Cours de Physique Mécanique Bruno ROSSETTO Professeur des Universités tél. + 336 08 45 48 54...

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Cours de Physique

Mécanique

Bruno ROSSETTO Professeur des Universités

tél. + 336 08 45 48 54 email: rossetto@univ-tln.fr site: http://rossetto.univ-tln.fr

Physique B. Rossetto 2

1. Coordonnées Cartésiennes

x

y

0 ��������������xu

��������������yu

2-dim.

1 - Origine 0 2 - Système d’axes orthogonaux (0xy) 3 - Vecteurs unités andxu

��������������yu

��������������

x

y0

��������������xu

��������������yu

zu��������������

z 3-dim.

Orientation du système tridimensionnel de coordonnées:

- pas-de-vis usuel - règle des 3 doigts de la main droite

Physique B. Rossetto 3

1. Coordonnées Règles d’orientation

x

y

z

y

z

x

Physique B. Rossetto 4

1. Coordonnées Règles d’orientation

x

y

z

y

x

z

Physique B. Rossetto 5

1. Coordonnées

x

y

0 ��������������xu

u��������������

Polaires (2-dim.)

ru��������������

��������������yu

Cylindriques (3-dim.)

P(r,)

x0

zu��������������z

ru��������������

P(r,,z)

P(r,)r 0

0 2

P(r, ,z): r 0, 0 2 , z - , +

r cos sin x yu u u������������������������������������������

sin cos θ x yu u u������������������������������������������

etPour les 2:

u�������������� zu

��������������

x r cos sin u u u������������������������������������������

y r sin cos u u u������������������������������������������

et

z zu u����������������������������

3-dim.:

Physique B. Rossetto 6

1. Coordonnées Transformations

ru��������������

r

x

y

z

0u

��������������zu

��������������

r

z

1 – de polaires à cartésiennes x = r cos y = r sin z = z

1 – de cartésiennes à polaires

2 2r = x y

y = arctan et signe de x ou y

x

z = z

Physique B. Rossetto 7

2. Vecteurs Définition géométrique

=CD AB����������������������������

1 - Module (longueur) > 0 : AB =

2 - Support: droite D, ou toute droite parallèle à D 3 - Sens (flèche)

D

A

B

D

C

D’

Conséquence: si CD = AB si D’ // D

et si l’ orientation est la même alors:

AB��������������

Physique B. Rossetto 8

2. Vecteurs Expression algébrique

x yx y = v vV u u������������������������������������������

x

y

0 ��������������xu

��������������yu

x y v , v : composantes

x v

yv V��������������

xv cos V��������������

yv sin V��������������

V��������������

x v

x3

0 2 : si alors v 02 2

ysi 2 alors v 0

0x, V ,mod.2 ����������������������������

V�������������� y v

Physique B. Rossetto 9

2. Vecteurs Définitions des opérations sur les vecteurs

+ =AB BC AC������������������������������������������

1 - Addition (relation de Chasles)

A

BC

2 - Multiplication par un réel k

L’addition confère à l’ensemble des vecteurs une structure de groupe commutatif ( est l’élément neutre V

��������������est l’élément opposé)

0��������������

Ces 2 opérations confèrent à l’ensemble des vecteurs une structure d’anneau commutatif (k=1 est l’élément neutre)

Distributivité/addition: 1 1 2k , k( 2) k k V V V V��������������������������������������������������������

Physique B. Rossetto 10

2. Vecteurs Produit scalaire

1 2 1 2 1 2 1cos , OH. V V V V V V V��������������������������������������������������������������������������������������������������1 –Définition géométrique

2N. B.: 0 carré de la normeV V V

������������������������������������������

1V��������������

2V��������������

2V��������������

1 2, V V����������������������������

H

0

3 – Expression algébrique

1 2 1x 2x 1y 2y 1z 2zv v v v v v V V����������������������������

2 2 2 2x y zv v v ( Théorème de Pythagore)V V V

������������������������������������������

m n mn0 if m n

1 if m=n

u u����������������������������

2 - Relation d’orthonormalité

(commutativité)

