Physique - 6 ème année - Ecole Européenne · Oscillations électriques sinucoïdales forcées...

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne

Ecole Européenne de Francfort 37

Electricité n° 4 : COURANT ELECTRIQUE SINUSOÏDAL OSCILLATIONS ELECTRIQUES SINUSOÏDALES FORCEES

I) Généralités1)

: Signal et réponseA l'aide d'un générateur de tension, on applique, aux bornes d'un dipôle, une tension sinusoïdale u(t), elle constitue un signal émis par le générateur qui en est la source.

:

Lorsqu'on applique cette tension aux bornes d'un circuit RLC série, il se produit d'abord un régime transitoire (quelques ms) qui, très vite, se transforme en un régime permanent sinusoïdal de même fréquence, caractérisé par un courant dont l'intensité i(t), constitue une réponse du récepteur RLC série :

régime transitoire régime permanent

Les interactions électromagnétiques se propagent à la célérité c0 de la lumière. Pour un circuit peu étendu (quelques m), et un courant dont la fréquence est de l'ordre de N ≈ 20000 Hz (T = 0,5.10-4 s) on peut dire qu'en une période les signaux parcourent une distance L = c.T ≈ 15 km : on peut donc dire que tout le circuit est, à chaque instant, dans le même état de vibration. On dit que l'on est en régime quasi-stationnaire. Nous admettrons que : En régime quasi-stationnaire, les lois des courants continus ou lentement variables sont applicables, à chaque instant :

- Dans une branche de circuit où les dipôles sont en série : * L’intensité i(t) du courant est la même dans tous les dipôles. * La tension u(t) aux bornes de plusieurs dipôles en série est égale à la somme des

tensions aux bornes de chacun : u(t) = u1(t) + u2 (t) + … - Aux bornes d'un résistor : u(t) = R.i(t). - Pour un condensateur : q(t) = C.u(t).

- Pour une bobine d'inductance L et de résistance r : uB(t) = L.dt

)t(di + r.i(t).

2) Conventions et représentations

a) Présentation : :

On s'intéresse à une grandeur harmonique (qui varie de façon sinusoïdale au cours du temps) de la forme : x(t) = Xm.cos(ω.t + ϕ)

Oscillations électriques sinucoïdales forcées

Page 138 Christian BOUVIER

Lors de l'étude des oscillations mécaniques, on a vu qu'on pouvait considérer que le mouvement d'un oscillateur harmonique de période propre T0, et d'amplitude Xm, constitue la projection, sur un axe, d'un mouvement circulaire uniforme de même période sur un cercle trajectoire de rayon R = Xm. Nous allons formaliser cette association : - On considère le vecteur →X du plan complexe qui a pour affixe le nombre complexe :

Xm.ej (ω.t + ϕ) = Xm.[cos(ω.t + ϕ) + j.sin(ω.t + ϕ)]

Remarque : En mathématiques, on note i le nombre complexe i = √−--−1, en physique, pour

éviter la confusion avec l'intensité i du courant instantané, on a coutume de désigner par j le nombre complexe j = √

−--−1.

x(t) = Xm.cos(ω.t + ϕ) représente la partie réelle du nombre complexe Xm.ej (ω.t + ϕ). - Géométriquement, on peut dire aussi qu'on

considère le vecteur →X, tel que →X = Xm, désigné en physique, par "vecteur de Fresnel associé à x(t)", qui tourne autour de son origine O, à la vitesse angulaire ω : x(t) = Xm.cos(ω.t + ϕ) est la mesure algébrique de la projection de →X sur un axe orienté.

Dans la suite nous adopterons plutôt le point de vue géométrique et nous garderons la formulation complexe pour plus tard.

b) déphasage : On considère deux grandeurs harmoniques de même pulsation ω (même période T et même fréquence N) :

x(t) = Xm.cos(ω.t) et y(t) = Ym.cos(ω.t + ϕ) + ϕ est le déphasage de y(t) par rapport à x(t). On peut associer à x(t) le vecteur de Fresnel →X tel que →X = Xm, et à y(t) le vecteur de Fresnel →Y tel que →Y = Ym. La vitesse angulaire ω de rotation de ces deux vecteurs étant la même, l'angle ϕ = (→X , →Y.) qu'ils font entre eux est constant. On peut, ainsi, avoir une interprétation géométrique du déphasage ϕ de la grandeur y(t) par rapport à la grandeur x(t) à chaque instant.

sens positif de rotation angle (ω.t + ϕ) →Y →X + ϕ angle (ω.t) axe des O cosinus y(t) = Ym.cos(ω.t + ϕ) x(t) = Xm.cos(ω.t)


Ecole Européenne de Francfort Page 139

c) Représentation de Fresnel de u(t) et i(t) : Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale u(t) = Um.cos(ω.t) aux bornes d'un dipôle en régime quasi-stationnaire, après l’établissement du régime permanent, le dipôle est traversé par un courant d'intensité i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ).

− ϕ (en rad) étant le déphasage de i(t) par rapport à u(t), on voit que + ϕ est le déphasage de u(t) par rapport à i(t). Remarque : Dans un circuit série (en régime quasi-stationnaire), c’est l'intensité du

courant qui est la même dans tous les dipôles. On préfère donc prendre − ϕ dans i(t), qui est la réponse

u(t) = Um.cos(ω.t) est la mesure algébrique de la projection du vecteur de Fresnel →U, de module Um,

au signal u(t) = Um.cos(ω.t).

qui tourne à la vitesse angulaire constant ωDe même :

, dans le plan complexe.

i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ) est la mesure algébrique de la projection du vecteur de Fresnel →I, de module Im, qui tourne à la vitesse angulaire constant ωOn a donc :


+ ϕ qui est le déphasage de u(t) par rapport à i(t) est aussi l'angle constant que font entre eux les vecteurs de Fresnel →I et →U :

+ ϕ = (→I , →U )

La vitesse angulaire ω de rotation de ces deux vecteurs étant la même, l'angle ϕ = (→I , →U ) qu'ils font entre eux est constant au cours du temps. On a représenté la correspondance entre les vecteurs de Fresnel →I et →U qui tournent à la vitesse angulaire ω et tels que ϕ = (→I , →U ) et les grandeurs i(t) et u(t) qui évoluent sinusoïdalement au cours du temps avec une période T et un déphasage temporel ∆t :

