Leçon n°8 : Oscillations [1] PHR 004

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Oscillations mécaniques libres non amor ties

Oscillations mécaniques forcées sur un système non amor ti

1. Rappels mathématiques : Equations différentielles du 2 nd ordre

Ce sont des équations de la forme 2

2

d y d y a + b + c y(t) = ay'' + by' + cy = F d t d t

a, b et c sont généralement des constantes, F peut être nul ou une constante d ou une fonction

de t uniquement.

Résolution

1. Sans second membre : ay'' + by' + cy = 0

On résout l'équation caractéristique : 2 a r + b r + c = 0

Si on a :

• ∆ = b 2 ­ 4ac > 0 Deux racines distinctes la solution est : 1 2 r t r t y(t)= e e λ + β

• ∆ = 0 Une racine double ( ) r t y(t) = t e λ +β

• ∆ = b 2 ­ 4ac < 0 Cas le plus fréquent en physique Deux racines complexes

r i = α ± β la solution est : ( ) ( ) t y(t) = cos t sin t e Msin t α λ β + δ β = β + ϕ

M et ϕ sont des constantes.

2. Avec second membre constant : on procède alors au changement de variable :

u = cy – d

On va donc avoir : u’ = cy’ et u’’ = cy’’

Par conséquent : y’ = (1/c) u’ et y’’ = (1/c) u’’

Et on a l’équation : (a/c) u’’ + (b/c) u’ + u = 0 [ au" + bu’ + cu = 0

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On se ramène donc au cas précédent. Noter bien qu’on cherche y(t) et non pas u(t).

3. Avec second membre variable : la solution est constituée par la solution y1 de l’équation

sans second membre, à laquelle on ajoute une solution particulière y2 de l’équation avec

second membre.

Exemple : si le second membre est une exponentielle, l’équation différentielle est alors de la

forme : ay’’ + by’ + cy = de kt .

A la solution générale y1, on rajoute donc une solution particulière de la forme

y2 = α e kt .

Applications : résoudre l’équation différentielle

Exemple 1 : y’’ – 5 y’ + 6 y =0

∆ = 25 – 24 = 1 donc 2 solutions réelles r1 = 2 et r2 = 3

La solution de l’équation est donc y = ae 2x + be 3x

Exemple 2 : y’’ – 6y’ + 9y= 0

∆ = 36 – 36 = 0 donc 1 solution réelle double r1 = 6/2 = 3

La solution de l’équation est donc y = e 3x (mx+p)

Exemple 3 : y’’ – 4y’ + 13y = 0

∆ = 16 – 4x13 = ­36 = (6i)² donc 2 solutions imaginaires r1 = 2­3i et r2 = 2+3i

La solution de l’équation est donc y = C sin(3x+ϕ)

Exemple 4 : y’’ – 5 y’ + 6 y =4

On commence par faire le changement de variable u = 6y ­ 4

Ce qui donne u’ = 6y’y’ = u’/6 et u’’ = 6y’’y’’ = u’’/6

L’équation va donc se transformer en u’’/6 – 5/6 u’ + u = 0 ou encore u’’ – 5u’ + 6u = 0

∆ = 25 – 24 = 1 donc 2 solutions réelles r1 = 2 et r2 = 3

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3

La solution générale de l’équation est donc u = ae 2x + be 3x

Finalement la solution recherchée est de la forme y = (u+4)/6 = (ae 2x + be 3x +4)/6

2. L'oscillateur mécanique libre non amor ti Les oscillations libres non amorties ont lieu quand le système susceptible d'osciller a été mis

en mouvement puis ne subit aucune force d'excitation externe et n'a pas de frottement.

masse ressort

point fixe

Figure 1

Dans ce qui suit, nous allons considérer le cas particulier extrêmement simple du "pendule

élastique" constitué d'un ressort à boudin de masse négligeable, fixé en un point fixe à une de

ses extrémités. Une masse ponctuelle m, pouvant se déplacer horizontalement, sans

frottement est fixée à l'autre extrémité (figure 1).

2.1. Mouvement de la masse liée au ressort

On comprime le ressort. La diminution de la longueur du ressort correspond à une variation

de son élongation par rapport à sa longueur au repos. A l'instant t = 0 s on libère le ressort, la

masse m à cet instant n'ayant pas de vitesse initiale.

Première étape : bilan des forces appliquées à la masse :

Quand on abandonne le mobile à lui­même, la force de rappel lui communique une

accélération. Il dépasse la position de repos et le ressort subit un allongement et la masse va

subir une force et donc une accélération de sens contraire et ainsi de suite ...

La force de rappel est directement proportionnelle à l'élongation x r (comptée à partir de O

figure. 3) et opposée à x r d'où son expression : x k F − =

Cette dernière relation typique d'une force élastique est aussi appelée loi de Hooke. La

constante K est la raideur du ressort en N.m −1 .

Outre la force de rappel, dans le bilan des forces qui s'appliquent sur la masse, il ne faut pas

oublier le poids P et la réaction du support P − = R

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P

x k F − = R

0 x

Figure 2

Finalement, le principe fondamental de la dynamique appliquée à cette masse est résumé dans

l'égalité vectorielle :

a m F R P = + + [8.1]

En projection sur cet axe l'égalité vectorielle [8.1] devient l'égalité scalaire :

2 x 2

dv d x K x = m a = m = m dt dt

− [8.2]

Ainsi l'application du principe fondamental de la dynamique nous conduit à résoudre

l'équation différentielle du second ordre à coefficient constant de la forme :

2

2 d x K + x = O

m dt [8.3]

On pose ensuite m k

= 2 0 ω

ωo est la pulsation propre du système masse­ressort en rd . s −1

La fréquence propre fo (en Hz) et la période T (en s) de cet oscillateur harmonique sont

définies à partir des relations :

o o 1 K m f = et T = 2 2 m

π π K

[8.4]

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5

L'équation caractéristique de tout oscillateur harmonique libre non amorti s’écrit donc sous le

forme de :

0 2 0 2

2

= + x t d x d ω [8.5]

Sa solution est de la forme :

x(t) = A cos (ω0t + ϕ) [8.6]

A est l'amplitude du mouvement et ϕ la phase. On détermine ces deux grandeurs à partir des

conditions initiales (CI).

Considérons les CI suivantes : à 0 t = 0 x = x et v = 0

( )

( ) 0

0 0

x(t) A cos t

d x A sin t d t

= ω + ρ

= − ω ω + ρ

A t = 0 :

0 0

o 0 0

x(0) A cos x A x

d x A sin 0 0 0 d t ≠ ≠

= ρ = = ⇒ = − ω ρ = ⇒ ρ = ρ =

Finalement la relation donnant l'évolution de la position de la masse en fonction du temps est :

x(t) = x0 cos ω0 t [8.7]

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2.2. vitesse, accélération

Il est intéressant de tracer également l'évolution de la vitesse v(t) et de l'accélération a(t) de la

masse en fonction du temps :

0 0 0 dx v(t) = = x sin t dt

− ω ω

Ce que l'on peut écrire, en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques, sous la

forme de :

0 0 0 v(t) = x cos ( t + )2 π

ω ω [8.8]

La vitesse de la masse est donc "déphasée" de 2 π par rapport à l'élongation de la masse au

même instant et sa valeur maximale et égale à x0 ω0.

Pour l'accélération, on a :

2 0 0 0

dv a(t) = = x cos t dt

− ω ω

ce que l'on peut écrire en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques :

2 0 0 0 a(t) = x cos ( t + ) ω ω π [8.9]

La figure 3 résume l'évolution de la position x, de la vitesse v et de l'accélération a de la masse

en fonction du temps.

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position

vitesse

accélération

temps

temps

temps 2To

2To

2To

To

To

To

+xo

−xo

O

+ωo xo v

−ωo xo a

2 o o x + ω

2 o o x − ω

O

O

Figure 3 : Evolution de la position x(t) de la vitesse v(t) et de l'accélération a(t)

de la masse accrochée au ressort en fonction du temps

2.3.Cas d’un ressort vertical

Soit un ressort de longueur à vide l0. En accrochant une masse m, le ressort se détend de x0

(Figure 4).

X x0

x

0

P r

T r

Figure. 4

A l’équilibre : 0 P T + = r r r

En projetant sur l'axe ox uur

le bilan des forces appliquées à la masse m donne :

0 K x m g 0 − + = Nous sommes en régime statique.

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On tire ensuite le ressort et la masse vers le bas et on "lâche" l'ensemble masse­ressort qui se

met à osciller. Le principe fondamental de la dynamique nous permet d'écrire :

P T ma + = r r r

Faisons une projection sur l'axe ox uur

, nous obtenons :

2

2 d x mg K x m d t

− ∆ =

Avec : x ∆ = allongement « total » du ressort = (x + x0)

Par conséquent :

( ) 2 2

0 0 2 2 0

d x d x mg K x x m mg K x K x m d t d t

− + = ⇒ − − = 1442443

En divisant par m, on a :

2

2 d x K + x = 0

m dt

En posant : 2 0

K = m

ω , nous obtenons :

2 2 0 2

d x + x = 0 dt

ω

La relation qui décrit la variation de la position de la masse en fonction du temps est une

équation différentielle de second ordre sans second membre. Sa solution générale est :

x(t) = A cos (ω0 t + ϕ)

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3. Oscillations mécaniques forcées sur un système non amor ti Nous allons considérer maintenant que l'oscillateur constitué de l'ensemble masse­ressort

subit une excitation sinusoïdale liée à un dispositif extérieur comme, par exemple, celui

représenté sur la figure n°1 : on est dans le cas d'un oscillateur mécanique en vibrations

forcées.

Ce phénomène d'oscillations forcées est d'une grande importance dans la pratique et intervient

sur tous les types d'oscillateurs : mécaniques, acoustiques, électriques, optiques, etc. Par

exemple, les ondes électromagnétiques captées par une antenne mettent en oscillation forcée

le circuit électronique de notre téléphone portable ou de notre récepteur de télévision.

3.3.Equation différentielle du mouvement

Le phénomène d'oscillations mécaniques forcées est représenté schématiquement sur la

Figure. 1. Il s’agit d’un ensemble masse­ressort horizontal ; la masse étant reliée à un

dispositif entretenu électriquement. Grâce à ce montage, on peut appliquer à la masse une

force F r horizontale d'amplitude o F

uur et de pulsation ω (rd . s −1 ). Cette force F

r d'excitation

sinusoïdale a pour expression : ur uur

o F = F sin t ω

ressor t masse

Diapason en vibr ations entr etenues

F r

R r

T r

P r

(ox) ressor t masse

Diapason en vibr ations entr etenues

F r

R r

T r

P r

(ox)

Figure 4

Ainsi dans le bilan des forces appliquées à la masse m on a les forces suivantes :

− Le poids r P

− La réaction du support : r R

− La force de rappel du ressort : = − r r

T K x

− La force d’excitation sinusoïdale : uur o F sin t ω

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La seconde loi de Newton permet d'écrire la relation :

r r r r r T + F + P + R = m a [8.10]

En faisant ensuite une la projection sur l'axe horizontal ox uur

, on obtient :

− 2

o 2 d x Kx + F sin t = m dt

ω [8.11]

Ceci est l'équation typique d'un mouvement oscillatoire "forcé". On peut la réécrire sous la

forme : 2

2 o 0 2

F d x + x = sin t m dt

ω ω [8.12]

Avec :

o 0 K = 2 f = m

ω π

ωo = 2 π f0 est la pulsation propre de l'oscillateur libre non amorti.

L'équation différentielle [8.12] a le même premier membre que celle décrivant le mouvement

de l'oscillateur libre non amorti [8.5].

