Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC

représentation à la cathédrale de

Chartres

Vu par Raphael

Le théorème de Pythagore

à chaque fois que vous voyez ce pictogramme Vous devez tout recopier sur le cahier de leçon.

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■ vocabulaire ■ démonstration

■ exemples :

■ réciproque

ex 1 ex 2 ex 3

■ exemples r : ex 1r ex 2r ex 3r

Sommaire :

Le théorème de Pythagore

exo 1 ■ exercices : exo 2

■ énoncé du théorème

■ leçon à recopier : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Vocabulaire

À connaître par cœur.

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A

C

B

Vocabulaire

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

[BC] est l’ du triangle ABC

hypoténuse

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Démonstration

Une des démonstrations du théorème de Pythagore.

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On a quatre triangles rectangles identiques a

b c a

b c a

b c a

b c

Démonstration

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On dispose les quatre triangles rectangles

dans un carré

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

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On obtient un nouveau carré

JOLI

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

J

O

L

I

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C’est un quadrilatère ayant 4 côtés de même mesure et qui possède un angle droit. Les 2 angles colorés sont complémentaires leur somme vaut 90° or 180°- 90° = 90°

En effet, JOLI est un carré car :

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

J

O

L

I

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a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

J

O

L

I

L ’aire de JOLI est :

c²

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dans le même carré d ’une autre façon .

On dispose ensuite les quatre triangles rectangles

a

b

a

b

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a

b

a

b

On obtient deux nouveaux carrés :

JADE

J A

D OCRE E O

C R Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

a

b

a

b

J A

D E O

C R

L ’aire de OCRE est :

a²

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a

b

a

b

J A

D E O

C R

L ’aire de JADE est :

b²

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c

J

O

L

I a

b

a

b

J A

D E O

C R

L ’aire de JOLI est égale à la somme des aires de OCRE et de JADE

c² a²

b² +

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

a

b

a

b

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c2 = a2 + b2

Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :

théorème de Pythagore

a

b c

On peut donc écrire pour le triangle

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Le théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs

des deux autres côtés .

hypoténuse Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Énoncé du théorème

À connaître par cœur.

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Le théorème de Pythagore un autre énoncé

A

C

B

Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²

! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.

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Exemple n°1

Calculer la longueur de l’hypoténuse

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ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC

B

A C 3

4 1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

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On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)

BC² = 16 + 9 (on calcule)

BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

1) On fait un dessin 2)

BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC

B

A C 3

4

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Exemple n°2

Calculer la longueur de l’hypoténuse

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1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 5 cm et DF = 6 cm. Calculer EF

E

D F 5

6

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1) On fait un dessin 2) On applique le théorème de Pythagore : On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)

EF² = 25 + 36 (on calcule) EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable) ~ ~

EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8) ~ ~

DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 5 cm et DF = 6 cm. Calculer EF

E

D F 5

6

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Exercice n°1

À faire sur le cahier d’exercice.

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ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC

Correction Pour s’auto-corriger cliquer sur :

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Exemple n°3

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

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1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

GHI est un triangle rectangle en I tel que : GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH

G

I H 2 3

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On applique le théorème de Pythagore : On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)

1) On fait un dessin 2)

9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²) 3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable)

~ ~

IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 ) IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2) ~ ~

GHI est un triangle rectangle en I tel que : GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH

G

I H 2 3

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Exercice n°2

À faire sur le cahier d’exercice.

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Correction Pour s’auto-corriger cliquer sur :

Ex 2 : STU est un triangle rectangle en T tel que : ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU

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à suivre …

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Réciproque du théorème

À connaître par cœur.

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La réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.

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un autre énoncé

Si, dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.

! à la présentation des calculs

La réciproque du théorème de Pythagore

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Exemple n°1

Calculer la longueur de l’hypoténuse

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Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB]

3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

4) On constate l’égalité :

5) On cite la propriété appliquée pour conclure :

AB² = 75² = 5 625

BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625

AB² = BC² + AC²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Exemple n°2

Calculer la longueur de l’hypoténuse

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Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ?

1) On repère le côté le plus long: c’est [EF] 2) On calcule le carré de la longueur de [EF]

3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

4) On constate qu’il n’y a pas égalité :

5) On peut affirmer que :

EF² = 15² = 225

DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81 = 202

EF² = DE² + DF²

le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Exemple n°3

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

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2) On repère le côté le plus long: c’est [EL] 3) On calcule le carré de la longueur de [EL]

4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

5) On constate l’égalité :

EL² = 8,5² = 72,25

SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25 = 72,25

EL² = SE² + SL²

4cm 8,5cm

7,5cm S

O L E

A-t-on (SE) (SL) ? ┴

1) On précise le triangle dans lequel on travaille : Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.

6) On cite la propriété appliquée pour conclure : d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) . ┴ Page suivante

fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²

Ex 2 : ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC A

B C 8

6

AC² = 64 + 36 AC² = 8² + 6²

AC² = 100 AC = 100 AC = 10 cm

Correction

Retour

On applique le théorème de Pythagore : On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²

36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU²

TU 3,3 cm ~ ~

TU² = 36 - 25

Ex 2 : STU est un triangle rectangle en T tel que : ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU

S

T U 5 6

TU² = 11 TU = 11

Correction

Retour

Fin

… / … Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Le théorème de Pythagore un autre énoncé

A

C

B

Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²

! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.

On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)

BC² = 16 + 9 (on calcule)

BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

1) On fait un dessin

2)

BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC

B

A C 3

4

Exercice : Dans le cahier d’exo … ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC :

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un autre énoncé

Si, dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.

! à la présentation des calculs

La réciproque du théorème de Pythagore

Exemple : Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB]

3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

4) On constate l’égalité :

5) On cite la propriété appliquée pour conclure :

AB² = 75² = 5 625

BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625

AB² = BC² + AC²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.