Armée de Napoléon Article pour Q W97-03 .doc 1er Février 2006 08h57 V 28 08 09 08h30 V 29 11 09 15h40Récupéré 7 11 09 19h01 7 12 09version samedi 20 mai 2023 13h35

(Vidiani Dijon lg_vidiani@club-internet.fr)

Le 18 12 2005 Detrez posait, sur le forum ups-math , le problème suivant (qu'il avait lu mais sans solution dans le forum sci math en 2003), et toute référence plus ancienne et bibliographique sera bienvenue.

L’armée de Napoléon

Les troupes ordinaires de Napoléon étaient disposées en 14 régiments carrés, chaque régiment comportant le même nombre d'hommes.

Les troupes d'élite formaient un quinzième régiment carré, comportant un peu moins d'hommes que chacun des régiments ordinaires.

Napoléon ordonna d'abord à son régiment d'élite de se joindre à 7 régiments ordinaires pour former un grand carré.

Puis, se ravisant, il ordonna aux 7 régiments restants de rejoindre le grand carré pour former un carré encore plus grand, comportant la

totalité de ses troupes. Et c'est dans cette formation qu'il se lança à la bataille.

Combien y avait-il d'hommes dans l'armée de Napoléon ?

J’ai proposé cette question dans la rubrique Questions et réponses de la RMS (Revue de Mathématiques Spéciales) 116ème année, numéro 4 de Mai 2006 pages 158-159, où elle est parue sous le numéro Q561.

(J’ai tenu compte de calculs et de certaines remarques –justifiées- de Michel Collet et Michel Lafond que je remercie ici, pour améliorer voir corriger certains points de la première version : ceci est donc un travail collectif)

Comme nous allons le constater, ce problème recèle trois paliers :

(1) Appelons d le coté du carré des régiments ordinaires, b celui du carré du régiment d'élite, c le coté du grand carré de la première décision, puis a celui du carré plus grand de la dernière décision.(a>c : le deuxième carré est encore plus grand)On tombe sur le système diophantien. (1) 7d2+b2=c2 (2) 14d2+b2=a2 qui équivaut au système  (1) et 2(1)-(2)=(3) b2=2c2-a2

Soit le système (1) 7d2+b2=c2 et (3) a2+b2=2c2 (donc a< c et b<c)

On paramètre la seconde équation (voir Thiberge Arithmétique et Algèbre (Masson 1965) page 293 ; ne jetez surtout pas de tels bijoux ! quel livre actuel aura dans 53 ans

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la même qualité permanente ?), en posant et , il reste à paramétrer en

rationnels le cercle x2+y2=2. On remarque tout de suite que comme b<c et a>c, on a y<1 et x>1.

Comme c’est une conique on coupe par une droite passant par un de ses points U=(1,1)y=1+t(x-1). ; la tangente en U est pour t=-1, et comme y<1 et x>1 l’arc intéressant du cercle est ]UA] où A=(

Ce qui donne après report x 2(1+t 2)+2x(t-t2)+t2-2t-1=0Comme prévu x=1 est solution. Le produit des racines donne que l’autre est ou t<-1

 ; donc

Or <0 doit être rationnel (comme x et y) on pose <-1 (donc p>q)

irréductible.

Donc et

Donc à un multiplicateur entier près (et une permutation de a et b près) on prend a=p2+2pq-q2, b=-p2+2pq+q2 et c=p2+q2

(p>q implique bien a>b, d’ailleurs l’énoncé donne aussi c>b)

On reporte ceci dans (1) et après réduction il reste 7d2=c2-b2=4pq(p2-q2) (4)

d2 est pair, donc d aussi. On pose d=2d’ ; (4) devient 7d’2=pq(p2-q2) (4’)

p et q sont premiers entre eux, si p2-q2 avait un facteur commun avec p, il en aurait avec p2

donc avec la différence p2-q2-p2=-q2 donc avec q. (de même p2-q2 n’ a pas de facteur commun avec q)

p, q, p2-q2 sont donc premiers entre eux et d’après le théorème de Gauss 7 divise p ou q ou p2-q2

• Si p=7p’ il reste d’2=p’q(49p’2-q2) (4-1) (en anticipant ce cas ne donnera aucune solution)

• Si q=7q’ il reste d’2=pq’(p2-49q’2) (4-2)

• Si p2-q2 =7 A il reste d’2=pq A (4-3) (en anticipant ce cas ne donnera aucune solution)

Comme les facteurs qui figurent dans le second membre, sont premiers entre eux, par Gauss tout facteur de d’ ne peut diviser que l’un ou (exclusif) l’autre.

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Premier cas : on peut regrouper les facteurs de d en deux groupes d=ST premiers entre eux de sorte que S2 et T2 ne divisent que deux facteurs (distincts) du second membre.

Mr Collet m’a en effet objecté qu’il est faux de croire que si S et T sont premiers entre eux, et que si p,q et A sont premiers entre eux, l’égalité S2T2=pqA entraîne que l’un des trois nombres p, q ou A vaut 1 : Contre exemple (2*5)2*(7*3)2=102*212=62 * 52 * 72.

Posons d’=ST où les facteurs S et T sont des entiers premiers entre eux

Traitons le cas • d’2=p’q(49p’2-q2) (4-1)D’après ce qui vient d’être dit (hypothèse du premier cas) on ne peut avoir que les trois possibilités 1=p’/S2 q/T2 (49p’2-q2) (I) avec p’/S2 et q/T2 entiers1=p’/S2 q (49p’2-q2)/T2 (II) avec p’/S2 et (49p’2-q2)/T2 entiers1=p’ q/T2 (49p’2-q2)/S2 (III) avec q/T2 et (49p’2-q2)/S2 entiers

(I) conduit à p’=S2 q=T2 et donc 49 S4-T4=1 soit (7S2-T2)(7S2+T2)=1Comme ce sont tous des entiers 7S2+T2=1 7S2-T2=1 donc14S2=2 absurde.(II) conduit à p’=S2, q=1, 49S4-1=T2 soit 49S4-T2=1 et (7S2-T)(7S2+T)=1et comme ce sont tous des entiers 7S2+T=1 et 7S2-T=1 et par addition 14S2=2 encore absurde.(III) conduit à p’=1 q=T2 et 49-T4=S2 ou (7-T2)(7+T2)=S2

Par raison de signe T=0, 1, 2 sont seuls possibles et ne conviennent pas car alors 49-T4 n’est pas un carré d’entier.Le cas (4-1) ne donne aucune solution.

