DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Probabilites

Le langage des ensembles et le modele probabiliste

Julian Tugaut

Telecom Saint-Etienne

Julian Tugaut Probabilites

Sommaire

1 DefinitionsNotion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

2 Operation sur les ensemblesIntersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoireL’espace fondamentalLes evenements

Plan

1 DefinitionsNotion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

2 Operation sur les ensembles

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoire

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Notion d’ensemble

On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :

Definition

Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Notion d’ensemble

On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :

Definition

Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.

Notations

Si l’objet ω appartient a l’ensemble Ω, on note : ω ∈ Ω.Si l’objet ω n’appartient pas a l’ensemble Ω, on note : ω /∈ Ω.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Notion d’ensemble

On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :

Definition

Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.

Notations

Si l’objet ω appartient a l’ensemble Ω, on note : ω ∈ Ω.Si l’objet ω n’appartient pas a l’ensemble Ω, on note : ω /∈ Ω.

Definition

Un objet ω appartenant a l’ensemble Ω (ω ∈ Ω) est appele unelement de Ω.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Ensemble vide

Definition

On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Ensemble vide

Definition

On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.

Notation

L’ensemble vide est note ∅.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Ensemble vide

Definition

On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.

Notation

L’ensemble vide est note ∅.

Remarque

Il ne faut pas confondre l’ensemble vide (∅) avec le zero (0). On acoutume de dire : “Etre nul, c’est deja exister”.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Inclusion, Sous-ensembles - 1

Definition

On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsquetout element de A appartient a B. Plus formellement, A est inclusdans B lorsque

∀ω ∈ A , ω ∈ B .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Inclusion, Sous-ensembles - 1

Definition

On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsquetout element de A appartient a B. Plus formellement, A est inclusdans B lorsque

∀ω ∈ A , ω ∈ B .

Remarque

On dit aussi que B contient A ou que A est un sous-ensemble de B.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Inclusion, Sous-ensembles - 2

Notation

Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Inclusion, Sous-ensembles - 2

Notation

Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.

Exemple

Soit B l’ensemble des etudiants de Telecom Saint-Etienne. Soit Al’ensemble des FI1 de Telecom Saint-Etienne.Alors, A est inclus dans B : A ⊂ B.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Inclusion, Sous-ensembles - 2

Notation

Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.

Exemple

Soit B l’ensemble des etudiants de Telecom Saint-Etienne. Soit Al’ensemble des FI1 de Telecom Saint-Etienne.Alors, A est inclus dans B : A ⊂ B.

Theoreme

Soient deux ensembles A et B. Alors, A = B si et seulement siA ⊂ B et B ⊂ A.

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Plan

1 Definitions

2 Operation sur les ensemblesIntersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoire

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 1

Definition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 1

Definition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.

Notation

L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 1

Definition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.

Notation

L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.

Plus formellement, on peut ecrire :

A ∩ B = ω : ω ∈ A , ω ∈ B

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 1

Definition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.

Notation

L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.

Plus formellement, on peut ecrire :

A ∩ B = ω : ω ∈ A , ω ∈ B

ouω ∈ A ∩ B ⇐⇒ ω ∈ A et ω ∈ B .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 2

Avec un diagramme de Venn :

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 2

Avec un diagramme de Venn :

Figure: Intersection de deux ensembles

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 3

Exemple : Ensemble fini petit

Soit Ω := a, b, c , d , e, f , g , h, i un ensemble de lettres. Soient lesdeux sous-ensembles de Ω : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∩ B = c , d , e.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 3

Exemple : Ensemble fini petit

Soit Ω := a, b, c , d , e, f , g , h, i un ensemble de lettres. Soient lesdeux sous-ensembles de Ω : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∩ B = c , d , e.