→U représentation des vecteurs de Fresnel →I et →U à une date t1 + ϕ →I angle ω.t angle ω.t − ϕ u(t1) i(t1) axes des cosinus évolution de i(t) et u(t) au cours du temps déphasage temporel date t1 ∆t = ϕ/ω

u(0) Um période T = 2.π/ω Im i(t1) i(0) t u(t1) i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ) u(t) = Um.cos(ω.t)



d) Dipôles en série : On considère deux dipôles montés en série : Aux bornes de l’ensemble, on applique une tension u(t) = Um.cos(ω.t + ϕ) Aux bornes du premier dipôle apparaît une tension u1(t) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) et aux borne du deuxième, une tension u2(t) = Um2.cos(ω.t + ϕ2). Les trois tensions ont même pulsation ω. On sait que, à chaque instant : u(t) = u1(t) + u2 (t) Soit Um.cos(ω.t + ϕ) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) + Um2.cos(ω.t + ϕ2) En utilisant les nombres complexes, on démontre et nous admettrons que :

Le vecteur de Fresnel →U associé à la tension harmonique Um.cos(ω.t + ϕ) est la somme vectorielle des vecteurs →U1 associé à la tension harmonique Um1.cos(ω.t + ϕ1) et →U2 associé à la tension harmonique Um2.cos(ω.t + ϕ2) :

→U = →U1 + →U2 ⇐⇒ Um.cos(ω.t + ϕ) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) + Um2.cos(ω.t + ϕ2). La somme vectorielle →U peut s'obtenir en plaçant l'origine du vecteur →U2 à l'extrémité du vecteur du vecteur →U1, à une date quelconque, on obtient la figure ci-contre : Pour des raisons pratiques, on préfère représenter la somme vectorielle à une date t1 telle que ω.t1 + ϕ1 = 0. De cette façon, on peut directement visualiser le déphasage ϕ entre u1(t) et u(t) dont nous verrons qu'il joue un rôle important en courant sinusoïdal.

3) Intensité et tension efficacesOn considère un conducteur ohmique de résistance R parcouru par un courant sinusoïdal d'intensité i(t) = Im.cos(ω.t), de pulsation ω (ϕ = 0, le déphasage n'a pas d'importance ici).

:

La puissance instantanée dissipée dans le résistor est : p(t) = R.[i(t)]2 = R.Im2.cos2(ω.t) C'est une fonction périodique (de fréquence double). On peut calculer l'énergie W dissipée durant un intervalle ∆t, (W = p(t).δt. Par définition : On appelle intensité efficace Ieff d'un courant sinusoïdal i(t) = Im.cos(ω.t), la valeur de l'intensité d'un courant continu d'intensité I = Ieff qui dissiperait la même énergie W dans un résistor de résistance R, pendant la même durée ∆t.

→U angle ω.t + ϕ →U2 angle ω.t + ϕ2 →U1 angle ω.t + ϕ1

cosinus u1 u u2

→U U2 cosinus →U1

cosinus

→U →U2 ϕ →U1

axe des cosinus



Soit Ieff : W(∆t) = R.I2eff.∆t = ∫∆=

=

tt

0t2 dt.i.R d'où I2eff.∆t = ∫

∆=

=

tt

0t2 dt.i

Pour déterminer une valeur moyenne de l'énergie sur un grand intervalle de temps ∆t, calculons l’intégrale pour une durée égale à un grand nombre entier de périodes : ∆t = n.T

I2eff.n.T = ∫=

=

T.nt

0t2 dt.i = ∫

=

=ω

T.nt

0t22

m dt).t.(cos.I

Remarque : On connaît la relation mathématique entre : cos2(a) = 21 .[1 + cos(2.a)]

[ ]∫=

=ω+

T.nt

0t

2m dt.)t..2cos(1.2I =

2I2m . ∫

=

=

T.nt

0tdt.1 +

2I2m . ∫

=

=ω

T.nt

0tdt).t..2cos( =

T.n

0

2m

2t.I

+

T.n

0

2m

.2).t..2sin(

2I

ωω

Or T.n

0

2m

.2).t..2sin(

2I

ωω = 0 d'où I2eff.n.T =

2T.n.I2m

L'intensité efficace d'un courant sinusoïdal de valeur maximale Im est :

Ieff = I = 2

Im

Par analogie, nous admettrons que : La tension efficace d'une tension sinusoïdale de valeur maximale Um est :

Ueff = U = 2

Um

4) Impédance

Par définition, l'impédance Z d'un circuit est le rapport, exprimé en ohm (Ω) :

:

Z = m

m

IU =

IU

Remarque : L'impédance d'un circuit est indépendante de l’amplitude de la tension appliquée (U ou Um), mais peut dépendre de la fréquence f (période T = 1/f, pulsation ω).

5) Facteur de puissance

La puissance instantanée dissipée dans un circuit est : :

p(t) = u(t).i(t) = Um.cos(ω.t).Im.cos(ω.t − ϕ) Remarque : On a la relation mathématique : cos(a).cos(b) = 2

1 .[cos(a + b) + cos(a − b)]

D'où p(t) = 2I.U mm .[cos(ϕ) + cos(2.ω.t − ϕ)] = U.I.[cos(ϕ) + cos(2.ω.t − ϕ)]

p(t) est la somme d’un terme constant U.I.cos(ϕ) et d’un terme périodique U.I.cos(2.ω.t − ϕ). Pour déterminer une valeur moyenne de la puissance dissipée sur un grand intervalle de temps, on calcule l’intégrale pour sur un grand nombre entier de périodes : ∆t = n.T

P = t

)t(W∆∆ =

T.n)T.n(W =

T.n1 . ∫

=

=

T.nt

0tdt).t(p =

T.n1 . ∫

=

=ϕ−ω+ϕ

T.nt

0tmm dt)].t..2cos().[cos(

2I.U

P = T.n1 . ∫

=

=ϕ

T.nt

0tmm dt).cos(.

2I.U +

T.n1 . ∫

=

=ϕ−ω

T.nt

0tmm dt).t..2cos(.

2I.U

P = T.n1 .

T.n

0

mm t).cos(.2I.U

ϕ +

T.n1 .

T.n

0

mm

.2).t..2sin(.

2I.U

ωϕ−ω , or

T.n

0

mm

.2).t..2sin(.

2I.U

ωϕ−ω = 0

P = T.n.2

T.n.I.U mm .cos(ϕ)

d'où P = 2I.U mm .cos(ϕ) = U.I.cos(ϕ) = →I .→U



On voit qu’au facteur cos(ϕ) près, la puissance moyenne est la même qu’en courant continu. P = U.I.cos(ϕ) est la puissance moyenne dissipée dans le circuit (en W), Pa = U.I est la puissance apparente du circuit (en W), cos(ϕ) est le facteur de puissance du circuit (coefficient sans dimension).