Traitons maintenant le cas • d’2=pq’(p2-49q’2) (4-2)

D’après ce qui vient d’être dit on ne peut avoir que les trois possibilités 1=p/S2 q’/T2 (p2-49q’2) (I’) avec p/S2 et q’/T2 entiers1=p/S2 q’ (p2-49q’2)/T2 (II’) avec p/S2 et (p2-49q’2)/T2 entiers1=p q’/T2 (p2-49q’2)/S2 (III’) avec q/T2 et (p2-49q’2)/S2 entiers

(I’) conduit à p=S2, q’=T2 et S4-49T4=1 soit (S2-7T2)(S2+7T2)=1donc S2-7T2=1 et S2+7T2=1 et par différence 14T2=0 ce qui est absurde (T facteur de d’).(II’) donne p=S2 ; q’=1 et p2-49=T2 soit S4-T2=49Donc (S2-T)(S2+T)=49.Comme S2-T< S2+T il n’y a que la possibilité S2-T=1 et S2+T=49Donc 2S2=50 soit S2=25 et S=5 et T=S2-1=24Soit p=S2=25, q’=1 : le report dans les formules initiales Avec p=25 et q=7q’=7 (p et q sont bien premiers entre eux)a=p2-2pq-q2, b=-p2-2pq+q22 et c=p2+q2

donne : a=226=2*113, b=-926=2*463 (comme b n’intervient que par son carré on peut changer de signe) et c=674=2*337 ; enfin d=2d’=2ST=2*5*24=10*24=240=2*120; comme on doit avoir b<d, comme prévu, on doit permuter a et b et on a la solution (Brette p 102 dit que 226 est la plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de diviseurs de Q( ) est égal à 8, et que 240 est la longueur des cotés de la plus petite brique de Pythagore connue )

b=226=2*113, d=240=2*120 et l’armée a comme effectif N=14d2 +b2 =14*(240)2+(226)2 =a2=4*(463)2 grenadiers

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En fait b et d étant pairs tous les deux, ce n’est pas la solution générique et on a :

b=113, d=120 (a=463, c=337) et l’armée a comme effectif N=14d2 +b2=a2=(463)2 =14*(120)2+(113)2=214369 grenadiers

L’armée de Napoléon comprenait donc 14 régiments ordinaires de 14400 hommes, un régiment d’élites composé de 12769 hommes, soit une armée de 214369 hommes.

On en déduit toutes les solutions proportionnelles (ka, kb, kc, kd) k entier .

Il reste quand même une autre question : peut-on trouver une autre solution non proportionnelle à celle-ci ?

(14d+b=1793 est riche pour les Bonaparte : Octobre 1792 - juin 1793 : dernier séjour en Corse : les Bonaparte doivent quitter l’île et vont se fixer à Toulon. Octobre 1793 : Bonaparte reçoit le grade de capitaine et le commandement de l’artillerie républicaine positionnée devant Toulon. 28 octobre 1793 : Il est promu chef de bataillon. 18 décembre 1793 : les Anglais évacuent Toulon. 22 décembre 1793 :  Bonaparte est promu général de brigade.

113 : valeur de x pour laquelle 1/x avec pi premier atteint son maximum. On sait que

la limite de cette fonction pour x tendant vers l’infini est égale à e base des logarithmes népériens. 113 est aussi le plus petit nombre premier à trois chiffres tel que tout autre arrangement de ses chiffres donne un autre nombre premier (les autres sont 337 justement et 199).120 : Les diviseurs de 120 permettent de construire un système de congruences couvrant N avec n1=3 ; la somme des diviseurs de 120 est égale à 360 (Découverte faite par Marin Mersenne). On a donc pour n=120, avec k=3. De tels nombres sont dits k-fois parfaits. On ne connaît que 6 nombres tri-parfaits ; 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 31001180160. On conjecture qu’il en existe pour chaque valeur de k). 120 est le 15ème nombre triangulaire et le 8ème nombre tétraédral, formé en additionnant les nombres triangulaires 120=1+3+6+10+…+28+36 ; 120 est le plus petit nombre apparaissant 6 fois dans le triangle de Pascal ; c’est aussi le plus petit multiple de 6 tel que 6n+1 et 6n-1 sont tous les deux composés. 120 est le plus petit nombre ayant 16=24 diviseurs. Le plus petit nombre ayant 2n diviseurs est obtenu en multipliant entre eux les n premiers termes de la suite 2 3 4 5 7 11 13 16 17 19 23 25 29…qui comprend tous les nombres premiers et leurs puissances).

(III’) donne p=1 q’=T2 et 1-49T4=S2 soit 1=49T4+S2 impossible avec T non nul.

Traitons le dernier cas • d’2=pq A (4-3)On rappelle que A=(p2-q2)/7.

Là encore il n’y a que trois possibilités

1=p/S2 q/T2 A donc p=S2, q=T2 et A= 1 (I’’)1=p/S2 q A/T2 donc p=S2, q=1 A=T2 (II’’)1=p q/T2 A/S2 donc p=1 q=T2 A=S2 (III’’)

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(II’’) donne S4-T4=7 : (S2-T2)(S2+T2)=7 donc (raison d’ordre) S2-T2=1 et S2+T2=7 et 2S2=8 ; S=2 et T2=3 qui n’est pas carré.

(II ‘’) conduit à S4-1=7T2 : (S2-1)(S2+1)=7T2

S2-1=7 ou 1, S2+1=T2 ou 7T2  : S2 =8 ou 2 ne convient pas

(III’’) conduit à 1-T4=7S2 qui ne peut convenir dès que T>0. (S nul ou S2 négatif).

Second cas : on peut regrouper les facteurs de d en trois groupes d=ST U premiers entre eux de sorte que S2 et T2 et U2 divisent chacun un facteur du second membre. (Non traité)

(2) La famille de solutions non proportionnelles, trouvée par Michel Lafond (famille que j’appellerais exotique ou sporadique par analogie avec la classification des groupes).

(solution de Michel Lafond, à laquelle j’ai rajouté quelques éléments pour montrer comment il en a eu l’idée)

On a vu que le problème :

Se résout ainsi :

l'effectif total étant N = a2.

Comme on suppose évidemment a, b, c, d premiers entre eux , cela impliquep, q premiers entre eux et de plus, le produit pq est pair (car si on avait p,q impairs a,b,c,d seraient tous pairs).Donc ils sont de parité différente (s’ils étaient tous deux pairs, ils ne seraient pas premiers entre eux).

L'équation intéressante est donc :

Les deux plus petites solutions de cette équation obtenue par informatique sont :p = 16 (pair) q = 9 b=113 , a=463 d = 120 p2-q2=25*7. puisp = 113569 q = 100800 (pair) d = 4231560720donnant respectivement les effectifs armés de N = 214369 puis N = 657039828906701761921.

