Probabilit´es et Statistique pour SIC

8/10/2019 Probabilites et Statistique pour SIC

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Probabilites et Statistique pour SIC

Exercices

Exercice 1 Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on creer avec 66 caracteres ?

Exercice 2 Dans un pays, les voitures ont des plaques dimmatriculation composees de deux lettres (leuralphabet a 26 caracteres) suivies de trois chiffres. Combien de plaques possibles y-a-t-il ?

Exercice 3 Un professeur dispose de 32 livres sur un rayon de sa bibliotheque. 23 dentre eux sont deslivres de mathematiques et 9 de physique. Le professeur aimerait ranger ses livres de facon que tous leslivres traitant du meme sujet restent groupes. Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

Exercice 4 4 Americains, 3 Suisses et 5 Anglais doivent sasseoir sur un meme banc. Les gens de memenationalite doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Exercice 5 On veut former un comite comprenant 4 des 23 personnes dun groupe. Combien y a-t-il deces comites ?

Exercice 6 Combien de mains de poker existe-t-il ? Le jeu comprend 52 cartes, une main en contient 5.

Exercice 7 Dans un groupe de 10 femmes et 8 hommes, on doit former un comite de 3 hommes et 3femmes. Combien de comites differents peut-on former si :

a) 2 des hommes refusent detre ensemble dans le comite ?b) 2 des femmes refusent detre ensemble dans le comite ?c) 1 homme et 1 femme refusent detre ensemble dans le comite ?

Exercice 8 Un laboratoire de recherche en psychologie du reve dispose de 4 chambres a deux lits. Troispaires de vrais jumeaux sont etudiees. On veut placer chaque paire dans une chambre et assigner a chacunun lit bien determine. De combien de manieres peut-on organiser lexperience ?

Exercice 9 Demontrer par le calcul que la construction du triangle de Pascal est correcte, cest-a-direque

Ckn =Ck1n1+ C

kn1

Exercice 10 n personnes dont A et B se mettent au hasard dans une rangee. Combien des manieresy-a-t-il davoir k personnes entre A etB ?

Exercice 11 Un de est jete jusqua ce quun 6 sorte, ce qui marque la fin de lexperience.a) Quel est lensemble fondamental pour cette experience ?

b) Notons par En levenement lexperience sarrete au neme jet. Quels points de lensemble fonda-mental sont contenus dans En? Decrire (

1 En)c

.

Exercice 12 On jette deux des. On note par E levenement la somme des des est impaire, par Flevenement au moins lun des des montre 1, et par G la somme des des est 5. Decrire

a) E F,b) E F,c)FG,d) E Fc,e)E FG.

Exercice 13 Trois joueurs, A,B etC, jettent une piece a tour de role :A joue dabord, puisB , puisC,puis A etc. Le premier qui obtient pile a gagne. Lensemble fondamental de cette experience peut etre

decrit comme suit :

S=

1, 01, 001, 0001, . . . ,0000

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a) Donner une interpretation des points deS.b) Decrire les evenements suivants en termes de ces points :

i) A gagne ;ii) B gagne ;iii) (A B)c.

Exercice 14 n personnes, dont A et B , se mettent au hasard dans une rangee.

a) Decrire lensemble fondamental associe a cette experience, et en donner le nombre delements.b) Quelle est la probabilite quil y aitk personnes entre A et B (0 k n 2) ?c) Verifier votre resultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles.

Exercice 15 Quelle est la probabilite de tirer au moins un 6 lorsquon jette un de quatre fois ?

Exercice 16 On repete n fois le lancer de deux des. Calculer la probabilite que le six apparaisse aumoins une fois. Quelle valeur donner a n pour que cette probabilite atteigne 1/2 ?

Exercice 17 Combien de personnes faut-il pour que la probabilite quau moins deux dentre elles aientleur anniversaire le meme mois soit au moins 1/2 ? Admettre que tous les mois sont equiprobables.

Exercice 18 Un recepteur se bloque si la duree entre les instants de reception de deux signaux est

inferieure au temp mort . On sait que les deux signaux atteignent le recepteur dans lintervalle de temps(0, t), et arrivent independamment lun de lautre et au hasard.

a) Decrire lensemble fondamental associe a cette experience stochastique.b) Quelle est la probabilite que le recepteur se bloque ?c) Simplifier votre resultat en admettant que t.

Exercice 19 a) On jete une piece n fois, n 2. On note Pn la probabilite que des piles successifsnapparaissent jamais lors des n jets. Montrer que

Pn =1

2Pn1+

1

4Pn2 n 4.

b) Montrer que limn Pn = 0.c) Soit Q

n la probabilite que la suite P F P P P F F P napparaisse jamais lors de n jets. Montrer que

limnQn = 0.Indication : La probabilite Qn que la suite P F P P P F F P napparaisse jamais lors de n jets est pluspetite que la probabiliteRn que la meme suite napparaisse jamais entre le jet numero 8iet le jet numero8(i + 1) 1 ou i est un entier plus petit ou egal an/8 8.

Exercice 20 On jette un de trois fois.a) Decrire lensemble fondamental de cette experience.b) Quelle est la probabilite que la somme des des soit superieure ou egale a 15 ?

Exercice 21 On jette deux pieces equilibrees. Quelle est la probabilite que lune des deux pieces tombesur pile ?

Exercice 22 En 1654 de Mere propose a Pascal le probleme suivant : Est-il plus probable dobtenir aumoins un 6 avec 4 des que dobtenir au moins un double 6 lors de 24 jets de deux des ?Donner la reponse a cette question.

Exercice 23 Soit S la somme des valeurs de trois des jetes simultanement. Il y a six configurationsdifferentes qui permettent dobtenir 9 ou 10 :pourS= 9 : (6,2,1), (5,3,1), (5,2,2), (4,4,1), (4,3,2) et (3,3,3),pourS= 10 : (6,3,1), (6,2,2), (5,4,1), (5,3,2), (4,4,2) et (4,3,3).Peut-on en conclure que

P(S= 9) = P(S= 10)?

Exercice 24 Dune urne contenant 20 boules numerotees de 1 a 20, on tire sans remplacement 3 desboules. Quelquun parie quau moins une des boules tirees portera un numero egal ou superieur a 17.

Quelle est la probabilite quil gagne ?

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Exercice 25 Une urne contient 25 boules, 15 sont rouges et 10 sont vertes. Cinq boules sont tirees auhasard, sans remise.

a) Trouver la probabilite que la premiere, la troisieme et la cinquieme boule soient rouges et que ladeuxieme et la quatrieme soient vertes.

b) Trouver la probabilite que la premiere, la deuxieme et la troisieme boule soient rouges et que laquatrieme et la cinquieme soient vertes.

c) Trouver la probabilite que la la deuxieme et la troisieme boule soient rouges et que la premiere, la

quatrieme et la cinquieme soient vertes.

Exercice 26 Meme exercice que le probleme 36 ! ! !

Exercice 27 On considere 3 cartes a jouer de meme forme. Cependant, les deux faces de la premierecarte ont ete colorees en noir, les deux faces de la deuxieme carte en rouge tandis que la troisieme porteune face noire et lautre rouge. On melange les trois cartes au fond dun chapeau, puis une carte tiree auhasard en est extraite et placee au sol. Si la face apparente est rouge, quelle est la probabilite que lautresoit noire ?

Exercice 28 Pour depister une maladie, on applique un test. Si le patient est effectivement atteint, letest donne un resultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le resultat du test soit positifalors que le consultant est en bonne sante, et ceci se produit dans 2% des cas. Sachant quen moyenne

un consultant sur 1000 est atteint de la maladie a depister, calculer la probabilite pour quun client soitatteint sachant que son test a ete positif. Que penser de ce resultat ?

Exercice 29 Les jours peuvent etre ensoleilles ou nuageux. Le temps du lendemain est le meme quecelui daujourdhui avec probabilite p, et different avec probabilite q, ou p+ q = 1. Sil est ensoleilleaujourdhui, montrez que la probabilitesn quil soit ensoleille le n

eme jour suivant satisfait

sn = (p q)sn1+ q; n 1

ou s0= 1. En deduire que

sn = 1

2(1 + (p q)n); n 0.

Exercice 30 Une unite de production comprend deux machines automatiques fonctionnant independammentlune de lautre. Chaque machine a la fiabilitep au cours dune journee, ce qui signifie que sa probabilitede tomber en panne pendant cette periode est egale a 1 p. Dans ce cas, elle sera reparee pendant lanuit et se retrouvera en etat de marche le lendemain. Une seule machine peut etre reparee a la fois.On note Xn = nombre de machines en panne au debut de la nieme journee, n = 1, 2, . . .. Calculer lesprobabilites conditionnelles P(Xn+1 = 0|Xn = 0), P(Xn+1 = 1|Xn = 0), P(Xn+1 = 0|Xn = 1) etP(Xn+1= 1|Xn = 1).

Exercice 31 Les pieces fabriquees par une usine sont soumises a un controle, mais le mecanisme decontrole nest pas entierement fiable. En effet, si une piece est bonne, elle est acceptee avec une probabilitede 0.9, par contre si elle est defectueuse, elle est refusee avec une probabilite de 0.8.

a) Si un lot comprend trois pieces bonnes et une piece defectueuse, quelle est la probabilite que cesquatre pieces soient acceptees lors du controle?

b) Quelle est la probabilite quil y ait une erreur lors du controle dune piece si lon sait quil y a en

moyenne 20% de pieces defectueuses dans la production ?c) Quelle est la probabilite quune piece acceptee par le controle soit defectueuse (si lon admet denouveau quil y a en moyenne 20% de pieces defectueuses dans la production) ?

Exercice 32 Un couple a deux enfants. Quelle est la probabilite que les deux soient des filles sachantque lanee en est une ?

Exercice 33 On jette deux des equilibres. Quelle est la probabilite quau moins lun dentre eux montre6, sachant que les deux resultats sont differents ?

Exercice 34 On choisit trois cartes au hasard et sans remise dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Calculerla probabilite que la premiere carte tiree soit un pique, sachant que les deux dernieres en sont.

Exercice 35 On admet que 5% des hommes et 0, 25% des femmes sont daltoniens. On selectionne une

personne daltonienne au hasard. Quelle est la probabilite quil sagisse dun homme ? On admettra que leshommes sont aussi nombreux que les femmes. Si au contraire il y en avait deux fois plus que de femmes,que deviendrait le resultat ?

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Exercice 36 La couleur des yeux dune personne est determinee par une unique paire de genes. Si lesdeux sont des genes yeux bleus, la personne aura les yeux bleus ; si les deux sont des genes yeux marrons,la personne aura les yeux marrons ; si lun est un gene oeil bleu et lautre un gene oeil marron, la personneaura les yeux marrons (car le gene oeil marron est dominant par rapport au gene oeil bleu). Un nouveau-nerecoit independamment un gene oeil de chacun de ses parents et le gene quil recoit dun de ses parents aautant de chances detre lun des deux genes oeil de ce parent. Supposons que Xavier et ses deux parentsont les yeux marrons, mais que la soeur de Xavier a les yeux bleus.

a) Quelle est la probabilite que Xavier ait un gene oeil bleu ?b) Si la femme de Xavier a les yeux bleus, quelle est la probabilite que leur premier enfant ait les yeux

bleus ?

