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Objectifs spécifiques du chapitre

- Réaliser un montage permettant de suivre les oscillations libres d’un circuit

RLC série.

- Reconnaître le régime pseudopériodique et le régime apériodique.

- Reconnaître le facteur responsable de l’amortissement.

- Reconnaître les grandeurs oscillantes d’un circuit RLC série.

- Etablir l’équation différentielle des oscillations libres d’un circuit RLC série.

- Interpréter la diminution de l’amplitude des oscillations libres d’un circuit RLC

série par le transfert d’énergie de l’oscillateur vers le milieu extérieur.

- Ecrire l’expression d’une grandeur oscillante en régime libre non amorti.

- Définir la pulsation propre ω0 et la période propre To d’un oscillateur RLC

non amorti.

- Exprimer To en fonction de L et de C.

- Déterminer la période, l’amplitude et la phase initiale d’une grandeur oscillante

sinusoïdale d’un circuit RLC série non amorti.

- Démontrer la conservation de l’énergie totale d’un oscillateur LC.

- Interpréter le cas particulier des oscillations libres non amorties.

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Plan du cours

A- Oscillations électriques libres amorties

Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL

1. Montage

2. Les différents régimes d’oscillations dans un circuit RLC libre.

a- Régime pseudo-périodique

b- Régime apériodique

c- Régime apériodique critique

3. Equation différentielle d’un circuit RLC

4 . Non conservation de l’énergie électromagnétique totale

B- Oscillations électriques libres non amorties (oscillateur harmonique)

1. Montage

2. Equation différentielle

3. Solution de l’équation différentielle

4. L’expression de l’intensité i(t)

5. Bilan énergétique

6. Représentations graphiques

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A- Oscillations libres amorties

Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL

1. Montage

L'étude expérimentale de la décharge d'un condensateur dans un dipôle RL s'effectue

à partir du montage ci-dessus. L'interrupteur K étant en Position 1, le condensateur

est chargé. La courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur au cours

du temps est donnée sur la figure suivante.

À t= 0, on bascule K dans la position 2. Il y a alors décharge oscillante

du condensateur dans la bobine d'inductance L et de résistance interne r,

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et dans le conducteur ohmique de résistance R. Ce circuit constitue un circuit RLC

série en oscillation libre et amortie.

Le système évolue ensuite sans apport extérieur d'énergie.

On étudie l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur.

2. Les différents régimes d’oscillations dans un circuit RLC libre.

On dit qu'un circuit RLC série est en régime libre lorsqu'il ne subit aucun apport

d'énergie après l'instant initial.

À L et C fixés, la valeur de la résistance totale du circuit RTot = r + R détermine

le régime observé parmi les trois régimes libres du circuit RLC: pseudopériodique,

apériodique ou apériodique critique.

a- Régime pseudo-périodique

Le régime pseudo-périodique est observé pour des faibles valeurs de RTot.

La tension uC présente alors des oscillations amorties.

Elle passe périodiquement par des valeurs nulles. La durée entre deux passages

successifs par une valeur nulle, avec une pente de même signe, définit

la pseudo-période Tp des oscillations amorties.

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b- Régime apériodique Lorsque les valeurs de RTot sont élevées, l'amortissement est important:

le régime est apériodique. On observe une décharge du condensateur sans

que la tension uC oscille.

- Régime apériodique critique

Lorsque RTot =2 ( )LC

le régime est qualifié de critique la tension uC s’annule le plus

rapidement possible.

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www.sciences.univ-nantes.fr_physique_perso_gtulloue_index.html/www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Transitoire/Condensateur1_flash.html Se limiter à la partie ou les deux courbes sont symétriques par rapport à zéro At=0 Le condensateur est initialement chargé sa tension est egale à ( 5 V ) la simulation commence quand on bascule l’interrupteur mauve de la position verticale vers la position horizontale

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3. Equation différentielle d’un circuit RLC en oscillations libre et amorties

En appliquant la loi des mailles au circuit fermé sur la position 2

uBM=uBD+ uDE + uEM. uBM= uC ; uBD=-ri ; uDE= e=-Ldi/dt ; uEM=-R2i.

i=dq/dt; q=CuC. i=Cdu/dt.

L d2uC/dt2 + (RTot) duC/dt + (1/C) uC =0 (1) ; RTot= R2 + r

d2uC/dt2 + (R/L) duC/dt + (1/LC) uC =0

Equation différentielle qui admet une solution uC(t) qui se présente suivant

différents régimes ( pseudopériodique , apériodique et apériodique critique).

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nantes.fr_physique_perso_gtulloue_index.html/www.sciences.univ-

nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/equadiff.html

Se limiter à cette partie de l’écran

Car ca ne concerne que ce type d’équations différentielles

Boutons f(t) ; ω0 et λ ,Actifs

Allure de la courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur

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Courbe de variation de l’intensité au cours du temps

On remarque bien que l’intensité du courant s’annule quand la tension aux bornes

du condensateur est maximale ou minimale.

