Année 2017-2018

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Séquence 15 : Le repérage dans l’espace

Objectifs :

Connaitre les noms des principaux polyèdres Savoir se repérer sur un parallélépipède (Abscisse, ordonnée, altitude) Savoir se repérer sur une sphère (latitude et longitude) Savoir déterminer la nature d’une section de solide

Faire marquer le devoir maison dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Mardi 30 Mai 2017. Objectif : Résoudre des problèmes faisant intervenir les nombres relatifs.

Activité 1: Réflexion : Les prérequis.

Droite Perpendiculaire à un plan

On considère le pavé droit suivant :

I)

1°) Nommer des plans parallèles entre eux.

2°) On considère les plans (ABC) et (EFG).

a) Ces deux plans sont coupés par le plan (EHD).

Nommer les droites d’intersection.

b) Comment sont ces deux droites entre elles ?

c) Ces deux plans sont coupés par le plan(AFG). Nommer les droites d’intersection.

Comment sont ces deux droites entre elles ?

Exercice 1 Résumé Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les

droites d’intersection sont parallèles.

Les plans P1 et P2 sont parallèles. Ils sont tous les deux coupés par

le plan P3 selon les droites (AB) et (CD). Ces droites sont parallèles.

II) Toujours sur la même figure, le pavé droit ABCDEFGH.

1°)

a) Citer des arêtes parallèles au plan (ABC). Sont elles parallèles entre elles ?

b) Citer des plans parallèles à (HD).

c) Citer des plans parallèles à (ED).

2°)

a) Citer des droites perpendiculaires au plan (EHD.

b) Citer des plans perpendiculaires à (FB).

3°) On sait que la droite (FB) est perpendiculaire au plan (ABC). Comment sont les

droites (AB) et (FB), (BC) et (FB), (BD) et (FB) ?

Exercice 2 Résumé

Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point, elle est

perpendiculaire à toutes les droites de ce plan passant par ce point

Séance 1

E

H G

C

B

F

D

A

P3

P1

P2

D

C

A

B

A

F

G H

E

(D)

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Activité 2: Problématique : Conjecturer des propriétés.

Section de solides

I) Sur la figure ci-contre,

1°) Tracer la section du pavé par le plan parallèle à (ABF)

et qui passe par P.

2°) Tracer la section du pavé par le plan parallèle à (EFG)

et qui passe par M.

II) Sur la figure ci-contre,

1°) Tracer la section du pavé par le plan qui contient [PM]

et qui est parallèle à (CD).

2°) Tracer la section du pavé par le plan qui contient [PQ]

et qui est parallèle à (AE).

1°) Un cube est-il un pavé droit ? Quelle est la nature des faces d’un cube ?

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 7cm. On coupe ce cube par un plan parallèle à la face ABCD. Quelle est la nature de la section ? Quelles sont ses dimensions . Calculer son aire.

Résumé La section d’un pavé droit ou d’un cube par un plan

parallèle à une face est un rectangle de mêmes

dimensions que cette face.

La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une

arête est un rectangle.

E F

G

C D

H

A

M

P

B

Q

E F

G

C D

H

A M P

B

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La Sphère et la Boule I) Soit un cercle C(O; R) et [AB] un diamètre de C. Faire tourner le cercle C autour de l’axe

(AB).

1°) Quel solide obtient-on ?

2°) Soient M, E, K, A et B des points de la sphère obtenue. Comparer OM; OE;

OK;OA. Que peut-on dire de tous les points de la sphère ?

II) Donner des objets de la vie courante ayant une forme sphérique.

III) Représentation.

a) Tracer un cercle C de centre O et de rayon R.

b) Dessiner ce cercle quand il a tourné autour de son axe.

IV) On admet les formules de l’aire et du volume de la sphère de rayon R :

Aire = 4..R2 Volume = 34 .R3

Calculer l’aire et le volume d’une sphère de rayon 3 cm.

Résumé

Une sphère est un solide engendré par un cercle qui tourne

autour d’un de ses diamètres.

Une sphère est l’ensemble des points de l’espace situés à

égale distance d’un point donné.

Soit une sphère de centre O et de rayon R notée

S(O; R).

Si M S alors OM = R

Si OM = R alors M S.

Une sphère de rayon R a * pour aire : 4..R2 .

* pour volume :3

4..R3

R

M

O

A

B

E

M

A

B

K

E

M

A

B

O

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Activité 3: Vocabulaire, définitions, Propriétés.

La section d’un cylindre par un plan

perpendiculaire à l’axe du cylindre (ou

parallèle aux bases) est un disque de même

rayon que la base du cylindre.

Fig1

La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe du cylindre est un rectangle.

Fig.2

Exercice 3 Résumé La section d’un cône par un plan

parallèle à sa base est un cercle

dont le centre est le point

d’intersection du plan avec l’axe

du cône.

Le plan (P) coupe le cône selon le

cercle de centre H.

Le cône de hauteur [SH] est une

réduction du cône de hauteur

[SO].

Résumé

La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa

base est un polygone qui est une réduction de la base.

Dans ce cas la pyramide obtenue est une réduction de

la pyramide initiale.

EFGH est une réduction de ABCD.

La pyramide SEFGH est une réduction de la

pyramide SABCD.

Séance 2

H

O

P

S

B

A

E F

G H

S

A

D C

B

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Résumé

On se donne une sphère de centre O et de rayon r et un plan (P) situé à la distance d

de O, d étant inférieure à r.

