Université Ferhat Abbas – Sétif 2ème Année LMD Faculté de technologie Physique 3 Tronc Commun S.T 2011-2012

SERIE DE TD N° 02

Oscillations libres - systèmes à un degré de liberté Exercice N° 01

Un ressort, de constante de raideur k, est accroché en l’une de ses extrémités à un point fixe; à l’autre extrémité, on suspend une masse m. A l'équilibre et sous l'action de la masse, le ressort subit un allongement initial ∆𝒍. On tire la masse vers le bas de telle sorte que le ressort soit encore allongé de 𝒙 de plus; et finalement, on lâche la masse.

1. Choisir un système de coordonnées et décrire les forces mises en jeu. 2. Utiliser la deuxième loi de Newton pour déterminer l’équation différentielle du mouvement.

Que représente cette équation différentielle ? Déduire la valeur de la constante k. 3. vérifier que 𝒙(𝒕) = 𝑨𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋) où 𝑨, 𝝎𝟎 et 𝝋 sont des constantes, est solution de cette

équation. Que représente dans ce cas les grandeurs 𝑨, 𝝎𝟎 et 𝝋? 4. Trouver l’équation différentielle du mouvement en utilisant le formalisme de Lagrange.

Exercice N° 02 Soit une masse m fixée à l’extrémité d’une tige de masse négligeable et de longueur 𝒍. La tige effectue des oscillations de faibles amplitudes autour d’un axe fixe passant par le point 𝑶 et perpendiculaire au plan du mouvement. Le point A de la tige, tel que 𝑶𝑨 = 𝒂, est relié à deux bâtis fixes 𝑩𝟏 et 𝑩𝟐 respectivement par deux ressorts de raideur 𝒌𝟏 et 𝒌2. A l’équilibre, la tige est verticale.

a) sachant qu’à l’équilibre, les ressorts ne sont pas déformés, établir l’équation différentielle du mouvement du système en utilisant le formalisme de Lagrange

b) Si 𝒎, 𝒌𝟏,𝒌𝟐 et 𝒍 sont donnés, quelle condition doit satisfaire la longueur a pour que le système puisse osciller ?

c) Cette condition étant satisfaite, déterminer l’expression de la pulsation propre du système.

Exercice N° 03 On considère le dispositif schématisé sur la figure ci-contre. Un disque homogène de masse M et de rayon R est attaché par son axe à l'extrémité d'un ressort de raideur k. Une tige rigide, de longueur l, de masse négligeable, est solidaire du disque qui peut rouler sans glisser sur un plan horizontal. Déterminer la pulsation propre du système. Sachant qu'à t=0, la tige est écartée d'un angle petit φ0 par rapport à la verticale et lâchée sans vitesse initiale, déterminer l'expression de φ(t). Donner l'expression de la vitesse de la masse m quand la tige passe par la verticale.

𝒍

𝒎 𝝋

(𝑴,𝑹)

𝑶 𝑶′ 𝒌

𝒚

𝒙

m

𝒌𝟏 𝒌𝟐