Exercice 37 a) On tire au hasard n boules sans remise dune urne en contenant N de couleur blancheet Mde couleur noire. Donner la fonction de masse de la variable aleatoireXqui compte le nombre deboules blanches tirees. Demontrer que lesperance de X estN n/(M+ N).Indication: ecrire le nombre de boules blanches tirees comme la somme de Xi, 1 i N, ouXi est egala 1 si la i-eme boule blanche a ete tiree parmi les n boules, et 0 sinon.

b) Une urne contientN boules blanches etMnoires. On preleve des boules une a une jusqua ce quela premiere boule blanche apparaisse. Si on designe par Xle nombre de boules alors prelevees, quelle estlesperance deX?

Exercice 38 On jette simultanement deux des a six faces jusqua lobtention dune somme de 5 ou de 7.a) Le jeu sest arrete au jieme lancer. Quelle est la probabilite quon ait obtenu une somme de 5 au

jieme lancer ?b) Quelle est la probabilite de finir de jouer avec une somme de 5 ?c) Quel est le nombre moyens de jets jusqua larret du jeu ?

Exercice 39 On jette une piece n fois. Supposons que lors de chaque jet, la probabilite dobtenir pileestp, ou p [0, 1]. Les resultats sont supposes independants.

a) Donner la loi de probabilite de la variable Xqui compte le nombre de piles obtenus.b) Donner lesperance et la variance de X.

Exercice 40 a) Un parc contient L lions etTtigres. Un employe du parc est charge de silloner le parc.

Chaque fois quil voit un lion ou un tigre, il note sur un calepin le type danimal (lion ou tigre) quil a vu.Il sarrete une fois quil a note n animaux pour faire un rapport a son chef. Quelle est la loi du nombrede lions notes dans le rapport ? Donner la probabilite quek lions aient ete notes.

b) Dans un parc concurrent, une autre stategie est adoptee : chaque fois que lemploye (courageux !)voit un lion ou un tigre, il le capture. Apres avoir capture n animaux, lemploye fait un rapport a sonchef. Quelle est la loi du nombre de lions notes dans le rapport ? Donner la probabilite que k lions aientete captures.

Exercice 41 42800 mariages ont ete celebres en Suisse en 2010. En expliquant vos hypotheses et endonnant les lois de probabilites correspondantes, calculer la probabilite que pour exactement 2 de cescouples :

a) les deux epoux soient nes un 1er janvier,b) les deux epoux aient le meme jour danniversaire.

Exercice 42 Un assistant de mathematiques essaie desesperement de passer son permis de conduire. Onsuppose quil a une probabilite p (0, 1] de reussir son permis a chaque essai, et on note T le nombredessais necessaires pour quil reussisse son permis. Donner la fonction de masse deT, sa moyenne et savariance.

Exercice 43 La fonction de masse dune variable aleatoireXest donnee par

P(X=i) =ci

i!, i= 0, 1, 2, . . . ,

ou est un reel positif.a) Calculer c et reconnatre la loi de X

a) Calculer P(X= 0).b) Calculer P(X >2).c) Donner lesperance et la variance de X.

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Exercice 44 Soient X etZdeux variables a valeurs entieres 0. On suppose que :

a) Zest une variable de Poisson de parametre .

b) X Z et :n 0 , k n , P{X=k|Z=n}= Cknp

k(1p)(nk)

(autrement dit : la loi conditionnelle de X sachant que Z=n est binomiale de parametres n et p,pour un 0< p 1/2

sip 1/2

En donner une interpretation.

Exercice 47 Un livre de 350 pages contient 450 erreurs dimpression reparties au hasard. Calculer dedeux facons differentes la probabilite pour quil y ait au moins trois erreurs dans une page determinee.

Exercice 48 Montrer que si X et Y sont deux variables independantes suivant les lois de Poisson de

parametres respectifs 1 et 2 alors Z=X+ Y suit la loi de Poisson de parametre 1+ 2 :a) Par calcul direct de la fonction de masse.b) En utilisant la fonction generatrice des moments.

Exercice 49 On suppose que la taille, en centimetres, dun homme age de 25 ans est une variablealeatoire normale de parametres m = 175 et 2 = 36. Quelle est la pourcentage dhommes de 25 ansayant une taille superieure a 185 cm ? Parmi les hommes mesurant plus de 180 cm, quel pourcentagedentre eux depassent 192 cm ?

Exercice 50 Le nombre de kilometres couverts par une batterie de voiture avant defaillance est distribueexponentiellement et sa valeur moyenne est de 10000 kilometres. Une personne souhaite se lancer dans unvoyage de 5000 kilometres. Avec quelle probabilite terminera-t-elle son voyage sans avarie de batterie ?

Exercice 51 Pour fonctionner, un systeme utilise une cellule interchangeable. On dispose de la pieceoriginale et dune cellule de rechange. Si le systeme a une duree de vie aleatoire X et si sa densite estdonnee (en mois) par :

f(x) =

cxex/2 x >00 x 0

quelle est la probabilite que le systeme fonctionne pendant au moins 5 mois ?

Exercice 52 La vitesse dune molecule au sein dun gaz homogene en etat dequilibre est une variablealeatoire, dont la fonction de densite est donnee par

f(x) =

ax2ebx

2

x 00 x


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Exercice 53 SiXadmet la densite de probabilitefX(x) = 1

11+x2

, on dit queXest une variable aleatoirede Cauchy. Montrer que Xnadmet pas desperance mathematique.

Exercice 54 SoitXune variable aleatoire de loi gamma, de densite

f(x) =

()exx1 si x 0

0 si x 0, > 0 et ou( ) =R

0 eyy1dy est la fonction gamma.

a) En employant une integration par parties, montrer que() = (1)(1). Pouvez-vous trouverune expression pour( n) quand n est un nombre entier?

b) Montrer que lesperance de X est /.

Exercice 55 Les pieces dune voiture sont souvent copiees, et vendues comme des pieces originales. Onveut remplacer certaines pieces dune voiture. Avec probabilite 1/4 on achete une piece pirate, et avecprobabilite 3/4 on achete une piece originale. La duree de vie est une variable aleatoire exponentielle deparametre 5 pour une piece pirate, et de parametre 2 pour une piece originale. Appelons T la duree devie de la piece que lon achete. Supposons que la piece ait survecu jusquau tempst apres son installation.Quelle est la probabilite (t) que cette piece soit pirate ? Trouver la limite de (t) lorsquet .

Exercice 56 Soit X une variable normale centree reduite et Y = eX

(on dit que Y est une variablelognormale). Calculer la moyenne et la variance de Y .Indication : on donne la fonction generatrice des moments de X : MX(t) = exp(t2/2), t R.

Exercice 57 On dispose de deux composants electroniques dont les durees de vie (temps avant la panne),exprimees en annees, sont modelisees par des variables aleatoires XetY independantes. On suppose quela duree de vie moyenne du premier composant est un an, alors que le deuxieme composant a une dureede vie moyenne de 6 mois.

a) Donner les lois de X etY .b) Calculer leurs fonctions de repartitionFX etFY.On considere deux montages possibles pour ces composants : en serie ou en parallele. Le systeme

monte en serie tombe en panne des que lun des composants tombe en panne. Le systeme monte enparallele tombe en panne lorsque les deux composants sont tombes en panne. On note Sla duree de vie

du systeme en serie et T celle du systeme en parallele.c) Calculer la fonction de repartition FT de T.d) Calculer la fonction de repartition FS deS.e) Calculer la probabilite que le composant de duree de vieXfonctionne toujours a linstantx (x >0)

sachant que le systeme en serie est tombe en panne avant cet instant.f) Sachant que le composant de duree de vie X est tombe en panne avant linstant x, quelle est la

probabilite que le systeme en parallele fonctionne toujours a un instant t (avect > x) ?

Exercice 58 SoientX1, . . . , X n des variables aleatoires exponentielles independantes de parametre com-mun. Calculer la fonction de repartition de min(X1, . . . , X n) et reconnatre cette distribution.

Exercice 59 Si Xest une variable aleatoire exponentielle de parametre = 1, calculer la densite de lavariable aleatoire Y definie par Y = ln X.

Exercice 60 SoitXune variable aleatoire normale desperance nulle et de variance 1. Calculer la densitede la loi de Y =eX (on dit que Y est une variable lognormale).

Exercice 61 Soient X etY deux variables aleatoires avec une densite conjointe f(x, y). Calculer la loide Xet de Y dans les cas suivants et determiner dans chaque cas siX etY sont idependantes :

a) f(x, y) =xex(1+y) pour x, y 0, etf(x, y) = 0 sinon.b)f(x, y) = 60xy2 pourx, y 0 etx + y 1, et f(x, y) = 0 sinon.

Exercice 62 Donner une expression pour la fonction de repartition et pour la densite du maximumZpuis du minimum Z de deux variables aleatoires continues independantes X etY .

Exercice 63 SoitZ= X+ Y ou X etY sont des variables exponentielles independantes de parametres

1 et 2.a) Donner la fonction de repartition deZ.b) Calculer sa fonction generatrice des moments.

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c) La fonction generatrice des moments dune variable aleatoire G de loi gamma de parametres , est donnee par :

MG(t) = (

t), t


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Exercice 72 SoitZle total des points obtenus a pile ou face, avec 0 le gain pour pile et 1 pour face, eten lancant independamment un de equilibre, dont la face indique le nombre de points obtenus. Donnerla fonction de densite de Z et lesperance conditionnelle E(Z | X = x), ou X represente le resultat depile ou face. Calculer egalement la variance conditionnelle var(Z | X = x) et verifier que les resultatsconcordent avec le theoreme 167.

Exercice 73 Soit X et Y des variables aleatoires Bernoulli et geometrique independantes. Trouver la

fonction de densite de Z=X+ Y et calculer les esperances conditionnelles de Z sachant X=x et deZsachant Y =y.

Exercice 74 Un programme informatique est compose de trois sections : une section dinitialisation A,une section de calcul B composee de 100 cycles de calcul identiques et independants, et une section finaleC. On a enregistre les temps de calcul du programme pour chacune des trois sections. Le tableau suivantresume les temps de calcul obtenus.

Section Temps moyen (ms) Deviation standard (ms)Initialisation A 5.5 2.5Calcul B (compose de 100 cycles) 3.4 2.6Finalisation C 4.5 1.3

Tous les temps sont independants exceptes ceux des sections A et C dont la correlation vaut 0.2.a) Calculer cov(A, C).

b) Calculer la moyenne et la variance du temps dexecution total T du programme.

c) Les temps des sections A et C sont normalement distribues. Bien que le temps de calcul dun cyclede la section B ne soit pas normalement distribue, expliquer pourquoi la distribution du temps totalde la section B (qui comporte 100 cycles) peut etre approximee par une loi normale et preciser lesparametres de cette distribution.

d) Calculer la proportion des cas pour lesquels le programme prend

i) moins de 10 ms,

ii) plus de 20 ms.

