Cours de Physique Mécanique Bruno ROSSETTO Professeur des Universités tél. + 336 08 45 48 54...

Cours de Physique

Mécanique

Bruno ROSSETTO Professeur des Universités

tél. + 336 08 45 48 54 email: [email protected] site: http://rossetto.univ-tln.fr

Physique B. Rossetto 2

1. Coordonnées Cartésiennes

x

y

0 ��xu

��yu

2-dim.

1 - Origine 0 2 - Système d’axes orthogonaux (0xy) 3 - Vecteurs unités andxu

��yu

��

x

y0

��xu

��yu

zu��

z 3-dim.

Orientation du système tridimensionnel de coordonnées:

- pas-de-vis usuel - règle des 3 doigts de la main droite


1. Coordonnées Règles d’orientation

x

y

z

y

z

x


1. Coordonnées Règles d’orientation

x

y

z

y

x

z


1. Coordonnées

x

y

0 ��xu

u��

Polaires (2-dim.)

ru��

��yu

Cylindriques (3-dim.)

P(r,)

x0

zu��z

ru��

P(r,,z)

P(r,)r 0

0 2

P(r, ,z): r 0, 0 2 , z - , +

r cos sin x yu u u��

sin cos θ x yu u u��

etPour les 2:

u�� zu

��

x r cos sin u u u��

y r sin cos u u u��

et

z zu u��

3-dim.:


1. Coordonnées Transformations

ru��

r

x

y

z

0u

��zu

��

r

z

1 – de polaires à cartésiennes x = r cos y = r sin z = z

1 – de cartésiennes à polaires

2 2r = x y

y = arctan et signe de x ou y

x

z = z


2. Vecteurs Définition géométrique

=CD AB��

1 - Module (longueur) > 0 : AB =

2 - Support: droite D, ou toute droite parallèle à D 3 - Sens (flèche)

D

A

B

D

C

D’

Conséquence: si CD = AB si D’ // D

et si l’ orientation est la même alors:

AB��


2. Vecteurs Expression algébrique

x yx y = v vV u u��

x

y

0 ��xu

��yu

x y v , v : composantes

x v

yv V��

xv cos V��

yv sin V��

V��

x v

x3

0 2 : si alors v 02 2

ysi 2 alors v 0

0x, V ,mod.2 ��

V�� y v


2. Vecteurs Définitions des opérations sur les vecteurs

+ =AB BC AC��

1 - Addition (relation de Chasles)

A

BC

2 - Multiplication par un réel k

L’addition confère à l’ensemble des vecteurs une structure de groupe commutatif ( est l’élément neutre V

��est l’élément opposé)

0��

Ces 2 opérations confèrent à l’ensemble des vecteurs une structure d’anneau commutatif (k=1 est l’élément neutre)

Distributivité/addition: 1 1 2k , k( 2) k k V V V V��


2. Vecteurs Produit scalaire

1 2 1 2 1 2 1cos , OH. V V V V V V V��1 –Définition géométrique

2N. B.: 0 carré de la normeV V V

��

1V��

2V��

2V��

1 2, V V��

H

0

3 – Expression algébrique

1 2 1x 2x 1y 2y 1z 2zv v v v v v V V��

2 2 2 2x y zv v v ( Théorème de Pythagore)V V V

��

m n mn0 if m n

1 if m=n

u u��

2 - Relation d’orthonormalité

(commutativité)


2. Vecteurs

Propriétés du produit scalaire1 2 2 1 V V V V

��1 – Commutativité:

2 – Bilinéarité: 1 2 1 2, , ( ) V V U V U V U��

1 2 1 2, , ( ) V U U V U V U��

Propriétés de la norme2

1 0 V��

2 Inégalité de Schwartz: A B A B��

Généralisation : un produit scalaire A,B est une forme bilinéaire definie sur

Généralisation: une norme est forme définie positive vérifiant l'in. de Schwartz


2. Vecteurs Produit vectoriel

1 2 1 2 1 2sin ,

Direction: règle du trièdre direct

.V V V V V V��

1 – Définition géométrique

1V��

2V��

q

1 2V V��

u v w

x x y y z z

, u, v, w : permutation de x, y, z

0

u u u

u u u u u u

��

��

N.B.:

2 – Propriétés: - anticommutativité: 1 2 2 1 V V V V��

- bilinéarité

1 2 1 2aire , V V V V��


2. Vecteurs Produit vectoriel: expression analytique

x y z

1 2 1x 1y 1z

2x 2y 2z

dé t v v v

v v v

u u u

V V

��

��

1y 1z 1x 1y1x 1z1 2 x y z

2y 2z 2x 2z 2x 2y

v v v vv vor dé t dé t dét

v v v v v v V V u u u��

11 12 13 11 12 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 31 32 33 31 32

a a a a a a a a a a

dé t a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

Règle de Sarrus :


3. Forces Définitions

F��

Une force est définie par un vecteur et un point d’application:1 - le module F = est l’intensité (newton)2 - le support D doit passer par le point auquel la force est appliquée3 - le sens indique la direction d’action

D

P

D’Conséquence: n’ont pas le même effetsi elles ne sont pas appliquées au même point P d’un corps rigide. Elles diffèrent par leur moment.

