Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°10 : Oscillations libres d’un...

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°10 :

Oscillations libres d’un système non-amortis à deux degrés de liberté (suite)

• Les positions des deux masses sont :

• Les vitesses sont :

Le pendule double (1)

• Constitué de deux tiges rigides, de masse négligeable et de même longueur ℓ, portant à chaque extrémité inférieure une masse m. On désigne par 1 et 2 les angles respectifs que font les tiges avec la verticale descente Ox.

21

21

2

2

1

1

1

1

sinsin

coscos

y

x;

sin

cos

y

x

2211

2211

2

2

11

11

1

1

sincos

sinsin

y

x;

cos

sin

y

x


• Les énergies cinétiques et potentielles et le Lagrangien s’écrivent :

• Pour des petits angles 1 et 2 :

212122

222

12

21212122

21

221

2

22

22

21

21

cosmm2

1m

2

1

coscossinsin2m2

1m

2

1

yxm2

1yxm

2

1T

21212122

222

12

21

cosmgcosmg2cosmm2

1mVTL

cosmgcosmg2V

22

2121

222

221

2 mg2

1mgcosmm

2

1mL


•

• En supposant des solutions de la forme

où nous cherchons des solutions qui nous donnent la même fréquence et le même angle de phase .

02

1g

02

1g

0LL

dt

det0

LL

dt

d

122

211

2211

tcost;tcost 2211


• On obtient

• Pour que le système d’équations admette des solutions 1 et 2 différentes de zéro, il faut que le déterminant des coefficients de 1 et 2 soit nul

qui donne l’équation bicarrée aux pulsations propres :

g2

0

0222

02

222

0

0

02

22201

2

22

1220

02402

40

220

44

2

220


• Les solutions de l’équation bicarrée aux pulsations propres sont :

d’où les deux pulsations propres du pendule double :

• D’après les équations donnant 2 et 1, nous avons :

Pour , nous obtenons

Pour , nous obtenons

g

22;g

22 22

21

22

0

2

2

220

1

2 2

020

0201

84,176,0

ω22ωetω22ω

20

21 22 2

1

2

20

22 22 2

1

2


• Les solutions sont donc :

mode 1 :

mode 2 :

• En général, on peut écrire (on prend C1=C2=1) :

111

12

1 tcos2

1

1

222

1111

12

11

11 tcostcosttt

222

12

1 tcos2

1

1

222

1111

12

2122 tcos2tcos2ttt


• Si on prend :

On peut écrire :

• Ce qui donne

00t,00t,00t,00t 22221111

2

2121

1111

22

111

12

22

1211

111

22

111

11

sin2sin20

cos2cos20

sinsin0

coscos0

2

212

21

1

211

11

212

21

211

11

2

002sin;

2

002sin

22

002cos;

22

002cos


• On obtient :

• Pour obtenir le mode (1) seul :

• Pour obtenir le mode (2) seul :

000et020 2112

21

22

21

2

2121

21

21

21

2

2111

2

002

8

002

2

002

8

002

000et020 2112

Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (1)

Un pendule double, est libre d’osciller dans le plan vertical oxy. Les tiges sont de masse négligeable et de même longueur. Elles portent les masses 2m et m. On désignera par 1(t) et 2(t) les angles respectifs que font les tiges avec la verticale descendante Ox, à l’instant t. On suppose que ce pendule double n’est soumis qu’à de petites oscillations.

(a) Etablir les deux équations du mouvement de second ordre en 1(t) et 2(t).