Exercice 75 Un professeur sait par experience que la note de test dun etudiant se presentant a unexamen final est une variable aleatoire desperance 75.a) Donner une borne superieure a la probabilite que la note de test dun etudiant depasse 85.Supposons maintenant que le professeur sache en plus que la variance de la note de test dun etudiant

est 25.b) Que peut-on dire de la probabilite quun etudiant obtienne une note comprise entre 65 et 85 ?c) Combien faudrait-il quil se presente detudiants a cet examen pour assurer, avec une probabilite

dau moins 0,9, que la moyenne de la classe soit de 75 plus ou moins 5 ? Ne pas utiliser le theoreme centrallimite.

d) Utiliser le theoreme central limite pour resoudre la partie c).

Exercice 76 On considere n variables aleatoires reellesX1, X2, . . . , X n, independantes et identiquementdistribuees, ayant pour fonction de densite :

f(x) =

0 si x

( est un parametre reel > 0 ).a) Determiner la valeur de pour laquelle f est bien une fonction de densite.b) Donner la fonction de repartition FM

ndu maximum Mn des variables X1, X2, . . . , X n et calculer

ses deux premiers moments.c) Montrer queMn converge en probabilite vers .

Exercice 77 On arrondit 50 nombres a lentier le plus proche et on effectue la somme. Si les erreursdarrondi individuelles sont distribuees uniformement sur (0, 5, 0, 5), quelle est la probabilite que la

somme obtenue ait un ecart de plus de 3 par rapport a la somme exacte ?

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Exercice 78 On a 100 ampoules dont les durees de vie sont des variables aleatoires independantesexponentielles de moyenne 5 heures. Si lon allume une ampoule a la fois et que chaque ampoule grilleeest instantanement remplacee par une neuve, quelle est la probabilite quil reste encore au moins uneampoule intacte apres 525 heures ?

Exercice 79 Un local doit etre eclaire en permanence ; lorsque lampoule tombe en panne, elle estimmediatement remplacee par une nouvelle ampoule. Il en existe de deux qualites : une qualite A de

duree de vie (en heure) exponentielle de parametre A = 0.01 et une qualite B de duree de vie (enheures) exponentielle de parametre B = 0.02. On a stocke 40 ampoules de qualitesA et 60 de qualiteB .Quelle est la probabilite que cette reserve soit suffisante pour une illumination de 6500 heures du local ?

Exercice 80 Quelle est la probabilite quun de equilibre jete 120 fois produise moins de 16 fois le nombresix?

Exercice 81 Une piece est lancee 500 fois. Quelle est la probabilite pour que le nombre de faces differede 250 dau plus 10 ?

Exercice 82 SoitXune variable aleatoire distribuee uniformement dans lintervalle (0, 1), i.e. :Xprendses valeurs dans (0, 1) et P{< X


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Exercice 89 Lors dun test, on a demande a 120 personnes qui etait Jean-Jacques Rousseau, et 12dentre elles ont repondu quil etait plongeur. Estimer la proportion de la population qui a donne unemauvaise reponse. Obtenir un intervalle de confiance a 95% pour cette proportion. (Question subsidiaire :qui etait vraiment Jean-Jacques Rousseau ?)

Exercice 90 Une entreprise analyse la duree des conversations telephoniques de ses employes de bureau.Neuf conversations consecutives avaient pour duree, en minutes :

10.3, 9.4, 9.9, 7.5, 11.7, 3.4, 7.8, 11.0, 10.0.

a) Calculer la moyenne empirique x et la variance empirique s2 de ces observations. Quelles sont lesunites de x et de s2 ?

b) Si on ajuste une distribution normale a ces observations, quelle est la probabilite que quune conver-sation telephonique dure plus de 10 minutes ?

c) Tester au niveau 5% si la duree moyenne des conversations telephoniques egale huit minutes contreson alternative quelle ne dure pas huit minutes.

Exercice 91 On effectue 25 mesures dune constante physique m dans un laboratoire, en supposantque ces mesures suivent une loi normale N(m;2) de variance 2 connue. A lissue de ces 25 mesures,

lintervalle de confiance a 90% obtenu pour m est : [6, 04;6, 18]. Combien de mesures supplementairesdoit-on effectuer si lon veut :a) diminuer de moitie la longueur de lintervalle de confiance a 90% pour m ?b) obtenir un intervalle de confiance a 95% pour m ayant la meme longueur ?

Exercice 92 On observe les donnees x1, . . . , x6, distribuees selon la loi N(m1;21), et y1, . . . , y12 dis-tribuees selon la loiN(m2;22) (m1, m2,

21et

22sont inconnus, et les variables sont supposees independantes

dans leur ensemble). Pour le premier echantillon, les moyenne et variance empirique sont de : mx =16

P6k=1 xk = 49, 2 et

2x =

15

P6k=1(xkmx)

2 = 2, 8, tandis que pour le deuxieme echantillon on obtient :my = 48, 4 et

2y = 3, 04.

a) Construire des intervalles de confiance a 95% pour m1 et pourm2.b) On dispose a present de plus dinformation quau point a) : les variances21 et

22 sont maintenant

supposees connues, de valeurs respectives 2, 5 et 3. Donner de nouveaux intervalles de confiance a 95%

pourm1 etm2.c) En supposant toujours que 21 = 2, 5 et

22 = 3, donner la distribution de la difference (mX mY)

des moyennes empiriques de chaque echantillon, puis construire un intervalle de confiance a 90% pour(m1 m2).

Exercice 93 Les poids en grammes de 1000 pots de confiture sortis successivement dune machine aconditionner ont ete les suivants (les resultats sont donnes par classes de longueur 2, lorigine de la 1ereclasse etant 2000 et lextremite de la derniere 2024) :

classe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12nombre de pots 9 21 58 131 204 213 185 110 50 16 3 0

On admet que les poidsXdes pots sont independants de loi N(m;2).

a) Donner une estimation dem et 2.b) Donner des intervalles de confiance de niveau 95% et 99% pour m.

Exercice 94 Une etude effectuee sur 300 employes dune entreprise a revele que le nombre moyen, X,de cafes bus annuellement a la cafeteria de lentreprise par un employe suit une loi normale de moyenne500 et decart-type 100. Donner un intervalle de confiance a 95% de la moyenne et de la variance de X.

Exercice 95 Une entreprise souhaite recruter un ingenieur informaticien mais na pas encore decidequel salaire annuel proposer pour lembauche. Ne voulant pas proposer un salaire trop eloigne des salairesmoyens proposes dans les autres entreprises, le recruteur decide dinterroger 1000 ingenieurs sur leurssalaires annuels. Il ressort de lenquete que le salaire moyen des 1000 ingenieurs est de 48000 CHF avecun ecart-typ e de 12000 CHF.

a) Donner lintervalle de confiance au seuil 90% du salaire moyen.b) Est-il raisonnable de dire que grosso-modo le salaire moyen dun ingenieur est de 50000 CHF ?

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Exercice 96 On observe un echantillon y1, . . . , yn dune distribution Gamma(3, ) de densite

f(y) = 1

2ey(y)2 y >0.

Determiner les estimateurs du maximum de vraisemblance de .

Exercice 97 Donner lestimateur de vraisemblance dune distribution de Poisson (2) a partir dun

echantillon z1, . . . , zm.

Exercice 98 Dans la population des menages dun pays lointain on considere le montant des economiesmensuellesX(exprimees en milliers de maravedis) qui possede la distribution de densite

f(x) :=k2xekx1[0,+](x) x R,

ou le parametre k est inconnu. On preleve un echantillon de 400 menages et on a calcule la moyennex= 2.

a) Estimerk en utilisant la methode de maximum de vraisemblance.b) En donner un intervalle de confiance au seuil 95%.c) Quel est le pourcentage des familles qui economisent moins de 1000 maravedis par mois (on oublie

lerreur destimation dek) ?

Exercice 99 Considerons un disque D de centre O connu et de rayon R inconnu.a) On choisit un point x uniformement dans D . Ceci signifie que si A est un sous-ensemble de D de

surface s(A), alors : P{x A} = s(A)/(R2). Soit la distance de x a O. Pour r 0, que vaut laprobabiliteP{ r} ? En deduire la densite de la variable aleatoire .

b) On choisit maintenantn points independamment et uniformement dansD, en notant 1, 2, . . . ,nleurs distances au centre O. Donner lestimateur du maximum de vraisemblance de R comme fonction de1, 2, . . . ,n. Calculer le biais de cet estimateur et donner ensuite un estimateur sans biais de R.

Exercice 100 Soit X1, . . . , X n un echantillon aleatoire issu de la loi uniforme U(0, b). Trouver lestima-teur de maximum de vraisemblance de b.

Exercice 101 On considere un nechantillon X1, . . . , X n de loipU[0, a]+(1p)U[0, b], i.e. queXi suitla loi uniforme sur [0, a] avec la probabilite p et la loi uniforme sur [0, b] avec la probabilite 1 p. On

suppose a < bavec a et b fixes et connus.a) Determiner la fonction de repartition et la densite de X1.b) Considerons Na la variable aleatoire egale au nombre dindividus Xi compris entre 0 et a. Quelle

est la loi deNa? En deduire son esperance et sa variance.c) Determiner lestimateur de maximum de vraisemblance de p.

Exercice 102 On observe (X1, . . . , X n),n-echantillon de la loi uniforme sur [a, b], de moyenne theoriquea+b2 . Quelle est lerreur quadratique E{(X

a+b2 )

2}de la moyenne empirique ?

Exercice 103 On observe le temps dattente de n personnes a un feu rouge, temps notes t1, . . . , tn. Onfait lhypothese que les temps dattente sont independants et de meme loi uniforme U[0, ]. La dureedattente maximale a ce feu rouge est donc , parametre inconnu et strictement positif.

a) Monter que 1= 2T ouT = 1nP

Ni=1 Ti est un estimateur sans biais de et que sa variance converge

vers 0 quand n .b) Calculer la fonction de repartition et la densite de la variable aleatoire Mn = maxni=1 Ti. Calculer

son esperance et sa variance.c) En deduire un deuxieme estimateur sans biais 2de . Montrer que sa variance converge egalement

vers 0 quandn .d) Lequel des deux estimateurs 1 et 2 choisiriez-vous pour estimer ?e) Montrer queMn et 2 convergent en probabilite vers .

Exercice 104 La duree T separant deux arrivees successives de requetes a un serveur suit une loi expo-nentielle de parametre et de densite :

f(t|) =et pourt >0.

On suppose que le parametre est stochastique et suit une loi exponentielle de parametre connu, dedensite

g() =e

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La densite g() represente donc la densite a priori sur le parametre .a) Montrer que la densite a posteriori de est proportionnelle a e(t+).b) On observe un echantillon de n durees t1, . . . , tn. Determiner a partir des observations ti les esti-

mateurs du maximum a posteriori de .

