Probabilites et Statistique pour SIC

Exercices

Exercice 1 Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on creer avec 66 caracteres ?

Exercice 2 Dans un pays, les voitures ont des plaques d’immatriculation composees de deux lettres (leuralphabet a 26 caracteres) suivies de trois chi↵res. Combien de plaques possibles y-a-t-il ?

Exercice 3 Un professeur dispose de 32 livres sur un rayon de sa bibliotheque. 23 d’entre eux sont deslivres de mathematiques et 9 de physique. Le professeur aimerait ranger ses livres de facon que tous leslivres traitant du meme sujet restent groupes. Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

Exercice 4 4 Americains, 3 Suisses et 5 Anglais doivent s’asseoir sur un meme banc. Les gens de memenationalite doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Exercice 5 On veut former un comite comprenant 4 des 23 personnes d’un groupe. Combien y a-t-il deces comites ?

Exercice 6 Combien de mains de poker existe-t-il ? Le jeu comprend 52 cartes, une main en contient 5.

Exercice 7 Dans un groupe de 10 femmes et 8 hommes, on doit former un comite de 3 hommes et 3femmes. Combien de comites di↵erents peut-on former si :

a) 2 des hommes refusent d’etre ensemble dans le comite ?b) 2 des femmes refusent d’etre ensemble dans le comite ?c) 1 homme et 1 femme refusent d’etre ensemble dans le comite ?

Exercice 8 Un laboratoire de recherche en psychologie du reve dispose de 4 chambres a deux lits. Troispaires de vrais jumeaux sont etudiees. On veut placer chaque paire dans une chambre et assigner a chacunun lit bien determine. De combien de manieres peut-on organiser l’experience ?

Exercice 9 Demontrer par le calcul que la construction du triangle de Pascal est correcte, c’est-a-direque

Ck

n

= Ck�1n�1 + Ck

n�1

Exercice 10 n personnes dont A et B se mettent au hasard dans une rangee. Combien des manieresy-a-t-il d’avoir k personnes entre A et B ?

Exercice 11 Un de est jete jusqu’a ce qu’un 6 sorte, ce qui marque la fin de l’experience.a) Quel est l’ensemble fondamental pour cette experience ?b) Notons par E

n

l’evenement “l’experience s’arrete au neme jet”. Quels points de l’ensemble fonda-mental sont contenus dans E

n

? Decrire ([11 E

n

)c.

Exercice 12 On jette deux des. On note par E l’evenement “la somme des des est impaire”, par Fl’evenement “au moins l’un des des montre 1”, et par G “la somme des des est 5”. Decrire

a) E \ F ,b) E [ F ,c) F \G,d) E \ F c,e) E \ F \G.

Exercice 13 Trois joueurs, A, B et C, jettent une piece a tour de role : A joue d’abord, puis B, puis C,puis A etc. Le premier qui obtient pile a gagne. L’ensemble fondamental ⌦ de cette experience peut etredecrit comme suit :

S =

⇢1, 01, 001, 0001, . . . ,0000 · · ·

1

a) Donner une interpretation des points de S.b) Decrire les evenements suivants en termes de ces points :

i) ”A gagne” ;ii) ”B gagne” ;iii) (A [B)c.

Exercice 14 n personnes, dont A et B, se mettent au hasard dans une rangee.a) Decrire l’ensemble fondamental associe a cette experience, et en donner le nombre d’elements.b) Quelle est la probabilite qu’il y ait k personnes entre A et B (0 k n� 2) ?c) Verifier votre resultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles.

Exercice 15 Quelle est la probabilite de tirer au moins un 6 lorsqu’on jette un de quatre fois ?

Exercice 16 On repete n fois le lancer de deux des. Calculer la probabilite que le six apparaisse aumoins une fois. Quelle valeur donner a n pour que cette probabilite atteigne 1/2 ?

Exercice 17 Combien de personnes faut-il pour que la probabilite qu’au moins deux d’entre elles aientleur anniversaire le meme mois soit au moins 1/2 ? Admettre que tous les mois sont equiprobables.

Exercice 18 Un recepteur se bloque si la duree entre les instants de reception de deux signaux estinferieure au temp mort ✓. On sait que les deux signaux atteignent le recepteur dans l’intervalle de temps(0, t), et arrivent independamment l’un de l’autre et au “hasard”.

a) Decrire l’ensemble fondamental ⌦ associe a cette experience stochastique.b) Quelle est la probabilite que le recepteur se bloque ?c) Simplifier votre resultat en admettant que ✓ ⌧ t.

Exercice 19 a) On jete une piece n fois, n � 2. On note Pn

la probabilite que des piles successifsn’apparaissent jamais lors des n jets. Montrer que

Pn

=1

2Pn�1 +

1

4Pn�2 n � 4.

b) Montrer que limn!1 P

n

= 0.c) Soit Q

n

la probabilite que la suite PFPPPFFP n’apparaisse jamais lors de n jets. Montrer quelim

n!1 Qn

= 0.Indication : La probabilite Q

n

que la suite PFPPPFFP n’apparaisse jamais lors de n jets est pluspetite que la probabilite R

n

que la meme suite n’apparaisse jamais entre le jet numero 8i et le jet numero8(i+ 1)� 1 ou i est un entier plus petit ou egal a n/8� 8.

Exercice 20 On jette un de trois fois.a) Decrire l’ensemble fondamental de cette experience.b) Quelle est la probabilite que la somme des des soit superieure ou egale a 15 ?

Exercice 21 On jette deux pieces equilibrees. Quelle est la probabilite que l’une des deux pieces tombesur pile ?

Exercice 22 En 1654 de Mere propose a Pascal le probleme suivant : Est-il plus probable d’obtenir aumoins un 6 avec 4 des que d’obtenir au moins un double 6 lors de 24 jets de deux des ?Donner la reponse a cette question.

Exercice 23 Soit S la somme des valeurs de trois des jetes simultanement. Il y a six configurationsdi↵erentes qui permettent d’obtenir 9 ou 10 :pour S = 9 : (6,2,1), (5,3,1), (5,2,2), (4,4,1), (4,3,2) et (3,3,3),pour S = 10 : (6,3,1), (6,2,2), (5,4,1), (5,3,2), (4,4,2) et (4,3,3).Peut-on en conclure que

P (S = 9) = P (S = 10)?

Exercice 24 D’une urne contenant 20 boules numerotees de 1 a 20, on tire sans remplacement 3 desboules. Quelqu’un parie qu’au moins une des boules tirees portera un numero egal ou superieur a 17.Quelle est la probabilite qu’il gagne ?

2

Exercice 25 Une urne contient 25 boules, 15 sont rouges et 10 sont vertes. Cinq boules sont tirees auhasard, sans remise.

a) Trouver la probabilite que la premiere, la troisieme et la cinquieme boule soient rouges et que ladeuxieme et la quatrieme soient vertes.

b) Trouver la probabilite que la premiere, la deuxieme et la troisieme boule soient rouges et que laquatrieme et la cinquieme soient vertes.

c) Trouver la probabilite que la la deuxieme et la troisieme boule soient rouges et que la premiere, laquatrieme et la cinquieme soient vertes.

Exercice 26 Meme exercice que le probleme 36 ! ! !

Exercice 27 On considere 3 cartes a jouer de meme forme. Cependant, les deux faces de la premierecarte ont ete colorees en noir, les deux faces de la deuxieme carte en rouge tandis que la troisieme porteune face noire et l’autre rouge. On melange les trois cartes au fond d’un chapeau, puis une carte tiree auhasard en est extraite et placee au sol. Si la face apparente est rouge, quelle est la probabilite que l’autresoit noire ?

Exercice 28 Pour depister une maladie, on applique un test. Si le patient est e↵ectivement atteint, letest donne un resultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le resultat du test soit positifalors que le consultant est en bonne sante, et ceci se produit dans 2% des cas. Sachant qu’en moyenneun consultant sur 1000 est atteint de la maladie a depister, calculer la probabilite pour qu’un client soitatteint sachant que son test a ete positif. Que penser de ce resultat ?

Exercice 29 Les jours peuvent etre ensoleilles ou nuageux. Le temps du lendemain est le meme quecelui d’aujourd’hui avec probabilite p, et di↵erent avec probabilite q, ou p + q = 1. S’il est ensoleilleaujourd’hui, montrez que la probabilite s

n

qu’il soit ensoleille le neme jour suivant satisfait

sn

= (p� q)sn�1 + q; n � 1

ou s0 = 1. En deduire que

sn

=1

2(1 + (p� q)n); n � 0.

Exercice 30 Une unite de production comprend deux machines automatiques fonctionnant independammentl’une de l’autre. Chaque machine a la fiabilite p au cours d’une journee, ce qui signifie que sa probabilitede tomber en panne pendant cette periode est egale a 1 � p. Dans ce cas, elle sera reparee pendant lanuit et se retrouvera en etat de marche le lendemain. Une seule machine peut etre reparee a la fois.On note X

n

= nombre de machines en panne au debut de la nieme journee, n = 1, 2, . . .. Calculer lesprobabilites conditionnelles P (X

n+1 = 0|Xn

= 0), P (Xn+1 = 1|X

n

= 0), P (Xn+1 = 0|X

n

= 1) etP (X

n+1 = 1|Xn

= 1).

Exercice 31 Les pieces fabriquees par une usine sont soumises a un controle, mais le mecanisme decontrole n’est pas entierement fiable. En e↵et, si une piece est bonne, elle est acceptee avec une probabilitede 0.9, par contre si elle est defectueuse, elle est refusee avec une probabilite de 0.8.

a) Si un lot comprend trois pieces bonnes et une piece defectueuse, quelle est la probabilite que cesquatre pieces soient acceptees lors du controle ?

b) Quelle est la probabilite qu’il y ait une erreur lors du controle d’une piece si l’on sait qu’il y a enmoyenne 20% de pieces defectueuses dans la production ?

c) Quelle est la probabilite qu’une piece acceptee par le controle soit defectueuse (si l’on admet denouveau qu’il y a en moyenne 20% de pieces defectueuses dans la production) ?

Exercice 32 Un couple a deux enfants. Quelle est la probabilite que les deux soient des filles sachantque l’aınee en est une ?

Exercice 33 On jette deux des equilibres. Quelle est la probabilite qu’au moins l’un d’entre eux montre6, sachant que les deux resultats sont di↵erents ?

Exercice 34 On choisit trois cartes au hasard et sans remise dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Calculerla probabilite que la premiere carte tiree soit un pique, sachant que les deux dernieres en sont.

Exercice 35 On admet que 5% des hommes et 0, 25% des femmes sont daltoniens. On selectionne unepersonne daltonienne au hasard. Quelle est la probabilite qu’il s’agisse d’un homme ? On admettra que leshommes sont aussi nombreux que les femmes. Si au contraire il y en avait deux fois plus que de femmes,que deviendrait le resultat ?

3

Exercice 36 La couleur des yeux d’une personne est determinee par une unique paire de genes. Si lesdeux sont des genes yeux bleus, la personne aura les yeux bleus ; si les deux sont des genes yeux marrons,la personne aura les yeux marrons ; si l’un est un gene oeil bleu et l’autre un gene oeil marron, la personneaura les yeux marrons (car le gene oeil marron est dominant par rapport au gene oeil bleu). Un nouveau-nerecoit independamment un gene oeil de chacun de ses parents et le gene qu’il recoit d’un de ses parents aautant de chances d’etre l’un des deux genes oeil de ce parent. Supposons que Xavier et ses deux parentsont les yeux marrons, mais que la soeur de Xavier a les yeux bleus.

a) Quelle est la probabilite que Xavier ait un gene oeil bleu ?b) Si la femme de Xavier a les yeux bleus, quelle est la probabilite que leur premier enfant ait les yeux

bleus ?

Exercice 37 a) On tire au hasard n boules sans remise d’une urne en contenant N de couleur blancheet M de couleur noire. Donner la fonction de masse de la variable aleatoire X qui compte le nombre deboules blanches tirees. Demontrer que l’esperance de X est Nn/(M +N).Indication : ecrire le nombre de boules blanches tirees comme la somme de X

i

, 1 i N , ou Xi

est egala 1 si la i-eme boule blanche a ete tiree parmi les n boules, et 0 sinon.

b) Une urne contient N boules blanches et M noires. On preleve des boules une a une jusqu’a ce quela premiere boule blanche apparaisse. Si on designe par X le nombre de boules alors prelevees, quelle estl’esperance de X ?

Exercice 38 On jette simultanement deux des a six faces jusqu’a l’obtention d’une somme de 5 ou de 7.a) Le jeu s’est arrete au jieme lancer. Quelle est la probabilite qu’on ait obtenu une somme de 5 au

jieme lancer ?b) Quelle est la probabilite de finir de jouer avec une somme de 5 ?c) Quel est le nombre moyens de jets jusqu’a l’arret du jeu ?

Exercice 39 On jette une piece n fois. Supposons que lors de chaque jet, la probabilite d’obtenir pileest p, ou p 2 [0, 1]. Les resultats sont supposes independants.

a) Donner la loi de probabilite de la variable X qui compte le nombre de piles obtenus.b) Donner l’esperance et la variance de X.

Exercice 40 a) Un parc contient L lions et T tigres. Un employe du parc est charge de silloner le parc.Chaque fois qu’il voit un lion ou un tigre, il note sur un calepin le type d’animal (lion ou tigre) qu’il a vu.Il s’arrete une fois qu’il a note n animaux pour faire un rapport a son chef. Quelle est la loi du nombrede lions notes dans le rapport ? Donner la probabilite que k lions aient ete notes.

b) Dans un parc concurrent, une autre stategie est adoptee : chaque fois que l’employe (courageux !)voit un lion ou un tigre, il le capture. Apres avoir capture n animaux, l’employe fait un rapport a sonchef. Quelle est la loi du nombre de lions notes dans le rapport ? Donner la probabilite que k lions aientete captures.

Exercice 41 42800 mariages ont ete celebres en Suisse en 2010. En expliquant vos hypotheses et endonnant les lois de probabilites correspondantes, calculer la probabilite que pour exactement 2 de cescouples :

a) les deux epoux soient nes un 1er janvier,b) les deux epoux aient le meme jour d’anniversaire.

Exercice 42 Un assistant de mathematiques essaie desesperement de passer son permis de conduire. Onsuppose qu’il a une probabilite p 2 (0, 1] de reussir son permis a chaque essai, et on note T le nombred’essais necessaires pour qu’il reussisse son permis. Donner la fonction de masse de T , sa moyenne et savariance.

Exercice 43 La fonction de masse d’une variable aleatoire X est donnee par

P (X = i) = c�i

i!, i = 0, 1, 2, . . . ,

ou � est un reel positif.a) Calculer c et reconnaıtre la loi de Xa) Calculer P (X = 0).b) Calculer P (X > 2).c) Donner l’esperance et la variance de X.

4

Exercice 44 Soient X et Z deux variables a valeurs entieres � 0. On suppose que :

a) Z est une variable de Poisson de parametre �.

b) X Z et :8n � 0 , 8k n , P{X = k|Z = n} = Ck

n

pk(1� p)(n�k)

(autrement dit : la loi conditionnelle de X sachant que Z = n est binomiale de parametres n et p,pour un 0 < p < 1 fixe).

Prouver que X et Y = Z �X sont deux variables de Poisson independantes, et donner leurs parametresrespectifs.

Exercice 45 Calculer les deux premiers moments d’une variable aleatoire X distribuee geometriquement(parametre p) en utilisant sa fonction generatrice des moments.

Exercice 46 On considere le jeu suivant, qui peut etre joue autant de fois que voulu. Chaque tour estindependant et a chaque fois, la probabilite de gagner est p. A chaque tour, le joueur parie une certainequantite x, quelconque. En cas de reussite, le joueur recupere le double de sa mise. En cas d’echec, lejoueur perd sa mise. Arnaud applique une strategie simple : il joue tant qu’il n’a pas gagne. Au premiertour, il parie 100CHF. A chaque tour perdu, il parie le double de sa mise au tour precedent. Des qu’il agagne une fois, il s’arrete.

a) Quelle est la quantite misee par Arnaud au tour n ?b) Quelle est la loi du nombre de tours joues par Arnaud jusqu’au premier succes ?c) Montrer que la valeur moyenne de la mise d’Arnaud au tour ou il s’arrete est

⇢ 100p2(1�p) si p > 1/2

1 si p 1/2

En donner une interpretation.

Exercice 47 Un livre de 350 pages contient 450 erreurs d’impression reparties au hasard. Calculer dedeux facons di↵erentes la probabilite pour qu’il y ait au moins trois erreurs dans une page determinee.

Exercice 48 Montrer que si X et Y sont deux variables independantes suivant les lois de Poisson deparametres respectifs �1 et �2 alors Z = X + Y suit la loi de Poisson de parametre �1 + �2 :

a) Par calcul direct de la fonction de masse.b) En utilisant la fonction generatrice des moments.

Exercice 49 On suppose que la taille, en centimetres, d’un homme age de 25 ans est une variablealeatoire normale de parametres m = 175 et �2 = 36. Quelle est la pourcentage d’hommes de 25 ansayant une taille superieure a 185 cm? Parmi les hommes mesurant plus de 180 cm, quel pourcentaged’entre eux depassent 192 cm?

Exercice 50 Le nombre de kilometres couverts par une batterie de voiture avant defaillance est distribueexponentiellement et sa valeur moyenne est de 10000 kilometres. Une personne souhaite se lancer dans unvoyage de 5000 kilometres. Avec quelle probabilite terminera-t-elle son voyage sans avarie de batterie ?

Exercice 51 Pour fonctionner, un systeme utilise une cellule interchangeable. On dispose de la pieceoriginale et d’une cellule de rechange. Si le systeme a une duree de vie aleatoire X et si sa densite estdonnee (en mois) par :

f(x) =

⇢cxe�x/2 x > 00 x 0

quelle est la probabilite que le systeme fonctionne pendant au moins 5 mois ?

Exercice 52 La vitesse d’une molecule au sein d’un gaz homogene en etat d’equilibre est une variablealeatoire, dont la fonction de densite est donnee par

f(x) =

⇢ax2e�bx

2x � 0

0 x < 0

ou b = m/2kT et k, T,m sont respectivement la constante de Boltzmann, la temperature absolue et lamasse de la molecule. Evaluer a en fonction de b.

5

Exercice 53 SiX admet la densite de probabilite fX

(x) = 1⇡

11+x

2 , on dit queX est une variable aleatoirede Cauchy. Montrer que X n’admet pas d’esperance mathematique.

Exercice 54 Soit X une variable aleatoire de loi gamma, de densite

f(x) =

⇢�

↵

�(↵)e��xx↵�1 si x � 0

0 si x < 0,

pour ↵ > 0, � > 0 et ou�( ↵) =R10 e�yy↵�1dy est la fonction gamma.

a) En employant une integration par parties, montrer que�( ↵) = (↵�1)�(↵�1). Pouvez-vous trouverune expression pour�( n) quand n est un nombre entier ?

b) Montrer que l’esperance de X est ↵/�.

Exercice 55 Les pieces d’une voiture sont souvent copiees, et vendues comme des pieces originales. Onveut remplacer certaines pieces d’une voiture. Avec probabilite 1/4 on achete une piece pirate, et avecprobabilite 3/4 on achete une piece originale. La duree de vie est une variable aleatoire exponentielle deparametre 5 pour une piece pirate, et de parametre 2 pour une piece originale. Appelons T la duree devie de la piece que l’on achete. Supposons que la piece ait survecu jusqu’au temps t apres son installation.Quelle est la probabilite ⇡(t) que cette piece soit pirate ? Trouver la limite de ⇡(t) lorsque t ! 1.

Exercice 56 Soit X une variable normale centree reduite et Y = eX (on dit que Y est une variablelognormale). Calculer la moyenne et la variance de Y .Indication : on donne la fonction generatrice des moments de X : M

X

(t) = exp(t2/2), t 2 R.

Exercice 57 On dispose de deux composants electroniques dont les durees de vie (temps avant la panne),exprimees en annees, sont modelisees par des variables aleatoires X et Y independantes. On suppose quela duree de vie moyenne du premier composant est un an, alors que le deuxieme composant a une dureede vie moyenne de 6 mois.

a) Donner les lois de X et Y .b) Calculer leurs fonctions de repartition F

X

et FY

.On considere deux montages possibles pour ces composants : en serie ou en parallele. Le systeme

monte en serie tombe en panne des que l’un des composants tombe en panne. Le systeme monte enparallele tombe en panne lorsque les deux composants sont tombes en panne. On note S la duree de viedu systeme en serie et T celle du systeme en parallele.

c) Calculer la fonction de repartition FT

de T .d) Calculer la fonction de repartition F

S

de S.e) Calculer la probabilite que le composant de duree de vie X fonctionne toujours a l’instant x (x > 0)

sachant que le systeme en serie est tombe en panne avant cet instant.f) Sachant que le composant de duree de vie X est tombe en panne avant l’instant x, quelle est la

probabilite que le systeme en parallele fonctionne toujours a un instant t (avec t > x) ?

