Année 2017-2018

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Moyen mnémotechnique : CASSE TOI : CAH-SOH-TOA

Séquence 9 : La Trigonométrie

Objectifs :

Connaitre les définitions de cosinus, sinus, et tangente Reconnaitre le côté opposé et le coté adjacent à un angle et l’hypoténuse Savoir calculer un angle connaissant 2 longueurs d’un triangle rectangle Savoir calculer une longueur connaissant une longueur et un angle dans un triangle

Faire marquer le devoir maison dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Jeudi 18 Janvier 2018. Objectif : Utiliser les fonctions trigonométriques + Démontrer la formule du cosinus. Ce que le Prof sait et veut m’apprendre:

Séance 1

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Activité 1: Réflexion : Les prérequis.

L’échelle contre le mur Une échelle de 5 m de long est posée contre un mur à 2,50 m de son pied.

1°) Quelle est la hauteur de ce mur ? AC=… … … . . 𝑐𝑚 On donnera le résultat après un arrondi au centimètre

2°) Quel théorème avez-vous utilisé ? …………………………………………. 3°) Dessiner un triangle ABC rectangle en A. La valeur d’AC mesurée

correspond-elle à celle calculée en 1°) AC=… … … . . 𝑐𝑚 4°) Avez-vous pu tracer 2,5m sur votre cahier ? 5°) Quel changement d’échelle avez-vous fait ?

AB= … … … 𝑐𝑚 AC=… … … . . 𝑐𝑚 BC=… … … . . 𝑐𝑚

6°) Prenez votre rapporteur et mesurez l’angle 𝐴𝐵�̂� = … … … ° Prenez votre calculatrice.

Saisissez A quel quotient correspond la valeur trouvée ?

Activité 2: Problématique : Conjecturer des propriétés.

Montrer l’existence du Sinus

Construire un angle aigu 𝑥𝑂�̂�. Soient A et B deux points distincts [Ox). La perpendiculaire à la droite (Oy) passant par A coupe la droite (Oy) en E. La perpendiculaire à la droite (Oy) passant par B coupe la droite (Oy) en F. Faire un dessin.

1°) Montrer que les angles 𝑂𝐴�̂� et 𝑂𝐵�̂� sont égaux

2°) Dans le triangle OAE, exprimer cos 𝑂𝐴�̂� en fonction des longueurs des côtés du triangle

3°) Dans le triangle OBF, exprimer cos 𝑂𝐵�̂� en fonction des longueurs des côtés du triangle

4°) Montrer que 𝐴𝐸

𝑂𝐴=

𝐵𝐹

𝑂𝐵

Trace écrite : Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle s’obtient en calculant le

quotient 𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙

′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

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Activité 3: Vocabulaire, définitions, Propriétés.

Définition : Dans un triangle …………………, on appelle ………………. d’un angle aigu, le …………………… de la longueur du côté ……………………… à l’angle aigu par la longueur de l’hypothénuse.

Propriété : Dans un triangle rectangle pour déterminer la longueur de l’hypoténuse connaissant l’angle et la longueur du coté opposé on utilise la formule suivante :

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 =𝐶𝑜𝑡é opposé

sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) ⇒ 𝐵𝐶 =

𝐴𝐶

sin(𝐴𝐵�̂�)

Propriété : Dans un triangle rectangle pour déterminer la mesure de l’angle connaissant la longueur de l’hypoténuse et la longueur du coté adjacent on utilise la formule suivante :

𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = sin−1 (𝐶𝑜𝑡é opposé

hypothénuse ) ⇒ 𝐴𝐵�̂� = sin−1 (

𝐴𝐶

𝐵𝐶 )

/!\ Sur certaines Calculatrices la touche sin−1 est remplacée par 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 /!\

Propriété : Dans un triangle rectangle pour déterminer la longueur du coté adjacent connaissant la mesure de l’angle et la longueur de l’hypoténuse on utilise la formule suivante :

𝐶𝑜𝑡é 𝑂𝑝𝑝𝑜𝑠é = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 × sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) ⇒ 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 × sin(𝐴𝐵�̂�)

Séance 2

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Activité 4: Applications

Application 1 : CALCULER LA LONGUEUR D’UN CÔTE Le tronc d’un arbre (représenté par [AB]) se trouve coincé entre les berges d’une rivière. Les relevés sont indiqués sur la figure. Quelle est la longueur du tronc d’arbre ?

Application 2 : DETERMINER UN ANGLE AIGU

Application 3 : déterminer un angle aigu connaissant le sinus

Séance 3

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Activité 5: Tâche complexe.

Tâche complexe 1 :

Un viseur placé à 30 m d’un arbre le voit avec un angle de 25°. Le but de l’exercice est de déterminer la hauteur approximative de l’arbre.

Activité 6: TICE

Objectif : Interpréter le cosinus autrement. + Calculer des valeurs grâce au cosinus Compétences : Utiliser un logiciel de géométrie dynamique et un logiciel d’algorithmique Partie A : Objectif de l’activité : Construire le cercle trigonométrique

Séance 5

Séance 4