9 mars 2007Cours de graphes 6 - Intranet1 Cours de graphes Chemins dEuler. Chemins de Hamilton....

9 mars 2007 Cours de graphes 6 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Chemins d’Euler.Chemins d’Euler.

Chemins de Hamilton.Chemins de Hamilton.

Couplages.Couplages.


Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphes, graphes Coloriage de graphes, graphes planairesplanaires•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets


Chemins d’EulerChemins d’Euler----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C H E M I N SC H E M I N S

E TE T

C Y C L E SC Y C L E S

D’ E U L E R ! ! !D’ E U L E R ! ! !



• L’origine historique :L’origine historique :

– La Pregel et les ponts à Königsberg ( Kaliningrad ) !La Pregel et les ponts à Königsberg ( Kaliningrad ) !





– Pouvons-nous trouver un chemin qui traverse Pouvons-nous trouver un chemin qui traverse chaque pont une et une seule fois ?chaque pont une et une seule fois ?





– Pouvons-nous trouver un chemin qui traverse chaque pont Pouvons-nous trouver un chemin qui traverse chaque pont une et une seule fois ?une et une seule fois ?

– Si oui, les points de départ et d’arrivée coïncident-ils ?Si oui, les points de départ et d’arrivée coïncident-ils ?



• En termes de graphes :En termes de graphes :

– Nous avons un multiNous avons un multi--graphe !graphe !





– Pouvons-nous trouver un chemin qui passe une et une seule Pouvons-nous trouver un chemin qui passe une et une seule fois par chaque arête ? ( couverture des arêtes )fois par chaque arête ? ( couverture des arêtes )

– Si oui, le chemin est-il un cycle ?Si oui, le chemin est-il un cycle ?



• Nous pouvons passer d’un multi-graphe à un graphe Nous pouvons passer d’un multi-graphe à un graphe simple :simple :

– Il suffit de matérialiser un pont par un sommet !Il suffit de matérialiser un pont par un sommet !



• Nous pouvons passer d’un multi-graphe à un graphe Nous pouvons passer d’un multi-graphe à un graphe simple :simple :




• Nous pouvons passer d’un multi-graphe à un graphe simple :Nous pouvons passer d’un multi-graphe à un graphe simple :


– Nous conservons leNous conservons le même problème enmême problème en termes de couverturetermes de couverture des arêtes !des arêtes !



• La « maison de Nicolas » :La « maison de Nicolas » :

– Pouvons-nous dessiner la figure suivante d’un seule trait Pouvons-nous dessiner la figure suivante d’un seule trait et sans lever le crayon ?et sans lever le crayon ?




– Pouvons-nous dessiner la figure suivante d’un seule trait et Pouvons-nous dessiner la figure suivante d’un seule trait et sans lever le crayon ?sans lever le crayon ?

– La réponse est OUI !La réponse est OUI !






11

DD






11

22

DD






11

22 33

DD






11

22 33

44

DD






11

22 33

4455

DD






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22 33

4455

66

DD






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22 33

4455

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DD






11

22 33

4455

66

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88DD AA






11

22 33

4455

66

77

88DD AA

A et D sont lesA et D sont lesseuls sommetsseuls sommets

de degré impair !de degré impair !






11

22 33

4455

66

77

88DD AA

A et D sont lesA et D sont lesseuls sommetsseuls sommets

de degré impair !de degré impair !

Le point de départLe point de départest l’un de ceux-ci etest l’un de ceux-ci et

le point d’arrivée l’autre.le point d’arrivée l’autre.



L E T H E O R E M EL E T H E O R E M E

D’ E U L E RD’ E U L E R

S U R L E SS U R L E S

C H E M I N S ! ! !C H E M I N S ! ! !



• Le théorème d’Euler (1736) :Le théorème d’Euler (1736) :

– Un multi-graphe possède un chemin d’Euler si et Un multi-graphe possède un chemin d’Euler si et seulement si tous ses sommets, sauf peut-être seulement si tous ses sommets, sauf peut-être deux, sont de degré pair !deux, sont de degré pair !





– Les sommets de degré impair, s’ils existent, sont Les sommets de degré impair, s’ils existent, sont les points de départ et d’arrivée !les points de départ et d’arrivée !





– Les sommets de degré impair, s’ils existent, sont Les sommets de degré impair, s’ils existent, sont les points de départ et d’arrivée !les points de départ et d’arrivée !

– Si tous les sommets sont de degré pair, et Si tous les sommets sont de degré pair, et seulement dans ce cas, le chemin d’Euler est un seulement dans ce cas, le chemin d’Euler est un cycle d’Euler !cycle d’Euler !




– Un multi-graphe possède un chemin d’Euler si et seulement si Un multi-graphe possède un chemin d’Euler si et seulement si tous ses sommets, sauf peut-être deux, sont de degré pair !tous ses sommets, sauf peut-être deux, sont de degré pair !

– Les sommets de degré impair, s’ils existent, sont les points Les sommets de degré impair, s’ils existent, sont les points de départ et d’arrivée !de départ et d’arrivée !

– Si tous les sommets sont de degré pair, et seulement dans ce Si tous les sommets sont de degré pair, et seulement dans ce cas, le chemin d’Euler est un cycle d’Euler !cas, le chemin d’Euler est un cycle d’Euler !

• Remarque :Remarque :

– Nous conservons le même résultat si nous transformons un Nous conservons le même résultat si nous transformons un multi-graphe en un graphe simple, car les sommets multi-graphe en un graphe simple, car les sommets auxiliaires ( les ponts ) sont de degré 2 !auxiliaires ( les ponts ) sont de degré 2 !


Preuve du théorème d’EulerPreuve du théorème d’Euler----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Admettons l’existence d’un chemin ou d’un cycle Admettons l’existence d’un chemin ou d’un cycle d’Euler et déduisons-en les propriétés sur les degrés !d’Euler et déduisons-en les propriétés sur les degrés !




– Soit le chemin d’Euler suivant :Soit le chemin d’Euler suivant :

uu vv. . .. . . . . .. . .ww





– Si « u » est différent de « v », le sommet « u » Si « u » est différent de « v », le sommet « u » intervient avec un degré impair dans le chemin !intervient avec un degré impair dans le chemin !

uu vv. . .. . . . . .. . .uu






– Si « u » est différent de « v », le sommet « v » Si « u » est différent de « v », le sommet « v » intervient avec un degré impair dans le chemin !intervient avec un degré impair dans le chemin !

uu vv. . .. . . . . .. . .vv. . .. . .vv






– Si « u » est différent de « v », le sommet « v » Si « u » est différent de « v », le sommet « v » intervient avec un degré impair dans le chemin !intervient avec un degré impair dans le chemin !

