PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

PYTHAGORE - THALÈS

TRIGONOMÉTRIE

Dossier n°1 Novembre 2007

Conçu et réalisé par :

Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM

Annie VANDERSTRAELE Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA

En route pour

résoudre l'énigme

du carré de

l'hypoténuse ! ! !

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 1

C. D. R.

PYTHAGORE - THALÈS TRIGONOMÉTRIE

Apprentissage AGRIMÉDIA Propriété de Pythagore

Objectif :

- Découvrir la propriété de Pythagore et sa réciproque.

Pré-requis :

- Connaître le vocabulaire de base de la géométrie d'un triangle,

- Savoir calculer le carré d'un nombre,

- Savoir calculer la racine carrée d'un nombre à l'aide d'une calculatrice.

Matériel nécessaire :

- Une calculatrice scientifique ( ou une calculatrice qui possède la touche

« racine carrée » : ),

- Une règle graduée et une équerre ou un rapporteur.

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 2

LA PROPRIÉTÉ ou THÉORÈME DE PYTHAGORE

I - Vocabulaire

Rappel : angle droit

un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit ( sa mesure vaut 90 degrés ). L'hypoténuse est le côté opposé à cet angle droit ; c'est d’ailleurs le plus grand des 3 côtés de ce triangle.

hypoténuse Exemple :

Dans ce triangle FOU « rectangle » en O :

� l'angle O est l'angle droit, � OF et OU sont les deux côtés de cet angle droit,

� le côté FU est l'hypoténuse de ce triangle rectangle. II - Propriété de Pythagore Énoncé de la propriété :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Dans le triangle MAS rectangle en A, on peut donc écrire l'égalité suivante :

MS 2 = MA

2 + AS 2

Vérifications : • avec une équerre ou un rapporteur, contrôlons que l’angle A est bien un

angle droit, • mesurons avec une règle graduée les côtés de ce triangle rectangle en A :

On trouve : MS = 5 cm MA = 4 cm AS = 3 cm D’où : MS

2 = 25 MA 2 = 16 AS

2 = 9

L’égalité précédente est donc vérifiée : 25 = 16 + 9

F U

O

M

A

S

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 3

Cette propriété permet, si l’on connaît la longueur de deux côtés d’un triangle rectangle, de calculer la longueur du troisième côté de ce triangle rectangle.

Appliquons cette propriété aux deux exemples suivants.

Exemple 1 : soit le triangle COQ rectangle en O.

On donne : OC = 6 cm et OQ = 2,5 cm.

Calculons la longueur du côté CQ.

D'après la propriété de Pythagore : CQ 2 = OC

2 + OQ 2

CQ 2 = 6

2 + 2,5 2

CQ 2 = 36 + 6,25

CQ 2 = 42,25

CQ = 42,25

CQ = 6,5

La longueur du côté CQ est donc 6,5 cm.

Remarque : le calcul de la racine carrée ( symbolisée par ) s’effectue à l’aide d’une calculatrice scientifique.

Exemple 2 : soit le triangle BAL rectangle en A.

On donne : AL = 4 cm et BL = 7 cm.

Calculons la longueur du côté AB. D'après la propriété de Pythagore : BL

2 = AB 2 + AL

2

7 2 = AB

2 + 4 2

49 = AB 2 + 16

49 - 16 = AB 2

33 = AB 2

33 = AB

5,7 ���� AB

La longueur du côté AB est donc environ 5,7 cm.

O

Q

C

A

L

B

Remarque : Les schémas ne sont pas à l’échelle

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 4

Maintenant à vous !

EXERCICES

Exercice 1 : soit le triangle BUT rectangle en U.

On donne : UT = 8 cm et UB = 3 cm.

Calculez la longueur du côté BT.

Exercice 2 : soit le triangle SAC rectangle en A.

Calculez la longueur du côté AS.

Voir réponses page suivante

U

T

B

Remarque : Le schéma n’est pas à l’échelle

Remarque : Le schéma n’est pas à l’échelle

S

C A

10,5 cm

3 cm

?

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 5

RÉPONSES

Exercice 1 : soit le triangle BUT rectangle en U.

On donne : UT = 8 cm et UB = 3 cm.

Calculez la longueur du côté BT.

D'après la propriété de Pythagore : BT 2 = UT

2 + UB 2

BT 2 = 8

2 + 3 2

BT 2 = 64 + 9

BT 2 = 73

BT = 73

BT ���� 8,5

La longueur du côté BT est donc 8,5 cm environ.

Exercice 2 : soit le triangle SAC rectangle en A.

