourants électriques dans le métal de la casserole. Ces courants produisent par effet joulede l’énergie thermique (chaleur) en circulant dans le métal de la casserole.Avec une plaque à induction, la surface de la plaque reste presque froide, seulement chaufféepar la casserole elle-même. Il y a donc peu de risques de se brûler en touchant la plaqueaprès retrait de l’ustensile et aucun risque à la prise en main de son manche, un moins grandrisque de se brûler sur les bords de casseroles lorsqu’elles sont non pleinement remplies, nisur leurs couvercles.Les casseroles doivent être d’un métal magnétique, c’est-à-dire qu’un aimant doit pouvoirse coller dessus. Autrement dit, les casseroles à base de fer fonctionnent bien, alors quecelles à base de cuivre ou d’aluminium ne sont pas utilisables.

2 Coup de foudre1. La charge totale s’écrit :

Q =∫ ∞

0I(t)dt = aire sous la courbe ' 30 carreaux

Or un carreau correspond à 100.10−6s× 20.103A = 2C, soit Q = 60C .

L’intensité moyenne vaut donc : Imoy =Q

T=

6010−3 = 6.104A.

2. En utilisant un modèle simplifié de condensateur entre le sol (chargé positivement), et lebas du nuage (chargé négativement par un processus complexe qui résulte principalementde la friction des particules les plus lourdes contre les autres en tombant à l’intérieur dunuage, et de l’ionisation par les rayons cosmiques), on peut écrire : U = Eh = 5.106V ,

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et Eeclair =12Cu

2 =12QU = 1.5 × 108J , soit, sachant que 1kWh = 3.6 × 106J , Eeclair =

41kWh. Cette énergie est très faible, car elle n’est que 150 fois supérieure à la rationration énergétique journalière d’un être humain. La brièveté du phénomène et la faibleénergie véhiculées par la foudre, qui s’ajoutent au caractère aléatoire de l’emplacement surlequel tombe la foudre, rend vain tout espoir d’utiliser la foudre comme source potentielled’"énergie propre"...

3. a) La longueur du canal emprunté par l’éclair : D ' 1km.Le courant se propage à une vitesse proche de celle de la lumière dans le vide :c ' 3.108m.s−1.Temps du phénomène : τ ' 10−3s.L’approximation de l’A.R.Q.S. est valable si le temps de propagation est négligeablepar rapport à la durée du phénomène, soit si T � τ .

Ici, T ' D

c' 3.3µs� τ = 1000µs, donc l’A.R.Q.S. est bien vérifiée.

b) Le canal de l’éclair se comporte comme un fil, et génère un champ magnétique ortho-

radial donné par : −→B =µ0I

2πr−→u θ

Ce champ −→B génère à travers un éventuel circuit C sur lequel s’appuie une surface Sà travers laquelle le champ magnétique crée un flux : Φ =

s −→B · d−→S

La présence de ce flux variable crée une f.e.m. induite e, correspondant à une tension,donnée par la loi de Faraday :

e = −dΦdt

= −x ∂

−→B

∂t· d−→S

La tension perturbatrice dans le circuit correpond donc à e, et est proportionnelle auxvariations temporelles de du champ magnétique, et donc par conséquent du courantdans le canal de l’éclair.

Les perturbations sont donc maximales lorsquedI

dtest maximal, soit entre 0 et 100µs

lors de l’établissement du courant, et aussi une perturbation un peu plus faible entre600 et 700µs au moment de la chute de courant.La valeur de cette perturbation ne dépend pas seulement du courant, mais également

de la distance à l’éclair (en1r) et de la dimension et de l’orientation du circuit.

3 Vol d’énergieLa ligne haute tension étant parcourue par un courant alternatif, un champ magnétique or-

thoradial autour des lignes est généré.Si un utilisateur peu scrupuleux place un circuit rectangulaire de façon à récupérer le flux

de ce champ magnétique, il pourra brancher ce circuit sur un récepteur et donc récupérer del’énergie.Ceci ne serait pas possible avec une tension continue. En effet, afin qu’un courant induit

apparaisse dans le circuit, il faut que le flux du champ magnétique à travers le circuit soitvariable. Le courant recueilli est donc un courant alternatif.

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L’effet de ce vol d’énergie est, en vertu de la loi de Lenz, de créer un champ magnétique quiva tendre à diminuer celui créé par le fil haute tension, et donc créer un champ électromoteurqui va tendre à "ralentir le courant" du fil haute tension. Il apparaîtra ainsi une chute de courantqui peut être mesurable si le vol d’énergie n’est pas négligeable devant les pertes en ligne.Remarque : l’origine du champ électromoteur précédent est le champ de Neumann. En effet,

d’après la symétrie du problème le potentiel vecteur −→A est dirigé suivant l’axe du fil. Donc−→Em = −∂

−→A

∂test également dirigé suivant −→u z.

La modification de −→B modifie −→A en vertu de la relation −→B = −→rot−→A , et donc également lechamp électromoteur de Neumann.

4 Analyse qualitative du phénomène d’induction1. Si l’aimant n’est pas en mouvement, aucun phénomène d’induction ne peut avoir lieu etUAB = 0.