Physique B. Rossetto 11

2. Vecteurs

Propriétés du produit scalaire1 2 2 1 V V V V

��������������������������������������������������������1 – Commutativité:

2 – Bilinéarité: 1 2 1 2, , ( ) V V U V U V U��������������������������������������������������������������������������������������������������

1 2 1 2, , ( ) V U U V U V U��������������������������������������������������������������������������������������������������

Propriétés de la norme2

1 0 V��������������

2 Inégalité de Schwartz: A B A B��������������������������������������������������������

Généralisation : un produit scalaire A,B est une forme bilinéaire definie sur

Généralisation: une norme est forme définie positive vérifiant l'in. de Schwartz

Physique B. Rossetto 12

2. Vecteurs Produit vectoriel

1 2 1 2 1 2sin ,

Direction: règle du trièdre direct

.V V V V V V������������������������������������������������������������������������������������

1 – Définition géométrique

1V��������������

2V��������������

q

1 2V V����������������������������

u v w

x x y y z z

, u, v, w : permutation de x, y, z

0

u u u

u u u u u u

������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

N.B.:

2 – Propriétés: - anticommutativité: 1 2 2 1 V V V V��������������������������������������������������������

- bilinéarité

1 2 1 2aire , V V V V��������������������������������������������������������

Physique B. Rossetto 13

2. Vecteurs Produit vectoriel: expression analytique

x y z

1 2 1x 1y 1z

2x 2y 2z

dé t v v v

v v v

u u u

V V

������������������������������������������

����������������������������

1y 1z 1x 1y1x 1z1 2 x y z

2y 2z 2x 2z 2x 2y

v v v vv vor dé t dé t dét

v v v v v v V V u u u����������������������������������������������������������������������

11 12 13 11 12 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 31 32 33 31 32

a a a a a a a a a a

dé t a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

Règle de Sarrus :

Physique B. Rossetto 14

3. Forces Définitions

F��������������

Une force est définie par un vecteur et un point d’application:1 - le module F = est l’intensité (newton)2 - le support D doit passer par le point auquel la force est appliquée3 - le sens indique la direction d’action

D

P

D’Conséquence: n’ont pas le même effetsi elles ne sont pas appliquées au même point P d’un corps rigide. Elles diffèrent par leur moment.

P’

'F��������������

F��������������

/ P( ') ' ' F PP F��������������������������������������� ���

/ P( ( ) 0) F������������� �

Le moment/P caractérise la capacité à produire une rotation autour de P

F '��������������

Définition du moment de par rapport à P:

= 'F F����������������������������

Physique B. Rossetto 15

3. Forces Force exercée par un ressort ou un élastique

Loi de Hooke (1678)

Le ressort exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement ouà sa compression

F��������������

x = k x u F����������������������������xu

��������������

k désigne la raideur du ressort en N m-1.

x

Physique B. Rossetto 16

3. Forces Gravité D’après la loi de la gravitation

universelle de Newton (1687)

Au niveau du sol, la terre exerce une force verticale dirigée vers le bas égale à

P

zP = -m g u������������� �

zu��������������

Accélération de la pesanteur :

rM m 2M m

= G udF

��������������

G = 6,67 m3 K-1 s-2

ru��������������

m

M

22

Mg G 9,81 ms

R

Physique B. Rossetto 17

3. Forces Forces de frottement

1. De type solide

2. De type fluide

TR

��������������

NR��������������

T

N

Rtg

R

La réaction est normale au point de contact.La force de frottement est tangentielle. Elle est caractérisée par l‘angle .