II) Etude théorique de quelques dipôles1)

: IntroductionPour chaque dipôle, on s’intéresse à l’expression de son

: impédance Z, au déphasage + ϕ

entre u(t) à ses bornes et i(t) qui le traverse, à l’expression de l’amplitude de l’intensité Im = Um/Z (ou de l’intensité efficace I = U/Z), à son facteur de puissance cos(ϕ) et à l’expression de la puissance moyenne échangée

P = U.I.cos(ϕ).

2) Conducteur ohmique

Pour un résistor, on a la relation : ur(t) = R.i(t)

:

Soit Um.cos(ω.t) = R.Im.cos(ω.t − ϕ) Pour que cette égalité soit vraie quelque soit t, il faut que ϕ = 0 ur(t) et i(t) sont en phase : ϕr = 0

Dans ce cas, on a en plus : Um = R.Im

Soit →Ur = R. →I ou (→I , →U ) = 0

L'indépendance est donnée par : Zr = m

m

IU =

m

m

II.R = R

L'impédanceLe

est égale à la résistance : Zr = R facteur de puissance

La : cos(ϕr) = 1

puissance moyenne

: Pr = U.I.cos(ϕr) = R.I2 est dissipée par effet Joule

3) CondensateurPour un condensateur, on a la relation : q(t) = C.uc(t)

:

On peut dériver les deux membres de cette égalité, soit : dt

)t(dq = C.dt

)t(duc

Or i(t) = dt

)t(dq d'où i(t) = C.dt

)t(duc

soit Im.cos(ω.t − ϕ) = C.dt

)]t.cos(.U[d m ω = − Um.C.ω.sin(ω.t)

Remarque : On connaît la relation trigonométrique : − sin(α) = + cos(α + 2π )

On en déduit : Im.cos(ω.t − ϕ) = Um.C.ω.cos(ω.t + 2π )

On associe un vecteur de Fresnel à chacune des fonctions sinusoïdales : →I et →Uc. Pour que cette égalité soit vraie quelque soit t, il faut que ϕ = −

2π

uc(t) est en quadrature retard sur i(t) : ϕc = − 2π

→Ur →I

axe des cosinus

→I

ϕc = − 2π

→Uc

axe des cosinus



Dans ce cas, on a en plus : Im = C.ω.Um

L'indépendance est donnée par : Zc = m

m

IU =

ω.C.II

m

m = ω.C

1

Pour un condensateur de capacité C, son impédance dépend de la fréquence N :

Zc = ω.C

1 = C.N..2

1π

Soit →Uc = ω.C

1 . →I et (→I , →Uc) = − 2π

Le facteur de puissance2π : cos(ϕc) = cos(− ) = 0

La puissance moyenne

Le condensateur emmagasine de l’énergie qu’il restitue intégralement ensuite, d’où une puissance moyenne dissipée nulle.

: Pc = U.I. cos(ϕc) = 0

4) Bobine ou solénoïde

a) Bobine idéale : :

Dans une première approche, nous allons considérer une bobine idéale formée d’un fil conducteur n’offrant aucune résistance : pour une bobine d’inductance pure L, on a :

uL(t) = L.dt

)t(di

Um.cos(ω.t) = L.dt

)]t.cos(.I[d m ϕ−ω

Um.cos(ω.t) = − L.Im.ω.sin(ω.t − ϕ) Remarque : On connaît la relation trigonométrique : − sin(α) = + cos(α +

2π )

D'où Um.cos(ω.t) = L.Im.ω.cos(ω.t − ϕ + 2π )

Pour que cette égalité soit vraie quelque soit t, il faut que ϕ = + π/2

u(t) est en quadrature avance sur i(t) : ϕL = + 2π

L'indépendance est donnée par : ZL = m

m

IU =

m

m

I.L.I ω = L.ω

Pour une bobine d'inductance pure L, son impédance dépend de la fréquence N : Zc = L.ω = 2.π.N.L

Soit →Uc = L.ω. →I et (→I , →Uc) = + 2π

Le facteur de puissance2π : cos(ϕL) = cos( ) = 0


La bobine

: PL = U.I. cos(ϕL) = 0

idéale

emmagasine de l’énergie qu’elle restitue intégralement ensuite, d’où une puissance moyenne dissipée qui est nulle.

→UL

ϕL = + 2π

→I

axe des cosinus



b) Bobine réelle :

Une bobine réelle possède une inductance L et les fils conducteur ont une résistance r. Pour une bobine d'inductance L et de résistance r :

uL,r(t) = L.dt

)t(di + r.i(t)

Um.cos(ω.t) = L.dt

)]t.cos(.I[d m ϕ−ω + r.Im.cos(ω.t − ϕ)

Um.cos(ω.t) = − L.ω.Im.sin(ω.t − ϕ) + r.Im.cos(ω.t − ϕ)

Um.cos(ω.t) = L.ω.Im.cos(ω.t − ϕ + 2π ) + r.Im.cos(ω.t − ϕ)

On associe un vecteur de Fresnel à chacune des fonctions sinusoïdales : →UL,r = →Ur + →UL →UL avec →UL = UmL = L.ω.Im

et →Ur avec →Ur = Umr = r.Im En se plaçant à la date t telle que ω.t − ϕ = 0, on obtient le diagramme : L'indépendance est donnée par : ZL,r =

m

m

IU

D'après le diagramme de Fresnel, on voit que : Um = 2mL

2mr UU + = 222

m22m .L.Ir.I ω+ , et

on peut en déduire que : Pour une bobine résistive d’inductance L et de résistance r, l'impédance dépend de N :

ZL,r = 222 .Lr ω+ = 2222 L.N..4r π+

u(t) est en avance sur i(t) : ϕL,r > 0

et : tan(ϕL,r) = r.Lω ce qui détermine ϕL,r.

L’intensité222

m

.LrU

ω+ : Im = ou I =

222 .LrU

ω+

Remarque : On connaît la relation trigonométrique : cos(ϕ) = )(tan

112 ϕ

+

Le facteur de puissance)(tan

11r,L2 ϕ

+ : cos(ϕL,r) = = r,LZ

r = 222 .Lr

rω+


La bobine

: PL,r = U.I.cos(ϕL,r) = ZL,r.I2.cos(ϕL,r) = r.I2

réelle emmagasine de l’énergie qu’elle restitue intégralement ensuite, elle ne dissipe de l’énergie que par effet Joule

.

→UL,r →UL

ϕL,r ϕL = +

2π

→I →Ur

axe des cosinus



III) Etude d’un circuit R, L, C série1)

: Impédance et déphasage

On sait que, pour un condensateur, on a : i(t) = C.