Exercice 105 Une entreprise produit des composants electroniques. Le responsable de la chane deproduction affirme que seul 5% des composants produits sont defectueux. Un inspecteur de qualite af-

firme quant a lui que la proportion de composants defectueux est plus elevee et lestime a 10%. Afinde determiner lequel des deux est le plus pres de la realite, un echantillon de 20 composants est prelevealeatoirement et teste. Le test revele 3 composants defectueux.On se place dans un cadre bayesien. On note p la variable aleatoire egale a la probabilite quun compo-sant soit defectueux et X la variable aleatoire egale au nombre de composants defectueux parmi les 20composants. En labsence dinformation supplementaires, on suppose a priori que les taux de defaillancede 5% et 10% sont equiprobables.

a) Traduire lenonce en termes probabilistes sur p et X.b) Calculer la probabilite marginale que X= 3.c) Calculer la fonction de masse a posteriori de p et interpreter le resultat.d) Calculer la moyenne a posteriori de p et sa variance a posteriori.e) Conclure.

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Problemes

Probleme 1 Un mot de passe est consitue de six lettres, sans tenir compte de leur casse. Combien demots de passe existe-il? Combien de mots de passe ne contiennent que des lettres distinctes ?

Probleme 2 Pour constituer une equipe de football (11 joueurs), on a le choix entre 20 postulants. Ensupposant que chaque joueur est polyvalent (il peut jouer a tous les postes), combien peut-on constituerdequipes differentes ? Si parmi les 20 postulants, 17 sont joueurs de champ et 3 sont gardiens, combiendequipes distinctes peut-on alors constituer ?

Probleme 3 Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former a laide des six chiffres 2, 3, 5,

6, 7, 9 ? Combien de ces nombres sont :a) inferieurs a 500?b) impairs ?c) pairs ?d) multiples de 5 ?

Probleme 4 Six serveurs sont connectes par une ligne de communication. A chaque instant, un serveurdonne est soit pret a transmettre, soit deja occupe.

a) Combien detats du systeme forme des six serveurs y a-t-il ?b) Combien y a-t-il de possibilites que 3 serveurs exactement soient prets a transmettre a un instant

donne ?

Probleme 5 Combien de facons y-a-t-il de mettre 4 tours sur un echiquier de sorte quaucune tour nen

menace une autre?

Probleme 6 On souhaite souder 8 composants electroniques sur un circuit imprime, 4 composants dutype A et 4 composants du type B. Le circuit imprime ne dispose que de 8 places libres alignees. Combieny-a-t-il de facons de proceder si :

a) Il ny a pas dautres restrictions.b) Les composants A doivent rester ensemble et les composants B egalement.c) Seuls les composants A doivent rester ensemble.d) Les composants A et B doivent etre alternes.

Probleme 7 Raymond a oublie son mot de passe pour acceder a sa messagerie electronique. Il se souvientneanmoins que son mot de passe contientr occurrences de la lettre c, dont en derniere position. Lesautres symboles ne peuvent etre que a ou b. Combien de mots de passe de longueur n pourraient

etre celui de Raymond ?

Probleme 8 Afin de pouvoir mieux organiser les nombreux fichiers associes a un logiciel (fichiers dedonnees, de code, ...), on impose un nouveau systeme pour nommer ceux-ci. Dans un tel systeme, unnom de fichier se compose dun identificateur et dune extension relies par un point. Un identificateur defichier comporte de 1 a 5 caracteres dont le premier est une lettre, les caracteres suivants sont soit unelettre soit un chiffre. Une extension comporte de 1 a 3 caracteres, le premier est une lettre, les suivantsune lettre ou un chiffre. De facon a ne pas avoir des noms trop imprononcables, on nutilise que 20 lettresde A a T, toutes en minuscule.

a) Combien didentificateurs de fichiers peut-on avoir ?b) Combien de noms de fichier existe-t-il ?c) Les fichiers dont lextension commencent par la lettre d sont des fichiers de donnees. Combien

de possibilites y a-t-il pour nommer les fichiers de donnees ?

Probleme 9 Calculer le nombre de diagonales dun polygone a n 3 cotes. Existe-t-il un polygone oule nombre de cotes soit egal au nombre de diagonales ?

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Probleme 10 4 composants electroniques de type A, 3 composants de type B et 5 composants de typeCdoivent etre montes en serie. La seule contrainte au fonctionnement du systeme est que les composantsde meme type doivent rester groupes. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Probleme 11 Il faut repartir 14 ordinateurs dans deux bureaux de 7 personnes chacun. Combien y a-t-ilde repartitions possibles entre les deux bureaux

a) en supposant que la repartition au sein des bureaux a de limportance?

b) en supposant que la repartition au sein des bureaux est sans importance ?Probleme 12 Quatre bits sont transmis a travers un canal. On regarde a la reception letat de cesquatre bits, dans lordre de reception. Chaque bit est soit correctement recu, soit recu avec erreur detransmission. On noted un bit recu sans erreur et e un bit recu avec erreur.

a) Quel est lensemble fondamental pour cette experience aleatoire ?b) Lister les evenements tels que au plus un bit soit recu avec erreur.c) Denombrer les evenements tels que plus de la moitie des bits soient transmis avec erreur.

Probleme 13 Un controle de qualite est effectue chaque heure sur des cartes a puce. A chaque test,la carte a puce testee est classee selon son bon ou mauvais fonctionnement. Le controle sarrete lorsquedeux cartes a puce consecutives sont defectueuses, ou lorsque quatre cartes a puces ont ete testees. Quelest lensemble fondamental de cette experience ?

Probleme 14 Dans une fabrique de processeurs, on preleve toutes les heures les trois derniers processeursproduits et on note dans lordre de prelevement letat de ces trois processeurs. Chacun est classe dansune des deux categories : en etat de marche, code 1, et defectueux, code 0.

a) Decrivez lespace fondamental associe a cette experience aleatoire.

b) Decrivez (en termes ensemblistes) les evenements suivants :

i) le premier processeur est defectueux,

ii) le dernier processeur est en etat de marche,

iii) deux processeurs sont defectueux,

iv) au moins deux processeurs sont en etat de marche.

Probleme 15 Un disque dur a 1% de chance de tomber en panne. Par consequent, il est muni de deuxbackups, chacun ayant 2% de chance de tomber en panne. Linformation est perdue uniquement lorsqueles trois composants sont en panne. En supposant que les trois composants fonctionnent independammentles uns des autres, quelle est la probabilite que linformation soit sauvee ?

Probleme 16 Trois terminaux sont relies a un ordinateur via 2 lignes de communication. Le terminal1 a sa propre ligne alors que les terminaux 2 et 3 partagent une ligne de telle sorte qu a chaque instantun seul de ces deux terminaux peut etre utilise. Durant une journee de travail, le terminal 1 est utilise30 minutes chaque heure, le terminal 2 est utilise 10 minutes chaque heure et terminal 3 est utilise 5minutes chaque heure. En supposant que les lignes de communication operent de maniere independantes,quelle est la probabilite quau moins un terminal soit operatif a un moment quelconque de la journee detravail ?

Probleme 17 Quelle est la probabilite pour que lecriture decimale dun nombre entier tire au hasardentre 0 et 9999 comporte au moins une fois le chiffre 1 ?

Indication : utiliser la formule dinclusion-exclusion.

Probleme 18 Au jeu de loto, sous controle dun huissier, 6 numeros parmi 49 numeros de 1 a 49 sonttires au hasard. Un joueur de loto doit jouer 6 numeros distincts (on ignore ici la notion de numerocomplementaire). On dit quon a gagne la cagnotte si les 6 numeros joues correspondent aux 6 numerostires.

a) Quel est lespace fondamental associe aux tirages ?b) Quelle est la probabilite de gagner la cagnotte ?c) La societe organisatrice du loto envisage de passer de 49 numeros a 60 numeros avec un tirage de

8 numeros plutot que 6. Aura-t-on plus de chances de gagner la cagnotte?

Probleme 19 Sophie veut parier a une course de chevaux mais na aucune idee des performances desjockeys et chevaux. Elle decide donc de parier au hasard.

a) Sophie a-t-elle plus de chance de trouver les 3 chevaux de tete dans lordre lors dune course de 17chevaux, ou les 4 premiers chevaux dans lordre lors dune course de 18 chevaux ?

b) Meme question que precedemment mais dans le desordre.

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Probleme 20 Des bits sont envoyes a la suite sur un canal. Un bit donne prend la valeur 1 avec laprobabilitep. Les bits envoyes sont independants.

a) On enregistre deux bits a la suite b0 etb1.i) Quelle est la probabilite que les deux bits aient des valeurs differentes ?ii) Quelle est la probabilite que le second bit soit egal a 1 si le premier est egal a 0 ?

b) On note maintenant la valeur de quatre bits envoyes a la suite.i) Trouver la probabilite davoir au moins deux bits egaux a 1 parmi les quatre.

ii) Trouver la probabilite davoir au moins deux bits egaux a 1 et le quatrieme bit a 0.

Probleme 21 Un logiciel libre programme par un etudiant de lEPFL contient 5 bugs, repartis uni-formement dans le code. Le code comporte 10 000 lignes dont 3000 de commentaire. Une certaine executiondu logiciel passe par 1/3 des lignes executables. Quelle est la probabilite que le programme sexecute cor-rectement?

Probleme 22 nresistances sont installees en serie, dont les resistances A etB .a) Decrire lensemble fondamental associe a cette experience, et en donner le nombre delements.b) Quelle est la probabilite quil y aitk resistances placees entre A et B (0 k n 2) ?c) Verifier votre resultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles.

Probleme 23 Le Daily Mail du 13 octobre 2010 rapporte que la famille Allali (Angleterre) vient juste

davoir son troisieme enfant et que, fait surprenant, ses trois enfants sont tous nes le meme jour (un 7octobre, en 2005, 2007 et 2010). Le journaliste affirme quil y a moins dune chance sur 48 millions quetrois enfants dune famille (ni jumeaux, ni triplets) naissent un meme jour. Que pensez-vous de cetteaffirmation ?

Probleme 24 Vous venez dinstaller un module de detection de courriers indesirables dans votre client decourrier electronique. Le module reussit a identifier les courriers indesirables dans 99% des cas. Neanmoinsle module annonce quun message est indesirable alors quil ne lest pas dans 2% des cas. Les statistiquesofficielles indiquent que 10% des courriers electroniques recus sont indesirables. Quelle est la probabilitequun message soit effectivement indesirable lorsque le module indique que cest le cas ?

Probleme 25 A un test de fin dannee, trois eleves, Alain, Boris et Charles, ont oublie de mettre leurnom sur les copies. Le professeur sait quels sont ces trois eleves mais ne sait pas quelle copie appartient achacun dentre eux. Il estime neanmoins que Alain a 80% de chance davoir reussi lexamen, Boris 70% etCharles 60%. Apres correction des trois copies, il savere que deux ont reussi lexamen et un la echoue.En supposant que les etudiants ont travaille independamment, quelle est la probabilite que ce soit Charlesqui ait echoue a lexamen ?