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(E) avecp, q premiers entre eux et le produit pq pair. (donc de parités différentes).

(On vérifie par exemple avec l’aide de Maple que p = 113569 q = 100800 (pair) d = 4231560720, correspond au « second cas évoqué ci-dessus : les facteurs de d se décomposent en trois groupes)

Lafond pense que la suivante est N = 160223862552851202750422649322224346692910921717571829231538086868448412642583918081

Il est facile de montrer que (E) a une infinité de solutions (non proportionnelles) grâce à la remarque suivante :

Si p, q, a, b, c, d est une solution de (S) alors

p' = c2 = (p2 + q2)2 q' = 7 d2 = 4 pq (p2 – q2) et a' = p' 2 + 2p'q' – q' 2 b' = – p' 2 + 2p'q' + q' 2 c' = p' 2 + q' 2 d' = 2 a b c den est une autre.

En effet, avec les valeurs ci-dessus, on a :

p' – q' = c2 – 7 d2 = (p2 + q2)2 – 4 p q (p2 – q2) = (– p2 + 2pq + q2)2 = b2 (=c2-7d2)p' + q' = c2 + 7 d2 = (p2 + q2)2 + 4 p q (p2 – q2) = ( p2 + 2pq – q2)2 = a2 (=14d2+b2=c2+7d2)

p’-q’ et p’+q’ sont des carrés qu’on a l’idée de choisir pour l’équation (E) appliquée à 7d’2

et oh ! surprise p’= (car rappelons b2=2c2-a2) et q’=7d2=c2-b2.

donc :

7d’2=4 p'q' (p' 2 – q' 2) = 4 c2 7 d2 (p' - q' ) (p' + q' ) = 28 c2 d2 b2 a2 = 7 (2 a b c d)2 = 7 d' 2.

CQFD.

C'est avec ça que Lafond a trouvé N = 657039828906701761921 sans informatique !

Remarque :Le balayage informatique est facilité par le fait que d'après (E) p, q, p – q et p+ q sont tous soit des carrés, soit 7 fois des carrés.

En outre il est commode d’exprimer la nouvelle solution (a’,b’,c’,d’) en fonction de l’ancienne (a,b,c,d).a’= =c4+2c2(c2-b2)-(c2-b2)2=2c4-b4

b’= =-c4+2c2(c2-b2)+( c2-b2)2=2c4-4b2c2+b4

c’= =c4+( c2-b2)2=2c4-2b2c2+b4

d’=2abcd

Lafond propose ensuite, une autre démonstration, qui d’une part donne un aspect plus symétrique et d’autre part explicite une descente infinie pour trouver des solutions non proportionnelles :

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Le problème : (P) équivaut au problème (Q)

qui a l'avantage d'être symétrique. C'est cette symétrie qui mène à la descente infinie qui suit.

On a vu que (Q) se résout ainsi :

l'effectif total des armées étant N = a2.

Comme on suppose évidemment a, b, c, d premiers entre eux , cela impliquep, q premiers entre eux et de plus, le produit p.q est pair (car si on avait p, q impairs a, b, c, d seraient tous pairs)

Résoudre (Q) c'est résoudre (E), l'équation intéressante est donc :

Les cinq plus petites solutions de cette équation obtenue par informatique sont :

solution1 : p = 16 q = 9 d=120 armée1 = 214369

solution 2 : p = 113569 q = 100800 d = 4231560720 armée2 = 657039828906701761921

solution 3 : p = 463864517776 q = 38766853449

armée3 = 62316413757426104858147698236934165624662392929

solution 4 : p = 531697086017373333121 q = 125342742889328428800

armée4 = 160223862552851202750422649322224346692910921717571829231538086868448412642583918081

solution 5 : p = 200139930861618025427385437470096q = 199325741801237507484739621955529

armée5 = 641782374383485857861311444744260674371386750902300982361514046187238344922457240454000280939888377592776474830833246901748

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Le balayage informatique est facilité par le fait que d'après (E) p, q, p – q et p+ q sont tous soit des carrés, soit 7 fois des carrés. Il serait d’autre part intéressant de suivre le taux de croissance des solutions (p,q,d,armée).

Il est facile de montrer que (E) a une infinité de solutions grâce à "une descente infinie" :

******************************************************************************7

(E) avec p, q premiers entre eux et le produit p.q pair.

Voici comment j'ai (je=Lafond) trouvé "la descente infinie" :Partant de (E) je pose naturellement d = 2 d1 et q = 7 q1 (pour voir)Après simplification par 28 on arrive à d1

2 = p q1 (p 2 – 49 q1 2) (E1)

Je pose (pour voir) : p = 2 et q1 = 2.(E1) donne d1

2 = 2 2 ( 2 – 7 2) ( 2 + 7 2) (E2)

On voit alors le rapport avec (Q) et il est naturel de poser (Q')

C'est comme (Q) mais avec des lettres grecques !!!Finalement, on a ceci : Dès que (Q') est satisfait avec , , , (S) l'est automatiquement en prenant :p = 2 q = 7 q1 = 7 2 d = 2 d1 = 2 d'après (E2)En changeant les lettres :Dès que (P) est satisfait avec a, b, c, d on a automatiquement une autre solution en prenant p' = c2 q' = 7 d 2 d' = 2 a b c d.

Illustration par Esculier : Les deux équations initiales peuvent être illustrées : (en bleu les régiments ordinaires, en rouge le régiment d’élite)

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(3) Mais on reste sur sa faim : on a bien une infinitude de solutions non proportionnelles, mais on ne sait toujours pas si les solutions trouvées sont les seules.Il va falloir passer à un niveau stratosphérique. Le 16 février 2006, en cherchant à l’aide de Google « Equations diophantiennes », je tombais sur des sites avec des articles d’André Chatelet (Sur l’arithmétique des courbes de genre un) et sur le site de Guillaume Hanrot, directeur de Recherche, de l’Inria qui répondit précisément à mes questions et ce par retour de mail, réponses qui me permirent d’avancer.Je remercie Guillaume Hanrot, Paul Zimmermann directeur de Recherche également à l’Inria et Denis Simon directeur de Recherche à l’Université de Caen, dont les indications m’ont beaucoup aidé pour cette dernière partie.