:

dt)t(duc

Dans la suite nous écrirons uc(t) = C1 . ∫ dt).t(i où ∫ dt).t(i est une primitive de i(t).

La relation entre la tension uR,L,C(t) aux bornes d’un circuit formé en série, d’un conducteur ohmique de résistance R', d’une bobine d’inductance L et de résistance r (la résistance totale est R = R' + r) et d’un condensateur de capacité C et l’intensité i(t) du courant qui traverse cette branche de circuit est :

uR,L,C(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t) = R.i(t) + L.dt

)t(di + C1 . ∫ dt).t(i

L'expérience montre que, en régime permanent, si on applique aux bornes de l'ensemble une tension sinusoïdale de la forme uR,L,C(t) = Um.cos(ω.t), il règne dans le circuit une courant sinusoïdal commun aux trois dipôles en série et de la forme i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ).

On a donc L.dt

)t(di = − L.ω.Im.sin(ω.t − ϕ) = L.ω.Im.cos(ω.t − ϕ + 2π )

et C1 . ∫ dt).t(i =

C1 .ω.Im.sin(ω.t − ϕ) =

C1 .ω.Im. cos(ω.t − ϕ −

2π )

D'où l'équation :

Um.cos(ω.t) = R.Im.cos(ω.t − ϕ) + L.ω.Im.cos(ω.t − ϕ + 2π ) +

C1 .ω.Im.cos(ω.t − ϕ −

2π )

On associe un vecteur de Fresnel à chacune des fonctions sinusoïdales : →UR,L,C = →UR + →UL + →UC →UR avec →UR = R.Im →UL avec →UL = L.ω.Im →UC. avec →UC =

C1 .ω.Im

En se plaçant à la date t telle que ω.t − ϕ = 0, on obtient le diagramme : L'indépendance est donnée par : ZL,r =

m

m

IU

D'après le diagramme de Fresnel, on voit que :

Um = 2mCmL2

mR )UU(U −+ = 22

2m222

m22m .C

I.L.Ir.Iω

−ω+ , et on en déduit que :

ZR,L,C = 2

2.C1.LR

ω−ω+ =

22

C.N..21L.N..2R

π−π+

Pour un circuit R, L, C série, u(t) présente un déphasage ϕ R,L,C par rapport à i(t) et :

tan(ϕ R,L,C) = R

.C1.Lω

−ω =

RC.N..2

1L.N..2π

−π

l’intensité : Im = 2

2

m

.C1.LR

U

ω−ω+

ou I = 2

2.C1.LR

U

ω−ω+

→UL ϕ C = − π/2 →UR,L,C →UC

ϕ R,L,C ϕL = + π/2 →I →UR

axe des cosinus




Remarque : On connaît la relation trigonométrique : cos(ϕ) =

:

)(tan112 ϕ

+

Le facteur de puissance est : cos(ϕ R,L,C) = )(tan

112 ϕ

+ = C,L,RZ

R

La puissance moyenne est : PR,L,C = U.I.cos(ϕ R,L,C) = ZR,L,C.I2.cos(ϕ R,L,C) = R.I2 : La bobine et le condensateur échangent sans cesse de l’énergie, mais le circuit R, L, C ne dissipe de l’énergie que par effet Joule dans les résistances.

3) Résonance d’intensité du circuit R, L, C série

L’expression Im =

:

22

m

.C1.LR

U

ω−ω+

passe par une valeur maximale quand ω

−ω.C1.L = 0

D’où L.ω = ω.C

1 et ω = C.L

1 ou N = C.L..2

1π

ou encore T = 2.π. C.L

Le circuit R, L, C série présente une résonance d’intensité lorsque la pulsation ω ou la fréquence N (ou la période T) imposée par le générateur est égale à la pulsation propre ω0 ou la fréquence propre N0 (ou la période propre T0) du circuit R, L, C série en oscillations libres :

ω = ω0 = C.L

1 ou N = N0 = C.L..2

1π

ou T = T0 = 2.π. C.L

A la résonance, l’intensité du courant prend une valeur maximale :

Im0 = RUm ou I0 =

RU

A la résonance, l’impédance du circuit Z0R,L,C est égale à la résistance totale du circuit :

Z0R,L,C = R

tan(ϕ R,L,C) = R

.C1.L

00

ω−ω

= 0

A la résonance, l'intensité i(t) est en phase avec la tension u(t) :

ϕ0R,L,C = 0 →UR,L,C = →UR + →UL + →UC

→UR avec →UR = R.Im →UL avec →UL = L.ω0.Im →UC. avec →UC =

C1 .ω0.Im

A la résonance, les différents vecteurs de Fresnel se présentent dans une situation particulière et en se plaçant à la date t telle que ω.t − ϕ = 0, on obtient le diagramme :

UmL = →UL = L.ω0.Im = C1 .ω0.Im = →UC = UmC

→UL ϕ C = − π/2 →UR,L,C ϕL = + π/2

→I →UR →UC

axe des cosinus



Remarque : A la résonance les tensions UmL aux bornes de la bobine (idéale) et UmC aux bornes du condensateur sont égales. Elles peuvent être beaucoup plus grandes que celle délivrée par le générateur. On montre et on vérifie qu'à la résonance on a : UC0 = Q.U. La tension aux bornes de la bobine est du même ordre de grandeur, si sa résistance est faible.

IV) Courbes d'évolution de l'amplitude de la réponse en fonction de la fréquence N

1) :

PrésentationLorsqu'on applique une tension u(t) = Um.cos(ω.t) = Um.cos(2.π.N.t) aux bornes d'un dipôle, celui-ci est le siège d'un courant d'intensité i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ) = Im.cos(2.π.N.t − ϕ).

:

Si on impose l'amplitude Um de la tension (le signal) et que l'on fait varier la période N, l'amplitude Im de la l'intensité du courant (la réponse) évolue en fonction de N (sauf pour un conducteur ohmique). En effet : - Pour un conducteur ohmique de résistance R : Im =

RUm (indépendant de la fréquence N).

- Pour un condensateur de capacité C : Im = C.ω.Um = C.2.π.N.Um - Pour une bobine d'inductance L et de résistance r : Im =

222

m

.LrU

ω+ =

2222

m

N..4.LrU

π+

- Pour un circuit R, L, C série : Im = 2

2

m

.C1.LR

U

ω−ω+

= 2

2

m

C.N..21L.N..2R

U

π−π+

2) Représentation graphique

On donne ci-dessous l'allure des courbes d'évolution de Im (ou I) en fonction de ω (ou N) pour un condensateur de capacité C, une bobine d’inductance L et de résistance r et un circuit R, L, C série :

:

En particulier pour un dipôle R, L, C série, on retrouve graphiquement le pic de résonance de la courbe Im = f(N). Nous étudierons expérimentalement cette courbe de résonance de façon plus approfondie.