Probleme 26 Lenvoi dun paquet du serveur S1 au serveur S2 sur internet passe par deux routeursintermediaires R1 et R2. La probabilite que le paquet se perde sur chaque segment du chemin S1 R1 R2 S2 estp. On constate, au niveau du serveur S2 la perte du paquet. Quelle est la probabilitequil ait ete perdu au niveau de S1? deR1? deR2?

Probleme 27 Un routeur recoit lessentiel des paquets quil fait transiter depuis deux autres routeursR1 et R2, en proportion equilibree. On constate quenviron un paquet sur 200 est endommage lorsque

ceux-ci proviennent de R1, alors que seulement un paquet sur 1000 est endommage lorsquils proviennentdeR2. On considere un paquet recu de lun de ces deux routeursR1 ouR2. Le paquet inspecte nest pasendommage. Quelle est la probabilite quil provienne de R1?

Probleme 28 100 programmes informatiques sont testes contre diverses sources derreurs. Il est trouveque 20 dentre eux ont des erreurs de syntaxe, 10 des erreurs dentree/sortie qui ne sont pas des erreurs desyntaxe, 5 ont dautres types derreurs, 6 ont a la fois des erreurs de sytaxe et des erreurs dentree/sortie,3 ont des erreurs de syntaxe ainsi que dautres types derreur et un seul a les trois types derreur. Unprogramme est selectionne aleatoirement parmi ces 100 programmes.

a) Exprimer sous forme de probabilites les quantites donnees dans lenonce.b) Quelle est la probabilite que le programme selectionne ait des erreurs de syntaxe ou des erreurs

dentree/sortie ou les deux ?c) On sait que le programme selectionne a une erreur de syntaxe. Quelle est la probabilite quil ait

egalement une erreur dentree/sortie ?

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Probleme 29 Des requetes sont effectuees sur des serveurs via 5 lignes de communication. Les lignesde communication ne sont pas utilisees egalitairement : les pourcentages des requetes envoyees sur leslignes 1, 2, 3, 4 et 5 sont respectivement de 20, 30, 10, 15 et 25. De plus la ligne sur laquelle est envoyeela requete depend de la longueur de la requete : la probabilite quune requete excede 100 caracteres surles lignes 1 a 5 est respectivement de 0.4, 0.5, 0.6, 0.2 et 0.8. Quelle est la probabilite quune requetequelconque excede 100 caracteres ?

Probleme 30 On tire au hasard deux chiffres entre 0 et 9. Quelle est la probabilite que le premier chiffresoit 6, sachant que la somme des deux est 6 ?

Probleme 31 Un magasin delectronique a remarque que la probabilitepn quen clients entrent dans lemagasin un jour donne estpn(1p),n = 0, 1, . . .. De plus, lorsquun client visite le magasin, il en ressortavec un achat deux fois sur trois. Neanmoins, le client nest pas satisfait de cet achat et le rapporte aumagasin une fois sur quatre. On suppose que le fait dacheter un produit et le fait den etre satisfait sontdes evenements independants.

a) Quelle est la probabilite quun client achete un produit et en soit satisfait ?b) Si on sait que k produits vendus nont pas ete rapportes au magasin, montrer que la probabilite

conditionnelle que le magasin ait recu la visite de nclients est donnee par

Cknpnk(2p)k+1/2n+1, n k.

Probleme 32 La probabilite pour que la duree de vie dun composant depasse 10 000 heures est de 80%et on admet que les pannes des differents composants sont independantes.

a) Avec 3 composants, on realise un montage en serie. Il suffit que lun des composants tombe enpanne pour que le systeme ne fonctionne plus. Quelle est la probabilite pour que celui-ci fonctionne aumoins 10000 heures?

b) Avec les memes composants que precedemment, on realise un deuxieme montage en parallele.Dans ce cas pour que le systeme ne fonctionne plus il faut que tous les trois composants soient en panne.

i) Quelle est la probabilite pour que le systeme fonctionne au moins 10000 heures ?ii) Sachant que le systeme, qui a ete sous tension 10000 heures, est en etat de fonctionnement,

quelle est la probabilite quun composant au moins soit defectueux ?

Probleme 33 Dans une assemblee de n personnes, on doit constituer un comite de s personnes puis

designer un president parmi celles-ci. Les n personnes narrivant pas a se mettre daccord pour former lecomite, elles decident apres des heures de debat de proceder par tirage au sort, aussi bien pour designerles s personnes du comite que son president. M. Truc, membre de lassemble, nest pas le president ducomite. Quelle est est la probabilite que celui-ci fasse neanmoins partie du comite ?

Probleme 34 On met au point un algorithme pour detecter si une page web ecrite en anglais est redigeepar un natif (quelquun dont langlais est la langue maternelle). On evalue que 55% des pages web enanglais sont ecrites par des natifs. Lalgorithme reussit a detecter correctement que la page est ecrite parun natif dans 95% des cas lorsque la page est effectivement ecrite par un natif. Elle affirme cependantincorrectement que la page est ecrite par un natif alors que ce nest pas le cas avec probabilite 1%.Quelle est la probabilite quune page soit ecrite par un natif lorsque lalgorithme laffirme?

Probleme 35 Un etudiant passe un test sous la forme dun questionnaire a choix multiple ; pour chacune

des questions posees, il y a 5 reponses proposees, dont une seule reponse juste. Si letudiant connat lareponse juste, il la choisit. Dans le cas contraire, il choisit une reponse au hasard parmi les 5 reponsesproposees. Letudiant connait la reponse juste a 70% des questions.

a) Quelle chance a letudiant de repondre correctement a une question donnee ?b) Si pour une question letudiant a repondu correctement, quelle est la probabilite quil ait repondu

en connaissance de cause (cest-a-dire pas au hasard)?

Probleme 36 Une requete peut etre envoyee de maniere equiprobable sur six serveurs, quatre etant detype X et deux serveurs etant de type Y. Deux requetes consecutives ne peuvent pas etre envoyees surle meme serveur. On considere deux requetes consecutives.

a) Decrire lensemble fondamental de cette experience stochastique.b) Definissons les evenements suivants B1= la premiere requete est envoyee sur un serveur de type

X etB2= la seconde requete est envoyee sur un serveur de type X.i) Calculer les probabilites P(B1), P(B2|B1), P(B2|Bc1) etP(B2).ii) Verifier que P(B1 B2) + P(B

c1 B2) + P(B1 B

c2) + P(B

c1 B

c2) = 1.

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Probleme 37 Vous etes directeur de cabinet du ministre de la sante. Une maladie est presente dansla population, dans la proportion dune personne malade sur 10000. Un responsable dun grand labo-ratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de depistage : si une personne est malade,le test est positif a 99%. Si une personne nest pas malade, le test est positif a 0.1%. Autorisez-vous lacommercialisation de ce test ?

Probleme 38 On considere le jeu de de suivant : pour participer au jeu, on mise 3 CHF. Puis on lance

le de et on recupere 15 CHF si le nombre obtenu est 6. Le jeu est-il en moyenne rentable ? A partir dequel gain pour lobtention dun 6 devriendrait-il rentable ?

Probleme 39 On considere lalgorithme naf ci-dessous pour trouver le plus grand element, note M,dans une liste non vide L de n elements :

1. On initialise le maximumMavec la valeur du premier element de la liste.

2. On parcourt ensuite la liste, du 2ieme au dernier element, et on affecte cet element a M si celui-ciest plus grand que la valeur courante de M.

Lors du traitement dune liste de taille n :a) Quel est le nombre de comparaisons effectuees ?b) Quel est le nombre daffectations aMdans le cas le plus favorable? le plus defavorable?Dans la suite, on suppose que les elements de la liste sont deux-a-deux distincts et que les n! permu-

tations possibles ont la meme probabilite dapparatre dans la liste. Soit p(n, k) la probabilite pour que,lors du deroulement de lalgorithme sur une liste (aleatoire)Lde taillen,k affectations soient necessaires.

c) Montrer la recurrence suivante, pour n 2 etk 1 :

p(n, k) = 1

np(n 1, k 1) +

n 1

n p(n 1, k)

Indication : Raisonner selon que le nieme element est maximal ou non.d) Soit En lesperance mathematique du nombre daffectations effectuees lors du traitement dune

liste de taille n. Deduire de la recurrence ci-dessus la recurrence sur En :

En = 1

n+ En1

et donner une approximation de En (en fonction den) lorsque n +.

Probleme 40 SoitXune variable aleatoire prenant ses valeurs dans les nombres naturels. Montrer queE(X) =

n=1 P(X n).

Probleme 41 On desire estimer le nombreNde poissons dans un lac sans avoir a tous les compter. Unemethode pour cela est la methode dite de la capture-recapture: dans un premier temps, M poissons sontcaptures, marques dune certaine facon pour les distinguer, puis relaches dans le lac. Quelques minutesplus tard (le temps que les poissons aient pu se melanger), n poissons sont captures, et on note X lenombre de poissons qui sont marques, parmi cesnpoissons.(Cette methode a ete introduite par Laplace en 1768 pour estimer la population de la France.)

a) Calculer la fonction de masse de X.b) Lapplication de cette methode au lac Leman donne X= k. Determiner alors le nombre de poissons

du lac Leman, N, le plus probable, i.e. trouver N maximisant la probabilite P(X = k) (on parle demaximum de vraisemblance).

c) Montrer que lesperance de N est infinie.

Probleme 42 Un joueur tourne une roue. A chaque essai, il a une probabilite 1 p de tomber sur unecase lui rapportant 1 CHF et p de tomber sur la case banqueroute qui lui fera tout perdre et lelimineradu jeu. Il debute avec une somme initiale nulle et souhaite atteindre un gainG0, apres quoi il quitterale jeu sil ny a pas deja ete contraint avant. Les resultats successifs obtenus en tournant la roue sontsupposes independants.

a) Quelle est la probabilite que le joueur atteigne le gain G0 quil setait fixe ?

b) En deduire lesperance du gain final.

Probleme 43 Une requete est envoyee sur un reseau. On suppose quil a une probabilite p [0, 1] quecette requete recoive une reponse. Dans le cas contraire, la requete est renvoyee jusqua ce quune reponse

soit recue. On noteT le nombre dessais necessaires a cela. Donner la fonction de masse deT.

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Probleme 44 Pour la nouvelle annee, un fournisseur internet decide de proposer une offre specialedabonnement pour attirer de nouvels utilisateurs. Chaque nouvel utilisateur recoit loffre speciale avecune probabilite de 0.2. 20 nouvels utilisateurs sinscrivent a ce fournisseur internet. Par quelle loi peut-onmodeliser le nombre dentre eux qui beneficient de loffre speciale ? Calculer la probabilite quau moins lequart dentre eux en beneficient.

Probleme 45 Un chef dentreprise, pour eviter lattente des camions venant livrer, envisage de construire

de nouveaux poste de dechargement. Actuellement, 5 postes sont en activite. Pour simplifier letude, onconsidere quil faut une journee entiere pour decharger un camion. On designe par Xla variable aleatoiremesurant le nombre de camions venant livrer chaque jour. Une enquete statistique prealable a montrequon pouvait assimiler la loi de X a une loi de Poisson de parametre 4.

a) Quelle est la probabilite de navoir aucun camion en attente ?b) Combien faudrait-il de postes de dechargement pour porter cette probabilite a plus de 0.9 ?

