Aujourd’hui :

• Annonce sur les orientations (bis).

• Ensembles, sous-ensembles, théorème du sandwich (bis)

• Intersection, union, complément.

• Algèbre de Boole

• Fonctions, notation deux-lignes.

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Informations sur les orientations du Bacc en Math

• ACTUARIAT ET MATHS. FINANCIÈRES, mercredi le 4septembre, 12h30 à 13h30, Z-317 du pavillon Claire Mc Nicoll• MATH. PURES ET APPLIQUÉES. ET SCS. MATH., jeudi le 5septembre, 12h30 à 13h30, Z-310 du pavillon Claire Mc Nicoll• STATISTIQUE, vendredi le 6 septembre, 12h30 à 13h30, 1355du pavillon André-Aisenstadt• STAGES EN BAC. EN MATHÉMATIQUES ET ORIENTATIONSAct ou Stat COOP, mardi le 10 septembre, 12h30 à 13h30, 1175du pavillon André-Aisenstadt

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Rappel d’hier. Soient E et F deux ensembles.

E ⊂ F si pour chaque objet x on a quex ∈ F si x ∈ E(ou si x ∈ E alors aussi x ∈ F ).

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DefinitionU ensemble et A ⊂ U et B ⊂ U sous-ensembles.

L’union de A et B, A ∪ B, est le sous-ensemble de U des élémentsqui sont soit dans A, soit dans B, ou dans les deux.

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Définissons E := {{1, 2}, {1, 3}}.C’est un ensemble avec deux éléments : {1, 2}, {1, 3}.En particulier {1, 2} ∈ {{1, 2}, {1, 3}}.

Mais {1, 2} 6⊂ {{1, 2}, {1, 3}}.{1, 2} ⊂ {{1, 2}, {1, 3}} veut dire que chaque élément de {1, 2}est aussi un élément de {{1, 2}, {1, 3}}. Mais les éléments de{1, 2} sont 1 et 2 et 1 n’est pas un élément de E !

Mais {{1, 2}} ⊂ {{1, 2}, {1, 3}}. Parce que .....

Et {1, 2} ⊂ {1, 2} ∪ {1, 3}.

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Parfois on a autres formulations...

PropositionE ⊂ F si pour chaque objet x on a quex ∈ E seulement si x ∈ F .

—-Ce n’est pas la définition ! La définition est :

E ⊂ F si pour chaque objet x on a"x ∈ F si x ∈ E".

Une explication est donc nécessaire, une "preuve".

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Démonstration.Supposons que pour chaque objet x :x ∈ E seulement si x ∈ F .

On veut montrer, sous cette condition, que E ⊂ F :

Soit x ∈ E .Il y a exactement ( !) deux possibilités :(1) x ∈ F ou (2) x 6∈ F .Le cas (2) x 6∈ F est impossible ici :On aurait x ∈ E et x 6∈ F , mais on a supposé que x ∈ E seulementsi x ∈ F .Nous avons montré "si x ∈ E alors nécessairement x ∈ F ", c.-à-d.(par définition) E ⊂ F .

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Comparer

PropositionE ⊂ F si pour chaque objet x on a que x ∈ E seulement si x ∈ F .——-avec la proposition suivante. Donner une preuve (au premier TP) !

PropositionPour chaque objet x on a que x ∈ E seulement si x ∈ Fsi E ⊂ F .

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PropositionSi E ⊂ F et F ⊂ Ealorspour chaque objet x on a que x ∈ E seulement si x ∈ Fet x ∈ E si x ∈ F

PropositionSi pour chaque objet x on a que x ∈ E seulement si x ∈ Fet x ∈ E si x ∈ FalorsE ⊂ F et F ⊂ E

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Par définition, on a E ⊂ F et F ⊂ E simultanément si

• pour chaque objet x on asi x ∈ E alors aussi x ∈ Fetsi x ∈ F alors aussi x ∈ E .

• pour chaque objet x on a que x ∈ E si et seulement si x ∈ F .

Ou :

• pour chaque objet x on asi x ∈ E alors aussi x ∈ Fetsi x 6∈ E alors aussi x 6∈ F .

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Discuter (au TP)

• pour chaque objet x on asi x ∈ E alors aussi x ∈ Fetsi x 6∈ F alors aussi x 6∈ E .

Qu’est ce qu’on a ? ?

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Le théorème du sandwich.

ThéorèmeSoient A, B deux ensembles.

SiA ⊂ B ⊂ A

alors aussiA = B.

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Démonstration.Nous avons deux hypothèses :1. A ⊂ B, c.-à-d "chaque élément de A est aussi élément de B.2. B ⊂ A, c.-à-d "chaque élément de B est aussi élément de A.On veut montrer A = B.Par contre : Si A 6= B alors(a) il existe un élément de A qui n’est pas élément de Bou(b) il existe un élément de B qui n’est pas élément de A(ou tous les deux)Mais (a) n’est pas le cas à cause de 1 ; et (b) n’est pas le cas àcause de (2).Conclusion de cet argument : ce n’est pas vraie que A 6= B,donc A = B. Ce que nous voulions montrer.