Calculez la longueur du côté AS.

D'après la propriété de Pythagore : CS 2 = AS

2 + AC 2

10,5 2 = AS

2 + 3 2

110,25 = AS 2 + 9

110,25 - 9 = AS 2

101,25 = AS 2

101,25 = AS

10,1 ���� AS

La longueur du côté AS est donc environ 10,1 cm.

Très bien !

Passons à la suite !!

U

T

B

S

C A

10,5 cm

3 cm

?

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 6

PROBLÈMES

Problème 1 : Quelle longueur doit avoir une échelle pour atteindre une hauteur de 7 m, si on lui donne « 2 m » de pied ? ( exprimez le résultat au cm près ).

7 m

2 m

Problème 2 : Une lampe est suspendue entre deux murs par deux câbles perpendiculaires mesurant respectivement 11 m et 7 m. Quelle distance sépare ces deux murs ?

Voir réponses page suivante

Commencez par tracer ci-dessous le triangle rectangle représentant cette

situation.

Remarque : le dessin n'est pas à l'échelle

?

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 7

RÉPONSES

Problème 1 : Quelle longueur doit avoir une échelle pour atteindre une hauteur de 7 m, si on lui donne « 2 m » de pied ? ( Exprimez le résultat au cm près ).

D'après la propriété de Pythagore : AC 2 = BA

2 + BC 2

AC 2 = 7

2 + 2 2

7 m ? AC 2 = 49 + 4

AC 2 = 53

AC = 53

AC ���� 7,28

Cette échelle doit avoir une longueur égale à environ 7,28 m.

Problème 2 : Une lampe est suspendue entre deux murs par deux câbles perpendiculaires mesurant respectivement 11 m et 7 m. Quelle distance sépare ces deux murs ?

D'après la propriété de Pythagore :

MR 2 = UR

2 + UM 2

MR 2 = 11

2 + 7 2

MR 2 = 121 + 49

MR 2 = 170

MR = 170

MR ���� 13,04

La distance qui sépare ces deux murs est égale à environ 13,04 m.

Très bien !

Passons à la suite !!

M

U

R

A

B C 2 m

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 8

Problème 3 : Un bâton est enfoncé verticalement dans le sol. Sa hauteur hors-sol est égale à 1,25 m. La distance de l'extrémité supérieure du bâton à l'extrémité de son ombre mesure 1,54 m. Quelle est la longueur de l'ombre du bâton ?

Problème 4 : Un maçon réalise une équerre de chantier en clouant 3 planches mesurant respectivement 30 cm, 40 cm, 60 cm. Son compagnon fait la même opération avec des planches de 60 cm, 80 cm et 1 m. Lequel de ces deux ouvriers a réalisé une équerre exacte ?

Pour répondre à cette question vous vérifierez que la propriété de Pythagore s’applique aux équerres construites.

Voir réponses pages 10 et 11

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 9

Problème 5 : Après avoir calculé les longueurs des côtés BC et EF, déterminez le périmètre du terrain ABCDEF représenté ci-dessous.

On donne : AB = 6 m CD = 7 m A B point P DE = 8 m

F C E D

Problème 6 : remarque : ce problème nécessite plusieurs étapes de raisonnement pour obtenir la réponse.

La disposition des 6 poutres apparentes du plafond d'une salle de séjour se présente comme l'indique le schéma ci-dessous. A On donne : B mur AC = 4,5 m CD = 6 m mur BD = 2 m C D La première et la dernière poutres sont placées à 50 cm des extrémités du plafond ( mesures prises à partir de l’axe de chaque poutre ). Les autres poutres sont à égale distance les unes des autres. Calculez la distance entre les axes de 2 poutres consécutives. Aide : commencez par calculer la longueur AB. Pour cela, tracez le triangle rectangle

dont l’hypoténuse est le côté AB. Notez ce triangle AB’B.

Voir réponses pages 11 à 14

Carré

Rectangle

poutre 50 cm

50 cm

? ?

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 10

RÉPONSES Problème 3 : Un bâton est enfoncé verticalement dans le sol. Sa hauteur hors-sol est égale à 1,25 m. La distance de l'extrémité supérieure du bâton à l'extrémité de son ombre mesure 1,54 m. Quelle est la longueur de l'ombre du bâton ?

D'après la propriété de Pythagore :

AB 2 = AC

2 + CB 2

1,54 2 = 1,25

2 + CB 2

2,3716 = 1,5625 + CB 2

2,3716 - 1,5625 = CB 2

0,8091 = CB 2

0,8091 = CB

0,90 ���� CB ?

