Vers ~569 à ~475

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

PythagorePythagoreMoyennes et proportionsMoyennes et proportions

Les pythagoriciens avaient développé une représentation géométrique des nombres qui leur a permis de déterminer certaines des propriétés de ceux-ci. Nous en avons eu un aperçu dans la présentation « la géométrie des nombres ».

Introduction

Ils ont également étudié les progressions, les rapports et proportions et différents types de moyenne entre deux termes.

Nous allons présenter ces notions en utilisant les définitions et notations modernes afin d’en faciliter la compréhension.

Une suite est un ensemble ordonné de nombres. Elle peut être croissante ou décroissante selon la façon dont les termes sont ordonnés.

Suites

Ainsi, l’ensemble des nombres triangulaires{1; 3; 6; 10; 15; 21; … }

est une suite croissante.

Tandis que l’ensemble

1; 1

2;

1

4;

1

8; ...

est une suite décroissante.

Progression arithmétique

Pour les pythagoriciens, les progressions arithmétiques ont des propriétés géométriques intéressantes, ils sont en relation avec les nombres polygonaux.

Une progression arithmétique est une suite ayant comme caractéristique que chaque nombre de la suite est égal au précédent augmenté d’un nombre constant que l’on appelle la raison de la progression arithmétique. Les nombres d’une progression sont appelés les termes de la progression.

La suite : {1; 2; 3; 4; 5; 6; … }

est une progression arithmétique de raison 1 alors que la suite :

{1; 3; 5; 7; 9; 11; … }

est une progression arithmétique de raison 2.

Sommes partiellesConsidérons la progression arithmétique de raison 1,

{1; 2; 3; 4; 5; 6; … }constituée des gnomons des nombres triangu-laires.

Les sommes partielles des termes de cette suite donnent les nombres triangulaires.En effet, si on note Sn, la somme des n premiers termes, on a :

S1 = 1

S2 = 1 + 2 = 3

S3 = 1 + 2 + 3 = 6

S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Forme généraleDisposons les points de ces sommes partielles pour former des triangles rectangles. Reproduisons chacun des triangles avec une rotation de 180°.

À chaque fois, on forme un rectangle dont le nombre de lignes est le rang du nombre dans la suite et le nombre de colonnes est le ne terme de la progression plus 1, soit n + 1. L’aire du rectangle donne : 2Sn = n(n + 1)

Puisque la somme des n premiers termes donne le nombre triangulaire de rang n, cela permet de décrire la forme générale du nombre triangulaire de rang n, soit :

Tn n(n1)

2

Considérons maintenant la progres-sion arithmétique

{1; 3; 5; 7; 9; 11; … }constituée des gnomons des nombres carrés.

Progression de raison 2

Les sommes partielles des termes de cette suite donnent les nombres carrés.

S1 = 1

S2 = 1 + 3 = 4

S3 = 1 + 3 + 5 = 9

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

On constate qu’en reproduisant ces triangles avec une rotation, on peut compléter des rectangles.

Gnomons et forme générale

À chaque fois, on forme un rectangle dont le nombre de lignes est le rang du nombre dans la suite et le nombre de colonnes est le ne terme de la progression plus 1, soit 2n. L’aire du rectangle donne :

2Sn = n(2n)d’où l’on tire :

Sn = n2

La forme générale du nombre carré de rang n, est donc :

Cn = n2

Les gnomons des nombres polygonaux forment des progressions arithmétiques et le terme de rang n peut s’exprimer en fonction du nombre de côtés du polygone.

Nombres polygonaux et gnomons

On a alors la progression de raison 1 : {1; 2; 3; 4; 5; …; n; … }, la progression de raison 2 :

{1; 3; 5; 7; …; (2n – 1); … }, la progression de raison 3 :

{1; 4; 7; 10; …; (3n – 2); … },la progression de raison 4 :

{1; 5; 9; 13; …; (4n – 3); … }.On peut continuer ainsi pour les différents nombres polygonaux. Voyons maintenant comment traduire algé-briquement la caractéristique géométrique des sommes partielles.

Pour déterminer la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique, il suffit de déterminer les dimensions du rectangle formé en doublant le triangle de cette somme.

Raison 1

En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 2 + 3 + … + n

Sn = n + … + 3 + 2 + 1

En additionnant terme à terme,

2Sn = n (n + 1)

D’où l’on tire : Tn n(n1)

2

En écrivant les termes dans l’ordre inverse :

De la même façon, on peut déterminer la somme des n premiers termes de la progression arithmétique de raison 2 géométriquement et algébriquement.

Raison 2

En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)

Sn = (2n – 1) + … + 5 + 3 + 1

En additionnant terme à terme,

2Sn = n (2n)

D’où l’on tire : Cn = n2.

