1. 1. Licence 3Probabilits Exercices corrigs de TD Ccile Mercadier, Johannes Kellendonk, Laurent Tournier Associs au cours de Stphane Attal Anne universitaire : 2008-2009
2. 2. Universit Claude Bernard Lyon 1 Probabilits Anne universitaire 2008-2009 Feuille de TD 1 Dnombrement Exercice 1 Trois cartes sont tires d'un jeu de 52 cartes. Calculer les probabilits des vnements suivants : (i) Trois piques (ii) Aucun pique (iii) Un pique et deux non-piques (iv) Au moins un pique (v) Trois cartes de la mme famille (vi) Trois cartes de familles direntes (vii) Trois as (viii) Aucun as (ix) Trois cartes rouges lorsque : 1. On suppose que les cartes sont, l'une aprs l'autre, tires au hasard et remises dans le jeu. 2. On suppose que les cartes sont tires simultanment au hasard. Exercice 2 Soit n et p deux entiers non nuls. 1. De combien de faons peut-on rpartir p enveloppes identiques dans n botes aux lettres ? 2. En dduire le cardinal de l'ensemble E1 = {(x1, . . . , xn) Nn , x1 + . . . + xn = p}. 3. Supposons p n. De combien de faons peut-on rpartir p enveloppes identiques dans n botes aux lettres de sorte qu'aucune bote aux lettres ne reste vide ? 4. De quel ensemble E2 (construit de faon similaire E1) peut-on en dduire le cardinal ? 5. De combien de faons peut-on rpartir p enveloppes distinctes dans n botes aux lettres ? Exercice 3 Soit n et p deux entiers non nuls. 1. Dterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens strict) de p lments de {1, . . . , n}. 2. Dterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens large) de p lments de {1, . . . , n}. Caractrisation d'une loi de probabilit Exercice 4 Soit X une variable alatoire valeurs dans N ou Z dnie sur l'espace de probabilit discret (, P). Dmontrer que sa fonction de rpartition, note FX, dnie par x R, FX(x) = P(X x) vrie les proprits suivantes : 1. FX est croissante avec limx FX(x) = 0 et limx FX(x) = 1.
3. 3. 2. FX est continue droite en tout point et admet des limites gauche en tout point. De plus limyx FX(y) = P(Xx). 3. FX caractrise la loi de X. Exercice 5 Soit X une variable alatoire valeurs dans N dnie sur l'espace de proba- bilit discret (, P). On dnit sa fonction gnratrice par GX(s) = E(sX ) = kN P(X = k)sk . 1. Montrer que GX est bien dnie sur [1, 1]. 2. Montrer que GX caractrise la loi de X. 3. Supposons que X et X2 sont intgrables. Notons GX et GX les drives premire et seconde de GX. Montrer que E(X) = GX(1) et E(X2 ) = GX(1) + GX(1). En dduire l'expression de Var(X).
