Probabilit冀s - Le langage des ensembles et le mod le...

DefinitionsOperation sur les ensembles

Partition d’un ensembleRappels sur la denombrabilite

Modelisation d’une experience aleatoire

Probabilites

Le langage des ensembles et le modele probabiliste

Julian Tugaut

Telecom Saint-Etienne

Julian Tugaut Probabilites

Sommaire

1 DefinitionsNotion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

2 Operation sur les ensemblesIntersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

3 Partition d’un ensemble

4 Rappels sur la denombrabilite

5 Modelisation d’une experience aleatoireL’espace fondamentalLes evenements

Plan

1 DefinitionsNotion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

2 Operation sur les ensembles



5 Modelisation d’une experience aleatoire




Notion d’ensembleEnsemble videInclusion, Sous-ensembles

Notion d’ensemble

On considere la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω (quidesignera dans les prochains chapitres l’univers) :

Definition

Un ensemble Ω est une collection d’objets. Il est determine lorsquel’on peut dire si un objet ω lui appartient ou ne lui appartient pas.






Notion d’ensemble


Definition


Notations

Si l’objet ω appartient a l’ensemble Ω, on note : ω ∈ Ω.Si l’objet ω n’appartient pas a l’ensemble Ω, on note : ω /∈ Ω.






Notion d’ensemble


Definition


Notations

Si l’objet ω appartient a l’ensemble Ω, on note : ω ∈ Ω.Si l’objet ω n’appartient pas a l’ensemble Ω, on note : ω /∈ Ω.

Definition

Un objet ω appartenant a l’ensemble Ω (ω ∈ Ω) est appele unelement de Ω.






Ensemble vide

Definition

On definit l’ensemble vide comme etant l’ensemble qui ne contientaucun element.






Ensemble vide

Definition


Notation

L’ensemble vide est note ∅.






Ensemble vide

Definition


Notation

L’ensemble vide est note ∅.

Remarque

Il ne faut pas confondre l’ensemble vide (∅) avec le zero (0). On acoutume de dire : “Etre nul, c’est deja exister”.






Inclusion, Sous-ensembles - 1

Definition

On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsquetout element de A appartient a B. Plus formellement, A est inclusdans B lorsque

∀ω ∈ A , ω ∈ B .







Definition

On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsquetout element de A appartient a B. Plus formellement, A est inclusdans B lorsque

∀ω ∈ A , ω ∈ B .

Remarque

On dit aussi que B contient A ou que A est un sous-ensemble de B.







Notation

Si A est un sous-ensemble de B, on note : A ⊂ B.On peut aussi trouver la notation B ⊃ A.







Notation


Exemple

Soit B l’ensemble des etudiants de Telecom Saint-Etienne. Soit Al’ensemble des FI1 de Telecom Saint-Etienne.Alors, A est inclus dans B : A ⊂ B.







Notation


Exemple

Soit B l’ensemble des etudiants de Telecom Saint-Etienne. Soit Al’ensemble des FI1 de Telecom Saint-Etienne.Alors, A est inclus dans B : A ⊂ B.

Theoreme

Soient deux ensembles A et B. Alors, A = B si et seulement siA ⊂ B et B ⊂ A.


Plan

1 Definitions

2 Operation sur les ensemblesIntersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble







Intersection de deux ensemblesReunion de deux ensemblesProprietes de distributiviteComplementaire d’un sous-ensemble

Intersection de deux ensembles - 1

Definition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble deselements communs a A et a B.







Definition


Notation

L’intersection de deux ensembles A et B est notee A ∩ B.







Definition


Notation


Plus formellement, on peut ecrire :

A ∩ B = ω : ω ∈ A , ω ∈ B







Definition


Notation



A ∩ B = ω : ω ∈ A , ω ∈ B

ouω ∈ A ∩ B ⇐⇒ ω ∈ A et ω ∈ B .