En écrivant les termes dans l’ordre inverse :

Raison 3On peut procéder de la même façon pour la progression de raison 3 dont les sommes partielles donnent les nombres pentagonaux. En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2)

Sn = (3n – 2) + … + 7 + 4 + 1

En additionnant terme à terme,

2Sn = n (3n – 1)

D’où l’on tire :

En écrivant les termes dans l’ordre inverse :

Pn n(3n–1)

2

Raison 4Considérons maintenant la progression de raison 4 dont les sommes partielles donnent les nombres hexagonaux.

En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 5 + 9 + … + (4n – 3)

Sn = (4n – 3) + … + 9 + 5 + 1

En additionnant terme à terme,

2Sn = n(4n – 2)

D’où l’on tire : Hn =n(2n – 1) .

En écrivant les termes dans l’ordre inverse :

GénéralisationDe façon générale, les nombres gnomoniques que l’on additionne successivement pour obtenir les nombres poly-gonaux à k côtés forment une progression arithmétique de raison k – 2 et dont le premier terme est 1. On peut donc, en procédant de la même façon que dans les exemples précédents, déterminer la forme générale d’un nombre polygonal à k côtés de rang n.

On remarquera que la démarche pour trouver la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique, tant sous la forme géométrique ancienne qu’algébrique moderne, est utilisable pour trouver la somme des n premiers termes d’une progression dont le premier terme est a et la raison est d.

En cherchant à décrire la réalité par les nombres, les pythagoriciens ont étudié les rapports de nombres entiers et ébauché une première théorie des proportions.

Moyennes et proportions

Cela les a amenés à déterminer différentes relations entre les longueurs de segments de droites. Ces relations pouvaient se décrire par des rapports de nombres entiers et avaient une interprétation géométrique

Ainsi, à partir des longueurs de deux segments de droite, on peut déterminer d’autres segments dont la longueur, appelée médiété, est dans un rapport particulier avec les longueurs des deux segments. Nous allons présenter ici trois de ces médiétés, la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique.

Un nombre c est la moyenne arithmétique de deux nombres a et b, s’il dépasse le premier de la même quantité que le troisième le dépasse.

Moyenne arithmétique

Pour que c soit la moyenne arithmétique de a et b, il faut donc que :

c – a = b – cCela donne :

2c = a + b

La moyenne arithmétique de a et b est donc le nombre c tel que :

c ab

2

On remarque que la suite {a, c, b} forme une progression arithmétique. En posant d = c – a = b – c, On a alors :

{a, c, b} = {a, a + d, a + 2d}.

Moyenne arithmétiqueGéométriquement, la moyenne arithmétique est la longueur du côté du carré ayant même périmètre que le rectangle de côtés a et b.

Construisons, à la règle et au compas, la moyenne arith-métique des côtés a et b d’un rectangle.

Reportons d’abord la longueur du côté a dans le prolon-gement du côté b.

Déterminons le point milieu du segment de longueur a + b et élevons une perpendiculaire en ce point.

Déterminons sur cette per-pendiculaire un segment dont la longueur est la moitié de la longueur a + b.Il reste à compléter le carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle.

Moyenne arithmétique

Ainsi, la moyenne arithmétique de a et b est le segment c qui divise le segment de longueur a + b de telle sorte que :

c – a

b–c1

L’intérêt des pythagoriciens pour les rapports les a amené à exprimer les différentes moyennes comme médiétés de deux longueurs, c’est-à-dire comme mesures d’un segment qui divise une somme de segments dans un rapport donné.

On remarque que le segment c peut être moyenne arithmétique de plusieurs segments. Par exemple, lorsque la longueur totale des deux segments mis bout à bout est la même. Mais, ce qui intéressait les pythagoriciens, c’est le fait que le point (ou le segment c) a une caractéristique exprimable en terme de rapport.

Un nombre g est la moyenne géométrique de deux nombres a et b, si le premier est à g comme g est au second de ces nombres.

Moyenne géométrique

Cela donne :g2 = ab

d’où l’on tire :

En écriture moderne, cela signifie que g est la moyenne géométrique de a et b si :

a

g

g

b

g ab

Moyenne géométriqueGéométriquement, la moyenne géométrique est la longueur du côté du carré ayant même aire que le rectangle de côtés a et b.

Construisons, à la règle et au compas, la moyenne géomé-trique des côtés a et b d’un rectangle.

Reportons d’abord la longueur du côté a dans le prolon-gement du côté b.

Déterminons le point milieu du segment de longueur a + b.

Traçons le demi-cercle centré en ce point milieu et dont le rayon est la moitié de la longueur du segment a + b.