4. 4. Correction feuille de TD 1 Rfrence Introduction aux probabilits Delmas, Jean-Pierre Ellipses BU Maths 19.2 DEL Rappel de cours : DnombrementLe nombre d'applications d'un ensmble p lments vers un ensemble n lments est np .Le nombre de permutations d'un ensemble n lmentsbijections de cet ensemble dans lui-mmeest n!.Le nombre d'arangements injectionsd'un ensmble p lments dans un ensemble n lments est Ap n = n! (n p)! .Le nombre de combinaisonsou sous-ensembles p lments dans un ensemble n lments ( p) est Cp n = n! p!(n p)! . Rappel de cours : Probabilits sur un ensemble ni On convient de reprsenter une exprience alatoire E, c'est--dire, une exprience soumise au hasard, par l'ensemble des rsultats possibles. Une ralisation , un lment de est aussi appel exprience lmentaire. Un vnement alatoire A est l'ensemble des expriences lmentaires qui ralisent A. Comme est ni, la probablit P sur dnie par P({}) = 1/card() s'appelle la probablit uniforme sur . C'est la probabilit qui rend toutes les expriences lmentaires quiprobables. On a alors P(A) = card(A) card() = nombre de cas favorables nombres de cas possibles . Exercice 1 On peut dcider qu'un jeu de cartes est l'ensemble {1, . . . , 52} avec par exemple {1, . . . , 13} les piques, puis les tres, puis les coeurs, puis les carreaux. 1. L'univers est {1, . . . , 52}3 donc card() = 523 . Comme les tirages sont faits au hasard, on peut munir de la probabilit uniforme : tous les vnements lmentaires E ont la mme probabilit : 1/523 . Plus gnralement, on sait que la probabilit d'un vnement A quelconque se calcule comme card(A)/card(). (i) 1/64 car chaque fois un pique soit 133 cas favorables (ii) 27/64 car il s'agit de faire cette exprience sur 5213 = 39 cartes, autrement dit, 393 cas favorables (iii) 27/64 car on a 3 13 392 cas favorables (iv) 37/64 complmentaire de (ii) (v) 1/16 car 3 133 cas favorables (vi) 3/8 car 52 39 26 cas favorables (vii) 1/2197 car 43 cas favorables (viii) 1728/2197 car 483 cas favorables (ix) 1/8 car 263 cas favorables 2. Dans cette exprience, est l'ensemble des combinaisons de 3 lments parmi 52.
5. 5. Son cardinal vaut donc C3 52. Comme les tirages sont faits au hasard, on peut munir de la probabilit uniforme : tous les vnements lmentaires E ont la mme probabilit : 1/C3 52. Plus gnralement, on sait que la probabilit d'un vnement A quelconque se calcule comme card(A)/card(). (i) C3 13/C3 52 (ii) C3 39/C3 52 (iii) C1 13C2 39/C3 52 (iv) 1 C3 39/C3 52 (v) 4C3 13/C3 52 (vi) 4(C1 13)3 C3 52 (vii) 4/C3 52 (viii) C3 48/C3 52 (ix) C3 26/C3 52 Exercice 2 1. On peut modliser les n botes aux lettres l'aide de n 1 sparateurs donc une conguration est un ensemble de n 1 + p lments qui est dtermine par exemple par la position des sparateurs, soit en tout Cn1 n+p1 possibilits. 2. On peut voir ce problme comme le nombre de rpartitions de p enveloppes dans n botes aux lettres avec xi le nombre d'enveloppes dans la bote aux lettres i. On a bien xi N et x1 + . . . + xn = p. Donc Card(A) = Cn1 n1+p. 3. On commence par mettre une enveloppe par bote aux lettres. Il s'agit alors de calculer le nombre de faons de rpartir p n enveloppes dans n botes aux lettres soit Cn1 p1 possibilits. 4. E2 = {(x1, . . . , xn) (N )n , x1 + . . . + xn = p}. 5. Pour chaque enveloppe on attribue une bote aux lettres, soit np possibilits. Exercice 3 1. L'ensemble des suites strictements croissantes de p lments de {1, . . . , n} est en bijection avec l'ensemble des parties p lments de {1, . . . , n}. En eet, on peut associer toute suite strictement croissante (s1, . . . , sp) une partie {s1, . . . , sp} p lments de {1, . . . , n}, et l'application rciproque consiste ordonner les lments d'une partie {s1, . . . , sp}. Le cardinal recherch est donc le nombre de combinaisons de p lments parmi n, soit Cp n. 2. Se donner une suite croissante (au sens large) de p lments de {1, . . . , n} revient se donner, pour i = 1, . . . , n, le nombre xi d'lments de la suite gaux i, avec la condition n i=1 xi = p et xi 0. On voit ainsi que l'on est ramen la question 1 de l'exercice 2, donc la rponse est Cn1 n1+p. Autre solution : on se ramne la question prcdente par la bijection : (x1, x2 . . . , xp) (x1, x2 + 1, . . . , xp + p 1), qui envoie les suites croissantes (au sens large) de p lments de {1, . . . , n} dans l'ensemble des suites strictement croissantes de p lments de {1, . . . , n+p1}. Pour le voir, noter que si (y1, . . . , yn) est strictement croissante valeurs dans {1, . . . , n+p1}, alors yi yi1+1 et yi i pour tout i (par rcurrence). L'image par de notre ensemble est l'ensemble dcrit dans la question prcdente dans lequel n devient n+p1 donc le cardinal recherch est Cp n+p1 = Cn1 n1+p lments. Exercice 4 1. FX est croissante puisque si xy, FX(y) = FX(x) + X(]x, y]) FX(x). limn+] , n] = nN] , n] = comme limite d'une suite dcroissante d'en- sembles et limn+] , n] = nN] , n] = R comme limite d'une suite croissante d'ensembles Par continuit de l'application probabilit, on a limn FX(n) = P() = 0 et limn FX(n) = P(R) = 1. 2. FX est continue droite car limn], x+1/n] = ndN ], x+1/n] =], x]. De plus, limn] , x 1/n] = ndN ] , x 1/n] =] , x[. 3. On a FX(x) FX(x ) = X({x}). En particulier, on retrouve toutes les probabilits X({k}) = P(X = k) = P(X1 ({k})) = P({, X() = k}).