3.4.Expression de l’élongation x(t)

Nous pouvons résoudre l’équation [8.12] par des techniques classiques mais intuitivement, il

est assez naturel d'imaginer que la masse va être obligée d'osciller à la pulsation ω de la

force appliquée, c'est pourquoi nous allons essayer, comme solution l'expression :

( ) x t = A sin ( t + ) ω ϕ [8.13]

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Dans ca cas : − 2

2 2

d x = A sin ( t + ) d t

ω ω ϕ

En remplaçant les expressions de x(t) et 2

2 d x d t

dans l'équation différentielle [8.12], on obtient :

− 2 2 o o

F A ( ) sin ( t + ) = sin t m

ω ω ω ϕ ω [8.14]

En utilisant ensuite l'identité trigonométrique :

sin ( t + ) = (sin t) . cos + (cos t) . sin ω ϕ ω ϕ ω ϕ

on obtient finalement :

− − 2 2 2 2 o o o

F A ( ) (cos ) sin t + A( )(sin ) cos t = sin t m

ω ω ϕ ω ω ω ϕ ω ω

Cette égalité doit être vérifiée à tout instant t si on identifie de chaque coté de l'égalité les

coefficients de sin ωt et cos ωt :

[ ]

[ ]

8 15

8 16

−

−

2 2 o

2 2 o o

A( ) sin = 0 . F A( ) cos = . m

ω ω ϕ

ω ω ϕ

A partir de l’équation [8.15], et compte tenu du fait que 0 ω ≠ ω et A ≠ 0 on a :

sin ϕ = 0 ð ϕ = 0

En partant ensuite de l’équation [8.16], nous avons :

( ) 2 − 0

2 o

F A = m ω ω

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Par conséquent :

( ) ( ) 2 − o2 o

F x t = sin t m

ω ω ω

[8.17]

La figure 5 représente la variation de l'amplitude en fonction de ω. On note que cette

amplitude présente un comportement asymptotique vers une valeur très grande autour de la

fréquence ω0.

ω

amplitude

pulsation ωο o

o 2 o

F m ω

( ) o 2 2 o

F

m ω ­ ω

Figure 5

Lorsque la fréquence ω de la force appliquée par l'excitateur (ici le diapason électriquement

entretenu) est égale à la fréquence propre ω0 de l'oscillateur, on dit qu'il y a une résonance

d'amplitude.

Nous avons donc montré que sous certaines conditions, l’amplitude des oscillations peut

devenir très importante ; et les conséquences peuvent être graves. On peut citer deux

exemples connus :

­ La 18 avril 1850 à Angers, un régiment traversant au pas cadencé un pont suspendu

enjambant la Maine provoqua sa destruction ;

­ Le 7 novembre 1940, six mois après son inauguration, le pont suspendu de Tacoma

(USA) était détruit par les effets de rafales de vent qui sans être particulièrement

violentes (60 km/h) étaient régulières.

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Et nos ponts dans tout ça ? Le pont suspendu joue le rôle du système mécanique pouvant vibrer. Les rafales de vent ou le pas cadencé jouent le rôle du système extérieur imposant sa

fréquence de vibration au pont. Dans les deux exemples (Angers et Tacoma) il y a eu

résonance, c'est­à­dire accord parfait entre la fréquence de vibration du vent ou du pas

cadencé et la fréquence propre du pont. Les vibrations engendrées ont été suffisamment fortes

pour détruire les deux ponts. Mais heureusement plus d’inquiétude à se faire sur un pont car

depuis lors, les codes militaires du monde entier interdisent à une troupe de marcher au pas

sur un pont et lors de la construction d’un pont (c’est aussi valable pour les gratte­ciel), les

constructeurs tiennent compte dans leurs études de la fréquence naturelle de l’ouvrage en lui

donnant une valeur qui ne puisse pas correspondre à celle de rafales de vent.

Jusque là nous avons traité le cas d’un oscillateur qui se trouvait libre d’évoluer, dans les

paragraphes à venir nous tiendrons compte des amortissements.