Si I désigne le pied de la perpendiculaire au plan (P) passant par O, alors la section de

la sphère par le plan est le cercle de centre I

dont le rayon vaut r2 d2.

IM = rayon de la section.

OM = rayon de la sphère.

OI = distance du centre de la sphère au plan.

IM = OM2 - OI2

Quand le plan n‘a qu’un point commun avec la sphère, on dit que le plan est

tangent à la sphère.

P

I

O

M

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Activité 4: Applications

Exercice 1 On considère le verre ayant la forme d’un cône de révolution de hauteur OS = 12cm et de

rayon OA = 3cm.

1°) Montrer que le volume en cm3 du verre est égal à 36.

2°) Avec un litre d’eau, combien de fois peut-on remplir ce

verre entièrement ?

3°) Pour remplir ce verre aux 65 de sa hauteur, quel

volume d’eau utilisera-t-on ? On donnera le résultat au

cm3 près.

4°) Calculer la mesure de l’angle ASO . En donner la valeur arrondie au degré près.

Exercice 2 Calculer le volume en centilitre du verre à pied décrit ci-contre :

Ce verre posé sur un plan horizontal, contient de l’eau.

Le niveau de l’eau est à 4 cm du fond du verre.

Quel est le volume en centilitre de l’eau contenue dans le verre ?

Exercice 3 MONTURES est un pavé droit.

1°) Dans chacun des cas suivants, décrire le plan colorié à l’aide des expressions : « est

parallèle à la face… », « est parallèle à l’arête…. »

2°) Nommer des droites perpendiculaires au plan(OMU).

3°) Nommer des droites perpendiculaires à la droite (EN).

4°) Quelle est la nature du triangle RST ?

Exercice 4 On considère le pavé droit MONTURES de l’exercice 1. Sachant que ES=3cm ; ER=

5cm ; EN=6 cm.

Quelle est la nature et quelles sont les dimensions de la section de ce pavé par un plan

parallèle à :

a) la face MONT ;

b) la face SENT ; c) la face OREN.

Séance 3

S

A O

9 cm

6 cm

M

T N

E

R

O

S

U

M

T N

E

R

O

S

U

M

T N

E

R

O

S

U

M

T N

E

R

O

S

U

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Exercice 5 Un moulin à vent est constitué d’un cylindre surmonté d’un cône de

révolution. Le cylindre et le cône ont la même hauteur h et une base

commune de centre O et de rayon R.

1°) Exprimer le volume du cylindre et du cône en fonction de R et h.

2°) En déduire que le volume du moulin est 3

hR4 2.

3°) On donne R = 3 m et h = 5 m. Calculer la valeur arrondie à 1 m3

près de ce volume.

Exercice 6 Un cylindre et un cône ont une base commune et le sommet O du cône est le centre de

l’autre base du cylindre. Un plan perpendiculaire à l’axe

du cylindre coupe la hauteur [OI] au point E tel que

OIOE =

43 . Le diamètre des bases est 8 cm et OI = 20 cm

1°) Faire un dessin en perspective.

2°) Quelle est la nature des sections du cône et du

cylindre par le plan ?

3°) Représenter en vraie grandeur ces sections.

4°) Calculer de deux façons différentes le volume du

cône de hauteur [OE].

Exercice 4 Une bille a pour rayon 3 cm. 1°) Calculer son aire et son volume. 2°) Cette bille est immergée dans un cylindre contenant de l'eau. Le

cylindre a pour base un cercle de rayon 4cm. Donner au 1/100 de cm près la variation du niveau de l'eau après l'introduction de la bille dans le cylindre.

Exercice 5

Le figure représente une boite formée d'une partie cylindrique et d'une partie hémisphérique. Les dimensions sont portées sur la figure. Calculer l'aire de le boite.

Calculer le volume de la boite.

Exercice 6

Une bouée de signalisation est constituée d’une demi - sphère de 3 m de diamètre, surmontée d’un cône. La hauteur de la bouée est de 4 m. Calculer le volume de la bouée.

E

I

O

3 cm

4 cm

10

4 cm

4 m

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Activité 5: Tâche complexe.

Tâche complexe 1 :

Commentaire Un globe terrestre est nécessaire.

- On repère sur le globe à partir de

l’équateur et du méridien de

GREENWICH.

- Angle du méridien : angle formé par

le méridien et celui de Greenwich, le

sommet étant le centre de la sphère. On

précise si on est à l’Est ou à l’Ouest de

Greenwich.

- Angle du parallèle : angle formé par

le parallèle et l’équateur. On précise si on est au Nord ou au Sud.

On utilise la figure précédente.

Le méridien passant par A est le méridien de Greenwich.

1°) Quel est l’angle du méridien passant par B ? par C ? 2°) Quel est l’angle du parallèle passant par C ?

3°) Sachant que BOA = 45° et COB = 67°, repérer le point C sur le globe.

4°) Sachant que AOE = 30°, POE = 52°, GOE = 30; KOB = 58°, repérer sur le globe les points E, G, P et K.

5°) a) Un point L est sur le même parallèle que P et sur le même méridien que C. Repérer L. b) Un point M est sur le même parallèle que K et sur le même méridien que Greenwich.

Repérer M. Tâche complexe 2 :

Séance 4

N

C

B

O

A E

P

G K

S

Est Ouest

Equateur

Méridien de

Greenwich

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Activité 6: Bilan sur les sections

mme.

Séance 5

Année 2017-2018

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Activité TICE :