(b) Exprimer en fonction de les pulsations propres ’ et ’’ des petits mouvements de ce pendule double.

g

0


• Energies cinétiques, potentielle et Lagrangien :

pour les petites oscillations :

21122122

21

2

21

122122

21

2

122122

21

22B

21

22A

2B

2A

coscos3mgcos23m2

1L

coscos3mgV

cos23m2

1T

cos23v;v

;mv2

1vm2

2

1T

22

2121

22

21

2 32

mg23m

2

1L


• donne

• En supposant des solutions de la forme

• On obtient

ii

LL

dt

d

2

0

g

022

mg22m

2

1

062

mg6m

2

1

2122

1212

0

033

22012

12021

tcost

tcost

22

11

0

03

222

012

22

122

0


• Pour le système admettent des solutions 1 et 2 différentes de zéro, il faut que le déterminant des coefficients soit :

002001

202

2

202

1

20

220

2

220

2220

2

4222022

02

2220

538,12

33et796,0

2

33

13

3;

31

3

0331331

03333

0303

Couplage de deux pendules simples (1)

• Deux pendules identiques O1A1 et O2A2, de masse m et de longueur ℓ, sont couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2. A l’équilibre, le ressort horizontal à sa longueur naturelle ℓ0 (ℓ0=O1O2). Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1 et 2, supposées petites, par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désigne par g l’accélération de la pesanteur.

21221

22

221

2

k2

1cos1mgcos1mgV

m2

1m

2

1T

Les énergies cinétiques et potentielles des deux masses sont :


• Le Lagrangien pour les petites oscillations s’écrit :

• nous donne :

que l’on peut écrire

212

22

21

22

21

2

212

222

21

22

221

2

m

kggm

2

1

k2

1

2

mg

2

mgm

2

1m

2

1L

...2,1i0LL

dt

d

ii

0m

kg

0m

kg

1222

1211

0m

k

m

kg

0m

k

m

kg

122

211


• Si on s’intéresse à des solutions de même pulsation , donc du type :

on obtient :

• Ce système admet une solution autre que 1= 2=0 si le déterminant des coefficients de 1 et 2 est , soit

• Les pulsations propres ’ et ’’ sont donc solutions de l’équation

soit :

222111 tcosettcos

0m

kg

m

k

0m

k

m

kg

22

212

0m

k

m

kg2

222

m

k2g''et

g'

m

k

m

kg2


• Autre méthode pour résoudre le système :

on soustraie et on additionne les deux équations, le système se découple en deux équations différentielles du second ordre indépendantes pour la somme S(t)=1+2 et pour la différence D(t)= 1- 2 :

on fait ainsi apparaître les pulsations propres :

122211 m

k

m

kg;

m

k

m

kg

0Dm

k2gDet0S

gS

m

k2g''et

g'


• Si on prend des solutions de la forme :

on en déduit

• Si on prend les conditions initiales

on obtient

et

''t''cos''A2D

't'cos'A2S

21

21

0000,0 21201

''t''cos''A't'cos'At

''t''cos''A't'cos'At

2

1

cosAcosA0

cosAcosA0

sinAsinA0

sinAsinA0


• On en déduit : soit :

• Si on prend par exemple : m=0,10 kg ; ℓ=0,80 m ; k=9,2 N/m et g = 9,8 m/s

on trouve

Remarque : il y’a des cas où ’’-’<< ’’+’, auquel cas on observerai des battements.

,2

AAet0 0

t75,8cost25,5sint

t75,8cos.t25,5cost

s5,17;s5,10s0,14,s5,3

02

01

1111

2

tsin.

2

tsintcostcos

2t

et

2

tcos.

2

tcostcostcos

2t

00

2

00

1

Oscillateurs couplés dissymétriques (1)

• Le système composé de deux masses égales et trois ressorts est un oscillateur couplé symétrique. Les équations différentielles du mouvement des deux masses sont :

• Qui sont de la forme :

• Les équations différentielles de cette forme sont caractéristiques de systèmes de deux oscillateurs couplés symétriques.

122

211

xm

kx

m

k2x

xm

kx

m

k2x

122

211

bxaxx

bxaxx


• Le système de la figure a pour énergies cinétique, potentielle :

• Le Lagrangien pour les petits angles s’écrit :

• Qui donne les équations différentielles suivantes :

• Ce système est un oscillateur couplé dissymétriques.

21122

222111

222

211

k2

1

cos1gmcos1gmV

m2

1m

2

1T

21122

2222

222

211 k

2

1gmm

2

1m

2

1L

0kkgmm

0kkgmm

121222222

222

221121111

211


• En général, on peut donner aux oscillateurs couplés dissymétriques la forme :

où a1, a2, b1 et b2 sont des coefficients constants caractéristiques de chacun des deux oscillateurs et de leur couplage (avec b1<a1 et b2<a2).