Avec un diagramme de Venn :








Figure: Intersection de deux ensembles







Exemple : Ensemble fini petit

Soit Ω := a, b, c , d , e, f , g , h, i un ensemble de lettres. Soient lesdeux sous-ensembles de Ω : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∩ B = c , d , e.







Exemple : Ensemble fini petit

Soit Ω := a, b, c , d , e, f , g , h, i un ensemble de lettres. Soient lesdeux sous-ensembles de Ω : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∩ B = c , d , e.

Exemple : Ensemble fini grand

Soit Ω l’ensemble des ingenieurs formes en France. Soit A lesous-ensemble des ingenieurs exercant dans l’industrie. Soit Bl’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE.Alors, A ∩ B est l’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE quitravaillent dans l’industrie.






Ensembles disjoints

Definition : Ensembles disjoints

On dit que deux ensembles A et B sont disjoints lorsque leurintersection est vide : ils n’ont aucun element en commun. End’autres termes, on dit que A et B sont disjoints si l’on aA ∩ B = ∅.






Proprietes de l’intersection - 1

Propriete : Commutativite

Soient deux ensembles A et B.Alors A ∩ B = B ∩ A.








Soient deux ensembles A et B.Alors A ∩ B = B ∩ A.

Propriete : Associativite

Soient trois ensembles A, B et C . Alors :

A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C =: A ∩ B ∩ C .







Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ A = A.







Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ A = A.

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∩ ∅ = ∅.






Reunion de deux ensembles - 1

Definition

On appelle reunion de deux ensembles A et B l’ensemble deselements qui sont dans A ou (au sens inclusif) qui sont dans B.







Definition


Notation

La reunion de deux ensembles A et B est notee A ∪ B.







Definition


Notation



A ∪ B = ω : ω ∈ A ou ω ∈ B







Definition


Notation



A ∪ B = ω : ω ∈ A ou ω ∈ B

ouω ∈ A ∪ B ⇐⇒ ω ∈ A ou ω ∈ B .







Figure: Reunion de deux ensembles







Figure: Reunion de deux ensembles

On remarque dans ce diagramme que l’on a

A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B et A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B .







Exemple : Ensembles finis petits

Soient les deux ensembles de lettres : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∪ B = a, b, c , d , e, f , g.







Exemple : Ensembles finis petits

Soient les deux ensembles de lettres : A := a, b, c , d , e etB := c , d , e, f , g. Alors, on a : A ∪ B = a, b, c , d , e, f , g.

Exemple : Ensembles finis grands

Soit A l’ensemble des ingenieurs diplomes de TSE et soit Bl’ensemble des ingenieurs exercant dans l’industrie.Alors A ∪ B est l’ensemble des ingenieurs qui travaillent dansl’industrie ou qui sont diplomes de TSE.






Proprietes de la reunion - 1


Soient deux ensembles A et B.Alors A ∪ B = B ∪ A.








Soient deux ensembles A et B.Alors A ∪ B = B ∪ A.

Propriete : Associativite

Soient trois ensembles A, B et C . Alors :

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C =: A ∪ B ∪ C .







Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ A = A.







Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ A = A.

Propriete

Soit un ensemble A. Alors, on a A ∪ ∅ = A.






Proprietes de distributivite

Propriete

L’intersection est distributive par rapport a la reunion :

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .






Proprietes de distributivite

Propriete

L’intersection est distributive par rapport a la reunion :

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .

Propriete

La reunion est distributive par rapport a l’intersection :

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) .






Complementaire d’un sous-ensemble - 1

Definition

Soit un ensemble Ω (l’univers des evenements). Soit A unsous-ensemble de Ω.On appelle complementaire de A dans Ω l’ensemble des elementsde Ω qui n’appartiennent pas a A.







Definition


Notation

Le complementaire de A est note A ou Ac .







Definition


Notation


Plus formellement, on a :

Ac = ω ∈ Ω : ω /∈ A







Definition


Notation


Plus formellement, on a :

Ac = ω ∈ Ω : ω /∈ A

ouω ∈ Ac ⇐⇒ ω /∈ A .








