Traitement du Signal - Thierry PAQUETthierry.paquet.free.fr/Enseignement/AnalyseSpectrale.pdf · T....

T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 1

Traitement du SignalAnalyse spectrale

Plan1. Analyse de Fourier signaux continus

1. TF2. Distributions3. Systèmes linéaires

2. Signaux Numériques1. Échantillonnage2. Quantification, Bruit de quantification3. TFD-TFR

3. Analyse spectrale des signaux déterministes1. Fenêtres d’apodisation2. Spectre d’amplitude2. Estimation de la Densité Spectrale de Puissance

4. Analyse spectrale des signaux aléatoires1. Propriétés temporelles des signaux aléatoires2. Propriétés fréquentielles des signaux aléatoires3. Estimation de la densité spectrale de puissance4. Applications

5. Application 1. Calcul du seuil de perception auditive dans MPEG

http://thierry.paquet.free.fr

Un signal représente l’évolution au cours du temps (pas toujours) d’une grandeur physique (courant, tension, pression etc…)Ce signal est porteur d’une information produite par la source qui l’a émis:

- signal de parole (acoustique)- signal radio (EM)- signal radar (EM)

Analyser le signal c’est extraire l’information produite par la source pour:

- la reproduire fidèlement: radio- détecter des évènements: surveillance, détection- connaître les propriétés de la source: bande passante…

Quelques notions…

Quelques applications…

Bonjour

« B » de Bonjour

Déterministe / Aléatoire

Systèmephysique capteur Canal de transmission Récepteur

MEFTraitement

Information utilePour décision par ex

bruit bruit

Traitementsnumériques

ConvertisseurA/NCapteur

grandeur électrique

grandeur physique

Information recherchée

suite chronologique de nombres

quantum

Organisation d’un système de traitement numérique du signal

Introduction

Traitement numérique = Programme de traitement

Exemple : Compression Audio

HM-1(z) FM-1(z)

F0(z)M M

)(nx∧

)(nxQuantification

codage

Allocation

Dynamique

De bits

Estimation spectrale +

Modèle auditif

M filtres passe-bande Décimation d’un facteur M

Sous-échantillonnage critique d’un facteur M

Sur-échantillonnaged’un facteur Majout de M-1 zéros

M filtres interpolateurs

Analyse spectrale numériqueFiltrage numériqueCodage - Compression

1. Analyse de Fourier

Intérêt:

- Décomposition d’un signal quelconque sur une base orthogonale de signaux élémentaires.-Facilite l’étude des systèmes répondant au principe de superposition.

Signaux Harmoniques Analogiques

Représentation temporelle

t est la variable, A et fo sont les 2 paramètres qui caractérisent complètement le signal

x t A f tA

jf t jf to o o( ) cos( ) (exp( ) exp( ))= = + −22

2 2π π π

X f A fA

fo o o( ) ( ) ( ) ( )= = + −δ δ δ2 2

Représentation fréquentielle

f est la variable, A et fo sont les 2 paramètres qui caractérisent complètement le signal

mono-latérale A bi-latéraleA/2

of of− of

Signaux Périodiques Analogiques (1)

Décomposition en série de FourierTout signal périodique de période peut s'écrirex tp ( ) T

)2sin()2cos()(11

0 tnfbtnfaatx on

np ππ ∑∑+∞

)2cos(2

nnop tnf

baatx ϕπ +

++= ∑

x t dtoo

= ∫1

0( ) a

Tx t nf t dtn

= ∫2

( ) cos( )π bT

x t nf t dtno

= ∫2

( ) sin( )π

nArctg

X fa b

f nfn no( ) ( )=

Un signal périodique présente donc un spectre de raies :

Spectre d’amplitude Spectre de phase

nArctg

Exemple, cas d'un signal carré :

T/2 TSpectre d'amplitude Spectre de phase

f 3f 5f 7f f 3f 5f 7f

=oa an = 0

impairnsin

bn π2

n Arctg= ∞ =( )2

onbn sin0=

1 harmonique 5 7 10 harmoniques

Signaux Analogiques (1)

Signaux périodiques – Série de Fourier – Notations complexes

spectre de raies∑+∞

∞−= )2exp()( tjnfXtx onp π

∫ −=oT

opn dttjnftxTX0

)2exp()(1 π

∫∑ =+∞

−∞=

nn dttxTX

22)(1Égalité de Bessel-Parseval:

On peut calculer la puissance sur la représentation temporelle ou sur la représentation fréquentielle

Signaux quelconques – Transformée de Fourieron considère que le signal a une période infinie

X f x t jft dt( ) ( ) exp( )= −−∞

∫ 2πx t X f jft df( ) ( ) exp( )=−∞

∫ 2π

X f X f X f( ) Re ( ( ) Im ( ( )= +2 2 Φ( ) (Im( ( )Re( ( )

)f ArctgX fX f

Spectres: les spectres deviennent continus

∫ ∫+∞

∞−

∞−= dttxdffX 22 )()(

Conservation de l’énergie – Bessel parsseval:

Propriétés de la TF:dérivation )(2))((2)]('[ fXjftxFjftxF ππ ==

)()2exp()]([ fXjftxF τπτ −=−retard

)/(1)]([ afXa

atxF =dilatation

)()()]()([ fUfXtutxF ×=⊗

Produit de convolution (Filtrage)

Distributions:Définie sur l’espace vectoriel des fonctions de indéfiniment dérivables et à support borné

Exemple:Soit f une fonction sommable sur tout ensemble borné, elle définit une distribution par la relation: ∫

∞−= dtttfDf )()(, ϕϕ

)0(),( ϕϕδ =t )(),( xxt ϕϕδ =−Dirac:

∂∂−=∂

∂ ϕϕ ,,Dérivation:

ϕϕ FDFD ,, = ϕδϕδ FF ,, =Transformée de Fourier:

La distribution de Dirac:

)0(),( ϕϕδ =t )(),( xxt ϕϕδ =−

02 ffeF tfj

−= δπ

1))(( =tF δ

)()1( fF δ=

[ ])()(21))2(cos(

000fffftfF ++−= δδπ

[ ])()(21))2(sin(

000ffff

jtfF +−−= δδπ

2))(( tfjettF πδ −=−

2. Signaux numériques

Échantillonnage: Te est la période d’échantillonnage

Quantification: q: pas de quantificationdu CAN

)()( ek kTxtx =

))(()(qtxarronditxq =

))(()(qkTxarrondikTx e

Incidence des 2 opérations dans l’analyse du signal?

Quantification

Exemple: Quantification par arrondi

Erreur de quantification:

)()()( tetxtx q +=

Puissance de l’erreur:

∫−==2/

ττ dtteq

Uniformément répartie en fréquence (bruit blanc)

Quantification(2)

Dynamique de codage d’un signalPour un convertisseur sur N bits, un signal est quantifié correctement (sans écrêtage)si son amplitude A est dans l’intervalle avec ],[ mm AA− qA Nm 12 −=

dBNBP Nc 76,102,6

232 2 +⇒=

La dynamique de codage est le rapport signal sur bruit maximal

Avec écrêtage

sans écrêtage

qAP Nmc

On appelle puissance de crête d’un convertisseur, la puissance du signal sinusoïdal ayant l’amplitude maximale admissible sans écrêtage mAA =

Description Fréquentielle des signaux numériques

Transformée de Fourier d’un signal numériqueles intégrales deviennent des sommes discrètes

f en Hz∑+∞

−∞=

ekTfjkxfX )2exp()()( π

Propriétés

Périodicité le spectre d’un signal numérique est périodiqueX f X f fe( ) ( )= +

∑+∞

∞−

= )2cos()())(Re( efkTkxfX πParité paire

impaire∑+∞

∞−

= )2sin()())(Im( efkTkxfX π

22 ))(Im())(Re()( fXfXfX += )))(Re())(Im(())((

fXfXArctgfXArg =Spectres

Un signal analogique Xa(t) dont le spectre d’amplitude Xa(f) occupe la bande [-B;+B]Peut être représenté par un signal numérique x(k) de spectre périodique X(f) de période Fe

-B BSi on retrouve complètement sur une période de

Si il y a repliement de sur une période de

Conséquences (1)

X fa ( ) X f( )X f( )

X f( )

Bfe>2 X fa ( ) X f( )

Conséquences (2)

Un signal analogique xa(t) occupant la bande de fréquence [0,B] ne peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(k)que si ceux-ci ont été prélevés avec une fréquence d'échantillonnage fe telle que fe> 2B

Théorème de Shannon

Traitementsnumériques

ConvertisseurA/N , Fe , gCapteur Filtre AR

Fc < Fe/2

Conséquence du théorème de Shannon

Il faut placer des filtre anti-repliement (AR) avant le convertisseur

( )∑∞+

−∞= −−

ee kTt

kTtkTxtx)/(

)/(sin)()(π

πFormule de l’interpolateur idéal de Schannon

Description Fréquentielle des signaux numériques

Transformée de Fourier d’un signal numériqueles intégrales deviennent des sommes discrètes

f en HzX f x k jfkTek

( ) ( ) exp( )= −= −∞

∑ 2π

X f X f fe( ) ( )= + X X( ) ( )ν ν= + 1

Re( ( )) ( ) cos( )X x k kν πν=−∞

Im( ( )) ( ) sin( )X x k kν πν=−∞

X X X( ) Re( ( )) Im( ( ))ν ν ν= +2 2 Arg X ArctgXX

( ( )) (Im( ( ))Re( ( ))

)ννν

Propriétés

Périodicité

Parité paire

impaire

Spectres

Transformée de Fourrier Discrète

Rappel des relations de base

Réciproquement

X f x k jfkTek

( ) ( ) exp( )= −= −∞

∑ 2π

∫−

)2exp()()(e

fe dfjfkTfXkx π

Pour calculer X(f) il faut discrétiser f- on choisit N pts sur une période entre 0 et Fe