J’admets que les lecteurs de cette troisième partie connaissent la théorie des fonctions elliptiques, dont j’adopte la notation standardisée, qu’ils peuvent rafraichir à l’aide de la bibliographie suivante :

BIBLIOGRAPHIE SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES :

Paul APPEL dont le cours sur les fonctions elliptiques (Gauthier Villars 1897), est en ligne, numérisé : http://math-doc.ujf-grenoble.fr/LiNuM/TM/Gallica/S099560.html

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et téléchargeable par exemple en pdf en : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995607 (cliquer sur télécharger) ; La condition pour que quatre points d’une biquadratique gauche soient co-planaires est page 163Les livres d’Halphen (Gauthier-Villars, 1886-1891) et de Greenhill qui se sont également beaucoup intéressés aux fonctions elliptiques sont également téléchargeables dans les mêmes conditions : il suffit de taper leur nom d’auteur enhttp://gallica.bnf.fr/ (comme Appel a fait une préface du livre de Greenhill, mettre Appell suffit pour donner la piste de tous ces ouvrages) ;

Jacques CHAPELON : Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique 1ère division 1949-1950 ; chapitre 2 IV141 à IV189 puis IV 327, 437, 445, 332, 336, 338 (biquadratique gauche), 347

Jean FAVARD cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique tome II (représentations, Fonctions analytiques) Gauthier Villars 1960, pages 401-433 et chapitre fonctions algébriques d’une variable p495-546.

Camille JORDAN, cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, tome 2 calcul intégral (Gauthier Villars Nouveau tirage 1959 p 378-621, (les trois tomes furent édités de 1882 à 1915, il enseigna à l’X de 1876 à 1911-1912, après y avoir été répétiteur de 1873 à 1875)

Georges VALIRON, théorie des fonctions (Masson 1955) p 432-489.

Mais il ne faut surtout pas oublier l’article fondateur de Clebsch (journal de Crelle LXIII=64 de 1864 http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=266576 pages 289-243, que l’on obtient par http://www.numdam.org/dossier.php3?id_article=50 dont les idées furent aussi par la suite démontrées aussi par Laguerre (1870), Léauté (1876,1879), Harnack (1877), Cayley (1885) qui en ajoutèrent d’autres. Les pages à partir de 235, sont particulièrement prémonitoires.

Petit clin d’œil, pour Clebsch voir aussi l’article 1 de http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/html/juel/juel.html

Bibliographie accessible sur le web (le premier lien devrait suffire)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_elliptique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_elliptique_de_Jacobi http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_elliptique

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass's_elliptic_functions http://www.normalesup.org/~glafon/maths/courbes_elliptiques.pdf http://promenadesmaths.free.fr/elliptiques/Fonctions_Elliptiques.pdf http://pagesperso-orange.fr/fonctionelliptique/index.htm

(3-1) Premier point de vue elliptique (plan)

Nous avons vu que tout reposait sur la résolution de l’équation (E) . 7d2=c2-b2=4pq(p2-q2) Pour se ramener à une courbe elliptique sous une forme standard, on fait le changement de variable

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X=7*p/q, Y=72*d/(2*q2) par conséquent Y2=74*d2(4*q4)=7*49*(p3/q3-p/q)=X3-49X.

Soit Y2= X3-49X=X(X-7)(X+7) (C)Le problème est ainsi ramené à rechercher les points rationnels de cette cubique, officiellement appelée courbe elliptique définie sur Q corps des rationnels, avec 2-torsion complète. (Un exemple de résolution d'une telle équation est donné dans le livre de Silverman 'The Arithmetic of Elliptic Curves', Chap X, prop 1.4 + exemple1.5. pages 281-284)

Or cette cubique est de genre 1 (elle n’est pas unicursale, car on vérifie qu’elle n’a pas de point double)(voir par exemple Jordan tome 1 page 614 et tome 2 p 602 et Chapelon IV 178-181), elle est donc la transformée homographique de la cubique y2=4x3-g2x-g3, pour utiliser les notations standards, construisons donc une fonction p correspondant aux invariants g2 et g3, on aurait la représentation paramétrique x=p(u), y=p’(u). (on pourrait pour (C) se ramener à cette forme, avec g2=49*2(2/3) et g3=0, en posant X=2(2/3)x, mais on détruirait le caractère rationnel des points recherchés).

Cependant, la représentation paramétrique de (C) ainsi obtenu X=2(2/3)p(u), Y=p’(u), qui est un cas très particulier de celle de Chapelon IV 181, permet de montrer qu’une condition nécessaire et suffisante d’alignement de trois points de paramètres u i sur (C) est u1+u2+u3=période de p ;Par morphisme évident, si l’on considère le point C de paramètre u’3=-u3=u1+u2, la loi définie par M’3=M1+M2, est une loi de groupe abélien sur (C), dont le point neutre associé à u=0 est le point à l’infini de (C), point à l’infini de l’axe des Y. Géométriquement M’3 est le symétrique du troisième point d’intersection avec (C) de la droite M1M2, avec classiquement cette droite devenant la tangente en M1 au cas où u1=u2+ période.

D’ailleurs si on note (x1,y1) et (x2,y2) les coordonnées respectives des points M1 et M2 , cette interprétation géométrique permet un calcul élémentaire des coordonnées du point M’3=(x’3,y’3). Démonstration que l’on peut refaire mais qui est aussi dans le document « courbes elliptiques et applications » journée annuelle de la société mathématique de France, samedi 24 janvier 1987) page 39 pour y2=x3+ax+b (ici a=-49,b=0) et même généralisé, en passant en coordonnées homogènes, page 61 pour y2=x3+ax2+bx+c=f(x) (ici a=0,b=-49,c=0).Dans l’exemple qui nous préoccupe, en posant m=(y2-y1)/(x2-x1) si M2≠M1 et m=(3x1

2+a)/2y1

sinon on a la loi (x1,y1) * (x2,y2)= (x’3,y’3)=(m2-x1-x2,-m3+m(2x1+x2)-y1). On vérifie d’ailleurs rapidement que y’3 est bien une expression symétrique et vaut aussi -m3+m(2x2+x1)-y2. Ce qui assure la commutativité du groupe, mais évidemment, les axiomes de groupe sont moins faciles à vérifier sous cette forme, que par le morphisme sur les paramètres, évoqué supra.

D’un programme animé en Maple, qui peut être envoyé par mail à tout lecteur m’en faisant la demande, fait par mon collègue Alain Esculier, dont les sites http://aesculier.fr/ et http://aesculier.chez-alice.fr/ sont extrêmement riches et valent un grand détour, je tire l’image suivante :

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Sans vouloir utiliser (si un lecteur fait ce calcul, il m’intéresse) la formule d’addition de la fonction p, le calcul fait en http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_elliptique montre élémentairement que M’3 est un point rationnel de (C) si M1 et M2 le sont. La loi interne définie sur (C) par restriction aux points rationnels est donc aussi une loi de groupe abélien.