Exemple : Ensemble fini grand

Soit Ω l’ensemble des ingenieurs formes en France. Soit A lesous-ensemble des ingenieurs exercant dans l’industrie. Soit Bl’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE.Alors, A ∩ B est l’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE quitravaillent dans l’industrie.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Ensembles disjoints

Definition : Ensembles disjoints

On dit que deux ensembles A et B sont disjoints lorsque leurintersection est vide : ils n’ont aucun element en commun. End’autres termes, on dit que A et B sont disjoints si l’on aA ∩ B = ∅.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de l’intersection - 1

Propriete : Commutativite

Soient deux ensembles A et B.Alors A ∩ B = B ∩ A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de l’intersection - 1

Propriete : Commutativite

Soient deux ensembles A et B.Alors A ∩ B = B ∩ A.

Propriete : Associativite

Soient trois ensembles A, B et C . Alors :

A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C =: A ∩ B ∩ C .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de l’intersection - 2

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ A = A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de l’intersection - 2

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ A = A.

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ ∅ = ∅.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 1

Definition

On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.

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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 1

Definition

On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.

Notation

La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 1

Definition

On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.

Notation

La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.

Plus formellement, on peut ecrire :

A ∪ B = ω : ω ∈ A ou ω ∈ B

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 1

Definition

On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.

Notation

La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.

Plus formellement, on peut ecrire :

A ∪ B = ω : ω ∈ A ou ω ∈ B

ouω ∈ A ∪ B ⇐⇒ ω ∈ A ou ω ∈ B .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 2

Figure: Reunion de deux ensembles

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Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 2

Figure: Reunion de deux ensembles

On remarque dans ce diagramme que l’on a

A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B et A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B .

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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 3

Exemple : Ensembles finis petits

Soient les deux ensembles de lettres : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∪ B = a, b, c , d , e, f , g.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Reunion de deux ensembles - 3

Exemple : Ensembles finis petits

Soient les deux ensembles de lettres : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∪ B = a, b, c , d , e, f , g.

Exemple : Ensembles finis grands

Soit A l’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE et soit Bl’ensemble des ingenieurs exercant dans l’industrie.Alors A ∪ B est l’ensemble des ingenieurs qui travaillent dansl’industrie ou qui sont diplomes de TSE.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la reunion - 1

Propriete : Commutativite

Soient deux ensembles A et B.Alors A ∪ B = B ∪ A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la reunion - 1

Propriete : Commutativite

Soient deux ensembles A et B.Alors A ∪ B = B ∪ A.

Propriete : Associativite

Soient trois ensembles A, B et C . Alors :

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C =: A ∪ B ∪ C .

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la reunion - 2

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ A = A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la reunion - 2

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ A = A.

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ ∅ = A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de distributivite

Propriete

L’intersection est distributive par rapport a la reunion :

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de distributivite

Propriete

L’intersection est distributive par rapport a la reunion :

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .

Propriete

La reunion est distributive par rapport a l’intersection :

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Complementaire d’un sous-ensemble - 1

Definition

Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Complementaire d’un sous-ensemble - 1

Definition

Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.

Notation

Le complementaire de A est note A ou Ac .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Complementaire d’un sous-ensemble - 1

Definition

Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.

Notation

Le complementaire de A est note A ou Ac .

Plus formellement, on a :

Ac = ω ∈ Ω : ω /∈ A

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Complementaire d’un sous-ensemble - 1

Definition

Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.

Notation

Le complementaire de A est note A ou Ac .

Plus formellement, on a :

Ac = ω ∈ Ω : ω /∈ A

ouω ∈ Ac ⇐⇒ ω /∈ A .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Complementaire d’un sous-ensemble - 2

Avec un diagramme de Venn :

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Complementaire d’un sous-ensemble - 2

Avec un diagramme de Venn :

Figure: Complementaire d’un sous-ensemble

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Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la complementation

Propriete

Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la complementation

Propriete

Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.

Propriete

Soit un ensemble Ω. Alors, Ω = ∅. De meme, on a ∅ = Ω.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Proprietes de la complementation

Propriete

Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.

Propriete

Soit un ensemble Ω. Alors, Ω = ∅. De meme, on a ∅ = Ω.