- chaque fréquence de la TFD s’écrit

- Est la période d’échantillonnage en fréquence

fNfe ∆=

efNnfnf =∆=

Transformée de Fourrier Discrète (2)

Définition:si x(k) est un signal numérique de durée N échantillons, échantillonnéà la période Te alors les deux relations suivantes définissent respectivement latransformée de Fourier Discrète directe et inverse de x(k)

- les fréquences n∆f sont les fréquences harmoniques de la TFD

- N est le nombre d’échantillons temporels et fréquentiels c’est la durée du signal

∑−

∆−=∆1

)2exp()()(N

kefkTjnkxfnX π

∑−

0)2exp()(1)(

nkjnXN

kTx π

∑−

−=∆1

)2exp()()(N

k NnkjkxfnX π

Transformée de Fourrier Discrète (3)

Propriétés

Celles de la TF

Périodicité fréquentielleX(n∆f) est de période feX(n) est de période N échantillons

X(ν=n/N) est de période 1

Périodicité temporelleDu fait de l’échantillonnage en fréquence à la période

on introduit une période temporelle égale

à la durée du signal

Nff e=∆

===∆1

Propriétés de la TFD

Périodicité temporelle égale à la durée du signal

0 10 20 30 40 50 60-1

0 20 40 60 80 100 120-1

Transformée de Fourrier Rapide (Cooley-Tukey 1965)

Premier algorithme de calcul rapide de la TFD

L'application des formules de base nécessite pour le calcul directe d'une TFDN (N multiplications complexes + (N-1) sommes complexes)donc un nombre d'opérations proportionnel à N2

L'algorithme rapide nécessite un nombre d'opérations proportionnel à N log2(N)

Principe de calcul d'une TFRla formule de base est

si N est pair

soit encore

X n x k jnkNk

N( ) ( ) exp( )= −

∑ 20

X n x i jn iN

x i jn i

N( ) ( ) exp( ) ( ) exp(

/ /= − + + −

∑ ∑2 22

2 1 22 1

2 1π π

X n x i jn iN

x i jn iNi

N( ) ( ) exp( ) exp( ) ( ) exp( )

/ /= − + − + −

∑ ∑2 22

2 2 1 22

2 1π π π

Transformée de Fourrier Rapide (2)

Finalement

X n x i jn iN

x i jn iNi

N( ) ( ) exp( ) exp( ) ( ) exp( )

/ /= − + − + −

∑ ∑2 22

2 2 1 22

2 1π π π

)()()( nTFDWnTFDnX impairsn

Npairs +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

jWNπ2exp

∑∑−

−++−=12/

22exp()12()

22exp()2()(

i NnijixWN

nijixnX ππ

TFR (3)

TFD surles

échantillonspairs

X(N/2-1)

X(N/2)

X(i+N/2)

X(N-1)

TFD surles

échantillonsimpairs

WNi−

WNi N− +( / )2

Si N est pair on met en œuvre une étape Papillon

x(N-2)

x(2j+1)

x(N-1)

TFR (4)

Si N est pair multiple de 4 alors N/2 est encore pair et on peut écrire

∑∑−

−+−+−=12/

0)22exp()12()2exp()22exp()2()(

i Ninjix

NinjixnX πππ

∑∑∑−

+−++−=−

0))24(2exp()24()42exp()4()22exp()2(

i Ninjix

Ninjix

Ninjix πππ

∑∑−

−+−+−=14/

42exp()24()22exp()

42exp()4(

i Nnijix

nijix πππ

∑∑−

−++−=14/

42exp()24()

42exp()4(

i NnijixWN

nijix ππ

)()( 42

4 nTFDWnTFD ultiplesdepairesnonmn

Nemultiplesd +

TFR (5)

Si N est pair multiple de 4 alors N/2 est encore pair et on peut écrire

∑∑−

−+−+−=12/

0)22exp()12()2exp()22exp()2()(

i Ninjix

NinjixnX πππ

∑∑∑−

+−++−+=−+

0))24(2exp()34()42exp()14()22exp()12(

i Ninjix

Ninjix

Ninjix πππ

∑∑−

+−++−+=

0))24(2exp()34())4(2exp()14(

i NinjixW

Ninjix ππ

∑∑−

−++−+=14/

42exp()34()

42exp()14(

i NnijixWN

nijix ππ

)()( 342

14 nTFDWnTFD nN ++ +=

TFR (6)

Exemple : 7 étapes papillons pour N = 8

TFR (7)

Finalement si N = 2T

le calcul de la TFD se ramène à T TFD binaires et (N-1)-T opérations papillons non binaires

3. Analyse Spectrale non paramétrique

Calcul de spectres par TFD:

- Respecter théorème d’échantillonnage (filtres AR)- Périodicité sur la durée N d’observation (???)

