Le théorème de Pythagore...Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC représentation à la...

Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC

représentation à la cathédrale de

Chartres

Vu par Raphael

Le théorème de Pythagore

à chaque fois que vous voyez ce pictogramme Vous devez tout recopier sur le cahier de leçon.

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■ vocabulaire ■ démonstration

■ exemples :

■ réciproque

ex 1 ex 2 ex 3

■ exemples r : ex 1r ex 2r ex 3r

Sommaire :


exo 1 ■ exercices : exo 2

■ énoncé du théorème

■ leçon à recopier : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Vocabulaire

À connaître par cœur.


A

C

B

Vocabulaire

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

[BC] est l’ du triangle ABC

hypoténuse


Démonstration

Une des démonstrations du théorème de Pythagore.


On a quatre triangles rectangles identiques a

b c a

b c a

b c a

b c

Démonstration


On dispose les quatre triangles rectangles

dans un carré

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c


On obtient un nouveau carré

JOLI

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

J

O

L

I


C’est un quadrilatère ayant 4 côtés de même mesure et qui possède un angle droit. Les 2 angles colorés sont complémentaires leur somme vaut 90° or 180°- 90° = 90°

En effet, JOLI est un carré car :

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

J

O

L

I


a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

J

O

L

I

L ’aire de JOLI est :

c²


dans le même carré d ’une autre façon .

On dispose ensuite les quatre triangles rectangles

a

b

a

b


a

b

a

b

On obtient deux nouveaux carrés :

JADE

J A

D OCRE E O

C R Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

a

b

a

b

J A

D E O

C R

L ’aire de OCRE est :

a²


a

b

a

b

J A

D E O

C R

L ’aire de JADE est :

b²


c

J

O

L

I a

b

a

b

J A

D E O

C R

L ’aire de JOLI est égale à la somme des aires de OCRE et de JADE

c² a²

b² +

a

b c

a

b

c

a

b

c

a

b c

a

b

a

b


c2 = a2 + b2

Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :

théorème de Pythagore

a

b c

On peut donc écrire pour le triangle



Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs

des deux autres côtés .

hypoténuse Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Énoncé du théorème



Le théorème de Pythagore un autre énoncé

A

C

B

Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²

! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.


Exemple n°1

Calculer la longueur de l’hypoténuse


ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC

B

A C 3

4 1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)


On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)

BC² = 16 + 9 (on calcule)

BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

1) On fait un dessin 2)

BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC

B

A C 3

4


Exemple n°2



1) On fait un dessin


2)

DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 5 cm et DF = 6 cm. Calculer EF

E

D F 5

6


1) On fait un dessin 2) On applique le théorème de Pythagore : On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)

EF² = 25 + 36 (on calcule) EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable) ~ ~

EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8) ~ ~

DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 5 cm et DF = 6 cm. Calculer EF

E

D F 5

6


Exercice n°1

À faire sur le cahier d’exercice.


ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC

Correction Pour s’auto-corriger cliquer sur :


Exemple n°3

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit




2)

GHI est un triangle rectangle en I tel que : GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH

G

I H 2 3


On applique le théorème de Pythagore : On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)

1) On fait un dessin 2)

9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²) 3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable)

~ ~

IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 ) IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2) ~ ~

GHI est un triangle rectangle en I tel que : GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH

G

I H 2 3

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Exercice n°2

À faire sur le cahier d’exercice.


Correction Pour s’auto-corriger cliquer sur :

Ex 2 : STU est un triangle rectangle en T tel que : ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU


à suivre …


Réciproque du théorème



La réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.


un autre énoncé

Si, dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.

! à la présentation des calculs



Exemple n°1



Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB]

3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés

4) On constate l’égalité :

5) On cite la propriété appliquée pour conclure :

AB² = 75² = 5 625

BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625

AB² = BC² + AC²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Exemple n°2



Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ?

1) On repère le côté le plus long: c’est [EF] 2) On calcule le carré de la longueur de [EF]


4) On constate qu’il n’y a pas égalité :

5) On peut affirmer que :

EF² = 15² = 225

DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81 = 202

EF² = DE² + DF²

le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante

Exemple n°3

Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit


2) On repère le côté le plus long: c’est [EL] 3) On calcule le carré de la longueur de [EL]



EL² = 8,5² = 72,25

SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25 = 72,25

EL² = SE² + SL²

4cm 8,5cm

7,5cm S

O L E

A-t-on (SE) (SL) ? ┴

1) On précise le triangle dans lequel on travaille : Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.

6) On cite la propriété appliquée pour conclure : d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) . ┴ Page suivante

fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²

Ex 2 : ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC A

B C 8

6

AC² = 64 + 36 AC² = 8² + 6²

AC² = 100 AC = 100 AC = 10 cm

Correction

Retour

On applique le théorème de Pythagore : On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²

36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU²

TU 3,3 cm ~ ~

TU² = 36 - 25

Ex 2 : STU est un triangle rectangle en T tel que : ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU

S

T U 5 6

TU² = 11 TU = 11

Correction

Retour

Fin

… / … Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Le théorème de Pythagore un autre énoncé

A

C

B

Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²

! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.

On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)

BC² = 16 + 9 (on calcule)

BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)


2)

BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)

BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC

B

A C 3

4

Exercice : Dans le cahier d’exo … ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC :

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un autre énoncé

Si, dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.

! à la présentation des calculs


Exemple : Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB]



5) On cite la propriété appliquée pour conclure :

AB² = 75² = 5 625

BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625

AB² = BC² + AC²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.

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