2. Quand on approche l’aimant dans le sens précisé sur la figure, le flux du champ magnétiqueà travers la bobine augmente (on rappelle que le champ magnétique "sort par la facenord" d’un aimant). Il apparaît donc dans celle-ci un courant induit qui crée un champmagnétique s’opposant à cette augmentation de flux, d’après la loi de Lenz, donc dirigé ensens contraire de −→v : le courant induit est positif de A vers B et UAB est donc positivedans la résistance.

5 Forces de Laplace1. a) La force de Laplace s’exerçant sur la tige s’écrit :

−→F Laplace =

tigeid−→ ∧ −→B = −I`(x)B0cosα

−→u x − I`(x)B0sinα−→u z

où `(x) = 2xtanθ correspond à la longueur de la tige parcourue par un courantlorsque celle-ci se trouve à l’abscisse x, et où le vecteur −→u z est le vecteur unitaireperpendiculaire au plan dans lequel glisse la barre.

b) L’application du principe fondamental de la dynamique appliqué à la tige permetd’obtenir :

md−→vdt

= −→P +−→RN +−→F Laplace

où −→RN est la force de réaction exercée par le support sur la tige. Celle-ci est normaleau plan de déplacement de la tige à cause de l’absence de frottement.En projection sur l’axe x, on obtient :

mx = mgsinα− 2IxtanθB0cosα

qui peut se réécrire sous la forme d’une équatiopn différentielle harmonique :

x+ ω20x = gsinα

avec ω20 =

2ItanθB0cosα

m.

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Cette équation a pour solution, en utilisant les conditions initiales :

x =gsinα

ω20

(1− cosω0t)

La tige va donc osciller à la pulsation ω0.c) Si on change le sens du courant, la tige chute jusqu’en bas de la rampe, car aucune

force n’est dirigée vers le haut de la rampe cette fois-ci. L’équation de la tige est uneexponentielle en fonction de la position x.

2. a) Les forces de Laplace des fils verticaux se compensent, et la force de Laplace du filsitué au niveau de la balance est nulle car le champ magnétique y est très faible(valeur importante seulement dans l’entrefer de l’aimant en U). La résultante desforces de Laplace est celle s’exerçant sur le tronçon horizontal situé dans l’entreferde l’aimant. En utilisant l’expression de la force de Laplace et en tenant compte dusens du champ magnétique et du sens du courant, on montre directement que la forceexercée sur le fil est dirigée vers le bas. L’effet sera donc potentiellement mesurablesur la balance.

b) La norme de la force est donnée par :

FLaplace = I`B0 = 1× 5.10−2 × 0.1 = 5.10−3N

ce qui entraînera une variation de masse sur la balance de ∆m =FLaplace

g= 5.10−4kg

soit un demi gramme, ce qui est mesurable avec une bonne balance.3. Les forces de Laplace s’exerçant sur les parties latérales du circuit sont horizontales et

dirigées vers l’extérieur de l’entrefer. Les deux forces ne sont pas coléinéaires et induisentun moment entraînant la rotation du cadre autour de son axe.Lorsque le cadre est à l’horizontale, les deux forces sont colinéaires et le moment est nul.Si le signe du courant ne change pas, lorsque le cadre dépasse la position horizontale, lemoment exercé par le couple de force de Laplace change de signe, et le sens de rotations’inverse.Pour éviter ceci et continuer la rotation, grâce à une partie isolante au niveau du rotor dumoteur (trait noir sur la figure), le signe du courant change de sens et le moment restedirigé dans le même sens.Ce système fonctionne même si l’alimentation est continue pouisque le changement de signedu courant est dû à la mécanique même du système et non pas à une source de courantalternatif.

6 Induction et conversion d’énergie1. La tige étant en mouvement dans un champ magnétique stationnaire, elle est soumise à un

phénomène d’induction de Lorentz. Il apparaît donc dans la tige une force électromotrice etelle que

e =∫

tige

−→Em · −→d` avec −→

Em = −→v e ∧ −→B = v−→u z ∧ (−B−→u y) = Bv−→u x

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et où e est orienté dans le sens de −→d`. En orientant le circuit dans le sens trigonométrique,on a

e =∫ a

0vBdx = vBa

L

B0g ux

uy

A Be

u z

+

i

La loi des mailles fournit alorsL

didt+Ri = e

où i est orienté dans le sens de e. En remplaçant e par son expression, on obtient l’équationélectrique :

Ldidt+Ri− vBa = 0 (1)

Remarque : Le flux du champ magnétique à travers le circuit est la somme du flux ma-gnétique extérieur φe = −Ba(z + cste) et du flux propre φp = Li. La loi de Faradays’écrit

etot = −dφdt = −dφe

dt −dφpdt = Bav − d(Li)

dtPar ailleurs, la loi des mailles s’écrit

etot = Ri

et l’on retrouve l’équation différentielle précédente. Toutefois, le circuit étant déformable,le coefficient d’inductance propre L dépend aussi du temps, effet que l’on néglige ici.

2. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la tige est soumise :? à son poids m−→g ;? à la force de Laplace −→F =

∫tige i−→d` ∧ −→B . Avec −→d` = dx−→u x et −→B = −B−→u y, on obtient

−→F =

∫ a

0idx−→u x ∧ (−B−→u y) = −iaB−→u z

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la ige dans le référentiel terrestre dulaboratoire s’écrit, en projection sur vuz :

mz = mv = mg − iBa (2)

Remarque : On vérifie la loi de Lenz. Si v > 0, l’équation électrique montre que i > 0 cequi implique F = −iBa < 0 : la force de Laplace s’oppose à la chute de la tige.

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3. Dans l’équation électrique, tous les termes ont la dimension d’une tension. En multipliantl’équation (1) par i, on obtient un bilan de puissance électrique :

Lididt+Ri2 − v iBa = 0

soitddt

(12Li

2)

+Ri2 = ei = v i aB (3)

La puissance Pel = ei fournie par la force électromotrice est en partie stockée dans labobine (Em = 1/2Li2) et en partie stockée par effet Joule (PR = Ri2).Dans l’équation mécanique, tous les termes ont la dimension d’une force. En multipliantl’équation (2) par v, on obtient un bilan de puissance mécanique :

mz v = mgv − iBavsoit

ddt

(12mv

2 −mgz)

= Fv = −v i aB (4)

La puissance PL des efforts de Laplace est utilisée pour faire varier l’énergie cinétique Ec =1/2mv2 et l’énergie potentielle de pesanteur Em = −mgz.En sommant les équations (3) et (4), on obtient

ddt

(12mv

2 −mgz 12Li

2)

= −Ri2 (5)

Cette équation indique que l’énergie totale E du circuit (magnétique et mécanique) estdissipée par effet Joule :

dEdt = −Ri2 avec E = Em + Ec + Ep et

Em =12 Li

2

Ec =12 mv

2

Ep = −mgzRemarque : Le bilan énergétique ne fait intervenir ni le travail des efforts de Laplace,ni l’énergie électrique fournie par la f.e.m. : ces deux puissances se compensent car laconversion électromécanique possède un rendement de 100%.

4. L’équation électrique (1) fournit

v =1aB

(L

didt+Ri

)

En reportant cette expression dans l’équation mécanique (2), on obtient

m

aB

(L

d2i

dt2 +Rdidt

)= mg − iaB

soitd2i

dt2 +R

L

didt+

(aB)2

mLi =

gBa

L(6)

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5. L’équation (6) se ré-écrit

d2i

dt2 +R

L

didt+

(aB)2

mL

(i− mg

aB

)= 0

Posonsi0 =

mg

aBet I = i− i0

L’équation (6) devient

d2I

dt2 +R

L

dIdt + ω2

0I = 0 avec ω20 =

(aB)2

mL

L’équation caractéristique

r2 +r

Lr + ω2

0 = 0

a pour discriminant

∆ =R2

L2 − 4ω20

Si la résistance est très grande, c’est-à-dire si R � 2Lω0, alors le coefficient d’amortisse-ment est très grand et les solutions sont exponentiellement amorties. On en déduit

I(t) t→∞−−−→ 0 soit i(t) t→∞−−−→ i0 =mg

aB

La vitesse atteint donc également une valeur limite constante

v0 =1aB

(L

di0dt +Ri0

)soit v0 =

mgR

(aB)2

6. Si R est négligeable, c’est-à-dire si R � 2Lω0, la solution de l’équation différentiellepour I(t) est quasiment sinusoïdale à la pulsation ω0 (il existe un amortissement sur unedurée caractéristique τ = L/R� ω0) :

I(t) = A cos(ω0t+ varphi) soit i(t) = i0 +A cos(ω0t+ ϕ)

où A et ϕ sont des constantes à déterminer en fonction des conditions initiales.

À t = 0, v = 0 et i = 0. On en déduit Ldidt(t = 0) = −Ri(t = 0) + aBv(t = 0) = 0. On a

donc

i(t = 0) = 0 = i0 +A cos(ϕ)didt(t = 0) = 0 = −Aω0 sin(ϕ)

=⇒{ϕ = 0A = −i0

On obtient donc

i(t) = i0 [1− cos(ω0t)] avec

i0 =mg

aB

ω0 =aB√mL

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L’équation mécanique (2) fournit

v = g − aB

mi = g − g [1− cos(ω0t)] = g cos(ω0t)

Par intégration, avec v(t = 0) = 0, on trouve

v(t) =g

ω0sin(ω0t)

etz(t) = − g

ω20

cos(ω0t) + rmcste

La tige oscille autour d’une position moyenne. Elle est parcourue par un courant moyen〈i(t)〉 = i0 de sorte que la force de Laplace vale

〈F 〉 = −i0Ba = −mg

compense le poids.Ce résultat était prévisible d’après l’équation (5) puisqu’en l’absence de résistance, au-cun phénomène dissipatif n’intervient. L’énergie totale est donc constante et il y a uneconversion entre l’énergie magnétique stockée dans la bobine et l’énergie mécanique de latige.