N échantillons vues comme un signal discontinu

0 10 20 30 40 50 60-1

0 20 40 60 80 100 120-1

Fenêtres d’apodisation(1)

0 50 100 150 200 250-1

)()()( krectkxkx NN ×=

Limitation de la durée du signal

En fréquence on a donc

fenêtre fréquentielle

)(Re)()( fctfxfX NN ⊗=

40 60 80 100 120 140 1600

⊗0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

Le spectre théorique est filtré en fréquence par Rect(f)

Il faut choisir le « moins mauvais » filtre (fenêtre)

Paramètres caractéristiques

Résolution fréquentiellec’est la distance la plus faible entre deux fréquences que l’on peut distinguer

Rf wew ∆== γγ

wγLargeur normalisée de la fenêtre

fRfff >− 12

Les 2 fréquences se distinguentl’une de l’autre

fRfff <− 12

Les 2 fréquences ne se distinguentplus l’une de l’autre

Fenêtres d’apodisation(4)Paramètres caractéristiquesRésolution en amplitudeC’est le rapport d’amplitude que l’on peut distinguer pour deux fréquences à la limite de la résolution fréquentielleDeux fréquences proches ayant un rapport d’amplitude inférieur ne sont pas distinguables

SecondaireLobeerAlLobeCentraARa =

)(1020 RaLogw =λOn l’exprime en décibel

Les 2 fréquences se distinguentl’une de l’autre

Les 2 fréquences ne se Distinguent plus l’une de l’autre

dBadBdB RAA <− 21 dBadBdB RAA >− 21

Fenêtre Rectangulaire

20 40 60 80 100 120 140 160 180

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

dBr 13=λ

⎩⎨⎧ −<=

Nksikwrsin0

∑−

−−=

)2exp()()(N

rr kjkwW νπν

( )( )πνπνπν sin

sin)exp()( NjfWr =

La Transformée de Fourier de la fenêtre rectangulaire échantillonnée vaut:

Fenêtre temporelle Fenêtre fréquentielle en décibels

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

Définie en fréquence forme temporelle

Fenêtre de hanning

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-50

))2/(cos(5,05,0)( NNkkwh

++= π

dBh 32=λ

( ) ( ) ( )NWWNWW rrrh1

41)( −+++= νννν

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

32 dB4/N

Fenêtre de HammingRichard Wesley Hamming 1915-1998

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-40

w kk N

NH ( ) , , cos(( / )

0 54 0 462π dBH 43=λγ H = 4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

Une variante de la fenêtre de hanning

Fenêtre de Blackman

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-60

dBB 59=λ6=Bγ

w kk N

NB ( ) , ( , cos(( / )

) , cos(( / )

))= ++

0 42 2 0 252 2

0 044 2π π

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

On étend le principe de construction de hanning à 2 cosinus

Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD (1)

Le spectre obtenu doit être corrigé selon la fenêtre utilisée

Il faut diviser par l’amplitude du pic de la fenêtre en 0 (le continu)

Le spectre d’amplitude mis à l’échelle est donc calculé par

)()()( fWfXfX N ⊗=

∑−

0)()0(

)0()()(

fWfXfX N

Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD (2)

N=100;nu=0.305;k=[0:N-1];signal = sin(2*pi*nu*k);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fenetre = Hanning(N);

Signal = signal.*fenetre';

spectre = fft(Signal);

WO = sum(fenetre); % coefficient de normalisation

plot(k,20*log10(abs(spectre)./WO),'r');

Instructions MatLab

Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD(3)

Amplitude 1N=100

300,0=νOn trouve bien le spectre d’amplitude Bilatéral avec des amplitude 0,5

Amplitude 1N=100

305,0=ν On ne retrouve pas le spectre d’amplitude bilatéral par l’effet de filtrage

Les deux pics sont affaiblis et élargis

Amplitude 1N=100

300,0=ν en décibel

On retrouve le résultat théoriqueavec 2 pics à -3dB

Amplitude 1N=100

305,0=νOn ne retrouve pas le résultatdu fait de l’effet de filtrage de la fenêtre

2 pics larges apparaissent avec une amplitude de -10dB

Spectre d’amplitude d’un sinus

Amplitude 1N=100

305,0=ν

Rectangulaire

RectaHamming

Hanning

Blackman

Le calcul du spectre d’amplitude par transformée de Fourier Discrète est inutilisable du fait de la limitation de la durée du signal. On parvient à limiter cet effet en utilisant une fenêtre d’apodisation mais sans l’annuler toutefois.

Le spectre d’amplitude se trouve filtré par la fenêtre spectrale, et de ce faitl’amplitude est distribuée sur plusieurs harmoniques.

Calcul du Périodogramme (1)

Pourtant le théorème de Parseval est toujours vérifié

Pour une durée d’observation T la puissance est

que l’on ré-écrit

Où est le périodogramme,

c’est une densité de puissance en fonction de la fréquenceOn dit « Densité Spectrale de Puissance »

∫∫+∞

∞−

Φ== dffdffXT

P xx )()(12

2)(1)( fXT

fx =Φ

xPdttxT

==∫ ∫∞+

∞−

22 )(1)(1

∫ ∫+∞

∞−

∞−= dttxdffX 22 )()(

En numérique on calcule

Où P est un facteur de normalisation qui dépend de la fenêtre, il correspond à la puissance de la fenêtre