6. 6. Exercice 5 1. La srie P(X = n)sn est absolument convergente pour |s| 1 car |P(X = n)sn | P(X = n) et P(X = n) = 1. La fonction est bien dnie sur [1, 1]. 2. GX est la somme de la srie entire de terme gnral P(X = n)sn . Elle est donc indniment drivable sur ] 1, 1[. De plus, on sait que ses drives s'obtiennent par drivation terme terme de la srie. On a donc G (k) X (s) = n=k n(n 1) . . . (n k + 1)P(X = n)snk et G (k) X (0) = k!P(X = k). On peut donc reconstruire la loi de X l'aide de la formule suivante : P(X = k) = G (k) X (0)/k!. 3. Si X est intgrable, par dnition la srie nP(X = n) est convergente. La srie nP(X = n)sn1 est normalement convergente pour |s| 1 car sups |nP(X = n)sn1 | = nP(X = n). Par consquent, sa somme est la drive de la somme de la srie P(X = n)sn = GX(s), autrement dit GX(s). En rsum GX(s) = n=1 nP(X = n)sn1 et GX est bien dnie sur [1, 1]. On montre de la mme manire que si E(X(X 1)) existe alors GX(s) = n=2 n(n 1)P(X = n)sn2 et GX bien dnie sur [1, 1]. Pour s = 1, GX(1) = n=1 nP(X = n) = E(X) et GX(1) = n=2 n(n 1)P(X = n) = E(X(X 1)). On en dduit que Var(X) = GX(1) + GX(1) GX(1)2 .
7. 7. Universit Claude Bernard Lyon 1 Probabilits Anne universitaire 2008-2009 Feuille de TD 2 Rappels : Lois usuelles discrtes Bernoulli(p) avec p [0, 1] : P(X = 0) = 1 p et P(X = 1) = p. Binomiale(n, p) avec n0 et p [0, 1] : P(X = k) = Ck npk (1p)nk pour k = 0, . . . , n. Gomtrique(p) avec p [0, 1] : P(X = k) = p(1 p)k pour k N . Poisson() avec 0 : P(X = k) = e k k! pour k N. Lois discrtes usuelles Exercice 1 Donner l'expression et tracer les fonctions de rpartitions de loi de Bernoulli de paramtre 2/3 puis de loi gomtrique de paramtre 3/4. Exercice 2 1. Rappeler la formule du binme de Newton. 2. En dduire que la loi binomiale de paramtres n N et p [0, 1] dnit bien une loi de probabilit puis calculer sa moyenne et sa variance. 3. Rappeler le comportement des sries n0 an , n1 nan1 et n2 n(n 1)an2 lorsque |a|1. 4. En dduire que la loi gomtrique de paramtre p ]0, 1[ dnit bien une loi de pro- babilit puis calculer sa moyenne et sa variance. Exercice 3 Au cours d'une exprience un certain vnement E se ralise avec une pro- babilit p ]0, 1[. On rpte de faon indpendante l'exprience jusqu' obtenir r fois E. Soit X la variable alatoire associe au nombre de ralisations de Ec . Dterminer la loi de X. Exercice 4 Calculer la fonction gnratrice de X lorsque X est une variable alatoire 1. de loi de Bernoulli de paramtre p [0, 1] ; 2. de loi binomiale de paramtres n N et p [0, 1] ; 3. de loi de Poisson de paramtre 0 ; 4. de loi gomtrique de paramtre p ]0, 1[. 5. En dduire l'esprance et la variance de X dans chacun des cas. Ingalits Exercice 5 1. Soit X une variable alatoire intgrable. Montrer que pour tout a R+ (Markov) P(|X| a) E(|X|) a .