Exercice 58 Soient X1, . . . , Xn

des variables aleatoires exponentielles independantes de parametre com-mun �. Calculer la fonction de repartition de min(X1, . . . , Xn

) et reconnaıtre cette distribution.

Exercice 59 Si X est une variable aleatoire exponentielle de parametre � = 1, calculer la densite de lavariable aleatoire Y definie par Y = lnX.

Exercice 60 Soit X une variable aleatoire normale d’esperance nulle et de variance 1. Calculer la densitede la loi de Y = eX (on dit que Y est une variable lognormale).

Exercice 61 Soient X et Y deux variables aleatoires avec une densite conjointe f(x, y). Calculer la loide X et de Y dans les cas suivants et determiner dans chaque cas si X et Y sont idependantes :

a) f(x, y) = xe�x(1+y) pour x, y � 0, et f(x, y) = 0 sinon.b) f(x, y) = 60xy2 pour x, y � 0 et x+ y 1, et f(x, y) = 0 sinon.

Exercice 62 Donner une expression pour la fonction de repartition et pour la densite du maximum Zpuis du minimum Z de deux variables aleatoires continues independantes X et Y .

Exercice 63 Soit Z = X + Y ou X et Y sont des variables exponentielles independantes de parametres�1 et �2.

a) Donner la fonction de repartition de Z.b) Calculer sa fonction generatrice des moments.

6

c) La fonction generatrice des moments d’une variable aleatoire G de loi gamma de parametres ↵, �est donnee par :

MG

(t) = (�

�� t)↵, t < � .

Deduire du b) sous quelle condition sur �1 et �2, la variable Z est-elle de loi Gamma et quels en sontalors les parametres ?

Exercice 64 Soit (X, Y ) un vecteur aleatoire de densite de probabilite jointe :

h(x, y) =

⇢1/⇡ si x2 + y2 10 sinon .

a) Calculer les densites marginales f et g de X et de Y . X et Y sont-elles independantes ?b) Trouver Cov(X,Y ) sans calcul.

Exercice 65 On lance deux des equilibres. On note X1 (resp. X2) le plus grand (resp. le plus petit) desdeux resultats. Donner les fonction de masse de X1 et de X2 et les tracer.

Exercice 66 Un programme consiste en deux modules independants. Le nombre d’erreurs X1 dans lepremier module a la fonction de masse P1 et le nombre d’erreurs X2 dans le deuxieme module a la fonctionde masse P2 ou

x 0 1 2 3P1(x) 0.5 0.2 0.2 0.1P2(x) 0.7 0.2 0.1 0

a) Verifier que P1 et P2 sont bien des fonctions de masse.b) Tracer les fonctions de repartition de X1 et X2.c) Calculer la fonction de masse de Y = X1 +X2, le nombre total d’erreurs dans le programme.d) Tracer sa fonction de repartition.

Exercice 67 Les variables aleatoires X et Y sont telles que X est de moyenne 1 et de variance 4, Y estde moyenne 2 et de variance 9, et corr(X,Y ) = 1/3. Quelle est la variance de 3X � 2Y +1 ? Quelle est lacovariance de X + 2Y avec X � Y ? Si Z est une autre variable aleatoire verifiant E(3X � 2Y + Z) = 0,quelle est la moyenne de Z ?

Exercice 68 Soient X1 et X2 deux variables aleatoires independantes avec distribution binomiale deparametres n et ⇡. Quelle est la variance de X1 �X2 ? Si X1, . . . , Xn

sont des observations issues d’uneloi binomiale (n,⇡ ), quelle est la varaince de leur somme S = X1 + · · ·+X

n

?

Exercice 69 SoitX et Y deux variables aleatoires independantes, la premiere avec moyenne 2 et variance3, la seconde avec moyenne 4 et variance 5.

a) Quelle est la moyenne de 5X � 3Y + 9 ? Quelle est la variance de 3Y � 2X ?

b) Supposant que X et Y sont de meme variance �2, si X + Y est de variance 96 et X � Y de variance64, que vaut la correlation corr(X,Y ) ?

Exercice 70 On lance un de equilibre n fois. Soit X1 le nombre total de 1 obtenus pendant les n lances,et X2 le nombre total de 2.

a) Quelles sont les distributions de X1 et X2 ? Pourquoi ?

b) Quelles sont les variances de X1 et X2 ?

c) On pose la variable aleatoire U = X1 +X2. Que represente-t-elle ? En considerant la distribution dela variable aleatoire U et de la obtenant sa variance, deduire que le coe�cient de correlation de X1

avec X2 est ⇢ = �1/5.

d) Quelle est la variance de V = X1 �X2, et quelle est sa correlation avec U ?

Exercice 71 On suppose que X et Y sont des variables aleatoires independantes suivant chacune la loiuniforme sur [0, 1]. Montrer que Z = X + Y admet pour densite

fZ

(z) =

8<

:

z si 0 z 12� z si 1 z 20 sinon

.

7

Exercice 72 Soit Z le total des points obtenus a pile ou face, avec 0 le gain pour pile et 1 pour face, eten lancant independamment un de equilibre, dont la face indique le nombre de points obtenus. Donnerla fonction de densite de Z et l’esperance conditionnelle E(Z | X = x), ou X represente le resultat depile ou face. Calculer egalement la variance conditionnelle var(Z | X = x) et verifier que les resultatsconcordent avec le theoreme 167.

Exercice 73 Soit X et Y des variables aleatoires Bernoulli et geometrique independantes. Trouver lafonction de densite de Z = X + Y et calculer les esperances conditionnelles de Z sachant X = x et de Zsachant Y = y.

Exercice 74 Un programme informatique est compose de trois sections : une section d’initialisation A,une section de calcul B composee de 100 cycles de calcul identiques et independants, et une section finaleC. On a enregistre les temps de calcul du programme pour chacune des trois sections. Le tableau suivantresume les temps de calcul obtenus.

Section Temps moyen (ms) Deviation standard (ms)Initialisation A 5.5 2.5Calcul B (compose de 100 cycles) 3.4 2.6Finalisation C 4.5 1.3

Tous les temps sont independants exceptes ceux des sections A et C dont la correlation vaut 0.2.

a) Calculer cov(A,C).

b) Calculer la moyenne et la variance du temps d’execution total T du programme.

c) Les temps des sections A et C sont normalement distribues. Bien que le temps de calcul d’un cyclede la section B ne soit pas normalement distribue, expliquer pourquoi la distribution du temps totalde la section B (qui comporte 100 cycles) peut etre approximee par une loi normale et preciser lesparametres de cette distribution.

d) Calculer la proportion des cas pour lesquels le programme prend

i) moins de 10 ms,

ii) plus de 20 ms.

Exercice 75 Un professeur sait par experience que la note de test d’un etudiant se presentant a unexamen final est une variable aleatoire d’esperance 75.

a) Donner une borne superieure a la probabilite que la note de test d’un etudiant depasse 85.Supposons maintenant que le professeur sache en plus que la variance de la note de test d’un etudiant

est 25.b) Que peut-on dire de la probabilite qu’un etudiant obtienne une note comprise entre 65 et 85 ?c) Combien faudrait-il qu’il se presente d’etudiants a cet examen pour assurer, avec une probabilite

d’au moins 0,9, que la moyenne de la classe soit de 75 plus ou moins 5 ? Ne pas utiliser le theoreme centrallimite.

d) Utiliser le theoreme central limite pour resoudre la partie c).

Exercice 76 On considere n variables aleatoires reelles X1, X2, . . . , Xn

, independantes et identiquementdistribuees, ayant pour fonction de densite :

f(x) =

8<

:

0 si x < 0↵x si 0 x ✓0 si x > ✓

(✓ est un parametre reel > 0 ).a) Determiner la valeur de ↵ pour laquelle f

✓

est bien une fonction de densite.b) Donner la fonction de repartition F

Mn du maximum Mn

des variables X1, X2, . . . , Xn

et calculerses deux premiers moments.

c) Montrer que Mn

converge en probabilite vers ✓.

Exercice 77 On arrondit 50 nombres a l’entier le plus proche et on e↵ectue la somme. Si les erreursd’arrondi individuelles sont distribuees uniformement sur (�0, 5, 0, 5), quelle est la probabilite que lasomme obtenue ait un ecart de plus de 3 par rapport a la somme exacte ?

8

Exercice 78 On a 100 ampoules dont les durees de vie sont des variables aleatoires independantesexponentielles de moyenne 5 heures. Si l’on allume une ampoule a la fois et que chaque ampoule grilleeest instantanement remplacee par une neuve, qu’elle est la probabilite qu’il reste encore au moins uneampoule intacte apres 525 heures ?

Exercice 79 Un local doit etre eclaire en permanence ; lorsque l’ampoule tombe en panne, elle estimmediatement remplacee par une nouvelle ampoule. Il en existe de deux qualites : une qualite A deduree de vie (en heure) exponentielle de parametre �

A

= 0.01 et une qualite B de duree de vie (enheures) exponentielle de parametre �

B

= 0.02. On a stocke 40 ampoules de qualites A et 60 de qualite B.Quelle est la probabilite que cette reserve soit su�sante pour une illumination de 6500 heures du local ?

Exercice 80 Quelle est la probabilite qu’un de equilibre jete 120 fois produise moins de 16 fois le nombresix ?

Exercice 81 Une piece est lancee 500 fois. Quelle est la probabilite pour que le nombre de faces di↵erede 250 d’au plus 10 ?

Exercice 82 Soit X une variable aleatoire distribuee uniformement dans l’intervalle (0, 1), i.e. : X prendses valeurs dans (0, 1) et P{↵ < X < �} = � � ↵, si 0 ↵ < � 1.

a) On pose Y = lnX. Calculer l’esperance de Y et la variance de Y .b) Si X1, . . . , X100 sont 100 variables independantes de meme loi que X et si Z = X1X2 . . . X100,

donner une approximation de P{Z < 10�40}. Indication : passer au logarithme et utiliser a).

Exercice 83 Expliquer brievement les termes ⌧ robuste � et ⌧ mesure de localisation � dans l’enonce⌧ la mediane est une mesure de localisation robuste �.

Exercice 84 Definir la correlation empirique pour un echantillon de n paires d’observations (xi

, yi

),i = 1, . . . , n. Esquisser les types de nuages de points de x et y auxquels on s’attend lorsque la correlationempirique vaut �1, 0 et 1.

Exercice 85 Soient X1, . . . , Xn

des observations avec moyenne empirique X et variance empirique s2 =0. Laquelle (lesquelles ?) des a�rmations suivantes est-elle correcte ? Justifier.

a) La taille de l’echantillon est trop petite.

b) Toutes les observations sont egales.

c) X = 0.

d) Les observations sont normalement distribuees.

Exercice 86 Quelles a�rmations ci-apres s’appliquent a la correlation empirique rXY

? Justifier.

a) Depend des unites dans lesquelles sont exprimees X et Y .

b) Mesure l’association des variables X et Y .

c) Est comprise entre �1 et 1.

d) Ne peut jamais etre exactement zero.

Exercice 87 Lesquelles des a�rmations suivantes s’appliquent a la covariance empirique sXY

? Justifier.

a) Mesure l’association des variables X et Y

b) Est comprise entre �1 et 1.

c) Ne peut jamais etre exactement zero.

d) Depend des unites dans lesquelles sont exprimees X et Y .

Exercice 88 On a pese dix pommes cueillies aleatoirement sur un arbre, et on donne leur poids engrammes ci-dessous.

121.9 164.4 167.3 170.1 178.6 99.2 96.4 187.1 144.6 172.9

a) Obtenir un intervalle de confiance a 90% pour le poids moyen µ d’une pomme.

b) Expliquer ce qu’on entend par ⌧ intervalle de confiance a 90%� dans le point precedent.

9

Exercice 89 Lors d’un test, on a demande a 120 personnes qui etait Jean-Jacques Rousseau, et 12d’entre elles ont repondu qu’il etait plongeur. Estimer la proportion de la population qui a donne unemauvaise reponse. Obtenir un intervalle de confiance a 95% pour cette proportion. (Question subsidiaire :qui etait vraiment Jean-Jacques Rousseau ?)

Exercice 90 Une entreprise analyse la duree des conversations telephoniques de ses employes de bureau.Neuf conversations consecutives avaient pour duree, en minutes :

10.3, 9.4, 9.9, 7.5, 11.7, 3.4, 7.8, 11.0, 10.0.

a) Calculer la moyenne empirique x et la variance empirique s2 de ces observations. Quelles sont lesunites de x et de s2 ?

b) Si on ajuste une distribution normale a ces observations, quelle est la probabilite que qu’une conver-sation telephonique dure plus de 10 minutes ?

c) Tester au niveau 5% si la duree moyenne des conversations telephoniques egale huit minutes contreson alternative qu’elle ne dure pas huit minutes.

Exercice 91 On e↵ectue 25 mesures d’une constante physique m dans un laboratoire, en supposantque ces mesures suivent une loi normale N (m;�2) de variance �2 connue. A l’issue de ces 25 mesures,l’intervalle de confiance a 90% obtenu pour m est : [6, 04; 6, 18]. Combien de mesures supplementairesdoit-on e↵ectuer si l’on veut :

a) diminuer de moitie la longueur de l’intervalle de confiance a 90% pour m ?b) obtenir un intervalle de confiance a 95% pour m ayant la meme longueur ?

Exercice 92 On observe les donnees x1, . . . , x6, distribuees selon la loi N (m1;�21), et y1, . . . , y12 dis-

tribuees selon la loiN (m2;�22) (m1,m2, �2

1 et �22 sont inconnus, et les variables sont supposees independantes

dans leur ensemble). Pour le premier echantillon, les moyenne et variance empirique sont de : mx

=16

P6k=1 xk

= 49, 2 et �2x

= 15

P6k=1(xk

�mx

)2 = 2, 8, tandis que pour le deuxieme echantillon on obtient :m

y

= 48, 4 et �2y

= 3, 04.a) Construire des intervalles de confiance a 95% pour m1 et pour m2.b) On dispose a present de plus d’information qu’au point a) : les variances �2

1 et �22 sont maintenant

supposees connues, de valeurs respectives 2, 5 et 3. Donner de nouveaux intervalles de confiance a 95%pour m1 et m2.

c) En supposant toujours que �21 = 2, 5 et �2

2 = 3, donner la distribution de la di↵erence (mX

� mY

)des moyennes empiriques de chaque echantillon, puis construire un intervalle de confiance a 90% pour(m1 �m2).

Exercice 93 Les poids en grammes de 1000 pots de confiture sortis successivement d’une machine aconditionner ont ete les suivants (les resultats sont donnes par classes de longueur 2, l’origine de la 1ereclasse etant 2000 et l’extremite de la derniere 2024) :

classe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12nombre de pots 9 21 58 131 204 213 185 110 50 16 3 0

On admet que les poids X des pots sont independants de loi N (m;�2).a) Donner une estimation de m et �2.b) Donner des intervalles de confiance de niveau 95% et 99% pour m.

Exercice 94 Une etude e↵ectuee sur 300 employes d’une entreprise a revele que le nombre moyen, X,de cafes bus annuellement a la cafeteria de l’entreprise par un employe suit une loi normale de moyenne500 et d’ecart-type 100. Donner un intervalle de confiance a 95% de la moyenne et de la variance de X.

Exercice 95 Une entreprise souhaite recruter un ingenieur informaticien mais n’a pas encore decidequel salaire annuel proposer pour l’embauche. Ne voulant pas proposer un salaire trop eloigne des salairesmoyens proposes dans les autres entreprises, le recruteur decide d’interroger 1000 ingenieurs sur leurssalaires annuels. Il ressort de l’enquete que le salaire moyen des 1000 ingenieurs est de 48000 CHF avecun ecart-type de 12000 CHF.

a) Donner l’intervalle de confiance au seuil 90% du salaire moyen.b) Est-il raisonnable de dire que grosso-modo le salaire moyen d’un ingenieur est de 50000 CHF?

10

Exercice 96 On observe un echantillon y1, . . . , yn d’une distribution Gamma(3, ✓) de densite

f(y) =1

2✓e�✓y(✓y)2 y > 0.

Determiner les estimateurs du maximum de vraisemblance de ✓.

Exercice 97 Donner l’estimateur de vraisemblance d’une distribution de Poisson (2✓) a partir d’unechantillon z1, . . . , zm.

Exercice 98 Dans la population des menages d’un pays lointain on considere le montant des economiesmensuelles X (exprimees en milliers de maravedis) qui possede la distribution de densite

f(x) := k2xe�kx

1[0,+1](x) x 2 R,

ou le parametre k est inconnu. On preleve un echantillon de 400 menages et on a calcule la moyennex = 2.

a) Estimer k en utilisant la methode de maximum de vraisemblance.b) En donner un intervalle de confiance au seuil 95%.c) Quel est le pourcentage des familles qui economisent moins de 1000 maravedis par mois (on oublie

l’erreur d’estimation de k) ?

Exercice 99 Considerons un disque D de centre O connu et de rayon R inconnu.a) On choisit un point x uniformement dans D. Ceci signifie que si A est un sous-ensemble de D de

surface s(A), alors : P{x 2 A} = s(A)/(⇡R2). Soit ⇢ la distance de x a O. Pour r � 0, que vaut laprobabilite P{⇢ r} ? En deduire la densite de la variable aleatoire ⇢.

b) On choisit maintenant n points independamment et uniformement dans D, en notant ⇢1, ⇢2, . . . , ⇢nleurs distances au centre O. Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance de R comme fonction de⇢1, ⇢2, . . . , ⇢n. Calculer le biais de cet estimateur et donner ensuite un estimateur sans biais de R.

Exercice 100 Soit X1, . . . , Xn

un echantillon aleatoire issu de la loi uniforme U(0, b). Trouver l’estima-teur de maximum de vraisemblance de b.

Exercice 101 On considere un n�echantillon X1, . . . , Xn

de loi pU [0, a]+ (1�p)U [0, b], i.e. que Xi

suitla loi uniforme sur [0, a] avec la probabilite p et la loi uniforme sur [0, b] avec la probabilite 1 � p. Onsuppose a < b avec a et b fixes et connus.

a) Determiner la fonction de repartition et la densite de X1.b) Considerons N

a

la variable aleatoire egale au nombre d’individus Xi

compris entre 0 et a. Quelleest la loi de N

a

? En deduire son esperance et sa variance.c) Determiner l’estimateur de maximum de vraisemblance de p.

Exercice 102 On observe (X1, . . . , Xn

), n-echantillon de la loi uniforme sur [a, b], de moyenne theoriquea+b

2 . Quelle est l’erreur quadratique E{(X � a+b

2 )2} de la moyenne empirique ?

Exercice 103 On observe le temps d’attente de n personnes a un feu rouge, temps notes t1, . . . , tn. Onfait l’hypothese que les temps d’attente sont independants et de meme loi uniforme U [0, ✓]. La dureed’attente maximale a ce feu rouge est donc ✓, parametre inconnu et strictement positif.

a) Monter que ✓1 = 2T ou T = 1n

PN

i=1 Ti

est un estimateur sans biais de ✓ et que sa variance convergevers 0 quand n ! 1.

b) Calculer la fonction de repartition et la densite de la variable aleatoire Mn

= maxni=1 Ti

. Calculerson esperance et sa variance.

c) En deduire un deuxieme estimateur sans biais ✓2 de ✓. Montrer que sa variance converge egalementvers 0 quand n ! 1.

d) Lequel des deux estimateurs ✓1 et ✓2 choisiriez-vous pour estimer ✓ ?e) Montrer que M

n

et ✓2 convergent en probabilite vers ✓.

Exercice 104 La duree T separant deux arrivees successives de requetes a un serveur suit une loi expo-nentielle de parametre ✓ et de densite :

f(t|✓) = ✓e�✓t pour t > 0.

On suppose que le parametre ✓ est stochastique et suit une loi exponentielle de parametre � connu, dedensite

g(✓) = �e��✓

11

La densite g(✓) represente donc la densite a priori sur le parametre ✓.a) Montrer que la densite a posteriori de ✓ est proportionnelle a ✓e�✓(t+�).b) On observe un echantillon de n durees t1, . . . , tn. Determiner a partir des observations t

i

les esti-mateurs du maximum a posteriori de ✓.

Exercice 105 Une entreprise produit des composants electroniques. Le responsable de la chaıne deproduction a�rme que seul 5% des composants produits sont defectueux. Un inspecteur de qualite af-firme quant a lui que la proportion de composants defectueux est plus elevee et l’estime a 10%. Afinde determiner lequel des deux est le plus pres de la realite, un echantillon de 20 composants est prelevealeatoirement et teste. Le test revele 3 composants defectueux.On se place dans un cadre bayesien. On note p la variable aleatoire egale a la probabilite qu’un compo-sant soit defectueux et X la variable aleatoire egale au nombre de composants defectueux parmi les 20composants. En l’absence d’information supplementaires, on suppose a priori que les taux de defaillancede 5% et 10% sont equiprobables.

a) Traduire l’enonce en termes probabilistes sur p et X.b) Calculer la probabilite marginale que X = 3.c) Calculer la fonction de masse a posteriori de p et interpreter le resultat.d) Calculer la moyenne a posteriori de p et sa variance a posteriori.e) Conclure.

