VERS LA PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

Cette propriété est attribuée à Pythagore de Samos, mathématicien grec du Vème siècle avant J.C. Elle était cependant déjà connue des Égyptiens et des Babyloniens. On a représenté ci-dessous quatre triangles superposables disposés de différentes façons dans deux carrés identiques.

- Quelle est la nature du quadrilatère BEGC ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Quelle est l’aire de ce quadrilatère ? …………………………………………………..…………………………………………………….

- Quelle est la nature des quadrilatères BDJK et CKIH ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Quelles sont les aires de ces quadrilatères?………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Que représente la somme de leurs aires ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- En déduire une égalité exprimée avec les nombres a ,b et c :

AB

D

E

FGH

C

b c

a b

a

A B D

J

FIH

C K

LA PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

- Énoncé de la propriété et applications D’après l’étude de la fiche préparatoire, on peut dire que : Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse

AB

Le triangle ABC étan

Exemples : On suppose q

M

A

5

1

3

7

si BC² 169 alors= si BC² 34 alors = Remarque :

Ces calculs narrondies.

Exercice :

Un triangle AOn sait que :Calculer ACOn écrit la pr

hypoténuse

Ct rectangle en A, on a, d’après la propriété de Pythagore :

2 2 2AB AC BC+ =

ue chaque triangle ABC du tableau est rectangle en A :

esures données Mesures calculées

B AC AB² AC² BC² BC

12 25 144 169 13

6 30 256 900 1156 34

5 9 25 34 5,8…

8 49 64 113 10,6…

On emploie la touche « racine carrée »

BC 169 13 car le carré de 13 est 169= = BC 34 5,830951895= ≈

e conduisent pas souvent à des valeurs exactes ; il faudra donc se contenter de valeurs

A

B

C

7

9

BC est rectangle en A. AB = 7 cm et que BC = 9 cm. . opriété de Pythagore :

Le schéma est à l’échelle 1/2

2 2AB AC BC7² AC² 9²49 AC² 81AC² 81 49AC² 32

AC 32

AC 5,66

+ =+ =+ == −=

=

≈

2

Propriété importante : Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est son hypoténuse.

A

B

B'

C

Le triangle ABC est rectangle en A B’ est le symétrique de B par rapport à la droite (AC) AB = AB’ et BC = B’C (la symétrie conserve les distances) BB' BC B'C< + (d’après l’inégalité triangulaire appliquée au triangle BB’C) 2AB 2BC< (en utilisant les remarques précédentes) Donc : AB BC<

En procédant de la même façon (symétrie par rapport à la droite (AB)), on démontre aussi que : AC BC< La propriété de Pythagore permet aussi d’établir cette règle :

puisque AC², nombre positif, est ajouté à AB² pour trouver BC² AB² AC² BC²AB² BC² et AC² BC²

+ =< <

Par conséquent (les nombres étant tous positifs) : AB BC et AC BC< <

- Réciproque de la propriété de Pythagore

Exemple : On donne un triangle ABC tel que : BC = 7,4 cm AB = 2,4 cm AC = 7 cm.

Que peut-on dire du triangle ABC ?

B

A

C

7 cm

2,4

cm

7,4 cm

Ce triangle semble rectangle en A On remarque que : 2, 4² 7² 5,76AB² AC² 6+

BC² 6

49 54,7= + = + =

54,7= = et que : 7, 4² Pour ce triangle on a bien : AB ² AC² BC²+ =

Propriété réciproque (propriété admise)

Si le carré du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,alors ce triangle est rectangle. Exercice :

5 m

3 m

4 m

Un triangle dont les côtés mesurent 3 m, 4 m et 5 m est-il rectangle ? Le carré de son plus grand côté est : 5² 25 =

La somme des carrés de ses deux autres côtés est : 3² 4² 9 56 21+ = + =

5² 3² 4²= +

D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle est rectangle ; son hypoténuse mesure 5 m. Ce triangle nommé « 3,4,5 » est utilisé par les maçons pour vérifier qu’un mur « part » bien à angle droit.

- Applications Calcul de distances sur un quadrillage

Le triangle MNP est-il rectangle ? M

N

P

E F

G

En utilisant les triangles rectangles MNE, MPF et NPG, on obtient, d’après la propriété de Pythagore :

MN² NE² ME² 2² 4² 4 16 20MP² MF² PF² 2² 4² 4 16 20NP² NG² PG² 2² 6² 4 36 40

= + = + = + == + = + = + == + = + = + =

On constate que : 2MN² MP² ²N0 020 P4= + = =+ D’après la réciproque de la propriété de Pythagore : Le triangle MNP est rectangle en M.