P’

'F��

F��

/ P( ') ' ' F PP F��

/ P( ( ) 0) F��

Le moment/P caractérise la capacité à produire une rotation autour de P

F '��

Définition du moment de par rapport à P:

= 'F F��


3. Forces Force exercée par un ressort ou un élastique

Loi de Hooke (1678)

Le ressort exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement ouà sa compression

F��

x = k x u F��xu

��

k désigne la raideur du ressort en N m-1.

x


3. Forces Gravité D’après la loi de la gravitation

universelle de Newton (1687)

Au niveau du sol, la terre exerce une force verticale dirigée vers le bas égale à

P

zP = -m g u��

zu��

Accélération de la pesanteur :

rM m 2M m

= G udF

��

G = 6,67 m3 K-1 s-2

ru��

m

M

22

Mg G 9,81 ms

R


3. Forces Forces de frottement

1. De type solide

2. De type fluide

TR

��

NR��

T

N

Rtg

R

La réaction est normale au point de contact.La force de frottement est tangentielle. Elle est caractérisée par l‘angle .

La force d’amortissement de type fluide s’oppose au mouvement. L’intensité de cette force de frottement est proportionnelle à la vitesse et sa direction opposée à celle –ci : Aux grandes vitesses, dans l’air, par exemple, elle peut être proportionnelle au carré de la vitesse :

TR��

NR��

1f F v��

2f v F v��


3. Forces Inertie La masse m qui tourne autour d’un

axe situé à la distance r avec la vitesse angulaire est soumise à la force d’inertie (force centrifuge)

P

2rmω r.u

��

m

ru��

r

2 = mω r. rF u��

Conséquence. L’accélération de la pesanteur est la plus faible à l’équateur.

Exercice. Calculer la vitesse angulaire de rotation de la terre. En déduire la différence entre l’accélération de la pesanteur à la latitude 45° et à l’équateur.


3. Forces Moment d’un couple

F

D

P

D’

P’F '��

/ O( , ') F F P'P F PP' F'��

O

H

H’

1 - Définition. Un couple est un ensemble de 2 forces égales et opposées appliquées aux points P et P’

2 – Moment d’un couple/0: (O est situé entre P et P’ )

/ O( , ) F F' H'H F HH' F'��

Dém : à partir de la définition

( ,PP ')F��


3. Forces 1ère loi de Newton (principe d’inertie)

sans int éraction avec l'extérieur :

v cte, le module est cons tant ce qui signifie

la direction est constante

En particulier, pour un système en équ

v

v cte��

��

exttoutes

ilibre: =0 implique 0v F��

Soit un système (une particule, un ensemble de particules, un solide)


3. Forces 3ème loi de Newton

(principe de l’action et de la réactionou principe d’opposition)

Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une forced'intensité égale, mais de sensopposé, exercée par le corps B.

Action

Réaction

AB


4. Statique Equilibre d’un point ou d’une particule

1 - Identifier toutes les forces appliquées au point2 - Utiliser les théorèmes fondamentaux déduits de la 1ère loi de Newton

= 0F��

Pas de translation:

Exemple : équilibre d’un point P :

x

y T1

T2

P

1 2 + + = 0P T T��

1 2x : T cos( ) - T cos( ) = 0

1 2 y : T sin( ) + T sin( ) - P = 0

Connaissant P, et , on déduit T1 and T2

(autre méthode : relations dans le triangle)


4. Statique Equilibre du solide

1 - Définir un système et identifier toutes les forces appliquées

2 - Appliquer les théorèmes fondamentaux:

= 0F��

Pas de translation:

Pas de rotation, par exemple par rapport à O: O ( )/ = 0F��

Notez que ces questions requièrent des connaissances en dynamique du solide, comme le centre de masse


4. Statique Equilibre d’un solide

1 2

Système : première poulie :

0 implique

Oy: W= T + T

F��

1T��

W��

1O

1 1 1 2

/ 0 implique

r T = r T

2T��

T��

r1

Au centre de la première poulie:

Dans cet exemple, il est indispensable de définir le système auquel on applique les théorèmes

Les mêmes équations peuvent être appliquées à l’autre poulie.Finalement, on trouve: T=W/2

r2


4. Statique Equilibre d’un solide

T

N

0 implique

Ox: R F

Oy: W = R

F

��

Exemple: équilibre d’une échelle. W:poids, supposé appliqué en G L: longueur, : angle : caractérise le frottement solide en B

(cf. l’encadré): astatique > adynamique

TR��

NR��

TR��

NR��

G

F��

W�� B/ 0 implique

(L/2) W sin = L F cos

B A T N

L/ 0 implique: W sin +L R cos -R sin =0

2

T

N

Rtg

R

A

Finalement: max1

t g tan and < arctan(2 tg )2

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