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Probabilites et Statistique pour SIC

Problemes

Probleme 1 Un mot de passe est consitue de six lettres, sans tenir compte de leur casse. Combien demots de passe existe-il ? Combien de mots de passe ne contiennent que des lettres distinctes ?

Probleme 2 Pour constituer une equipe de football (11 joueurs), on a le choix entre 20 postulants. Ensupposant que chaque joueur est polyvalent (il peut jouer a tous les postes), combien peut-on constituerd’equipes di!erentes ? Si parmi les 20 postulants, 17 sont joueurs de champ et 3 sont gardiens, combiend’equipes distinctes peut-on alors constituer ?

Probleme 3 Combien de nombres de 3 chi!res distincts peut-on former a l’aide des six chi!res 2, 3, 5,6, 7, 9 ? Combien de ces nombres sont :

a) inferieurs a 500 ?b) impairs ?c) pairs ?d) multiples de 5 ?

Probleme 4 Six serveurs sont connectes par une ligne de communication. A chaque instant, un serveurdonne est soit pret a transmettre, soit deja occupe.

a) Combien d’etats du systeme forme des six serveurs y a-t-il ?b) Combien y a-t-il de possibilites que 3 serveurs exactement soient prets a transmettre a un instant

donne ?

Probleme 5 Combien de facons y-a-t-il de mettre 4 tours sur un echiquier de sorte qu’aucune tour n’enmenace une autre ?

Probleme 6 On souhaite souder 8 composants electroniques sur un circuit imprime, 4 composants dutype A et 4 composants du type B. Le circuit imprime ne dispose que de 8 places libres alignees. Combieny-a-t-il de facons de proceder si :

a) Il n’y a pas d’autres restrictions.b) Les composants A doivent rester ensemble et les composants B egalement.c) Seuls les composants A doivent rester ensemble.d) Les composants A et B doivent etre alternes.

Probleme 7 Raymond a oublie son mot de passe pour acceder a sa messagerie electronique. Il se souvientneanmoins que son mot de passe contient r occurrences de la lettre “c”, dont en derniere position. Lesautres symboles ne peuvent etre que “a” ou “b“. Combien de mots de passe de longueur n pourraientetre celui de Raymond ?

Probleme 8 Afin de pouvoir mieux organiser les nombreux fichiers associes a un logiciel (fichiers dedonnees, de code, ...), on impose un nouveau systeme pour nommer ceux-ci. Dans un tel systeme, unnom de fichier se compose d’un identificateur et d’une extension relies par un point. Un identificateur defichier comporte de 1 a 5 caracteres dont le premier est une lettre, les caracteres suivants sont soit unelettre soit un chi!re. Une extension comporte de 1 a 3 caracteres, le premier est une lettre, les suivantsune lettre ou un chi!re. De facon a ne pas avoir des noms trop imprononcables, on n’utilise que 20 lettresde A a T, toutes en minuscule.

a) Combien d’identificateurs de fichiers peut-on avoir ?b) Combien de noms de fichier existe-t-il ?c) Les fichiers dont l’extension commencent par la lettre “d” sont des fichiers de donnees. Combien

de possibilites y a-t-il pour nommer les fichiers de donnees ?

Probleme 9 Calculer le nombre de diagonales d’un polygone a n ! 3 cotes. Existe-t-il un polygone oule nombre de cotes soit egal au nombre de diagonales ?

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Probleme 10 4 composants electroniques de type A, 3 composants de type B et 5 composants de typeC doivent etre montes en serie. La seule contrainte au fonctionnement du systeme est que les composantsde meme type doivent rester groupes. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Probleme 11 Il faut repartir 14 ordinateurs dans deux bureaux de 7 personnes chacun. Combien y a-t-ilde repartitions possibles entre les deux bureaux

a) en supposant que la repartition au sein des bureaux a de l’importance ?b) en supposant que la repartition au sein des bureaux est sans importance ?

Probleme 12 Quatre bits sont transmis a travers un canal. On regarde a la reception l’etat de cesquatre bits, dans l’ordre de reception. Chaque bit est soit correctement recu, soit recu avec erreur detransmission. On note d un bit recu sans erreur et e un bit recu avec erreur.

a) Quel est l’ensemble fondamental " pour cette experience aleatoire ?b) Lister les evenements tels que au plus un bit soit recu avec erreur.c) Denombrer les evenements tels que plus de la moitie des bits soient transmis avec erreur.

Probleme 13 Un controle de qualite est e!ectue chaque heure sur des cartes a puce. A chaque test,la carte a puce testee est classee selon son bon ou mauvais fonctionnement. Le controle s’arrete lorsquedeux cartes a puce consecutives sont defectueuses, ou lorsque quatre cartes a puces ont ete testees. Quelest l’ensemble fondamental " de cette experience ?

Probleme 14 Dans une fabrique de processeurs, on preleve toutes les heures les trois derniers processeursproduits et on note dans l’ordre de prelevement l’etat de ces trois processeurs. Chacun est classe dansune des deux categories : en etat de marche, code 1, et defectueux, code 0.

a) Decrivez l’espace fondamental associe a cette experience aleatoire.

b) Decrivez (en termes ensemblistes) les evenements suivants :

i) le premier processeur est defectueux,

ii) le dernier processeur est en etat de marche,

iii) deux processeurs sont defectueux,

iv) au moins deux processeurs sont en etat de marche.

Probleme 15 Un disque dur a 1% de chance de tomber en panne. Par consequent, il est muni de deuxbackups, chacun ayant 2% de chance de tomber en panne. L’information est perdue uniquement lorsqueles trois composants sont en panne. En supposant que les trois composants fonctionnent independammentles uns des autres, quelle est la probabilite que l’information soit sauvee ?

Probleme 16 Trois terminaux sont relies a un ordinateur via 2 lignes de communication. Le terminal1 a sa propre ligne alors que les terminaux 2 et 3 partagent une ligne de telle sorte qu’a chaque instantun seul de ces deux terminaux peut etre utilise. Durant une journee de travail, le terminal 1 est utilise30 minutes chaque heure, le terminal 2 est utilise 10 minutes chaque heure et terminal 3 est utilise 5minutes chaque heure. En supposant que les lignes de communication operent de maniere independantes,quelle est la probabilite qu’au moins un terminal soit operatif a un moment quelconque de la journee detravail ?

Probleme 17 Quelle est la probabilite pour que l’ecriture decimale d’un nombre entier tire au hasardentre 0 et 9999 comporte au moins une fois le chi!re 1 ?Indication : utiliser la formule d’inclusion-exclusion.

Probleme 18 Au jeu de loto, sous controle d’un huissier, 6 numeros parmi 49 numeros de 1 a 49 sonttires au hasard. Un joueur de loto doit jouer 6 numeros distincts (on ignore ici la notion de “numerocomplementaire”). On dit qu’on a gagne la cagnotte si les 6 numeros joues correspondent aux 6 numerostires.

a) Quel est l’espace fondamental associe aux tirages ?b) Quelle est la probabilite de gagner la cagnotte ?c) La societe organisatrice du loto envisage de passer de 49 numeros a 60 numeros avec un tirage de

8 numeros plutot que 6. Aura-t-on plus de chances de gagner la cagnotte ?

Probleme 19 Sophie veut parier a une course de chevaux mais n’a aucune idee des performances desjockeys et chevaux. Elle decide donc de parier au hasard.

a) Sophie a-t-elle plus de chance de trouver les 3 chevaux de tete dans l’ordre lors d’une course de 17chevaux, ou les 4 premiers chevaux dans l’ordre lors d’une course de 18 chevaux ?

b) Meme question que precedemment mais dans le desordre.

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Probleme 20 Des bits sont envoyes a la suite sur un canal. Un bit donne prend la valeur 1 avec laprobabilite p. Les bits envoyes sont independants.

a) On enregistre deux bits a la suite b0 et b1.i) Quelle est la probabilite que les deux bits aient des valeurs di!erentes ?ii) Quelle est la probabilite que le second bit soit egal a 1 si le premier est egal a 0 ?

b) On note maintenant la valeur de quatre bits envoyes a la suite.i) Trouver la probabilite d’avoir au moins deux bits egaux a 1 parmi les quatre.ii) Trouver la probabilite d’avoir au moins deux bits egaux a 1 et le quatrieme bit a 0.

Probleme 21 Un logiciel libre programme par un etudiant de l’EPFL contient 5 bugs, repartis uni-formement dans le code. Le code comporte 10 000 lignes dont 3000 de commentaire. Une certaine executiondu logiciel passe par 1/3 des lignes executables. Quelle est la probabilite que le programme s’execute cor-rectement ?

Probleme 22 n resistances sont installees en serie, dont les resistances A et B.a) Decrire l’ensemble fondamental associe a cette experience, et en donner le nombre d’elements.b) Quelle est la probabilite qu’il y ait k resistances placees entre A et B (0 " k " n# 2) ?c) Verifier votre resultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles.

Probleme 23 Le Daily Mail du 13 octobre 2010 rapporte que la famille Allali (Angleterre) vient justed’avoir son troisieme enfant et que, fait surprenant, ses trois enfants sont tous nes le meme jour (un 7octobre, en 2005, 2007 et 2010). Le journaliste a#rme qu’il y a moins d’une chance sur 48 millions quetrois enfants d’une famille (ni jumeaux, ni triplets) naissent un meme jour. Que pensez-vous de cettea#rmation ?

Probleme 24 Vous venez d’installer un module de detection de courriers indesirables dans votre client decourrier electronique. Le module reussit a identifier les courriers indesirables dans 99% des cas. Neanmoinsle module annonce qu’un message est indesirable alors qu’il ne l’est pas dans 2% des cas. Les statistiqueso#cielles indiquent que 10% des courriers electroniques recus sont indesirables. Quelle est la probabilitequ’un message soit e!ectivement indesirable lorsque le module indique que c’est le cas ?

Probleme 25 A un test de fin d’annee, trois eleves, Alain, Boris et Charles, ont oublie de mettre leurnom sur les copies. Le professeur sait quels sont ces trois eleves mais ne sait pas quelle copie appartient achacun d’entre eux. Il estime neanmoins que Alain a 80% de chance d’avoir reussi l’examen, Boris 70% etCharles 60%. Apres correction des trois copies, il s’avere que deux ont reussi l’examen et un l’a echoue.En supposant que les etudiants ont travaille independamment, quelle est la probabilite que ce soit Charlesqui ait echoue a l’examen ?

Probleme 26 L’envoi d’un paquet du serveur S1 au serveur S2 sur internet passe par deux routeursintermediaires R1 et R2. La probabilite que le paquet se perde sur chaque segment du chemin S1 $R1 $ R2 $ S2 est p. On constate, au niveau du serveur S2 la perte du paquet. Quelle est la probabilitequ’il ait ete perdu au niveau de S1 ? de R1 ? de R2 ?

Probleme 27 Un routeur recoit l’essentiel des paquets qu’il fait transiter depuis deux autres routeursR1 et R2, en proportion equilibree. On constate qu’environ un paquet sur 200 est endommage lorsqueceux-ci proviennent de R1, alors que seulement un paquet sur 1000 est endommage lorsqu’ils proviennentde R2. On considere un paquet recu de l’un de ces deux routeurs R1 ou R2. Le paquet inspecte n’est pasendommage. Quelle est la probabilite qu’il provienne de R1 ?

Probleme 28 100 programmes informatiques sont testes contre diverses sources d’erreurs. Il est trouveque 20 d’entre eux ont des erreurs de syntaxe, 10 des erreurs d’entree/sortie qui ne sont pas des erreurs desyntaxe, 5 ont d’autres types d’erreurs, 6 ont a la fois des erreurs de sytaxe et des erreurs d’entree/sortie,3 ont des erreurs de syntaxe ainsi que d’autres types d’erreur et un seul a les trois types d’erreur. Unprogramme est selectionne aleatoirement parmi ces 100 programmes.

a) Exprimer sous forme de probabilites les quantites donnees dans l’enonce.b) Quelle est la probabilite que le programme selectionne ait des erreurs de syntaxe ou des erreurs

d’entree/sortie ou les deux ?c) On sait que le programme selectionne a une erreur de syntaxe. Quelle est la probabilite qu’il ait

egalement une erreur d’entree/sortie ?

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Probleme 29 Des requetes sont e!ectuees sur des serveurs via 5 lignes de communication. Les lignesde communication ne sont pas utilisees egalitairement : les pourcentages des requetes envoyees sur leslignes 1, 2, 3, 4 et 5 sont respectivement de 20, 30, 10, 15 et 25. De plus la ligne sur laquelle est envoyeela requete depend de la longueur de la requete : la probabilite qu’une requete excede 100 caracteres surles lignes 1 a 5 est respectivement de 0.4, 0.5, 0.6, 0.2 et 0.8. Quelle est la probabilite qu’une requetequelconque excede 100 caracteres ?

Probleme 30 On tire au hasard deux chi!res entre 0 et 9. Quelle est la probabilite que le premier chi!resoit 6, sachant que la somme des deux est 6 ?

Probleme 31 Un magasin d’electronique a remarque que la probabilite pn que n clients entrent dans lemagasin un jour donne est pn(1# p), n = 0, 1, . . .. De plus, lorsqu’un client visite le magasin, il en ressortavec un achat deux fois sur trois. Neanmoins, le client n’est pas satisfait de cet achat et le rapporte aumagasin une fois sur quatre. On suppose que le fait d’acheter un produit et le fait d’en etre satisfait sontdes evenements independants.

a) Quelle est la probabilite qu’un client achete un produit et en soit satisfait ?b) Si on sait que k produits vendus n’ont pas ete rapportes au magasin, montrer que la probabilite

conditionnelle que le magasin ait recu la visite de n clients est donnee par

Cknp

n!k(2# p)k+1/2n+1, n ! k.

Probleme 32 La probabilite pour que la duree de vie d’un composant depasse 10 000 heures est de 80%et on admet que les pannes des di!erents composants sont independantes.

a) Avec 3 composants, on realise un montage “en serie”. Il su#t que l’un des composants tombe enpanne pour que le systeme ne fonctionne plus. Quelle est la probabilite pour que celui-ci fonctionne aumoins 10000 heures ?

b) Avec les memes composants que precedemment, on realise un deuxieme montage “en parallele”.Dans ce cas pour que le systeme ne fonctionne plus il faut que tous les trois composants soient en panne.

i) Quelle est la probabilite pour que le systeme fonctionne au moins 10000 heures ?ii) Sachant que le systeme, qui a ete sous tension 10000 heures, est en etat de fonctionnement,

quelle est la probabilite qu’un composant au moins soit defectueux ?

Probleme 33 Dans une assemblee de n personnes, on doit constituer un comite de s personnes puisdesigner un president parmi celles-ci. Les n personnes n’arrivant pas a se mettre d’accord pour former lecomite, elles decident apres des heures de debat de proceder par tirage au sort, aussi bien pour designerles s personnes du comite que son president. M. Truc, membre de l’assemble, n’est pas le president ducomite. Quelle est est la probabilite que celui-ci fasse neanmoins partie du comite ?

Probleme 34 On met au point un algorithme pour detecter si une page web ecrite en anglais est redigeepar un natif (quelqu’un dont l’anglais est la langue maternelle). On evalue que 55% des pages web enanglais sont ecrites par des natifs. L’algorithme reussit a detecter correctement que la page est ecrite parun natif dans 95% des cas lorsque la page est e!ectivement ecrite par un natif. Elle a#rme cependantincorrectement que la page est ecrite par un natif alors que ce n’est pas le cas avec probabilite 1%.Quelle est la probabilite qu’une page soit ecrite par un natif lorsque l’algorithme l’a#rme ?

Probleme 35 Un etudiant passe un test sous la forme d’un questionnaire a choix multiple ; pour chacunedes questions posees, il y a 5 reponses proposees, dont une seule reponse juste. Si l’etudiant connaıt lareponse juste, il la choisit. Dans le cas contraire, il choisit une reponse au hasard parmi les 5 reponsesproposees. L’etudiant connait la reponse juste a 70% des questions.

a) Quelle chance a l’etudiant de repondre correctement a une question donnee ?b) Si pour une question l’etudiant a repondu correctement, quelle est la probabilite qu’il ait repondu

en connaissance de cause (c’est-a-dire pas au hasard) ?

Probleme 36 Une requete peut etre envoyee de maniere equiprobable sur six serveurs, quatre etant detype X et deux serveurs etant de type Y . Deux requetes consecutives ne peuvent pas etre envoyees surle meme serveur. On considere deux requetes consecutives.

a) Decrire l’ensemble fondamental " de cette experience stochastique.b) Definissons les evenements suivants B1 = “la premiere requete est envoyee sur un serveur de type

X” et B2 = “la seconde requete est envoyee sur un serveur de type X”.i) Calculer les probabilites P (B1), P (B2|B1), P (B2|Bc

1) et P (B2).ii) Verifier que P (B1 %B2) + P (Bc

1 %B2) + P (B1 %Bc2) + P (Bc

1 %Bc2) = 1.

16

Probleme 37 Vous etes directeur de cabinet du ministre de la sante. Une maladie est presente dansla population, dans la proportion d’une personne malade sur 10000. Un responsable d’un grand labo-ratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de depistage : si une personne est malade,le test est positif a 99%. Si une personne n’est pas malade, le test est positif a 0.1%. Autorisez-vous lacommercialisation de ce test ?

Probleme 38 On considere le jeu de de suivant : pour participer au jeu, on mise 3 CHF. Puis on lancele de et on recupere 15 CHF si le nombre obtenu est 6. Le jeu est-il en moyenne rentable ? A partir dequel gain pour l’obtention d’un 6 devriendrait-il rentable ?

Probleme 39 On considere l’algorithme naıf ci-dessous pour trouver le plus grand element, note M ,dans une liste non vide L de n elements :

1. On initialise le maximum M avec la valeur du premier element de la liste.

2. On parcourt ensuite la liste, du 2ieme au dernier element, et on a!ecte cet element a M si celui-ciest plus grand que la valeur courante de M .

Lors du traitement d’une liste de taille n :a) Quel est le nombre de comparaisons e!ectuees ?b) Quel est le nombre d’a!ectations a M dans le cas le plus favorable ? le plus defavorable ?Dans la suite, on suppose que les elements de la liste sont deux-a-deux distincts et que les n! permu-

tations possibles ont la meme probabilite d’apparaıtre dans la liste. Soit p(n, k) la probabilite pour que,lors du deroulement de l’algorithme sur une liste (aleatoire) L de taille n, k a!ectations soient necessaires.

c) Montrer la recurrence suivante, pour n ! 2 et k ! 1 :

p(n, k) =1

np(n# 1, k # 1) +

n# 1

np(n# 1, k)

Indication : Raisonner selon que le nieme element est maximal ou non.d) Soit En l’esperance mathematique du nombre d’a!ectations e!ectuees lors du traitement d’une

liste de taille n. Deduire de la recurrence ci-dessus la recurrence sur En :

En =1

n+ En!1

et donner une approximation de En (en fonction de n) lorsque n $ +&.

Probleme 40 Soit X une variable aleatoire prenant ses valeurs dans les nombres naturels. Montrer queE(X) =

!"

n=1 P (X ! n).

Probleme 41 On desire estimer le nombre N de poissons dans un lac sans avoir a tous les compter. Unemethode pour cela est la methode dite de la capture-recapture : dans un premier temps, M poissons sontcaptures, marques d’une certaine facon pour les distinguer, puis relaches dans le lac. Quelques minutesplus tard (le temps que les poissons aient pu se melanger), n poissons sont captures, et on note X lenombre de poissons qui sont marques, parmi ces n poissons.(Cette methode a ete introduite par Laplace en 1768 pour estimer la population de la France.)

a) Calculer la fonction de masse de X .b) L’application de cette methode au lac Leman donne X = k. Determiner alors le nombre de poissons

du lac Leman, N , le plus probable, i.e. trouver N maximisant la probabilite P (X = k) (on parle demaximum de vraisemblance).

c) Montrer que l’esperance de N est infinie.

Probleme 42 Un joueur tourne une roue. A chaque essai, il a une probabilite 1# p de tomber sur unecase lui rapportant 1 CHF et p de tomber sur la case banqueroute qui lui fera tout perdre et l’elimineradu jeu. Il debute avec une somme initiale nulle et souhaite atteindre un gain G0, apres quoi il quitterale jeu – s’il n’y a pas deja ete contraint avant. Les resultats successifs obtenus en tournant la roue sontsupposes independants.

a) Quelle est la probabilite que le joueur atteigne le gain G0 qu’il s’etait fixe ?

b) En deduire l’esperance du gain final.