Probleme 46 Un concierge rentre de soiree. Il dispose de n cles dont une seule ouvre la porte de sondomicile mais il ne sait plus laquelle.

a) Il essaie les cles les unes apres les autres en eliminant apres chaque essai la cle qui na pas convenu.Quelle est la probabilite que la porte ouvre apres le k ieme essai ?

b) En realite la soiree a ete bien arrosee et le concierge ne pense pas a mettre de cote la mauvaise cleapres lavoir essayee. Donner la loi du nombre dessais necessaires pour trouver la bonne cle. Quelle est

la probabilite que la porte ouvre apres le kieme essai ?

Probleme 47 Pour letude des sols dune region, on effectue des tests a partir dechantillons preleves surle terrain. Cinq echantillons doivent etre soumis aux tests et on sait que la probabilite quun echantillonpreleve savere etre inadequat (endommage par exemple) est de 0.2. Si lon veut etre assure de disposerde cinq echantillons utilisables avec une probabilite au moins egale a 0.99, combien dechantillons faut-ilprelever ?

Probleme 48 Une version avancee dun jeu sur console sort. 60% des joueurs ont passe tous les niveauxde la version precedente. 30% dentre eux decident dacheter la version avancee alors que seulement 10%des joueurs nayant pas passe tous les niveaux decident de lacheter.

a) Quelle est la probabilite quun joueur achete la version avancee du jeu ?b) Sur 10 joueurs, quel est le nombre moyen de personnes achetant la version avancee ?c) Quelle est la probabilite quau moins trois joueurs lachetent?

Probleme 49 La production dun certain composant donne 5% de composants defectueux. On a besoinde 10 composants non defecteux pour 10 nouveaux ordinateurs. Les composants sont testes jusqua ceque 10 composants non defectueux soient trouves.

a) Quelle est la loi du nombre Xde composants a tester avant den trouver 10 fonctionnels ?b) Quelle est la loi du nombre Y de composants fonctionels parmi 12 testes ?c) Calculer de deux facons, a partir de a) et b), la probabilite que plus de 12 composants doivent etre

testes pour en trouver 10 fonctionnels.

Probleme 50 On considere une classe composee deN 60 eleves, Npair, quon regroupe aleatoirementdeux par deux. On sinteresse aux N/2 couples distincts ainsi formes.

a) Donner la loi du nombre de couples ayant leur anniversaire le meme jour, cest-a-dire au nombrede couples formes de deux personnes nees un meme jour de lannee (mais pas necessairement une memeannee). On supposera pour simplifier quune annee est composee de 365 jours.

b) Calculer de deux facons, en fonction deN, la probabilite quau moins un couple ait son anniversairele meme jour .Indication : utiliser lapproximation par la loi de Poisson (en la justifiant).

c) Quel doit etre le nombre minimal detudiants dans la classe pour que cette probabilite soit superieurea 60% ? Faire le calcul de deux facons.

Probleme 51 A un instant t donne,n serveurs cherchent a envoyer une reponse chacun (nreponses autotal pour les n serveurs) via n canaux de transmission independants. Ces canaux etant partages pardautres serveurs, il y a une probabilite p quun canal soit deja occupe a cet instant. Lorsquun serveuressaie denvoyer une reponse sur un canal occupe, lenvoi echoue et la reponse est mise en attente jusquau

pas de temps suivant (t+1) lorsque le serveur retente lenvoi, et ainsi de suite jusqua ce que lesnreponsesaient ete envoyees.

a) On considere une reponse particuliere a envoyer,

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i) Quelle est la loi du nombre de pas de temps necessaires a lenvoi de cette reponse ?ii) Quelle la probabilite que moins de k pas de temps soient necessaires ?

b) On considere les n reponses a envoyer,i) Quelle est la probabilite que moins de k pas de temps soient necessaires a lenvoi de ces n

reponses ?ii) En deduire la probabilite quexactement k pas de temps soient necessaires.

Probleme 52 n serveurs sont connectes via une ligne de communication. On estime le reseau tel que,chaque minute, un serveur recoit avec une probabilitep une requete sur cette ligne. De plus, durant uneminute quelconque, un serveur ne peut recevoir plus dune requete.

a) Quelle est la loi du nombre de requetes recues par minute par les n serveurs ?b) En deduire lesperance et la variance de la proportion de requetes recues par serveur sur une minute.

Probleme 53 Une enquete realisee aupres de clients frequentant un magasin revele que, une fois entresdans le magasin, 40% dentre eux font un achat. Sur 1000 clients entres dans le magasin, on designe parXle nombre de ceux qui ont reellement achete quelque chose.

a) Quelle est la fonction de masse de X? Calculer son esperance et sa variance.b) Calculer la probabilite que moins de 300 personnes aient fait des achats.c) Calculer la probabilite que plus de 500 personnes aient fait des achats.

Probleme 54 Lutilisation dun logiciel de reconnaissance decriture a produit, a partir de 1000 pagesde texte, 1500 erreurs reparties au hasard.

a) Donner une valeur exacte de la probabilite quune page retranscrite par le logiciel contienne moinsde 2 erreurs.

b) Calculer la probabilite de cet evenement si on remplace la loi du nombre derreurs par une loi dePoisson bien choisie.

Probleme 55 Un serveur dessert 1000 postes via 50 lignes a haut debit. Aux heures de pointe, chaqueposte est occupe en moyenne pendant 2, 5 secondes par minute. On suppose les postes independants.Quelle est la probabilite de saturation du reseau pendant une duree moyenne dune minute de pointe ?

Probleme 56 Une variable aleatoireXa pour densite

f(x) =

2x3, x 10, x 0 est

F(x) =

1

x

, x >

0, x .

a) Verifier quil sagit bien dune fonction de repartition.b) Calculer les moments dordre 1 et 2. A quelle condition sont-ils finis ?

Probleme 59 On suppose que le temps dattente entre deux jobs successifs dune imprimante est enmoyenne de 1/4 dheure.

a) Quelle loi utiliser pour le temps dattente (en heure) entre deux jobs ?b) Quelle est la probabilite que le job suivant soit envoye dans les 5 minutes ?

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Probleme 60 La duree de vie dun processeur a une moyenne = 12 ans et un ecart-type = 4 ans.a) En deduire la valeur des parametres de la loi (a preciser) decrivant la duree de vie du processeur.

b) Calculer la probabilite que le processeur ait une duree de vie entre 10 et 15 ans.

Probleme 61 On admet que la temperature moyenne en hiver a Rome suit une loi normale de moyennede 10C et decart-type 4C. Pour un hiver de temperature moyenne inferieure a 4C, letat de grandfroid est decrete. On suppose les temperatures independantes dun hiver a lautre.

a) Quelle est la probabilite que letat de grand froid soit decrete un hiver donne ?b) Quelle est la probabilite que letat de grand froid ne soit pas decrete sur une periode de 10 ans ?

Probleme 62 On joue a pile ou face, et le resultatXvaut 0 pour pile et 1 pour face. Si la piece tombesur face, on jette encore un de equilibre, et on obtient le resultat Y {1, . . . , 6}. Soit Z = X+Y lescore total. Calculer les esperance et variance conditionnelles de Z sachantXet les utiliser pour verifierle theoreme 167.

Probleme 63 Un examen dalgebre lineaire consiste en 20 questions a choix multiples, chacune avecquatre choix a disposition, dont un seulement correct. Il faut repondre correctement a 10 questions pourreussir lexamen. Ayant pris ses revisions un peu a la legere, un etudiant decide de repondre aux questionsde maniere aleatoire. Trouver lesperance et la variance du total des points quil obtiendra. Quelle est laprobabilite quil reussisse son examen ? Une fois lexamen termine, il discute avec ses amis, et ils concluentquil a coche la bonne reponse a six questions, et une fausse reponse a quatre autres questions. Quel estlesperance du total de points obtenus, conditionnee sur cette nouvelle information ? Quelle est a presentla probabilite quil reussisse lexamen ?

Probleme 64 Le telechargement dun logiciel se fait via deux miroirs possibles, lun situe en Europeet lautre aux Etats-Unis. On estime que, selon letat du reseau, le telechargement via lun de ces deuxmiroirs met entre a et b secondes, toute duree entre ces deux valeurs etant equiprobable. Les temps detelechargements via les deux miroirs sont independants.

a) Quelle est la loi du temps necessaire au telechargement en passant par lun des deux miroirs ?Donner sa fonction de repartition.

b) Adrien demande simultanement le telechargement du logiciel par les deux miroirs.i) Quelle est la fonction de repartition du temps au bout duquel le premier telechargement du

logiciel sera termine ?ii) Calculer son esperance et sa variance.

Probleme 65 Un calcul sur ordinateur necessite lappel a n fonctions, dont les temps de calculs sontindependants et de loi normalesN(i,i). On suppose que le programme principal appelant ces fonctionsajoute un temps b, fixe, au temps total de calcul. Quelle est la loi du temps total de calcul ?

Probleme 66 Le nombre Nde moustiques dans ma chambre dhotel une fois la nuit tombee suit unedistribution de Poisson de moyenne , et chacun deux me pique independamment avec probabilite p.Trouver les moyenne et variance conditionnelles du nombreZde piqures que jaurai le matin, sachant quily avaitN=n moustiques. Utilisant ces resultats, trouver les moyenne et variance non conditionnelles deZ. Utiliser les esperances conditionnelles pour calculer la fonction generatrice des moments de Z. Quelleest la distribution deZ?

Probleme 67 Les variables aleatoires Xet Y sont toutes deux discretes avec une fonction de probabilite

conjointe definie dans le tableau ci-dessous.Y

X 0 1 20 p 2p p1 3p 2p p

Calculer la fonction de probabilite marginale PX(x) de X. Que vaut p ? Calculer egalement E(Y2) etE(XY).

Probleme 68 On suppose que la duree de vie dun individu est une variable aleatoire de densite

f(t) =

ct2(t 100)2 si t [0, 100]0 sinon

.

a) Calculer la constantec.b) Quelle est lesperance de vie moyenne dun individu ?c) Quelle est la probabilite quun individu ait une duree de vie entre 50 et 80 ans ?

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Probleme 69 Un systeme a une duree de vie aleatoireXde densite donnee (en mois) par :

f(x) =

cxex/2 x >00 x 0

Quelle est la probabilite que le systeme fonctionne pendant au moins 5 mois ?

Probleme 70 Les timbres produits par la poste sont theoriquement de forme carree de cotel = 1.5 cm.

Neanmoins, la machine etant mal calibree, les timbres produits ne sont pas toujours exactement de cotel mais restent toujours carres. On suppose que lerreur de production est de +/- 0.2 cm par cote et quetoutes les valeurs entre ces deux bornes sont equiprobables.

a) Par quelle loi peut on modeliser les longueurs mesurees ? Donner sa fonction de repartition.b) Quelle est la fonction de repartition de laire du timbre ?