– Si « u » et « v » sont identiques, c’est-à-dire en Si « u » et « v » sont identiques, c’est-à-dire en présence d’un cycle, le sommet « u » intervient avec présence d’un cycle, le sommet « u » intervient avec un degré pair !un degré pair !

uu vv. . .. . . . . .. . .vv. . .. . .vv



• Admettons l’existence d’un chemin ou d’un cycle d’Euler et Admettons l’existence d’un chemin ou d’un cycle d’Euler et déduisons-en les propriétés sur les degrés !déduisons-en les propriétés sur les degrés !


– Si « u » est différent de « v », le sommet « u » intervient Si « u » est différent de « v », le sommet « u » intervient avec un degré impair dans le chemin !avec un degré impair dans le chemin !

– Si « u » est différent de « v », le sommet « v » intervient Si « u » est différent de « v », le sommet « v » intervient avec un degré impair dans le chemin !avec un degré impair dans le chemin !

– Si « u » et « v » sont identiques, c’est-à-dire en présence Si « u » et « v » sont identiques, c’est-à-dire en présence d’un cycle, le sommet « u » intervient avec un degré pair !d’un cycle, le sommet « u » intervient avec un degré pair !

– Tout autre sommet « w » intervient avec un degré pair Tout autre sommet « w » intervient avec un degré pair dans le chemin d’Euler !dans le chemin d’Euler !

uu vv. . .. . . . . .. . .ww. . .. . .ww



• Admettons l’existence d’un chemin ou d’un cycle d’Euler et Admettons l’existence d’un chemin ou d’un cycle d’Euler et déduisons-en les propriétés sur les degrés !déduisons-en les propriétés sur les degrés !


– Si « u » est différent de « v », le sommet « u » intervient avec un Si « u » est différent de « v », le sommet « u » intervient avec un degré impair dans le chemin !degré impair dans le chemin !

– Si « u » est différent de « v », le sommet « v » intervient avec un Si « u » est différent de « v », le sommet « v » intervient avec un degré impair dans le chemin !degré impair dans le chemin !

– Si « u » et « v » sont identiques, c’est-à-dire en présence d’un Si « u » et « v » sont identiques, c’est-à-dire en présence d’un cycle, le sommet « u » intervient avec un degré pair !cycle, le sommet « u » intervient avec un degré pair !

– Tout autre sommet « w » intervient avec un degré pair dans le Tout autre sommet « w » intervient avec un degré pair dans le chemin d’Euler !chemin d’Euler !

– Le chemin ou cycle d’Euler contient toutes les arêtes du graphe, Le chemin ou cycle d’Euler contient toutes les arêtes du graphe, d’où le résultat annoncé !d’où le résultat annoncé !

uu vv. . .. . . . . .. . .ww



• Admettons les conditions de parité sur les degrés et Admettons les conditions de parité sur les degrés et déduisons-en l’existence d’un chemin ou cycle déduisons-en l’existence d’un chemin ou cycle d’Euler !d’Euler !




• Si tous les sommets du graphe G sont de degré pair :Si tous les sommets du graphe G sont de degré pair :





– En enlevant une arête ( u , v ) nous obtenons un En enlevant une arête ( u , v ) nous obtenons un graphe G’ dont exactement deux arêtes sont de graphe G’ dont exactement deux arêtes sont de degré impair !degré impair !





– En enlevant une arête ( u , v ) nous obtenons un En enlevant une arête ( u , v ) nous obtenons un graphe G’ dont exactement deux arêtes sont de graphe G’ dont exactement deux arêtes sont de degré impair !degré impair !

– Par application de la seconde partie du théorème Par application de la seconde partie du théorème ( celle qui est à venir ), nous déduisons que G’ ( celle qui est à venir ), nous déduisons que G’ admet un chemin d’Euler qui commence en « u » admet un chemin d’Euler qui commence en « u » et se termine en « v » !et se termine en « v » !



• Admettons les conditions de parité sur les degrés et Admettons les conditions de parité sur les degrés et déduisons-en l’existence d’un chemin ou cycle d’Euler !déduisons-en l’existence d’un chemin ou cycle d’Euler !


– En enlevant une arête ( u , v ) nous obtenons un graphe En enlevant une arête ( u , v ) nous obtenons un graphe G’ dont exactement deux arêtes sont de degré impair !G’ dont exactement deux arêtes sont de degré impair !

– Par application de la seconde partie du théorème ( celle Par application de la seconde partie du théorème ( celle qui est à venir ), nous déduisons que G’ admet un qui est à venir ), nous déduisons que G’ admet un chemin d’Euler qui commence en « u » et se termine en chemin d’Euler qui commence en « u » et se termine en « v » !« v » !

– En insérant à nouveau l’arête ( u , v ) nous obtenons le En insérant à nouveau l’arête ( u , v ) nous obtenons le cycle d’Euler annoncé !cycle d’Euler annoncé !




• Si « u » et « v » sont les seuls sommets de degré Si « u » et « v » sont les seuls sommets de degré impair :impair :





– Nous choisissons une arête ( u , w ) et nous la Nous choisissons une arête ( u , w ) et nous la supprimonssupprimons

pour obtenir un graphe G’ !pour obtenir un graphe G’ !







– Admettons d’abord que G’ est connexe !Admettons d’abord que G’ est connexe !

( Cas A )( Cas A )




• Si « u » et « v » sont les seuls sommets de degré impair :Si « u » et « v » sont les seuls sommets de degré impair :

– Nous choisissons une arête ( u , w ) et nous la supprimonsNous choisissons une arête ( u , w ) et nous la supprimons



– Si v = w , tous les sommets de G’ sont pairs et il existe unSi v = w , tous les sommets de G’ sont pairs et il existe un

cycle d’Euler ( v ; v ) ! Et donc un chemin d’Euler ( u , v ; v ) ! cycle d’Euler ( v ; v ) ! Et donc un chemin d’Euler ( u , v ; v ) !