Probleme 43 Une requete est envoyee sur un reseau. On suppose qu’il a une probabilite p ' [0, 1] quecette requete recoive une reponse. Dans le cas contraire, la requete est renvoyee jusqu’a ce qu’une reponsesoit recue. On note T le nombre d’essais necessaires a cela. Donner la fonction de masse de T .

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Probleme 44 Pour la nouvelle annee, un fournisseur internet decide de proposer une o!re specialed’abonnement pour attirer de nouvels utilisateurs. Chaque nouvel utilisateur recoit l’o!re speciale avecune probabilite de 0.2. 20 nouvels utilisateurs s’inscrivent a ce fournisseur internet. Par quelle loi peut-onmodeliser le nombre d’entre eux qui beneficient de l’o!re speciale ? Calculer la probabilite qu’au moins lequart d’entre eux en beneficient.

Probleme 45 Un chef d’entreprise, pour eviter l’attente des camions venant livrer, envisage de construirede nouveaux poste de dechargement. Actuellement, 5 postes sont en activite. Pour simplifier l’etude, onconsidere qu’il faut une journee entiere pour decharger un camion. On designe par X la variable aleatoiremesurant le nombre de camions venant livrer chaque jour. Une enquete statistique prealable a montrequ’on pouvait assimiler la loi de X a une loi de Poisson de parametre 4.

a) Quelle est la probabilite de n’avoir aucun camion en attente ?b) Combien faudrait-il de postes de dechargement pour porter cette probabilite a plus de 0.9 ?

Probleme 46 Un concierge rentre de soiree. Il dispose de n cles dont une seule ouvre la porte de sondomicile mais il ne sait plus laquelle.

a) Il essaie les cles les unes apres les autres en eliminant apres chaque essai la cle qui n’a pas convenu.Quelle est la probabilite que la porte ouvre apres le kieme essai ?

b) En realite la soiree a ete bien arrosee et le concierge ne pense pas a mettre de cote la mauvaise cleapres l’avoir essayee. Donner la loi du nombre d’essais necessaires pour trouver la bonne cle. Quelle estla probabilite que la porte ouvre apres le kieme essai ?

Probleme 47 Pour l’etude des sols d’une region, on e!ectue des tests a partir d’echantillons preleves surle terrain. Cinq echantillons doivent etre soumis aux tests et on sait que la probabilite qu’un echantillonpreleve s’avere etre inadequat (endommage par exemple) est de 0.2. Si l’on veut etre assure de disposerde cinq echantillons utilisables avec une probabilite au moins egale a 0.99, combien d’echantillons faut-ilprelever ?

Probleme 48 Une version avancee d’un jeu sur console sort. 60% des joueurs ont passe tous les niveauxde la version precedente. 30% d’entre eux decident d’acheter la version avancee alors que seulement 10%des joueurs n’ayant pas passe tous les niveaux decident de l’acheter.

a) Quelle est la probabilite qu’un joueur achete la version avancee du jeu ?b) Sur 10 joueurs, quel est le nombre moyen de personnes achetant la version avancee ?c) Quelle est la probabilite qu’au moins trois joueurs l’achetent ?

Probleme 49 La production d’un certain composant donne 5% de composants defectueux. On a besoinde 10 composants non defecteux pour 10 nouveaux ordinateurs. Les composants sont testes jusqu’a ceque 10 composants non defectueux soient trouves.

a) Quelle est la loi du nombre X de composants a tester avant d’en trouver 10 fonctionnels ?b) Quelle est la loi du nombre Y de composants fonctionels parmi 12 testes ?c) Calculer de deux facons, a partir de a) et b), la probabilite que plus de 12 composants doivent etre

testes pour en trouver 10 fonctionnels.

Probleme 50 On considere une classe composee de N ! 60 eleves,N pair, qu’on regroupe aleatoirementdeux par deux. On s’interesse aux N/2 “couples” distincts ainsi formes.

a) Donner la loi du nombre de “couples” ayant leur anniversaire le meme jour, c’est-a-dire au nombrede couples formes de deux personnes nees un meme jour de l’annee (mais pas necessairement une memeannee). On supposera pour simplifier qu’une annee est composee de 365 jours.

b) Calculer de deux facons, en fonction de N , la probabilite qu’au moins un couple ait son anniversairele meme jour .Indication : utiliser l’approximation par la loi de Poisson (en la justifiant).

c) Quel doit etre le nombre minimal d’etudiants dans la classe pour que cette probabilite soit superieurea 60%? Faire le calcul de deux facons.

Probleme 51 A un instant t donne, n serveurs cherchent a envoyer une reponse chacun (n reponses autotal pour les n serveurs) via n canaux de transmission independants. Ces canaux etant partages pard’autres serveurs, il y a une probabilite p qu’un canal soit deja occupe a cet instant. Lorsqu’un serveuressaie d’envoyer une reponse sur un canal occupe, l’envoi echoue et la reponse est mise en attente jusqu’aupas de temps suivant (t+1) lorsque le serveur retente l’envoi, et ainsi de suite jusqu’a ce que les n reponsesaient ete envoyees.

a) On considere une reponse particuliere a envoyer,

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i) Quelle est la loi du nombre de pas de temps necessaires a l’envoi de cette reponse ?ii) Quelle la probabilite que moins de k pas de temps soient necessaires ?

b) On considere les n reponses a envoyer,i) Quelle est la probabilite que moins de k pas de temps soient necessaires a l’envoi de ces n

reponses ?ii) En deduire la probabilite qu’exactement k pas de temps soient necessaires.

Probleme 52 n serveurs sont connectes via une ligne de communication. On estime le reseau tel que,chaque minute, un serveur recoit avec une probabilite p une requete sur cette ligne. De plus, durant uneminute quelconque, un serveur ne peut recevoir plus d’une requete.

a) Quelle est la loi du nombre de requetes recues par minute par les n serveurs ?b) En deduire l’esperance et la variance de la proportion de requetes recues par serveur sur une minute.

Probleme 53 Une enquete realisee aupres de clients frequentant un magasin revele que, une fois entresdans le magasin, 40% d’entre eux font un achat. Sur 1000 clients entres dans le magasin, on designe parX le nombre de ceux qui ont reellement achete quelque chose.

a) Quelle est la fonction de masse de X ? Calculer son esperance et sa variance.b) Calculer la probabilite que moins de 300 personnes aient fait des achats.c) Calculer la probabilite que plus de 500 personnes aient fait des achats.

Probleme 54 L’utilisation d’un logiciel de reconnaissance d’ecriture a produit, a partir de 1000 pagesde texte, 1500 erreurs reparties au hasard.

a) Donner une valeur exacte de la probabilite qu’une page retranscrite par le logiciel contienne moinsde 2 erreurs.

b) Calculer la probabilite de cet evenement si on remplace la loi du nombre d’erreurs par une loi dePoisson bien choisie.

Probleme 55 Un serveur dessert 1000 postes via 50 lignes a haut debit. Aux heures de pointe, chaqueposte est occupe en moyenne pendant 2, 5 secondes par minute. On suppose les postes independants.Quelle est la probabilite de saturation du reseau pendant une duree moyenne d’une minute de pointe ?

Probleme 56 Une variable aleatoire X a pour densite

f(x) =

"

2x!3, x ! 10, x < 1

.

Calculer sa moyenne et sa variance.

Probleme 57 La duree de vie d’un composant (en annees) est une variable aleatoire continue de fonctionde densite

f(x) =

"

kx4 si x ! 10 si x < 1

a) Trouver k.b) Calculer la fonction de repartition de la duree de vie du composant.c) Calculer la probabilite que la duree de vie du composant excede 3 ans.d) Quelle est la duree de vie moyenne du composant ?e) Quel est l’ecart-type de duree de vie ?

Probleme 58 La fonction de repartition de Pareto a deux parametres ! > 0 et " > 0 est

F (x) =

"

1##

x!

$!", x > "

0, x " ".

a) Verifier qu’il s’agit bien d’une fonction de repartition.b) Calculer les moments d’ordre 1 et 2. A quelle condition sont-ils finis ?

Probleme 59 On suppose que le temps d’attente entre deux “jobs” successifs d’une imprimante est enmoyenne de 1/4 d’heure.

a) Quelle loi utiliser pour le temps d’attente (en heure) entre deux jobs ?b) Quelle est la probabilite que le job suivant soit envoye dans les 5 minutes ?

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Probleme 60 La duree de vie d’un processeur a une moyenne µ = 12 ans et un ecart-type # = 4 ans.a) En deduire la valeur des parametres de la loi (a preciser) decrivant la duree de vie du processeur.

b) Calculer la probabilite que le processeur ait une duree de vie entre 10 et 15 ans.

Probleme 61 On admet que la temperature moyenne en hiver a Rome suit une loi normale de moyennede 10#C et d’ecart-type 4#C. Pour un hiver de temperature moyenne inferieure a 4#C, l’etat de grandfroid est decrete. On suppose les temperatures independantes d’un hiver a l’autre.

a) Quelle est la probabilite que l’etat de grand froid soit decrete un hiver donne ?b) Quelle est la probabilite que l’etat de grand froid ne soit pas decrete sur une periode de 10 ans ?

Probleme 62 On joue a pile ou face, et le resultat X vaut 0 pour pile et 1 pour face. Si la piece tombesur face, on jette encore un de equilibre, et on obtient le resultat Y ' {1, . . . , 6}. Soit Z = X + Y lescore total. Calculer les esperance et variance conditionnelles de Z sachant X et les utiliser pour verifierle theoreme 167.

Probleme 63 Un examen d’algebre lineaire consiste en 20 questions a choix multiples, chacune avecquatre choix a disposition, dont un seulement correct. Il faut repondre correctement a 10 questions pourreussir l’examen. Ayant pris ses revisions un peu a la legere, un etudiant decide de repondre aux questionsde maniere aleatoire. Trouver l’esperance et la variance du total des points qu’il obtiendra. Quelle est laprobabilite qu’il reussisse son examen ? Une fois l’examen termine, il discute avec ses amis, et ils concluentqu’il a coche la bonne reponse a six questions, et une fausse reponse a quatre autres questions. Quel estl’esperance du total de points obtenus, conditionnee sur cette nouvelle information ? Quelle est a presentla probabilite qu’il reussisse l’examen ?

Probleme 64 Le telechargement d’un logiciel se fait via deux miroirs possibles, l’un situe en Europeet l’autre aux Etats-Unis. On estime que, selon l’etat du reseau, le telechargement via l’un de ces deuxmiroirs met entre a et b secondes, toute duree entre ces deux valeurs etant equiprobable. Les temps detelechargements via les deux miroirs sont independants.

a) Quelle est la loi du temps necessaire au telechargement en passant par l’un des deux miroirs ?Donner sa fonction de repartition.

b) Adrien demande simultanement le telechargement du logiciel par les deux miroirs.i) Quelle est la fonction de repartition du temps au bout duquel le premier telechargement du

logiciel sera termine ?ii) Calculer son esperance et sa variance.

Probleme 65 Un calcul sur ordinateur necessite l’appel a n fonctions, dont les temps de calculs sontindependants et de loi normales N (µi,#i). On suppose que le programme principal appelant ces fonctionsajoute un temps b, fixe, au temps total de calcul. Quelle est la loi du temps total de calcul ?

Probleme 66 Le nombre N de moustiques dans ma chambre d’hotel une fois la nuit tombee suit unedistribution de Poisson de moyenne $, et chacun d’eux me pique independamment avec probabilite p.Trouver les moyenne et variance conditionnelles du nombre Z de piqures que j’aurai le matin, sachant qu’ily avait N = n moustiques. Utilisant ces resultats, trouver les moyenne et variance non conditionnelles deZ. Utiliser les esperances conditionnelles pour calculer la fonction generatrice des moments de Z. Quelleest la distribution de Z ?

Probleme 67 Les variables aleatoiresX et Y sont toutes deux discretes avec une fonction de probabiliteconjointe definie dans le tableau ci-dessous.

YX 0 1 20 p 2p p1 3p 2p p

Calculer la fonction de probabilite marginale PX(x) de X . Que vaut p ? Calculer egalement E(Y 2) etE(XY ).

Probleme 68 On suppose que la duree de vie d’un individu est une variable aleatoire de densite

f(t) =

"

ct2(t# 100)2 si t ' [0, 100]0 sinon

.

a) Calculer la constante c.b) Quelle est l’esperance de vie moyenne d’un individu ?c) Quelle est la probabilite qu’un individu ait une duree de vie entre 50 et 80 ans ?

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Probleme 69 Un systeme a une duree de vie aleatoire X de densite donnee (en mois) par :

f(x) =

"

cxe!x/2 x > 00 x " 0

Quelle est la probabilite que le systeme fonctionne pendant au moins 5 mois ?

Probleme 70 Les timbres produits par la poste sont theoriquement de forme carree de cote l = 1.5 cm.Neanmoins, la machine etant mal calibree, les timbres produits ne sont pas toujours exactement de cotel mais restent toujours carres. On suppose que l’erreur de production est de +/- 0.2 cm par cote et quetoutes les valeurs entre ces deux bornes sont equiprobables.

a) Par quelle loi peut on modeliser les longueurs mesurees ? Donner sa fonction de repartition.b) Quelle est la fonction de repartition de l’aire du timbre ?

Probleme 71 Adele attend l’ascenseur, dont la capacite maximale est de 750 kilos. L’ascenseur arriveavec 10 adultes dedans. On suppose que le poids moyen d’un adulte suit une loi normale de moyenne 70kilos et d’ecart-type de 12 kilos.

a) Quelle est la loi du poids des 10 personnes dans l’ascenseur ?b) Est-il raisonnable qu’Adele, 55 kilos, entre dans l’ascenseur ?

Probleme 72 Des ingenieurs civils ayant participe a la construction du pont de Millau ont estime que lepoids W (en milliers de kilos) que la travee du pont peut supporter sans subir de dommage au niveau desa structure, suit une loi normale, de moyenne 400 et d’ecart-type 40. Supposons que le poids (egalementen milliers de kilos) d’une voiture est une variable aleatoire normale de moyenne 3 et d’ecart-type 0.3.Combien de voitures devraient se trouver sur cette travee pour que la probabilite de rupture soit superieurea 0.1 ?

Probleme 73 Soit Y une variable aleatoire de loi Gamma de parametres " = 1/2 et $ = 1. On rappelleque sa densite est

fY (y) =

" 1$#y e

!y, y > 0

0, y " 0.

Soit X une autre variable aleatoire dont on ne connait que la loi conditionnellement a Y : la loi de Xsachant Y est la loi normale N (0, 1

2Y ).a) Calculer la densite du couple (X,Y ).b) Calculer la densite X .c) Calculer et reconnaıtre la densite conditionnelle de Y sachant X .

Probleme 74 Soit X une variable gaussienne centree reduite et % une variable independante de X telleque P (% = 1) = P (% = #1) = 1/2. On note Y = %X .

a) Calculer Cov(X,Y ).b) Le vecteur (X,Y ) est-il gaussien ?c) Les variables X et Y sont-elles independantes ?

Probleme 75 Soit (X,Y ) un vecteur aleatoire de densite conjointe

fX,Y (x, y) =

"

c(x2 + xy2 ) si 0 " x " 1, 0 " y " 2

0 sinon

a) Determiner la constante c.b) Determiner la densite marginale de X et celle de Y . Les variables aleatoires X et Y sont-elles

independantes ?c) Calculer P (X > Y ).

Probleme 76 On a calcule qu’un certain logiciel produit en moyenne 25 erreurs toutes les 1000 heuresd’utilisation, avec un ecart-type de 2. Donner un majorant de la probabilite d’avoir plus de 30 erreurs en1000 heures d’utilisation. Qu’en est-il si l’ecart-type passe a 4 ?

Probleme 77 Un serveur recoit des requetes de 8 lignes de communication. On sait que le nombre derequetes issues d’une quelconque de ces lignes est en moyenne de 20 requetes par seconde. On supposede plus que le nombre de requetes est independant de la ligne. On souhaite savoir si le nombre total derequetes recues par le serveur n’excede pas le seuil de 500 requetes par seconde, qui est un seuil critiquepour le serveur.

a) Utiliser l’inegalite de Markov pour obtenir un majorant de cette probabilite.b) Qu’obtenez-vous en utilisant l’inegalite de Chebyshov?

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Probleme 78 Un disque dur a 350 gigabytes de disponibles. Cela est-il vraisemblablement su#sant pourstocker 300 films de taille moyenne 1.1 gigabyte et d’ecart-type 0.4 ?

Probleme 79 La mise a jour d’un logiciel necessite l’installation de 85 fichiers, installes sequentiellement.Le temps d’installation est aleatoire, mais prend en moyenne 15 secondes par fichier, avec un ecart-typede 4 secondes. Quelle est la probabilite que le logiciel soit mis a jour en moins de 20 minutes ?

Probleme 80 280 messages independants sont envoyes d’un centre de transmission. Les messages sonttraites sequentiellement et le duree de transmission d’un message suit une loi exponentielle de parametre$ = 5 min!1. Quelle est la probabilite que les 280 messages soient transmis en moins d’une heure ?

Probleme 81 Un serveur recoit 1000 requetes par minute. Neanmoins, suite a des problemes sur leslignes de communication, on estime que la probabilite qu’un requete echoue est de 4%. On supposel’echec ou non des requetes independants.

a) Quelle est exactement la probabilite pour que plus de 30 requetes echouent en une minute ?b) Donner deux approximations de la probabilite a), en les justifiant.

Probleme 82 N touristes veulent se rendre a Zermatt et doivent donc prendre le train a Tasch. Or letrain ne comporte que deux wagons de n places chacuns. On admet que les choix des touristes de monterdans la voiture de tete ou de queue sont independants les uns des autres et qu’un touriste quelconque aune chance sur deux de monter dans le premier wagon.

a) Quelle est la probabilite p que tous les touristes ne puissent pas monter dans la voiture qu’ils ontchoisi ?

b) Combien aurait-il fallu de places dans le train si on sait que N = 1000 et si on veut que p soitinferieur a 0,01 ?

Probleme 83 Une entreprise assemble 25 ordinateurs par jour. Les controles de qualite montrent que95% des ordinateurs assembles fonctionnent correctement.Donner une bonne approximation de la probabilite qu’au moins 600 ordinateurs sans defaut aient eteassembles a l’issue de 25 journees de travail.

Probleme 84 Le nombre de clients entrant dans un magasin un jour donne suit une loi de Poisson deparametre 12. Quelle est la probabilite de ne pas tomber en-dessous de 250 clients sur un mois de 22jours ouvrables ? On fera les hypotheses d’independance qui s’imposent.

Probleme 85 A partir d’un echantillon aleatoire de 500 temps de reponse d’un serveur, on a trouve untemps de reponse moyen de 5 millisecondes avec un ecart-type 2 millisecondes.

a) Donner un intervalle de confiance a 95% du temps de reponse moyen.b) Si l’on souhaite que la longueur de l’intervalle de confiance n’excede pas 0.3 ms, quelle devrait etre

la taille de l’echantillon teste ?

Probleme 86 On admet que la duree de vie d’un composant (en mois) est de distribution normaleN (µ, 9). On teste 20 de ces composants pour trouver une duree de vie moyenne y = 100.9. Au seuil 99%,rejette-on l’hypothese µ = 100 ?

Probleme 87 Les connexions internet sont parfois ralenties du a la latence de transmission du reseau.On souhaite quantifier cette latence. On envoie pour cela 500 paquets sur le reseau. On obtient une latencemoyenne de 0.8 seconde, avec un ecart-type de 0.1 seconde. Donner un intervalle de confiance au seuil99.5% de la latence moyenne dans le reseau.

Probleme 88 L’utilisation d’un ordinateur consomme de l’electricite. Sur 9 ordinateurs on a obtenu lescouts journaliers suivantes exprimes en CHF :

1, 2 0, 8 0, 6 1, 1 1, 2 0, 9 1, 5 0, 9 1, 0

a) Calculer la moyenne et la variance de cet echantillon.b) On suppose que le cout journalier de l’utilisation d’un ordinateur suit une loi normale. Rejette-on

l’hypothese d’un cout journalier moyen de 1 CHF au seuil 95%?

Probleme 89 Soit Y1, . . . , Yn un echantillon aleatoire provenant d’une distribution exp($). Trouver letest optimal pour tester l’hypothese H0 : $ = 1 et son alternative H1 : $ > 1.

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Probleme 90 Soit Y1, . . . , Yn un echantillon aleatoire provenant d’une distribution de Poisson avecmoyenne !. Trouver le test optimal pour tester l’hypothese H0 : ! = !0 et son alternative H1 : ! > !0.Montrer qu’il n’est pas toujours possible de trouver une region de rejet de taille ", et proposer uneapproximation pour la region de rejet si ce n’est pas le cas.