Im (A) Ou résonance d’intensité I bobine (L, r) circuit R, L, C série Condensateur (C) ω ou N ω = ω0 ou N = N0



V) Etude expérimentale d’un circuit R, L, C série1)

: ExpérienceOn considère un circuit R, L, C série aux bornes duquel on branche un générateur basse fréquence (G.B.F.) délivrant une tension sinusoïdale u(t) de valeur efficace U et de fréquence N réglable.

:

On choisit L = 10 mH avec r = 3 Ω, R' = 47 Ω donc R = R' + r = 50 Ω et C = 1,0 µF. Un oscilloscope permet de visualiser les variations au cours du temps : - de la tension u(t) = Um.cos(2.π.N.t) = U. 2 .cos(2.π.N.t) imposée (signal- de la tension uR(t) = R.i(t) = R.Im.cos(2.π.N.t − ϕ) = R.I.

) par le G.B.F. 2 .cos(2.π.N.t − ϕ) aux bornes du

conducteur ohmique. Au facteur R près elle nous montre les variations de l'intensité (réponse 2) du courant i(t) = Im.cos(2.π.N.t − ϕ) = I. .cos(2.π.N.t − ϕ) au cours du temps.

On observe deux sinusoïdes de même période mais décalées dans le temps : voie YA masse voie YB Lorsqu'on applique aux bornes d'un dipôle R, L, C une tension sinusoïdale, il est le siège d'oscillations électriques à la fréquence imposée N ≠ N0. Ces oscillations sont imposées par le G.B.F. : on parle d'oscillations forcées.

pour N < N0 pour N > N0 u(t) et en retard par rapport à i(t) u(t) et en avance par rapport à i(t)

∆T = N..2C,L,R

πϕ < 0 ∆T =

N..2C,L,R

πϕ > 0

G.B.F. ∩∪ C L, r R' voie YB uR(t)

u(t) voie YA masse

u(t) voie YA i(t) voie YB



Remarque : Il ne faut pas confondre oscillations forcées et oscillations entretenues. Le G.B.F. impose un signal de la forme u(t) = Um.cos(ω.t) = U. 2 .cos(ω.t), le circuit R, L, C est le siège d'une réponse sous la forme d'un courant d’intensité i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ) = I. 2 .cos(ω.t − ϕ).

2) Résonance d’intensité du circuit R, L, C

a) Mise en évidence : :

On sait que la période propre du circuit est donnée par T0 = 2.π. C.L ≈ 0,63 ms et une fréquence propre N0 ≈ 1,6 kHz. Faisons varier la fréquence N imposée de 20 Hz à 20 kHz, en maintenant constante la valeur efficace U de la tension u(t) : son amplitude Um reste constante. Suivons l'amplitude UmR de la tension sinusoïdale uR(t), sur la voie YB de l'oscilloscope. L'amplitude du courant est donnée par : Im =

RUmR

Lorsque la fréquence N imposée croît de 20 Hz à 1 kHz : - l'amplitude Im de l'intensité du courant croît. - la tension u(t) présente un retard temporel ∆T ou un retard de phase ϕ = − 2.π.(τ/T) par

rapport à i(t) ; en particulier pour N << N0 on a ϕ = − π/2 Lorsque la fréquence N imposée croît de 2 kHz à 20 kHz : - l'amplitude Im de l'intensité du courant décroît. - la tension u(t) présente une avance temporelle ∆T ou avance de phase ϕ = − 2.π.(τ/T)

par rapport à i(t) ; en particulier pour N >> N0 on a ϕ = + π/2

pour N << N0 pour N >> N0 u(t) et en quadrature retard sur i(t) u(t) et en quadrature avance sur i(t)

∆T = N..2C,L,R

πϕ ≈ −

4T ∆T =

N..2C,L,R

πϕ ≈ +

4T

Pour N ≈ N0 : - l'amplitude Im de l'intensité du courant

présente un maximum Im0. - l'intensité du courant est en phase avec la

tension : ϕ = 0 Ce phénomène est appelé résonance d'intensité, la fréquence propre du circuit est donc la fréquence de résonance.




b) Courbe de résonance :

Il est possible à l'aide d'un ordinateur d'enregistrer les variations de l'amplitude Im de l'intensité en fonction de la fréquenceN, ou les variations de URm en fonction de N. Il faut maintenir constante la valeur de Um. On obtient une courbe appelée courbe de résonance. Par définition Z = U/I = Um/Im, pour un circuit R, L, C série, en traçant la courbe I = f(ω), on retrouve l’allure de la courbe de résonance.

c) Acuité de la résonance : On remarque qu'à la résonance :

* L.C.ω2 = 1 et ω = ω0 = C.L

1 ou T = T0 = 2.π. C.L est égale à la période propre.

* I ou Im est maximal et vaut : Im0 = Um/R ou I0 = U/R * l'impédance d'un dipôle R, L, C série prend sa valeur minimale Z = R On peut tracer deux courbes de résonance d'intensité en maintenant Um ou U constant mais en faisant varier R d’une courbe à l’autre : on obtient un pic d’autant plus aigu que la résistance R du circuit est petite : On choisit L = 10 mH avec r = 3 Ω, et C = 1,0 µF. - dans une première expérience, on prend R1' = 17 Ω donc R1 = R1' + r = 20 Ω. - dans une deuxième expérience, on prend R2' = 77 Ω donc R2 = R2' + r = 80 Ω.

On appelle bande passante à 3 décibels (3 dB), l'intervalle de fréquences ∆N sur lequel l'intensité efficace I du courant est supérieure à I0/√

−2−

, I0 désignant la valeur maximum de l'intensité efficace. On définit le niveau d'intensité efficace par GdB = 20.log(I/I0). On voit donc que pour que I soit supérieur à I0/√

−2−

il faut, en fait, que : I0/√−2−

< I < I0. D'après la définition du niveau d'intensité efficace, on a :

2.II

0

0 < 0II <

0

0

II ⇒

21 <

0II < 1 ⇒ 20.log(

21 ) < 20.log(

0II ) < 20.log(1)

Soit − 20.log(√−2−

) < GdB < 0

d'où GdB < 20.log(√−2−

) ≈ 3 dB

Courbe représentative de la relation entre l'intensité efficace I = Im/ 2 et la fréquence N imposée par le générateur :

I = f(N)

I (en A) I01

2I01

I02

2I02

0

N1 N2 0 N1 N0 N2 N (en Hz)

pour R1 = 20 Ω pour R2 = 80 Ω

∆N

∆N


Ecole Européenne de Francfort 1

Désignons par ∆N = N2 − N1 la largeur de la bande passante : - La largeur de la bande passante augmente avec la résistance du circuit. - La bande passante est indépendante de la valeur efficace de la tension appliquée au

dipôle R, L, C.