Probleme 71 Adele attend lascenseur, dont la capacite maximale est de 750 kilos. Lascenseur arriveavec 10 adultes dedans. On suppose que le poids moyen dun adulte suit une loi normale de moyenne 70kilos et decart-type de 12 kilos.

a) Quelle est la loi du poids des 10 personnes dans lascenseur ?b) Est-il raisonnable quAdele, 55 kilos, entre dans lascenseur ?

Probleme 72 Des ingenieurs civils ayant participe a la construction du pont de Millau ont estime que le

poidsW(en milliers de kilos) que la travee du pont peut supporter sans subir de dommage au niveau desa structure, suit une loi normale, de moyenne 400 et decart-type 40. Supposons que le poids (egalementen milliers de kilos) dune voiture est une variable aleatoire normale de moyenne 3 et decart-type 0.3.Combien de voitures devraient se trouver sur cette travee pour que la probabilite de rupture soit superieurea 0.1?

Probleme 73 SoitY une variable aleatoire de loi Gamma de parametres = 1/2 et = 1. On rappelleque sa densite est

fY(y) =

1y e

y, y >0

0, y 0 .

Soit X une autre variable aleatoire dont on ne connait que la loi conditionnellement a Y : la loi de Xsachant Yest la loi normale N(0, 12Y).

a) Calculer la densite du couple (X, Y).

b) Calculer la densiteX.c) Calculer et reconnatre la densite conditionnelle de Y sachantX.

Probleme 74 SoitXune variable gaussienne centree reduite et une variable independante de X telleque P(= 1) =P(= 1) = 1/2. On note Y =X.

a) CalculerC ov(X, Y).b) Le vecteur (X, Y) est-il gaussien?c) Les variables X etY sont-elles independantes ?

Pro bleme 75 Soit (X, Y) un vecteur aleatoire de densite conjointe

fX,Y(x, y) =

c(x2 + xy

2) si 0 x 1, 0 y 2

0 sinon

a) Determiner la constantec.b) Determiner la densite marginale de X et celle de Y. Les variables aleatoires X et Y sont-elles

independantes ?c) Calculer P(X > Y).

Probleme 76 On a calcule quun certain logiciel produit en moyenne 25 erreurs toutes les 1000 heuresdutilisation, avec un ecart-type de 2. Donner un majorant de la probabilite davoir plus de 30 erreurs en1000 heures dutilisation. Quen est-il si lecart-type passe a 4 ?

Probleme 77 Un serveur recoit des requetes de 8 lignes de communication. On sait que le nombre derequetes issues dune quelconque de ces lignes est en moyenne de 20 requetes par seconde. On supposede plus que le nombre de requetes est independant de la ligne. On souhaite savoir si le nombre total derequetes recues par le serveur nexcede pas le seuil de 500 requetes par seconde, qui est un seuil critique

pour le serveur.a) Utiliser linegalite de Markov pour obtenir un majorant de cette probabilite.b) Quobtenez-vous en utilisant linegalite de Chebyshov ?

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Probleme 78 Un disque dur a 350 gigabytes de disponibles. Cela est-il vraisemblablement suffisant pourstocker 300 films de taille moyenne 1.1 gigabyte et decart-type 0.4 ?

Probleme 79 La mise a jour dun logiciel necessite linstallation de 85 fichiers, installes sequentiellement.Le temps dinstallation est aleatoire, mais prend en moyenne 15 secondes par fichier, avec un ecart-typede 4 secondes. Quelle est la probabilite que le logiciel soit mis a jour en moins de 20 minutes ?

Probleme 80 280 messages independants sont envoyes dun centre de transmission. Les messages sonttraites sequentiellement et le duree de transmission dun message suit une loi exponentielle de parametre= 5 min1. Quelle est la probabilite que les 280 messages soient transmis en moins dune heure ?

Probleme 81 Un serveur recoit 1000 requetes par minute. Neanmoins, suite a des problemes sur leslignes de communication, on estime que la probabilite quun requete echoue est de 4%. On supposelechec ou non des requetes independants.

a) Quelle est exactement la probabilite pour que plus de 30 requetes echouent en une minute ?b) Donner deux approximations de la probabilite a), en les justifiant.

Probleme 82 Ntouristes veulent se rendre a Zermatt et doivent donc prendre le train a Tasch. Or letrain ne comporte que deux wagons de n places chacuns. On admet que les choix des touristes de monterdans la voiture de tete ou de queue sont independants les uns des autres et quun touriste quelconque a

une chance sur deux de monter dans le premier wagon.a) Quelle est la probabilitep que tous les touristes ne puissent pas monter dans la voiture quils ont

choisi ?b) Combien aurait-il fallu de places dans le train si on sait que N = 1000 et si on veut que p soit

inferieur a 0,01 ?

Probleme 83 Une entreprise assemble 25 ordinateurs par jour. Les controles de qualite montrent que95% des ordinateurs assembles fonctionnent correctement.Donner une bonne approximation de la probabilite quau moins 600 ordinateurs sans defaut aient eteassembles a lissue de 25 journees de travail.

Probleme 84 Le nombre de clients entrant dans un magasin un jour donne suit une loi de Poisson deparametre 12. Quelle est la probabilite de ne pas tomber en-dessous de 250 clients sur un mois de 22

jours ouvrables ? On fera les hypotheses dindependance qui simposent.

Probleme 85 A partir dun echantillon aleatoire de 500 temps de reponse dun serveur, on a trouve untemps de reponse moyen de 5 millisecondes avec un ecart-type 2 millisecondes.

a) Donner un intervalle de confiance a 95% du temps de reponse moyen.b) Si lon souhaite que la longueur de lintervalle de confiance nexcede pas 0.3 ms, quelle devrait etre

la taille de lechantillon teste ?

Probleme 86 On admet que la duree de vie dun composant (en mois) est de distribution normaleN(, 9). On teste 20 de ces composants pour trouver une duree de vie moyenne y= 100.9. Au seuil 99%,rejette-on lhypothese = 100 ?

Probleme 87 Les connexions internet sont parfois ralenties du a la latence de transmission du reseau.

On souhaite quantifier cette latence. On envoie pour cela 500 paquets sur le reseau. On obtient une latencemoyenne de 0.8 seconde, avec un ecart-type de 0.1 seconde. Donner un intervalle de confiance au seuil99.5% de la latence moyenne dans le reseau.

Probleme 88 Lutilisation dun ordinateur consomme de lelectricite. Sur 9 ordinateurs on a obtenu lescouts journaliers suivantes exprimes en CHF :

1, 2 0, 8 0, 6 1, 1 1, 2 0, 9 1, 5 0, 9 1, 0

a) Calculer la moyenne et la variance de cet echantillon.b) On suppose que le cout journalier de lutilisation dun ordinateur suit une loi normale. Rejette-on

lhypothese dun cout journalier moyen de 1 CHF au seuil 95%?

Probleme 89 Soit Y1, . . . , Y n un echantillon aleatoire provenant dune distribution exp(). Trouver letest optimal pour tester lhypothese H0: = 1 et son alternative H1: > 1.

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Probleme 90 Soit Y1, . . . , Y n un echantillon aleatoire provenant dune distribution de Poisson avecmoyenne . Trouver le test optimal pour tester lhypothese H0 : = 0 et son alternative H1 : > 0.Montrer quil nest pas toujours possible de trouver une region de rejet de taille , et proposer uneapproximation pour la region de rejet si ce nest pas le cas.

Probleme 91 Dans le cas dun proces ou un individu est accuse de crime, quel jugement errone cor-respond a une erreur statistique de type I ? (Considerer lhypothese nulle comme etant linnocence de

laccuse.) Un etudiant en droit sinteresse aux sentences appliquees a de jeunes adultes convaincus degrave crime a larme blanche en Angleterre et dans le Pays de Galles. Il selectionne aleatoirement unechantillon de 26 cas tires des dossiers de justice pour la fin de lannee 2009 ; il trouve que la dureemoyenne de la peine est de 6.87 mois, avec un ecart-type de 2.2 mois.

a) Construire un intervalle de confiance a 95% pour la duree moyenne de la peine.

b) Quelles sont precisement les hypotheses faites en a) ?

c) Supposer que tous ces condamnes ont purge la moitie de leur peine. Quelle sont les esperance etecart-type empiriques du temps de peine restant pour son echantillon aleatoire de 26 cas ?

d) Utiliser les resultats du point precedent pour tester au niveau 1% lhypothese que le temps moyenpasse en prison etait dau moins 5 mois pour les jeunes adultes convaincus de grave crime a larmeblanche en Angleterre et dans le Pays de Galles.

Probleme 92 Supposer que les variables aleatoiresX1et X2 ont pour moyenne 1 et 2respectivementet pour variance 21 et

22, avec corr(X1, X2) =.

a) Si a1, a2, b1 etb2 sont constant, prouver que

cov(a1X1+ a2X2, b1X1+ b2X2) =2

i=1

2j=1

aibjcov(Xi, Xj),

en citant precisement les resultats utilises.

b) Prouver lenonce ci-apres, avec ou sans laide du point precedent.

var(a1X1+ a2X2) =a21

21+ a

22

22+ 2a1a212

en citant precisement les resultats utilises.

c) Quelle est la distribution de X1X2, pour deux variable aleatoires independantes X1et X2representantdes moyennes empiriques et satisfaisant

X1 N

1,

21n1

X2 N

2,

22n2

,

et calculer cov(X1, X2).

d) On a mesure et reporte dans le tableau ci-dessous le temps de trajet arrondi a 5 minutes de 10etudiantes et 10 etudiants en statistiques se rendant a luniversite.

Etudiante 10 40 20 10 20 45 20 5 5 5Etudiant 20 25 30 25 40 20 40 20 15 40

Tester au niveau 5% si le temps moyen de tra jet pour les etudiantes et pour les etudiants est identique.

e) Pourquoi est-il raisonnable de penser que les donnee du point precedent peuvent etre considereescomme deux echantillons independants?

Probleme 93 Un sondage aupres de 123 etudiants de statistiques a mis en lumiere que durant la nuit du17 au 18 mars 2010, 62 etudiants se sont couches apres 3 heures du matin. Estimer la probabilite quunetudiant de statistiques de cette universite se soit couche apres 3 heures du matin cette nuit-la. Donnerlapproximation dun intervalle de confiance a 95% pour la proportion de la population correspondant atous les eleves de statistiques de cette universite setant couche apres 3 heures du matin.

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Probleme 94 Un ingenieur compare lepaisseur de peinture sur des voitures de deux lignes de production(A) et (B) selectionnees aleatoirement. Il a reporte ses resultats dans le tableau ci-dessous.

(A) 0.23 0.13 0.28 0.19 0.22 0.34 0.28 0.34 0.17 0.22(B) 0.11 0.23 0.32 0.06 0.16 0.21 0.15 0.20 0.27 0.19

Est-ce que ces resultats indiquent quil y a une difference significative depaisseur de peinture sur les deux

lignes de production ? Quelles sont les hypotheses faites dans le point precedent? Obtenir un intervallede confiance a 98% pour l epaisseur de peinture sur la ligne de production (A).