8. 8. 2. En dduire que si X est de carr intgrable alors pour tout a R+ (Tchebyche) P(|X E(X)| a) V ar(X) a2 . Exercice 6 Soit n N . On extrait n fois avec remise une boule dans une urne compose de 2 boules vertes et 6 boules blanches. Soit Xn la variable alatoire associe au nombre de boules vertes obtenues lors des n tirages. On pose Fn = Xn/n. 1. Donner la loi de Xn. En dduire l'esprance et la variance de Xn puis de Fn. 2. On suppose dans cette question que n = 10 000. A l'aide de l'exercice prcdent, don- ner une borne infrieure pour la probabilit de l'vnement {Fn ]0.22, 0.26[}. 3. Donner une estimation du nombre minimal n de tirages ncessaires pour que la pro- babilit de l'vnement {Fn ]0.22, 0.26[} soit au moins 0.99.
9. 9. Correction feuille de TD 2 Exercice 1 Si X suit la loi de Bernoulli de paramtre p = 2/3, X est valeurs dans {0, 1}, donc FX(x) = P(X x) = 0 si x0 et FX(x) = 1 si x 1. De plus, si 0 x1, FX(x) = P(X x) = P(X = 0) = 1 p = 1/3. Faire le dessin correspondant. Soit X une variable alatoire de la loi gomtrique de paramtre p = 3/4. Comme X est valeurs dans N , on a FX(x) = 0 pour tout x1. De plus, FX(x) = P(X = 1) = 3/4 si x [1, 2[, FX(x) = P(X = 1) + P(X = 2) = 3/4 + 3/16 = 15/16 si x [2, 3[, FX(x) = FX(2) + P(X = 3) = 15/16 + 3/64 si x [3, 4[,. . . Exercice 2 1. Pour x, y rels (ou dans un quelconque anneau commutatif) et n N, la formule du binme de Newton s'crit (x + y)n = n k=0 Ck nxk ynk . 2. Pour vrier que P(X = k) = ak (o k N et ak R) dnit bien une mesure de probabilits sur N, il faut vrier ak 0 et k=0 ak = 1. Pour la loi binomiale de paramtres n et p, la positivit est vidente, et la seconde condition rsulte de la formule du binme : n k=0 Ck npk (1 p)nk = (p + 1 p)n = 1. l'aide des formules kCk n = nCk1 n1 et k(k 1)Ck1 n = n(n1)Ck2 n2 (la premire se vrie via la dnition des Ck n et la deuxime se dduit de la premire), et de la formule du binme, on calcule : E(X) = n k=1 kCk npk (1 p)nk = n n k=1 Ck1 n1pk (1 p)nk = np n1 k=0 Ck n1pk (1 p)n1k = np E(X(X 1)) = n k=2 k(k 1)Ck npk (1 p)nk = n k=2 n(n 1)Ck2 n2pk (1 p)nk = n(n 1)p2 , d'o Var(X) = E(X2 )E(X)2 = E(X(X 1))+E(X)E(X)2 = n(n1)p2 +npn2 p2 = np(1 p). 3. Si a = 1 on a, pour tout n, n k=0 ak = 1 an+1 1 a . Pour |a|1, limn an+1 = 0, donc la srie gomtrique est alors convergente avec k0 ak = 1 1 a . Par proprit de drivation des sries entires dans leur intervalle ouvert de convergence, on en dduit k1 kak1 = d da 1 1 a = 1 (1 a)2 et k2 k(k 1)ak2 = d2 da2 1 1 a = 2 (1 a)3 . 4. Si pour tout k 1 on a P(X = k) = p(1 p)k1 , alors k1 P(X = k) = p k0(1 p)k = 1. Ceci montre que la loi gomtrique de paramtre p est bien une loi de probabilits. On calcule : E(X) = k1 kP(X = k) = p k1 k(1 p)k1 = 1 p E(X(X 1)) = k2 k(k 1)P(X = k) = p(1 p) k2 k(k 1)(1 p)k2 = 2 1 p p2 Var(X) = E(X(X 1)) + E(X) E(X)2 = 2 1 p p2 + 1 p 1 p2 = 1 p p2 .