On appelle facteur de qualité d'un circuit R, L, C le quotient : Q = N

N0

∆ =

ω∆ω0 .

∆N est la largeur de bande (en Hz). Le facteur de qualité rend compte du caractère plus ou moins aigu de la résonance. Pour une valeur de R, et pour une tension efficace donnée U, mesurons les tensions efficaces aux bornes des différents dipôles : UR, UC et UL. On constate que : Les valeurs efficaces des tensions ne vérifient pas la loi d'additivité des tensions. A la résonance on a : U = UR0 = R.I et UC0 = UL0. Au voisinage de la résonance, la tension efficace aux bornes du condensateur ou de la bobine peut être beaucoup plus grande que celle délivrée par le générateur. On démontre que le facteur de qualité peut s’écrire :

Q = U

U 0C = 0.C.R

1ω

= U

U 0L = R.L 0ω ou Q =

C.R.N..210π

= R

L.N..2 0π



A RETENIR I) Généralités

1) :

Signal et réponseLorsqu'on applique, aux bornes d'un dipôle, une tension sinusoïdale u(t), qui constitue un signal émis par le générateur qui en est la source, il se produit un régime permanent sinusoïdal de même fréquence, caractérisé par un courant dont l'intensité i(t), qui constitue une réponse du récepteur RLC série.

:

En régime quasi-stationnaire, les lois des courants continus ou lentement variables sont applicables, à chaque instant.

2) Conventions et représentationsa) Représentation de Fresnel de u(t) et i(t) :

:

Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale u(t) = Um.cos(ω.t) aux bornes d'un dipôle en régime quasi-stationnaire, après l’établissement du régime permanent, le dipôle est traversé par un courant d'intensité i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ). − ϕ (en rad) étant le déphasage de i(t) par rapport à u(t), on voit que + ϕ est le déphasage de u(t) par rapport à i(t). u(t) = Um.cos(ω.t) est la mesure algébrique de la projection du vecteur de Fresnel →U, de module Um, qui tourne à la vitesse angulaire constant ωDe même :


i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ) est la mesure algébrique de la projection du vecteur de Fresnel →I, de module Im, qui tourne à la vitesse angulaire constant ωOn a donc :


+ ϕ qui est le déphasage de u(t) par rapport à i(t) est aussi l'angle constant que font entre eux les vecteurs de Fresnel →I et →U :

+ ϕ = (→I , →U )

b) Dipôles en série : Le vecteur de Fresnel →U associé à la tension harmonique Um.cos(ω.t + ϕ) est la somme vectorielle des vecteurs →U1 associé à la tension harmonique Um1.cos(ω.t + ϕ1) et →U2 associé à la tension harmonique Um2.cos(ω.t + ϕ2) :

→U = →U1 + →U2 ⇐⇒ Um.cos(ω.t + ϕ) = Um1.cos(ω.t + ϕ1) + Um2.cos(ω.t + ϕ2).

3) Intensité et tension efficacesOn appelle intensité efficace Ieff d'un courant sinusoïdal i(t) = Im.cos(ω.t), la valeur de l'intensité d'un courant continu d'intensité I = Ieff qui dissiperait la même énergie W dans un résistor de résistance R, pendant la même durée ∆t.

:

L'intensité efficace d'un courant sinusoïdal de valeur maximale Im est :

Ieff = I = 2

Im

La tension efficace d'une tension sinusoïdale de valeur maximale Um est :

Ueff = U = 2

Um



4) Impédance

Par définition, l'impédance Z d'un circuit est le rapport, exprimé en ohm (Ω) :

:

Z = m

m

IU =

IU


P =

:

2I.U mm .cos(ϕ) = U.I.cos(ϕ) = →I .→U

P = U.I.cos(ϕ) est la puissance moyenne dissipée dans le circuit (en W), Pa = U.I est la puissance apparente du circuit (en W), cos(ϕ) est le facteur de puissance du circuit (coefficient sans dimension).

II) Etude théorique de quelques dipôles1)

: Conducteur ohmique

Pour un résistor, on a la relation : ur(t) = R.i(t)

:

ur(t) et i(t) sont en phase : ϕr = 0

L'impédanceLe

est égale à la résistance : Zr = R facteur de puissance

La : cos(ϕr) = 1

puissance moyenne

: Pr = U.I.cos(ϕr) = R.I2 est dissipée par effet Joule

2) CondensateurPour un condensateur, on a la relation : q(t) = C.uc(t)

:

d'où i(t) = C.dt

)t(duc

soit Im.cos(ω.t − ϕ) = C.dt

)]t.cos(.U[d m ω = − Um.C.ω.sin(ω.t)

Im.cos(ω.t − ϕ) = Um.C.ω.cos(ω.t + 2π )

uc(t) est en quadrature retard sur i(t) : ϕc = − 2π

Dans ce cas, on a en plus : Im = C.ω.Um L'impédance dépend de la fréquence N :

Zc = ω.C

1 = C.N..2

1π

Le facteur de puissance2π : cos(ϕc) = cos(− ) = 0


Le condensateur emmagasine de l’énergie qu’il restitue intégralement ensuite, d’où une puissance moyenne dissipée nulle.

: Pc = U.I. cos(ϕc) = 0

→Ur →I

axe des cosinus

→I

ϕc = − 2π

→Uc

axe des cosinus



3) Bobine ou solénoïde

a) Bobine idéale : :

uL(t) = L.dt

)t(di

Um.cos(ω.t) = − L.Im.ω.sin(ω.t − ϕ)

D'où Um.cos(ω.t) = L.Im.ω.cos(ω.t − ϕ + 2π )

u(t) est en quadrature avance sur i(t) : ϕL = + 2π

L'impédance dépend de la fréquence N : Zc = L.ω = 2.π.N.L

Le facteur de puissance2π : cos(ϕL) = cos( ) = 0


La bobine

: PL = U.I. cos(ϕL) = 0

idéale

emmagasine de l’énergie qu’elle restitue intégralement ensuite, d’où une puissance moyenne dissipée qui est nulle.

b) Bobine réelle :

uL,r(t) = L.dt

)t(di + r.i(t)

Um.cos(ω.t) = L.ω.Im.cos(ω.t − ϕ + 2π ) + r.Im.cos(ω.t − ϕ)

L'impédance dépend de N :

ZL,r = 222 .Lr ω+ = 2222 L.N..4r π+

ϕL,r > 0

tan(ϕL,r) = r.Lω

Im = 222

m

.LrU

ω+ ou I =

222 .LrU

ω+

Le facteur de puissance)(tan

11r,L2 ϕ

+ : cos(ϕL,r) = = r,LZ

r = 222 .Lr

rω+


La bobine

: PL,r = U.I.cos(ϕL,r) = ZL,r.I2.cos(ϕL,r) = r.I2

réelle emmagasine de l’énergie qu’elle restitue intégralement ensuite, elle ne dissipe de l’énergie que par effet Joule

.

