7/23/2019 Chapitre 62

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

Dipole electrostatique

Table des matieres

1 Champ et potentiel du dipole electrostatique 2

1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Potentiel du dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Champ cree par un dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Surfaces equipotentielles et lignes de champ dun dipole electrostatique 42.1 Surfaces equipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Actions dun champ electrostatique sur un dipole 5

3.1 Dipole regide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Action dun champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Moment de la force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Action dun champ non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

1 Champ et potentiel du dipole electrostatique

1.1 Definitions

Dipole electrostatique : Il sagit dun doublet de charges ponctuelles A(q) et B(+q)separees par une distance AB =d,supposee petite par rapport a la distance OM=r ouon cherche a determiner ses effets.

Approximation dipolaire : lapproximation OM >> d est appelee approximationdipolaire.

O est le milieu de AB

OM=r et d= AB

lapproximation dipolaire OM >> d

A B

-q +q

r

M

O

z

Moment dipolaire: On definit le moment dipolaire

p dun dipole electrostatique parp =q

AB; q >0

oriente toujours de vers

Exemples

molecule H Cl

molecule H2O

Unite du moment dipolaire

lunite dans le systeme international est C.m

on utilise aussiDebye (D): 1D=1

3.1029C.m

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

1.2 Potentiel du dipole electrostatique

le potentiel electrostatique en M :

V(M) = q

40

1

r1

1

r2

r1= ||BM||; r= ||

OM||

r2= ||AM||

BM=

OM

OB

AM=

OM

OA A B

q +q

r

M

O

z

r2 r1

e re

BM2 =

OM2+

OB22

OM .

BM=r2+

d2

42r.

d

2cos = r2

1 +

d2

4r2

d

rcos

1

BM2 =

1

r1=

1

r

1

d

rcos +

d2

4r2

1

2

approximation dipolaire : r >> d

1

r1

1

r

1 +

d

2rcos

de meme on montre que1

r2

1

r

1

d

2rcos

V(M) = q

40

2

d

2rcos

V(M) = qd cos

40r2 =

p .r

40r3

Remarque: le potentiel V dun dipole electrostatique varie en 1

r2

alors que le potentiel

dune charge ponctuelle varie en 1

r.

1.3 Champ cree par un dipole electrostatique

En coordonnees spheriques :

E =Er

e r+Ee + E

e

gradV =

V

r

,

e r+1

r

V

r,

e + 1

r sin

V

,r

e

E = gradV

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

Er = V

r =

2p cos

40r3

E =

1

r

V

=

p sin

40r3

E = 1

r sin

V

= 0

E =

p

40r3(2cos e r+ sin

e )

expression vectorielle intrinseque

p =p cos e r p sin e

E

=

1

40

(3p .r)r p .r2

r5

2 Surfaces equipotentielles et lignes de champ dun

dipole electrostatique

2.1 Surfaces equipotentielles

surface equipotentielle : V =cte = V0

C= q.d cos

40r2 donc

r2 =C. cos

avec C= q.d

40V0 si V0 est positif,alors le cos est posi-

tif et lequipotentielle se situe dans ledemi-plan z >0

si V0 < 0 est negatif,alors le cos est negatif et lequipotentielle se situedans le demi-plan z

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

chaque ligne de champ est caracterisee par une constantek . Elle est orthogonaleaux equipotentielles rencontrees.

p

=

2

z

ligne de champ

3 Actions dun champ electrostatique sur un dipole

3.1 Dipole regide

Definition : Un dipole AB est dit regide si la distance d = AB entre les charges restefixe et les charges restent constantes.

On suppose dans toute la suite que le dipole electrostatique est regide.

3.2 Action dun champ uniforme

3.2.1 Force

Considerons un dipole electrostatique place dans une region ou il regne un champ

electostatique exterieur uniforme

E0

la resultante des forces appliquees sur le dipole :

F =qE0 q

E0=

0

F =

0

Conclusion: la resultante des forces qui sexercent sur un dipole place dans un champuniforme est nulle :

F =

0

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

3.2.2 Moment de la force

MO =

OA (q

E0) +

OB (q

E0)

MO = (OA+ OB) (qE0)

=qAB

E0

MO =

p E0

qE0

qE0

A(q)

B(+q)

O

E0

Conclusion: Dans un champ uniforme,le dipole subit un couple de momentMO =

p E0 qui tend a alligner parrallelement au champ applique dans le meme sens

que celui-ci.

3.3 Action dun champ non uniforme

dans le cas dun champ exterieur non uniforme,le moment en O de la resultantede le force sexercant sur un dipole est donnee par

MO =

p E(O)

A B

-q +q

E(A)

E(B)

F =q(E(B)

E(A))

Fx=q(Ex(B) Ex(A)) =qdEx

dEx=

Ex

x

y,z

dx+

Ex

y

x,z

dy+

Ex

z

y,x

dz

Fx=q

Ex

x

y,z

dx+

Ex

y

x,z

dy+

Ex

z

y,x

dz

Fx=pxEx

x y,z

+py Ex

y x,z

+pz Ex

z y,x

px=qdx;py =qdy;pz =qdz

Fx = (p .grad)Ex

on montre aussi que

Fy = (p .grad)Ey; Fz = (

p .grad)Ez

F = (p .

grad)

E

On definit loperateur rotationnel par

rotE =

E

avec : operateur nabla

on montre quen regime permanent

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cS.Boukaddid Dipole electrostatique sup TSI

rot(

gradV) =

0

donc en coordonnees cartesiennes on a : Ex

y =

Ey

x et

Ez

x =

Ex

z

Fx=pxEx

x +py

Ey

x +pz

Ez

x

Fx=p .

E

x

de meme

Fy =p .

E

y et Fz =

p .E

z

F =

p .

Ex

e x+

p .

Ey

e y+

p .

Ez

e z

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