Or le théorème de Mordell-Weil (Mordell 1921, généralisé par Weil aux variétés abéliennes en 1928) dit que le groupe des points rationnels sur une cubique de genre 1 est abélien de type fini. Malheureusement ce théorème d’existence n’est pas constructif, et il faut utiliser un programme (par exemple Magma, ou Sage, connus des spécialisteshttp://modular.math.washington.edu/talks/2006-07-09-cnta/2006-07-09-cnta.pdf ) pour obtenir le nombre des générateurs et en exhiber. Puis les convertir sous la forme (p,q) du paramétrage précédent.

Or une entrée du style sage : E=EllipticCurve(QQ[-49,0]) (vous reconnaissez les invariants de (C)) dit en réponse que le point P0=[25,120] est un générateur et que le groupe est d’ordre 1.

Ecrivant alors 25=X=7p/q on a p=25 et q=7 puis Y=120=49d/(2*49) soit d=240 et on retrouve bien les éléments donnés par la première méthode. Le fait que cette solution est génératrice, peut se faire en montrant qu’il n’y a pas de solution « moindre ».

On a la réponse à la seconde question, les solutions donnée dans la seconde méthode, par Lafond, correspondent en fait, comme on le vérifie en calculant 2*P0, 4*P0… aux solutions 2n*P0 alors que la solution générale est donnée par Pn=n*P0=P(n-1)+P0.

(3-2) Second point de vue elliptique (Espace)Dans la seconde méthode, Lafond a prouvé que le problème se ramenait au problème (Q)

En passant en coordonnées homogènes (a,b,c,d) et en posant x=a/d ; y= b/d et z=c/d on est amené à paramétrer en points rationnels la biquadratique gauche B=[x2=z2+7,y2=z2-7] ;

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B est l’intersection de deux cylindres du second degré, hyperboliques à axes orthogonaux (l’équation générale d’un cylindre est f(P,Q)=0 où P et Q sont les premiers membres de l’équation de plans : ici pour le premier cylindre P=x, Q=z). (voir à la fin les références : Painlevé 1833 et Painvin analytiquement en 1868 que toute biquadratique par une telle courbe passent 4 cônes ou cylindres du faisceau qu’elle détermine)

Du même programme Maple, je tire l’image suivante :

En voici deux autres vues :

Signalons en passant que nous avons de la chance que les deux quadriques porteuses soient sous forme réduite, car le problème de la réduction simultanée de deux formes quadratiques de matrices respectives A et B n’est possible qu’à la condition que la matrice A(-1)B soit diagonalisable. (reportez vous à tout bon cours de mathématiques spéciales par exemple Râmis, Odoux, Deschamps, tome 2 Masson 1979, page 35).

De plus, il ne faut pas croire qu’une courbe gauche comme la précédente, du quatrième ordre, soit automatiquement une biquadratique (intersection de deux quadriques). Pour répondre à une question : « Est ce que toute courbe de l’espace est l’intersection de deux surfaces », de W7= WWWWWWW à Demazure en fin d’une conférence X-UPS le 20 mai 1980, il y a effectivement de telles quartiques qui ne sont portées que par une seule quadrique : Bioche l’ a prouvé en 1905 (Bulletin 83 SMF p 18-25). y3=x4+1 de genre 3 est une candidate car elle est de genre 3 alors que toute bi-quadrique est de genre 0 (si elle est unicursale) ou de genre 1 ; Teixeira tome 2 p 418 dit que

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Salmon et Cayley (Cambridge Mathematical Journal 1850) ont remarqué qu’il existe des quartiques gauches par lesquelles il ne peut passer qu’une quadrique. Rappelons que contrairement aux œuvres de Hardy qui sont sur le web en accès payant, les 14 volumes numérisés sont en accès libre en http://www.archive.org/search.php?query=the%20collected%20papers%20cayley (ils sont aussi en accès libre ailleurs) ; vous pouvez même choisir votre format (par exemple pdf) ; il a écrit 967 articles  : hallucinant, Cayley a écrit une moyenne de 26 articles de 10 pages par an pendant trente six ans (entre 1841 et 1876), une moitié en anglais et l'autre en français.  

Commençons doucement : réduisant une méthode proposée par Teixeira p 418, je coupe les cylindres porteurs par x=tz, y=uz ; il vient (t2-1)z2=7 et (u2-1)z2=-7 donc u2-1=1-t2 soit t2+u2=2 soit t=2(1/2)cos s et u=2(1/2)sin s, d’où le paramétrage de la biquadratique B [x=2(1/2)

(cos s) z, y=2(1/2)(sin s) z, z=±(7(1/2)/(2 cos2 s-1)(1/2)], mais celui-ci n’étant pas rationnel (et pour cause, la biquadratique n’est pas unicursale car de genre 1) ne peut, en dépit de sa relative simplicité, venir à notre secours. (Une démonstration du fait qu’une biquadratique non décomposée est de genre 1 se trouve par exemple en utilisant la formule du bas de la page 161, de l’ouvrage de Daniel Perrin «Géométrie Algébrique» EDP 1995, qui donne le genre de l’intersection « complète » de deux surfaces algébriques de degrés respectifs s et t :

g= -  ; en y faisant s=t=2 (quadriques), et avec la convention

classique que le coefficient binomial est nul dès que n<k, on a bien g= -

=1-0-0=1). On peut aussi utiliser la formule g=(a-1)(b-1) où d=a+b ici d=4 a=2 b=2 démontrée par Robin Hartshorne algebraic geometry Springer Verlag 1977 chapitre IV paragraphe 6 rappelée au séminaire Bourbaki 34ème année 592 juin 1992 par Hartshorne page 301.

Or Clebsch, déjà évoqué dans le paragraphe sur la bibliographie des fonctions elliptiques, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Clebsch.html établit en 1864 dans un article du journal de Crelle tome LXIII p 189-243, qu’une telle courbe gauche peut être paramétrée au moyen des fonctions elliptiques. D’après Teixeira tome II p 422, Laguerre, Chasles, Léauté, Harnack et Cayley en 1885 établirent des résultats analogues et en découvrirent d’autres. En tout cas bien avant Weil. (Tuyrin –décédé en 2002– On intersection of quadrics Russian math surveys 30 6 (1975) p 51-105 qui page 55 attribue à Weil, cette première idée d’association). Dieudonné géométrie algébrique tome I PUF 1974, page 164, confirme l’antériorité du travail de Clebsch et rappelle que le cas g=1 est particulièrement intéressant car la courbe peut alors être identifiée à sa jacobienne J, dont les endomorphismes sont appelés des « multiplications complexes », premier prémice vers une loi de groupe.