→UL

ϕL = + 2π

→I

axe des cosinus

→UL,r →UL

ϕL,r ϕL = +

2π

→I →Ur



III) Etude d’un circuit R, L, C série1)

: Impédance et déphasage

On sait que, pour un condensateur, on a : i(t) = C.

:

dt)t(duc

uR,L,C(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t) = R.i(t) + L.dt

)t(di + C1 . ∫ dt).t(i

Si on applique aux bornes du circuit une tension sinusoïdale uR,L,C(t) = Um.cos(ω.t), il règne dans le circuit une courant sinusoïdal de la forme i(t) = Im.cos(ω.t − ϕ).

On a donc L.dt

)t(di = − L.ω.Im.sin(ω.t − ϕ) = L.ω.Im.cos(ω.t − ϕ + 2π )

et C1 . ∫ dt).t(i =

C1 .ω.Im.sin(ω.t − ϕ) =

C1 .ω.Im. cos(ω.t − ϕ −

2π )

Um.cos(ω.t) = R.Im.cos(ω.t − ϕ) + L.ω.Im.cos(ω.t − ϕ + 2π ) +

C1 .ω.Im.cos(ω.t − ϕ −

2π )

On associe un vecteur de Fresnel à chacune des fonctions sinusoïdales : →UR,L,C = →UR + →UL + →UC →UR avec →UR = R.Im →UL avec →UL = L.ω.Im →UC. avec →UC =

C1 .ω.Im

ZR,L,C = 2

2.C1.LR

ω−ω+ =

22

C.N..21L.N..2R

π−π+

Pour un circuit R, L, C série, u(t) présente un déphasage ϕ R,L,C par rapport à i(t) et :

l’intensité : Im = 2

2

m

.C1.LR

U

ω−ω+

ou I = 2

2.C1.LR

U

ω−ω+


La puissance moyenne est : PR,L,C = U.I.cos(ϕ R,L,C) = ZR,L,C.I2.cos(ϕ R,L,C) = R.I2 :

:

La bobine et le condensateur échangent sans cesse de l’énergie, mais le circuit R, L, C ne dissipe de l’énergie que par effet Joule dans les résistances.

3) Résonance d’intensité du circuit R, L, C sérieLe circuit R, L, C série présente une résonance d’intensité lorsque la pulsation ω ou la fréquence N (ou la période T) imposée par le générateur est égale à la pulsation propre ω0 ou la fréquence propre N0 (ou la période propre T0) du circuit R, L, C série en oscillations libres :

:

ω = ω0 = C.L

1 ou N = N0 = C.L..2

1π

ou T = T0 = 2.π. C.L

→UL ϕ C = − π/2 →UR,L,C →UC

ϕ R,L,C ϕL = + π/2 →I →UR

axe des cosinus



A la résonance, l’intensité du courant prend une valeur maximale :

Im0 = RUm ou I0 =

RU

A la résonance, l’impédance du circuit Z0R,L,C est égale à la résistance totale du circuit :

Z0R,L,C = R

A la résonance, l'intensité i(t) est en phase avec la tension u(t) :

ϕ0R,L,C = 0

UmL = →UL = L.ω0.Im = C1 .ω0.Im = →UC = UmC

IV) Courbes d'évolution de l'amplitude de la réponse en fonction de la fréquence N

1) :

Présentation- Pour un conducteur ohmique de résistance R : Im =

:

RUm (indépendant de la fréquence N).

- Pour un condensateur de capacité C : Im = C.ω.Um = C.2.π.N.Um - Pour une bobine d'inductance L et de résistance r : Im =

222

m

.LrU

ω+ =

2222

m

N..4.LrU

π+

- Pour un circuit R, L, C série : Im = 2

2

m

.C1.LR

U

ω−ω+

= 2

2

m

C.N..21L.N..2R

U

π−π+

2) Représentation graphique

On donne ci-dessous l'allure des courbes d'évolution de Im (ou I) en fonction de ω (ou N) pour un condensateur de capacité C, une bobine d’inductance L et de résistance r et un circuit R, L, C série :

:

Im (A) Ou résonance d’intensité I bobine (L, r) circuit R, L, C série Condensateur (C) ω ou N ω = ω0 ou N = N0



V) Etude expérimentale d’un circuit R, L, C série1)

: ExpérienceOn considère un circuit R, L, C série aux bornes duquel on branche un générateur basse fréquence (G.B.F.) délivrant une tension sinusoïdale u(t) de valeur efficace U et de fréquence N réglable.

:

On choisit L = 10 mH avec r = 3 Ω, R' = 47 Ω donc R = R' + r = 50 Ω et C = 1,0 µF. Lorsqu'on applique aux bornes d'un dipôle R, L, C une tension sinusoïdale, il est le siège d'oscillations électriques à la fréquence imposée N ≠ N0. Ces oscillations sont imposées par le G.B.F. : on parle d'oscillations forcées.

pour N < N0 pour N > N0 u(t) et en retard par rapport à i(t) u(t) et en avance par rapport à i(t)

∆T = N..2C,L,R

πϕ < 0 ∆T =

N..2C,L,R

πϕ > 0

2) Résonance d’intensité du circuit R, L, C

a) Mise en évidence : :

pour N << N0 pour N >> N0 u(t) et en quadrature retard sur i(t) u(t) et en quadrature avance sur i(t)

∆T = N..2C,L,R

πϕ ≈ −

4T ∆T =

N..2C,L,R

πϕ ≈ +

4T

G.B.F. ∩∪ C L, r R' voie YB uR(t)

u(t) voie YA masse





Pour N ≈ N0 : - l'amplitude Im de l'intensité du courant

présente un maximum Im0. - l'intensité du courant est en phase avec la

tension : ϕ = 0 Ce phénomène est appelé résonance d'intensité, la fréquence propre du circuit est donc la fréquence de résonance.