Probleme 91 Dans le cas d’un proces ou un individu est accuse de crime, quel jugement errone cor-respond a une erreur statistique de type I ? (Considerer l’hypothese nulle comme etant l’innocence del’accuse.) Un etudiant en droit s’interesse aux sentences appliquees a de jeunes adultes convaincus degrave crime a l’arme blanche en Angleterre et dans le Pays de Galles. Il selectionne aleatoirement unechantillon de 26 cas tires des dossiers de justice pour la fin de l’annee 2009 ; il trouve que la dureemoyenne de la peine est de 6.87 mois, avec un ecart-type de 2.2 mois.

a) Construire un intervalle de confiance a 95% pour la duree moyenne de la peine.

b) Quelles sont precisement les hypotheses faites en a) ?

c) Supposer que tous ces condamnes ont purge la moitie de leur peine. Quelle sont les esperance etecart-type empiriques du temps de peine restant pour son echantillon aleatoire de 26 cas ?

d) Utiliser les resultats du point precedent pour tester au niveau 1% l’hypothese que le temps moyenpasse en prison etait d’au moins 5 mois pour les jeunes adultes convaincus de grave crime a l’armeblanche en Angleterre et dans le Pays de Galles.

Probleme 92 Supposer que les variables aleatoires X1 et X2 ont pour moyenne µ1 et µ2 respectivementet pour variance #2

1 et #22 , avec corr(X1, X2) = &.

a) Si a1, a2, b1 et b2 sont constant, prouver que

cov(a1X1 + a2X2, b1X1 + b2X2) =2

%

i=1

2%

j=1

aibjcov(Xi, Xj),

en citant precisement les resultats utilises.

b) Prouver l’enonce ci-apres, avec ou sans l’aide du point precedent.

var(a1X1 + a2X2) = a21#21 + a22#

22 + 2a1a2&#1#2

en citant precisement les resultats utilises.

c) Quelle est la distribution de X1#X2, pour deux variable aleatoires independantes X1 et X2 representantdes moyennes empiriques et satisfaisant

X1 ( N

&

µ1,#21

n1

'

X2 ( N

&

µ2,#22

n2

'

,

et calculer cov(X1, X2).

d) On a mesure et reporte dans le tableau ci-dessous le temps de trajet arrondi a 5 minutes de 10etudiantes et 10 etudiants en statistiques se rendant a l’universite.

Etudiante 10 40 20 10 20 45 20 5 5 5

Etudiant 20 25 30 25 40 20 40 20 15 40

Tester au niveau 5% si le temps moyen de trajet pour les etudiantes et pour les etudiants est identique.

e) Pourquoi est-il raisonnable de penser que les donnee du point precedent peuvent etre considereescomme ! deux echantillons independants" ?

Probleme 93 Un sondage aupres de 123 etudiants de statistiques a mis en lumiere que durant la nuit du17 au 18 mars 2010, 62 etudiants se sont couches apres 3 heures du matin. Estimer la probabilite qu’unetudiant de statistiques de cette universite se soit couche apres 3 heures du matin cette nuit-la. Donnerl’approximation d’un intervalle de confiance a 95% pour la proportion de la population correspondant atous les eleves de statistiques de cette universite s’etant couche apres 3 heures du matin.

23

Probleme 94 Un ingenieur compare l’epaisseur de peinture sur des voitures de deux lignes de production(A) et (B) selectionnees aleatoirement. Il a reporte ses resultats dans le tableau ci-dessous.

(A) 0.23 0.13 0.28 0.19 0.22 0.34 0.28 0.34 0.17 0.22(B) 0.11 0.23 0.32 0.06 0.16 0.21 0.15 0.20 0.27 0.19

Est-ce que ces resultats indiquent qu’il y a une di!erence significative d’epaisseur de peinture sur les deuxlignes de production ? Quelles sont les hypotheses faites dans le point precedent? Obtenir un intervallede confiance a 98% pour l’epaisseur de peinture sur la ligne de production (A).

Probleme 95 On dit qu’une variable aleatoire Y suit une loi log-normale de parametres (m,# 2) si X =lnY suit une loi normaleN(m,# 2). On dispose d’un echantillon de neuf observations d’une loi log-normalede parametres (m,# ) inconnus :

11, 3 2, 1 1, 1 8, 9 4, 6 5, 7 13, 5 24, 5 16, 4

a) Construire un intervalle de confiance pour m (au niveau " = 0, 05).b) Meme question pour #.

Probleme 96 Considerons un echantillon aleatoire X1, . . . , Xn issu de la loi normale dont la moyenneµ est inconnue mais l’ecart-type # est connu.

a) Determiner l’estimateur de maximum de vraisemblance de µ. Est-il biaise ? Calculer sa variance.b) Calculer l’information observee.

Probleme 97 Soit X1, . . . , Xn un echantillon aleatoire issu d’une population de densite

f",$(x) =

"

1" e

! 1

! (x!$) si x > '0 sinon

ou ! > 0. Determiner les estimateurs de maximum de vraisemblance de ! et '.

Probleme 98 Chaque annee, la hauteur maximale H de la crue d’un fleuve est mesuree. On estimequ’une crue superieure a 6 metres serait catastrophique. On a modelise la loi de la variable aleatoire Hcomme etant de Rayleigh, i.e la densite de H est

fH(x) =x

ae!

x2

2a , x > 0,

ou a est un parametre inconnu strictement positif. Pendant 8 ans on a observe les hauteurs de crue(en m)

2, 5 2, 9 1, 8 0, 9 1, 7 2, 1 2, 2 2, 8

a) Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance de a.b) Une compagnie d’assurance estime qu’une catastrophe n’arrive en moyenne qu’au plus une fois

tous les mille ans. Ceci peut-il etre justifie par les observations ?

Probleme 99 On considere un n-echantillon X1, . . . , Xn i.i.d de loi de densite de parametre " > 0 :

f(x) =

"

1!x

! 1

"!1 si x ! 10 si x < 1

.

a) Verifier que f est une densite de probabilite.b) Determiner l’estimateur de maximum de vraisemblance de ".

Probleme 100 Sur 100 ampoules electriques choisies au hasard, une duree totale de 88 912 heures a etetrouvee. Les durees de vie des ampoules peuvent etre modelisees par une loi exponentielle de parametre$, inconnu.

a) Donner l’estimateur de maximum de vraisemblance de $.b) Donner un intervalle de confiance a 90% de $.c) Au seuil 90%, rejette-on l’hypothese $ = 0.001 ?

24

Probleme 101 Une chaıne de fabrication de composants electroniques produit un pourcentage 100) pde produits defectueux. p est inconnu mais on sait que p " 0.08. On teste n composants.

a) Quel est l’estimateur du maximum de vraisemblance de p ?b) Quelle doit etre la taille de l’echantillon pour que l’erreur quadratique moyenne associee a p soit

inferieur ou egal a 0,002 ?

Probleme 102 Les temps T1, T2, . . . , Tn entre deux pannes successives d’un ordinateur sont des variablesaleatoires independantes distribuees identiquement selon la loi Gamma de parametres " = 2 et $ = 1

" ,qui a pour fonction de densite :

f(y) =y

!2e!

y! si y > 0, 0 sinon.

! est un parametre > 0 inconnu et a estimer.a) On observe les n premiers temps t1, t2, . . . , tn entre deux pannes successives ; estimer ! a l’aide de

t1, t2, . . . , tn par la methode du maximum de vraisemblance.b) Donner le biais et l’erreur quadratique de l’estimateur de maximum de vraisemblance de !.

Probleme 103 On s’interesse au nombre moyen de pannes reseau hebdomadaires sur un certain reseau.On se place dans un cadre bayesien et on considere donc que ce nombre moyen, !, est une variablealeatoire.

a) On note X la variable aleatoire egale au nombre de pannes reseau sur une semaine donnee. Onsuppose que la repartition des pannes sur la semaine est aleatoire. Quelle loi proposez-vous pour X ,conditionnellement a ! ?

b) On a trouve sur des reseaux similaires un nombre moyen de 4 pannes par semaine avec un ecart-type de 2 pannes par semaine. Proposer un choix simple de loi a priori pour ! et preciser ses parametres.Indication : pensez a la densite conjuguee de la loi proposee en 1).

c) Deux pannes se sont produites sur le reseau la semaine derniere, et aucune panne cette semaine.Donner la loi a posteriori de !, son esperance a posteriori et sa variance a posteriori.

Probleme 104 Un operateur telephonique desire mettre a jour la statistique des appels qu’il traite. Lesdernieres statistiques donnaient une moyenne de 1000 appels par heure, avec un ecart-type de 200 appels.Du fait de l’extension du reseau, le nombre moyen ! d’appels traites peut avoir evolue. On proposede donner une estimation bayesienne de !. Une nouvelle enquete est donc menee. Elle revele que, aucours de 10 heures choisies aleatoirement, 7265 appels ont ete traites. On note ! la frequence des appelstelephoniques et X le nombre d’appels durant une heure donnee. On suppose que, conditionnellement a!, X suit une loi de Poisson de parametre ! :

P (X = k|!) =e!"!k

!!, k = 0, 1, . . .

On suppose de plus que ! est de loi Gamma(",$ ).a) En se basant sur les chi!res de la precedente enquete, quelles valeurs de " et $ preconisez-vous?b) Determiner la loi a posteriori de ! (la nommer et donner ses parametres).c) Donner la moyenne et l’ecart-type a posteriori de !.d) Determiner l’intervalle de credibilite au niveau 95% de !.

Probleme 105 Le nombre de fautes X et le nombre de cartons Y distribues dans le groupe B lors de lacoupe du monde de football de 2006 sont donnes dans le tableau qui suit.

Match 1 2 3 4 5 6X 26 19 34 34 31 39Y 3 4 6 8 3 4

a) Calculer la covariance et la correlation du nombre de fautes avec le nombre de cartons.

b) Donner l’estimation de la ligne de regression predisant le nombre de cartons en fonction du nombrede fautes.

c) Predire le nombre de cartons si un match compte 30 fautes.

25

Probabilites et Statistique pour SIC

Corriges aux Exercises

Corrige 1 668

Corrige 2 262103

Corrige 3 23!9!2!

Corrige 4 4!3!5!3!

Corrige 5 C4

23

Corrige 6 C5

52

Corrige 7 Remarquons qu’il y a C3

10

C3

8

= 6720 facons de choisir un comite de 3 hommes et 3 femmesdans un groupe de 10 femmes et 8 hommes.

a) Le nombre de comites de 3 hommes qui contiennent les deux hommes qui refusent d’etre ensembleest C1

6

= 6. Alors, le nombre de comites de 3 hommes qui ne contiennent pas les 2 hommes qui refusentd’etre ensembles est C3

8

� 6 = 50. Il s’en suit que la reponse cherchee est

C3

10

(C3

8

� 6) = 120 · 50 = 6000.

b) Le raisonemment ici est similaire. On obtient :

(C3

10

� C1

8

)C3

8

= (120� 8) · 56 = 6272.

c) Le nombre des comites avec l’homme et la femme qui refusent d’etre ensemble est C2

9

C2

7

= 756.Alors la reponse est

C3

10

C3

8

� C2

9

C2

7

= 6720� 756 = 5964.

Corrige 8 Il y a 4! = 24 facons de placer les trois paires de jumeaux dans les 4 chambres. D’autre part,pour chaque placement, il y a 23 = 8 facons de distribuer les trois paires de jumeaux dans les lits. Il y adonc 4!23 = 192 facons d’organiser l’experience.

Corrige 9 On a

Ck�1n�1 + Ck

n�1 =(n� 1)!

(n� k)!(k � 1)!+

(n� 1)!

(n� k � 1)!k!=

(n� 1)!(k + n� k)

(n� k)!k!= Ck

n

Corrige 10 On s’apercoit d’abord qu’il y a 1+ (n� k� 2) = n� k� 1 manieres de placer le bloc “A . . .B” de longeur k + 2 dans la rangee. Il faut ensuite tenir compte des permutations de A et B : 2! = 2. Etdes permutations des (n� 2) personnes di↵erentes de A et B : (n� 2)!. Il y a donc 2(n� 2)!(n� k � 1)facons d’avoir k personnes entre A et B.

Corrige 11 a) L’ensemble fondamental de cette experience est ⌦ =⌦1

[ ⌦2

ou⌦1

= {(D1

, D2

, . . .) ouD

i

2 {1, 2, 3, 4, 5} 1 i < 1} (l’evenement “aucun 6 ne sort”) et⌦2

= [1n=1

{(D1

, D2

, . . . , Dn�1, 6) ou

Di

2 {1, 2, 3, 4, 5} 1 i n� 1} (l’evenement que l’experience s’arrete).

b) Les points de l’ensemble fondamental qui sont contenus dans En

sont de la forme (D1

, . . . , Dn�1, 6).

L’ensemble⌦1

= ([11

En

)c est egal a l’evenement “aucun 6 ne sort”, c’est a dire⌦1

.

Corrige 12 a) E \ F = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}.b) E [ F est egal a l’evenement “la somme des des est impaire ou bien l’un des des montre 1”.

c) F \G = {(1, 4), (4, 1)}.d) E \ F c est egal a l’evenement “la somme des des est impaire et chaque de montre un nombre plus

grand ou egal a 2”.

e) E \ F \G = F \G.

26

Corrige 13 a) Le point {000 . . .} represente l’evenement “personne ne gagne”. Les autres points corres-pondent a des evenements ou A,B ou C gagne.

b) i) Ceux ou le numero 1 se situe dans la place 3n+ 1 pour n entier, correspond a l’evenement ou Agagne.

ii) Ceux ou le numero 1 se situe dans la place 3n + 2 pour n entier, correspond a l’evenement ouB gagne.

iii) Ceux ou le numero 1 se situe dans la place 3n pour n entier, correspond a l’evenement ou Cgagne. Finalement, (A [B)c est egal a l’evenement que C gagne ou personne ne gagne.

Corrige 14 a) L’ensemble fondamental est forme de tous les arrangements ordonnes possibles de npersonnes. Donc #(⌦) = n!.

b) Soit l’evenement Ek

=“il y a k personnes entre A et B”. Determinons #(Ek

) =“nombre de casfavorables de E

k

” :On considere d’abord le bloc “A k!. . . B” de longueur k+2. On s’apercoit qu’il y a 1+(n�k�2) = (n�k�1)manieres de le placer dans la rangee.Il faut ensuite tenir compte des permutations

- de A et B : 2! = 2 permutations,

- des (n� 2) personnes di↵erentes de A et B : (n� 2)! configurations di↵erentes.

Ainsi,#(E

k

) = 2 · (n� k � 1)(n� 2)!

et

P (Ek

) =#(E

k

)

#(⌦)=

2 · (n� k � 1)(n� 2)!

n!=

2 · (n� k � 1)

n(n� 1).

Remarque : On peut controler queP

n�2k=0

2·(n�k�1)n(n�1) = 1.

c) Il est facile d’etablir la liste des 3! = 6 cas possibles. On obtient alors que

P (k = 0) =4

6=

2

3et P (k = 1) =

2

6=

1

3,

ce qui correspond bien a l’expression trouvee sous b).

Remarque : On a bien P (k = 0) + P (k = 1) = 1.

Corrige 15 La probabilite de ne tirer aucun 6 est de�

5

6

�

4 ' 0.4822. Alors, la probabilite de tirer au

moins un 6 est de 1��

5

6

�

4 ' 0.5177.

Corrige 16 La probabilite de que le six apparaisse au moins une fois est 1 ��

5

6

�

2n

. Pour que cette

probabilite atteigne 1/2 il faut que 1��

5

6

�

2n � 1/2. C’est a dire que

n � ln 2

2 ln 6

5

donc n � 2.

Corrige 17 La probabilite que les anniversaires de n personnes soient dans des mois di↵erents est

12 · 11 · · · · (12� n+ 1)

12n

Alors, la probabilite qu’au moins deux personnes entre n personnes aient leur anniversaire le meme moisest

1� 12 · 11 · · · · (12� n+ 1)

12n

Finalement, il faut au moins 5 personnes pour que cette probabilite soit au moins 1/2.

Corrige 18 a) Deux signaux S1

et S2

atteignent le recepteur dans l’intervalle (0, t). Soient X1

: le tempsd’arrivee de S

1

et X2

: le temps d’arrivee de S2

. L’ensemble fondamental ou espace des resultats possiblesest donc :

⌦ =�

(x1

, x2

) 2 R2 | 0 x1

t , 0 x2

t

.

27

Un element de cet ensemble (un couple (x1

, x2

)) represente une issue possible de cette experience (c’est-a-dire un evenement elementaire de l’ensemble fondamental) : “le signal S

1

arrive au temps x1

et le signal

S2

arrive au temps x2

”.

b) L’evenement A qui nous interesse (i.e. “le recepteur se bloque”) est un sous-ensemble de ⌦ definipar :

A =n

(x1

, x2

) 2 ⌦�

�

�

|x1

� x2

| < ✓o

.

Le fait d’admettre que “les deux signaux arrivent independamment l’un de l’autre et au “hasard”” nouspermet d’a�rmer qu’on a a↵aire a un modele equiprobable. On peut alors calculer la probabilite del’evenement A comme suit :

P (A) =aire de A

aire de⌦=

t2 � 2 · (t�✓)22

t2=

2✓t� ✓2

t2.

c) Si ✓ ⌧ t, on peut negliger ( ✓t

)2 par rapport a 2 ✓

t

, et donc P (A) ' 2✓

t

.

Corrige 19 a) Soit Sn

le jet numero n et En

l’evenement “deux piles successifs n’apparaissent pas”.Remarquons que P

n

= P (En

) et que

P (En

) = P (En

\ {Sn

= P}) + P (En

\ {Sn

= F})

Mais

P (En

\ {Sn

= F}) = P (En�1 \ {S

n

= F}) = 1

2P (E

n�1)

et

P (En

\ {Sn

= P}) = P (En�2 \ {S

n�1 = F} \ {Sn

= P}) = 1

4P (E

n�2)

On en deduit que

Pn

=1

2Pn�1 +

1

4Pn�2 (1)

b) Remarquons que Pn

est une fonction decroisante de n (c’est a dire que Pn+1

Pn

). On en deduitque la limite lim

n!1 Pn

existe. Appelons la P1. En prenant la limite n ! 1 dans l’equation (1) ondeduit que

P1 =3

4P1

Ceci etant possible seulement si P1 = 0.

c) Soit Gn,i

egale a l’evenement “{S8i

= P, S8i+1

= F, S8i+2

= P, S8i+3

= P, S8i+4

= P, S8i+5

=F, S

8i+6

= F, S8(i+1)�1 = P}”, et R

n,i

= Gc

n,i

(c’est a dire l’evenement “la suite Sj

, 8i j 8(i+1)� 1,

est di↵erente de P, F, P, P, P, F, F, P”). Soit Rn

= \n/8�8i=1

Rn,i

. Par l’independance des evenements Rn,i

,1 i n/8, on a

P (Rn

) =

n/8

Y

i=1

P (Rn,i

) =

✓

1� 1

28

◆

n/8

(2)

ou dans la derniere egalite on a employe le fait que P (Rn,i

) = 1 � 1

2

8 . De l’equation (2), on deduit quelim

n!1 P (Rn

) = 0. Mais clairement P (Qn

) P (Rn

) (parce que Qn

⇢ Rn

). Alors, limn!1 P (Q

n

) = 0.

Corrige 20 a) L’ensemble fondamental de cette experience est ⌦= {(Y1

, Y2

, Y3

) ou 1 Y1

, Y2

, Y3

6}.

b) Soit X1

le de qui montre la valeur la plus petite, X3

le de qui montre la valeur la plus grande et X2

le de qui montre une valeur entre X1

et X3

(c’est-a dire X1

X2

X3

). On veut calculer la probabilitede l’evenement “X

1

+X2

+X3

� 15”. On appellera cet evenement par E. La table ci-dessous donne lesvaleurs de X

1

, X2

et X3

qui rend leur somme plus grande ou egale a 15.

X1

X2

X3

somme poids probabilite3 6 6 15 3 1/2164 5 6 15 3 ! 1/2164 6 6 16 3 1/2165 5 5 15 1 1/2165 5 6 16 3 1/2165 6 6 17 3 1/2166 6 6 18 1 1/216

28

La cinquieme colonne correspond au nombre de facons qu’il y a d’obtenir les valeurs de X1

, X2

et X3

donnees. Et la sixieme colonne correspond a la probabilite de chaque configuration (c’est-a-dire 1/63 =1/216). Alors, la probabilite recherchee est egale a

P (E) =(3 + 6 + 3 + 1 + 3 + 3 + 1)

216=

20

216' 0.0926.

Corrige 21 La probabilite qu’aucune des deux pieces ne tombe sur pile est egale a la probabilite d’obtenir(F, F ). C’est a dire 1/4. Alors, la reponse recherchee est 1� 1/4 = 3/4.

Corrige 22 On utilise le fait que l’evenement “avoir au moins un succes” est le complementaire del’evenement “n’avoir aucun succes”. La probabilite d’obtenir au moins un 6 avec 4 des est donc de

1� (1� 1

6)4 ' 0, 518,

et la probabilite d’obtenir au moins un double 6 lors de 24 jets de deux des est de

1� (1� 1

36)24 ' 0, 491.