7 Définition de l’Ampère1. Le champ créé par un fil a été vu plusieurs fois en TD et en cours. On a simplement, en

utilisant le théorème d’Ampère sur un cercle passant par M et centré sur l’axe du fil 1 :

~B(M) =µ0I

2πa ~eθ

2. Dès qu’un courant I circule dans un champ magnétique, on sait qu’il apparaît une forcede Laplace. Sur un petit élément infinitésimal ~d` = d`~ez du fil 2, la force de Laplaceinfinitésimale ~dF s’écrit

~dF = I ~d` ∧ ~B = Id`~ez ∧(µ0I

2πa~eθ)

Donc ~dF = −µ0I2

2πa d` ~er

La force est attractive.3. En intégrant l’expression ci-dessus sur une longueur ` du fil 2, on obtient

~F` = −µ0I2`

2πa ~er

donc on en déduit l’intensité I en fonction de la norme de la force par unité de longueurf = F`/` :

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I =

√2πafµ0

= 1A

La mesure de cette force correspond, dans le système international, à la définition del’Ampère : c’est le courant nécessaire pour faire une force par unité de longueur de 2 ×10−7N.m−1 entre deux fils infinis séparés d’une distance de 1m.

8 Inductance propre d’un câble coaxial1. Étude des symétries

Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) est un plande symétrie pour la distribution de courant. −→B étant un pseudo-vecteur, il est orthogonal,en un point M , à tout plan de symétrie passant par M . On en déduit

−→B (M) = B(M)−→u θ

Étude des invariancesLa distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) et par trans-lation le long de (Oz). Les composantes du champ magnétique ne dépendent ni de θ, nide z, en coordonnées cylindriques.On en déduit −→

B (M) = B(r)−→u θOn applique le théorème d’ampère sur un cercle C d’axe (Oz), de rayon r et orienté par −→u z.

C−→B · −→d` = µ0 Ienlacé

Or ∮

C−→B · −→d` =

∮ 2π

0B(r)−→u θ · (rdθ−→u θ) = 2π r B(r)

et

Ienlacé =

0 si r < R1

+I si R1 < r < R2

0 si R2 < r

avec I = js1 2πR1

On en déduit

−→B (M) =

µ0 js1

R1r−→u θ si R1 < r < R2

−→0 sinon

Remarque : −→B est discontinu en r = R1 et r = R2 car les distributions de courantsont surfaciques et que le champ est tangent aux nappes de courant (discontinuité de lacomposante tangentielle de −→B ). En r = R1, la discontinuité vaut

B(r = R+1 )−B(r = R−1 ) = µ0js1

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En r = R2, la discontinuité vaut

B(r = R+2 )−B(r = R−2 ) = µ0js1

R1R2

avec I = −2πR2 js2 = 2πR1 js1

d’oùB(r = R+

2 )−B(r = R−2 ) = −µ0js2

2. La densité volumique d’énergie magnétique vaut

um =B2

2µ0=

µ0I2

8π2r2 si R1 < r < R2

0 sinon

3. Entre deux plans de cote z et z + `, l’énergie magnétique vaut

Em =∫∫∫um dτ =

∫ R2

r=R1

∫ 2π

θ=0

∫ z+`

z

B2

2µ0rdr dθ dz

D’oùEm = µ0

I2

8π2

∫ R2

R1

drr

2π`

Finalement, on obtient

Em =µ0`I2

4π ln(R2R1

)

4. L’énergie magnétique comprise dans une tranche de câble de longueur ` est de la forme

Em =12 LI

2

où L est l’inductance propre de la tranche de câble. Par identification, on obtient

L =µ0`

2π ln(R2R1

)

et l’inductance propre par unité de longueur de câble vaut

L =L

`=µ02π ln

(R2R1

)

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

9 Tige en rotation1. On est présence d’un circuit mobile dans un champ magnétique permanent. Le mouvement

du circuit étant perpendiculaire au champ magnétique, il existe localement dans le circuitun champ électromoteur de Lorentz donné par :

−→Em = −→v ∧ −→B 0

Ce champ électromoteur est orienté selon la direction du circuit (selon −→u r) et va doncmettre en mouvement les charges mobiles électroniques à l’intérieur du conducteur (lescharges liées ioniques restant fixes), et donc donner naissance à une différence de potentieldéfinie par :

eAB =∫ B

A

−→Em · d−→

Remarque : la présence du champ électromoteur met en mouvement les électrons qui vonts’accumuler au point A sous l’effet de la force −→F = −e−→Em, orientée suivant −−→u r. Descharges vont donc s’accumuler jusqu’à ce qu’il se crée un champ −→E dû à la séparation descharges qui s’oppose exactement au champ électromoteur, de sorte que la force électromo-trice totale s’annule. Dans le cas stationnaire, il exite donc une charge positive au boutde la tige en B et une charge négative en A. C’est cette séparation des charges qui estresponsable de la différence de potentiel eAB.

Le fait que le potentiel ne soit pas uniforme n’est pas une contradiction ici car le champn’est nul dans un conducteur qu’à l’équilibre électrostatique. Or ici, non seulement il existeun champ magnétique, mais en plus les charges sont mobiles.