c) Acuité de la résonance :

On appelle bande passante à 3 décibels (3 dB), l'intervalle de fréquences ∆N sur lequel l'intensité efficace I du courant est supérieure à I0/√

−2−

, I0 désignant la valeur maximum de l'intensité efficace. On définit le niveau d'intensité efficace par GdB = 20.log(I/I0).

d'où GdB < 20.log(√−2−

) ≈ 3 dB

Les valeurs efficaces des tensions ne vérifient pas la loi d'additivité des tensions. A la résonance on a : U = UR0 = R.I et UC0 = UL0. Au voisinage de la résonance, la tension efficace aux bornes du condensateur ou de la bobine peut être beaucoup plus grande que celle délivrée par le générateur. On démontre que le facteur de qualité peut s’écrire :

Q = U

U 0C = 0.C.R

1ω

= U

U 0L = R.L 0ω ou Q =

C.R.N..210π

= R

L.N..2 0π

Courbe représentative de la relation entre l'intensité efficace I = Im/ 2 et la fréquence N imposée par le générateur :

I = f(N)

N1 N2 0 N1 N0 N2 N (en Hz)

pour R1 = 20 Ω pour R2 = 80 Ω

∆N

∆N



POUR S'ENTRAÎNER I) Circuit R, L, C série.

Un circuit comprend, montés en série : un conducteur ohmique de résistance R, une bobine idéale d'inductance L, un condensateur de capacité C et un générateur de tension basse fréquence GBF, délivrant une tension sinusoïdale u(t) = U. 2 .sin(ω.t) de fréquence N variable. a) La fréquence du GBF est fixée à 50 Hz.

i. Exprimer et déterminer l'impédance ZAB, l'intensité efficace I du courant, ainsi que le déphasage ϕ entre la tension et l'intensité. A.N. : U = 6 V ; L = 60 mH ; C = 30 µF ; R = 10 Ω.

ii. Montrer que l'on pourrait obtenir la même intensité efficace I pour une autre valeur L' de l'inductance, tous les autres paramètres étant maintenus constants. Calculer L', ainsi que le nouveau déphasage ϕ’ entre la tension et l'intensité.

b) La bobine ayant l'inductance initiale L, on fait varier la fréquence du GBF entre 20 et 500 Hz (U étant maintenu constant). i. On dispose d'un oscillographe bicourbe. Préciser sur un schéma le branchement

permettant d'observer les fonctions u(t) et i(t). Décrire le phénomène observé sur l'écran, quand la fréquence varie de 20 à 500 Hz.

ii. Calculer les valeurs de la fréquence N0 et du déphasage ϕ0 quand l'intensité efficace passe par son maximum I0. Calculer I0.

iii. Le facteur de qualité du circuit s'exprime par Q = UU

L = N

N0

∆ où ∆N est la largeur de la

bande passante et UL la tension efficace à la résonance aux bornes de la bobine. Exprimer Q et ∆N en fonction de R, L et N0. Calculer Q et ∆N pour le circuit étudié. Quelle est l'influence de R sur le phénomène observé ?

II) Circuit R, L, C série et résonance.

Un dipôle AB, de schéma équivalent donné ci-contre, est constitué par l'association en série d'un conducteur ohmique, d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C. On désigne par R la résistance totale du circuit. On applique une tension uAB = U.√

−2−

.cos(ω.t) de valeur efficace U, constante mais de pulsation ω réglable. Un wattmètre mesure la puissance électrique moyenne P reçue par le dipôle. a) Démontrer que lorsque l'on règle ω = ω0 pour obtenir les conditions de résonance électrique

pour ce dipôle, on mesure alors une valeur maximale P0 pour la puissance moyenne. Exprimer P0 en fonction de U et R. En déduire l'expression de l'énergie électrique W0 reçue par le dipôle pendant une période, en fonction de U, R et ω0.

b) Dans les conditions de résonance, exprimer en fonction du temps l'énergie totale wt emmagasinée dans le dipôle, sous forme magnétique dans la bobine (wL = 1

2 .L.i2) et sous forme électrostatique dans le condensateur (wC = 1

2 .C.uC2). Montrer que Wt reste constant.

Dans ces conditions, exprimer cette énergie totale en fonction de L, U et R. Que devient donc à chaque instant l'énergie électrique reçue par le dipôle ?



c) Exprimer le rapport wW

t

0 en fonction du facteur de qualité Q =

LR.ω 0 . En déduire les

conditions optimales à réaliser pour conserver dans un circuit oscillant une grande quantité d'énergie avec une très faible dépense énergétique.

III) Circuit R, L, C et courbe de réponse.

On dispose de trois dipôles : - un dipôle C1, constitué par un condensateur de capacité C1. - un dipôle R2L2, constitué par une bobine de résistance R2 et d'inductance L2. - un dipôle R3L3C3, constitué par une bobine de résistance R3 et d'inductance L3 montée en série avec un condensateur de capacité C3.

En appliquant aux bornes de chaque dipôle la tension u = 6. 2 .cos(ω.t) fournie par un générateur à fréquence N réglable, on établit sa courbe de réponse en intensité efficace I sur l'intervalle de fréquence de 0 à 1000 Hz (les trois graphes obtenus sont tracés sur la figure. a) Dipôles C1 et R2L2.

i. Donner les expressions des impédances Z1 du dipôle C1 et Z2 du dipôle R2L2. ii. Donner les relations littérales entre l'intensité efficace I et la fréquence N imposée par le

générateur pour le dipôle C1 et pour le dipôle R2L2. iii. Déduire de ce qui précède et des courbes de réponse les valeurs de R2, L2 et C1.

b) Dipôles R3L3C3. i. Déduire de la courbe de réponse la valeur de la fréquence de résonance N0 et la valeur de

l'intensité efficace à la résonance I0. Calculer numériquement R3. ii. Déterminer graphiquement les limites N1 et N2 de la bande passante (N1 et N2 sont les

fréquences pour lesquelles la réponse en intensité du dipôle est égale à I0/ 2). En déduire la largeur de la bande passante ∆N et le facteur de qualité Q du dipôle.

iii. Quelle est la valeur efficace de la tension aux bornes du condensateur de capacité C3, à la résonance ? Calculer les valeurs de la capacité C3 et de l'inductance L3.

c) Comparer R3 à R2, L2 à L2 et C3 à C1. On constate que la courbe de réponse du circuit R3L3C3 présente avec les deux autres courbes des parties semblables; justifier théoriquement cette observation.

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne · Oscillations électriques sinucoïdales forcées...

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