• On appelle coefficient de couplage K (0<K<1) du système de deux oscillateurs la quantité :

Ce coefficient caractérise l’interaction de chaque oscillateur sur l’autre.

12222

21111

xbxax

xbxax

21

21

aa

bbK

Coefficient de couplage (1)

• Si on immobilise le 2ième oscillateur, on a en général pour le premier oscillateur

. Si on immobilise le 1er oscillateur, on peut écrire

On peut donc écrire

• L’équation aux pulsations propres du système :

s’écrit

ou encore

11111 aavec0xax

12222

21111

xbxax

xbxax

22222 aavec0xax 22

21

221

221 KaaKbb

0bbaa 2122

12

0K 22

21

2222

221

Coefficient de couplage (2)

Ce qui nous ramène aux différents types de couplage (on admettra 1< 2) :

• Couplage serré (K=1) :

Les pulsations propres sont alors :

• Couplage normal (0<K<1)

Les pulsations propres sont

avec • Couplage lâche (K<<1) :

• Couplage nul (K=0) :

les deux oscillateurs sont alors indépendants.

022

21

22

22

21

221

22 K4

12

K1et

12

K1

21

22

2

2

22

21

2

1

22

21et0

2et

2

22

21

22

21

;etsoit0 2122

222

1

Eclatement des fréquences et oscillations accordés

• Dans tous les cas, nous avons ’ 1 et ’’ 2. Dans tous les cas envisagés, on a obtenu ’≤1 et ’’ ≥1. La pulsation propre ’ du système couplé est donc inférieure ou égale à la pulsation 1 de l’oscillateur le plus lent (T1T2) et la pulsation propre ’’ est supérieure à la pulsation 2 de l’oscillateur le plus rapide. Cette hiérarchie entre les pulsations traduit l’éclatement l’éclatement des fréquences par couplage :

• Lorsque le coefficient de couplage croît de 0 à 1, à partir des solutions de l’équation aux pulsations propres, on voit que la pulsation propre ’ décroît depuis 1 jusqu’à zéro, et la pulsation propre ’’ croît depuis 2 jusqu’à

• Si les deux oscillateurs ont la même période en oscillations séparées (1=2) on dit qu’ils sont accordés. Nous avons alors :

Pour des oscillateurs accordés en couplage lâche, il vient :

.22

21

.K1etK1soit0K 11

221

21

2

.2

K1et

2

K1 11

Phénomène de battement (1)

• Ce phénomène est très marqué lorsque les deux oscillateurs sont accordés en couplage lâche (K<<1) et que leurs pulsations propres sont très voisines.

• Comme dans le cas du couplage de deux pendules simples, si on prend S=x1(t)-x2(t). On prend aussi pour simplifier comme conditions initiales de lancement du système couplé : la solution générale est donnée par :

qui permet d’écrire ’=’’=0 et S0=D0=A

;00x0x0x,A0x 2211

.2

K1et

2

K1 11

tcos2

Dtcos

2

Stx

tcos2

Dtcos

2

Stx

002

001

Phénomène de battement (2)• On obtient :

que l’on peut écrire :

• En introduisant le coefficient de couplage K(K<<)1 :

on écrit :

• Les deux oscillateurs couplés oscillent en quadrature (x1 est maximal lorsque x2 est nul) avec une période T1=2/1 et une amplitude lentement variable qui s’annule périodiquement avec une période TB qui est la période des battements.

tsin2

tKsinAtxettcos

2

tKcosAtx 1

121

11

t2

sint2

sinAtx

t2

cost2

cosAtx

2

1

tcos2

Atcos

2

Atx

tcos2

Atcos

2

Atx

2

1

.2etK 11

Phénomène de battement (3)

• La période des battements est telle que

Ce qui veut dire que la fréquence des battements est égale à la différence

des fréquences propres du système couplé :

BB T

1f

2

K

2TT

2

K

1BB

1

2fet

2f fffB

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