Il faut donc retourner aux fonctions elliptiques ; j’utilise, toujours avec les notations classiques Chapelon IV p338-341) : les relations dites quadratiques donnant en coordonnées homogènes X2-Z2+(e1-e3)T2=0 ; Y 2-Z2+(e2 -e3)T2=0 ; on est donc ramené à e1-e3=-7 et e2 -e3=7 ; d’où la représentation paramétrique[X=σ1(u), Y= σ2(u), Z= σ3(u), T= σ(u)] ; on rappelle que ei=p(wi) avec 2w3=-2w1-2w2 est la période complémentaire ; la compatibilité de ce système étant assurée par la théorie des fonctions elliptiques.

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Chapelon IV 341 montre que quatre points de paramètres u i de la biquadratique B sont coplanaires, si et seulement si la somme de leur quatre paramètres est une période commune à toutes les fonctions sigma du paramétrage soit 4w1 et 4w2.

Prenant, u=0 qui donne un point neutre (1,1,1,0) (donc à l’infini commun aux deux cylindres, dans la direction x=y=z), on peut comme plus haut dans le cas 3-1, établir une loi de groupe abélien qui à M(u1) et M(u2) associe M(-u1-u2) ; Le théorème de Mordell Weil assure également que le groupe des points rationnels de la biquadratique est fini.

Mr Hanrot, m’a suggéré par mail, le 20 février 2006, d’utiliser l’artillerie lourde des fonctions theta, pour paramétrer la biquadratique et pour exprimer le composé de deux points sur la biquadratique étudiée :

(a1, b1, c1, d1)*(a2, b2, c2, d2)

En attendant (voir la demande ci-dessous), une méthode plus rigoureuse, voici une façon, que je reconnais provocatrice, pour obtenir ce résultat.

Dans l’article des frères Chudnovsky écrit en 1986, « Sequences of Numbers Generated by Addition in Formal Groups and New Primality and Factorization Test (Advances in applied mathematics 7 p 383-434 (1986), dont on peut demanderr des photocopies par l’intermédiaire de toute bibliothèque universitaire, ou directement par http://portal.acm.org/citation.cfm?id=9301 , les auteurs, page 417, considèrent la biquadratique, intersection des deux quadriques S2+C2=T2, k2S2+D2=T2, et en la paramétrant au moyen des fonctions sn, cn et dn de Jacobi, dont on connaît les formules d’addition, donnent les coordonnées du composé de paramètre u1+u2 des deux points de paramètres respectifs u1 et u2. (formule 4,9i) de la page 417. (Cette formule est recopiée ci-dessous, environ au milieu de la page 20).

Or la biquadratique du problème des armées de Napoléon est d’équations rappelons-le c2-7d2=b2, c2+7d2=a2,

J’écris les équations des deux quadriques de l’article des frères Chudnowsky sous la forme T2-S2=C2, T2-k2S2=D2.Jusque là tout est licite.C’est à partir de maintenant que le lecteur est prié de fermer les yeux en lisant les deux lignes qui suivent :Je pose T=c, S= d (je n’en ai pas le droit, car je perds la rationalité), C=b, D=aEt enfin k2=-1 (je n’en ait pas le droit car k2= )4

Maintenant vous pouvez rouvrir les yeux.(Euler sommait bien des séries divergentes, ses calculs furent justifiés par les travaux de JP Râmis sur cette théorie, Heaviside intégrait des fonctions infinies en 0, ce qui fut justifié par la théorie des distributions, Feyman introduisit la renormalisation pour supprimer les infinis, en reconnaissant au début qu’il avait des doutes sur ce tour de passe-passe)1.

1 Quand sur une personne on prétend, se régler, c’est par son beau coté qu’il lui faut ressembler….(Les femmes savantes, acte 1 scène 1 Molière) : Ma provocation est volontaire et a pour but soit de faire réagir ceux qui savent et rétentionnent, soit de mettre le doigt où cela fait mal : les calculs non faits, ou bricolés sur chaque cas particulier : balayer, ignorer superbement, la question ou traiter de givré celui qui dérange en la posant, est un argument facile évitant de répondre à la vraie question. (Edgar Poe : le scarabée d’or : « Ma foi ! pour être franc, je vous avouerai que je me sentais quelque peu vexé par vos soupçons relativement à l’état de mon esprit, et que je résolus de vous punir tranquillement, à ma manière, par un petit brin de mystification froide. ». « Un imbécile qui marche va plus loin qu’un intellectuel assis » http://www.linternaute.com/citation/3870/un-intellectuel-assis-va-moins-loin-qu-un-con-qui-marche-michel-audiard/

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La justification peut provenir d’une extension de corps, ou d’un succédané de prolongement analytique des séries entières associées aux fonctions de Jacobi.

Les formules de composition de deux points page 417 de l’article ci-dessus cité des frères Chudnovsky donnent :

S3= d3=c1b2 d1a2+a1 d2b1c2 : le se simplifie (c’est une sorte de renormalisation http://fr.wikipedia.org/wiki/Renormalisation , http://www.lptl.jussieu.fr/users/lesne/FM98.pdf , http://gicotan.club.fr/DossierPoly2003/2003_II2.htm , http://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman : j’ai fait disparaître les parasites)

d3=c1b2d1a2+a1d2b1c2

De même C3=b3=c1b2b1c2-a1( d2)( d1)a2 : le ( )2=7 est rationnel et b3=c1b2b1c2-7a1d2d1a2 .

D3=a3=c1a1c2a2+ ( d1)b1( d2)b2= c1a1c2a2+ 7d1b1d2b2 : là encore ( )2=7 est rationnel. On a utilisé aussi le fait que k2=-1.

Enfin T3=c3=(c1b2)2+(a1 d2)2=(c1b2)2+7(a1d2)2

On a donc la formule algébrique de composition de deux points sur la biquadratique initiale :

(a1, b1, c1, d1)*(a2, b2, c2, d2) =( a3= c1a1c2a2+ 7d1b1d2b2, b3=c1b2b1c2-7a1d2d1a2, c3=(c1b2)2+7(a1d2)2, d3=c1b2d1a2+a1d2b1c2)

(a1, b1, c1, d1)*(a2, b2, c2, d2) =(c1a1c2a2+ 7d1b1d2b2,c1b2b1c2-

7a1d2d1a2, (c1b2)2+7(a1d2)2, c1b2d1a2+a1d2b1c2)

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(a1, b1, c1, d1)*(a2, b2, c2, d2) =(c1a1c2a2+ 7d1b1d2b2,c1b2b1c2-

7a1d2d1a2, (c1b2)2+7(a1d2)2, c1b2d1a2+a1d2b1c2)

Il y a quand même un souci pour le point neutre (1,1,1,0) : en effet (a1, b1, c1, d1)*(1,1,1,0)=(a1c1,b1c1,c1c1,d1c1), et si c1=0, (0,0,0,0) ne correspond à aucun point en coordonnées homogènes, il faut convenir de « simplifier par c1 ».