Probleme 95 On dit quune variable aleatoireY suit une loi log-normale de parametres (m, 2) siX=ln Ysuit une loi normale N(m, 2). On dispose dun echantillon de neuf observations dune loi log-normalede parametres (m, ) inconnus :

11, 3 2, 1 1, 1 8, 9 4, 6 5, 7 13, 5 24, 5 16, 4

a) Construire un intervalle de confiance pour m (au niveau = 0, 05).b) Meme question pour .

Probleme 96 Considerons un echantillon aleatoire X1, . . . , X n issu de la loi normale dont la moyenne est inconnue mais lecart-type est connu.

a) Determiner lestimateur de maximum de vraisemblance de . Est-il biaise ? Calculer sa variance.b) Calculer linformation observee.

Probleme 97 SoitX1, . . . , X n un echantillon aleatoire issu dune population de densite

f,(x) =

1

e1

(x) si x >

0 sinon

ou > 0. Determiner les estimateurs de maximum de vraisemblance de et .

Probleme 98 Chaque annee, la hauteur maximale H de la crue dun fleuve est mesuree. On estimequune crue superieure a 6 metres serait catastrophique. On a modelise la loi de la variable aleatoireHcomme etant de Rayleigh, i.e la densite de H est

fH(x) =x

ae

x2

2a , x >0,

ou a est un parametre inconnu strictement positif. Pendant 8 ans on a observe les hauteurs de crue(en m)

2, 5 2, 9 1, 8 0, 9 1, 7 2, 1 2, 2 2, 8

a) Donner lestimateur du maximum de vraisemblance de a.b) Une compagnie dassurance estime quune catastrophe narrive en moyenne quau plus une fois

tous les mille ans. Ceci peut-il etre justifie par les observations?

Probleme 99 On considere un n-echantillon X1, . . . , X n i.i.d de loi de densite de parametre > 0 :

f(x) =

1

x1

1 si x 1

0 si x


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Probleme 101 Une chane de fabrication de composants electroniques produit un pourcentage 100 pde produits defectueux. p est inconnu mais on sait que p 0.08. On teste n composants.

a) Quel est lestimateur du maximum de vraisemblance de p ?b) Quelle doit etre la taille de lechantillon pour que lerreur quadratique moyenne associee a p soit

inferieur ou egal a 0,002 ?

Probleme 102 Les tempsT1, T2, . . . , T nentre deux pannes successives dun ordinateur sont des variables

aleatoires independantes distribuees identiquement selon la loi Gamma de parametres = 2 et = 1 ,qui a pour fonction de densite :

f(y) = y

2e

y

si y >0, 0 sinon.

est un parametre> 0 inconnu et a estimer.a) On observe les npremiers temps t1, t2, . . . , tn entre deux pannes successives ; estimer a laide de

t1, t2, . . . , tn par la methode du maximum de vraisemblance.b) Donner le biais et lerreur quadratique de lestimateur de maximum de vraisemblance de .

Probleme 103 On sinteresse au nombre moyen de pannes reseau hebdomadaires sur un certain reseau.On se place dans un cadre bayesien et on considere donc que ce nombre moyen, , est une variablealeatoire.

a) On note X la variable aleatoire egale au nombre de pannes reseau sur une semaine donnee. Onsuppose que la repartition des pannes sur la semaine est aleatoire. Quelle loi proposez-vous pour X,conditionnellement a ?

b) On a trouve sur des reseaux similaires un nombre moyen de 4 pannes par semaine avec un ecart-type de 2 pannes par semaine. Proposer un choix simple de loi a priori pour et preciser ses parametres.Indication : pensez a la densite conjuguee de la loi proposee en 1).

c) Deux pannes se sont produites sur le reseau la semaine derniere, et aucune panne cette semaine.Donner la loi a posteriori de , son esperance a posteriori et sa variance a posteriori.

Probleme 104 Un operateur telephonique desire mettre a jour la statistique des appels quil traite. Lesdernieres statistiques donnaient une moyenne de 1000 appels par heure, avec un ecart-type de 200 appels.Du fait de lextension du reseau, le nombre moyen dappels traites peut avoir evolue. On propose

de donner une estimation bayesienne de . Une nouvelle enquete est donc menee. Elle revele que, aucours de 10 heures choisies aleatoirement, 7265 appels ont ete traites. On note la frequence des appelstelephoniques et X le nombre dappels durant une heure donnee. On suppose que, conditionnellement a, X suit une loi de Poisson de parametre :

P(X=k|) =ek

! , k= 0, 1, . . .

On suppose de plus que est de loi Gamma(, ).a) En se basant sur les chiffres de la precedente enquete, quelles valeurs de et preconisez-vous ?b) Determiner la loi a posteriori de (la nommer et donner ses parametres).c) Donner la moyenne et lecart-type a posteriori de .d) Determiner lintervalle de credibilite au niveau 95% de .

Probleme 105 Le nombre de fautes Xet le nombre de cartons Y distribues dans le groupe B lors de lacoupe du monde de football de 2006 sont donnes dans le tableau qui suit.

Match 1 2 3 4 5 6X 26 19 34 34 31 39Y 3 4 6 8 3 4

a) Calculer la covariance et la correlation du nombre de fautes avec le nombre de cartons.

b) Donner lestimation de la ligne de regression predisant le nombre de cartons en fonction du nombrede fautes.

c) Predire le nombre de cartons si un match compte 30 fautes.

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Corriges aux Exercises

Corrige 1 668

Corrige 2 262103

Corrige 3 23!9!2!

Corrige 4 4!3!5!3!

Corrige 5 C423

Corrige 6 C

5

52

Corrige 7 Remarquons quil y a C310C38 = 6720 facons de choisir un comite de 3 hommes et 3 femmes

dans un groupe de 10 femmes et 8 hommes.

a) Le nombre de comites de 3 hommes qui contiennent les deux hommes qui refusent detre ensembleestC16 = 6. Alors, le nombre de comites de 3 hommes qui ne contiennent pas les 2 hommes qui refusentdetre ensembles est C38 6 = 50. Il sen suit que la reponse cherchee est

C310(C38 6) = 12050 = 6000.

b) Le raisonemment ici est similaire. On obtient :

(C310 C18)C38 = (120 8)56 = 6272.c) Le nombre des comites avec lhomme et la femme qui refusent detre ensemble est C29C

27 = 756.

Alors la reponse estC310C38 C29C27 = 6720 756 = 5964.

Corrige 8 Il y a 4! = 24 facons de placer les trois paires de jumeaux dans les 4 chambres. Dautre part,pour chaque placement, il y a 23 = 8 facons de distribuer les trois paires de jumeaux dans les lits. Il y adonc 4!23 = 192 facons dorganiser lexperience.

Corrige 9 On a

Ck1n1+ Ckn1=

(n 1)!(n k)!(k 1)!+

(n 1)!(n k 1)!k! =

(n 1)!(k+ n k)(n k)!k! =C

kn

Corrige 10 On sapercoit dabord quil y a 1 + (n k 2) =n k 1 manieres de placer le bloc A . . .B de longeur k + 2 dans la rangee. Il faut ensuite tenir compte des permutations de A et B : 2! = 2. Et

des permutations des (n 2) personnes differentes de Aet B : (n 2)!. Il y a donc 2(n 2)!(n k 1)facons davoir k personnes entre A et B .

Corrige 11 a) Lensemble fondamental de cette experience est = 1 2 ou 1 ={(D1, D2, . . .) ouDi {1, 2, 3, 4, 5} 1 i < } (levenement aucun 6 ne sort) et 2= n=1{(D1, D2, . . . , Dn1, 6) ouDi {1, 2, 3, 4, 5} 1 i n 1} (levenement que lexperience sarrete).

b) Les points de lensemble fondamental qui sont contenus dans En sont de la forme (D1, . . . , Dn1, 6).Lensemble 1= (1 En)c est egal a levenement aucun 6 ne sort, cest a dire 1.Corrige 12 a)E F ={(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}.

b) E Fest egal a levenement la somme des des est impaire ou bien lun des des montre 1.c)F G= {(1, 4), (4, 1)}.

d)E Fc

est egal a levenement la somme des des est impaire et chaque de montre un nombre plusgrand ou egal a 2.

e)E F G= F G.

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Corrige 13 a) Le point {000 . . .}represente levenement personne ne gagne. Les autres points corres-pondent a des evenements ou A, B ou Cgagne.

b) i) Ceux ou le numero 1 se situe dans la place 3n + 1 pourn entier, correspond a levenement ouAgagne.

ii) Ceux ou le numero 1 se situe dans la place 3n+ 2 pourn entier, correspond a levenement ouB gagne.

iii) Ceux ou le numero 1 se situe dans la place 3n pour n entier, correspond a levenement ou C

gagne. Finalement, (A B)c est egal a levenement que Cgagne ou personne ne gagne.Corrige 14 a) Lensemble fondamental est forme de tous les arrangements ordonnes possibles de npersonnes. Donc #() =n!.

b) Soit levenement Ek =il y a k personnes entre A et B. Determinons #(Ek) =nombre de casfavorables de Ek :On considere dabord le bloc Ak. . . B de longueur k+2. On sapercoit quil y a 1+(nk2) = (nk1)manieres de le placer dans la rangee.Il faut ensuite tenir compte des permutations

- deAet B : 2! = 2 permutations,

- des (n 2) personnes differentes de A et B : (n 2)! configurations differentes.Ainsi,

#(Ek) = 2(n k 1)(n 2)!et

P(Ek) =#(Ek)

#() =

2(n k 1)(n 2)!n!

= 2(n k 1)

n(n 1) .

Remarque : On peut controler quePn2

k=02(nk1)n(n1) = 1.

c) Il est facile detablir la liste des 3! = 6 cas possibles. On obtient alors que

P(k= 0) = 4

6=

2

3 etP(k= 1) =

2

6 =

1

3,

ce qui correspond bien a lexpression trouvee sous b).

Remarque : On a bien P(k= 0) + P(k= 1) = 1.

Corrige 15 La probabilite de ne tirer aucun 6 est de56

4 ' 0.4822. Alors, la probabilite de tirer aumoins un 6 est de 1 5

6

4 ' 0.5177.Corrige 16 La probabilite de que le six apparaisse au moins une fois est 1 562n. Pour que cetteprobabilite atteigne 1/2 il faut que 1 562n 1/2. Cest a dire que

n ln 22 ln 65

doncn

2.

Corrige 17 La probabilite que les anniversaires de n personnes soient dans des mois differents est

1211 (12 n + 1)12n

Alors, la probabilite quau moins deux personnes entren personnes aient leur anniversaire le meme moisest

1 1211 (12 n + 1)12n

Finalement, il faut au moins 5 personnes pour que cette probabilite soit au moins 1/2.

Corrige 18 a) Deux signaux S

Probabilit´es et Statistique pour SIC

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