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DefinitionSoit U un ensemble et A ⊂ U et B ⊂ U.

L’union de A et B, A ∪ B, est le sous-ensemble de U des élémentsqui sont soit dans A, soit dans B, ou dans les deux.

L’intersection de A et B, A ∩ B, est le sous-ensemble de U deséléments qui sont à la fois dans A et dans B.

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DefinitionLa différence de A et B, A− B (ou A\B), est le sous-ensemble deU des éléments qui sont élément de A mais pas élément de B.

Le complément de A dans U, A, est le sous-ensemble de U deséléments qui ne sont pas dans A.

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Les diagrammes de Venn et autres dessins ne donnent pas despreuves valides.Mais donnent une indication utile : pour un brouillon !

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Le nombre d’éléments (différents) d’un ensemble est noté |E | (ou#E ). Par exemple :

|Chiffres| = 10

et|Alphabet | = 26; |Voyelles| = 6.

L’ensemble vide, noté ∅ est l’unique ensemble qui contient zéroéléments, notation

∅ := {}.

On l’appelle encore un ensemble, malgré le manque d’éléments.

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Il existe aussi des ensembles avec une infinité d’éléments :

Nous allons supposer que l’ensemble N des nombres entiers existe :

N := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 999, 1000, 1001, . . . , . . .}.

On n’arrête pas avec l’énumération.

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Exercice pour un tpSoient A et B deux sous-ensembles finis de U.Alors

|A ∪ B|+ |A ∩ B| = |A|+ |B|.

Vous voyez pourquoi (par un brouilllon) ?

Et puis donnez une preuve écrite ?

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Algèbre de Boole. Un théorème fondamental pour les ensembles.

A, B et C sous-ensembles de U.(i) A ∪ ∅ = A ; A ∩ U = A ("Identité") ;(ii) A ∪ U = U ; A ∩ ∅ = ∅ ("Domination") ;(iii) A ∪ A = A = A ∩ A ("Idempotence") ;(iv) (A) = A ("Complémentarité") ;

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(suite)(v) A ∩ B = B ∩ A ; A ∪ B = B ∪ A ("Commutativité") ;(vi) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C("Associativité") ;(vii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ;A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ("Distributivité") ;(viii) (A ∩ B) = A ∪ B, (A ∪ B) = A ∩ B ("Lois de De Morgan").

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Preuve de :A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Preuve "logique" : Par le théorème sandwich il suffit de montrer ⊂et ⊃, ce que nous allons faire.

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Preuve de "⊂".Soit u ∈ A ∩ (B ∪ C).Alors u ∈ A et u ∈ (B ∪ C) (par définition de ∩).Alors u ∈ A et (u ∈ B ou u ∈ C) (par définition de ∪).Alors (u ∈ A et u ∈ B) ou (u ∈ A et u ∈ C).Alors u ∈ A ∩ B ou u ∈ A ∩ C (par définition de ∩).Alors u ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (par définition de ∪).

Donc chaque élément u de A ∩ (B ∪ C) est aussi un élément de(A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Donc par définition de ⊂ :

A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

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Preuve de "⊃".Soit u ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Alors u ∈ (A ∩ B) ou u ∈ (A ∩ C) (par définition de ∪).Alors (u ∈ A et u ∈ B) ou (u ∈ A et u ∈ C) (par définition de ∩).Il suit que certainement u ∈ A mais aussi que u ∈ B ou u ∈ C , i.e.,u ∈ B ∪ C . Donc u ∈ A ∩ (B ∪ C) (par les définitions de ∩ et ∪).

Nous avons montré que chaque élément de (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) estaussi un élément de A ∩ (B ∪ C).Donc par définition de ⊂ :

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C).

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Avec le théorème du sandwich, nous concluons que que

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A ∩ (B ∪ C).

Fin de la preuve

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Constructions avec les ensembles.

Les ensembles sont très flexibles. On peut construire des ensemblesà partir de quelques ensembles donnés. Comme N, l’ensemble desnombres naturels, ou un de ses sous-ensembles.

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Definition (Suites)Soit E un ensemble et n > 0 un entier. On définit En commel’ensemble des suites ordonnées (e1, e2, . . . , en) de longueur nd’éléments de E .Ici : l’ordre des coefficients importe, et les répétitions sontpermises !

Ex. (1, 2, 2) ∈ N3 et (1, 2, 2) 6= (2, 1, 2) 6= (1, 2) ;

mais {1, 2, 2} ⊂ N et {1, 2, 2} = {2, 1, 2} = {1, 2}.

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Exemples :{0, 1}3 ={(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

{a, b, c}2 ={(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}.

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Si E est un ensemble fini et n > 0 un entier. Alors

|En| = |E |n.

Vous voyez pourquoi ?

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Une variation.