Calcul de distances dans l’espace

ABCDEFGH est un cube dont l’arête mesure 4 cm. Il s’agit de calculer la longueur de sa grande diagonale BH. Le triangle ABD est rectangle en A (demi-carré) ; On a, d’après la propriété de Pythagore : BD² AB² AD² 4² 4² 16 16 32= + = + = + = Le triangle HDB est rectangle en D (la droite (HD) est perpendiculaire au plan ABCD donc à toute droite de ce plan, en particulier à la droite (BD)). On a, d’après la propriété de Pythagore et d’après le calcul précédent : HB² BD² DH² 32 4² 32 16 48= + = + = + =

HB 48= ≈

B² AD² DH² AB² AB² AB² 3AB²

6,9 cm A B

E F

GH

CD

Remarque : H AB² = + + = + + =

PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

- Le triangle ABC étant rectangle en A, complète le tableau ci-dessous : remarque : il conviendra parfois d’écrire des valeurs arrondies (à 0,01 près) Égalité utilisée :

AB AB² AC AC² BC BC² 11 60

36 85

84 116

121 196

2304 55

16 1156

88 108

- Le triangle ABC est, cette fois, rectangle en B : Égalité utilisée :

AB AB² AC AC² BC BC² 110 146

45 28

170 154

39 39

3600 109

1000 10

961 560

- Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, précise le sommet de l’angle droit.

AB BC AC AB² BC² AC² réponse

53 62 42

75 45 60

12,1 22,5 25,5

88 137 105

2,02 1,98 0,4

22,1 22 2,2

Devoir 1 - a) Construis le triangle ABC tel que : AH = 6 cm ; BH = 9 cm ; CH = 4 cm. b) Calcule AB et AC. c) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifie la réponse. - Lors d’une course en forêt, pour aller de A à C, Étienne a suivi les chemins perpendiculaires [AB] puis [BC].

Le premier chemin mesure 390 mètres et le second 520 mètres. Pour arriver plus vite en C, Nicolas a préféré couper à travers bois; il a donc approximativement suivi le chemin [AC].

a) Quelle est la distance totale parcourue par Étienne ? b) Quelle est la distance minimum parcourue par Nicolas ? c) Sachant qu’ils ont mis chacun 5 minutes, quelle est leur vitesse respective?

Tu exprimeras d'abord la durée en fraction d'heure et tu calculeras la vitesse en divisant la distance parcourue (en km) par la durée (en h); tu obtiendras ainsi la vitesse en km/h.

Devoir 2

- Construis un triangle équilatéral de 9 cm de côté.

a) Calculessa hauteur (à 0,1 cm près).

b) Déduis-en son aire.

- Un triangle dont les côtés mesurent (en mètres): 32 ; 1 ;

43 est-il un triangle rectangle?

- On considère un triangle équilatéral ABC dont la hauteur [AH] mesure 6 cm.

a) Explique pourquoi BAH = 30°.

b) Construis le triangle ABH puis le triangle ABC.

c) Démontre que: . BH2AB =

d) On pose: BH = x. Exprimes AB en fonction de x.

Explique, après avoir utilisé la propriété de Pythagore dans le triangle ABH, que: . 36x3 2 =

e) Calcules x à 0,1 cm près et déduis-en le côté du triangle ABC.

Devoir 3

- Un triangle ABC tel que: AB = 60 cm; AC = 109 cm; BC = 91 cm, est-il un triangle rectangle?

- Les dimensions d'une armoire sont :

sa largeur: AB = 1,40 m sa hauteur: AE = 2,30 m sa profondeur: AD = 0,80 m.

Cette armoire est posée sur le sol dans les deux positions représentées ci-dessous. Il s'agit de la relever, comme l'indiquent les flèches, sans toucher le plafond. Le plafond est à 2,45 m du sol. a) Si l'armoire est posée sur le flanc BCGH, est-il possible de la relever? (tu calculeras HA).

b) Si l'armoire est posée sur le fond ABHE, est-il alors possible de la redresser? (tu calculeras ED).

- Un jeune enfant essaie de faire pénétrer un cube de 5 cm d'arête dans un trou cylindrique de 7 cm de

diamètre. Peut-il réussir?