La longueur de l’ombre du bâton mesure environ 0,9 m.

Problème 4 : Un maçon réalise une équerre de chantier en clouant 3 planches mesurant respectivement 30 cm, 40 cm, 60 cm. Son compagnon fait la même opération avec des planches de 60 cm, 80 cm et 1 m. Lequel de ces deux ouvriers a réalisé une équerre exacte ? Vérifions que la propriété de Pythagore s’applique ( ou non ) aux deux équerres construites. Équerre 1 : le schéma est à l’échelle 1/10ème

Si la propriété de Pythagore est vérifiée, alors : 30

2 + 40 2 = 60

2 Calculons chacun des membres de l’égalité : 30

2 + 40 2 = 900 + 1 600 = 2 500

60 2 = 3 600

2 500 n’est évidemment pas égal à 3 600 ! La propriété de Pythagore n’est pas vérifiée. L’objet construit n’a pas la forme d’un triangle rectangle. Ce n’est donc pas une équerre.

Remarque : le schéma à l’échelle montre bien que le triangle

n’a pas d’angle droit.

A

B C

1,54 m 1,25 m

30 cm

40 cm

60 cm

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 11

Équerre 2 : le schéma est à l’échelle 1/20ème

Si la propriété de Pythagore est vérifiée, alors : 60

2 + 80 2 = 100

2 Calculons chacun des membres de l’égalité : 60

2 + 80 2 = 3 600 + 6 400 = 10 000

100 2 = 10 000

10 000 est bien égal à 10 000. La propriété de Pythagore est vérifiée. L’objet construit a la forme d’un triangle rectangle. C’est donc une équerre exacte.

Remarque : le schéma à l’échelle montre bien que le triangle a un angle droit.

C’est le deuxième ouvrier qui a réalisé l’équerre exacte.

Problème 5 : Après avoir calculé les longueurs des côtés BC et EF, déterminez le périmètre du terrain ABCDEF représenté ci-dessous.

On donne : AB = 6 m CD = 7 m B DE = 8 m

Calculons la longueur BC : 6 m P C 8 m D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle BPC rectangle en P : BC

2 = BP 2 + PC

2

BC 2 = 6

2 + 8 2

BC 2 = 36 + 64

BC 2 = 100

BC = 100

BC = 10

La longueur du côté BC mesure 10 m.

60 cm

80 cm 100 cm

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 12

Calculons la longueur EF : 6 m F P 7 m E D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle FPE rectangle en P : EF

2 = FP 2 + PE

2

EF 2 = 6

2 + 7 2

EF 2 = 36 + 49

EF 2 = 85

EF = 85

EF ���� 9,22

La longueur du côté EF mesure environ 9,22 m.

Calculons le périmètre du terrain ABCDEF :

AB + BC + CD + DE + EF + FA ����

6 + 10 + 7 + 8 + 9,22 + 6 ���� 46,22

Le périmètre du terrain ABCDEF mesure environ 46,22 m.

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 13

Problème 6 : La disposition des 6 poutres apparentes du plafond d'une salle de séjour se présente comme l'indique le schéma ci-dessous. La première et la dernière poutres sont placées à 50 cm des extrémités du plafond ( mesures prises à partir de l’axe de chaque poutre ). Les autres poutres sont à égale distance les unes des autres. Calculez la distance entre les axes de 2 poutres consécutives. Calculons la longueur AB : A

4,5 m B’ B 2 m C D 6 m La hauteur B’A mesure : 4,5 - 2 = 2,5 soit 2,5 m D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle AB’B rectangle en B’ : AB

2 = B’A 2 + B’B

2

AB

2 = 2,5 2 + 6

2

AB

2 = 6,25 + 36

AB

2 = 42,25

AB = 42,25

AB = 6,5

La longueur du plafond AB mesure donc 6,5 m.

PYTHAGORE - THALÈS - TRIGONOMÉTRIE - Propriété de Pythagore - Dossier n°1 14

Représentons le plafond AB avec les poutres et notons les longueurs connues. distance entre les axes des 2 poutres extrêmes A B 6,5 m Rappel : 50 cm = 0,5 m La distance entre les axes des 2 poutres extrêmes est égale à : 6,5 - ( 2 x 0,5 ) = 5,5 soit 5,5 m Cette distance correspond à 5 intervalles entre les axes des poutres. Un intervalle correspond donc à : 5,5 ÷ 5 = 1,1 soit 1,1 m

La distance entre les axes de 2 poutres consécutives mesure 1,1 m.

Fin

50 cm

? ?

50 cm