Le raisonnement utilisé ici est très proche de celui utilisé pour l’effet Hall.2. Sachant que la vitesse des charges mobiles situées à la distance r du point A est donnée

par : −→v = rω−→u θ, on en déduit directement par intégration le long de la tige :

eAB =∫ B

A(rω−→u θ ∧B0

−→u z) · dr−→u r =∫ L

0rωB0dr =

L2B0ω

2

10 Phénomènes d’induction électromagnétiqueI Flux du vecteur champ magnétique

1. L’analyse des symétries et des invariances, puis l’application du théorème d’Ampère surun cercle centré sur le fil, perpendiculaire à celui-ci, et de rayon r permet de montrer que,pour r > 0 :

−→B 1(M) =

µ0i12πr−→u θ

2. Les lignes de champ magnétique sont des cercles concentriques centrés sur le fil, perpen-diculaire à celui-ci, et s’enroulant autour du fil dans le sens trigonométrique.

3. Le flux du champ magnétique créé par le fil à travers le cadre rectangulaire orienté dansle sens ABCD vaut :

φ1 =x

ABCD

−→B 1 · d−→S =

x

ABCD

B1−→u θ · dzdr−→u θ =

µ0i1L

∫ d+`

d

dr

r=µ0i1L

2π ln

(d+ `

d

)

Le flux est donc positif avec cette orientation du circuit.

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

z

B1

I1

II Force électromotrice et courants induits

1. La f.e.m. est nulle car Φ1 = cste et donc e = −dΦ1dt

= 0.2. Ce deuxième cas correspond au cas de Neumann.

a) Le courant i2 tourne dans le sens trigonométrique dans le circuit (sens DCBA (Fig.2a)).

z

i (t)1 B1

A

B C

D

+

dS e<0R

i (t)2

a) b) c)z

i (t)1

P

Q e = V -VP Q

b) L’orientation du courant se prouve avec loi de Lenz qui permet d’affirmer que lechamp magnétique induit doit s’opposer à la cause qui lui a donné naissance, c’est àdire à −→B 1. Le sens s’obtient en utilisant la règle de la main droite pour que le champinduit par la circulation dans le circuit soit orienté suivant −−→u θ.

c) Calculons tout d’abord la f.e.m. induite dans le circuit en utilisant la loi de Faraday :

e = −dΦ1dt

= −µ0aL

2π ln

(d+ `

d

)

On obtient une f.e.m. négative, de sorte que dans le montage électrique équivalent(Fig.2b), le générateur idéal de tension doit être orienté dans le sens opposé au couranti2 pour pouvoir donner lieu à un courant i2 tournant dans le sens trigonométrique.L’application de la loi d’Ohm dans le circuit équivalent constitué du générateur idéalde tension et d’une résistance R nous donne : e = −Ri2, et on obtient finalement :

i2 =µ0aL

2πR ln(d+ `

d

)

Le courant est bien positif car nous avons bien fait attention au signes en nous ap-puyant sur les résultats obtenus avec la loi de Lenz.

d) Lorsque l’interrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans le circuit ; cependant,la présence du champ magnétique variable donne toujours lieu à un champ électromo-teur identique dont la circulation n’a pas changé par rapport au cas précédent varié

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

puisqu’on néglige la taille de l’interrupteur. Il existe donc une différence de poten-tiel entre les points P et Q identique à la f.e.m. calculée précédemment. En utilisantl’orientation précédemment choisie pour la f.e.m. (Fig.2c), on obtient directement :

VP − VQ = e = −µ0aL

2π ln

(d+ `

d

)< 0

3. a) De la même façon que précédemment, on obtient avec i2 orienté dans le sens trigo-nométrique :

i2 =µ0ImLω1cos(ω1t)

2πR ln

(d+ `

d

)

b) Les courbes i1(t) et i2(t) sont en quadrature de phase, avec i2 d’amplitude nécessai-rement plus faible que i1 :

t

i (t)1 i (t)2

4. Ce dernier cas correspond au cas de Lorentz.a) Le champ électromoteur de Lorentz est nul dans ce cas, car le déplacement du circuit

se fait selon la direction du champ, donc −→Em = −→v circuit ∧ −→b 1 = −→0 .On peut également s’en convaincre en se plaçant dans le référentiel du cadre mobile :le champ −→B 1 étant invariant par rotation d’angle θ autour de l’axe z, le champ perçupar le circuit est invariant.

b) Calculons la f.e.m. induite dans le circuit de deux façons différentes.Première méthode : en utilisant la circulation du champ électromoteur sur le circuitorienté dans le sens horaire ABCD :

e =∮

circuit

−→Em·d−→ =

circuit(v−→u r ∧B1

−→u θ)·d−→ =

circuitvB1−→u z·d−→ =

[∫ B

AvB1d`+

∫ D

CvB1d`

]

e = vL [B1(d0 + vt)−B1(d0 + `+ vt)] =µ0i1vLω1

[1

d0 + vt− 1d0 + `+ vt

]

e =µ0i1vLω1

2π`

(d0 + vt)(d0 + `+ vt)On trouve que la f.e.m. est positive lorsqu’elle est orientée dans le sens de ABCD,et le courant induit est également dirigé dans le sens horaire, contrairement aux casétudiés précédemment.Seconde méthode : en utilisant la loi de Faraday, le circuit étant toujours orienté dansle sens horaire ABCD :

e = −dΦdt

= −µ0i1L

2πd

dt

[∫ d0+`+vt

d0+vt

dr

r

]=µ0i1vLω1

2π`

(d0 + vt)(d0 + `+ vt)

On retrouve bien le même résultat que précédemment.

