Oscillations libres d’un circuit RLC

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Oscillations libres Oscillations libres d’un d’un circuit RLC circuit RLC

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Oscillations libres d’un circuit RLC. Montage à revoir. On abaisse l’interrupteur. Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle. Equation différentielle régissant la décharge. D’après la loi d’additivité des tensions :. u C + u L = 0. - PowerPoint PPT Presentation

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Oscillations Oscillations libres d’un libres d’un circuit RLCcircuit RLC

Page 2: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Montage à revoir

On abaisse l’interrupteur.

Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle.

Page 3: Oscillations libres d’un  circuit RLC

uC + uL = 0

Equation différentielle régissant la décharge

D’après la loi d’additivité des tensions :

Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

Page 4: Oscillations libres d’un  circuit RLC

uC + uL = 0

Equation différentielle régissant la décharge

D’après la loi d’additivité des tensions :

Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

dtdu

Cidtdq

ietuCq CC

Page 5: Oscillations libres d’un  circuit RLC

uC + uL = 0

Equation différentielle régissant la décharge

D’après la loi d’additivité des tensions :

Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

dtdu

Cidtdq

ietuCq CC

2C

2

LLtd

udCLu

dtdi

Lu

Page 6: Oscillations libres d’un  circuit RLC

uC + uL = 0

Equation différentielle régissant la décharge

D’après la loi d’additivité des tensions :

Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

L’équation différentielle peut s’écrire :

dtdu

Cidtdq

ietuCq CC

2C

2

LLtd

udCLu

dtdi

Lu

Page 7: Oscillations libres d’un  circuit RLC

uC + uL = 0

Equation différentielle régissant la décharge

D’après la loi d’additivité des tensions :

Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

L’équation différentielle peut s’écrire :

dtdu

Cidtdq

ietuCq CC

2C

2

LLtd

udCLu

dtdi

Lu

0td

udCLu

2C

2

C

Page 8: Oscillations libres d’un  circuit RLC

uC + uL = 0

Equation différentielle régissant la décharge

D’après la loi d’additivité des tensions :

Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

L’équation différentielle peut s’écrire :

ou bien

0td

udCLu

2C

2

C 0uCL1

td

udC2

C2

2C

2

LLtd

udCLu

dtdi

Lu

dtdu

Cidtdq

ietuCq CC

Page 9: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Solution de l’équation différentielle

Page 10: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Elle est de la forme :

Solution de l’équation différentielle

UCmax est la tension maximale aux bornes du condensateur (V)

0 est la pulsation propre (rad/s)

0 t + est phase à un instant t quelconque (rad)

est la phase à l’origine des dates (rad)

Que représente UC max ?

Que représente 0 ?

Que représente 0 t + ?

Que représente ?

uC = UCmax cos (0 t + )

Page 11: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Graphe : uC = UCmax cos (0 t + ) avec = 0

Page 12: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :

uC UCmax cos (0 t + )

Page 13: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :

)t(sinUωdtdu

0maxC0C

uC UCmax cos (0 t + )

Page 14: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :

)t(sinUωdtdu

0maxC0C

C2

00maxC2

02C

2

u)t(cosUωdt

ud

uC UCmax cos (0 t + )

Page 15: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :

D’où finalement :

)t(sinUωdtdu

0maxC0C

C2

00maxC2

02C

2

u)t(cosUωdt

ud

0udt

udC

202

C2

uC UCmax cos (0 t + )

Page 16: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Vérification de la solution de l’équation et expression de 0 :

L’équation différentielle est vérifiée si l’on pose :

D’où finalement :

)t(sinUωdtdu

0maxC0C

C2

00maxC2

02C

2

u)t(cosUωdt

ud

0udt

udC

202

C2

CL

10

uC UCmax cos (0 t + )

Page 17: Oscillations libres d’un  circuit RLC

0 t + 0 T0 + = 0 t + + 2

La fonction cosinus est périodique de période 2.

Les équations (1) et (2) permettent d’écrire :

La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1)

cos (0 t + ) = cos [0 t + + 2) (2)

cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t + + 2)

0 (t +T0) + = 0 t + + 2

0 T0 = 2

Page 18: Oscillations libres d’un  circuit RLC

La période s’écrit :

CL22

T0

0

0 t + 0 T0 + = 0 t + + 2

La fonction cosinus est périodique de période 2.

Les équations (1) et (2) permettent d’écrire :

La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1)

cos (0 t + ) = cos [0 t + + 2) (2)

0 (t +T0) + = 0 t + + 2

cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t + + 2)

0 T0 = 2

Page 19: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Expression de l’intensité du courant :

Page 20: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Expression de l’intensité du courant :

uC UCmax cos (0 t + ) CL

10

Page 21: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Expression de l’intensité du courant :

uC UCmax cos (0 t + ) CL

10

)t(sinUCdtdu

Ci 00CmaxC

Page 22: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Expression de l’intensité du courant :

uC UCmax cos (0 t + )

)t(sinUCdtdu

Ci 00CmaxC

CL

10

)2

t(cosLC

1UCi 0Cmax

Page 23: Oscillations libres d’un  circuit RLC

Expression de l’intensité du courant :

)t(sinUCdtdu

Ci 00CmaxC

uC UCmax cos (0 t + ) CL

10

)2

t(cosLC

1UCi 0Cmax

)2

t(cosLC

Ui 0Cmax

La tension uC et l’intensité i du courant sont déphasées de /2.