Exercice :

On considère le circuit électrique de la figure ci-contre. Au temps t=0 la charge aux bornes de la capacité estnulle.

1) Quelle est l’équation différentielle qui régit le fonctionnement de ce circuit ?

2) Quelle est sa réponse impulsionnelle ?

3) Quelle est sa réponse à un échelon unité ?

4) Quelle est sa réponse à une distribution porte V0∏

(t; 0, T ) ?

1

Solution :

1) Les lois de l’électricité donnent :

e(t) = v(t) + s(t)

v(t) = Ri

s(t) = Roi0 =q

C

On en déduit :ds(t)

dt=

1

C(i− i0) =

i

C− i0C

=v(t)

RC− 1

R0Cs(t)

ds(t)

dt=

1

RC(e(t)− s(t))− 1

R0Cs(t)

et par suite :

ds(t)

dt+ (

1

RC+

1

R0C)s(t) =

1

RCe(t)

Posons :

θ = RC

θ0 = R0C

1

τ=

1

θ+

1

θ0

Finalement :ds(t)

dt+

1

τs(t) =

1

θe(t)

2) La réponse impulsionnelle d’un système est la réponse forcée du système à un signal d’entrée δ, c’est-à-dire la réponse à un signal d’entrée δ pour des conditions initiales nulles. Désignons la par R(t). Elle est

2

solution de l’équation :

dR(t)

dt+

1

τR(t) =

1

θδ(t)

Cherchons cette solution dans S’ à l’aide de la transformée de Fourier.

F−u [dR(t)

dt] +

1

τF−u [R(t)] =

1

θF−u [δ(t)]

Posons :

F−u [R(t)] = R̂(u)

On a :

F−u [dR(t)

dt] = 2iπuF−u [R(t)] = 2iπuR̂(u)

F−u [δ(t)] = 1

L’équation différentielle devient :

2iπuR̂(u) +1

τR̂(u) =

1

θ

Soit :

(2iπu+1

τ)R̂(u) =

1

θ

On en déduit :

R̂(u) =1

θ

1

(2iπu+ 1τ )

ce qui donne par réciprocité :

R(t) = F+x [R̂(u)] =

1

θH(t)exp(

−tτ)

3) Pour un filtre linéaire (Cf cours) la réponse forcée s(t) est reliée à la grandeur d’entrée e(t) par un produitde convolution dans lequel intervient la réponse impulsionnelle :

s(t) = R(t) ∗ e(t)

Réponse à un échelon unité :

3

On a alors :

e(t) = V0H(t)

de sorte que :

s(t) = R(t) ∗ V0H(t) = V0

∫ ∞−∞

R(t′)H(t− t′)dt′

s(t) =V0θ

∫ ∞−∞

H(t′)exp(− t

τ)H(t− t′)dt′

s(t) =V0θH(t)

∫ t

0

exp(− t′

τ)dt′ = −V0

θH(t)τ [exp(− t

′

τ)]t0

s(t) = −V0θH(t)τ(exp(− t

τ)− 1) = H(t)V0

τ

θ(1− exp(− t

τ))

4) Réponse à une distribution porte :

On a maintenant :

e(t) = V0∏

(t; 0, T )

et par suite :

s(t) = R(t) ∗ V0∏

(t; 0, T ) = V0∏

(t; 0, T ) ∗R(t)

s(t) = V0

∫ ∞−∞

∏(t′; 0, T )R(t− t′)dt′

s(t) = V0

∫ T

0

R(t− t′)dt′

s(t) =V0θ

∫ T

0

H(t− t′)exp(− t− t′

τ)dt′

On obtient donc :

4

Si t < T :

s(t) =V0θ

∫ t

0

exp(− t− t′

τ)dt′ =

V0θexp(− t

τ

∫ t

0

exp(t′

τ)dt′

s(t) =V0θexp(− t

τ)τ [exp(

t′

τ)]t0 = V0

τ

θexp(− t

τ)(exp(

t

τ)− 1)

s(t) = V0τ

θ(1− exp(− t

τ))

Si t ≥ T :

s(t) =V0θ

∫ T

0

exp(− t− t′

τ)dt′ =

V0θexp(− t

τ

∫ T

0

exp(t′

τ)dt′

s(t) =V0θexp(− t

τ)τ [exp(

t′

τ)]T0 = V0

τ

θexp(− t

τ)(exp(

T

τ)− 1)

Au final :

s(t) =

V0τ

θ(1− exp(− t

τ)) si t < T

V0τ

θexp(− t

τ)(exp(

T

τ)− 1) si t ≥ T

5