( Cas A )( Cas A )



uu vv

u et v sont au départu et v sont au départde degrés impairs !de degrés impairs !



uu vv


La suppression deLa suppression del’arête ( u , v ) lesl’arête ( u , v ) les

rend de degrés pairs !rend de degrés pairs !



uu vv


La suppression deLa suppression del’arête ( u , v ) lesl’arête ( u , v ) les

rend de degrés pairs !rend de degrés pairs !

Par hypothèse sur le nombre d’arêtes, et vu que tousPar hypothèse sur le nombre d’arêtes, et vu que tousles sommets sont de degrés pairs, il existe un cycleles sommets sont de degrés pairs, il existe un cycle

d’Euler avec v comme point de départ et d’arrivée !d’Euler avec v comme point de départ et d’arrivée !










( Cas A )( Cas A )



• Admettons les conditions de parité sur les degrés et déduisons-en Admettons les conditions de parité sur les degrés et déduisons-en l’existence d’un chemin ou cycle d’Euler !l’existence d’un chemin ou cycle d’Euler !







– Si v = w , v et w sont les seuls sommets dans G’ de degréSi v = w , v et w sont les seuls sommets dans G’ de degré

impair ! Il existe donc dans G’ un chemin d’Euler ( w ; v ) !impair ! Il existe donc dans G’ un chemin d’Euler ( w ; v ) !

Et du coup un chemin d’Euler ( u , w ; v ) dans G ! Et du coup un chemin d’Euler ( u , w ; v ) dans G ! //

( Cas A )( Cas A )



uu vv

u et v sont au départu et v sont au départde degrés impairsde degrés impairs

et w de degré pair !et w de degré pair !

ww



uu vv



wwLa suppression de l’arête ( u , w )La suppression de l’arête ( u , w )donne à u de degré pair et à v donne à u de degré pair et à v et w des degrés impairs !et w des degrés impairs !



uu vv



wwLa suppression de l’arête ( u , w )La suppression de l’arête ( u , w )donne à u de degré pair et à v donne à u de degré pair et à v et w des degrés impairs !et w des degrés impairs !

Par hypothèse sur le nombre d’arêtes, et vu que v et wPar hypothèse sur le nombre d’arêtes, et vu que v et wsont les seuls sommets de degrés impairs, il existe unsont les seuls sommets de degrés impairs, il existe un

chemin d’Euler avec w comme départ et v comme arrivée !chemin d’Euler avec w comme départ et v comme arrivée !










– Si v = w , v et w sont les seuls sommets dans G’ de degréSi v = w , v et w sont les seuls sommets dans G’ de degré

impair ! Il existe donc dans G’ un chemin d’Euler ( w ; v ) !impair ! Il existe donc dans G’ un chemin d’Euler ( w ; v ) !

Et du coup un chemin d’Euler ( u , w ; v ) dans G ! Et du coup un chemin d’Euler ( u , w ; v ) dans G ! //

( Cas A )( Cas A )







– Admettons maintenant que G’ n’est plus connexe !Admettons maintenant que G’ n’est plus connexe !

( Cas B )( Cas B )








– Nous avons les composantes connexes CC( u ) et CC( w ) Nous avons les composantes connexes CC( u ) et CC( w ) !!

( Cas B )( Cas B )









( Cas B )( Cas B )

CC( u )CC( u ) CC( w )CC( w )

uu ww

On l’appelleOn l’appelleun « isthme » !un « isthme » !

vv









( Cas B )( Cas B )


uu ww


vv








– Nous avons les composantes connexes CC( u ) et CC( w ) !Nous avons les composantes connexes CC( u ) et CC( w ) !

– Lemme : La somme des degrés des sommets d’un grapheLemme : La somme des degrés des sommets d’un graphe (connexe) est paire !(connexe) est paire !

Donc, le nombre de sommets de degrés impairsDonc, le nombre de sommets de degrés impairs est paire ! ! !est paire ! ! !

( Cas B )( Cas B )










uu ww


( Cas B )( Cas B )

vvTousTouspairs !pairs !

DeuxDeuximpairsimpairs

ou tous pairs !ou tous pairs !









– Les sommets de CC( u ) sont pairs, d’où le circuit d’Euler Les sommets de CC( u ) sont pairs, d’où le circuit d’Euler ( u ; u ).( u ; u ).

( Cas B )( Cas B )









– Les sommets de CC( u ) sont pairs, d’où le circuit d’Euler ( u ; u ).Les sommets de CC( u ) sont pairs, d’où le circuit d’Euler ( u ; u ).

– CC( w ) possède 0 ( v = w ) ou 2 ( v = w ) sommets de degrésCC( w ) possède 0 ( v = w ) ou 2 ( v = w ) sommets de degrés

impairs et il existe un chemin d’Euler ( w ; v ) !impairs et il existe un chemin d’Euler ( w ; v ) !//

( Cas B )( Cas B )











impairs et il existe un chemin d’Euler ( w ; v ) !impairs et il existe un chemin d’Euler ( w ; v ) !

– On a donc le chemin d’Euler ( u ; u , w ; v ) , comme annoncé !On a donc le chemin d’Euler ( u ; u , w ; v ) , comme annoncé !//

( Cas B )( Cas B )


Construction d’un chemin d’EulerConstruction d’un chemin d’Euler----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L A C O N S T R U C T I L A C O N S T R U C T I O NO N

D ‘ U ND ‘ U N

C H E M I NC H E M I N

D’ E U L E R ! ! !D’ E U L E R ! ! !



• Supposons données les conditions de parité sur les Supposons données les conditions de parité sur les degrés !degrés !




• Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une arête ( u , v ) et nous construisons le chemin une arête ( u , v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !d’Euler ( u ; v ) !





• Nous considérons un sommet courant « s » à partir Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du graphe ! graphe !





• Nous considérons un sommet courant « s » à partir Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du graphe ! graphe !

• Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons fini !avons fini !



• Supposons données les conditions de parité sur les degrés !Supposons données les conditions de parité sur les degrés !

• Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une arête ( u , v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !arête ( u , v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !

• Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour nous continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du graphe ! « s » un des deux sommets impairs du graphe !

• Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons fini !fini !

• Si « s » n’a que le seul voisin « u », nous empruntons l’arête Si « s » n’a que le seul voisin « u », nous empruntons l’arête en question avant de la supprimer ! Nous continuons en « u ».en question avant de la supprimer ! Nous continuons en « u ».




• Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une arête ( u , v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !arête ( u , v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !

• Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du graphe ! des deux sommets impairs du graphe !

• Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons fini !Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons fini !

• Si « s » n’a que le seul voisin « u », nous empruntons l’arête en Si « s » n’a que le seul voisin « u », nous empruntons l’arête en question avant de la supprimer ! Nous continuons en « u ».question avant de la supprimer ! Nous continuons en « u ».

• Si « s » a plusieurs voisins, dont l’isthme ( s , u ) , nous Si « s » a plusieurs voisins, dont l’isthme ( s , u ) , nous empruntons n’importe quelle arête, sauf l’isthme !empruntons n’importe quelle arête, sauf l’isthme !

Remarque : l’isthme est unique ( pourquoi ? ) !Remarque : l’isthme est unique ( pourquoi ? ) !




• Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une arête ( u , Si tous les sommets sont de degré pair, nous enlevons une arête ( u , v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !v ) et nous construisons le chemin d’Euler ( u ; v ) !

• Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous Nous considérons un sommet courant « s » à partir duquel nous continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un des continuons le chemin ! Au début, nous choisissons pour « s » un des deux sommets impairs du graphe ! deux sommets impairs du graphe !

• Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons fini !Si « s » est identique à « v » et qu’il est isolé, nous avons fini !

• Si « s » n’a que le seul voisin « u », nous empruntons l’arête en Si « s » n’a que le seul voisin « u », nous empruntons l’arête en question avant de la supprimer ! Nous continuons en « u ».question avant de la supprimer ! Nous continuons en « u ».

• Si « s » a plusieurs voisins, dont l’isthme ( s , u ) , nous empruntons Si « s » a plusieurs voisins, dont l’isthme ( s , u ) , nous empruntons n’importe quelle arête, sauf l’isthme !n’importe quelle arête, sauf l’isthme !

Remarque : l’isthme est unique ( pourquoi ? ) !Remarque : l’isthme est unique ( pourquoi ? ) !

• Sinon, nous choisissons une arête ( s , u ) quelconque !Sinon, nous choisissons une arête ( s , u ) quelconque !



• Complexité :Complexité :

• A chaque étape, nous choisissons une des O( | E | ) A chaque étape, nous choisissons une des O( | E | ) arêtes !arêtes !





• A chaque étape, nous sélectionnons une arête et A chaque étape, nous sélectionnons une arête et testons, à moins que l’arête ne soit unique, si elle est testons, à moins que l’arête ne soit unique, si elle est un isthme en lançant une « vague » qui est de un isthme en lançant une « vague » qui est de complexité O( | E | ) !complexité O( | E | ) !





• A chaque étape, nous sélectionnons une arête et A chaque étape, nous sélectionnons une arête et testons, à moins que l’arête ne soit unique, si elle est testons, à moins que l’arête ne soit unique, si elle est un isthme en lançant une « vague » qui est de un isthme en lançant une « vague » qui est de complexité O( | E | ) !complexité O( | E | ) !

• Si elle n’est pas un isthme, l’arête est parcourue !Si elle n’est pas un isthme, l’arête est parcourue !

• Sinon, nous parcourons une quelconque autre arête !Sinon, nous parcourons une quelconque autre arête !





• A chaque étape, nous sélectionnons une arête et testons, A chaque étape, nous sélectionnons une arête et testons, à moins que l’arête ne soit unique, si elle est un isthme en à moins que l’arête ne soit unique, si elle est un isthme en lançant une « vague » qui est de complexité O( | E | ) !lançant une « vague » qui est de complexité O( | E | ) !

• Si elle n’est pas un isthme, l’arête est parcourue !Si elle n’est pas un isthme, l’arête est parcourue !

• Sinon, nous parcourons une quelconque autre arête !Sinon, nous parcourons une quelconque autre arête !

• Globalement, nous obtenons une complexité en O( | E |Globalement, nous obtenons une complexité en O( | E |^2 ) = O( | V |^4 ).^2 ) = O( | V |^4 ).



U NU N

E X E M P L EE X E M P L E



• Exemple :Exemple :

DD




DD




DD

Isthme !Isthme !




DD

Isthme !Isthme ! Nous évitonsNous évitonsl’isthme et nousl’isthme et nouscontinuons aveccontinuons avec

l’une des deuxl’une des deuxautres arêtes !autres arêtes !




DD

Isthme !Isthme !

A prendre l’isthme,A prendre l’isthme,nous perdons toutenous perdons toute

possibilité de visiterpossibilité de visiterles sommets à droite !les sommets à droite !




DD




DD

Isthme !Isthme ! L’isthme estL’isthme estle seul choixle seul choix

possible !possible !




DD


Chemins et cycles de HamiltonChemins et cycles de Hamilton----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C H E M I N SC H E M I N S

E TE T

C Y C L E SC Y C L E S

D E H A M I L T O N ! ! !D E H A M I L T O N ! ! !



• Pouvons-nous trouver un chemin qui passe une et Pouvons-nous trouver un chemin qui passe une et une seule fois dans chaque sommet ?une seule fois dans chaque sommet ?

• Si oui, les points de départ et d’arrivée sont-ils Si oui, les points de départ et d’arrivée sont-ils voisins ?voisins ?





Dodéca-èdreDodéca-èdre






Cycle deCycle deHamiltonHamilton







C’est le casse-têteC’est le casse-têteinventé par Lordinventé par Lord

Hamilton en 1856.Hamilton en 1856.







Le greedy neLe greedy nemarche pas carmarche pas car

il faut considéreril faut considérertout le graphetout le graphe

pour construirepour construirela solution !la solution !







Le greedy neLe greedy nemarche pas carmarche pas car

il faut considéreril faut considérertout le graphetout le graphe

pour construirepour construirela solution !la solution !

? ? ?? ? ?





Le grapheLe graphecompletcompletK !K !

55






55

Ce graphe admet desCe graphe admet deschemins de Hamilton !chemins de Hamilton !






55


Le graphe deLe graphe dePeterson !Peterson !






55


Le graphe deLe graphe dePeterson !Peterson !

Il est sans chemin de Hamilton !Il est sans chemin de Hamilton !



U N EU N E

A P P L I C A T I O N ! ! !A P P L I C A T I O N ! ! !



• Nous avons 4 jeunes filles A, B, C, D et 4 jeunes Nous avons 4 jeunes filles A, B, C, D et 4 jeunes gens a, b, c, d . gens a, b, c, d .