L’intensité i(t) est en rapport avec la tangente à la courbe uc(t) puisque

i=dq/dt=C.duc/dt.

4. Non conservation de l’énergie électromagnétique totale :

L’énergie totale dans le circuit est égale à ETot= EBob + ECond

ETot = ½ CuC2 + 1/2 Li2.

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dE/dt=C.duC/dt + Lidi/dt = CuCduC/dt + L( C duC/dt) d/dt(CduC/dt)

= uC C (duC/dt) + LC2(duC/dt)d2uC/dt2

=C (duC/dt)[ uC + LCd2uC/dt2]=

= C (duC/dt)[ -RTot.C duC/dt]= -RTot.i2<0

la diminution de l’énergie totale est perdue par effet joule dans les résistors.

Courbe de variation de l’énergie dans le condensateur au cours du temps

Courbe de variation de l’énergie dans la bobine au cours du temps

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En construisant la somme point par point de ces deux courbes on trouve la courbe de la variation de l’énergie totale au cours du temps. On voit bien que cette énergie diminue au cours du temps. B- Oscillations électriques libres non amorties (oscillateur harmonique). Circuit L-C 1. Montage

Il s'agit d'un modèle théorique, irréalisable dans la pratique.

On considère le circuit constitué d'un condensateur de capacité C et d'une bobine

d'inductance L. La bobine est considérée comme idéale, c'est-à-dire qu'elle ne

présente pas de résistance interne.

i

q

C

i

uC uL L

Le condensateur est initialement chargé sous une tension E.

Ces armatures se chargent avec des quantités d’électricité Q0= C U0=C.E

et emmagasine une énergie E0=1/2 Q02/C. À l'instant t = 0, on le relie à la bobine

idéale. L'intensité i(t = 0)

est nulle.

En visualisant la tension aux bornes du condensateur on remarque que le circuit

est siège d’oscillations libres et non amorties

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Simulation pour voir les différents facteurs qui peuvent modifier l’allure de la courbe

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Garder juste la courbe rouge Declenchement de l’enregistrement au moment ou on bascule l’interrupteur sur la position horizontale Debut à partir de uc =UcMax 2. Equation différentielle La loi d'additivité des tensions permet d'écrire

i

q

C

i

uC uL L

uC + uL =0 Avec uC= q/C ; uL= L di/dt

i=dq/dt=CduC/dt. uC+ Ldi/dt=0 ( 1 )

On obtient l'équation différentielle vérifiée par uC.

d2uC/dt2 + (1/LC)uC=0

3. Solution de l’équation différentielle.

La solution de cette équation différentielle s’écrit de la forme uC(t)=UMax sin(ωωωωt

+φφφφ). Fonction sinusoïdale de pulsation ωωωω02= LC et de période propre T0= 2ππππ (LC).

• Les valeurs de UMax et de φφφφ sont déterminés à partir des conditions initiales. En

effet :

• Si A t=0 uC=U0=UMax sin(φ)>0 , et i= CduC/dt alors i(0)=Cω0UMaxcos(φ)=0

sin(φ)>0 cos(φ)=0 Donc φ=π/2 ; UMax=U0 et

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La solution est

uC(t)= U0 sin( ω0t + π/2)

4. L’expression de l’intensité i(t) = C duC(t)/dt si uC(t)= U0 sin( ω0t + π/2)

=C ω0 U0cos( ω0t + π/2)= IMax cos(ω0t + π/2)

= ω0 QMax cos( ω0t + π/2). Avec IMax= ω0 QMax

Simulation pour la résolution de l’équation différentielle

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nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/equadiff.html

5. Bilan énergétique L’énergie totale dans le circuit est ETot= Econd + EBob = 1/2 Li2 + ½ Cuc

2.

dETot/dt= Li di/dt + uC C duC/dt =i [ Ldi/dt + uC ] = i ( 0 )=0 car d’après

L’équation différentielle Ldi/dt + uC=0

dETot/dt=0 alors ETot = Constante

ETot = ½ C U02 = ½ L IMax

2

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6. Représentations graphiques Pour L= 400mH ; C= 400µF ; E=6V.

• uC(t)= U0 sin( ω0t + π/2)

• i(t) =IMax cos(ω0t + π/2

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L’expression de l’énergie emmagasinée dans le condensateur est Econd= ½.c.uc2.

En remplaçant uc par son expression on a Econd= ½.CU02 sin2( ω0t + π/2)=

=¼.C U02 (1- cos(2ω0t + π)) fonction périodique de pulsation ω= 2 ω0 , de période

T=T0

2.