Recherche de nombres Pythagoriciens

1) Choisis un nombre impair i. 2) Calcule son carré i². 3) Trouve les deux nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à i². On appellera p et p+1 ces deux nombres. 4) Que peux-tu dire d’un triangle dont les côtés mesurent : i ; p ; p+1 ? Fais une dizaine d’essais... La démonstration se fera plus tard…

Tu peux présenter tes calculs dans un tableau Problème de tunnel

Un tunnel a la forme d’un demi cylindre de 4 mètres de rayon. Un camion de 3,2 m de large et de 3,7 m de haut peut-il pénétrer dans ce tunnel ? Fais un schéma précis de l’entrée du tunnel et un gabarit du camion.. (Tu pourrsa choisir l’échelle 1/100).

Justifie la réponse par le calcul.

Exercices de recherche - Comment disposer la corde à treize nœuds pour former un triangle rectangle ?

Pense à la vérification du maçon avec son triangle «3,4,5.

- Calcul de la « flèche » Une corde est tendue entre deux points A et B.

Une autre corde, plus longue de 1 mètre, est fixée par ses extrémités en A et B ; elle est tendue verticalement par son milieu I.

A B

I

H Calcule cette flèche IH dans les deux cas suivants :

AB 10 mAB 100 m

==

Que remarques-tu ? Aurais-tu supposé ce résultat ?

- Une marque de cotons tiges présente ses échantillons dans une boîte cylindrique de 4 cm de rayon et de 7 cm de hauteur.

Les cotons tiges peuvent-ils mesurer 10 cm ? - ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 4 cm Ac = 3 cm. S1, S2 et S3 sont les aires respectives des trois demi-disques de diamètres [BC], [AB] et [AC]. Démontre que : 1 2S S S3= +

A B

C

S1

S2

S3

VERS LA PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

Cette propriété est attribuée à Pythagore de Samos, mathématicien grec du Vème siècle avant J.C. Elle était cependant déjà connue des Égyptiens et des Babyloniens. On a représenté ci-dessous quatre triangles superposables disposés de différentes façons dans deux carrés identiques.

- Quelle est la nature du quadrilatère BEGC ? Le quadrilatère BECG est un carré : c’est d’abord un losange car ses quatre côtés ont la même longueur c.

Il a aussi un angle droit : ( ) ( )CBG 180 ABC EBD 180 ABC ACB 180 90 90= °− + = °− + = °− ° = °

On a utilisé la propriété des angles du triangle rectangle : les angles non droits sont complémentaires.

Quelle est l’aire de ce quadrilatère ? Son aire est 2 2BC c=

- Quelle est la nature des quadrilatères BDJK et CKIH ? BDJK et CKIH sont des carrés de côtés a etb Quelles sont les aires de ces quadrilatères ?

22aire(BDJK BD b) = = 22aire(CKIH CH a) = = Que représente la somme de leurs aires ? La somme de leurs aires correspond à l’aire du carré BEGC. Comme BEGC, ils complètent les quatre triangles superposables pour former le grand carré ADFH.

- En déduire une égalité exprimée avec les nombres a ,b et c :

AB

D

E

FGH

C

b c

a b

a

A B D

J

FIH

C K

2 2 2a b c+ =

Corrigé PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

- Le triangle ABC étant rectangle en A, complète le tableau ci-dessous : remarque : il conviendra parfois d’écrire des valeurs arrondies (à 0,01 près) Égalité utilisée :

AB AB² AC AC² BC BC² 11 121 60 3600 61 3721

36 1296 77 5929 85 7225

80 6400 84 7056 116 13456

11 121 14 196 17,80 317

48 2304 55 3025 73 5329

30 900 16 256 34 1156

9,38 88 107,59 11576 108 11664

- Le triangle ABC est, cette fois, rectangle en B : Égalité utilisée :

2 2 2AB AC BC+ =

2 2 2AB BC AC+ =

AB AB² AC AC² BC BC² 110 12100 146 21316 96 9216

45 2025 53 2809 28 784

72 5184 170 28900 154 23716

39 1521 55,15 3042 39 1521

60 3600 109 11881 91 8281

30 900 31,62 1000 10 100

31 961 39 1521 23,66 560

- Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, précise le sommet de l’angle droit.

AB BC AC AB² BC² AC² réponse

53 62 42 2809 3844 1764 Non : 2809 1764 3844+ ≠

75 45 60 5625 2025 3600 Oui en C : 2025 3600 5625+ =

12,1 22,5 25,5 146,41 506,25 650,25 Non : 146, 41 506, 25 650, 25+ ≠

88 137 105 7744 18769 11025 Oui, en A : 7744 11025 18769+ =

2,02 1,98 0,4 4,0804 3,9204 0,16 Oui, en C : 3,9204 0,16 4,0804+ =

22,1 22 2,2 488,41 484 4,84 Non : 484 4,84 488, 41+ ≠