Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

A

C

B

est l’hypoténuse � du triangle ABC

On a quatre triangles rectangles identiquesa

bc a

bc a

bc a

bc

Démonstration

On dispose les quatre triangle rectangles

dans un carréa

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

On obtient un nouveau carré

XYZLa

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

X

Y

Z

L

a

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

X

Y

Z

L

L ’aire du carré XYZL est :

c²

dans le même carré d ’une autre façon .

On dispose ensuite les quatre triangles rectangles

a

b

a

b

a

b

a

b

On obtient deux nouveaux carrés :

DEFG

AB

C ABCDD G

FE

a

b

a

b

AB

C D G

FE

L ’aire de DEFG est :

a²

a

b

a

b

AB

C D G

FE

L ’aire de ABCD est :

b²

c

X

Y

Z

L a

b

a

b

AB

C E G

FE

L ’aire de XYZL est égale àla somme des aires de ABCD et de DEFG

c²a²

b²+

a

bc

a

b

c

a

b

c

a

bc

a

b

a

b

c2 = a2 + b2

Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :

théorème de Pythagore

a

bc

On peut donc écrire pour le triangle

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle , le carré de la longueur de

l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés .

hypoténuse

Le théorème de Pythagore un autre énoncé

A

C

B

Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC² = AB² + AC²

! Le théorème de Pythagore ne s’appliquequ’aux triangles rectangles.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC

B

A C

3

4

1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

Puisque ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)

BC² = 16 + 9 (on calcule)

BC² = 4² + 3² (on remplace les lettres par les longueurs connues)

B

A C

3

4

BC = 5 cm (5 > 4, est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté)

BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)

BC

Démonstration:

1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 12cm.Calculer EF

E

D F

5

12

E

D F

5

12Puisque DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)

EF² = 25 + 144 (on calcule)

EF² = 5² + 12²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

EF= 13 cm (13 > 12, est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté)

EF² = 169 (on écrit la valeur exacte de EF)

EF = 169EF

Démonstration :

On applique le théorème de Pythagore :

On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²

Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm.Calculer AC

A

B C

8

6

AC² = 64 + 36

AC² = 8² + 6²

AC² = 100

AC = 100AC = 10 cm

1) On fait un dessin

On a un triangle rectangle,on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore

2)

GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH G

I H

2 3

Puisque GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)

Démonstration :

25 = 9 + IH² 5² = 3² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)

IH = 4 cm

IH² = 25 - 9 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 de 25)

G

I H

3 5

IH² = 16

IH = 16

Démonstration : puisque STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²

169 = 25 + TU² 13² = 5² + TU²

TU = 12 cm

TU² = 169 - 25

EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm.Calculer TU

S

T U

5 13

TU² = 144

TU = 144

fin