• Ils dansent des rondes formées de files et garçons Ils dansent des rondes formées de files et garçons en alternance.en alternance.

• Combien de rondes peuvent-ils danser si chaque Combien de rondes peuvent-ils danser si chaque jeune fille ne danse qu’une seule fois à côté du jeune fille ne danse qu’une seule fois à côté du même jeune homme ?même jeune homme ?






Le graphe bi-partiLe graphe bi-particomplet K !complet K !4,44,4

AA

BB

CC

DD

aa

bb

cc

dd







AA

BB

CC

DD

aa

bb

cc

dd

Nous cherchonsNous cherchonsun cycle deun cycle deHamilton !Hamilton !







Nous cherchonsNous cherchonsun cycle deun cycle deHamilton !Hamilton !

On peut former uneOn peut former unedeuxième ronde !deuxième ronde !

AA

BB

CC

DD

aa

bb

cc

dd



Q U E L Q U E SQ U E L Q U E S

A F F I R M A T I O N S ! ! A F F I R M A T I O N S ! ! !!



• Savoir si un graphe admet un chemin ou un cycle Savoir si un graphe admet un chemin ou un cycle de Hamilton est NP-complet en général !de Hamilton est NP-complet en général !




• Il s’agit de savoir s’il existe un chemin simple qui Il s’agit de savoir s’il existe un chemin simple qui couvre les sommets ! Or, le nombre de chemins couvre les sommets ! Or, le nombre de chemins simples est en général exponentiel par rapport au simples est en général exponentiel par rapport au nombre de sommets !nombre de sommets !





• Le chemin de Hamilton comporte | V | Le chemin de Hamilton comporte | V | -- 1 arêtes 1 arêtes sur les | E | arêtes qu’il y a dans le graphe !sur les | E | arêtes qu’il y a dans le graphe !





• Le chemin de Hamilton comporte | V | Le chemin de Hamilton comporte | V | -- 1 arêtes 1 arêtes sur les | E | arêtes qu’il y a dans le graphe !sur les | E | arêtes qu’il y a dans le graphe !

• Lesquelles faut-il prendre, lesquelles faut-il laisser Lesquelles faut-il prendre, lesquelles faut-il laisser ? ? ?? ? ?



• Il y a des cas particuliers :Il y a des cas particuliers :

– Un graphe bi-parti avec un nombre impair de Un graphe bi-parti avec un nombre impair de sommets n’est jamais hamiltonien !sommets n’est jamais hamiltonien !





– Un graphe avec n sommets ayant un degré d’au Un graphe avec n sommets ayant un degré d’au moins n/2 pour chaque sommet est hamiltonien moins n/2 pour chaque sommet est hamiltonien ( Dirac ).( Dirac ).





– Un graphe avec n sommets ayant un degré d’au Un graphe avec n sommets ayant un degré d’au moins n/2 pour chaque sommet est hamiltonien moins n/2 pour chaque sommet est hamiltonien ( Dirac ).( Dirac ).

– Un graphe avec n sommets tel que pour toute Un graphe avec n sommets tel que pour toute paire de sommets u et v qui ne sont pas voisins paire de sommets u et v qui ne sont pas voisins on ait la propriété D( u ) + D( v ) >= n est on ait la propriété D( u ) + D( v ) >= n est hamiltonien ( Ore ).hamiltonien ( Ore ).



• Une problématique particulière :Une problématique particulière :

– Le problème du voyageur de commerce consiste Le problème du voyageur de commerce consiste à considérer un graphe pondéré complet et à à considérer un graphe pondéré complet et à trouver le cycle de Hamilton le moins cher parmi trouver le cycle de Hamilton le moins cher parmi un nombre exponentiel de cycles de Hamilton !un nombre exponentiel de cycles de Hamilton !




– Le problème du voyageur de commerce consiste Le problème du voyageur de commerce consiste à considérer un graphe pondéré complet et à à considérer un graphe pondéré complet et à trouver le cycle de Hamilton le moins cher parmi trouver le cycle de Hamilton le moins cher parmi un nombre exponentiel de cycles de Hamilton !un nombre exponentiel de cycles de Hamilton !

– Si le graphe est incomplet, la simple question de Si le graphe est incomplet, la simple question de savoir s’il existe un cycle de Hamilton est NP-savoir s’il existe un cycle de Hamilton est NP-complète ( sans vouloir trouver le meilleur de ces complète ( sans vouloir trouver le meilleur de ces cycles ) !cycles ) !




– Le problème du voyageur de commerce consiste à Le problème du voyageur de commerce consiste à considérer un graphe pondéré complet et à trouver le considérer un graphe pondéré complet et à trouver le cycle de Hamilton le moins cher parmi un nombre cycle de Hamilton le moins cher parmi un nombre exponentiel de cycles de Hamilton !exponentiel de cycles de Hamilton !

– Si le graphe est incomplet, la simple question de savoir Si le graphe est incomplet, la simple question de savoir s’il existe un cycle de Hamilton est NP-complète ( sans s’il existe un cycle de Hamilton est NP-complète ( sans vouloir trouver le meilleur de ces cycles ) !vouloir trouver le meilleur de ces cycles ) !

– Soit c’est difficile d’en trouver un seul cycle, soit c’est Soit c’est difficile d’en trouver un seul cycle, soit c’est difficile à cause du trop grand nombre de cycles !difficile à cause du trop grand nombre de cycles !


CouplagesCouplages----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C O U P L A G E S ! ! !C O U P L A G E S ! ! !



• Un couplage d’un graphe G = ( V , E ) consiste à Un couplage d’un graphe G = ( V , E ) consiste à trouver un sous-ensemble C des arêtes tel que chaque trouver un sous-ensemble C des arêtes tel que chaque sommet fassesommet fasse partie d’au plus un couple ! partie d’au plus un couple !




Un couplageUn couplage





Les arêtes retenues et lesLes arêtes retenues et lessommets atteints sontsommets atteints sontdits saturés par le couplage.dits saturés par le couplage.






Souvent, on souhaiteSouvent, on souhaitemaximiser le nombremaximiser le nombre

de couples !de couples !

Un couplage est parfaitUn couplage est parfaits’il sature tous less’il sature tous les

sommets du graphe !sommets du graphe !





Un couplageUn couplageparfait !parfait !









Un couplageUn couplageparfait !parfait !