Corrige 23 On ne peut pas en conclure que P (S = 9) = P (S = 10) car les configurations ne sont pasequiprobables. Si l’on tient compte de l’ordre elles le sont, il faut donc tenir compte des permutationspossibles de chaque configuration. Ainsi (3,3,3) ne “compte qu’une fois” alors que (5,2,2) “compte triple”et (5,3,1) “compte six fois”. On obtient P (S = 9) = 25

6

3 et P (S = 10) = 27

6

3 .

Corrige 24 P{”il gagne”} = 1� P{”il perd”} = 1� 16⇥15⇥1420⇥19⇥18 .

Corrige 25 a) et b) La reponse est la meme :

P =15 · 14 · 13 · 10 · 925 · 24 · 23 · 22 · 21 = 0.03854.

c) On obtient

P =15 · 14 · 10 · 9 · 825 · 24 · 23 · 22 · 21 = 0.0237.

Corrige 26 Corrige du probleme 36.

Corrige 27 Soient RR, NN et RN respectivement les evenements, “la carte choisie est entierementrouge”, “entierement noire” et “bicolore”. Soit encore R l’evenement, “la face apparente de la carte tireeest rouge”. On aura

P (RN |R) =P (R|RN)P (RN)

P (R|RR)P (RR) + P (R|RN)P (RN) + P (R|NN)P (NN)

=1

2

1

3

1 · 1

3

+ 1

2

1

3

+ 0 · 1

3

=1

3

Corrige 28 Soit M l’evenement “le patient est atteint”, B l’evenement “le patient est en bonne sante”,et + l’evenement “le resultat du test est positif”. De la formule de Bayes on a

P (M |+) =P (+|M)P (M)

P (+|M)P (M) + P (+|B)P (B)

=99

100

1

1000

99

100

1

1000

+ 2

100

999

1000

=99

2097' 0.0472

Ceci n’est pas un tres bon resultat. Pour essayer de l’ameliorer il faudrait repeter le test...

29

Corrige 29 Soit Sn

l’evenement “le neme jour est ensoleille” et Nn

l’evenement “le neme jour est nua-geux”. Alors,

sn

= P (Sn

) = P (Sn

|Sn�1)P (S

n�1) + P (Sn

|Nn�1)P (N

n�1)

= psn�1 + q(1� s

n�1)

= (p� q)sn�1 + q

On demontre que sn

= 1

2

(1 + (p � q)n), n � 0 par induction sur n. Si n = 0 c’est clairement vrai.Supposons maintenant que cette formule est valide pour n m. Alors,

sm+1

= (p� q)sm

+ q

= (p� q)

✓

1

2+

1

2(p� q)m

◆

+ q

=p+ q

2+

1

2(p� q)m+1

=1

2

�

1 + (p� q)m+1

�

.

Ceci montre que le resultat est vrai pour m+ 1. Donc sn

= 1

2

(1 + (p� q)n) pour tout n � 0.

Corrige 30 Xn

ne peut prendre que les valeurs 0 et 1. En e↵et, il ne peut y avoir plus d’une machineen panne au debut d’une journee. On a

P (Xn+1

= 0|Xn

= 0) = p2 + p(1� p) + (1� p) p = p(2� p)(soit ni l’une ni l’autre ne tombe en panne,soit l’une tombe en panne et est reparee,soit l’autre tombe en panne et est reparee)

P (Xn+1

= 0|Xn

= 1) = pP (X

n+1

= 1|Xn

= 0) = (1� p)2

P (Xn+1

= 1|Xn

= 1) = 1� p .

Corrige 31 a) P (A|B) = 0.9 et P (Ac|Bc) = 0.8.

b) Les 4 pieces sont acceptees, donc le controle des 3 bonnes pieces est sans erreur et il y a erreurdans le controle de la piece defectueuse . La probabilite d’un tel evenement est :

P (A|B)3 · P (A|Bc) = (0, 9)3 · 0, 2 ' 0.146.

c) Soit l’evenement E =“il y a erreur dans le controle d’une piece”.P (E) = P (Ac|B) · P (B) + P (A|Bc) · P (Bc). D’ou, puisque P (Bc) = 0, 2,

P (E) = 0, 1 · 0, 8 + 0, 2 · 0, 2 = 0, 12.

d) P (Bc|A) =P (A|Bc) · P (Bc)

P (A)=

P (A|Bc) · P (Bc)

P (A|B) · P (B) + P (A|Bc) · P (Bc)' 0, 053.

Corrige 32 L’ensemble fondamental de cette experience est ⌦= {(E1

, E2

) ou E1

est le sexe du premierenfant et E

2

est le sexe du deuxieme}. L’evenement “les deux enfants sont des filles” est A = {(F, F )},et “l’aınee en est une” est B = {(F, F ), (F,G)}. La probabilite recherchee est

P (A|B) =P (A \B)

P (B)=

P (A)

P (B)=

1/4

1/2=

1

2.

Corrige 33 L’ensemble fondamental de cette experience est ⌦= {(D1

, D2

) ou 1 Di

6 et i = 1, 2}.Appelons A l’evenement “au moins l’un d’entre eux montre 6”, et B l’evenement “les deux resultats sontdi↵erents”. On veut calculer

P (A|B) =P (A \B)

P (B).

Mais, P (B) = 6·56·6 = 5

6

et

30

P (A \B) = P (B)� P (Ac \B) =5

6� 5 · 4

6 · 6 =5

6� 5

9.

Alors, la probabilite recherchee est

P (A|B) = 1� 6

9= 1/3.

Corrige 34 Soit A l’evenement “la premiere carte tiree est un pique” et B l’evenement “les deuxdernieres en sont”. Remarquons que

P (A \B) =13

52

12

51

11

50

P (B) = P (A \B) + P (A \Bc) =13

52

12

51

11

50+

39

52

13

51

12

50

Alors, la probabilite recherchee est egale a P (A|B) = 13·12·1113·12·11+39·13·12 = 11

50

.

Corrige 35 Soit D l’evenement “la personne selectionee est un daltonien”, H l’evenement “elle est unhomme” et F l’evenement “c’est une femme”. Tout d’abord, par la formule de Bayes on a

P (H|D) =P (D|H)P (H)

P (D|H)P (H) + P (D|M)P (M)

Si on admet que les hommes sont aussi nombreux que les femmes, alors P (H) = P (F ) = 1/2 et

P (H|D) =5

100

· 1

2

5

100

· 1

2

+ 0,25

100

· 1

2

=5

5.25=

20

21.

Si au contraire il y avait deux fois plus de femmes que des hommes, on aurait,

P (H|D) =5

100

· 2

3

5

100

· 2

3

+ 0,25

100

· 1

3

=10

10.25=

40

41.

Corrige 36 D’abord remarquons que si Xavier et ses deux parents ont les yeux marrons et si la soeur deXavier a les yeux bleus, il faut que les deux parents aient chacun un gene oeil bleu et un autre marron.

a) Xavier peut avoir des genes (M,M), (M,B) et (B,M), alors, la probabilite que Xavier ait un geneoeil bleu est 2/3.

b) On definira par GX

, GF

et GE

les genes yeux de Xavier, de sa femme et de son enfant. Alors,

P (GE

= (B,B)) = P (GX

2 {(M,B), (B,M)})12=

2

3

1

2=

1

3.

Corrige 37 a) On numerote les boules blanches de 1 a N . Soit Xi

la v.a. definie par : Xi

= 1 si la bouleblanche numero i a ete tiree, 0 sinon.On a

P{Xi

= 0} =M +N � 1

M +N.M +N � 2

M +N � 1. . .

M +N � n

M +N � n+ 1=

M +N � n

M +N,

P{Xi

= 1} =n

M +N.

Comme X =P

N

i=1

Xi

, on en deduit que :

E(X) =N

X

i=1

E(Xi

) =Nn

M +N.

b) On numerote les boules noires de 1 a M et pour 1 j M , on definit Yj

par : Yj

= 1 si la boulenoire numero j a ete tiree avant la premiere boule blanche, 0 sinon. Pour chaque 1 j M :

P{Yj

= 1} =1

N + 1.

(les evenements ”la boule noire numero j est tiree avant toutes les boules blanches” et ”la boule blanchenumero i est tiree avant toutes les autres boules blanches et avant la boule noire numero j” sontequiprobables). Comme X =

P

M

j=1

Yj

+ 1, on obtient :

E(X) = 1 +M

N + 1.

31

Corrige 38 a) On appelle Xi

la somme de 2 des au i–eme jet : Xi

2 {2, . . . , 12}. On a P (Xi

= 5) = 1/9et P (X

i

= 7) = 1/6. On appelle ⌧ le temps d’arret du jeu, ⌧ = 1, 2, . . ., et Fj

= {⌧ = j} est l’evenementque le jeu s’arrete au j–eme jet. On note que on peut ecrire l’evenement F

j

comme

{Xj

= 5 ou Xj

= 7} \h

\j�1i=1

{Xi

6= 5 et Xi

6= 7}i

En utilisant cela et l’independance des variables Xi

on obtient que pour tout j

P (Xj

= 5|Fj

) = P ({Xj

= 5}|{Xj

= 5} [ {Xj

= 7}) = 1/9

1/9 + 1/6=

2

5.

b) Puisque le jeu va s’arreter presque surement (c’est–a–direP1

j=1

P (Fj

) = 1), par la formule de laprobabilite totale on arrive a

P ( le jeu s’arrete avec un 5 ) =1X

j=1

P (Xj

= 5|Fj

)P (Fj

) =

✓

2

5

◆ 1X

j=1

P (Fj

) =2

5.

c) Par definition de ⌧ et Fj

on a

E(⌧) =1X

j=1

jP (Fj

).

Puisque que P (Xi

= 5 ou Xi

= 7) = 5/18, on voit facilement que

P (Fj

) =

✓

1� 5

18

◆

j�1✓ 5

18

◆

.

On est donc en train de calculer l’esperance d’une loi geometrique de parametre 5/18 et on conclut

E(⌧) =18

5= 3.6

Corrige 39 a) X suit une loi binomiale de parametres n et p : P{X = k} = Ck

n

pk(1� p)n�k.

b) Voir cours. E(X) = np et V ar(X) = np(1� p).Note : Pour montrer que X a pour esperance np et variance np(1� p), on peut utiliser la decompositionde X sous la forme X =

P

n

i=1

Yi

ou Yi

sont des variables aleatoires de Bernouilli independantes deparametres p. Les Y

i

ont pour esperance

E(Yi

) = 0⇥ P (Y1

= 0) + 1⇥ P (Yi

= 1) = 0⇥ (1� p) + 1⇥ p = p

et variance

V ar(Yi

) = E(Y 2

i

)� E(Yi

)2 = {02 ⇥ P (Y1

= 0) + 12 ⇥ P (Yi

= 1)}� p2 = p� p2 = p(1� p).

On a alors

E(X) = E(n

X

i=1

Yi

) =n

X

i=1

E(Yi

) =n

X

i=1

p = np,

V ar(X) = V ar(n

X

i=1

Yi

) =n

X

i=1

V ar(Yi

) =n

X

i=1

{p(1� p)} = np(1� p).

Attention, V ar(P

n

i=1

Yi

) =P

n

i=1

V ar(Yi

) est valable parce que les Yi

sont independantes mais ce n’estpas vrai en general. Par contre E(

P

n

i=1

Yi

) =P

n

i=1

E(Yi

) est toujours vrai.

Corrige 40 a) Il s’agit ici d’un tirage avec remise car le meme animal peut etre note deux fois parl’employe. La probabilite qu’une observation quelconque soit celle d’un lion est de L/(L+T ). Le nombrede lions notes dans le rapport suit une loi binomiale de parametres n et p = L/(L + T ). La probabiliteque k lions aient ete notes vaut

Ck

n

✓

L

L+ T

◆

k

✓

T

L+ T

◆

n�k, k = 0, . . . , n.

b) Contrairement au a), on est ici dans le cadre d’un tirage sans remise. Le nombre de lions notesdans le rapport suit une loi hypergeometrique de parametres L, T et n. La probabilite que k lions aientete captures vaut

Ck

L

Cn�kT

Cn

L+T

, k = max(0, n� T ), . . . ,min(L, n).

32

Corrige 41 On suppose que les dates d’anniversaire sont egalement reparties sur l’annee et, pour sim-plifier, qu’une annee comporte 365 jours.

a) La probabilite qu’une personne au hasard soit nee un 1er janvier est alors de 1/365. La probabilitesque les deux epoux soient nees un 1er janvier est, en supposant l’independance, 1/3652. Sur les 42800couples maries en 2010, le nombre de ceux dont les deux epoux sont nes un 1er janvier, X, suit une loibinomiale de parametres n = 42800 et p = 1/3652. On a donc

P (X = 2) = C2

42800

1

3654

✓

1� 1

3652

◆

42798

= 0.0374.

b) La probabilite pour que les deux epoux soient nes un meme jour est 365 fois plus elevee que laprobabilite qu’ils soient nes un 1er janvier. Le nombre Y de couple maries ayant leur anniversaire le memejour suit donc une loi binomiale de parametres n = 42800 et p = 1/365. On a donc

P (X = 2) = C2

42800

1

3652

✓

1� 1

365

◆

42798

' 0.

Corrige 42 T est une variable aleatoire geometrique, sa fonction de masse est donnee par

P (T = n) = p(1� p)n�1 n � 1.

On a

E(T ) =1X

n=1

n P (T = n) =1X

n=1

n p(1�p)n�1 = p

1X

n=1

n(1�p)n�1 = �pd

dp

1X

n=1

(1�p)n = �pd

dp

1

p= p⇥ 1

p2=

1

p.

D’autre part,

E(T 2) =1X

n=1

n2 P (T = n) =1X

n=1

n2 p(1� p)n�1 = p

1X

n=1

n2(1� p)n�1 = �pd

dp

( 1X

n=1

n(1� p)n)

= �pd

dp

(

(1� p)1X

n=1

n(1� p)n�1)

= �pd

dp

⇢

(1� p)1

p2

�

= �p(� 2

p3+

1

p2) =

2

p2� 1

p.

La variance de T vaut donc :

V ar(T ) = E(T 2)� E(T )2 =2

p2� 1

p� 1

p2=

1

p2� 1

p, p 2 (0, 1].

Corrige 43 a) Puisque1X

i=0

P{X = i} = 1 = c

1X

i=0

�i

i!= ce�,

necessairement c = e��. Il s’agit de la loi de Poisson de parametre �.

b) P{X = 0} = c�o

0!

= e��.

c) P{X > 2} = 1 � (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)) = 1 � e��(1 + � + �

2

2

) = e��P1

i=3

�

i

i!

. d)

Voir cours. E(X) = V ar(X) = �.

Corrige 44 Commencons par calculer la fonction de masse de X. Pour k entier � 0 fixe, on a :

P{X = k} =X

n�kP{X = k|Z = n}P{Z = n}

=X

n�kCk

n

pk(1� p)n�ke���n

n!

= e��(p�)k

k!

X

n�kCk

n

(1� p)n�k�n�k

n!

k!(n� k)!

(n� k)!

= e��(p�)k

k!

X

n�k

(1� p)n�k�n�k

(n� k)!

= e��(p�)k

k!e(1�p)�

= e�p�(p�)k

k!,

33

X est donc poissonienne de parametre p� .Ensuite, pour l entier � 0 fixe :

P{Y = l} =X

n�lP{Y = l|Z = n}P{Z = n}

=X

n�lP{X = n� l|Z = n}P{Z = n}

=X

n�lCl

n

pn�l(1� p)le���n

n!

= e�(1�p)�((1� p)�)l

l!,

Y est aussi poissonienne de parametre (1� p)� . Enfin :

8k, l , P{X = k et Y = l} =X

n�0P{X = k et Y = l|Z = n}P{Z = n}

= P{X = k et Y = l|Z = k + l}P{Z = k + l}

= Ck

k+l

pk(1� p)le���(k + l)

l!

= e�p�(p�)k

k!e�(1�p)�

((1� p)�)l

l!,

X et Y sont bien independantes.

Corrige 45 La fonction de masse de X est donnee par

P (X = n) = p(1� p)n�1,

et sa FGM MX

(t) vaut

MX

(t) =1X

n=1

etnp(1� p)n�1 = pet1X

n=1

[et(1� p)]n�1 =pet

1� et(1� p).

Le premier moment est donne par M 0X

(0), soit

E(X) =1

p.

Le deuxieme moment est donne par la deuxieme derivee de MX

(t) evalue en t = 0 et vaut

E(X2) =2

p2� 1

p.

Corrige 46 a) Arnaud mise au tour n la somme de 100⇥ 2n�1 CHF.

b) Puisque chaque tour est une experience de Bernouilli de parametre p, le nombre de tours N jusqu’aupremier succes suit une loi geometrique de parametre p. Sa fonction de masse est donc

P (N = n) = p(1� p)n�1, n = 1, 2, . . .

En e↵et, l’evenement {N = n} a lieu si les (n� 1) premiers tours ont ete perdus et le nieme a ete gagne.

c) Soit Y : le montant investi au dernier pari, c’est-a-dire lorsque Arnaud gagne pour la premiere fois.On a Y = 100⇥ 2N�1 ou N est la variable aleatoire du nombre de tours jusqu’au premier succes. On a

E(Y ) = E(100⇥ 2N�1) =1X

n=1

(100⇥ 2n�1)P (N = n) =1X

n=1

(100⇥ 2n�1)p(1� p)n�1

= 100p1X

n=1

{2(1� p)}n�1 =

⇢

100p

1�2(1�p) si p > 1/2

1 si p 1/2

Si p 1/2 il faut etre en moyenne infiniment riche pour pouvoir suivre cette strategie ! Si p > 1/2, unefortune finie sera en moyenne su�sante.

34

Corrige 47 Considerons pour fixer les idees la premiere page. Une erreur donnee apparait sur cette pageavec la probabilite 1/350 puisque les erreurs sont equireparties (c’est-a-dire reparties au hasard) et il y a350 pages au total. Le nombre d’erreurs d’impression X sur la premiere page est donc distribue selon unloi de Bernouilli B(n = 450, p = 1/350), d’ou

P (X � 3) = 1� P (X 2) =2

X

i=0

Ci

450

✓

1

350

◆

i

✓

349

350

◆

450�i' 0, 14.

Puisque n est grand et p est petit, on peut aussi faire l’approximation de cette binomiale par une loi dePoisson de parametre � = np ' 1.29 et on obtient alors

P (X � 3) = 1� P (X 2) = 1� e���

1 + �+ �2/2�

' 0, 14.

Corrige 48 a) Par calcul direct : pour k entier � 0 :

P{Z = k} =P

k

l=0

P{X = l et Y = (k � l)}=

P

k

l=0

P{X = l}P{Y = (k � l)}= e�(�1+�2)

P

k

l=0

�1l

l!

�2(k�l)

(k�l)!

= e

�(�1+�2)

k!

P

k

l=0

k!⇥ �1l

l!

�2(k�l)

(k�l)!

= e�(�1+�2) (�1+�2)k

k!

,

Z est encore poissonienne, de parametre (�1

+ �2

) .

b) Rappelons que pour tout t reel,

MZ

(t) = E[etZ ] = E[etXetY ] = E[etX ]E[etY ] (par ind.) .

Or :

MX

(t) = e��1

1X

k=0

etk�1

k

k!= e��1e�1e

t

= exp(�1

(et � 1)) .

Ainsi : MZ

(t) = exp(�1

(et � 1)) exp(�2

(et � 1)) = exp((�1

+ �2

)(et � 1)),

on retrouve le fait que Z est poissonienne de parametre (�1

+ �2

).

Corrige 49 Soit X la variable aleatoire de la taille d’un homme age de 25 ans.

P (X > 185) ' 4, 78%

et

P (X > 192|X > 180) =P (X > 192)

P (X > 180)' 1, 14%.

Corrige 50 Soit X le nombre de kilometres couverts par une batterie de voiture avant defaillance.X ⇠ E(�) avec � = 1/10000.

P (X > 5000) =

Z 1

5000

�e��xdx = e�� 5000 = e�12 .

Corrige 51 Il faut d’abord calculer c. Pour que f soit une densite on doit avoirR

+1�1 f(x)dx = 1,

c’est–a–dire

c =1

R10

x exp(�x/2)dx.

On fait une integration par parties et on obtient

Z 1

0

x exp(�x/2)dx = �2x exp(�x/2)�

�

10

+ 2

Z 1

0

exp(�x/2)dx = 4,

donc c=1/4. Par consequent la probabilite que le systeme fonctionne au moins 5 mois est egale a

Z 1

5

x

4exp(�x/2)dx = � exp(�x/2)

�

�

15

� 1

2x exp(�x/2)

�

�

15

= e�5/2 +5

2e�5/2 ' 0.287.

35

Corrige 52 On doit trouver a tel queR1�1 f(x)dx = 1. Donc

a =1

R10

x2 exp(�bx2)dx.