2))()((1)( kwkxTFDNP

nx ×=Φ

∑−

N=100;nu=0.305;k=[0:N-1];signal = sin(2*pi*nu*k);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fenetre = boxcar(N);Signal = signal.*fenetre';

% puissance de la fenetre pour la normalisation P = norm(fenetre)^2;spectre = fft(Signal);

% calcul de la puissance moyenne sur la duree d'observation Nperiodogramme = abs(spectre).^2./P/N;

% intègre le periodogramme sous le premier pic du sinus entre les harmoniques n=29 et n=35Puissance = sum(periodogramme(29:34));

% multiplie la puissance par deux pour prendre les deux pics en compte% Puissance = Puissance *2

plot(k,20*log10(periodogramme),'r');hold on;plot(k(29:34),20*log10(periodogramme(29:34)),'(o');

Fenêtre rectangulaire Amplitude du sinus = 1

Puissance théorique =

Amplitude efficace =

Puissance mesurée = 0.4670

Fenêtre de hanningAmplitude du sinus = 1

Puissance = 0,4999

Fenêtre de HammingAmplitude du sinus = 1

Puissance = 0,4997

Fenêtre de BlackmanAmplitude du sinus = 1

Puissance = 0,5

Amplitude du sinus = 1Puissance = 0,5

Fenetre rectangulairePuissance = 0,4670

Fenêtre de hanningPuissance = 0,4999

Fenêtre de HammingPuissance = 0,4997

Fenêtre de BlackmanPuissance mesurée = 0,5

4. Analyse spectrale des signaux aléatoires

4.1. IntroductionLes signaux aléatoires ne sont pas exactement prédictibles au cours du temps

On souhaite développer des techniques pour- Analyser le contenu fréquentiel des signaux en présence de bruit- Déterminer les propriétés des systèmes qui ont générés ces signaux

4.2 Processus aléatoire (1)

DéfinitionOn définit un processus aléatoire comme une application qui à chaque expérience fait correspondre une fonction du temps qu’on appellera signal aléatoire

On le note souvent mais en toute rigueur on doit noter pour marquer son caractère aléatoire.

Il y a donc 2 façons d’analyser de représenter le signal aléatoire-pour une expérience donnée le signal aléatoire est une fonction du temps.

est une trajectoire du processus aléatoire

-pour un instant donnéest une variable aléatoire

)(tX ),( ωtX

0t),( 0 ωtX

4.2. Processus aléatoire (2)

Exemple:

4 trajectoires différentes du même processus provenant de 4 expériences différentes

Exemples:

Signal déterministe :dont on peut prédire avec exactitude la valeur à tout instant

Signal aléatoire :la prédiction ne peut être exacte, notion d’incertitude ou d’erreur

On veut connaître avec précision l’incertitude sur une mesure ou une prédiction

Chaque mesure ou prédiction s’accompagne d’un intervalle de confiancequi donne la probabilité que la mesure soit dans cet intervalle

4.2. Signaux Aléatoires (3)

)sin( tω

∫=<≤max

min)( )(max))((min dvvptXP toXo

dvvpdvvtXvP toXo )())(( )(=+<≤

τte−

La loi du processus caractérise complètement l’aspect aléatoire du signal :

En générale l’aspect aléatoire du signal est indésirable et provient du système de transmission : Bruit de fond

Un signal possède en générale un aspect déterministe (signal utile) et un aspect aléatoire (bruit de fond)

4.2. Signaux Aléatoires (4)

)()( vp toX

)()()( tbtutX +=

Exemples de bruitsBruit thermique - Bruit Johnson:

du à aux agitations aléatoires des électrons sous l’effet de la température présent dans tout composant actif ou passif présentant une certaine résistance même en l’absence de tension appliquée

Soit R la résistance du composant : alors courant comme tension suivent une loi gaussienne de moyenne

nulle et de d’écart types respectifs et (ce sont les valeurs efficaces)

Alors on a par la loi d’Ohm

et la puissance totale du courant électrique dans la bande de fréquence B est

k est la constante de Boltzmann et T la température (kT=4.10-21 à l’ambiante), on déduit que en V2 et en A2

Bruit de grenaille :Du à la fluctuation des porteurs de charges au passage d’une jonctionN’existe qu’en présence d’un courant moyen Io non nul

Il suit une loi aléatoire gaussienne

iu Rσσ =kTBui =σσ

Bki TR2 =σR

kTBu =2σ

)(exp(

21)( 2

σπσ−

BeIoig 22 =σ

Rapport signal/bruit

Rapport signal sur bruit

chiffre le degré de contamination du signal utile par du bruit (rapport des puissances)

Facteur de bruit d’un système

chiffre la détérioration d’un système

sortie

entreFξξ

)()()( tbtutx +=

4.3 Rappel sur les Variables Aléatoires (1)

DéfinitionC’est une fonction X définie sur une espace d’expériences qui associe à toute partie de cette espace une valeur numérique réelle

est l’espace des expériences

est le résultat de l’expérience

RX →Ω:

)(ωω X→

Rappel sur les Variables Aléatoires (2)