Un couplageUn couplagemaximal,maximal,non parfait !non parfait !


Deux exemplesDeux exemples----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D E U XD E U X

E X E M P L E SE X E M P L E S




– Une promotion d’élèves qui doivent réaliser leur Une promotion d’élèves qui doivent réaliser leur projet d’algorithmique en binômes,projet d’algorithmique en binômes,

– des affinités, qui sont toujours réciproques, entre des affinités, qui sont toujours réciproques, entre certains élèves.certains élèves.






– Quel est le maximum de binômes que nous Quel est le maximum de binômes que nous pouvons former en respectant les affinités ? Y a-t-pouvons former en respectant les affinités ? Y a-t-il une solution qui permette à tout élève de il une solution qui permette à tout élève de trouver un binôme ?trouver un binôme ?



– des lycées représentés par autant de sommets des lycées représentés par autant de sommets qu’il y a de places,qu’il y a de places,

– des élèves qui ont émis des choix ( arêtes entre des élèves qui ont émis des choix ( arêtes entre des élèves et des places dans les lycées ).des élèves et des places dans les lycées ).




– des lycées représentés par autant de sommets des lycées représentés par autant de sommets qu’il y a de places,qu’il y a de places,

– des élèves qui ont émis des choix ( arêtes entre des élèves qui ont émis des choix ( arêtes entre des élèves et des places dans les lycées ).des élèves et des places dans les lycées ).

– Y a-t-il un couplage qui sature les sommets-élèves Y a-t-il un couplage qui sature les sommets-élèves ??




– des lycées représentés par autant de sommets qu’il y des lycées représentés par autant de sommets qu’il y a de places,a de places,

– des élèves qui ont émis des choix ( arêtes entre des des élèves qui ont émis des choix ( arêtes entre des élèves et des places dans les lycées ).élèves et des places dans les lycées ).

– Y a-t-il un couplage qui sature les sommets-élèves ?Y a-t-il un couplage qui sature les sommets-élèves ?

– Un problème plus général :Un problème plus général :

Nous pouvons pondérer les arêtes par des Nous pouvons pondérer les arêtes par des préférences et choisir le couplage qui maximise la préférences et choisir le couplage qui maximise la somme des satisfactions.somme des satisfactions.



LycéesLycées



LycéesLycées

ElèvesElèves



LycéesLycées

ElèvesElèves

Y a-t-il unY a-t-il uncouplagecouplage

qui saturequi satureles élèves ?les élèves ?



LycéesLycées

ElèvesElèves

Y a-t-il unY a-t-il uncouplagecouplage

qui saturequi satureles élèves ?les élèves ?

OUI ! ! !OUI ! ! !




• Les cLes c--couplages :couplages :

– Un lycée offrant p places est représenté par p Un lycée offrant p places est représenté par p sommets non reliés entre eux.sommets non reliés entre eux.

– Nous pourrions fusionner ces sommets en un Nous pourrions fusionner ces sommets en un unique sommet qui peut faire partie d’au plus p unique sommet qui peut faire partie d’au plus p couples.couples.





– Nous pourrions fusionner ces sommets en un Nous pourrions fusionner ces sommets en un unique sommet qui peut faire partie d’au plus p unique sommet qui peut faire partie d’au plus p couples.couples.

– Un cUn c--couplage associe à chaque sommet u un couplage associe à chaque sommet u un nombre maximum de couples dans lequel ce nombre maximum de couples dans lequel ce sommet peut apparaître.sommet peut apparaître.





– Nous pourrions fusionner ces sommets en un unique Nous pourrions fusionner ces sommets en un unique sommet qui peut faire partie d’au plus p couples.sommet qui peut faire partie d’au plus p couples.

– Un cUn c--couplage associe à chaque sommet u un couplage associe à chaque sommet u un nombre maximum de couples dans lequel ce sommet nombre maximum de couples dans lequel ce sommet peut apparaître.peut apparaître.

– Ce nombre doit être inférieur au degré du sommet Ce nombre doit être inférieur au degré du sommet pour que le problème soit intéressant !pour que le problème soit intéressant !


LycéesLycées

ElèvesElèves


33

22

22

11

11

11

11


LycéesLycées

ElèvesElèves


33

22

22

11

11

11

11

Trivaux !Trivaux !


LycéesLycées

ElèvesElèves

Y a-t-il unY a-t-il uncc--couplagecouplagequi saturequi sature

les élèves ?les élèves ?


33

22

22

11

11

11

11



C O M M E N TC O M M E N T

T R O U V E R L E ST R O U V E R L E S

1 - C O U P L A G E S1 - C O U P L A G E S

M A X I M A U X ? ? ?M A X I M A U X ? ? ?



• Maximisation des 1Maximisation des 1--couplages !couplages !




• Un chemin alterné est un chemin simple quiUn chemin alterné est un chemin simple qui

– commence en un sommet non saturé etcommence en un sommet non saturé et– qui comporte une alternance d’arêtesqui comporte une alternance d’arêtes saturées et non-saturées et non-

saturées.saturées.







• Un chemin améliorant est un chemin alterné qui se Un chemin améliorant est un chemin alterné qui se termine en un sommet non saturé !termine en un sommet non saturé !








Saturé :Saturé :

Non-saturé :Non-saturé :








Saturé :Saturé :


Chemin alterné !Chemin alterné !








Saturé :Saturé :


Chemin alterné !Chemin alterné !

Chemin améliorant !Chemin améliorant !



Le chemin améliorant !Le chemin améliorant !



• Nous avons toujours :Nous avons toujours :

– Les extrémités d’un chemin améliorant sont non-saturées !Les extrémités d’un chemin améliorant sont non-saturées !





– Les extrémités d’un chemin améliorant sont non-saturées !Les extrémités d’un chemin améliorant sont non-saturées !– Les sommets intermédiaires sont saturés !Les sommets intermédiaires sont saturés !





– Les extrémités d’un chemin améliorant sont non-saturées !Les extrémités d’un chemin améliorant sont non-saturées !– Les sommets intermédiaires sont saturés !Les sommets intermédiaires sont saturés !– Il y a une arête non-saturée de plus que d’arêtes saturées !Il y a une arête non-saturée de plus que d’arêtes saturées !