Propriete

Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Lois de Morgan

Theoreme : Lois de Morgan

Soit un ensemble Ω et soient A et B deux sous-ensembles de Ω.Alors, on a

A ∩ B = A ∪ B (1)

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Lois de Morgan

Theoreme : Lois de Morgan

Soit un ensemble Ω et soient A et B deux sous-ensembles de Ω.Alors, on a

A ∩ B = A ∪ B (1)

etA ∪ B = A ∩ B . (2)

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Plan

1 Definitions

2 Operation sur les ensembles

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoire

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Partition d’un ensemble

Definition

Soit Ω un ensemble. Soient n sous-ensembles : A1, · · · ,An. On ditqu’ils forment une partition de Ω s’ils sont deux a deux disjoints etsi leur reunion est egale a Ω.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Partition d’un ensemble

Definition

Soit Ω un ensemble. Soient n sous-ensembles : A1, · · · ,An. On ditqu’ils forment une partition de Ω s’ils sont deux a deux disjoints etsi leur reunion est egale a Ω.

Plus formellement, (A1, · · · ,An) est une partition de Ω si etseulement si

Ak ∩ Ap = ∅ si k 6= p

et A1 ∪ · · · ∪ An = Ω .

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Partition d’un ensemble - 2

Avec un diagramme de Venn :

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Partition d’un ensemble - 2

Avec un diagramme de Venn :

Figure: Partition d’un ensemble

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Exemple de partition

Exemple : Cas particulier de partition

Soit Ω un ensemble. Soit A un sous-ensemble de Ω. Alors (A,Ac)est une partition de Ω. En effet, on a A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = Ωpar definition. Regardons cela sur un diagramme de Venn :

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Exemple de partition

Exemple : Cas particulier de partition

Soit Ω un ensemble. Soit A un sous-ensemble de Ω. Alors (A,Ac)est une partition de Ω. En effet, on a A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = Ωpar definition. Regardons cela sur un diagramme de Venn :

Figure: Partition particuliere d’un ensemble

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Plan

1 Definitions

2 Operation sur les ensembles

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoire

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur les ensembles infinis

Definition

On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur les ensembles infinis

Definition

On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.

Definition

Un ensemble qui n’est pas de cardinal fini est dit infini.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur les ensembles infinis

Definition

On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.

Definition

Un ensemble qui n’est pas de cardinal fini est dit infini.

Exemple

L’ensemble N est infini. De meme, R est infini.

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DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur la denombrabilite

Definition

On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur la denombrabilite

Definition

On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.

Exemple

L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur la denombrabilite

Definition

On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.

Exemple

L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.

Contre-exemple

L’ensemble des reels, R, n’est pas denombrable.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Rappels sur la denombrabilite

Definition

On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.

Exemple

L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.

Contre-exemple

L’ensemble des reels, R, n’est pas denombrable.

Propriete

Une union denombrable d’ensembles finis ou denombrables estdenombrable.

Julian Tugaut Probabilites

Plan

1 Definitions

2 Operation sur les ensembles

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoireL’espace fondamentalLes evenements

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Modelisation d’une experience aleatoire

Le resultat d’une experience est dit aleatoire lorsqu’on ne peut pasle predire avec certitude. Plusieurs raisons peuvent expliquer cetteimpossibilite de prediction : on ne connaıt pas toutes les conditionsinitiales (les causes) ou on ne sait pas determiner comment lesysteme evolue precisement. L’experience est alors dite aleatoire.

Julian Tugaut Probabilites

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Position exacte du de dans la main.

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Position exacte du de dans la main.

Vitesse a laquelle le de est lance de la main.

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Position exacte du de dans la main.

Vitesse a laquelle le de est lance de la main.

Etat exact de la surface de reception.

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Position exacte du de dans la main.

Vitesse a laquelle le de est lance de la main.

Etat exact de la surface de reception.

Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Position exacte du de dans la main.

Vitesse a laquelle le de est lance de la main.

Etat exact de la surface de reception.

Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).

Resistance de l’air.

Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :

Position exacte de la main (hauteur, angles...).

Position exacte du de dans la main.

Vitesse a laquelle le de est lance de la main.

Etat exact de la surface de reception.

Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).

Resistance de l’air.

et beaucoup d’autres. Il est difficile de fixer a priori les valeursexactes des differents parametres.