10. 10. Exercice 3 On a = {E, Ec }N . L'vnement {E, . . . , E, Ec , . . . , Ec , . . .} o E apparait r fois et Ec apparait n fois dans les r + n premiers termes a une probabilit pr (1 p)n . Pour trouver la probabilit P(X = n) il faut calculer le nombre de manires de construire des r + n uplets se terminant par E, et contenant r fois E. C'est donc le nombre de combinaisons de r1 lments parmi r+n1 puisque un des lments ainsi que sa position est impose, soit encore Cr1 r+n1. Donc pour tout n N on a : P(X = n) = Cr1 n+r1pr (1p)n . Il s'agit de la loi binomiale ngative de paramtres r N et p ]0, 1]. Exercice 4 1. Loi de Bernoulli de paramtre p. On a, pour s R, GX(s) = E[Xs ] = (1 p) + ps, donc GX(s) = p et GX(s) = 0. Il suit GX(1) = p et GX(1) = 0. Par consquent (cf. feuille 1, exercice 5 et remarque la n du corrig), E(X) = p et Var(X) = p p2 = p(1 p). 2. Loi binomiale de paramtres n et p. Pour s R, la formule du binme donne : GX(s) = n k=0 sk Ck npk (1 p)nk = n k=0 Ck n(sp)k (1 p)nk = (1 p + sp)n . On obtient GX(s) = np(1 p + sp)n1 et GX(s) = n(n 1)p2 (1 p + sp)n2 , d'o GX(1) = np et GX(1) = n(n 1)p2 . 3. Loi de Poisson de paramtre 0. Rappelons que dans ce cas P(X = n) = n n! e pour n N. Le dveloppement en srie de l'exponentielle e = n=0 n n! (et le fait que n n! e 0) montre qu'il s'agit bien d'une probabilit. Ce mme dveloppement fournit, pour tout s R : GX(s) = n=0 sn n n! e = es e = e(s1) , donc GX(s) = e(s1) et GX(s) = 2 e(s1) . GX(1) = et GX(1) = 2 impliquent E(X) = et Var(X) = . 4. Loi gomtrique de paramtre p. On a, pour tout s ] 1 1 p , 1 1 p [, GX(s) = k=1 sk (1 p)k1 p = sp 1 s(1 p) . Pour ces valeurs de s, on en dduit que GX(s) = p (1 s(1 p))2 et GX(s) = 2p(1 p) (1 s(1 p))3 . En particulier, GX(1) = 1 p et GX(1) = 2(1 p) p2 , d'o E(X) = 1 p et Var(X) = 2(1 p) p2 + 1 p 1 p 2 = 1 p p2 . Remarque 1. Pour dduire le calcul de l'esprance et de la variance, on utilise vrai dire une rciproque partielle de la question 5.3 de la feuille 1. savoir : si GX(1) (c'est--dire, si la srie drive converge en s = 1), alors X est intgrable, et E(X) = GX(1). Et si GX(1) (idem pour la srie drive seconde), alors X est de carr in- tgrable et E(X2 ) = E(X(X 1)) + E(X) = GX(1) + GX(1). La preuve est quasiment