La force d’amortissement de type fluide s’oppose au mouvement. L’intensité de cette force de frottement est proportionnelle à la vitesse et sa direction opposée à celle –ci : Aux grandes vitesses, dans l’air, par exemple, elle peut être proportionnelle au carré de la vitesse :

TR��������������

NR��������������

1f F v����������������������������

2f v F v����������������������������

Physique B. Rossetto 18

3. Forces Inertie La masse m qui tourne autour d’un

axe situé à la distance r avec la vitesse angulaire est soumise à la force d’inertie (force centrifuge)

P

2rmω r.u

��������������

m

ru��������������

r

2 = mω r. rF u����������������������������

Conséquence. L’accélération de la pesanteur est la plus faible à l’équateur.

Exercice. Calculer la vitesse angulaire de rotation de la terre. En déduire la différence entre l’accélération de la pesanteur à la latitude 45° et à l’équateur.

Physique B. Rossetto 19

3. Forces Moment d’un couple

F

D

P

D’

P’F '��������������

/ O( , ') F F P'P F PP' F'������������������������������������������������������������������������������ ������

O

H

H’

1 - Définition. Un couple est un ensemble de 2 forces égales et opposées appliquées aux points P et P’

2 – Moment d’un couple/0: (O est situé entre P et P’ )

/ O( , ) F F' H'H F HH' F'���������������������������������������������������� ����

Dém : à partir de la définition

( ,PP ')F��������������

Physique B. Rossetto 20

3. Forces 1ère loi de Newton (principe d’inertie)

sans int éraction avec l'extérieur :

v cte, le module est cons tant ce qui signifie

la direction est constante

En particulier, pour un système en équ

v

v cte����������������������������

��������������

exttoutes

ilibre: =0 implique 0v F����������������������������

Soit un système (une particule, un ensemble de particules, un solide)

Physique B. Rossetto 21

3. Forces 3ème loi de Newton

(principe de l’action et de la réactionou principe d’opposition)

Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une forced'intensité égale, mais de sensopposé, exercée par le corps B.

Action

Réaction

AB

Physique B. Rossetto 22

4. Statique Equilibre d’un point ou d’une particule

1 - Identifier toutes les forces appliquées au point2 - Utiliser les théorèmes fondamentaux déduits de la 1ère loi de Newton

= 0F��������������

Pas de translation:

Exemple : équilibre d’un point P :

x

y T1

T2

P

1 2 + + = 0P T T������������������������������������������

1 2x : T cos( ) - T cos( ) = 0

1 2 y : T sin( ) + T sin( ) - P = 0

Connaissant P, et , on déduit T1 and T2

(autre méthode : relations dans le triangle)

Physique B. Rossetto 23

4. Statique Equilibre du solide

1 - Définir un système et identifier toutes les forces appliquées

2 - Appliquer les théorèmes fondamentaux:

= 0F��������������

Pas de translation:

Pas de rotation, par exemple par rapport à O: O ( )/ = 0F������������� �

Notez que ces questions requièrent des connaissances en dynamique du solide, comme le centre de masse

Physique B. Rossetto 24

4. Statique Equilibre d’un solide

1 2

Système : première poulie :

0 implique

Oy: W= T + T

F��������������

1T��������������

W��������������

1O

1 1 1 2

/ 0 implique

r T = r T

2T��������������

T��������������

r1

Au centre de la première poulie:

Dans cet exemple, il est indispensable de définir le système auquel on applique les théorèmes

Les mêmes équations peuvent être appliquées à l’autre poulie.Finalement, on trouve: T=W/2

r2

Physique B. Rossetto 25

4. Statique Equilibre d’un solide

T

N

0 implique

Ox: R F

Oy: W = R

F

��������������

Exemple: équilibre d’une échelle. W:poids, supposé appliqué en G L: longueur, : angle : caractérise le frottement solide en B

(cf. l’encadré): astatique > adynamique

TR��������������

NR��������������

TR��������������

NR��������������

G

F��������������

W�������������� B/ 0 implique

(L/2) W sin = L F cos

B A T N

L/ 0 implique: W sin +L R cos -R sin =0

2

T

N

Rtg

R

A

Finalement: max1

t g tan and < arctan(2 tg )2