• Nous améliorons le couplage enNous améliorons le couplage en

– saturant les arêtes du chemin améliorant qui ne l’étaient saturant les arêtes du chemin améliorant qui ne l’étaient paspas

– et en dé-saturant celles qui l’étaient.et en dé-saturant celles qui l’étaient.









Le nouveau couplage !Le nouveau couplage !








• Complexité en O( | V |^2 * | E | ) , car :Complexité en O( | V |^2 * | E | ) , car :










– Nous avons au plus O( | V | ) itérations !Nous avons au plus O( | V | ) itérations !







– saturant les arêtes du chemin améliorant qui ne l’étaient passaturant les arêtes du chemin améliorant qui ne l’étaient pas– et en dé-saturant celles qui l’étaient.et en dé-saturant celles qui l’étaient.


– Nous avons au plus O( | V | ) itérations !Nous avons au plus O( | V | ) itérations !– A chaque itération, nous balayons au plus les O( | V | ) A chaque itération, nous balayons au plus les O( | V | )

sommets non saturés à la recherche d’un chemin améliorant !sommets non saturés à la recherche d’un chemin améliorant !







– saturant les arêtes du chemin améliorant qui ne l’étaient passaturant les arêtes du chemin améliorant qui ne l’étaient pas– et en dé-saturant celles qui l’étaient.et en dé-saturant celles qui l’étaient.


– Nous avons au plus O( | V | ) itérations !Nous avons au plus O( | V | ) itérations !– A chaque itération, nous balayons au plus les O( | V | ) sommets A chaque itération, nous balayons au plus les O( | V | ) sommets

non saturés à la recherche d’un chemin améliorant !non saturés à la recherche d’un chemin améliorant ! – La recherche d’un chemin améliorant est en O( | E | ) !La recherche d’un chemin améliorant est en O( | E | ) !



C O R R E C T I O NC O R R E C T I O N

D ED E

L ‘ A L G O R I T H M EL ‘ A L G O R I T H M E

Correction du couplageCorrection du couplage----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



• Théorème ( Berge, 1957 ) :Théorème ( Berge, 1957 ) :

– Un couplage C est maximal si et seulement s’il Un couplage C est maximal si et seulement s’il ne comporte pas de chemin améliorant.ne comporte pas de chemin améliorant.





• Preuve :Preuve :

– Il est trivial que, s’il y a encore des chemins Il est trivial que, s’il y a encore des chemins améliorants, alors le couplage C ne peut pas améliorants, alors le couplage C ne peut pas être maximal !être maximal !






– Il est trivial que, s’il y a encore des chemins Il est trivial que, s’il y a encore des chemins améliorants, alors le couplage C ne peut pas améliorants, alors le couplage C ne peut pas être maximal !être maximal !

– Il est moins évident de voir que, en l’absence de Il est moins évident de voir que, en l’absence de chemins améliorants, le couplage C soit chemins améliorants, le couplage C soit maximal sur tous les couplages !maximal sur tous les couplages !




– Un couplage C est maximal si et seulement s’il ne Un couplage C est maximal si et seulement s’il ne comporte pas de chemin améliorant.comporte pas de chemin améliorant.


– Il est trivial que, s’il y a encore des chemins Il est trivial que, s’il y a encore des chemins améliorants, alors le couplage C ne peut pas être améliorants, alors le couplage C ne peut pas être maximal !maximal !

– Il est moins évident de voir que, en l’absence de Il est moins évident de voir que, en l’absence de chemins améliorants, le couplage C soit maximal sur chemins améliorants, le couplage C soit maximal sur tous les couplages !tous les couplages !

– Nous pourrions avoir un maximum local ! ! !Nous pourrions avoir un maximum local ! ! !



• Un lemme :Un lemme :

– Soit un graphe G avec deux couplages C et C’ Soit un graphe G avec deux couplages C et C’ qui sont donnés par leurs arêtes ! qui sont donnés par leurs arêtes !





– Considérons l’ensemble d’arêtes ( C \ C’ ) v Considérons l’ensemble d’arêtes ( C \ C’ ) v ( C’ \ C ).( C’ \ C ).





– Considérons l’ensemble d’arêtes ( C \ C’ ) v Considérons l’ensemble d’arêtes ( C \ C’ ) v ( C’ \ C ).( C’ \ C ).

– C’est l’ensemble des arêtes qui sont soit dans C’est l’ensemble des arêtes qui sont soit dans C , soit dans C’ .C , soit dans C’ .




– Soit un graphe G avec deux couplages C et C’ Soit un graphe G avec deux couplages C et C’ qui sont donnés par leurs arêtes !qui sont donnés par leurs arêtes !

– Considérons l’ensemble d’arêtes ( C \ C’ ) v ( C’ \ Considérons l’ensemble d’arêtes ( C \ C’ ) v ( C’ \ C ).C ).

– C’est l’ensemble des arêtes qui sont soit dans C’est l’ensemble des arêtes qui sont soit dans C , soit dans C’.C , soit dans C’.

– Nous ignorons les arêtes de G qui ne sont dans Nous ignorons les arêtes de G qui ne sont dans les deux couplages ou dans aucun des deux !les deux couplages ou dans aucun des deux !



Le couplage C !Le couplage C !




Le couplage C’ !Le couplage C’ !





Nous enlevonsNous enlevonsces arêtes !ces arêtes !






D’aprèsD’aprèsle lemmele lemmeil nous reste :il nous reste :







-- soit des sommets isolés, soit des sommets isolés,








-- soit des cycles de longueur paire qui alternent les arêtes, soit des cycles de longueur paire qui alternent les arêtes,




-- soit des cycles de longueur paire qui alternent les arêtes, soit des cycles de longueur paire qui alternent les arêtes,

-- soit des chemins qui alternent les arêtes et dont chaque soit des chemins qui alternent les arêtes et dont chaque extrémité est non saturée pour l’un des couplages.extrémité est non saturée pour l’un des couplages.







• En effet, pour chaque sommet u du graphe G :En effet, pour chaque sommet u du graphe G :

– Soit, u n’est pas touché par un couplage et Soit, u n’est pas touché par un couplage et deviendra un sommet isolé !deviendra un sommet isolé !





– Soit, u est touché par un seul couplage et Soit, u est touché par un seul couplage et deviendra un sommet de degré 1 !deviendra un sommet de degré 1 !





– Soit, u est touché par un seul couplage et Soit, u est touché par un seul couplage et deviendra un sommet de degré 1 !deviendra un sommet de degré 1 !