Si on fait le changement de variable y/p2b = x on obtient

Z 1

0

x2 exp(�bx2)dx =

✓

1p2b

◆

3

Z 1

0

y2 exp(�y2/2)dy =

✓

1p2b

◆

3

p2⇡

2⇥Z

+1

�1

y2p2⇡

exp(�y2/2)dy.

La derniere integrale est egale a 1 (c’est la variance d’une variable normale standard) et donc

a =4p⇡b3/2.

Corrige 53

E(X) =

Z 1

�1

x

⇡(1 + x2)dx =

Z

0

�1

x

⇡(1 + x2)dx+

Z 1

0

x

⇡(1 + x2)dx.

et commeZ 1

0

x

⇡(1 + x2)dx =

1

2⇡ln�

1 + x2

�

|10

= 1,

diverge, on en deduit que X n’admet pas d’esperance mathematique.

Corrige 54 a) On calcule

�(↵) =

Z 1

0

e�yy↵�1dx = �e�yy↵�1|10

+ (↵� 1)�(↵� 1) = (↵� 1)�(↵� 1) (↵ > 1).

Puisque� (1) = 1, on en deduit que, pour n un nombre entier � 1,�( n) = (n� 1)! .

b) On a

E(X) =�↵

�(↵)

Z 1

0

x↵e��xdx =�↵

�(↵)

Z 1

0

y↵

�↵

e�y1

�dy =

�(↵+ 1)

��(↵)=

↵

�.

Corrige 55 Soit P l’evenement “la piece achete est pirate”. On a alors

⇡(t) = P (P|T > t) =P (T > t|P)P (P)

P (T > t)

=1

4

e�5t

1

4

e�5t + 3

4

e�2t

=1

1 + 3e3t

On en deduit quelimt!1

⇡(t) = limt!1

P (P|T > t) = 0.

Corrige 56 La fonction generatrice des moments est definie par MX

(t) = E(etX). Ainsi

E(Y ) = E(eX) = MX

(1) = exp(1/2),

E(Y 2) = E(e2X) = MX

(2) = exp(2),

V ar(Y ) = E(Y 2)� (E(Y ))2 = exp(2)� exp(1).

Corrige 57 a) X et Y etant des durees de vie, on utilise la loi exponentielle. D’apres l’enonce, X suitune loi exponentielle de parametre 1 et Y une loi exponentielle de parametre 2.

b) On a

fX

(t) =

⇢

e�t si t � 00 sinon

et fY

(t) =

⇢

2e�2t si t � 00 sinon

donc

FX

(t) =

Z

t

�1fX

(x)dx =

⇢

1� e�t si t � 00 sinon

et FY

(t) =

⇢

1� e�2t si t � 00 sinon

36

c) FT

(x) = P (T x) = P ([X x] \ [Y x]). X et Y etant independantes, on a

FT

(x) = P (X x)P (Y x) = FX

(x)FY

(x)

=

⇢

(1� e�x)(1� e�2x) = 1� e�x � e�2x + e�3x si x � 00 sinon

d) FS

(x) = P (S x) = P ([X x][[Y x]) = 1�P ([X > x]\[Y > x]). X et Y etant independantes,on a

FS

(x) = 1� P ([X > x])P ([Y > x]) = 1� (1� FX

(x))(1� FY

(x))

=

⇢

1� e�xe�2x = 1� e�3x si x � 00 sinon

e) On cherche P (X > x|S x). On a

P (X > x|S x) =P (X > x \ S x)

P (S x)=

P (X > x \ Y x)

P (S x)

=(1� F

X

(x))FY

(x)

FS

(x)=

e�x(1� e�2x)

1� e�3x

f) On cherche P (T > t|X x). On a

P (T > t|X x) =P (T > t \X x)

P (X > x)=

P (Y > t \X x)

P (X x)

=(1� F

Y

(t))FX

(x)

FX

(x)= 1� F

Y

(t) = e�2t.

Corrige 58 Tout d’abord remarquons que

P (min(X1

, . . . , Xn

) � t) = P (X1

� t, . . . , Xn

� t) = P (X1

� t)n

Mais P (X1

� t) = e�t�. D’ouP (min(X

1

, . . . , Xn

) � t) = e�tn�,

et donc la fonction de repartition de min(X1

, . . . , Xn

) est

P (min(X1

, . . . , Xn

) t) = 1� e�tn�.

On en deduit que min(X1

, . . . , Xn

) est une variable aleatoire exponentielle de parametre �n.

Corrige 59 On regarde pour y 2 R

P (Y y) =

Z

y

�1fY

(z)dz.

Du fait que la fonction logarithme soit inversible (elle est strictemement croissante), on peut ecrire

P (Y y) = P (logX y) = P{X exp(y)} =

Z

exp(y)

0

exp(�x)dx.

On fait le changement de variable z = log x et on obtient

P (Y y) =

Z

y

�1exp(z) exp{� exp(z)}dz =

Z

y

�1exp{z � exp(z)}dz,

d’oufY

(z) = exp{z � exp(z)}.

Corrige 60 Tout d’abord nous calculerons la loi de Y . C’est-a-dire,

P (Y � x) = P (X � lnx) =1p2⇡

Z 1

ln x

e�y

2

2 dy

=1p2⇡

Z 1

x

e�(ln y

0)22

1

y0dy0

ou dans la derniere egalite on a fait le changement de variable y ! ln y0. On en deduit que la densite dela loi de Y est

f(y) =

(

1p2⇡

e�(ln y)2

21

y

si y � 0

0 si y < 0

37

Corrige 61 a) Soit fX

la densite de X et fY

la densite de Y . Remarquons que

fY

(y) =

Z 1

0

f(x, y)dx =xe�x(1+y)

�(1 + y)

�

�

�

�

1

0

+e�x(1+y)

�(1 + y)2

�

�

�

�

1

0

=1

(1 + y)2

On en deduit que Y a une loi donnee par P (Y < a) = a

1+a

. D’autre part,

fX

(x) =

Z 1

0

f(x, y)dy = e�x

On en deduit que X est une variable aleatoire exponentielle de parametre 1. X et Y ne sont pasindependantes parce que f(x, y) 6= f

X

(x)fY

(y).

b) Soit fX

la densite de X et fY

la densite de Y . Remarquons que

fX

(x) =

Z

1�x

0

f(x, y)dy = 60x

Z

1�x

0

y2dy = 20x(1� x)3

D’autre part,

fY

(y) =

Z

1�y

0

f(x, y)dx = 60y2Z

1�y

0

xdx = 30y2(1� y)2

X et Y ne sont pas independantes parce que f(x, y) 6= fX

(x)fY

(y).

Corrige 62 On a pour tout reel z :

FZ

(z) = FX

(z)FY

(z),

F˜

Z

(z) = 1� (1� FX

(z))(1� FY

(z)) = FX

(z) + FY

(z)� FX

(z)FY

(z).

Puis

fZ

(z) = fX

(z)FY

(z) + FX

(z)fY

(z),

f˜

Z

(z) = fX

(z)(1� FY

(z)) + fY

(z)(1� FX

(z)).

Corrige 63 a) On a

8t � 0, P{Z t} = �1

�2

Z

t

0

e��1u{Z

t�u

0

e��2vdv}du

= �1

Z

t

0

e��1u(1� e��2(t�u))du

= (1� e��1t)� �1

e��2t

Z

t

0

e(�2��1)udu

=

⇢

(1� e��1t) + �1�1��2

(e��1t � e��2t) si �1

6= �2

1� (1 + �t)e��t si �1

= �2

= �

b) Rappelons que :

8t 2 R, MZ

(t) = E[etZ ] = E[etXetY ] = E[etX ]E[etY ] (par ind.) .

Dans le cas d’une variable exponentielle :

8 t < �1

, MX

(t) =

Z

+1

0

�1

e��1uetudu =�1

�1

� t,

d’ou :

8 t < min(�1

,�2

), MZ

(t) =�1

�1

� t

�2

�2

� t.

c) On deduit du b) que si �1

= �2

, Z est une variable Gamma de parametres ↵ = 2 et �.

38

Corrige 64 a) On a

f(x) =

Z

p1�x2

�p1�x2

1

⇡dy =

2

⇡

p

1� x2,

pour �1 x 1. De meme

g(y) =2

⇡

p

1� y2,

pour �1 y 1. X et Y ne sont pas independantes car h(x, y) 6= f(x)g(y).

b) Cov(X,Y ) = 0 par symetrie.

Corrige 65 L’ensemble des valeurs possibles prises par X1

est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L’enumeration desdi↵erents cas possibles donne :

P (X1

= 1) = 1/36 P (X1

= 2) = 1/12

P (X1

= 3) = 5/36 P (X1

= 4) = 7/36

P (X1

= 5) = 9/36 P (X1

= 6) = 11/36

De meme, pour X2

,

P (X2

= 1) = 11/36 P (X2

= 2) = 9/36

P (X2

= 3) = 7/36 P (X2

= 4) = 5/36

P (X2

= 5) = 3/36 P (X2

= 6) = 1/36

On obtient les graphes suivants :

1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

P(x

)

Fonction de masse de X1

1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

P(x

)

Fonction de masse de X2

Corrige 66 a) On verifie que la somme de lignes vaut 1.

b) FX1(0) = 0.5, F

X1(1) = 0.7, FX1(2) = 0.9, F

X1(3) = 1.FX2(0) = 0.7, F

X1(1) = 0.9, FX1(3) = 1.

!1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

Fonction de repartition de X1

!1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

Fonction de repartition de X2

c) P (Y = 0) = P (X1

= 0)P (X2

= 0) = 0.35.P (Y = 1) = P (X

1

= 0)P (X2

= 1) + P (X1

= 1)P (X2

= 0) = 0.24.

39

P (Y = 2) = 0.23 P (Y = 3) = 0.13.P (Y = 4) = 0.04.P (Y = 5) = 0.01.On verifie : 0.35 + 0.24 + 0.23 + 0.13 + 0.04 + 0.01 = 1.

d) FY

(0) = 0.35, FY

(1) = 0.59, FY

(2) = 0.82, FY

(3) = 0.95, FY

(4) = 0.99, FY

(5) = 1.

!1 0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

F(y

)

Fonction de repartition de Y

Corrige 67 La variance se decompose var(3X � 2Y + 1) = 9var(X) � 12cov(X,Y ) + 4var(Y ). On acov(X,Y ) = corr(X,Y )

p

var(X)var(Y ) = 2. D’ou var(3X�2Y +1) = 48. Par bilinearite de la covariance,cov(X+2Y,X�Y ) = var(X)+cov(X,Y )�2var(Y ) = �12. Par linearite de l’esperance, E(3X�2Y +Z) =0 () E(Z) = 2E(Y )� 3E(X). D’ou E(Z) = 1.

Corrige 68 var(X1

�X2

) = var(X1

) + var(X2

) = 2n⇡(1� ⇡) et on en deduit var(S) = n2⇡(1� ⇡).

Corrige 69 a) Par linearite de l’esperance, E(5X � 3Y + 9) = 5E(X)� 3E(Y ) + 9 = 7.

b) On a que cov(X + Y ) = var(X) + var(Y ) + 2cov(X,Y ) et que cov(X � Y ) = var(X) + var(Y ) �2cov(X,Y ). De la on tire le systeme d’equations :

(

cov(X,Y ) = 96� 2var(X)

cov(X,Y ) = 64 + 2var(X),

d’ou l’on deduit var(X) = var(Y ) = 40 et cov(X,Y ) = 16. La correlation est alors donnee par16p

40⇥40 = 0.4.

Corrige 70 a) X1

et X2

sont distribuees selon une loi binomiale de parametres (n, 1/6). En e↵et, laloi binomiale est une somme de lois Bernoulli, qui representent chacune la probabilite d’un succes oud’un echec.

b) On a var(X1

) = var(X2

) = n⇥ 1

6

⇥ (1� 1

6

) = n⇥ 5

36

.

c) La variable U represente le nombre total de 1 et de 2 obtenus pendant n lances. Elle est Bin(n, 1/3),donc sa variance vaut n⇥ 2

9

. On a que cov(X1

, X2

) = � 1

2

[var(X1

) + var(X2

)� var(X1

+X2

)] = � n

36

.D’ou corr(X

1

, X2

) = � n

36

/ 5n

36

= � 1

5

.

d) On a var(V ) = var(X1

) + var(X2

) � 2cov(X1

, X2

) = 12n

36

. En outre, corr(U, V ) = cov(U,V )pvar(U)var(V )

, ou

cov(U, V ) = var(X1

) + var(X2

). Ainsi, corr(U, V ) = 10n

4

p6

.

Corrige 71 On utilise

fZ

(z) =

Z 1

�1fX

(x)fY

(z � x)dx

avec ici fX

(x) = fY

(y) = 1 si 0 x 1 et nulle sinon. On a donc

fX

(x)fY

(z � x) = 1 si 0 x 1 et z � 1 x z, 0 sinon.

Il y a plusieurs cas a considerer :– Si z > 2 ou z < 0, alors {0 x 1} \ {z � 1 x z} est vide et f

Z

(z) = 0.– Si 0 z 1, alors {0 x 1} \ {z � 1 x z} = {0 x z} et f

Z

(z) = z.– Si 1 z 2, alors {0 x 1}\ {z� 1 x z} = {z� 1 x 1} et f

Z

(z) = 1� (z� 1) = 2� z.On retrouve bien la densite voulue.

40

Corrige 72 Enumerant les evenements possibles, on observe que P(Z = 1) = P(Z = 7) = 1/12 et queP(Z = 2) = · · · = P(Z = 6) = 1/6. E(Z | X = x) = 3.5 + x. On calcule d’abord var(Z | X = 0) = E(Z2 |X = 0)�E(Z | X = 0)2 = 1/6(62 + · · ·+ 12)� 3.52 = 35/12, par ailleurs var(Z | X = 1) correspond a lameme loi, transposee d’une unite. Ainsi, var(Z | X = x) = 35/12 ne depend pas de x. Le theoreme 167 estverifie, puisque E(Z) = 1⇥ 1

12

+2⇥ 1

6

+ . . .+6⇥ 1

6

+7⇥ 1

12

= 4 et Ex

{E(Z | X = x)} = 1

2

⇥(3.5+4.5) = 4.

Corrige 73 Si z = 0, P(Z = z) = P(X = 0)P(Y = 0) = (1 � p)p. Pour z � 1, P(Z = z) = P(X =0)P(Y = z) + P(X = 1)P(Y = z � 1) = p(1 � p)z�1(1 � p + p2). On a E(Z | X = x) = E(Y ) + x et dememe E(Z | Y = y) = E(X) + y, avec E(X) = p(1� p) et E(Y ) = (1� p)/p.

Corrige 74 On note A, B, C les variables aleatoires des temps de calcul pour chacune des trois sectionsdu programme.

a) On a cov(A,C) = corr(A,C)�A

�C

= 0.2⇥ 2.5⇥ 1.3 = 0.65.

b) On aE(T ) = E(A+B + C) = E(A) + E(B) + E(C) = 5.5 + 3.4 + 4.5 = 13.4,

et

var(T ) = var(A+B + C)

= var(A+ C) + var(B)

= var(A) + var(C) + 2cov(A,C) + var(B)

= 2.52 + 1.32 + 2⇥ 0.65 + 2.62

= 16.

c) Le temps de calcul de la section B est la somme de 100 temps de calculs identiquement distribues etindependants. D’apres le theoreme central limite, la distribution de B est approximativement normale.Ses parametres sont ceux obtenus empiriquement, B ' N (3.4, 6.76).

d) La loi de T est approximativement normale comme somme de lois normales avec T ' N (13.4, 16). Ona alors

Pr(T 10) = Pr

✓

T � 13.4p16

10� 13.4p16

◆

= � (�0.85) ⇡ 0.20,

et

Pr(T � 20) = Pr

✓

T � 13.4p16

� 20� 13.4p16

◆

= 1� �(1.65) ⇡ 0.05.

Corrige 75 a) Comme X est une variable aleatoire positive, par l’inegalite de Markov, :

P{X > 85} E(X

85) =

75

85' 0, 88.

b) La connaissance du 2ieme moment deX permet d’ameliorer la majoration precedente, par l’inegalitede Chebyshov :

P{X > 85} = P{X2 > 852} 1

852E(X2) =

�2 + E(X)2

852=

25 + 752

852' 0, 78.

On a aussi :

P{65 X 85} = P{|X � E(X)| 10} = 1� P{|X � E(X)| > 10} � 1� �2

102= 3/4.

c) Puisque les notes de chacun des n etudiants sont des variables independantes, leur moyennearithmetique

Xn

=1

n

n

X

k=1

Xk

est encore d’esperance 75, et sa variance vaut 1

n

2 (n.25) = 25/n. On a ensuite :

P{|Xn

� E(Xn

)| 5} = 1� P{|Xn

� E(Xn

)| > 5} � 1� 25/n

25=

n� 1

n,

avec 10 etudiants notre probabilite vaut au moins 0, 9 .

41

d) Voyons s’il est pertinent d’utiliser le T.C.L. Si celui-ci s’applique, on a :

P{|Xn

� E(Xn

)| 5} 'Z

5

�5= P (�5 Z

n

5) = P (�5

p

25/n Z 5

p

25/n)

(ou Zn

est normale centree de variance 25/n et Z normale centree reduite). Le nombre minimumd’etudiants obtenu est cette fois n = 3 , un resultat franchement di↵erent ! Avec n = 10, on est ene↵et pas dans ls cas asymptotique et le TCL ne s’applique donc pas.

Corrige 76 a) ↵ = 2

✓

2 .

b) Par definition FM

n

(x) = P (max1in Xi

x). Alors,

FM

n

(x) =

✓

Z

x

0

↵ydy

◆

n

= ↵n

✓

x2

2

◆

n

=⇣x

✓

⌘

2n

D’autre part fM

n

(x) = dF

M

n

(x)

dx

. Alors,

fM

n

(x) =2n

✓2nx2n�1

et

µ1

= E(Mn

) =

Z

✓

0

x2n

✓2nx2n�1dx =

2n

✓2n✓2n+1

2n+ 1=

2n

2n+ 1✓

µ2

= E(M2

n

) =

Z

✓

0

x2

2n

✓2nx2n�1dx =

2n

✓2n✓2n+2

2n+ 2=

n

n+ 1✓2

c) Il faut montrer que pour tout ✏ > 0 on a ; limn!1 P (|M

n

� ✓| � ✏) = 0. Mais, par l’inegalite deChebyschov,

P (|Mn

� ✓| � ✏) 1

✏2E((M

n

� ✓)2)

=1

✏2E(M2

n

� 2Mn

✓ + ✓2)

=✓2

✏2

✓

n

n+ 1� 4n

2n+ 1+ 1

◆

=✓2

✏21

(2n+ 1)(n+ 1)

d’ou le resultat.

Corrige 77 Soient X1

, X2

, . . . , X50

les nombres consideres, A1

, . . . , A50

leurs arrondies et U1

, U2

, . . . , U50

les variables d’erreur correspondantes. On a donc Xk

= Ak

+ Uk

. La somme obtenue en arrondissant estP

50

k=1

Ak

et la somme exacte estP

50

i=k

Xk

, donc l’erreur sur la somme est

50

X

k=1

Xk

�50

X

k=1

Ak

=50

X

k=1

Uk

.

La variableP

50

k=1

Uk

est centree (son esperance est nulle), de variance 50⇥ 1/12 (par independance). Ona donc, par application du T.C.L :

P{|50

X

k=1

Uk

| > 3} ' P (|Z| > 3p

50/12) = 2⇥ P (Z >

3p

50/12) ' 0, 144.

(ou Z est normale centree reduite)

Corrige 78 Soit T la variable aleatoire de duree de vie du systeme ; T suit approximativement une loinormale d’esperance 100 ⇥ 5 = 500 et de variance �2 = 100 ⇥ 25 = 2500 (d’apres l’independance desvariables de duree de vie de chaque ampoule). On a donc :

P{T > 525} ' P (Z >525� 500p

2500) ' 0, 31.

(ou Z est normale centree reduite)

42

Corrige 79 Dans notre probleme, une premiere ampoule de duree de vie X1

est placee puis, lorsquecelle-ci est en fin de vie, on la change par une autre ampoule de duree de vie X

2

, etc.On s’interesse a la somme des durees de vie de ces ampoules. Puisqu’on s’interesse a la somme, l’ordre

des Xi

importe peu.Appelons X

A

la somme des durees de vie des ampoules de type A. Puisque 40 � 30 et que l’on peutestimer que la duree de vie d’une ampoule est independante d’une autre, on peut appliquer le theoremecentral limite qui nous dit que la somme X

A

obeit approximativement a une loi normale de moyenneµA

= 40

�

A

= 4000 [heures] et de variance �2

A

= 40

�

2A

= 400000 [heures2].

De meme, si l’on appele XB

la somme des durees de vie des ampoules de type B, on obtient graceau TCL (et a l’independance des durees de vie) que X

B

obeit approximativement a une loi normale demoyenne µ

B

= 60

�

B

= 3000[heures] et de variance �2

B

= 60

�

2B

= 150000 [heures2].