Figure: Complementaire d’un sous-ensemble






Proprietes de la complementation

Propriete

Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A = A.







Propriete


Propriete

Soit un ensemble Ω. Alors, Ω = ∅. De meme, on a ∅ = Ω.







Propriete


Propriete

Soit un ensemble Ω. Alors, Ω = ∅. De meme, on a ∅ = Ω.

Propriete

Soit un ensemble Ω et soit A un sous-ensemble de Ω.Alors, A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω.






Lois de Morgan

Theoreme : Lois de Morgan

Soit un ensemble Ω et soient A et B deux sous-ensembles de Ω.Alors, on a

A ∩ B = A ∪ B (1)






Lois de Morgan

Theoreme : Lois de Morgan

Soit un ensemble Ω et soient A et B deux sous-ensembles de Ω.Alors, on a

A ∩ B = A ∪ B (1)

etA ∪ B = A ∩ B . (2)


Plan

1 Definitions








Partition d’un ensemble

Definition

Soit Ω un ensemble. Soient n sous-ensembles : A1, · · · ,An. On ditqu’ils forment une partition de Ω s’ils sont deux a deux disjoints etsi leur reunion est egale a Ω.





Partition d’un ensemble

Definition

Soit Ω un ensemble. Soient n sous-ensembles : A1, · · · ,An. On ditqu’ils forment une partition de Ω s’ils sont deux a deux disjoints etsi leur reunion est egale a Ω.

Plus formellement, (A1, · · · ,An) est une partition de Ω si etseulement si

Ak ∩ Ap = ∅ si k 6= p

et A1 ∪ · · · ∪ An = Ω .





Partition d’un ensemble - 2






Partition d’un ensemble - 2


Figure: Partition d’un ensemble





Exemple de partition

Exemple : Cas particulier de partition

Soit Ω un ensemble. Soit A un sous-ensemble de Ω. Alors (A,Ac)est une partition de Ω. En effet, on a A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = Ωpar definition. Regardons cela sur un diagramme de Venn :





Exemple de partition

Exemple : Cas particulier de partition

Soit Ω un ensemble. Soit A un sous-ensemble de Ω. Alors (A,Ac)est une partition de Ω. En effet, on a A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = Ωpar definition. Regardons cela sur un diagramme de Venn :

Figure: Partition particuliere d’un ensemble


Plan

1 Definitions








Rappels sur les ensembles infinis

Definition

On dit qu’un ensemble est de cardinal fini s’il contient un nombrefini d’elements.






Definition


Definition

Un ensemble qui n’est pas de cardinal fini est dit infini.






Definition


Definition

Un ensemble qui n’est pas de cardinal fini est dit infini.

Exemple

L’ensemble N est infini. De meme, R est infini.





Rappels sur la denombrabilite

Definition

On dit qu’un ensemble infini est denombrable s’il est en bijectionavec N.






Definition


Exemple

L’ensemble des rationnels, Q, est denombrable.






Definition


Exemple


Contre-exemple

L’ensemble des reels, R, n’est pas denombrable.






Definition


Exemple


Contre-exemple

L’ensemble des reels, R, n’est pas denombrable.

Propriete

Une union denombrable d’ensembles finis ou denombrables estdenombrable.


Plan

1 Definitions




5 Modelisation d’une experience aleatoireL’espace fondamentalLes evenements




L’espace fondamentalLes evenements


Le resultat d’une experience est dit aleatoire lorsqu’on ne peut pasle predire avec certitude. Plusieurs raisons peuvent expliquer cetteimpossibilite de prediction : on ne connaıt pas toutes les conditionsinitiales (les causes) ou on ne sait pas determiner comment lesysteme evolue precisement. L’experience est alors dite aleatoire.


Exemple d’experience aleatoire - 1

Exemple

Jeter un de a six faces est une experience aleatoire. On peutenumerer quelques causes de variabilite du resultat :


Exemple


Position exacte de la main (hauteur, angles...).


Exemple



Position exacte du de dans la main.