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Exemple d’experience aleatoire - 2

Cependant, on constate que si l’on jette un de a six faces un grandnombre de fois, on obtient en moyenne :

1 Une fois sur six la face 1.

2 Une fois sur six la face 2.

3 Une fois sur six la face 3.

4 Une fois sur six la face 4.

5 Une fois sur six la face 5.

6 Une fois sur six la face 6.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Exemple d’experience aleatoire - 2

Cependant, on constate que si l’on jette un de a six faces un grandnombre de fois, on obtient en moyenne :

1 Une fois sur six la face 1.

2 Une fois sur six la face 2.

3 Une fois sur six la face 3.

4 Une fois sur six la face 4.

5 Une fois sur six la face 5.

6 Une fois sur six la face 6.

A partir de la, on peut definir une loi de variabilite du resultat.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

L’espace fondamental - 1

On definit les resultats possibles (ω) d’une experience aleatoire.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

L’espace fondamental - 1

On definit les resultats possibles (ω) d’une experience aleatoire.

Exemple

Experience aleatoire : jeter un de. Les resultats possibles sont alors

ω1 :=“on obtient la face 1”.

ω2 :=“on obtient la face 2”.

ω3 :=“on obtient la face 3”.

ω4 :=“on obtient la face 4”.

ω5 :=“on obtient la face 5”.

ω6 :=“on obtient la face 6”.

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L’espace fondamental - 2

Definition

L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.

L’espace fondamental - 2

Definition

L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.

La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p

est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.

L’espace fondamental - 2

Definition

L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.

La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p

est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.

L’enjeu du choix de l’univers repond donc a deux contraintes. Ilfaut que l’univers soit suffisamment riche pour repondre auxquestions que l’on se pose. Mais il faut egalement qu’il soitsuffisamment simple pour que l’on puisse travailler dessus.

L’espace fondamental - 2

Definition

L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.

La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p

est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.

L’enjeu du choix de l’univers repond donc a deux contraintes. Ilfaut que l’univers soit suffisamment riche pour repondre auxquestions que l’on se pose. Mais il faut egalement qu’il soitsuffisamment simple pour que l’on puisse travailler dessus.

L’espace fondamental associe a une experience aleatoire peut etrefini, infini denombrable ou infini non denombrable.

Les evenements - 1

Definition

On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.

Les evenements - 1

Definition

On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.

Exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, un evenement peut etreA :=“obtenir une face paire”.Si l’experience aleatoire est la quantite d’octets echanges dans unsysteme de pair a pair durant un intervalle de temps de duree fixee,un evenement peut etre A :=“Plus de mille octets ont eteechanges”.

Les evenements - 1

Definition

On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.

Exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, un evenement peut etreA :=“obtenir une face paire”.Si l’experience aleatoire est la quantite d’octets echanges dans unsysteme de pair a pair durant un intervalle de temps de duree fixee,un evenement peut etre A :=“Plus de mille octets ont eteechanges”.

Contre-exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, B :=“il va pleuvoirdemain”n’est pas un evenement.

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Les evenements - 2

On represente un evenement par l’ensemble des resultats possiblesqui verifient la proposition qui le definit : c’est un sous-ensemble del’ensemble fondamental Ω. A partir de maintenant, on confondl’evenement et le sous-ensemble qui le represente.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Les evenements - 2

On represente un evenement par l’ensemble des resultats possiblesqui verifient la proposition qui le definit : c’est un sous-ensemble del’ensemble fondamental Ω. A partir de maintenant, on confondl’evenement et le sous-ensemble qui le represente.

Exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, on pose A :=“onobtient une face paire”. L’espace fondamental estΩ := ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 et l’on ecrit A = ω2, ω4, ω6.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Les evenements - 3

Definition : Evenement elementaire

On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Les evenements - 3

Definition : Evenement elementaire

On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.

Definition : Evenement certain

On dit qu’un evenement A est certain si tous les resultats verifientla proposition logique qui definit A : A = Ω.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Les evenements - 3

Definition : Evenement elementaire

On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.