On s’interesse ici a la somme des durees de vie de toutes les ampoules qui est X = XA

+XB

. Grace al’additivite de la loi normale et a l’independance des durees de vie, X est approximativement une variablenormale de moyenne µ = µ

A

+ µB

= 7000 et de variance �2 = �2

A

+ �2

B

= 550000. Ayant obtenu la loi deX on peut maintenant calculer notre probabilite

P (X � 6500) = 1� P (X 6500) = 1� �

✓

6500� 7000p550000

◆

= 1� �(�0.67) = 0.75.

Corrige 80 Le nombre de six obtenus lors de 120 jets suit une loi binomiale de parametres n = 120et p = 1/6. Cette variable aleatoire a pour moyenne np = 120 · 1/6 = 20 et variance np(1 � p) =120 · 1/6 · 5/6 ' 16, 7. Par le TCL, on approxime le nombre de six obtenus lors de 120 jets par unevariable aleatoire X normale de moyenne µ = 20 et de variance �2 = 16, 7. La probabilite d’avoir moinsde 16 fois le nombre six est alors donne par

P (X < 15, 5) = P (Z <15, 5� µ

�) = P (Z < 1, 1) ' 0, 135,

ou Z est une variable aleatoire normale centree reduite.

Corrige 81 Soit X le nombre de faces obtenus. X est egal a la somme de 500 variables aleatoiresindependentes de Bernoulli de parametre 1/2. X est donc une v.a. binomiale de parametres n = 500 etp = 1/2. Son esperance et sa variance valent donc µ := E(X) = np = 500 · 1

2

= 250 et �2 := V ar(X) =np(1� p) = 500 · 1

2

· 1

2

= 125. Par application du TCL, on a ensuite

P (250� 10 X 250 + 10) = P (240 X 260)

' P

✓

240� µ

� Z 260� µ

�

◆

= P (�0, 894 Z 0, 894) = 2 · P (0 Z 0, 894) = 2 · 0, 314 = 0, 628,

ou Z est une variable gaussienne centree reduite

Corrige 82 a) Puisque que Y = lnX on a

E(Y ) =

Z

1

0

lnx dx = x lnx� x|10

= �1,

et

var(Y ) = E�

Y 2

�

� (E(Y ))2 =

Z

1

0

(lnx)2dx

�

� 1 = x(lnx)2 � 2x lnx+ 2x|10

� 1 = 1.

b) On observe que la fonction ln est strictement croissante et donc

P�

Z < 10�40�

= P (lnZ < �40 ln 10) ,

et que, si on pose Yi

= lnXi

, on obtient

lnZ =100

X

i=1

Yi

,

c’est–a–dire lnZ est la somme de 100 variable independentes avec la meme distribution (et on a calculeen (a) l’esperance et la variance de Y

i

). On va donc utiliser le TCL et remplacer lnZ par la variable Wde loi N (�100, 100) . Finalement on obtient

P�

Z < 10�40�

' P (W < �40 ln 10) = P

W � E(W )p

var(W )<

�40 ln 10 + 100

10

!

' �(0.790) ' 0.78.

43

Corrige 83 La mediane est une mesure de localisation au meme titre que la moyenne (confondues dansle cas gaussien par exemple). La mediane est tres peu influencee par une perturbation importante d’uneobservation, et donc peu sensible a la presence d’ouliers, au contraire de la moyenne par exemple.

Corrige 84 La correlation empirique est definie comme

1

n� 1

P

n

i=1

(xi

� x)(yi

� y)p

P

n

i=1

(xi

� x)2P

n

i=1

(yi

� y)2,

ou x et y sont les moyennes empiriques de x1

, . . . , xn

et de y1

, . . . , yn

respectivement.

Corrige 85 Toutes les observations sont egales.

Corrige 86 La correlation empirique mesure l’association (lineaire) des variables X et Y et est toujourscomprise entre �1 et 1. On peut donner comme contre-exemple a d) les observations (x

1

, y1

) = (1,�1)et (x

2

, y2

) = (1, 1), pour lesquelles la correlation est nulle.

Corrige 87 La covariance empirique mesure l’association des variables X et Y mais n’est pas bornee.On peut donner comme contre-exemple a c) les observations (x

1

, y1

) = (1,�1) et (x2

, y2

) = (1, 1), pourlesquelles la covariance est nulle. Contrairement a la correlation, la covariance n’est pas standardisee etdepend des unites de X et Y .

Corrige 88 a) La moyenne empirique vaut 150.3 grammes et l’ecart-type empirique 33.2 grammes.Supposant le poids des pommes normalement distribue, alors les bornes d’un intervalle de confiance a90% se calculent comme suit : 150.3±0.9⇥33.2, autrement dit un intervalle de confiance [120.4, 180.1].

b) Un intervalle de confiance a 90% pour la moyenne recouvre en moyenne (si on cueille plusieurs autresechantillons de pommes) 9 fois sur 10 la ⌧ vraie � moyenne.

Corrige 89 On estime la proportion de la population qui a donne une mauvaise reponse a 12/120 =0.1. On pose X comme la variable aleatoire representant le nombre de bonnes reponses, c’est-a-direX ⇠ Bin(120, 0.1). On applique le theoreme central limite pour deduire un intervalle de confiance, ici

[0.1± 1.96⇥ 0.1⇥(1�0.1)120

] = [0.099, 0.102].

Corrige 90 a) On a x = 9 et s2 = 6.25.

b) Si X est la variable aleatoire pour le temps de conversation, on cherche P(X � 10). On supposeX ⇠ N (x, s2), et ecrivant X = X� ¯

X

s

, la probabilite recherchee est P(X � 0.4) = 1� �(0.4) = 0.345.

c) On utilise le test du rapport de vraisemblances �2{`0

(8) � `a

(x)} = �2(�21.24 + 20.52) = 1.44. Lequantile a 95% de la loi �2

1

etant 3.84, on ne peut rejeter l’hypothese nulle au niveau 5%.

Corrige 91 a) Avec n mesures, l’intervalle de confiance a (1� ↵) = 90% pour m est :

[Xn

� �pnz1�↵/2;Xn

+�pnz1�↵/2]

(Xn

etant la moyenne arithmetique des n mesures). L’IC a pour longueur 2(�/pn)z

1�↵/2. Pour diminuerde moitie la longueur de cet intervalle, il faut donc quadrupler le nombre de mesures e↵ectuees, autrementdit e↵ectuer 75 mesures supplementaires.

b) Soit ↵ = 0, 1 et ↵0 = 0, 05, Pour obtenir un intervalle de confiance a 95% pour m ayant la meme

longueur que l’IC a 90%, il faut donc un nombre n0 de mesures qui soit tel que :pn0 '

pn⇥z1�↵

0/2

z1�↵/2' 5, 958,

soit n0 = 35.5, donc 11 mesures supplementaires.

Corrige 92 a) On sait que :p6(m

X

�m1)

�

X

suit une loi de Student a 5 degres de liberte. On a ensuite :

P{mX

� a m1

mX

+ a} = P{|mX

�m1

| a}= P{m

1

� a mX

m1

+ a}

= P{�a

p6

�X

p6

�X

(mX

�m1

) a

p6

�X

}.

Cette probabilite vaut 0, 95 si : ap6

�

X

' 2, 57. Ici : �x

' 1, 673, on obtient donc : a ' 1, 756, puis

Ix

= [47, 44; 50, 96].

44

De meme,p12(m

Y

�m2)

�

Y

suit une loi de Student a 11 degres de liberte, la probabilite P{mY

� a0 m2

m

Y

+ a0} vaut donc 0, 95 pourp12

�

Y

.(a0) ' 2, 2, ainsi

Iy

= [47, 29; 49, 51].

b)p6( mX

�m1�1

) suit une loi normale centree reduite, et :

P{|mX

�m1

| a} = P{�a

p6

�1

p6(

mX

�m1

�1

) a

p6

�1

},

vaut 0, 95 pour ap6

�1' 1, 96, i.e. : a ' 1, 265. Le nouvel intervalle de confiance a 95% pour m

1

est donc

Jx

= [47, 935; 50, 465].

Pour le deuxieme echantillon, les calculs donnent : a0 ' 1,96

2

' 0, 98, et le nouvel intervalle de confiancea 95% pour m

2

est doncJy

= [47, 42; 49, 38].

c) (mX

� mY

) est encore normale, d’esperance (m1

�m2

) et de variance : �2

1

/6 + �2

2

/12 = 2/3,

I = [(49, 2� 48, 4)� 1, 64.p

2/3; (49, 2� 48, 4) + 1, 64.p

2/3] = [�0, 54; 2, 14]

fournit donc un intervalle de confiance a 90% pour la di↵erence (m1

�m2

).

Corrige 93 a) On a :

m =1

1000(9⇥ 2001 + 21⇥ 2003 + . . .+ 3⇥ 2023) ' 2010, 73,

S2 =1

999(9⇥ (2001� 2010, 73)2 + 21⇥ (2003� 2010, 73)2 + . . .+ 3⇥ (2023� 2010, 73)2) ' 12, 81.

b) Soit Z une variable N (0; 1). On a : P{Z > 1, 96} ' 0, 025, P{Z > 2, 58} ' 0, 005 . L’intervalle deconfiance a 95% pour la moyenne m est donc :

[m� 1, 96⇥ Sp1000

; m+1, 96⇥ Sp

1000] ' [2010, 51; 2010, 95].

L’intervalle de confiance a 99% pour la moyenne m est :

[m� 2, 58⇥ Sp1000

; m+2, 58⇥ Sp

1000] ' [2010, 44; 2011, 02].

Corrige 94 On note X la variable aleatoire egale au nombre de cafes bus annuellement par un employe.D’apres l’enonce,X est normal. Noons µ et �2 respectivement sa moyenne et variance, tous deux inconnus.A partir des quantite de cafes X

1

, . . . , Xn

bus annuellement par les n = 300 employes, on a trouve unemoyenne empirique X = 500 et une variance empirique S2 = 1002 des quantites de cafe bus annuellementpar un employe. Un intervalle de confiance a 95% de la moyenne annuelle µ est alors donne par :

[X � tn�1(1� ↵/2)S/

pn, X + t

n�1(1� ↵/2)S/pn],

ou n = 300 et tn�1(1� ↵) est le (1� ↵)-quantile de la loi de Student a (n� 1) degres de liberte (egal ici

a z1�↵ car n = 300 est grand), ↵ = 0.05. On trouve alors l’IC a 95% de µ :

[488.66, 508.79].

Note : Avec la table, on utilise tn�1(1 � ↵) = t1(1 � ↵) = z

1�↵ le (1 � ↵) quantile de la loi normalecentrale reduite et on obtient l’IC a 95% de µ :

[488.68, 511.32].

Un intervalle de confiance a 95% de la variance �2 de X est donne par :

[(n� 1)S2

�2

n�1(1� ↵/2),(n� 1)S2

�2

n�1(↵/2)],

ou �2

n�1(↵) est le ↵-quantile de la loi du �2 a (n� 1) degres de liberte. On obtient l’IC :

[8572.39, 11818.53].

45

Corrige 95 a) Puisque n = 1000 est asez large, on peut supposer que le salaire moyen suit une loinormale. Un intervalle de confiance au seuil 90% du salaire moyen est (avec ↵ = 0.1)

[X � z1�↵/2S/

pn, X + z

1�↵/2S/pn] = [47375, 48624].

b) Cela revient a tester l’hypothese H : ”le salaire moyen est gal a 50000 CHF”. D’apres la questionprecdente, on rejette cette hypothese au seuil 90%, donc on conclut que l’a�rmation n’est pas raisonnable.

Corrige 96 La vraisemblance vaut

L(✓) =n

Y

i=1

f✓

(yi

)

=

⇢

2�n✓ne�✓P

n

i=1 y

i✓2nQ

n

i=1

y2i

, ✓ >00, ✓ 0

puis :

8✓ > 0, L(✓) = Cte⇥ exp

(

�✓n

X

i=1

yi

+ 3n log ✓

)

,

✓ 7! 3n log ✓ � ✓P

n

i=1

yi

atteint son maximum en

✓ =3n

P

n

i=1

yi

,

qui est l’estimateur du maximum de vraisemblance de ✓.

Corrige 97 La vraisemblance est

L(✓) =m

Y

i=1

(e�✓✓zi

zi

!),

= e�2m✓

(2✓)z1+...+z

m

z1

! . . . zm

!, ✓ >0.

D’ou8✓ > 0, L(✓) = Cte⇥ exp {(z

1

+ . . .+ zm

) log 2✓ � 2m✓} .

L(.) atteint son maximum en

✓ =

P

m

i=1

zi

2m=

z

2,

qui est l’estimateur du maximum de vraisemblance de ✓.

Corrige 98 a) Soient x1

, . . . , x400

les donnees (� 0) de l’echantillon. Pour tout k > 0 :

L(k) =400

Y

i=1

fk

(xi

)

= k800(400

Y

i=1

xi

)e�kP

x

i

= Cte expn

800 log k � kX

xi

o

,

k 7! 800 log k � kP

xi

atteint son maximum en

k =800P

xi

=2

x= 1.

b) La log-vraisemblance vaut

`(k) = Cte+ 800 log k � kX

xi

,

46

d’ou

`0(k) = 800/k �X

xi

,

`00(k) = �800/k2.

L’information observee en k vaut donc J(k) = 800/k2 = 800. Un IC approximatif pour k au niveau(1� ↵) = 95% est

[k � J(k)�1/2z1�↵/2, k + J(k)�1/2z

1�↵/2] = [0.93, 1.07].

c) La proportion de familles economisant moins de 1000 maravedis est donc :

⇢ =

Z

1

0

xe�xdx = 1� 2

e' 26%.

Corrige 99 a) On a :

P{⇢ r} =

⇢

⇡r

2

⇡R

2 = ( r

R

)2, si 0 r R,1, si r > R.

La fonction de densite fR

de la variable ⇢ est donc nulle en dehors de l’intervalle [0;R] et telle que :

8r 2 [0;R], fR

(r) =2r

R2

.

b) Puisque les variables ⇢1

, . . . , ⇢n

sont independantes :

L(R) =n

Y

i=1

fR

(⇢i

).

On a donc

L(R) =

⇢

0 si 0 R < max1in ⇢i,

2n(Q

n

i=1

⇢i

)/R2n si R � max1in ⇢i

et la fonction de vraisemblance L(.) atteint son maximum en :

R = max1in

⇢i

.

Puisque P{(max1in ⇢i) r} = P (⇢

1

r)n = ( r

R

)2n, R a pour densite

fˆ

R

(r) =2n

R2n

r2n�1, r > 0,

et le bias de R vaut

E(R) =2n

R2n

Z

R

0

r ⇥ r2n�1dr =2n

2n+ 1R.

Un estimateur sans biais de R est donc

R =2n+ 1

2nmax1in

⇢i

.

Corrige 100 a) La densite de la loi uniforme U(0, b) est

f(x) =1

bpour 0 x b.

La vraisemblance est

L(b) =1

bnpour 0 X

1

, . . . , Xn

b

qui atteint son maximum lorsque b est le plus petit possible, i.e. lorsque b est egal a la plus grande desxi

. L’estimateur de maximum de vraisemblance de b est donc b = maxni=1

Xi

.

47

Corrige 101 a) En notant Ua

(resp. Ub

) : “X1

provient provient de la loi uniforme sur [0, a]”, on a

FX1(x) =

8

<

:

0 si x < 0P (X

1

x|Ua

)P (Ua

) + P (X1

x|Ub

)P (Ub

) si 0 x b1 si x > b

=

8

>

>

<

>

>

:

0 si x < 0px

a

+ (1� p)xb

si 0 x ap+ (1� p)x

b

si a x b1 si x > b

et la fonction de densite est

fX1(x) =

8

>

>

<

>

>

:

0 si x < 0p

a

+ (1�p)b

si 0 x a(1�p)

b

si a x b0 si x > b

b) Les variables etant supposees independantes, chacune des Xi

appartiendra a l’intervalle [0, a] avec

la probabilite FX1(a). Ainsi N

a

suit la loi binomiale de parametre n et p = p+ (1�p)ab

. Son esperance estnp et sa variance np(1� p).

c) La vraisemblance pour p est

L(p) =

✓

p

a+

1� p

b

◆

N

a

✓

1� p

b

◆

n�Na

et en derivant par rapport a p

@ logL(p)

@p= N

a

b� a

pb+ (1� p)a� (n�N

a

)1

1� p,

d’ou on tire

p =N

a

b� na

b� a.

Corrige 102 On a

E

⇢

(X � a+ b

2)2�

= E

(

(n

X

i=1

Xi

n� a+ b

2n)2)

=n

X

i=1

E

⇢

(X

i

n� a+ b

2n)2�

=(b� a)2

12n

(la variance d’une somme de variables independantes centrees vaut la somme de leurs variances et Xi

/n

est de loi uniforme sur [ an

, b

n

], donc de variance (b�a)212n

2 ).

Corrige 103 a) On a E(T ) = ✓/2 et V ar(T ) = ✓

2

12n

donc E(✓1

) = ✓ et V ar(✓1

) = ✓

2

3n

! 0.

b) P (Mn

< m) = P (T1

< m et T2

< m . . . et Tn

< m), donc

P (Mn

< m) =

8

<

:

(m/✓)n si m 2 [0, ✓]1 si m > ✓0 si m 0

Par integration, E(Mn

) = n✓

n+1

et E(M2

n

) = n✓

2

n+2

donc V ar(Mn

) = n✓

2

(n+2)(n+1)

2 .

c) On prend ✓2

= n+1

n

Mn

. On a E(✓2

) = ✓ et V ar(✓2

) = ✓

2

n(n+2)

! 0 quand n ! 1.

d) Puisque la variance de ✓2

est plus faible que la variance de ✓1

(donc risque quadratique plus faible),il est preferable d’utiliser ✓

2

.

e) Mn

et ✓2

convergent vers ✓ en probabilite car :

8✏ > 0, P{|Mn

� ✓| > ✏} = P{(✓ �Mn

) > ✏} = (✓ � ✏

✓)n �! 0

et

P{|✓2

� ✓| > ✏} = P{|Mn

� n

n+ 1✓| > n

n+ 1✏} = P{M

n

<n

n+ 1(✓� ✏)}+P{M

n

>n

n+ 1(✓+ ✏)} �! 0.

48

Corrige 104 a) La densite a posteriori s’ecrit

f(✓|t) = f(t|✓)f(✓)f(t)

/ f(t|✓)f(✓) = �✓e�✓(�+t) / ✓e�✓(�+t).

b) La vraisemblance a posteriori s’ecrit

L(✓) = f(✓|t1

, . . . , tn

) / f(t1

, . . . , tn

|✓)f(✓) = f(✓)n

Y

i=1

f(ti

|✓) = ✓ne�✓(�+P

n

i=1 t

i

)

qui est maximale lorsque

n✓n�1 � ✓n

�+n

X

i=1

ti

!

= 0

soit l’estimateur du maximum a posteriori

✓MAP

=n

�+P

n

i=1

Ti

Corrige 105 a) D’apres l’enonce, la loi a priori de p est

P (p = 0.05) = P (p = 0.1) = 0.5.

Pour p fixe, X suit une loi binomiale de parametres n = 20 et p :

P (X = k|p) = Ck

n

pk(1� p)n�k.

b) D’apres la formule des proabilites totales,

P (X = 3) = P (X = 3|p = 0.05)P (p = 0.05) + P (X = 3|p = 0.1)P (p = 0.1)

= 0.0596⇥ 0.5 + 0.1901⇥ 0.5 = 0.1249.

c) Parmi les 20 composants, 3 composants ont ete detectes comme defecteux. Les probabilites aposteriori de p = 0.05 et p = 0.1 sont, d’apres le theoreme de Bayes,

P (p = 0.05|X = 3) =P (X = 3|p = 0.05)P (p = 0.05)

P (X = 3)=

0.0596⇥ 0.5

0.1249= 0.2386

P (p = 0.1|X = 3) =P (X = 3|p = 0.1)P (p = 0.1)

P (X = 3)=

0.1901⇥ 0.5

0.1249= 0.7614

Il est a posteriori trois fois plus probable que 10% des composants soient defectueux, plutot que 5%.d) L’esperance a posteriori de p est

E(p|X = 3) = 0.05⇥ P (p = 0.05|X = 3) + 0.1⇥ P (p = 0.1|X = 3) = 0.0881.

La variance a posteriori de p est

V ar(p|X = 3) = E(p2|X = 3)� {E(p|X = 3)}2

= 0.052 ⇥ P (p = 0.05|X = 3) + 0.12 ⇥ P (p = 0.1|X = 3)� {E(p|X = 3)}2

= 0.0004

e) La moyenne a posteriori de p n’est ni en accord avec le chef de production (qui a�rme que p = 0.05),ni en accord avec l’inspecteur (qui estime que p = 0.1). Neanmoins, la valeur donnee par l’inspecteur estla plus proche de la moyenne a posteriori.

49