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11 Pince Ampèremétrique1. La distribution de courant dans la bobine torique est invariante par rotation autour de

l’axe Oz, et donc le champ −→B ne dépend pas de θ. De plus, tout plan passant par un pointM à l’intérieur du tore, et passant par l’axe Oz, est plan de symétrie de la distribution decourants, donc le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan, et donc dirigé suivantle vecteur −→u θ. On en déduit donc :

−→B = Bθ(r, z)−→u θ

2. Appliquons le théorème d’Ampère sur un cerle centré sur l’axe Oz, de rayon r, et situé àla hauteur z dans le tore, tournant dans le sens trigonométrique autour de l’axe Oz (aveccette orientation, les courants traversant le contour sont comptés positivement) :

C−→b · d−→ = 2πrBθ(r, z) = µ0

∑Ienlacés = µ0Ni+ µ0I

On en déduit que le champ magnétique est finalement indépendant de z à l’intérieur dutore, et s’écrit :

−→B =

µ0(Ni+ I)2πr

−→u θ3. Le flux magnétique ϕ à travers une seule spire est donné par :

ϕ =∫ 2a

r=a

∫ a

z=0

−→B · d−→S =

µ0aln22π (Ni+ I)

Le flux total φ à travers les N spires est donc donné par :

φ =µ0aln2

2π (N2i+NI)

Or la loi des mailles sur le circuit portant la bobine permet d’écrire, en négligeant le

coefficeint d’autoinduction de la bobine : e = (R+ r0)i, avec e = −dφdt. On en déduit

(R+ r0)i =µ0 a

2π ln(2)ddt (N2i+NI) ≈ µ0 aN

2π ln(2)dIdt

soitim cos(ωt+ ψ) = − µ0 aN

2π(R+ r0) ln(2) ω Im sin(ωt)

Le déphasage ψ est donc fixé à ψ = +π/2 et l’on a

iM

IM=

µ0aln22π(R+ r0)Nω

4. Bien sûr qu’on en a tenu compte ! Le flux Φ est somme du flux "extérieur" créé par I,

Φext =µ0NIa ln 2

2π et du flux propre créé par i, Φpropre =µ0N2ia ln 2

2π qui est par définition

le produit Li. On a écrit plus haut Ri = e = − dΦdt ; détaillons :

Ri = e = −dΦdt = −dΦext

dt − dΦpropre

dt = −− dΦext

dt − Ldidt

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

soit Ri+ Ldidt = −dΦext

dtOn a donc bien tenu compte de l’inductance de la bobine !

5. NON ! Le champ est, de par le théorème d’Ampère, proportionnel à I+Ni et, quelle que soitla géométrie de la bobine, il en sera de même pour Φ qui sera de la forme Φ = KN(N+Ni)où K est un facteur géométrique. Dès lors que ωN2K est grand devant R, ce qui précèdereste valable.

6. Un tel dispositif permet de mesurer l’amplitude d’un signal sinusoïdal sans insérer un am-pèremètre dans le circuit, soit parce que le circuit ne peut être débranché, soit car le courantest trop important pour pouvoir y insérer un ampèremètre classique sans dommage.

La pince ampèremétrique fonctionne d’autant mieux que la surface du tore est importante,pour que le flux du champ créé à l’intérieur de celle-ci soit le plus important possible. Ceciexplique que iM augmente avec a. Il faut également le plus grand nombre de tours de filspossible, pour les mêmes raisons. Plus la fréquence est importante, plus la détection estbonne, avec une détection nulle en régime statique. C’est la variation du champ magnétiqueinduit qui génère un courant dans la pince. Finalement, le courant mesuré sera d’autantplus grand que le courant à mesurer l’est, et d’autant plus grand que les résitances dudispositif sont faibles.

La position du fil dans la bobine torique n’est absolument pas critique ; la mesure sera iden-tique tant que le fil passe à l’intérieur du tore. Ceci explique encore la facilité d’utilisationde la pince ampèremétrique.

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12 Freinage d’une spire par induction

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13 Courants de Foucault : influence du feuilletage

1. Le potentiel vecteur est un vecteur polaire contrairement au champ magnétique −→B : lesplans de symétrie pour le champ magnétique sont des plans d’antisymétrie pour le potentielvecteur et vice-versa.

Étude des symétries.Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) du cylindreest un plan de symétrie pour le champ magnétique : c’est donc un plan d’antisymétriepour le potentiel vecteur. Le potentiel vecteur étant un vecteur polaire, il est orhtogonal,au point M , à tout plan d’antisymétrie passant par M . Le potentiel vecteur est donc de

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

la forme −→A (M) = Aθ(M) −→u θ

Étude des invariances.D’après la géométrie du problème, le potentiel vecteur est invariant par rotation autourde l’axe (Oz) et par translation suivant −→u z. Les composantes de −→A ne dépendent doncque de la distance à l’axe r.On en déduit −→

A (M) = aθ(r) −→u θOn calcule la circulation de −→A sur un cercle C d’axe (Oz) et de rayon r, orienté par −→u z :

C−→A · −→d` =

CAθ(r)−→u θ · (rdθ−→u θ) = r Aθ(r)

