Université Montpellier 2

Faculté des sciences

Département EEA

Master 2 : Robotique

2014 / 2015

Cours de Robotique 2 (UE 322)

Cours 1

Génération de trajectoires

Partie 2 : Trajectoires par interpolation

A. Chemori

LIRMM - UMR 5506

161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France

chemori@lirmm.fr

FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 2

Plan du cours (Partie 2)

1. Introduction

2. Trajectoires interpolées par lois bang-bang

Principe de base

Trajectoires à temps minimal

Exemple

3. Application à l’espace articulaire

4. Application à l’espace cartésien

A. Chemori (Cours de Robotique 2 (GMEE 322)

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Génération de trajectoires Introduction

On considère un mouvement qui consiste à passer par points :

: désigne le point de départ à vitesse nulle,

: celui d’arrivée à vitesse nulle,

: sont les points intermédiaires (points de passage),

à chaque point on associe une vitesse et l’instant de passage en

l’interpolation entre deux points successifs et assurant la continuité

de vitesse doit vérifier les contraintes suivantes :

Ces contraintes peuvent être satisfaites par une spline cubique ou par une lois

bang-bang

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Dans le cas d’une lois bang-bang, l’équation obtenue est la suivante :

avec

Il faut noter (contrairement au cas de point à point) que les mêmes données de

position et de vitesse et peuvent conduire, pour des

choix différents de la durée de mouvement , à des évolutions

d’accélérations différentes.

Ceci est illustré au travers l’exemple ci-dessous.

Introduction Génération de trajectoires

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Exemple : Interpolation par une lois bang-bang (le deuxième cas à une durée

double de celle du premier)

Introduction Génération de trajectoires

La durée du mouvement en b) est double de celle en a)

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Le mouvement complet d’interpolation du point de départ au point d’arrivée et

alors simplement construit par les m splines interpolant les couples de points

et partageant les mêmes contraintes de vitesses

et éventuellement d’accélération.

Il est nécessaire, en pratique, de déterminer les durées de mouvements en

fonctions des contraintes cinématiques de vitesses et d’accélérations

maximales

Dans le cas de mouvements interpolés, cela revient à déterminer la durée entre

chaque couple de points successifs :

satisfaisant les contraintes cinématiques

Ensuite les instants de passage sont calculé par :

La détermination des durées optimales deviendra beaucoup plus difficile à

cause de la liberté de choix des vitesses de passage qui ne sont plus imposées

nulles.

Introduction Génération de trajectoires

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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires

Cette méthode est applicable en ligne sur un robot industriel

Elle consiste à calculer la spline pendant que la spline est réalisée

Le caractère en-ligne de la méthode est fondé sur la détermination analytique

de la durée optimisant le mouvement de à sous les

contraintes et .

Le mouvement est considéré soit positif, c.à.d :

Ou bien négatif, c.à.d :

Tout changement de direction du mouvement se fait en imposant un point

de passage à vitesse nulle

Trajectoires interpolés par loi bang-bang : Principe de base

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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires

Dans le cas de la loi bang-bang on peut distinguer deux profils correspondant à

: Valeur du premier palier d’accélération correspondant à l’intervalle

: Valeur du deuxième palier d’accélération correspondant à l’intervalle

L’évolution de vitesse est illustrée dans le cas d’un mouvement positif

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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires

Profil 1 Profil 2

Contraintes de vitesse Contraintes de vitesse

Mo

uve

men

t à

tem

ps

min

imal

Contraintes d’accélération Contraintes d’accélération

Mouvement positif : doit privilégier le profil 1 Le profil 2 conduira à un allongement de la durée du mouvement (voir précédemment)

Mouvement négatif : doit privilégier le profil 2 car il est le plus rapide

Q: A-t on toujours une solution optimale ? Qui satisfait les contraintes

Trajectoires à temps minimal

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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires

R: Le profil favorable n’est pas toujours réalisable (démonstration avec un exemple)

On considère le cas du passage du profil 1 au profil 2 (ou inversement)

correspond à une durée limite (déduite de l’équation )

Or, si la durée du mouvement d’interpolation, imposée par l’utilisateur ou par

la satisfaction des contraintes (de vitesse et d’accélération) est supérieure à

cette limite

Le profil favorable n’est pas réalisable le profil le moins favorable (profil lent) s’impose

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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires

Exemple On considère une variable rotoïde qui doit interpoler les 10 points suivants :

Positions (en Deg) :

Vitesses associées (en Deg/s) :

On impose les contraintes suivantes sur les vitesses et accélérations :

Trajectoires obtenues :

Remarque :

Le mouvement entre les point 3 et 4 se

fait à vitesse constante grâce au choix

de vitesse de passage égale à la vitesse

maximale