– Soit, u est touché par les deux couplages; alors : Soit, u est touché par les deux couplages; alors :

• Si c’est par le biais de la même arête, u sera Si c’est par le biais de la même arête, u sera isolé !isolé !

• Si c’est par le biais de deux arêtes différentes, Si c’est par le biais de deux arêtes différentes, u sera de degré 2 avec une arête dans chaque u sera de degré 2 avec une arête dans chaque couplage !couplage !




– Soit, u n’est pas touché par un couplage et deviendra un Soit, u n’est pas touché par un couplage et deviendra un sommet isolé !sommet isolé !

– Soit, u est touché par un seul couplage et deviendra un Soit, u est touché par un seul couplage et deviendra un sommet de degré 1 !sommet de degré 1 !

– Soit, u est touché par les deux couplages; alors : Soit, u est touché par les deux couplages; alors :

• Si c’est par le biais de la même arête, u sera isolé !Si c’est par le biais de la même arête, u sera isolé !

• Si c’est par le biais de deux arêtes différentes, u sera Si c’est par le biais de deux arêtes différentes, u sera de degré 2 avec une arête dans chaque couplage !de degré 2 avec une arête dans chaque couplage !

– Comme les degrés sont limités à 2 et qu’il y a alternance Comme les degrés sont limités à 2 et qu’il y a alternance entre les couplages, on ne peut avoir que les solutions entre les couplages, on ne peut avoir que les solutions annoncées !annoncées !



• Preuve du théorème !Preuve du théorème !

– Soit C un couplage qui n’accepte plus de chemin Soit C un couplage qui n’accepte plus de chemin améliorant. Montrons que C est maximal ! améliorant. Montrons que C est maximal !

– Soit, C’ un couplage maximal. Construisons le Soit, C’ un couplage maximal. Construisons le graphe comme énoncé dans le lemme !graphe comme énoncé dans le lemme !





– Soit, C’ un couplage maximal. Construisons le graphe Soit, C’ un couplage maximal. Construisons le graphe comme énoncé dans le lemme !comme énoncé dans le lemme !

– Nous pouvons obtenir :Nous pouvons obtenir :

• soit, des points isolés,soit, des points isolés,

• soit, des cycles avec autant d’arêtes dans C que dans soit, des cycles avec autant d’arêtes dans C que dans C’,C’,

• soit des chemins avec une extrémité dans chaque soit des chemins avec une extrémité dans chaque couplage – et donc le même nombre d’arêtes dans couplage – et donc le même nombre d’arêtes dans chaque couplage.chaque couplage.





– Soit, C’ un couplage maximal. Construisons le graphe Soit, C’ un couplage maximal. Construisons le graphe comme énoncé dans le lemme !comme énoncé dans le lemme !

– Nous pouvons obtenir :Nous pouvons obtenir :

• soit, des points isolés,soit, des points isolés,

• soit, des cycles avec autant d’arêtes dans C que dans C’,soit, des cycles avec autant d’arêtes dans C que dans C’,

• soit des chemins avec une extrémité dans chaque soit des chemins avec une extrémité dans chaque couplage – et donc le même nombre d’arêtes dans chaque couplage – et donc le même nombre d’arêtes dans chaque couplage.couplage.

– Clairement, | C | = | C’ | !Clairement, | C | = | C’ | !



• Il est impossible d’avoir un chemin de la forme :Il est impossible d’avoir un chemin de la forme :

. . .. . .



• Il est impossible d’avoir un chemin de la forme :Il est impossible d’avoir un chemin de la forme :

• En effet, si les arêtes vertes appartenaient au En effet, si les arêtes vertes appartenaient au couplage maximal C’ , celui-ci ne serait pas couplage maximal C’ , celui-ci ne serait pas maximal car C aurait plus d’arêtes !maximal car C aurait plus d’arêtes !

• Si les arêtes vertes appartenaient au couplage C , Si les arêtes vertes appartenaient au couplage C , celui-ci accepterait un chemin améliorant sous la celui-ci accepterait un chemin améliorant sous la forme des arêtes rouges !forme des arêtes rouges !

. . .. . .


C O U P L A G E SC O U P L A G E S

A V E CA V E C

P O I D SP O I D S

Couplages pondérésCouplages pondérés----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



• Chaque arête porte un poids non négatif et nous Chaque arête porte un poids non négatif et nous essayons de maximiser la somme « S » des essayons de maximiser la somme « S » des satisfactions !satisfactions !




55

4488

77

33

22

99

Un couplage de poids 13.Un couplage de poids 13.




55

4488

77

33

22

99

Le couplage parfait aLe couplage parfait aun poids de 9.un poids de 9.




55

4488

77

33

22

99

Le couplage maximal aLe couplage maximal aun poids de 14.un poids de 14.




• Le couplage maximal n’est pas nécessairement Le couplage maximal n’est pas nécessairement optimal :optimal :

11 1133

Le couplageLe couplagemaximal estmaximal estde poids 2 !de poids 2 !

11 1133

Il existe un couplageIl existe un couplagenon maximal quinon maximal quiest de poids 3 !est de poids 3 !


11


• Chaque arête porte un poids non négatif et nous Chaque arête porte un poids non négatif et nous essayons de maximiser la somme « S » des satisfactions !essayons de maximiser la somme « S » des satisfactions !

• Le couplage maximal n’est pas nécessairement optimal :Le couplage maximal n’est pas nécessairement optimal :

• Les couplages qui saturent les mêmes sommets ne Les couplages qui saturent les mêmes sommets ne donnent pas tous la même satisfaction :donnent pas tous la même satisfaction :

11 1133

Le couplageLe couplagemaximal estmaximal estde poids 2 !de poids 2 !

11 1133

Il existe un couplageIl existe un couplagenon maximal quinon maximal quiest de poids 3 !est de poids 3 !

1133

11

11

3311

3311

33


SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Chemins d’Euler.Chemins d’Euler.

• Chemins de Hamilton.Chemins de Hamilton.

• Couplages.Couplages.


m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é

E ! ! !E ! ! !

N ‘ o U b L i E z P a S N ‘ o U b L i E z P a S d Ed E

p R é P a R e R v O sp R é P a R e R v O sT D ! ! !T D ! ! !

9 mars 2007Cours de graphes 6 - Intranet1 Cours de graphes Chemins dEuler. Chemins de Hamilton....

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