Loi d’une variable aléatoireLa loi de la variable aléatoire X est une fonction de probabilité que l’on note

telle que

C’est la fonction qui associe une probabilité aux résultats des expériences

Variable aléatoire discrèteLorsque l’espace des résultats possibles est de taille finie.Exemple : le dés

Variable aléatoire continueLorsque l’espace des résultats possibles est un intervalle de

la loi de X notée est une densité de probabilité telle que

)(xPX ( )xXPxPX == )(/)( ωω

RxxPX ∀= ;0)(

1))( =∫+∞

∞−

duupX)(upX

Rappel sur les Variables Aléatoires

Paramètres caractéristiques d’une variable aléatoire

Espérance ou valeur attendue :

c’est la moyenne sur une infinité de mesures

Variance :

Écart type ou écart moyen à la moyenne:

∫+∞

∞−

= ))()( duuupXE X

∫+∞

∞−

−= duupXEuXVar X )())(()( 2

)(xVar=σ

Exemples

Loi uniforme : sur l’intervalle [a,b]

Loi normale :

abupX −

2)( abXE −

)()(2abXVar −

)(exp(2

σπσmuupX

−−=

XmXE =)( 2)( σ=XVar

4.4 Description temporelle des Signaux aléatoires

On décrit les signaux aléatoires par les propriétés des variables aléatoires qui dépendent du temps

Moyenne

Fonction d’autocovariance

On montre que

( )( ) ( )( )( ))()()()(),( 221121 tXEtXtXEtXEttRXX −×−=

)),(()( tXEtmX ω=

( ) )()()()(),( 212121 tmtmtXtXEttR XXXX −×=

4.4. Signaux Stationnaires

Signal aléatoire Stationnaire au second ordre

Moyenne et variance ne dépendent pas du temps

( ) ( )( ) τττ ∀−+×−= XXXX mtXmtXER )()()(

ttXEmX ∀= ));,(( ω

( ) 2)()()( XXX mtXtXER −+×= ττ

4.4. Signaux Ergodiques

Calcule de la moyenne d’un signal stationnaire

D’après la définition ttXEmX ∀= ));,(( ω

On doit réaliser une moyenne en sur l’ensemble des expériences0t

∞→=

iiNX tX

10 ),(1lim ω

ωω ∀),( 0tX0tOn doit choisir un instant quelconque et calculer la moyenne sur les différentes expériences qui donnent chacune une réalisation de

4.4. Signaux Ergodiques

Définition:Un signal stationnaire est ergodique si on peut estimer ses moments par des estimations au cours du temps

On confond moyenne d’ensemble et moyenne au cours du temps

∞→=

kTX kXT

),(1lim ω

On ne fait qu’une seule expérience, et on estime les paramètres sur la trajectoire mesurée

4.4. Fonction d’autocorrélationChiffre la ressemblance entre le signal et une version décalée de lui-même

))()(()( ττϕ += tXtXEXX

∑ +=∞→

NXX kXkXN 0

)()(1lim)( ττϕ

pour un signal numérique de durée N on aura

)0()( 2δστϕ =XXPour un signal parfaitement aléatoire on a :

dès qu’on le décale d’un seul échantillon, il n’y a plus de ressemblance avec lui-mêmeC’est un Bruit Blanc

4.4. Exemples

Signal Autocorrélation

Bruit Blanc

Bruit Blanc moyenné

Bruit Blanc avec sinus

4.4. Fonction de Covariance et d’autocorrélation

( ) 2)( XXXXX mR −= τϕτ

4.5. Densité Spectrale de Puissance

On cherche à représenter les signaux aléatoire en fréquence

Le « réflexe » est de calculer la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation

∫+∞

∞−

−==Φ ττπτϕτϕ djfTFf XXXXXX )2exp()())(()(

∫+∞

∞−

− Φ=Φ= dfjfffTF XXXXXX )2exp()())(()( 1 τπτϕ

Par inversion de la TF on a également

4.5. Densité Spectrale de Puissance

Or la puissance du signal s’écrit

2 )2exp()()0( XXXXXXX mdfjffmP +Φ=+==∫ τ

τπϕ

Théorème de Wiener-KintchineLa transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation est la densité spectrale de puissance

2)( XXXx mdffP +Φ= ∫soit finalement

)( fXXΦdonc est la densité spectrale de puissance du signal aléatoire

4.6. Notion d’estimation

• La théorie des probabilités et des variables aléatoires permet de calculer les grandeurs caractéristiques des signaux (moyennes, variances, covariances…) si on connaît les lois de probabilité

∫== dxxxpXEm XX )()(

∞→==

iiNX X

1)(1lim)( ω

• La connaissance de la loi est équivalente à l’observation du processus sur une infinité d’expériences

• Dans la pratique on fait un nombre d’expériences limité et on calcule la moyenne empirique

• C’est l’estimateur de la moyenne empirique• Le résultat de l’estimation est d’autant meilleur que le nombre d’expériences

est grand (exemple lancé de dé)

1)(1 ω

• On montre que l’estimateur de la moyenne empirique converge vers l’espérance mathématique