∫ 2π

0= 2πr Aθ(r)

Mais, d’après le théorème de Stokes∮

C−→A · −→d` =

∫∫

Σ(C)−→rot(−→A ) ·

−−→d2S =

∫∫

Σ(C)−→B ·−−→d2S = πr2B0 cos(ωt)

On en déduit

2πr Aθ(r) = πr2B0 cos(ωt) soit Aθ(r) =r

2 B0 cos(ωt)

Finalement−→A (M) =

r

2 B0 cos(ωt) −→u θ2. Le cylindre est le siège d’un phénomène d’induction de Neumann. Le champ électromoteur

vaut donc−→Em = −∂

−→A

∂t=r

2 B0 ω sin(ωt) −→u θSi l’on admet la validité de la loi d’Ohm locale dans le cadre de l’ARQS, on a, à l’intérieurdu cylindre conducteur :

−→ = γ−→Em =

γ r

2 B0 ω sin(ωt) −→u θ

3. La force exercée par le champ électromagnétique sur une charge libre q du conducteur estla force de Lorentz −→

F = q(−→Em +−→v ∧ −→B

)

La puissance instantanée reçue par une charge q se déplaçant à la vitesse −→v vaut donc

P = −→F · −→v = q−→v · −→Em

La puissance par unité de volume absorbée par les charges libres de densité volumique nvaut

w =dPdτ = nq−→v · −→Em = −→ · −→Em

On en déduit

w =14 γ r

2B20 ω

2 sin2(ωt)

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

4. La puissance dissipée dans tout le cylindre à l’instant t est obtenue par intégration sur lesvariables d’espace :

Ptot =∫∫∫

cylindrew dτ︸︷︷︸

r2 drdθdz

= w =14 γ B

20 ω

2 sin2(ωt)∫ a

0r3 dr

∫ 2π

0dθ +

∫ `

0dz

On en déduit

Ptot =π

8 γ a4`B2

0 ω2 sin2(ωt)

La puissance totale dissipée en moyenne sur une période vaut donc

〈Ptot〉 =π

16 γ a4`B2

0 ω2

où l’on a utilisé〈sin2(ωt)〉 =

ω

∫ 2π/ω

0sin2(ωt) dt =

12

La puissance dissipée par effet Joule par les courants de Foucault est proportionnelle aucarré de la fréquence du champ magnétique.

5. Chaque petit cylindre de rayon a0 dissipe une puissance moyenne

〈P0〉 =π

16 γ a4`B2

0 ω2 avec πa2

0 = s

d’où〈P0〉 =

116π γ B

20 ω

2 ` s2

La puissance moyenne totale dissipée dans l’ensemble des cylindres vaut

〈P ′tot〉 = N〈P0〉 =1

16π γ B20 ω

2 `Ns2

Or la section totale vaut S = πa2 = Ns d’où s = S/N . On en déduit

〈P ′tot〉 =1

16π γ B20 ω

2 `S2

N=〈Ptot〉N

Le fait de diviser le grand cylindre métallique en N cylindres parallèles de petit rayon,isolés les uns des autres permet de diviser par N la puissance moyenne dissipée par lescourants de Foucault.C’est le principe du feuilletage utilisé dans les matériaux ferromagnétiques (machines tour-nantes, transformateurs, électro-aimants).

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14 Oscillateurs couplés par induction mutuelle

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15 Étiquette antivol1. La bobine correspond à l’enroulement du fil métallique et le condensateur est situé au

centre (peu visible). Ce dispositif est en général couplé avec une puce électronique surlaquelle sont enregistrées des données. On appelle ce système RFID (radio-frequency iden-tification), et celui-ci est très largement répandu (antivols dans les magasins, étiquetageremplaçant les codes-barres, passes Navigo et Velib, marquage des dossarts pour le suiviautomatique des coureurs dans les courses comme le marathon de Paris, marquage des ali-ments pour être "reconnus par le réfrigérateur lorsqu’ils dépassent la date de péremption,marquage des lettres et des colis postaux...).

2. Le courant variable dans le portique émetteur génère un champ variable et donc un fluxvariable au travers de la bobine de l’antivol. Ainsi, lorsque l’étiquette se trouve entre lesportiques, il apparaît dans le circuit de l’étiquette une force électromotrice de la formee(t) = E0 cos(ωt) à la même pulsation que celle du courant dans le portique émetteur.

3. La loi des mailles permet d’écriree = uL + uC

qui se réarrange en1L

de

dt=d2i

dt2+

i

LC

On obtient bien l’équation différentielle proposée en posant ω0 =1√LC

.

4. En posant i(t) = I(ω) sin(ωt), on obtient :

−ωLE0 sin(ωt) = −ω2 I(ω) sin(ωt) + ω2

0 I(ω) sin(ωt)

soit

I(ω) =E0ω

L(ω2 − ω20)

5. Lorsque LCω2 = 1, il se produit alors une résonance en courant, c’est à dire que le courantdevient très important.

6. En pratique, le courant ne tend pas vers l’infini car le circuit a nécessairement une petiterésitance qui "arrondira" la résonance. Cependant, pour la fréquence caractéristique, lecourant peut néanmoins être important car la résitance de l’antivol est très faible.