Exemple




Vitesse a laquelle le de est lance de la main.


Exemple





Etat exact de la surface de reception.


Exemple






Etat exact du de (coins plus ou moins arrondis, poids du de...).


Exemple







Resistance de l’air.


Exemple







Resistance de l’air.

et beaucoup d’autres. Il est difficile de fixer a priori les valeursexactes des differents parametres.






Cependant, on constate que si l’on jette un de a six faces un grandnombre de fois, on obtient en moyenne :

1 Une fois sur six la face 1.












Cependant, on constate que si l’on jette un de a six faces un grandnombre de fois, on obtient en moyenne :







A partir de la, on peut definir une loi de variabilite du resultat.






L’espace fondamental - 1

On definit les resultats possibles (ω) d’une experience aleatoire.







On definit les resultats possibles (ω) d’une experience aleatoire.

Exemple

Experience aleatoire : jeter un de. Les resultats possibles sont alors

ω1 :=“on obtient la face 1”.








Definition

L’ensemble de tous les resultats possibles d’une experiencealeatoire est appele l’espace fondamental. On parle aussi d’univers.On le note Ω.


Definition


La definition des resultats possibles (et donc de l’univers) n’est pasnecessairement unique. On pourrait considerer Ω2 := p, i ou p

est le resultat“la face obtenue est paire”et i est le resultat“la faceobtenue est impaire”.


Definition




L’enjeu du choix de l’univers repond donc a deux contraintes. Ilfaut que l’univers soit suffisamment riche pour repondre auxquestions que l’on se pose. Mais il faut egalement qu’il soitsuffisamment simple pour que l’on puisse travailler dessus.


Definition




L’enjeu du choix de l’univers repond donc a deux contraintes. Ilfaut que l’univers soit suffisamment riche pour repondre auxquestions que l’on se pose. Mais il faut egalement qu’il soitsuffisamment simple pour que l’on puisse travailler dessus.

L’espace fondamental associe a une experience aleatoire peut etrefini, infini denombrable ou infini non denombrable.

Les evenements - 1

Definition

On appelle evenement associe a une experience aleatoire touteproposition logique relative au resultat de cette experience.

Les evenements - 1

Definition


Exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, un evenement peut etreA :=“obtenir une face paire”.Si l’experience aleatoire est la quantite d’octets echanges dans unsysteme de pair a pair durant un intervalle de temps de duree fixee,un evenement peut etre A :=“Plus de mille octets ont eteechanges”.

Les evenements - 1

Definition


Exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, un evenement peut etreA :=“obtenir une face paire”.Si l’experience aleatoire est la quantite d’octets echanges dans unsysteme de pair a pair durant un intervalle de temps de duree fixee,un evenement peut etre A :=“Plus de mille octets ont eteechanges”.

Contre-exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, B :=“il va pleuvoirdemain”n’est pas un evenement.





Les evenements - 2

On represente un evenement par l’ensemble des resultats possiblesqui verifient la proposition qui le definit : c’est un sous-ensemble del’ensemble fondamental Ω. A partir de maintenant, on confondl’evenement et le sous-ensemble qui le represente.






Les evenements - 2

On represente un evenement par l’ensemble des resultats possiblesqui verifient la proposition qui le definit : c’est un sous-ensemble del’ensemble fondamental Ω. A partir de maintenant, on confondl’evenement et le sous-ensemble qui le represente.

Exemple

Si l’experience aleatoire est le lancer de de, on pose A :=“onobtient une face paire”. L’espace fondamental estΩ := ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 et l’on ecrit A = ω2, ω4, ω6.






Les evenements - 3

Definition : Evenement elementaire

On dit qu’un evenement A est elementaire si un seul resultat verifiela proposition logique qui definit A : A = ωA.






Les evenements - 3



Definition : Evenement certain

On dit qu’un evenement A est certain si tous les resultats verifientla proposition logique qui definit A : A = Ω.