Definition : Evenement certain

On dit qu’un evenement A est certain si tous les resultats verifientla proposition logique qui definit A : A = Ω.

Definition : Evenement impossible

On dit qu’un evenement A est impossible si aucun resultat possiblene verifie la proposition logique qui definit A : A = ∅.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Implication - 1

Definition

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire. On dit que A implique B lorsqu’a chaque fois que A estrealise, B l’est egalement.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Implication - 1

Definition

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire. On dit que A implique B lorsqu’a chaque fois que A estrealise, B l’est egalement.

Notation

Si A implique B, on note A ⇒ B.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Implication - 2

Exemple

On jette un de. On pose A :=“on obtient une face plus grande quetrois”. On pose B :=“on obtient une face plus grande que deux”.Alors A implique B : A ⇒ B.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Implication - 2

Exemple

On jette un de. On pose A :=“on obtient une face plus grande quetrois”. On pose B :=“on obtient une face plus grande que deux”.Alors A implique B : A ⇒ B.

Remarque : Traduction ensembliste

A chaque fois que A est realise, B l’est egalement. En d’autrestermes, pour tout ω ∈ A, on a ω ∈ B. Ceci signifie A ⊂ B. On adonc

(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ⊂ B) .

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Operations sur les evenements

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Definition : Conjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Operations sur les evenements

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Definition : Conjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.

Definition : Disjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A ou(non exclusif) B est (sont) realise(s). Traduction ensembliste :E = A ∪ B.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Operations sur les evenements

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Definition : Conjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.

Definition : Disjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A ou(non exclusif) B est (sont) realise(s). Traduction ensembliste :E = A ∪ B.

Definition : Contraire d’un evenement

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si An’est pas realise. Traduction ensembliste : E = Ac = A.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Evenements incompatibles

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Evenements incompatibles

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Definition

Si les deux evenements A et B ne peuvent pas etre realisessimultanement, on dit qu’ils sont incompatibles. Traductionensembliste : A ∩ B = ∅. On dit que A et B sont disjoints.

Julian Tugaut Probabilites

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

L’espace fondamentalLes evenements

Evenements incompatibles

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Definition

Si les deux evenements A et B ne peuvent pas etre realisessimultanement, on dit qu’ils sont incompatibles. Traductionensembliste : A ∩ B = ∅. On dit que A et B sont disjoints.

ATTENTION

Il est essentiel de differencier la notion d’evenements disjoints de lanotion d’independance d’evenements. Nous insistons donc pourque l’etudiant soit precautionneux a ce sujet.

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Systeme complet d’evenements - 1

Definition

Soient A1, · · · ,An des evenements associes a une meme experiencealeatoire. On dit qu’ils forment un systeme complet si les deuxhypotheses suivantes sont satisfaites :

Les evenements sont deux a deux incompatibles.

A chaque repetition de l’experience aleatoire, l’un des nevenements est realise.

Systeme complet d’evenements - 1

Definition

Soient A1, · · · ,An des evenements associes a une meme experiencealeatoire. On dit qu’ils forment un systeme complet si les deuxhypotheses suivantes sont satisfaites :

Les evenements sont deux a deux incompatibles.

A chaque repetition de l’experience aleatoire, l’un des nevenements est realise.

Remarque : Traduction ensembliste

(A1, · · · ,An) est un systeme complet d’evenements de l’experiencealeatoire si et seulement si (A1, · · · ,An) est une partition del’espace fondamental Ω.

Systeme complet d’evenements - 2

Exemple : Cas particulier

Soit A un evenement quelconque d’une experience aleatoire. Alors,(A,Ac) est un systeme complet d’evenements.

Systeme complet d’evenements - 2

Exemple : Cas particulier

Soit A un evenement quelconque d’une experience aleatoire. Alors,(A,Ac) est un systeme complet d’evenements.

Exemple

L’experience aleatoire que l’on considere est la suivante : on tire auhasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On se donne lesevenements

A1 :=“On obtient un carreau”.

A2 :=“On obtient un cœur”.

A3 :=“On obtient un pique”.

A4 :=“On obtient un trefle”.

Alors, (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet d’evenements.