DefinitionSoient A et B deux ensembles. On définit le produit cartésien

A× B

comme l’ensemble des suites ordonnées (a, b) de longueur 2, oùa ∈ A et b ∈ BAlors E 2 = E × E .

{a, b} × {1, 2, 3} = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

On peut répéter.

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Exemple. Nous pouvons modéliser le montre digital comme unproduit Cartésien répété.

Heures = {00, 01, 02, . . . , 23}

Minutes = {00, 01, 02, . . . , 59}

Secondes = {00, 01, 02, . . . , 59}

Montre = Heures×Minutes× Secondes.

(10h 35m 29s) ∈ Montre

Vous comprenez ?

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Valeurs = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, V , D, R, A}

(V= valet, D=dame, R=roy, A=as).

Enseignes = {♥,♣,♦,♠}

♥ = coeur (hearts), ♣ = trèfle (clubs), ♦ = carreau (diamonds),♠ = pique (spades).

Jeu de Cartes = Valeurs× Enseignes.

Exemple : (2,♥) = 2♥ et A♣ sont deux éléments de Jeu de Cartes.

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Si A et B sont des ensembles finis alors

|A× B| = |A| × |B|.

Vous voyez pourquoi ?

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Difficile à digérer, mais simple :

Definition (Ensemble des parties)Soit E un ensemble. On note

P(E )

l’ensemble des sous-ensembles de E . Donc un élément de P(E ) estpar définition un sous-ensemble de E .

Donc ∅ ∈ P(E ) car ∅ ⊂ E . Aussi E ∈ P(E ).

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Exemple :

P({1, 2, 3}) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

ex. {1, 2, 3} ∈ P({1, 2, 3}).

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Autre exemple :

∅ (avec 0 éléments).P(∅) = {∅} (avec UN élément).

P(P(∅)) = P({∅}) = {∅, {∅}} (avec deux éléments).

P(P(P(∅))) = P({∅, {∅}}) = {∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (avecquatre éléments).

Vous comprenez ?

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Mais la théorie d’ensembles devient seulement vraiment utile si onajoute les fonctions.

La théorie devient dynamique !

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Definition (Fonction)Soient A et B deux ensembles. Une fonction F de A dans B,notation

F : A→ B,

est l’affectation d’exactement un élément de B, noté

F (a) ∈ B,

attribué par F à a ∈ A, et ça pour chaque a ∈ A.

On dit aussi "application" à la place de "fonction".Donc à chaque a ∈ A une seule F (a) ∈ B est attachée.

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ExempleA := l’ensemble de tous les personnes ;P(A) := l’ensemble des ensembles de personnes.La fonction

Enfants : A→ P(A)

associe à chaque personne l’ensemble de ses enfants.Supposons Pierre X. à deux enfants, disons Chantal X. et ClaudeX. Supposons Chantal X. n’a pas d’enfant.

Enfants(Pierre X.) = {Chantal X.,Claude X.} ∈ P(Personnes)

Enfants(Chantal X.) = {} ∈ P(Personnes)

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Soit F : A→ B une fonction.Alors A est appelé le domaine de F , et B le codomaine.Si b = F (a) on dit :

I b est "l’image de a par F "I a est une pré-image de b.

Donc F est une règle que définit pour chaque a ∈ A une uniqueimage dans B.

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La collection de tous les images de F , l’image de F ou la portée deF , est noté ImF :

Im(F ) = {F (a)| a ∈ A} ⊂ B.

Il y a une différence entre "codomaine" et "portée" !

La portée est un sous-ensemble du codomaine, mais n’est pasnécessairement =.(On dit que la fonction est surjective si la portée est égale aucodomaine.)

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On peut définir une fonction F "élément par élément" :Par exemple,

F : Chiffres→ Alphabet,

est définie par F (0) = a, F (1) = b, F (2) = a, F (3) = z , F (4) =y , F (5) = c, F (6) = a, F (7) = x , F (8) = t, F (9) = o.

Notation plus claire et compacte :

F =(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a b a z y c a x t o

)La première ligne donne une liste des éléments du domaine de lafonction. (Nous allons supposer sans répétitions.)La deuxième ligne donne les images correspondantes.

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Remarquez deux choses :

F =(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a b a z y c a x t o

)

=(9 1 2 3 4 5 6 7 8 0o b a z y c a x t a

)La deuxième ligne donne la portée de F (avec répétitions)

Im(F ) = {a, b, a, z , y , c, a, x , t, o} = {a, b, z , y , c, x , t, o}

Par exemple q 6∈ ImF , car q n’a aucun préimage.

F −1(a) = {2, 6, 0}, F −1(q) = ∅.

Permissible pour une fonction ? Permis !

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Autres fonctions :

G =(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a x t z

)

H =(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a b a b a b a b a b

)(ou H(x) = a si le chiffre x est pair, et H(x) = b si x est impair)

K =(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a z z z z z z

)(ou K (x) = a si le chiffre x est ≤ 3, et K (x) = z si x est > 3.)....

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