21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet1 Cours de graphes Quelques graphes particuliers.

21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Quelques graphes particuliers.Quelques graphes particuliers.

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•Arbres, Arbres, graphes particuliersgraphes particuliers •Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphes, graphes Coloriage de graphes, graphes planairesplanaires•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets

Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.

• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :grandes catégories :

– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !

• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :grandes catégories :

MMEEMMOOIIRREE

PROCPROC

RREESSEEAAUU

• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :deux grandes catégories :

– Les ordinateurs à mémoires distribuées !Les ordinateurs à mémoires distribuées !

PROCPROC

RREESSEEAAUU

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

RREESSEEAAUU

MEMOIREMEMOIRE

• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!

• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !

PROCPROC

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Un premier saut . . .Un premier saut . . .

PROCPROC

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Un premier saut . . .Un premier saut . . . suivi d’un second !suivi d’un second !

• Dans le mode « circuit switched » nous établissons Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens un chemin direct par concaténation de liens individuels !individuels !

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• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !

• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !

• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !

• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !

– Le degré des nœuds – le nombre de voisins !Le degré des nœuds – le nombre de voisins !

– La régularité du degré – tout le monde a le même La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins !nombre de voisins !

– Le degré des nœuds – le nombre de voisins !Le degré des nœuds – le nombre de voisins !

– La régularité du degré – tout le monde a le même La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins !nombre de voisins !

– Le diamètre du graphe !Le diamètre du graphe !

– La valeur de bissection qui donne le plus petit La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre !l’autre !

– Le diamètre du graphe !Le diamètre du graphe !

– La valeur de bissection qui donne le plus petit La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre !l’autre !

La bissectionLa bissectionvaut 3 ici !vaut 3 ici !

– Est-ce que la structure du graphe est régulière ?Est-ce que la structure du graphe est régulière ?

– Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ?le graphe (cycle de Hamilton) ?

– Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?

– Est-ce que la structure du graphe est régulière ?Est-ce que la structure du graphe est régulière ?

• Un anneau (cycle) est régulier !Un anneau (cycle) est régulier !

• Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des extrémités !extrémités !

– Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ?le graphe (cycle de Hamilton) ?

Ce grapheCe graphe contient un anneaucontient un anneau

– Combien y a-t-il de plus courts chemins Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?disjoints ?

Ce grapheCe graphe contient deux pluscontient deux pluscourts chemins :courts chemins :

• Le graphe idéal vérifie, Le graphe idéal vérifie, entre autresentre autres : :

– Le degré de chaque sommet est moyen !Le degré de chaque sommet est moyen !

– Le graphe est de degré régulier !Le graphe est de degré régulier !

– Le diamètre est petit !Le diamètre est petit !

– La bissection est grande !La bissection est grande !

– La structure du graphe est régulière !La structure du graphe est régulière !

– Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels comme sous-graphes !comme sous-graphes !

– Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !disjoints !

• Le graphe idéal vérifie, Le graphe idéal vérifie, entre autresentre autres : :

– Le degré de chaque sommet est moyen !Le degré de chaque sommet est moyen !

– Le graphe est de degré régulier !Le graphe est de degré régulier !

– Le diamètre est petit !Le diamètre est petit !

– La bissection est grande !La bissection est grande !

– La structure du graphe est régulière !La structure du graphe est régulière !

– Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels comme sous-graphes !comme sous-graphes !

– Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !disjoints !

Numérotation des nœudsNumérotation des nœuds----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Comment devons-nous numéroter les sommets pour Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ?numéros des points de départ et d’arrivée ?

• On appelle « router » le fait de trouver un des plus On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.

• Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !première arête du plus court chemin !

• Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir du second sommet, etc.du second sommet, etc.

Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

G R A P H EG R A P H E

E N L I G N EE N L I G N E

. . .. . .

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.ou plus grand.

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :

– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

– Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

– Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.

– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !!

– Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !

• C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du graphe soit limité à 2 !graphe soit limité à 2 !

Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

E N A N N E A UE N A N N E A U

. . .. . .

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). des modulos ).

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

– Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

– Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !

. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). que le plus court des chemins ( différence des modulos ).

– Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !de plus courts chemins alternatifs, . . . !

• Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau !degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau !

Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

P R O D U I TP R O D U I T

D E G R A P H E SD E G R A P H E S

• Soient deux graphes G et G’ ! Soient deux graphes G et G’ !

• Soient deux graphes G et G’ !Soient deux graphes G et G’ !

• Nous appelons produit de ces deux graphes le Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :graphe :

– qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,celle de G’ ,

• Soient deux graphes G et G’ !Soient deux graphes G et G’ !

• Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :

– qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,

– qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi :qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi :

• i = k et ( j , l ) est une arête de G’ ,i = k et ( j , l ) est une arête de G’ ,

• j = l et ( i , k ) est une arête de G .j = l et ( i , k ) est une arête de G .

. . .. . .

EnEnconstruction !construction !

. . .. . .

LeLevoilà !voilà !

. . .. . .

EnEnconstruction !construction !

. . .. . .

LeLevoilà !voilà !

La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L AL A

G R I L L E 2 - DG R I L L E 2 - D

• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !

– Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds !n*m nœuds !

• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !

– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !

– Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds !nœuds !

– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !

• Routage :Routage :

– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !

– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite ensuite l’autre.l’autre.

– Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !

– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite l’autre.ensuite l’autre.

– Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !

– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite l’autre.ensuite l’autre.

– Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !