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  • 8/13/2019 Wigner Bilingue

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    A ImplausvelEficcia da

    Matemtica nasCincias Naturais

    e UnreasonableEffectiveness of

    Mathematics in theNatural Sciences

    EUGENE F. WIGNER

    Princeton University

    A matemtica, apropria damente vista, dotadano somente de verdade, mas de uma beleza su-

    prema, uma beleza fria e austera, como a deuma escultura, sem suplicar a nenhuma partede nossa fraca natureza, sem as deslumbrantesarmadilhas da pintura e da msica, por ora su-blimemente pura e suceptvel a uma severa per-feio tal qual somente a maior das artes poderevelar. O verdadeiro esprito de deleite, a exal-tao, o senso de ser mais que Homem, que o crivo da mais alta excelncia, encontrada namatemtica to se guramente quanto na poe sia.

    BERTRAND RUSSELL,Estudo da Matemtica

    Mathematics, rightly viewed, possesses not

    only truth, but supreme beauty, a beauty coldand austere, like that of sculpture, without ap-peal to any part of our weaker nature, withoutthe gorgeous trappings of painting or music, yetsublimely pure, and capable of a stern perfec-tion such as only the greatest art can show. Thetrue spirit of delight, the exaltation, the senseof being more than Man, which is the touch-stone of the highest excellence, is to be foundin mathematics as surely as in poetry.

    BERTRAND RUSSELL,Study of Mathematics

    Existe uma histria a respeito de dois ere is a story about two friends, whoamigos, colegas de classe no colgio, fa- were classmates in high school, talkinglando sobre suas profisses. Um deles tor- about their jobs. One of them became anou-se um estatstico e estava trabalhando statistician and was working on populationcom estudos populacionais. Ele mostrou trends. He showed a reprint to his formeruma publicao ao seu antigo colega de classmate. e reprint started, as usual,classe. A publicao comeava, como de with the Gaussian distribution and thehbito, com a distribuio gaussiana e o statistician explained to his former class-

    estatstico explicou ao colega o significado mate the meaning of the symbols for thedos smbolos para a populao real, para a actual population, for the average popula-populao mdia e assim por diante. Seu tion, and so on. His classmate was a bit in-colega se mostrava um pouco incrdulo e credulous and was not quite sure whetherparecia no estar certo de que no estava the statistician was pulling his leg. Howsendo vtima de uma brincadeira. Como can you know that? was his query. Andvoc pode saber isso? foi sua pergunta. E what is this symbol here? Oh, said theo que este smbolo aqui? Ah, disse o es- statistician, this is . What is that? etatstico, isso . O que isso? A razo ratio of the circumference of the circle to

    entre a circunferncia do crculo e seu di- its diameter. Well, now you are pushingmetro. Agora voc est levando a brinca- your joke too far, said the classmate, su-deira longe demais, disse o colega, certa- rely the population has nothing to do withmente a populao no tem nada a ver com the circumference of the circle.a circunferncia de um crculo.

    Nossa inclinao natural sorrir diante Naturally, we are inclined to smile

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    da simplicidade desse ponto de vista. No about the simplicity of the classmates ap-entanto, sempre que ouo essa histria, sou proach. Nevertheless, when I heard thistomado por um sentimento sinistro pois story, I had to admit to an eerie feelingna reao do colega do estatstico no h because, surely, the reaction of the class-nada mais que uma manifestao de puro mate betrayed only plain common sense. Ie simples bom senso. Fiquei ainda mais was even more confused when, not many

    confuso quando, alguns dias mais tarde, days later, someone came to me and ex-algum expressou a mim seu espanto com pressed his bewilderment with the facto fato de que fazemos escolhas muito res- that we make a rather narrow selectiontritas quando escolhemos os dados que when choosing the data on which we testvamos utilizar para testar nossas teorias. our theories. How do we know that, ifComo podemos saber que no poss- we made a theory which focuses its at-vel, levando-se em conta o que havamos tention on phenomena we disregard anddesprezado e desprezando o que havamos disregards some of the phenomena nowconsiderado, construir uma nova teoria, commanding our attention, that we could

    em tudo diferente da que temos mas que, not build another theory which has little intanto quanto ela, capaz de explicar um common with the present one but which,grande nmero de fatos significativos. Te- nevertheless, explains just as many phe-mos que admitir que no existe nenhuma nomena as the present theory? It has toevidncia definitiva de que isso no pos- be admitted that we have no definite evi-svel. dence that there is no such theory.

    A observao a ser citada foi feita a mim por F. Werner na poca em que era estudante em Princeton.

    e remark to be quoted was made by F. Werner when he was a student in Princeton.

    As duas histrias precedentes ilustram e preceding two stories illustrate the

    duas questes principais que so o as- two main points which are the subjects ofsunto do presente discurso. A primeira de- the present discourse. e first point islas que os conceitos matemticos apare- that mathematical concepts turn up in en-cem em situaes totalmente inesperadas. tirely unexpected connections. Moreover,Alm disso, eles permitem, com frequn- they oen permit an unexpectedly closecia, descries, surpreendentemente pr- and accurate description of the phenom-ximas e precisas, dos fenmenos em ques- enain these connections. Secondly, just be-to. A segunda que, exatamente por causa cause of this circumstance, and because wedas circunstncias descritas e tambm por do not understand the reasons of their use-

    no entendermos as razes dessa utilidade, fulness, we cannot know whether a theoryno podemos saber se a teoria formulada formulated in terms of mathematical con-em termos desses conceitos matemticos cepts is uniquely appropriate. We are in aa nica apropriada. Estamos numa situa- position similar to that of a man who waso parecida com a do homem que recebeu provided with a bunch of keys and who,um molho de chaves e que, tendo de abrir having to open several doors in succession,seguidamente diversas portas, sempre en- always hit on the right key on the first orcontra, na primeira ou na segunda tenta- second trial. He became skeptical concern-tiva, a chave certa. Esse fato o torna ctico ing the uniqueness of the coordination be-

    emrelao unicidade da correspondncia tween keys and doors.entre chaves e portas.

    Muito do que ser dito a respeito des- Most of what will be said on these ques-sas questes no ser novidade; provavel- tions will not be new; it has probably oc-mente j ocorreu, de uma forma ou de curred to most scientists in one form or an-outra, para a maioria dos cientistas. Meu other. My principal aim is to illuminate it

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    principal objetivo ser iluminar a questo from several sides. e first point is thatde diversos ngulos. O primeiro aspecto a the enormous usefulness of mathematicsser considerado que a enorme utilidade in the natural sciences is something bor-da matemtica para as cincias naturais dering on the mysterious and that there isalgo que beira o mistrio e que no pode ser no rational explanation for it. Second, it isracionalmente explicado. Em segundo lu- just this uncanny usefulness of mathemat-

    gar, exatamente essa misteriosa utilidade ical concepts that raises the question of thedos conceitos matemticos que levanta a uniqueness of our physical theories. In or-questo da unicidade de nossas teorias f- der to establish the first point, that math-sicas. Para tratar da primeiraquesto, quea ematics plays an unreasonably importantmatemtica desempenhauma funo na f- role in physics, it will be useful to say asicacuja importncia ultrapassa o razovel, few words on the question, What is math-ser til dizer alguma coisa sobre a ques- ematics?, then, What is physics?, then,to O que a matemtica? e a seguir how mathematics enters physical theories,sobre O que a fsica? e, em seguida, so- and last, why the success of mathematics in

    bre como a matemtica aparece nas teorias its role in physics appears so baffling. Muchfsicas e, finalmente, sobre a razo do su- less will be said on the second point: thecesso da matemtica ao tratar com a fsica uniqueness of the theories of physics. Aser to desconcertante. Muito menos se proper answer to this question would re-dir sobre a segunda questo: a unicidade quire elaborate experimental and theoret-das teorias fsicas. Uma resposta adequada ical work which has not been undertakenpara esta questo exigiria um trabalho te- to date.rico e experimental que at hoje ainda nofoi realizado.

    O M? Algum W M? Somebodydisse, certa vez, que filosofia o mau uso de once said that philosophy is the misuse ofuma terminologia inventada exatamente a terminology which was invented just forcom esse propsito. Nessa mesma linha, this purpose. In the same vein, I wouldeu diria que a matemtica a cincia de en- say that mathematics is the science of skill-genhosas operaes com regras e conceitos ful operations with concepts and rules in-inventados exatamente com esse prop- vented just for this purpose.e principalsito. A principal nfase est na inveno emphasis is on the invention of concepts.dos conceitos. A matemtica veria esgotar Mathematics would soon run out of inter-

    rapidamente seus teoremas interessantes se esting theorems if these had to be formu-eles fossem formulados apenas em termos lated in terms of the concepts which al-dos conceitos que j apareceram nos pos- ready appear in the axioms. Furthermore,tulados. Alm disso, apesar de ser inques- whereas it is unquestionably true that thetionvel que os conceitos da matemtica concepts of elementary mathematics andelementar, particularmente os da geome- particularly elementary geometry were for-tria elementar, so formulados para des- mulated to describe entities which are di-crever entidades que so diretamente su- rectly suggested by the actual world, thegeridas pelo mundo real, o mesmo no pa- same does not seem to be true of the more

    rece ser verdadeiro para os conceitos mais advanced concepts, in particular the con-avanados, em particular para os concei- cepts which play such an important role intos que desempenham um papel funda- physics.us, the rules for operations withmental para a fsica. Assim, as regras para pairs of numbers are obviously designed tooperar com pares de nmeros so obvia- give the same results as the operations withmente formuladas para fornecer os mes- fractions which we first learned without

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    mos resultados que os das operaes com reference to pairs of numbers. e rulesfraes que inicialmente aprendemos sem for the operations with sequences, that is,fazer referncia a pares de nmeros. As with irrational numbers, still belong to theregras para operaes com sequncias, isto category of rules which were determined, com nmeros irracionais, ainda perten- so as to reproduce rules for the operationscem a categoria das regras que foram for- with quantities which were already known

    muladas para reproduzir regras de opera- to us. Most more advanced mathemati-es de quantidades que j eram por ns cal concepts, such as complex numbers,conhecidas. A maior parte dos conceitos algebras, linear operators, Borel setsandmatemticos mais avanados, tais como this list could be continued almost indef-os nmeros complexos, lgebras, opera- initelywere so devised that they are aptdores lineares, conjuntos de Borel e a subjects on which the mathematician canlista pode ser prolongada quase indefini- demonstrate his ingenuity and sense of for-damente foram concebidas de forma a mal beauty. In fact, the definition of theseserem entidades com as quais o matem- concepts, with a realization that interest-

    tico pode demonstrar toda sua engenhosi- ing and ingenious considerations could bedade e senso de beleza. De fato, a definio applied to them, is the first demonstra-desses conceitos, com a percepo de que tion of the ingeniousness of the mathe-consideraes engenhosas e interessantes matician who defines them. e depth ofpoderiam ser a eles aplicadas, a primeira thought which goes into the formulationdemonstrao de engenhosidade do mate- of the mathematical concepts is later justi-mtico que os define. A profundidade de fied by the skill with which these conceptspensamento que entra na formulao de are used. e great mathematician fully,conceitos matemticos justificada,a pos- almost ruthlessly, exploits the domain of

    teriori, pela habilidade (eficcia) com que permissible reasoning and skirts the im-esses conceitos so utilizados. O grande permissible.at his recklessness does notmatemtico explora integralmente, quase lead him into a morass of contradictionsimplacavelmente, os domnios dos raci- is a miracle in itself: certainly it is hardocnios permissveis at o limite dos no to believe that our reasoning power waspermissveis. Que esse atrevimento no o brought, by Darwins process of natural se-leve a um pntano de contradies , em lection, to the perfection which it seems tosi mesmo, um milagre: difcil de acredi- possess. However, this is not our presenttar que nosso poder de raciocnio foi le- subject. e principal point which will

    vado, por um processo de seleo natural have to be recalled later is that the math-Darwiniano, perfeio que aparenta pos- ematician could formulate only a handfulsuir. Esse no , no entanto, o assunto de of interesting theorems without definingque estamos tratando. O ponto principal concepts beyond those contained in theque ter que ser recordado mais tarde axioms and that the concepts outside thoseque se o matemtico no quiser que a ma- contained in the axioms are defined with atemtica fique restrita a uns poucos teore- view of permitting ingenious logical oper-mas interessantes, ser necessrio definir ations which appeal to our aesthetic sensenovos conceitos alm daqueles j contidos both as operations and also in their results

    nos axiomas, mais ainda do que isso, esses of great generality and simplicity.

    conceitos precisam ser definidos de formaa permitir hbeis operaes lgicas, comforte apelo esttico, tanto no que se refereas operaes como tambem em termos deresultados de grande generalidade e sim-

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    plicidade.

    Essa afirmao foi retirada de W. DubislavsDie Philosophie der mathematik in der Gegenwart.Junkerund Dunnhaupt Verlag, Berlin, , pg. .

    M. Polanyi em seu Personal Knowledge, University of Chicago Press, diz: Todas essas dificuldadesno so nada alm de consequncias de nossa recusa em ver que a matemtica no pode ser definidasem levar em conta sua mais bvia caracterstica: isto , que ela interessante, (pg. ).

    is statement is quoted here from W. Dubislavs Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart

    (Berlin: Junker and Dunnhaupt Verlag, ), p. . M. Polanyi, in his Personal Knowledge (Chicago: University of Chicago Press, ), says: All these

    difficulties are but consequences of our refusal to see that mathematics cannot be defined without ac-knowledging its most obvious feature: namely, that it is interesting (p. ).

    Os nmeros complexos fornecem um e complex numbers provide a par-exemplo notvel para o que vem a seguir. ticularly striking example for the forego- certo que no h nada em nossa experi- ing. Certainly, nothing in our experiencencia que possa sugerir a introduo des- suggests the introduction of these quanti-sas quantidades. De fato, se pedirmos a um ties. Indeed, if a mathematician is asked to

    matemtico para que justifique seu inte- justify his interest in complex numbers, heresse por esses nmeros ele apontar, com will point, with some indignation, to thealguma indignao, para o grande nmero many beautiful theorems in the theory ofde belos teoremas na teoria das equaes, equations, of power series, and of analyticpara a teoria de sries de potncias e para a functions in general, which owe their ori-teoria geral das funes analticas cuja ori- gin to the introduction of complex num-gem est ligada a introduo dos nmeros bers. e mathematician is not willing tocomplexos. O matemtico no pretende give up his interest in these most beautifulabrir mo de seu interesse por essas belas accomplishments of his genius.

    criaes de seu gnio.

    O leitor pode estar interessado, com relao a isso, nas observaes muito irritadas de Hilbert em re-lao ao intuicionismo que procura fracionar e desfigurar a matemtica, Abh. Math. Sem. Univ.Hamburg, vol , ouGesammelte Werke, Springer, Berlin, , pg. .

    e reader may be interested, in this connection, in Hilberts rather testy remarks about intuitionismwhich seeks to break up and to disfigure mathematics, Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg, (),orGesammelte Werke(Berlin: Springer, ), p. .

    O F? O fsico se interessa W P? e physicist is in-em descobrir as leis da natureza inani- terested in discovering the laws of inani-mada. Para entendermos essa afirmao mate nature. In order to understand this

    necessrio analisarmos o conceito de lei statement, it is necessary to analyze thenatural. concept, law of nature.

    O mundo ao nosso redor de descon- e world around us is of baffling com-certante complexidade e o fato mais b- plexity and the most obvious fact about itvio a seu respeito que no podemos pre- is that we cannot predict the future. Al-ver o futuro. Embora se costume dizer que though the joke attributes only to the op-somente o otimista acha o futuro incerto, timist the view that the future is uncertain,o otimista est, nesse caso, certo: o fu- the optimist is right in this case: the futureturo imprevisvel. , como Schroedin- is unpredictable. It is, as Schrodinger has

    ger observou, um milagre que certas regu- remarked, a miracle that in spite of the baf-laridades nos eventos, apesar da descon- fling complexity of the world, certain reg-certante complexidade do mundo, possam ularities in the events could be discovered.ser descobertas []. Uma dessas regulari- One such regularity, discovered by Galileo,dades, descoberta por Galileu, que duas is that two rocks, dropped at the same timepedras, soltas no mesmo instante, de uma from the same height, reach the ground at

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    mesma altura, atingem o cho simultane- the same time.e laws of nature are con-amente. As leis da natureza se referem a cerned with such regularities. Galileos reg-essas regularidades. A regularidade de Ga- ularity is a prototype of a large class ofregu-lileu um prottipo de uma grande classe larities. It is a surprising regularity for threedelas. Por trs razes, essa regularidade reasons.surpreendente.

    A primeira razo pela qual ela surpre- e first reason that it is surprisingendente que ela no verdadeira apenas is that it is true not only in Pisa, and inem Pisa, no tempo de Galileu mas ver- Galileos time, it is true everywhere on thedadeira em todos os lugares da terra, foi Earth, was always true, and will alwaysverdadeira no passado e continuar, sem- be true. is property of the regularitypre, sendo verdadeira. Essa propriedade is a recognized invariance property and,claramente uma propriedade de invarin- as I had occasion to point out some timecia e, comotive a oportunidade de observar ago, without invariance principles similaralgum tempo atrs [], sem princpios de to those implied in the preceding gener-

    invarincia semelhantes a esse, obtido pela alization of Galileos observation, physicsgeneralizaodasobservaes de Galileu, a would not be possible.e second surpris-fsica no possvel. A segunda razo para ing feature is that the regularity which weessa regularidade que estamos discutindo are discussing is independent of so many surpreendente o fato dela no depender conditions which could have an effect onde muitas condies que poderiam afet- it. It is valid no matter whether it rains orla. Chovendo ou no chovendo, sendo re- not, whether the experiment is carried outalizada numa sala ou na Torre Inclinada e in a room or from the Leaning Tower, noindependentemente de ser homem ou mu- matter whether the person who drops the

    lher a pessoa que solta a pedra, ela v- rocksis a man ora woman. It is valid eveniflida. Continua vlida tambm no caso das the two rocks are dropped, simultaneouslyduas pedras serem soltas, simultaneamente and from the same height, by two differ-e da mesma altura, por duas pessoas dife- ent people. ere are, obviously, innumer-rentes. Existem, obviamente, enumerveis able other conditions which are all imma-outras condies que no interferem na va- terial from the point of view of the validitylidade da regularidade de Galileu. A irre- of Galileos regularity. e irrelevancy oflevncia de muitas circunstncias que po- so many circumstances which could playderiamintervir num fenmeno observado a role in the phenomenon observed has

    tambm tem sido chamado de invarincia also been called an invariance. However,[]. Essa invarincia tem, no entanto, ca- this invariance is of a different characterractersticas diferentes da anterior em vir- from the preceding one since it cannot betude do fato dela no poder ser formulada formulated as a general principle. e ex-como um princpio geral. A explorao das ploration of the conditions which do, andcondies que afetam ou no um determi- which do not, influence a phenomenon isnado fenmeno faz parte das pesquisas ex- part of the early experimental explorationperimentais iniciais que so feitas ao se es- of a field. It is the skill and ingenuity of thetudar de um campo. a percia e a arg- experimenter which show him phenomena

    cia do experimentador que iro indicar a which depend on a relatively narrow set ofele fenmenos que dependem de um n- relatively easily realizable and reproduciblemero relativamente pequeno de condies conditions. In the present case, Galileosque podem ser facilmente percebidas e re- restriction of his observations to relativelyproduzidas. No caso presente, a restrio heavy bodies was the most important stepfeita por Galileu de s trabalhar com cor- in this regard. Again, it is true that if there

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    pos relativamente pesados, a mais impor- were no phenomena which are indepen-tante. Voltamos a insistir que, se no exis- dent of all but a manageably small set oftissem fenmenos dependentes apenas de conditions, physics would be impossible.um pequeno nmero de condies que po-demos controlar, a fsica no seria possvel.

    Veja a esse respeito, o ensaio grfico de M. Deutsch, Daedalus, Vol. , , pg. . A Shimony

    chamou minha ateno para uma passagem semelhante em C. S. Peirces Essays in the Philosophy ofScience,e Liberal Arts Press, New York, (pg. ).

    See, in this connection, the graphic essay of M. Deutsch, Daedalus , (). A. Shimony has calledmy attention to a similar passage in C. S. Peirces Essays in the Philosophy of Science (New York: eLiberal Arts Press, ), p. .

    Os dois pontos precedentes, embora e preceding two points, though hi-muito significativos para o filsofo, no fo- ghly significant from the point of view ofram os que mais surpreenderam Galileu the philosopher, are not the ones whichuma vez que eles no contm uma lei da surprised Galileo most, nor do they con-natureza. A lei da natureza est contida tain a specific law of nature.e law of na-

    na afirmao de que o intervalo de tempo ture is contained in the statement that thenecessrio para um objeto pesado cair de length of time which it takes for a heavyuma determinada altura independente do object to fall from a given height is inde-tamanho, da forma e do material de que pendent of the size, material, and shape offeito o corpo que cai. No contexto da se- the body which drops. In the frameworkgunda lei de Newton isso equivale afir- of Newtons second law, this amounts tomao de que a fora gravitacional que age the statement that the gravitational forceno corpo em queda livre proporcional a which acts on the falling body is propor-sua massa mas, independe do tamanho, da tional to its mass but independent of the

    forma e do material do qual o corpo feito. size, material, and shape of the body whichfalls.

    A discusso precedente tem a inteno e preceding discussionis intended tode lembrar, em primeiro lugar que no remind us, first, that it is not at all naturalnada natural que leis da natureza existam that laws of nature exist, much less thate, muito menos, que o homem seja capaz man is able to discover them. e presentde descobri-las. O presente autor teve a writer had occasion, some time ago, toocasio, algum tempo atrs, de chamar a call attention to the succession of layersateno para os sucessivos nveis de leis of laws of nature, each layer contain-

    da natureza, cada nvel contendo leis mais ing more general and more encompassinggerais e abrangentes do que o anterior e laws than the previous one and its discov-tambm para o fato de as descobertas des- ery constituting a deeper penetration intoses nveis constiturem-se num crescente the structure of the universe than the lay-aprofundamento na estrutura do universo ers recognized before. However, the pointem relao aos nveis conhecidos anteri- which is most significant in the presentormente []. No entanto, o ponto mais context is that all these laws of nature con-importante no presente contexto que to- tain, in even their remotest consequences,das essas leis da natureza, mesmo em suas only a small part of our knowledge of the

    mais remotas consequncias, contm ape- inanimate world. All the laws of nature arenas um pequeno fragmento de nosso co- conditional statements which permit a pre-nhecimento da natureza inanimada. Todas diction of some future events on the basisas leis da natureza so afirmaes condici- of the knowledge of the present, except thatonais que permitem, a partir do conheci- some aspects of the present state of the wo-mento do presente, predizer algunseventos rld, in practice the overwhelming majority

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    futuros; na realidade, apenas alguns aspec- of the determinants of the present state oftos do atual estado do mundo so neces- the world, are irrelevant from the point ofsrios pois, na prtica, a maioria esmaga- view of the prediction. e irrelevancy isdora das condies que determinam o es- meant in the sense of the second point intado presente do mundo so, do ponto de the discussion of Galileos theorem.

    vista da previso, irrelevantes. A irrelevn-

    cia entendida aqui no sentido do segundoponto da discusso do teorema de Galileu.

    E. Schroedinger, em What is Life, Cambridge University Press, , diz que esse segundo milagre pode,muito bem, estar alm da compreenso humana (pg. ).

    O autor est seguro de que desnecessrio mencionar que o teorema de Galileu, como foi abordado notexto, no exaure o contedo das observaes de Galileu relativas s leis dos corpos em queda livre.

    E. Schroedinger, in his What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press, ), p. , says thatthis second miracle may well be beyond human understanding.

    e writer feels sure that it is unnecessary to mention that Galileos theorem, as given in the text, doesnot exhaust the content of Galileos observations in connection with the laws of freely falling bodies.

    No que se refere ao estado presente do As regards the present state of the wo-mundo, tal como a existncia da Terra em rld, such as the existence of the earth onque vivemos e onde os experimentos de which we live and on which Galileos ex-Galileu foram feitos, a existncia do Sol periments were performed, the existencee de todos os nossos arredores, as leis da of the sun and of all our surroundings,natureza nada dizem. em consonncia the laws of nature are entirely silent. Itcom isso que as leis da natureza s po- is in consonance with this, first, that thedem ser utilizadas para predizer eventos laws of nature can be used to predict fu-futuros sob circunstncias excepcionais ture events only under exceptional circum-

    quando todos os fatores que determinam stanceswhen all the relevant determinantso presente estado do mundo so conheci- of the present state of the world are known.dos. tambm em consonncia com isso It is also in consonance with this that theque a construo de mquinas cujo fun- construction of machines, the functioningcionamento podemos prever, constitui as of which he can foresee, constitutes themais espetaculares realizaes dos fsicos. most spectacular accomplishment of theNessas mquinas, o fsico cria uma situa- physicist. In these machines, the physicisto em que todas as coordenadas relevan- creates a situation in which all the relevanttes so conhecidas de tal forma que o com- coordinates are known so that the behavior

    portamento da mquina pode ser predito. of the machine can be predicted. RadarsRadares e reatores nucleares so exemplos and nuclear reactors are examples of suchdesse tipo de mquinas. machines.

    O principal propsito da presente dis- e principal purpose of the precedingcusso salientar o fato de que as leis discussion is to point out that the laws ofda natureza so afirmaes condicionais nature are all conditional statements ande que se relacionam apenas com uma parte they relate only to a very small part of ourmuito pequena de nosso conhecimento do knowledge of the world. us, classicalmundo. Assim, a mecnica clssica, que mechanics, which is the best known proto-

    o mais conhecido prottipo de todas as te- type of a physical theory, gives the secondorias fsicas, d, a partir do conhecimento derivatives of the positional coordinatesdas posies, etc. dos corpos, as deriva- of all bodies, on the basis of the knowl-das segundas das coordenadas de posio edge of the positions, etc., of these bodies.de todos esses corpos. No d porm, ne- It gives no information on the existence,nhuma informao sobre a existncia, as the present positions, or velocities of these

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    posies no momento, nem da velocidade bodies. It should be mentioned, for thedesses corpos. A bem da preciso precisa- sake of accuracy, that we discovered aboutmos mencionar que aprendemos, h mais thirty years ago that even the conditionalou menos trinta anos, que mesmo as afir- statements cannot be entirely precise: thatmaes condicionais no podem ser com- the conditional statements are probabilitypletamente precisas: as afirmaces condi- laws which enable us only to place intelli-

    cionais so leis de probabilidade que so- gent bets on future properties of the inani-mente nos capacitam a fazer apostas inteli- mate world, based on the knowledge of thegentes, fundadas em nosso conhecimento present state.eydonotallowustomakedo presente, sobre as propriedades que o categorical statements, not even categori-mundo inanimado ter no futuro. Elas no cal statements conditional on the presentnos permite fazer afirmaes categricas, state of the world.e probabilistic naturenem mesmo afirmaes condicionais cate- of the laws of nature manifests itself ingricas, fundadas em nosso conhecimento the case of machines also, and can be veri-do presente. A natureza probabilstica das fied, at least in the case of nuclear reactors,

    leis da natureza se manifesta tambm no if one runs them at very low power. How-caso das mquinas, pelo menos no caso ever, the additional limitation of the scopedos reatores nucleares quando os fazemos of the laws of nature which follows fromfuncionar com potncias muito baixas isso their probabilistic nature will play no rolepode ser verificado. Todavia essa limitao in the rest of the discussion.adicional ao escopo das leis da natureza,

    imposta pela sua natureza probabilstica,no desempenhar papel algum no restode nossa discusso.

    Veja, por exemplo, E. Schroedinger, referncia [].O P M T- TR M P-

    F. Aps havermos analisado as- T. Having refreshed ourpectos essenciais da matemtica e da fsica, minds as to the essence of mathematics anddevemos estar em melhor posio para dis- physics, we should be in a better position tocutir o papel da matemtica nas teorias f- review the role of mathematics in physicalsicas. theories.

    , naturalmente, corriqueiro o uso da Naturally, we do use mathematics inmatemtica na fsica para calcular os resul- everyday physics to evaluate the results

    tados das aplicaes das leis da natureza, of the laws of nature, to apply the condi-isto , para aplicar as afirmaes condici- tional statements to the particular condi-onais s particulares condies que preva- tions which happen to prevail or happen tolecem no momento ou quelas em que ti- interest us. In order that this be possible,vermos interesse. Para que isso seja pos- the laws of nature must already be formu-svel, as leis da natureza precisam j estar lated in mathematical language. However,formuladas em linguagem matemtica. No the role of evaluating the consequences ofentanto, a funo de calcular as consequn- already established theories is not the mostcias de teorias j estabelecidas no o pa- important role of mathematics in physics.

    pel mais importante da matemtica na f- Mathematics, or, rather, applied mathe-sica. matemtica, ou melhor, matem- matics, is not so much the master of thetica aplicada no desempenha o principal situation in this function: it is merely serv-papel nessa funo: ela apenas uma fer- ing as a tool.ramente auxiliar.

    A matemtica, todavia, desempenha Mathematics does play, however, also a

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    um papel bem mais importante em fsica. more sovereign role in physics.iswasal-Isso j estava implcito quando afirmamos, ready implied in the statement, made whenao discutir o papel da matemtica apli- discussing the role of applied mathematics,cada, que as leis da natureza j deviam that the laws of nature must have been for-estar formuladas em linguagem matem- mulated in the language of mathematics totica para poderem ser por ela utilizadas. be an object for the use of applied mathe-

    A afirmao de que as leis da natureza matics. e statement that the laws of na-so escritas em linguagem matemtica j ture are written in the language of mathe-foi feita, muito adequadamente, trezentos matics was properly made three hundredanos atrs; essa afirmao agora ainda years ago; it is now more true than evermais verdadeira do que jamais foi. Para before. In order to show the importancemostrar a importncia que os conceitos which mathematical concepts possess inmatemticos tm na formulao das leis the formulation of the lawsof physics, let usfsicas, vamos, como um exemplo, recor- recall, as an example, the axioms of quan-dar os axiomas da mecnica quntica for- tum mechanics as formulated, explicitly, by

    mulados, de forma explcita, pelo grande the great physicist, Dirac.erearetwoba-matemtico von Neumann, ou, implicita- sic concepts in quantum mechanics: statesmente, pelo grande fsico Dirac [,]. Exis- and observables. e states are vectors intem dois conceitos bsicos em mecnica Hilbert space, the observables self-adjointquntica: estados e observveis. Os esta- operators on these vectors. e possibledos so vetores num espao de Hilbert e os values of the observations are the charac-observveis so operadores auto-adjuntos teristic values of the operatorsbut we hadnesse espao. Os possveis valores das ob- better stop here lest we engage in a listingservaes so os valores caractersticos dos of the mathematical concepts developed in

    operadores , no entanto, melhor parar the theory of linear operators.por aqui para no termos que fazer umalista de conceitos matemticos criados pelateoria dos operadores.

    Essa afirmao atribuda a Galileu.

    It is attributed to Galileo.

    claro que verdade que a fsica es- It is true, of course, that physics cho-colhe certos conceitos matemticos para oses certain mathematical concepts for theformular as leis da natureza e, certamente, formulation of the laws of nature, and su-

    apenas uma pequena frao desses concei- rely only a fraction of all mathematicaltos utilizada na fsica. Tambm verdade concepts is used in physics. It is true alsoque eles no foram escolhidos, de forma that the concepts which were chosen werearbitrria, entre os conceitos que figuram not selected arbitrarily from a listing ofnuma lista de termos matemticos mas, mathematical terms but were developed, inao contrrio, foram, em muitos casos, se many if not most cases, independently byno na maioria deles, desenvolvidos, de the physicist and recognized then as hav-forma independente pelo fsico e, somente ing been conceived before by the mathe-a posteriori, reconhecidos como tendo sido matician. It is not true, however, as is so

    concebidos previamente pelo matemtico. oen stated, that this had to happen be-No verdade, porem, como afirmado cause mathematics uses the simplest possi-com frequncia, que isso teria que acon- ble concepts and these were bound to oc-tecer porque a matemtica utiliza os con- cur in any formalism. As we saw before, theceitos mais simples possveis e, em virtude concepts of mathematics are not chosen fordisso, eles teriam que aparecer em qualquer their conceptual simplicityeven sequences

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    formalismo. Como j vimos, os conceitos of pairs of numbers are far from being thematemticos no so escolhidos por sua simplest conceptsbut for their amenabil-simplicidade conceitual mesmo sequn- ity to clever manipulations and to striking,cia de pares de nmeros esto muito longe brilliant arguments. Let us not forget thatde estar entre os conceitos mais simples the Hilbert space of quantum mechanics e sim por se prestarem a manipulaes is the complex Hilbert space, with a Her-

    astutas e a argumentos brilhantes. No de- mitean scalar product. Surely to the unpre-vemos esquecer que o espao de Hilbert occupied mind, complex numbers are farda mecnica quntica um espao sobre from natural or simple and they cannot beos nmeros complexos com produto esca- suggested by physical observations. Fur-lar Hermitiano. Certamente para o esprito thermore, the use of complex numbers isdespreocupado, os nmeros complexos es- in this case not a calculational trick of ap-to longe de ser naturais e simples e no po- plied mathematics but comes close tobeingdem ser sugeridos por observaes fsicas. a necessity in the formulation of the laws ofAlm disso, o uso de nmeros complexos quantum mechanics. Finally, it now begins

    no , nesse caso, um truque computaci- to appear that not only complex numbersonal de matemtica aplicada mas se apro- but so-called analytic functions are des-xima de uma necessidade na formulao tined to play a decisive role in the formu-das leis da mecnica quntica. Finalmente, lation of quantum theory. I am referring tocomea agora a parecer que as chamadas the rapidly developing theory of dispersionfunes analticas esto destinadas a de- relations.sempenhar papel decisivo na formulaoda teoria quntica. Estou me referindo aorpido desenvolvimento da teoria das rela-

    es de disperso. difcil evitar a impresso de que nos It is difficult to avoid the impression

    defrontamos aqui com um milagre, que that a miracle confronts us here, quite com-pela sua surpreendente natureza, se com- parable in its striking nature to the miraclepara com outro que a capacidade que a that the human mind can string a thousandmente humana tem de encadear mil argu- arguments together without getting itselfmentos sem cair em contradio ou ainda a into contradictions, or to the two miraclesdois outros que so a existncia das leis da of the existence of laws of nature and ofnatureza e a capacidade da mente humana the human minds capacity to divine them.

    de adivinh-las. Que eu saiba, a observa- e observation which comes closest to ano que mais se aproxima de uma expli- explanation for the mathematical conceptscao para o fato dos conceitos de mate- cropping up in physics which I know ismtica aparecerem tanto em fsica foi feita Einsteins statement that the only physicalpor Einstein que afirmou que as nicas te- theories which we are willing to accept areorias fsicas que estamos dispostos a acei- the beautiful ones. It stands to argue thattar so as bonitas. Resta argumentar que the concepts of mathematics, which inviteos conceitos matemticos, que convidam the exercise of so much wit, have the qual-ao exerccio de tanta argcia, tem a quali- ity of beauty. However, Einsteins observa-

    dade de beleza. No entanto, a observao tion can at best explain properties of theo-de Einstein pode, na melhor das hipteses, ries which we are willing to believe and hasexplicar propriedades de teorias que que- no reference to the intrinsic accuracy of theremos aceitar mas, ela no faz referncia theory. We shall, therefore, turn to this lat-preciso intrnseca dessas teorias. Retor- ter question.naremos, mais tarde a essa questo.

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    O S TF R- I S PT- S? Uma poss- TS? A possible expla-vel forma de explicar o uso que o fsico nation of the physicists use of mathematicsfaz da matemtica para formular suas leis to formulate his laws of nature is that he isda natureza que ele uma pessoa at a somewhat irresponsible person. As a re-certo ponto irresponsvel. Por causa disso, sult, when he finds a connection between

    quando ele encontra uma conexo entre two quantities which resembles a connec-duas quantidades que se assemelha a uma tion well-known from mathematics, he willconexo j conhecida em matemtica ele jump at the conclusion that the connectionconclui imediatamente, que a conexo da is that discussed in mathematics simply be-fsica a da matemtica j que ele no co- cause he does not know of any other sim-nhece nenhuma outra similar. No pre- ilar connection. It is not the intention oftendemos aqui refutar essa acusao de the present discussion to refute the chargecerta irresponsabilidade por parte do f- that the physicist is a somewhat irrespon-sico. Pode ser que ele seja assim. , no sible person. Perhaps he is. However, it

    entanto, importante observar que a for- is important to point out that the math-mulao matemtica de uma experincia ematical formulation of the physicists of-fsica, s vezes rudimentar, leva, um n- ten crude experience leads in an uncannymero surpreendente de vezes, a uma des- number of cases to an amazingly accuratecrio extraordinariamente precisa de uma description of a large class of phenomena.classe muito grande de fenmenos. Isso is shows that the mathematical languagemostra que a linguagem matemtica tem has more to commend it than being themais a recomend-la do que ser a nica only language which we can speak; it showslinguagem que sabemos utilizar; mostra that it is, in a very real sense, the correct

    num sentido muito real que a linguagem language. Let us consider a few examples.correta. Vamos examinar alguns exemplos.

    O primeiro exemplo, frequentemente e first example is the o-quoted onecitado, o do movimento planetrio. As of planetary motion. e laws of fallingleis dos corpos em queda livre ficaram bodies became rather well established asmuito bem estabelecidas em consequncia a result of experiments carried out princi-de experincias efetuadas principalmente pally in Italy.ese experiments could notna Itlia. Essas experincias, em parte por be very accurate in the sense in which wecausa do efeito causado pela resistncia do understand accuracy today partly because

    ar e, em parte, pela impossibilidade que of the effect of air resistance and partly be-se tinha na poca de medir intervalos de cause of the impossibility, at that time, totempo muito pequenos, no poderiam ter measure short time intervals. Neverthe-sido muito precisas. Entretanto, no causa less, it is not surprising that, as a resultgrande surpresa que os cientistas naturais of their studies, the Italian natural scien-italianos tenham adquirido familiaridade tists acquired a familiarity with the wayscom a forma como os objetos se movi- in which objects travel through the atmo-mentam atravs da atmosfera. Foi Newton sphere. It was Newton who then broughtquem relacionou a lei que rege os objetos the law of freely falling objects into rela-

    em queda livre com o movimento da Lua, tion with the motion of the moon, notednotou que a parbola descrita pela pedra that the parabola of the thrown rocks pathatirada na Terra e a trajetria circular da on the earth and the circle of the moonsLua no cu so casos particulares de um path in the sky are particular cases of themesmo objeto matemtico e, apoiado ape- same mathematical object of an ellipse, andnas numa nica e, na poca, pouco precisa postulated the universal law of gravitation

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    coincidncia numrica, formulou e postu- on the basis of a single, and at that timelou a lei da gravitao universal. Do ponto very approximate, numerical coincidence.de vista filosfico, a lei de gravitao, da Philosophically, the law of gravitation asforma como foi formulada por Newton, era formulated by Newton was repugnant torepugnante no apenas a seu tempo mas his time and to himself. Empirically, it wastambm a si prprio. Baseava-se em ob- based on very scanty observations. e

    servaes empricas muito escassas. A lin- mathematical language in which it was for-guagem matemtica na qual era formulada mulated contained the concept of a secondcontinha o conceito de segunda derivada derivative and those of us who have tried toe aqueles de ns que j tentaram desenhar draw an osculating circle to a curve knowum crculo osculador de uma curva sabem that the second derivative is not a very im-que uma segunda derivada no um con- mediate concept.e law of gravity whichceito muito imediato. A lei de gravitao Newton reluctantly established and whichque Newton estabeleceu de forma to relu- he could verify with an accuracy of abouttante e que foi capaz de verificar com pre- % has proved to be accurate to less than a

    ciso de aproximadamente % provou ser ten thousandth of a per cent and became socorreta dentro de uma aproximao de um closely associated with the idea of absolutesobre dez mil por cento e tornou-se to as- accuracy that only recently did physicistssociada a idia de exatido absoluta que become again bold enough to inquire intoapenas recentemente os fsicos adquiriram the limitations of its accuracy. Certainly,coragem para questionar os limites dessa the example of Newtons law, quoted overexatido. Sem dvida, o exemplo da lei de and over again, must be mentioned first asNewton, citado to frequentemente, deve a monumental example of a law, formu-ser o primeiro a ser mencionado como um lated in terms which appear simple to the

    exemplo monumental de uma lei formu- mathematician, which has proved accuratelada em termos que parecem simples para beyond all reasonable expectations. Let usum matemtico e que mostrou uma pre- just recapitulate our thesis on this example:ciso alm de qualquer expectativa razo- first, the law, particularly since a secondvel. Vale a pena recapitular nossa tese nesse derivative appears in it, is simple only toexemplo: em primeiro lugar a lei, parti- the mathematician, not to common sensecularmente por conter uma derivada se- or to non-mathematically-minded fresh-gunda, simples apenas para o matemtico men; second, it is a conditional law of verye no para o senso comum ou para uma limited scope. It explains nothing about

    mente no matemtica; em segundo lugar the earth which attracts Galileos rocks, or uma lei condicional de escopo muito li- about the circular form of the moons orbit,mitado. Ela no explica nada sobre a Terra or about the planets of the sun.e expla-que atrai as pedras lanadas por Galileu ou nation of these initial conditions is le tosobre a rbita circular da Lua ou sobre os the geologist and the astronomer, and theyplanetas do Sol. A explicao dessas con- have a hard time with them.dies iniciais relegada ao gelogo e aoastrnomo que enfrentam, com isso, gran-des dificuldades.

    Veja, por exemplo, R. H. Dicke,American Scientist, Vol. , . See, for instance, R. H. Dicke, Am. Sci., ().

    O segundo exemplo refere-se a me- e second example is that of ordinary,cnica quntica elementar. Originou-se elementary quantum mechanics. is ori-com a observao feita por Max Born de ginated when Max Born noticed that someque algumas regras de clculo formuladas rules of computation, given by Heisenberg,

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    por Heisenberg eram formalmente idnti- were formally identical with the rules ofcas a regras de clculo com matrizes, esta- computation with matrices, established abelecidas muito antes, pelos matemticos. long time before by mathematicians. Born,Born, Jordan e Heisenberg propuseram en- Jordan, and Heisenberg then proposed toto substituir a posio e o momento nas replace by matrices the position and mo-equaes da mecnica clssica por vari- mentum variables of the equations of clas-

    veis matriciais []. Eles aplicaram as regras sical mechanics. ey applied the rules ofda mecnica matricial a uns poucos pro- matrix mechanics to a few highly idealizedblemas, altamente idealizados, e os resul- problems and the results were quite satis-tados foram bem satisfatrios. Entretanto, factory. However, there was, at that time,no havia naquela poca nenhuma evidn- no rational evidence that their matrix me-cia racional de que essa mecnica matricial chanics would prove correct under morepudesse, em condies mais realistas, vir realistic conditions. Indeed, they say ifa ser correta. Eles, de fato, se pergunta- the mechanics as here proposed shouldram: A mecnica, da forma proposta, em already be correct in its essential traits.

    seus traos essenciais, no poderia estar As a matter of fact, the first applicationcorreta? Na realidade, a primeira aplica- of their mechanics to a realistic problem,o dessa mecnica a um problema real, o that of the hydrogen atom, was given sev-do tomo de hidrognio, foi feita, alguns eral months later, by Pauli.is applicationmeses mais tarde, por Pauli. Essa aplicao gave results in agreement with experience.forneceu resultados concordantes com a is was satisfactory but still understand-experincia. Isso era satisfatrio mas ainda able because Heisenbergs rules of calcula-compreensvel porque as regras de clculo tion were abstracted from problems whichde Heisenberg foram formuladas a partir included the old theory of the hydrogen

    de problemas que incluam a antiga teoria atom.emiracleoccurredonlywhenma-do tomo de hidrognio. O verdadeiro mi- trix mechanics, or a mathematically equiv-lagre ocorreu apenas quando a mecnica alent theory, was applied to problems formatricial, ou uma teoria matematicamente which Heisenbergs calculating rules wereequivalente, foi aplicada a problemas para meaningless. Heisenbergs rules presup-os quais as regras de clculo de Heisen- posed that the classical equations of mo-berg no faziam sentido. As regras de Hei- tion had solutions with certain periodicitysenberg tinham como pressuposto que as properties; and the equations of motion ofequaes clssicas do movimento tivessem the two electrons of the helium atom, or

    solues com certas propriedades de pe- of the even greater number of electrons ofriodicidade. Com dois eltrons, no caso heavier atoms, simply do not have thesedo tomo de hlio, ou um nmero ainda properties, so that Heisenbergs rules can-maior quando se trata de tomos mais pe- not be applied to these cases. Nevertheless,sados, as equaes do movimento no tm the calculation of the lowest energy level ofessas propriedades e portanto as regras de helium, as carried out a few months ago byHeisenberg no podem ser aplicadas. No Kinoshita at Cornell and by Bazley at theentanto, o clculo feito no nvel mais baixo Bureau of Standards, agrees with the ex-de energia do hlio, feito alguns meses atrs perimental data within the accuracy of the

    por Kinoshita em Cornell e por Bazley no observations, which is one part in ten mil-Bureau of Standards, concorda com os da- lion. Surely in this case we got somethingdos experimentais dentro dos limites de out of the equations that we did not putpreciso da observao que de um sobre in.dez milhes. Desta vez, tiramos das equa-es, algo que, certamente, no havamos

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    posto nelas.O mesmo verdadeiro em relao as e same is true of the qualitative char-

    caractersticas qualitativas dos espectros acteristics of the complex spectra, that is,complexos, isto , dos espectros dos to- the spectra of heavier atoms. I wish to re-mosmais pesados. Desejo relatar uma con- call a conversation with Jordan, who toldversa com Jordan que me contou, na poca me, when the qualitative features of the

    em que as propriedades qualitativas dos es- spectra were derived, that a disagreementpectros foram deduzidas, que uma discor- of the rules derived from quantum me-dncia entre as regras derivadas da teoria chanical theory and the rules establishedda mecnica quntica e as regras estabele- by empirical research would have providedcidas por pesquisa emprica, teriam forne- the last opportunity to make a change incido uma ltima oportunidade para fazer the framework of matrix mechanics. Inuma mudana na mecnica matricial. Em other words, Jordan felt that we would haveoutras palavras, Jordan sentiu que teramos been, at least temporarily, helpless had anficado, pelo menos temporariamente, per- unexpected disagreement occurred in the

    didos caso houvesse ocorrido um inespe- theory of the helium atom.is was, at thatrado desacordo na teoria do tomo de h- time, developed by Kellner and by Hiller-lio. A verificao da concordncia foi feita, aas. e mathematical formalism was toona poca, por Kellner e Hilleraas. O forma- dear and unchangeable so that, had thelismo matemtico era muito claro e imut- miracle of helium which was mentionedvel de forma que, no houvesse ocorrido o before not occurred, a true crisis wouldmilagre descrito anteriormente com o h- have arisen. Surely, physics would havelio, uma verdadeira crise estaria instalada. overcome that crisis in one way or another.Certamente, de uma forma ou de outra a It is true, on the other hand, that physics

    fsica teria superado essa crise. Por outro as we know it today would not be possi-lado verdade que a fsica como a conhe- ble without a constant recurrence of mira-cemos hoje no seria possvel sem a cons- cles similar to the one of the helium atom,tante repetio de milagres similares ao do which is perhaps the most striking mira-tomo de hlio que provavelmente o mais cle that has occurred in the course of theextraordinrio que ocorreu no desenvol- development of elementary quantum me-vimento da mecnica quntica elementar, chanics, but by far not the only one. In fact,mas est muito longe de ser o nico. De the number of analogous miracles is lim-fato esse nmero de milagres s limitado ited, in our view, only by our willingness

    por nossa disposio de buscar outros. A to go aer more similar ones. Quantummecnica quntica teve muitos outros su- mechanics had, nevertheless, many almostcessos, quase igualmente extraordinrios, equally striking successes which gave uso que nos d a firme convico de que ela the firm conviction that it is, what we call,, o que chamamos, correta. correct.

    O ltimo exemplo o da eletrodin- e last example is that of quantummica quntica, ou a teoria do deslocamento electrodynamics, or the theory of the Lambde Lamb. Enquanto a teoria da gravita- shi. Whereas Newtons theory of gravi-o de Newton ainda estava obviamente tation still had obvious connections with

    ligada a experincia, esta s participa da experience, experience entered the formu-formulao da mecnica matricial de uma lation of matrix mechanics only in the re-forma muito refinada ou sublimada atra- fined or sublimated form of Heisenbergsvs das prescries de Heisenberg. A te- prescriptions. e quantum theory of theoria quntica do deslocamento de Lamb Lamb shi, as conceived by Bethe and es-da forma concebida por Bethe e estabe- tablished by Schwinger, is a purely mathe-

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    lecida por Schwinger uma teoria pura- matical theory and the only direct contri-mente matemtica e a nica contribuio bution of experiment was to show the ex-experimental direta foi a demonstrao da istence of a measurable effect. e agree-existncia de um efeito mensurvel. A con- ment with calculation is better than onecordncia com os clculos melhor do que part in a thousand.uma parte em mil.

    Os trs exemplos precedentes, que po- e preceding three examples, whichderiam ser aumentados quase indefinida- could be multiplied almost indefinitely,mente, devem ilustrar a propriedade e a should illustrate the appropriateness andpreciso da formulao matemtica das leis accuracy of the mathematical formulationda natureza em termos dos conceitos esco- of the laws of nature in terms of conceptslhidos pela sua manipulabilidade, sendo as chosen for their manipulability, the lawsleis da natureza de uma preciso quase of nature being of almost fantastic accu-fantstica mas de escopo estritamente li- racy but of strictly limited scope. I proposemitado. Proponho chamar de lei emprica to refer to the observation which these ex-

    da epistemologia as observaes que esses amples illustrate as the empirical law ofexemplos ilustram. Ela forma, junto com epistemology. Together with the laws ofas leis de invarincia das leis fsicas, a in- invariance of physical theories, it is an in-dispensvel fundamentao dessas teorias. dispensable foundation of these theories.Sem as leis de invarincia as teorias fsi- Without the laws of invariance the physicalcas no poderiam ser fundamentadas com theories could have been given no founda-fatos; se a lei emprica da epistemologia tion of fact; if the empirical law of episte-no fosse correta teramos falta de estmulo mology were not correct, we would lacke segurana que so necessidades emocio- the encouragement and reassurance which

    nais sem as quais as leis da natureza no are emotional necessities, without whichpoderiam ter sido exploradas com sucesso. the laws of nature could not have beenO Dr. R. G. Sachs com quem discuti a lei successfully explored. Dr. R. G. Sachs,emprica da epistemologia chamou-ade ar- with whom I discussed the empirical lawtigo de f do fsico terico e, sem dvida of epistemology, called it an article of faithnenhuma, isso mesmo que ela . No en- of the theoretical physicist, and it is surelytanto, o que ele chamou de nosso artigo de that. However, what he called our articlef pode ser ilustrado por exemplos verda- of faith can be well supported by actual ex-deiros muitos outros exemplos alm dos amplesmany examples in addition to the

    trs que mencionamos. three which have been mentioned.A U T F. T U T

    A natureza emprica da observao an- P. e empirical nature of theterior me parece bvia. Ela certamente preceding observation seems to me to beno uma necessidade do pensamento self-evident. It surely is not a necessity ofe no deveria ser necessrio para provar thought and it should not be necessary,isso apelar para o fato de que ela somente in order to prove this, to point to the factse aplica a uma pequena parte do nosso co- that it applies only to a very small part ofnhecimento do mundo inanimado. ab- our knowledge of the inanimate world. It

    surdo acreditar que a existncia de expres- is absurd to believe that the existence ofses matemticas simples para a derivada mathematically simple expressions for thesegunda da (funo) posio evidente second derivative of the position is self-quando nenhuma expresso similar para evident, when no similar expressions fora posio ou para a velocidade existem. , the position itself or for the velocity exist.portanto, muito surpreendente a presteza It is therefore surprising how readily the

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    com que o maravilhoso presente contido wonderful gi contained in the empiricalna lei emprica da epistemologia foi dado law of epistemology was taken for granted.como evidente. A habilidade da mente hu- e ability of the human mind to form amana, j mencionada anteriormente, de string of conclusions and still remainencadear mil argumentos de forma cor- right, which was mentioned before, is areta um dom similar. similar gi.

    Toda lei emprica tem a inquietante Every empirical law has the disquietingqualidade de no se conhecer suas limi- quality that one does not know its limita-taes. Vimos que existem regularida- tions. We have seen that there are regular-des nos eventos do mundo que nos cerca ities in the events in the world around usque podem ser formuladas em termos de which can be formulated in terms of math-conceitos matemticos com incrvel preci- ematical concepts with an uncanny accu-so. Existem, por outro lado, aspectos do racy. ere are, on the other hand, as-mundo em relao aos quais no acredi- pects of the world concerning which we dotamos na existncia de regularidades pre- not believe in the existence of any accu-

    cisas. Esses aspectos recebem o nome de rate regularities. We call these initial con-condies iniciais. A questo que se apre- ditions.e question which presents itselfsenta se essas diferentes regularidades, is whether the different regularities, thatisto , as diferentes leis da natureza que se- is, the various laws of nature which willro descobertas iro se fundir numa nica be discovered, will fuse into a single con-unidade consistente ou se, pelo menos, se sistent unit, or at least asymptotically ap-aproximaro assintoticamente dessa fuso. proach such a fusion. Alternatively, it isPor outro lado possvel que sempre exis- possible that there always will be some lawstam algumas leis da natureza que no te- of nature which have nothing in common

    nham nada em comum umas com as ou- with each other. At present, this is true,tras. No presente, isso ocorre, por exemplo, for instance, of the laws of heredity and ofcom as leis da hereditariedade e as da fsica. physics. It is even possible that some of the at mesmo possvel que algumas leis da laws of nature will be in conflict with eachnatureza, em suas implicaes estejam em other in their implications, but each con-conflito umas com as outras mas que sejam vincing enough in its own domain so thatto convincentes em seus prprios dom- we may not be willing to abandon any ofnios que no se queira abandon-las. Po- them. We may resign ourselves to such ademos nos resignar a esse estado de coisas state of affairs or our interest in clearing up

    ou ainda mais, nosso interesse em resol- the conflict between the various theoriesver esse conflito entre as diversas teorias, may fade out. We may lose interest in thepode desaparecer. Podemos perder nosso ultimate truth, that is, in a picture whichinteresse pela verdade ltima, isto , um is a consistent fusion into a single unit ofpanorama que seja a fuso consistente das the little pictures, formed on the various as-diversas imagens locais formadas por cada pects of nature.um dos diversos aspectos da natureza.

    Pode ser til ilustrar as alternativas por It may be useful to illustrate the alter-um exemplo. Temos agora, em fsica duas natives by an example. We now have, in

    teorias de grande poder e interesse: a teoria physics, two theories of great power anddos fenmenos qunticos e a teoria da re- interest: the theory of quantum phenom-latividade. Essas teorias tem suas razes em ena and the theory of relativity. ese twogrupos de fenmenos mutuamente exclu- theories have their roots in mutually exclu-sivos. A teoria da relatividade se aplica a sive groups of phenomena. Relativity the-corpos macroscpios como, por exemplo, ory applies to macroscopic bodies, such as

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    estrelas. O evento de coincidncia, que stars. e event of coincidence, that is, inem ltima anlise uma coliso, o evento ultimate analysis of collision, is the prim-primitivo na teoria da relatividade e de- itive event in the theory of relativity andfine um ponto no espao-tempo, ou, pelo defines a point in space-time, or at leastmenos, definiria um ponto se as partcu- would define a point if the colliding pan-las em coliso forem infinitamente peque- icles were infinitely small. Quantum the-

    nas. A teoria quntica tem suas razes no ory has its roots in the microscopic worldmundo microscpico e, de seu ponto de and, from its point of view, the event of co-vista, o evento de coincidncia, ou de co- incidence, or of collision, even if it takesliso, mesmo que ele ocorra entre part- place between particles of no spatial extent,culas sem extenso espacial, no primi- is not primitive and not at all sharply iso-tivo e de forma alguma nitidamente iso- lated in space-time. e two theories op-lado no espao-tempo. As duas teorias uti- erate with different mathematical concept-lizam conceitos matemticos diferentes sthe four dimensional Riemann space andum espao Riemanniano de dimenso e the infinite dimensional Hilbert space, re-

    um espao de Hilbert de dimenso infi- spectively. So far, the two theories couldnita, respectivamente. At agora, as duas not be united, that is, no mathematical for-teorias no puderam ser reunidas, isto , mulation exists to which both of these the-no existe nenhuma formulao matem- ories are approximations. All physicists be-tica da qual ambas as teorias sejam apro- lieve that a union of the two theories is in-ximaes. Todos os fsicos acreditam que herently possible and that we shall find it.a unio das duas teorias inerentemente Nevertheless, it is possible also to imag-possvel e que iremos conseguir faz-la. No ine that no union of the two theories canentanto, possvel tambm imaginar que be found. is example illustrates the two

    nenhuma unio das duas teorias possa ser possibilities, of union and of conflict, men-encontrada. O exemplo que demos ilustra tioned before, both of which are conceiv-as duas possibilidades anteriormente men- able.cionadas, unio e conflito, ambas conceb-veis.

    Para conseguirmos uma indicao de In order to obtain an indication as toqual das alternativas devemos esperar que which alternative to expect ultimately, weacontea podemos fingir que somos um can pretend to be a little more ignorantpouco mais ignorantes do que realmente than we are and place ourselves at a lower

    somos e nos colocarmos num nvel de co- level of knowledge than we actually pos-nhecimento abaixo do que realmente pos- sess. If we can find a fusion of our theoriessumos. Se pudermos encontrar uma fuso on this lower level of intelligence, we cande nossas teorias nesse nvel mais baixo de confidently expect thatwe will find a fusionconhecimento poderemos ficar confiantes of our theories also at our real level of in-de que encontraremos tambm uma fuso telligence. On the other hand, if we wouldno nvel do nosso conhecimento real. Por arrive at mutually contradictory theories atoutro lado, se chegarmos, nesse nvel mais a somewhat lower level of knowledge, thebaixo, a teorias mutuamente contraditrias possibility of the permanence of conflict-

    no poderemos descartar a possibilidade ing theories cannot be excluded for our-de que as teorias permaneam conflitan- selves either. e level of knowledge andtes no nvel mais alto. O nvel de conheci- ingenuity is a continuous variable and itmento e de engenhosidade uma varivel is unlikely that a relatively small variationcontnua e pouco provvel que pequenas of this continuous variable changes the at-variaes dessa varivel transforme a ima- tainable picture of theworldfrom inconsis-

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    gem que podemos ter do universo de in- tent to consistent. Considered from thisconsistente para consistente. Considerado point of view, the fact that some of thedesse ponto de vista, o fato de que algumas theories which we know to be false givedas teorias que sabemos serem falsas for- such amazingly accurate results is an ad-necerem resultados to incrivelmente pre- verse factor. Had we somewhat less knowl-cisos, umfator adverso. Se tivssemos um edge, the group of phenomena which these

    conhecimento um pouco menor, o grupo false theories explain would appear to usde fenmenos que essas teorias falsas ex- to be large enough to prove these theo-plicam pareceria para ns suficientemente ries. However, these theories are consid-grande para prov-las. No entanto, con- ered to be false by us just for the reasonsideramos essas teorias falsas pelo fato de that they are, in ultimate analysis, incom-que elas so, em ltima anlise, incompa- patible with more encompassing picturestveis em contextos mais abrangentes e, se and, if sufficiently many such false theo-um nmero suficiente dessas teorias fal- ries are discovered, they are bound to provesas fosse descoberto, elas poderiam tam- also to be in conflict with each other. Sim-

    bm estar em conflito, umas com as ou- ilarly, it is possible that the theories, whichtras. De maneira similar, possvel que as we consider to be proved by a number ofteorias que consideramos provadas por numerical agreements which appears to beum nmero de concordncias numricas large enough for us, are false because theyque aparenta ser suficientemente grande, are in conflict with a possible more encom-sejam falsas por estarem em conflito com passing theory which is beyond our meansteorias mais abrangentes mas que estejam of discovery. If this were true, we wouldfora do alcance de nossas descobertas. Se have to expect conflicts between our theo-isso for verdade deveremos esperar con- ries as soon as their number grows beyond

    flitos entre nossas teorias, sempre que seu a certain point and as soon as they cover anmero cresa alm de um certo ponto e sufficiently large number of groups of phe-assim que abranjam um nmero suficien- nomena. Incontrast to the article of faith oftemente grande de grupos de fenmenos. the theoretical physicist mentioned before,Em contraste com o artigo de f mencio- this is the nightmare of the theorist.nado anteriormente, este o pesadelo dofsico terico.

    Essa passagem foi escrita aps muita hesitao. O autor est convencido de que til, em discussesepistemolgicas, abandonar a idealizao de que o nvel da inteligncia humana tem uma posio sin-gular numa escala absoluta. E em alguns casos, pode at mesmo ser til considerar as realiza es pos-sveis no nvel de inteligncia de outras espcies. No entanto, o autor tem conscincia de que suasreflexes seguindo as linhas sugeridas pelo texto so muito breves e foram insuficientemente criticadaspara serem confiveis.

    is passage was written aer a great deal of hesitation.e writer is convinced that it is useful, in epis-temological discussions, to abandon the idealization that the level of human intelligence has a singularposition on an absolute scale. In some cases it may even be useful to consider the attainment which ispossible at the level of the intelligence of some other species. However, the writer also realizes that histhinking along the lines indicated in the text was too brief and not subject to sufficient critical appraisalto be reliable.

    Vamos considerar alguns exemplos de Let us consider a few examples of

    teorias falsas que, em vista de sua falsi- false theories which give, in view of theirdade, fornecem descries alarmantemen- falseness, alarmingly accurate descriptionste precisas de alguns grupos de fenme- of groups of phenomena. With some good-nos. Com alguma boa vontade possvel will, one can dismiss some of the evidencedescartar algumas da evidncias que es- which these examples provide. e suc-ses exemplos fornecem. As idias iniciais e cess of Bohrs early and pioneering ideas on

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    pioneiras de Bohr sobre o tomo nunca ti- the atom was always a rather narrow oneveram grande sucesso e o mesmo pode ser and the same applies to Ptolemys epicy-dito dos epiciclos de Ptolomeu. Nossa po- cles. Our present vantage point gives an ac-sio privilegiada possibilita uma descri- curate description of all phenomena whicho precisa de todos esses fenmenos que these more primitive theories can describe.essas teorias primitivas no tinham condi- e same is not true any longer of the so-

    es de oferecer. Isso no verdade para a, called free-electron theory, which gives aassim chamada, teoria do eltron livre que marvelously accurate picture of many, iffornece uma descrio incrivelmente boa not most, properties of metals, semicon-de muitas, seno de todas, as propriedades ductors, and insulators. In particular, it ex-dos metais, dos semicondutores e isolan- plains the fact, never properly understoodtes. Em particular, ela explica o fato, nunca on the basis of the real theory, that insula-adequadamente compreendido pela teo- tors show a specific resistance to electricityria real, de que isolantes exibem uma re- which may be times greater than thatsistncia a corrente eltrica que pode che- of metals. In fact, there is no experimental

    gar a ser vezes maior do que aquela evidence to show that the resistance is notdos metais. No existe, de fato, nenhuma infinite under the conditions under whichevidncia experimental para mostrar que the free-electron theory would lead us toa resistncia no infinita sob as condi- expect an infinite resistance. Nevertheless,es em que a teoria do eltron livre nos weare convinced that the free-electronthe-leva a crer que ela seria infinita. Apesar ory is a crude approximation which shoulddisso, estamos convencidos de que a teoria be replaced, in the description of all phe-do eltron livre uma aproximao muito nomena concerning solids, by a more ac-crua e que deveria, ao descrevermos todos curate picture.

    os fenmenos referentes aos slidos, sersubstituda por algo mais adequado.

    Vista do nosso ponto de vista privilegi- If viewed from our real vantage point,ado, a situao apresentada pela teoria do the situation presented by the free-electroneltron livre irritante mas improvvel theory is irritating but is not likely to fore-que ela venha a apresentar alguma incon- bode any inconsistencies which are unsur-sistncia que no possa ser superada. Essa mountable for us.e free-electron theoryteoria coloca em dvida a importncia que raises doubts as to how much we shouldse deve atribuir, ao se verificar a correo trust numerical agreement between theory

    de uma teoria, a concordncia que ela tem and experiment as evidence for thecorrect-com a experincia. J nos acostumamos a ness of the theory. We are used to suchessas dvidas. doubts.

    Ocorreria uma situao muito mais di- A much more difficult and confusingfcil e confusa se pudssemos, algum dia, situation would arise if we could, someestabelecer uma teoria de fenmenos da day, establish a theory of the phenom-conscincia ou da biologia que fosse to ena of consciousness, or of biology, whichcoerente e convincente como nossas atu- would be as coherent and convincing asais teorias do mundo inanimado. As leis our present theories of the inanimate wo-

    de Mendel da hereditariedade e o trabalho rld. Mendels laws of inheritance and thesubsequente em genes podem muito bem subsequent work on genes may well formse tornar o comeo dessa teoria no que se the beginning of such a theory as far asrefere biologia. Alm disso, muito pos- biology is concerned. Furthermore,, it issvel que possa ser encontrado um argu- quite possible that an abstract argumentmento abstrato que mostre a existncia de can be found which shows that there is

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    um conflito entre essa teoria e os princ- a conflict between such a theory and thepios aceitos pela fsica. O argumento po- accepted principles of physics. e argu-deria ser de uma natureza to abstrata que ment could be of such abstract nature thatno permitisse resolver o conflito, atravs it might not be possible to resolve the con-da experincia, em favor de uma das teo- flict, in favor of one or of the other theory,rias. Tal situao traria um grande abalo na by an experiment. Such a situation would

    f que temos em nossas teorias e na crena put a heavy strain on our faith in our the-da realidade de nossas concepes. Traria ories and on our belief in the reality of thetambm um profundo senso de frustrao concepts which we form. It would give us aem nossa procura pelo que chamamos de deep sense of frustration in our search forderradeira verdade. O que faz com que what I called the ultimate truth.e rea-essa situao seja concebvel o fato de, na son that such a situation is conceivable isrealidade, no sabermos a razo pela qual that, fundamentally, we do not know whynossas teorias funcionam to bem. O fato our theories work so well. Hence, theirde fornecerem resultados precisos no accuracy may not prove their truth and

    prova de sua veracidade nem de sua consis- consistency. Indeed, it is this writers be-tncia. Na realidade, o autor acredita que, lief that something rather akin to the situ-se compararmos as atuais leis da heredita- ation which was described above exists ifriedade e as da fsica, algo muito prximo the present laws of heredity and of physicsda situao descrita acima ocorrer. are confronted.

    Permitam-me terminar num tom mais Let me end on a more cheerful note.animador. O milagre da eficincia da lin- e miracle of the appropriateness of theguagem matemtica para formular as leis language of mathematics for the formu-fsicas algo que nem merecemos nem en- lation of the laws of physics is a wonder-

    tendemos. Deveramos ser gratos por ele ful gi which we neither understand norocorrer e esperar que continue vlido na deserve. We should be grateful for it andpesquisa futura e que se estenda, para o hope that it will remain valid in future re-bem ou para o mal, para o nosso prazer ou search and that it will extend, for bettertalvez para o nosso espanto, amplas reas or for worse, to our pleasure, even thoughdo conhecimento. perhaps also to our bafflement, to wide

    branches of learning.

    O autor deseja manifestar sua gratido ao e Unreasonable Effectiveness of Mathe-

    Dr. M. Polanyi que, muitos anos atrs, influen- matics in the Natural Sciences,in Communica-ciou profundamente seu pensamento em pro- tions in Pure and Applied Mathematics, vol. ,

    blemas de epistemologia, e a V. Bargmann cuja No. I (February ). New York: John Wiley

    amigvel crtica foi importante para atingir a & Sons, Inc. Copyright by John Wiley &clareza que possa ter sido atingida. tambm Sons, Inc.

    muito grato a A. Shimony por ter revisto o pre-

    sente artigo e chamado sua ateno para os ar-

    tigos de C. S. Peirce.