Controle Continu2 IPST 22-01-2009 Corrige

IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Continu 2 Corrigé / 2008-2009

IPST : Licence LPAI – L3-S5 UE52 Génie Mécanique : Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Examen final (2ème contrôle continu) - Jeudi 22 janvier 2009 - 14h00-16h00 Tous documents de cours/TD, calculatrices autorisés

I) Première partie Cours & Culture générale (4 points) : a) Définissez le nombre de Mach et classez dans un ordre croissant du nombre de Mach les écoulements suivants: Transsonique, subsonique, hypersonique, supersonique Nombre de Mach : rapport de la vitesse locale du fluide et de la vitesse locale du son Réponse : Subsonique, Transsonique, Supersonique, Hypersonique b) Situez dans le temps du plus ancien vers le plus récent les travaux de : Magnus, Torricelli, Navier, Bernouilli : (R1) Torricelli, Magnus, Navier, Bernouilli (R2) Torriccelli, Bernouilli, Navier, Magnus (R3) Bernouilli, Navier, Torricelli, Magnus (R4) Bernouilli, Torricelli, Magnus, Navier c) Dans quel cas les équations de Navier-Stokes peuvent-ils se réduire aux équations de Stokes ? Dans le cas des écoulements à faible nombre de Reynolds (rampants) ou les forces d’inertie non-linéaires sont négligeables par rapport aux forces visqueuses II) Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique lisse (Barême : 9 points) De l’huile de densité 0,85 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de rayon R = 60 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité dynamique est de 0,02 Ns/m2. a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer

aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE) b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe. c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite où

la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit. d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi. e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long. f) On multiplie le débit par 40. Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par

mètre de longueur de conduite). g) Que devient cette perte de charge linéaire si la conduite présente une rugosité relative ε/D

= 0.02

1


h) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est inclinée de 45° vers le haut.

Réponses :

L’écoulement est laminaire, 256.0250/64Re64

===λ

La vitesse de débit est donnée par : smmxmkgmNsxDDU /049.0)12.0./850/(.02.0250/250/250 32 ==== −ρμν Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.098 m/s Le profil est parabolique et on a :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )(1.2)( 2

2

RrUru , soit u(r) = U en mRr 0425.02/06.02/ ===

La perte de charge linéaire est donnée par :

Pam

smxmxmkgxD

LUhgp 177.2

24.0/)049.0(1/850256.0

.2.

22232

===Δ=Δρ

λρ

mmCe222.0)s/m81.9xm/kg1000/(Pa177.2hCem 23 ==Δ

Contrainte à la paroi : PammxPaLRp

p 0653.02/06.0177.22

.==

Δ=τ

Autre calcul :

PaxxRURrrU

AXEp 0653.006.0/098.0202.0/2)(. =−=−==∂∂

= μμτ

Puissance dissipée :

WattsmxxsmxmxPaRULp 12064.0)/06.0(1416.3/049.0100177.2.... 22 ==Δ π Autre calcul : WattsmxmxmxxxPaRLUp 12064.0/049.010006.01416.320653.02. ==πτ Pour un nombre de Reynolds de 10000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius : λ =0.3164.Re-1/4 ,soit 03164.0=λ La vitesse de débit est aussi multipliée par 40, soit : 1.96 m/s La perte de charge linéaire est donnée par :

2


Pam

smxmxmkgxD

LUhgp 5.430

24.0/)96.1(1/85003164.0

.2.

22232

===Δ=Δρ

λρ

En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par : Puissance dissipée : WattmxxsmxmxPaRULp 954)06.0(1416.3/96.11005.430.... 22 ==Δ πEn conduite rugueuse, d’après les courbes de Nikuradsé : λ = 0.0525

PaPap 7145.43003164.00525.0

==Δ

En conduite inclinée de 45° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre est de :

kPaxxxLgp huile 590707.010081.9850)45sin(... ==°=Δ ρ sur 100 mètres Globalement la puissance vaut :

WattmxxsmxPaRUp 327)06.0(1416.3/049.0590000... 22 ==Δ π Diagramme de Nikuradse

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III) Partie 3 : Corps immergés, forces de traînée Traînée d’une sphère de liège dans une rivière (7 points) Source : Munson et al. Page 615 Une sphère de liège de 2 pouces (inches) de diamètre est attachée au fond d’une rivière par un câble fin. Sachant que le coefficient de traînée de la sphère est de 0.5 et que l’on néglige la masse et la traînée du câble, déterminez la vitesse d’écoulement de la rivière. Le poids spécifique (ρg) du liège est de 13 lb/ft3 (Rappels : 1 lb = 4.448 N, 1 foot = 0.3048 m, 1 inch = 2.54 cm) Indications : Montrez d’abord que le masse volumique du liège est de 208 kg/m3

On écrira l’équilibre des forces horizontales et verticales (poids, poussée d’Archimède, force de traînée et tension du câble) Poids de la sphère de liège : Volume de la sphère :

3633 10642.68)0254.0(34

34 mxRVol −=== ππ

Masse spécifique :

333

3 m/N2042m)3048.0(N448.4x13

ft/lb13g ===ρ

Poids de la sphère :

NmxxmNgVolPoids 140.010642.68/2042 363 === −ρ Poussée d’Archimède vers le haut :

NmxxmNxVolgP eauA 673.010642.68/98100.. 363 === −ρ La composante verticale de la tension du fil compense la résultante force de pesanteur + force d’Archimède : Tension verticale = Tension x sin(60°) = Tension x 2/3 La tension sera donnée par :

4


N615.03/2x)140.0673.0(3/2x)PoidsP(T A =−=−=

La composante horizontale de la traction compense la traînée :

D22

fH C)R.(U21N308.0)60cos(.TT πρ==°=

Si on met Cd à 0.5 :

s/m78.0C).R(

T.2U

D2

f

H =πρ

=

Le nombre de Reynolds vaut : 3445010141.10504.078.0Re 6 === −x

xUDν

sachant qu’on a pris une viscosité cinématique de l’eau à 15°C en supposant qu’elle est pure sans particules en suspension. Ce qui fait que le coefficient de trainée de 0.5 est justifié. Exercice complémentaire ( à effectuer si le temps le permet) Exercice : Chute d’un grelon La grêle est générée par des allers-retours verticaux répétés de particules de glace grossissant dans des nuages orageux. Quand les grelons ont atteint une taille suffisante, la force aérodynamique occasionnellement ascendante n’est plus en mesure de contrecarrer le poids des grelons, et ceux-ci quittent le nuage pour tomber au sol. Estimez la vitesse de chute limite U des grelons en supposant que leur taille (diamètre D) est de 1.5 inches (1 inch = 2.54 cm), soit la taille d’une balle de golf, ce qui peut arriver. Ecrivez d’abord l’équation d’équilibre de chute limite. On négligera ensuite la poussée d’Archimède (à justifier). En supposant que le coefficient de traînée est de l’ordre de 0.5, calculez la vitesse de chute U, et le nombre de Reynolds pour justifier la valeur 0.5 choisie. La masse volumique de la glace est de 948.3 kg/m3 et celle de l’air est de 1.2266 kg/m3

La viscosité cinématique de l’air est sensée être dans les notes de cours.

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SOLUTION Dans des conditions d’équilibre

2

21 AUCVgVg airDairglace ρρρ += , avec 3

6DV π

= et 2

4DA π

=

Soit encore en négligeant la poussée d’Archimède, smCgDU

Dair

glace /75.2734

2/1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ

Le nombre de Reynolds est de : 70485)1015/()0381.075.27(Re 6 == −xxLe coefficient de traînée choisi au départ est compatible d’après la figure ci-dessous.

Evolution du coefficient de traînée d’une sphère ou d’un cylindre à surface lisse par unité de longueur en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) (Munson, Young & Okiishi, page 582, 4th edition)

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