Prolongeons le côté a jusqu’à sa rencontre avec le demi-cercle.

Le segment ainsi déterminé est le moyen géométrique. C’est également le côté du carré ayant même aire que le rectangle de côtés a et b.

Moyenne géométrique

Ainsi, la moyenne géométrique de a et b est le segment g qui divise le segment de longueur a + b de telle sorte que :

a– g

g– b

a

g ou encore

a– g

g– b

g

b

La moyenne géométrique peut elle aussi s’exprimer comme médiété de deux longueurs.

On remarque que si a et b varient tout en conservant la même somme, le segment g dépend de la longueur de ces deux segments.

La moyenne harmonique h de deux nombres a et b est l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses multi-plicatifs de ces nombres.

Moyenne harmonique

La moyenne arithmétique des inverses multiplicatifs de a et b est :

En mettant au même dénominateur,

La moyenne harmonique est l’inverse de l’expression obtenue, soit :

1a

1b

2

1

a

1

b2

ab

ab2

1

a

1

b2

ab

ab2

ab

2ab

h2ab

ab

On peut exprimer la moyenne harmonique sous la forme :

Moyenne harmonique

En l’écrivant sous cette forme, on constate que la moyenne harmonique est le rapport de l’aire du rectangle de côtés a et b sur le quart de son périmètre.

Philolaos avait découvert que le nombre de sommets d’un cube (8) est la moyenne harmonique entre son nombre de côtés (12) et son nombre de faces (6).

hab

ab2

On peut également définir la moyenne harmonique comme le segment qui divise a + b de telle sorte que :

a–h

h– b

a

b

Les pythagoriciens ont défini jusqu’à dix médiétés de segments à cause de leur vénération de la Tetraktys. Nous ne les présenterons par toutes, car les seules encore en usage sont les trois précédentes et la division en extrême et moyenne raison, ou proportion du nombre d’or, qui fera l’objet d’un autre diaporama.

Moyenne harmonique

Signalons que les proportions harmoniques sont présentes dans plusieurs domaines de la physique: dans l’étude de l’optique, (miroirs et lentilles), de l’électricité, de l’hydrodynamique et de la gravitation.

Selon la légende, Pythagore, passant devant l’atelier d’un forgeron, aurait été attiré par les différences de tons et aurait eu l’idée de peser les marteaux des forgerons pour expliquer ces différences. Il aurait alors songé à appliquer ces rapports pour l’étude des cordes vibrantes.

Proportions et musique

Les Babyloniens et les Égyptiens avaient déjà étudié les cordes vibrantes. Ils savaient que pour une tension donnée, la hauteur (donc la fréquence) du son émis par la corde augmente lorsque la longueur en vibration diminue. Les pythagoriciens se sont beaucoup intéressés à ce phénomène en utilisant une simple corde sous tension sur une caisse de résonance.

À l’aide d’un chevalet mobile sur une échelle graduée, ils faisaient vibrer une partie de la corde en comparant au son émis par une corde en pleine longueur. Ils pouvaient ainsi « écouter » les différentes proportions. Ils ont exprimé les propriétés des cordes vibrantes en termes de rapports de nombres naturels.

Proportions et musique

Proportions et musique

Ainsi, si la moitié de la corde vibre, le son émis est un octave plus haut que le son émis par la corde entière. Si les deux tiers de la corde vibrent, le son est plus élevé de 1/5 que le son produit par la vibration de la corde entière.

L’octave, la quinte, la quarte étaient considérés comme les sons les plus harmonieux.

Pour les pythagoriciens, les sons harmonieux sont produits par la vibration de cordes dont les longueurs sont des rapports de nombres naturels et plus le rapport est simple, c’est-à-dire exprimé par les nombres de la Tetraktys, meilleure est la consonance.

Conclusion

Ils ont imaginé que les corps en mouvement dans l’espace émettaient un son inaudible à l’oreille humaine. Plus la planète est éloignée, plus sa vitesse est grande et plus le son est élevé. Pour eux, les distances entre les planètes et les rapports entre leurs vitesses devaient être harmoniquement déterminés. Les sons émis par les planètes s’harmonisaient entre eux, ces croyances sont à l’origine des mythes de la musique des sphères et de l’harmonie céleste.

BibliographieBall, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p.Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p.Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 1979 2 vol., 587 p.Duvillié, Bernard, Sur les traces de l’homo mathematicus, les mathématiques avant Euclide, Paris, Ellipses, 1999, 461 pEves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p.Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p.Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol. 1 299 p.Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p.Vitrac, Bernard, Euclide, Les Éléments, 4 vol. Paris, PUF, 1990, 1994, 1998, 2001.http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/

Fin