DéfinitionUn estimateur est une fonction qui détermine une valeur , estimation d’une grandeur à partir d’un échantillon de réalisations de variables aléatoires

on note

( ))(),....,2(),1( NXXXf=∧

Or comme toute fonction de variables aléatoires est une variables aléatoire, un estimateur est une variable aléatoire

∧ αα

Un estimateur est donc caractérisé par une densité de probabilités

On la note

Biais et variance d’un estimateurintuitivement un bon estimateur doit avoir une grande probabilité de donner un résultat proche de la valeur que l’on cherche à estimer

∧ αα

La variance de l’estimateur 2 est plus faible que celle de 1La moyenne de 3 n’est pas la valeur de on dit que 3 est biaisé1 et 2 sont non biaisés

Biais d’un estimateurLe biais d’un estimateur est la différence entre sa valeur moyenne et la vrai valeur que l’on veut estimer

ααα

−=∧

∧ )(Eb

Variance d’un estimateurC’est la variance de la variable aléatoire qu’il représente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∧∧

)(var ααα

Estimateur consistantun estimateur est consistant lorsque le biais et la variance tendent vers zéro lorsque le nombre d’observations tend vers l’infini

4.7. Estimation de la fonction d’autocorrélation

• Estimateur sans biaisLorsqu’on ne dispose que de N échantillons il n’y a que valeurspossibles des produits

)(τϕXX

∑ +=∞→

NXX kXkXN 0

)()(1lim)( ττϕ

• On veut estimer quand N est fini

τ−N)()( τ+kXkX

)25( +kX

Pour N=50, et τ =25il n’y a que 25 termes non nuls

• Estimateur sans biais

– On montre que

– L’estimateur est donc consistant

∑−−∧

0)()(1)('

XX kXkXN

=∧τXXC

0varlim)('

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∧∞→ ττ XXC

• Estimateur biaisé

– On montre que

– On montre que cet estimateur est consistant

∑−−∧

)()(1)(τ

XX kXkXN

τϕττ

−=∧

0varlim)(

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∧∞→ ττ XXC

4.8. Estimation de la densité spectrale de puissance

• Estimateur spectral simple de la densité spectral de puissance– Prendre la transformée de Fourier de l’estimateur de la fonction

d’autocorrélation

– C’est l’estimateur du périodogramme

– Comme l’estimateur de est biaisé l’estimateur du périodogramme est biaisé également

– On montre que la variance est non nulle et qu’elle ne dépend pas de la durée du signal, elle ne peut donc pas s’annuler à la limite

∑−

∧∧

−=Φ1

0)2exp()()(

kXXXX jnkkCn π

2)(1)( nXN

nXX =Φ∧

XXC∧

• Estimateur spectral moyenné– Une manière simple pour réduire la variance est de calculer une moyenne sur

plusieurs estimateurs simples indépendants

– On découpe le signal en L tronçons de durée K tels que

∑∧

Φ=Φl

n )(1)(

KLN ×=)(1 kx )(2 kx )(3 kx

2)((1)( kxTFD

Nn ll =Φ

∧Alors avec

• Estimateur spectral moyenné– La variance diminue par rapport à l’estimateur simple

XXXXVar

ΦΦΦ ==1

• Estimateur spectral adouci

– Les propriétés sont liées aux propriétés de la fenêtre: résolution fréquentielle

∑−

∧∧

0)2exp()()()(

kXXXX jnkkCkwnR π

• Estimateur spectral modifié

llx kwkxTFD

2))(*)((11)(

∑−

KLN ×=

• La variance décroit avec L

XXXVar

Bruit Blanc de variance 1 échantillonné sur des tronçons de 1000 ptsR = 1 moy B= 8 moy J= 64 moy

Application (1)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-60

9976,010*500 2027

Application (2)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-120

Sinus d’amplitude 1 quantifié sur 8 bitsRectangulaire Hanning

5.0)(110

90=Φ=∑

10*92,710*500 −−

==Pbruit

10*12,512)255/2(

12−===

qPbruit

5. Principe du MP3: Modèle auditif de l’oreil

HM-1(z) FM-1(z)

F0(z)M M

)(nx∧

)(nxQuantification

codage

Allocation

Dynamique

De bits

Estimation spectrale +

Modèle auditif

M filtres passe-bande Décimation d’un facteur M

Sous-échantillonnage critique d’un facteur M

Sur-échantillonnaged’un facteur Majout de M-1 zéros

M filtres interpolateurs

Effet de masquage

Seuil d’audition absolue et courbes de masquage d’une sinusoïde à la fréquence 5KHz pour des puissances de 20, 40 et 60 db

Inutile de coder ce que nous ne percevons pas dans le signal musical.Une compression avec perte est possible en utilisant le modèle auditif humain

dans une ambiance parfaitement silencieuse l’oreille n’est sensible àune fréquence qu’à condition que sa puissance dépasse le seuil d’audition absolu (0dB)