Les evenements - 3



Definition : Evenement certain

On dit qu’un evenement A est certain si tous les resultats verifientla proposition logique qui definit A : A = Ω.

Definition : Evenement impossible

On dit qu’un evenement A est impossible si aucun resultat possiblene verifie la proposition logique qui definit A : A = ∅.






Implication - 1

Definition

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire. On dit que A implique B lorsqu’a chaque fois que A estrealise, B l’est egalement.






Implication - 1

Definition

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire. On dit que A implique B lorsqu’a chaque fois que A estrealise, B l’est egalement.

Notation

Si A implique B, on note A ⇒ B.






Implication - 2

Exemple

On jette un de. On pose A :=“on obtient une face plus grande quetrois”. On pose B :=“on obtient une face plus grande que deux”.Alors A implique B : A ⇒ B.






Implication - 2

Exemple

On jette un de. On pose A :=“on obtient une face plus grande quetrois”. On pose B :=“on obtient une face plus grande que deux”.Alors A implique B : A ⇒ B.

Remarque : Traduction ensembliste

A chaque fois que A est realise, B l’est egalement. En d’autrestermes, pour tout ω ∈ A, on a ω ∈ B. Ceci signifie A ⊂ B. On adonc

(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ⊂ B) .






Operations sur les evenements

Soient deux evenements A et B associes a une meme experiencealeatoire.

Definition : Conjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A etB sont tous les deux realises. Traduction ensembliste : E = A ∩ B.










Definition : Disjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A ou(non exclusif) B est (sont) realise(s). Traduction ensembliste :E = A ∪ B.










Definition : Disjonction d’evenements

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si A ou(non exclusif) B est (sont) realise(s). Traduction ensembliste :E = A ∪ B.

Definition : Contraire d’un evenement

On considere l’evenement E qui est realise si et seulement si An’est pas realise. Traduction ensembliste : E = Ac = A.






Evenements incompatibles









Definition

Si les deux evenements A et B ne peuvent pas etre realisessimultanement, on dit qu’ils sont incompatibles. Traductionensembliste : A ∩ B = ∅. On dit que A et B sont disjoints.








Definition

Si les deux evenements A et B ne peuvent pas etre realisessimultanement, on dit qu’ils sont incompatibles. Traductionensembliste : A ∩ B = ∅. On dit que A et B sont disjoints.

ATTENTION

Il est essentiel de differencier la notion d’evenements disjoints de lanotion d’independance d’evenements. Nous insistons donc pourque l’etudiant soit precautionneux a ce sujet.


Systeme complet d’evenements - 1

Definition

Soient A1, · · · ,An des evenements associes a une meme experiencealeatoire. On dit qu’ils forment un systeme complet si les deuxhypotheses suivantes sont satisfaites :

Les evenements sont deux a deux incompatibles.

A chaque repetition de l’experience aleatoire, l’un des nevenements est realise.


Definition

Soient A1, · · · ,An des evenements associes a une meme experiencealeatoire. On dit qu’ils forment un systeme complet si les deuxhypotheses suivantes sont satisfaites :

Les evenements sont deux a deux incompatibles.

A chaque repetition de l’experience aleatoire, l’un des nevenements est realise.

Remarque : Traduction ensembliste

(A1, · · · ,An) est un systeme complet d’evenements de l’experiencealeatoire si et seulement si (A1, · · · ,An) est une partition del’espace fondamental Ω.


Exemple : Cas particulier

Soit A un evenement quelconque d’une experience aleatoire. Alors,(A,Ac) est un systeme complet d’evenements.


Exemple : Cas particulier

Soit A un evenement quelconque d’une experience aleatoire. Alors,(A,Ac) est un systeme complet d’evenements.

Exemple

L’experience aleatoire que l’on considere est la suivante : on tire auhasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On se donne lesevenements

A1 :=“On obtient un carreau”.

A2 :=“On obtient un cœur”.

A3 :=“On obtient un pique”.

A4 :=“On obtient un trefle”.

Alors, (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet d’evenements.

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