7. Lorsque l’étiquette antivol traverse les portiques, le champ magnétique au niveau du por-tique récepteur diminue, car une partie de l’énergie utile pour générer le champ magnétiquea été consommée par l’antivol. On peut également comprendre le phénomène avec la loi deLenz, qui permet de comprendre directement que l’effet de la génération de courants in-duits dans l’antivol va s’opposer aux causes qui leur ont donné naissance, et par conséquentgénérer un champ magnétique opposé au champ magnétique initial. Le champ résutlantdans le portique récepteur est donc plus faible. Ce phénomène est d’autant plus importantque le courant induit est important, c’est à dire si la résonance est bien calculée pour

1√LC

= 2π × 135kHz. L’effet sur la fem induite dans le récepteur est important, c’est àdire que le flux est moins important et que la fem diminue. C’est cette chute de tensionqui déclenche l’alarme.

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

Remarque : dans les capteurs RFID plus perfectionnées, le courant induit peut permettred’alimenter une puce, qui peut émettre un code ou une référence particulière qui peutégalement être détectée par un système de portique plus complexe.

16 Régime transitoire dans des circuits inductifs couplés1. Établissement du courant dans le solénoïde

a) La loi des mailles pour t > 0 conduit à

Ldidt+Ri = E

Les solutions sont de la forme

i(t) = K e−Rt/L +E

R

où K est une constante d’intégration à déterminer à partir des conditions initiales. Lacontinuité du courant aux bornes d’une bobine implique i(t = 0+) = 0 = K + E/R.On en déduit

K = −ER

et i(t) =E

R

(1− e−Rt/L

)

b) Au bout d’un temps infini

i(t) −−−→t→∞ i∞ =

E

R

Au bout d’un temps infini, l’effet de l’induction est négligeable et le courant estquasiment permanent.

2. a) Le flux magnétique traversant la bobine du circuit primaire est la somme du fluxpropre Φpropre = Li1 et du flux du champ magnétique créé par le circuit secon-daire Φ2→1 = Mi2. Il apparaît alors, dans le circuit primaire, une force électromotriceaux bornes de la bobine

e = −dΦdt = −dΦpropre

dt − dΦ2→1dt = −L di1

dt −Mdi2dt

En convention récepteur, la tension aux bornes de la bobine au primaire s’écrit

uL,1 = Ldi1dt +M

di2dt

La loi des mailles appliquée au circuit primaire s’écrit, pour t > 0

E = Ri1 + Ldi1dt +M

di2dt

De la même manière, pour le circuit secondaire, le loi des mailles devient

0 = Ri2 + Ldi2dt +M

di1dt

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

b) En sommant les deux équations précédentes, on obtient

E = RI + (L+M)dIdt

En prenant la différence entre les deux équations couplées, on trouve

E = RJ + (L−M)dJdt

c) Les équations différentielles sont découplées en I et J . Les solutions sont donc de laforme

I = K1 e−t/τ1 +E

R

J = K2 e−t/τ2 +E

R

On détermine les constantes d’intégration à l’aide des conditions initiales :

I(t = 0) = i1(t = 0) + i2(t = 0) = 0 = K1 +E

R⇒ K1 = −E

R

etJ(t = 0) = i1(t = 0)− i2(t = 0) = 0 = K2 +

E

R⇒ K2 = −E

R

Ainsi

I(t) =E

R

(1− e−t/τ1

)

J(t) =E

R

(1− e−t/τ2

)

On en déduit

i1(t) =I + J

2 =E

R

(1− e−t/τ1 + e−t/τ2

2

)

et

i2(t) =I − J

2 =E

2R(e−t/τ2 − e−t/τ1

)

L’intensité au primaire croît exponentiellement avec le temps de la valeur 0 jusqu’àsa valeur asymptotique i1,∞ = E/R.

L’intensité au secondaire est nulle à l’instant initial et prend des valeurs négativespour t > 0. Ce résultat était prévisible en vertu de la loi de Lenz : le courant induitau secondaire s’oppose à la cause qui lui a donné naissance. Autrement dit, le couranti2 crée un champ magnétique qui s’oppose à celui créé par i1.

On remarque également que i2 tend vers 0 quand t → ∞. En effet, au bout d’untemps infini, le régime permanent est atteint dans le circuit primaire : l’intensité i1

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Physique Correction - TD no9 : Induction électromagnétisme

Figure 1: Représentation des intensités i1(t) (circuit primaire) et i2(t) (circuit secondaire) enfonction du temps.

est alors constante. Aucun phénomène d’induction ne peut alors générer un courantdans le secondaire.Comme i2(t = 0) = 0 = i2,∞, l’intensité i2 doit nécessairement passer par un extre-mum tel que

di2dt =

E

2R

(− 1τ2

e−t/τ2 +1τ1

e−t/τ1)

= 0⇔ t =τ1τ2τ1 − τ2

ln(τ1τ2

)=L2 −M2

2M ln(L+M

L−M

)

L’intensité au secondaire est alors négative et maximale en valeur absolue

i2,max =E

2R

(τ2τ1− 1

)e−τ2 ln(τ1/τ2)/(τ1−τ2) < 0

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