Evidemment, la loi est plus compliquée que dans l’aspect plan 3-1, par contre son expression est valable quels que soient les points M1 et M2.

Je promets l’envoi d’une bouteille de Bourgogne 2003 Mercurey (Mathématique), cuvée spéciale Meray,http://home.nordnet.fr/~ajuhel/Meray/Meray.html , et http://smf.emath.fr/Publications/Gazette/2005/103/smf_gazette_103_53-56.pdf au lecteur qui m’enverra le premier soit à mon adresse postale (la demander) soit à mon adresse mail, rappelée en tête de l’article, une photocopie, sinon un fichier numérisé pdf, du calcul COMPLET et justifié, de (A,B,C,D) coordonnées de M1* M2, exprimées ci-dessus.En effet je suis très curieux de voir comment on utilise les fonctions théta pour obtenir cette expression. Les formules d’addition sur les fonctions théta (voir par exemple Tata lectures on theta I –Modern Birkhäuser Classics 1983- par David Bryant Mumford page 22-23 ; « Tata » provient du fait que ce sont des exposés donnés au Tata Institute of Fundamental Research à Bombay. Tata est le nom du mécene qui a financé la création de cet institut : http://www.tifr.res.in/)) sont tellement imbriquées (toutes utilisent θ(x+u)*θ(x-u), ceci est expliqué dans Cassels Prolegomena p 23) que leur exploitation semble très hermétique. David Mumford, dont les recherches on fait beaucoup pour relancer l’étude classique des fonctions theta, a reçu la médaille Fields en 1974 pour ses travaux en géométrie algébrique en particulier pour l’étude des « déformations des fibrés algébriques à l’aide de la théorie des invariants ». Lire http://fr.wikipedia.org/wiki/David_Mumford et http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mumford.html

L'opposé d'un point (a, b, c, d) est (a, b, c, -d). L'élément neutre est [1, 1, 1, 0]. Les trois points de 2-torsion correspondent à changer les signes (3 points seulement, car coordonnées projectives). Par logiciel, le groupe est de rang 1 et la solution [a0=463, b0=113, c0=337, d0=120] est fondamentale. (pour s’informer sur les points de torsion http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien_de_type_fini )

Cela signifie que l'on obtient toutes les solutions sous la forme \eps_1 [ -1,1, -1, 0] + \eps_2 [ -1, 1, 1,0] + n [463, 113, 337, 120] , ou \eps_1, \eps_2 sont dans {0, 1}, et n est dans Z.

Comme l'ajout des deux points de torsion revient à changer des signes, etde même pour le changement de signe de n, on en déduit que les solutions (a, b, c, d) du problème de départ sont obtenues commen [ 463, 113, 337, 120] avec n entier naturel. Ce n [463, 113, 337, 120] , ayant une signification similaire à celle indiquée dans la dernière ligne de 3-1.

Un autre piste m’a été donnée par téléphone par François Apéry de l’Université de Mulhouse-Colmar : On projette, sur le plan de l’infini T=0 la biquadratique, en prenant comme sommet, le point rationnel de la biquadratique, on met sous la forme normale de Weiestrass, la cubique projection obtenue, en prenant bien soin de faire des changements de variables et d’axes qui respectent la rationalité des points (en suivant pour cela la méthode (p22-27) du livre Rational Points on elliptic curves (Springer-Verlag 1992) de Joseph H. Silverman et John Tate). Une fois la loi de groupe obtenue (p 29) sous forme explicite, on relève cette loi, pour avoir la loi de groupe sur la biquadratique.

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Il n’y a plus qu’à (YAKA) (* je peux envoyer la loi des YAKA=commandements du chef sous forme numérisée à tout demandeur , qui m’aura signalé une erreur éventuelle), passer effectivement au calcul ainsi décrit :

(1) On projette la biquadratique,

A partir du point connu particulier (a0=463,b0=113,c0=337,d0=120) :Les formules de cette projection conique sont a=X+463T,b=Y+113T, c=Z+337T,d=120T)(en posant x=a/d,y=b/d,z=c/d, on a x=X/(120T)+x0,y= Y/(120T)+y0,z= Z/(120T)+z0, formules cartésiennes de cette projection conique, et où M0=(x0=463/120,yo=113/120,z0=337/120)).

Voici, pour suivre visuellement cette projection, une figure (faite par Alain Esculier) de la biquadratique, où l’on voit aussi le point M0

(rouge sur la figure) ainsi que les axes de coordonnées.

Heureusement Maple vient à notre secours pour éliminer T et avoir l’équation de la cubique projection de la biquadratique sur le plan de l’infini T=0, et cela en 2 dixièmes de seconde (essayez donc d’en faire autant à la main !).

> st:=time():eliminate({x-463/120=120*T*X,y-113/120=120*T*Y,z-337/120=120*T*Z,x^2=z^2+7,y^2=z^2-7},{x,y,z,T});chrono:=(time()-st)*secondes;

On obtient La projection centrale sur le plan de l'infini de la biquadratique a pour équation homogène

> 463*X*Y^2-463*X*Z^2-113*X^2*Y+337*X^2*Z-337*Z*Y^2+113*Z^2*Y=0; 463 X Y2 463 X Z2 113 X2 Y 337 X2 Z 337 Z Y2 113 Z2 Y 0

Soit en coordonnées ordinaires x=X/Z, y=Y/Z :> eliminate({(463*X*Y^2-463*X*Z^2-113*X^2*Y+337*X^2*Z-337*Z*Y^2+113*Z^2*Y)/Z^3=0,x=X/Z,y=Y/Z},{X,Y,Z});

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[ ],{ }, ,X x Z Y y Z Z Z { } 463 x y2 463 x 113 x2 y 337 x2 337 y2 113 y

> -463*x*y^2+463*x+113*x^2*y-337*x^2+337*y^2-113*y=0;

Alain Esculier (que je remercie une fois de plus) avec sa dextérité légendaire en Maple, a représenté cette cubique, projection de la biquadratique sur le plan de l’infini : la voici ci-dessous :

Projection de la biquadratique sur T=0

Il ne faut pas être surpris que la projection conique d’une biquadratique à partir d’un de ses points, sur un plan, soit une cubique : ce résultat a été démontré par Quételet, correspondance mathématique tome V 1829 p 195 et surtout par Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie 2ème édition 1837 page 249, livre de 582 pages que l’on peut télécharger par Gallica ou Numdam, sur le web. Voir l’évocation faite par Teixeira tome II, bas de la page 424.