Une fréquence masque ces voisines i.e. augmente le seuil de perception

Courbes de masquage du Modèle MPEG Audio 1

f2 perçue si P(f2 ) > Pf1(f2) courbe de masquage en f2 par la présence de f1

Si l’on exprime la fréquence en Bark (Barkhausen, 1881-1956)

alors les courbes de masquage peuvent être représentées par des segments de droites dont la pente ne dépend que de f1

La courbe de masquage s’écrit

Pf1(f)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

75005,3100076,013 hertzhertzbark

farctgfarctgf

),(()()(),,( 1211111122 PffMfafPPffP −++=

Courbes de masquage du Modèle MPEG Audio 1

La courbe de masquage s’écrit

Avec la puissance de la fréquence

l’indice de masquage tel que son tonal (sinus)son non tonal

),(()()(),,( 1211111122 PffMfafPPffP −++=

5,4275,0525,1)( 11 −−−= ffat)( 1fa

)( 11 fP 1f

5,0175,0525,1)( 11 −−−= ffan

13 21 −<−<− ff ( ) ( )64.0117),( 121121 +−+−=− PffPffM

01 21 <−<− ff

10 21 <−< ff

81 21 <−< ff

( )( )64.0),( 121121 +−=− PffPffM

( )21121 17),( ffPffM −−=−

( )( ) 1715.0171),( 121121 −−−−−=− PffPffM

Exemples

Courbes de masquage par 3 sons pursà 1, 5 et 10 KHz et une puissance de 50dB

Courbes de masquage par 3 bruits à bande étroiteP=50dB

Courbes de masquage par 3 sons pursà 1, 5 et 10 KHz et une puissance de 30dB

Courbes de masquage par 3 bruits à bande étroiteP=30dB

Notion de bande critique

C’est la bande de fréquence dont la perception est modifiée en présence d’une fréquence masquante

La largeur de la bande critique augmente avecla fréquence Masquante

1 Bark mesure la largeur d’une bande critique quelle quesoit sa position sur l’axe des fréquences

100/1 fBark=

)1000/log(491 fBark +=

Hzfsi 500<

Hzfsi 500>

Les 24 bandes critiques de la bande audible

HzKHzf 5,62512

32==∆

Calcul de la courbe de Masquage

• Il s’agit d’analyser la composition spectrale du signal pour déterminer les bandes de fréquence qui ne sont pas audibles

• On procède à des analyses locales pour avoir des propriétés de stationnarité du signal

• Le signal audio est donc analysé par tronçons successifs• N = 512 échantillons• D = 16 ms pour Fe = 33KHz• D = 11,6 ms pour Fe = 44 Khz

• On note les 512 échantillons du tronçon n° l• On note les 512 échantillons de la TFD du trançons

511,...,0)( =kkxl

)(1 kx )(2 kx )(3 kx

511,...,0)( =nnXl

511,...,0)( =kkxl

Les 25 bandes critiques du MPEG

HzKHzf 1,865121,44

==∆Pour KHzfe 1,44=

Limites des bandes critiques

N° de bandes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Fréquences (Hz)86 172 258 431 517 689 775 947 1120 1292 1464 1723 1981 2326 2756

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

3187 3876 4479 5340 6374 7580 9302 11370 15504 19983

• Etape 1: estimation de la densité spectrale de puissance par l’estimateur adouci(fenêtre de hanning mais sans moyennage)

• Etape 2: normalisation à 96dB (par translation + ou – du max)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×= 2

10 ))(*)((1log10)( kwkxTFDNP

dBnRln96)(max =

• Etape 3: Détection des composantes tonales vérifiant les 3 conditions

avec si (basses fréquences)

si (fréquences moyennes)

si (hautes fréquences)

dBjkSkSnSnSnSnS

7)()()1()()1()(

≥+−+≥−>

[ ] 2,263,3 +−=∈ jalorsk

[ ] 3,2,2,3126,64 ++−−=∈ jalorsk

[ ] 6,...,2,2,...,6250,127 ++−−=∈ jalorsk

• Etape 4: Renforcement des composantes tonalesOn ajoute aux composantes tonales la puissance des deux harmoniques voisines

si n est tonale

( )10/)1(10/)(10/)1(101 101010log10)( +− ++×= nRnRnR lllnP

• Etape 5: Renforcement des composantes non tonalesDans chaque bande critique on somme les puissances des composantes non tonales

si n est non tonale

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛×= ∑

tonalenonndebut

nRlnP,

10/)(101 10log10)(

• Etape 6: Elimination des fréquences tonales et non tonales inférieures au seuils d’audition

• Etape 7: passer à une échelle en Bark

• Etape 8: deux composantes tonales séparées de moins de 0,5 Bark entraînent l’élimination de la moins puissante

• Il reste Nt composantes tonales et Nn composantes non tonales

• Etape 9: calcul du seuil de masquage à la fréquence

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×= ∑∑

PnnPnSm nS

10/),,(

10/),,(10/)(102

121212122 101010log10)(

Bibliographie

M. Bellanger, Traitement numérique du signal, 6eme édition, Dunod, 1998

Blanchet, Charbit, Traitement numérique du signal, Hermes, 1998.

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