(2) Maintenant que nous avons la cubique projection de la biquadratique, nous allons lui appliquer la méthode de Silverman, pour ne pas perturber la rationalité de l’ensemble de ses points rationnels, en la mettant sous la forme canonique de Weiestrass, plus commode pour expliciter la loi de groupe qui opère justement sur ces points à coordonnées dans Q.

Cette cubique a pour équation rappelons le :463*x*y^2-463*x-113*x^2*y+337*x^2-337*y^2+113*y=0

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Soit (463*x-337)*y^2+113*y=463*x+113*x^2*y+337*x^2=0

Ce calcul est en cours sous forme de fichier Maple 8 qui sera accessible sur le site, quand j’aurais terminé, mais les 19 pages actuelles peuvent être envoyées à ceux qui veulent le voir et éventuellement m’aider à finir le calcul de vérification (retrouver et justifier la loi de groupe dont les formules ont été obtenues de manière illicite).

Mais voici une autre piste : La découverte des articles « The Jacobi Model of an Elliptic Curve and Side-Channel Analysis » d’Olivier Billet et Marc Joye, page 3 puis de PY Liardet et NP Smart « Preventinf SPA/DPA in ECC Systems Using the Jacobi Form p 394 m’ont fait découvrir par leurs références, le magnifique article « sequences of Numbers generated by addition in formal group and New Primality and Factorisation Tests » des frères Chudnovsky (advances in applied mathematics 7 p 385-434 1987 dont les pages 412 et 417 me mirent sur la voie).

On paramètre la biquadratique S2+C2=T2 k2 S2+D2=T2 au moyen des fonctions sn, cn dn de Jacobi en posant sn(u,k)=S/T, cn(u,k)=C/T, d(n,u,k)=D/T et en utilisant les formules d’addition de ces fonctions, qui se trouvent dans tous les cours sur les fonctions elliptiques, on trouve la loi de composition suivante :

(S1,C1,D1,T1)*(S2,C2,D2,T2)=(S3,C3,D3,T3)=(T1C2.S1D2+D1S2.C1T2,T1C2.C1T2-D1S2.S1D2,T1D1T2D2-k2.s1C1S2C2,(T1C2)2+(D1S2)2)

Type de formule, qui se trouve aussi dès que l’on évoque l’intersection de deux quadriques dans Liardet, Billet, et dans Cassels et Flynn Prolkongomena to a Middlebrow Arithmetici of Curbes of Genus 2 (Cambridge 1996) pages 63-64.

C’est ce calcul que j’utilise dans 3-2 aux environs de la page 16 pour obtenir de manière « un peu forcée » l’expression algébrique de la loi de groupe, sur les coordonnées homogènes des points de la biquadratique.

Remarques et directions pour en savoir plus :

Le foisonnement, bouillonnement des études récentes sur les fonctions elliptiques, a sa justification dans les recherches sur le codage au moyen des lois de groupes sur les courbes elliptiques.

(1) D’après le document de F Chatelet (sur l’arithmétique des courbes de genre un) qui se trouve sur le Web, tous les plus grands savants se sont mesurés à ce problème, ou ont leur travaux qui y interviennent : Hilbert, Hurtwitz, Skolem, Poincaré, Galois (groupes de Galois), Weierstrass, Mordell, Weil, Serre, Siegel, Tate, Sylverman, Baker, Vladimir Drinfeld, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Drinfeld.htm médaille Field 1990 (certains de ses résultats demandent 800 pages de démonstrations, mélange d’originalité et de prouesse technique, certains mathématiciens à travers le monde, passent des semaines voire des mois sur un paragraphe d’un article de Drinfeld), Don Zagier)

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(2) Il faut savoir (chercher ces noms (Mordell, Weil, Roch, …) sous google ou dans les index des livres spécialisés) que le fait qu’une courbe algébrique de genre 1 ait un point rationnel, implique comme conséquence du théorème de Riemann-Roch (Gustav Roch (1839-1866) « étudiant » de Riemann, http://www.mathematik.uni-halle.de/history/roch/index.html avec un portrait et http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Roch.html le fait qu'elle est birationnellement équivalente a une cubique sous forme de Weierstrass y^2 = x^3 + Ax + B. De mémoire, on trouve la correspondance en écrivant qu'on veut envoyer le point rationnel à l'infini en en faisant un point d'inflexion. Maple avec le packageApecs de Ian Connell fait ça très bien.

(3) En recherchant « Polygônes de Poncelet, par exemple par Google, vous aurez aussi accès à d’autres horizons.

(4) On peut utiliser les génératrices des quadriques : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1897__25_/BSMF_1897__25__180_0/BSMF_1897__25__180_0.pdf

(5) Enfin une autre piste est de rechercher les applications géométriques du théorème d’ABEL, qui expliquent en particulier toutes les critères d’alignement ou de coplanéité que nous avons exprimés. Par exemple Appel et Goursat, théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (Gauthier Villars 1929) tome I page 520-522 (la table des matières indique par erreur 526) lie la relation des paramètres de quatre points coplanaires d’une biquadratique de genre 1 à l’application du théorème d’Abel.

(6) Voici les références de la remarque sur le théorème de Poncelet, en haut de la page 13 : http://books.google.com/books?id=p5-Sxyj0O2sC&pg=PA334&lpg=PA334&dq=Painvin+Nouvelles+annales+de+math%C3%A9matiques+1868&source=bl&ots=elbiNpCGMF&sig=nxlG3jdoW2mSB7O31zWCSD6JR4o&hl=fr&ei=wUQSS9KSIqS6jAe-ivzhAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CBQQ6AEwBQ Teixeira II p 334 et p et 422 Quelques évocations dans Dollon Brocard et Lemoyne à biquadratique p68 numéro 4 etdans Cagnac et Commissaire tome III page 454 II Mais il y a mieux : (x) Poncelet lui même page 395 mais numéroté 440/484 de http://imgbase-scd-ulp.u-strasbg.fr/displayimage.php?album=433&pos=439 (xx) Painvin http://norbert.verdier.over-blog.com/article-6894612.html http://norbert.verdier.over-blog.com/article-6894612.html http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAQ09033.htm http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/rbsm?au=PAINVIN  tangente 117 Et aussiMathématiques : chronologie de 4 siècles d’aventure, p. 48… Balade au lycée Chatelet de Douai en quête des manuscrits du géomètre Louis Félix Painvin, p. 26… Jeux & Enigmes, p. 59…

Fait le théorème de Poncelet par l'analytique Nouvelles annales de mathématiques  1868 p 481 et 1869 pp 49, 145 et 193 (On les trouve par archive.org http://www.archive.org/index.php en pdf et site de l’université du Michigan) Un cours de Painvin est en ligne en

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http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN6069

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,373642,436193 

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