UNIVERSITE PARIS DAUPHINE Département MIDO MASTER MIDO … · 2020. 9. 29. · UNIVERSITE PARIS...

UNIVERSITE PARIS DAUPHINE

Département MIDO�∗�

MASTER MIDO MENTION MMD �∗∗�

SPECIALITE ACTUARIAT

Année Universitaire : 2009-2010

Mémoire d’Actuariat présenté en novembre 2010 devant l’Université Paris Dauphine et

l’Institut des Actuaires

Par : Delphine LECREUX Tuteur : Emmanuel BERTHELE

Sujet : « Le capital réglementaire issu de la formule standard : étude des dernières nouveautés issues du QIS5 »

Entreprise d’accueil : OPTIMIND

NON CONFIDENTIEL

JURY

Membres du Jury Fonctions/Entreprise Donation Hainaut Professeur d’Actuariat à l’ENSAE Romuald Elie Professeur à l’Université Paris Dauphine Anne Marion Membre de l’Institut des Actuaires Pierre Mathoulin Membre de l’Institut des Actuaires Gerard Croset Membre de l’Institut des Actuaires

�∗� MIDO : Mathématiques, Informatique, Décision, Organisation �∗∗� MMD : Mathématiques, Modélisation, Décision

Remerciements

Je tiens avant tout à remercier Christophe EBERLE, président d’Optimind pour m’avoir accueillie au sein

de sa société d’actuariat conseil et je suis honorée que cette collaboration se prolonge.

Je remercie également Emmanuel BERTHELE, mon maître de stage, pour sa disponibilité, son

encadrement et ses conseils durant ces six derniers mois.

Mes remerciements vont également à tous les consultants et stagiaires qui par leur accueil et leurs

conseils avisés ont tous contribué au bon déroulement de ce stage.

Delphine LECREUX – Mémoire d’actuariat – Dauphine 3 / 126

Table des matières

R e m e r c i e m e n t sR e m e r c i e m e n t sR e m e r c i e m e n t sR e m e r c i e m e n t s .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2222

R é s u m éR é s u m éR é s u m éR é s u m é .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6666

A b s t r a c tA b s t r a c tA b s t r a c tA b s t r a c t ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8888

I n t r o d u c t i o nI n t r o d u c t i o nI n t r o d u c t i o nI n t r o d u c t i o n ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10101010

1111è r eè r eè r eè r e

p a r t i ep a r t i ep a r t i ep a r t i e : : : : L e c a d r e d e l ’ é t u d eL e c a d r e d e l ’ é t u d eL e c a d r e d e l ’ é t u d eL e c a d r e d e l ’ é t u d e ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 11111111

C h a p i t r e 1C h a p i t r e 1C h a p i t r e 1C h a p i t r e 1 : L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e: L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e: L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e: L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 11111111

1. Introduction ................................................................................................................................................................... 11

1.1. Quelques définitions .......................................................................................................................................... 11

1.2. Les besoins couverts par l’assurance vie .................................................................................................... 12

1.3. L’assurance vie en France ............................................................................................................................... 12

2. Les contrats d’épargne en assurance vie ............................................................................................................... 15

2.1. Les contrats en euros ....................................................................................................................................... 15

2.2. Les contrats en unités de compte ................................................................................................................. 15

2.3. Les contrats multi-supports ........................................................................................................................... 15

3. Caractéristiques du contrat d’épargne multi-supports ...................................................................................... 16

3.1. Fonctionnement du contrat ............................................................................................................................. 16

3.2. Options et garanties des contrats multi-supports.................................................................................... 17

3.3. Risques liés à l’assurance vie .......................................................................................................................... 19

C h a p i t r e 2C h a p i t r e 2C h a p i t r e 2C h a p i t r e 2 : L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e: L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e: L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e: L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 21212121

1. Le contexte actuel : Solvabilité I ............................................................................................................................... 21

1.1. Genèse et principes ........................................................................................................................................... 21

1.2. Les 3 grandes notions de Solvabilité I ......................................................................................................... 21

1.3. Les exigences réglementaires ........................................................................................................................ 24

1.4. Les limites de Solvabilité I ............................................................................................................................... 24

2. La réforme Solvabilité II ............................................................................................................................................. 25

2.1. Les objectifs ........................................................................................................................................................ 25

2.2. Une nouvelle approche de valorisation ......................................................................................................... 25

2.3. Le processus de consultation ......................................................................................................................... 26

2.4. La structure en 3 piliers .................................................................................................................................. 28

2.5. Les études quantitatives d’impact (QIS) ...................................................................................................... 30

2.6. Le calendrier de la réforme............................................................................................................................. 33

C h a p i t r e 3C h a p i t r e 3C h a p i t r e 3C h a p i t r e 3 : L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5: L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5: L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5: L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 35353535

1. Les provisions techniques ........................................................................................................................................... 35

1.1. Le Best Estimate ................................................................................................................................................ 35

1.2. La Marge de risque ............................................................................................................................................ 38

2. Le Minimum Capital Requirement (MCR) ................................................................................................................ 39

3. Le Solvency Capital Requirement (SCR) .................................................................................................................. 39

3.1. Structure générale du SCR .............................................................................................................................. 40

3.2. Le Basic Solvency Capital Requirement (BSCR) ......................................................................................... 41

3.3. Le risque opérationnel ...................................................................................................................................... 51

2222è m eè m eè m eè m e

p a r t i ep a r t i ep a r t i ep a r t i e : : : : L a m o d é l i s a t i o nL a m o d é l i s a t i o nL a m o d é l i s a t i o nL a m o d é l i s a t i o n ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 53535353

C h a p i t r e 4C h a p i t r e 4C h a p i t r e 4C h a p i t r e 4 : T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n: T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n: T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n: T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 53535353

1. Modélisation de l’actif .................................................................................................................................................. 53

1.1. La modélisation stochastique ........................................................................................................................ 53

1.2. Génération de nombres aléatoires ................................................................................................................ 54


1.3. Simulation de variables aléatoires gaussiennes ........................................................................................ 56

1.4. Modélisation du taux d’intérêt ........................................................................................................................ 56

1.5. Modélisation des actions .................................................................................................................................. 61

1.6. Modélisation des obligations ........................................................................................................................... 64

2. Modélisation du passif ................................................................................................................................................. 64

2.1. Modélisation des sorties totales et partielles ............................................................................................ 65

2.2. Modélisation des provisions ............................................................................................................................ 69

3. Modélisation des interactions actif/passif ............................................................................................................. 71

3.1. Allocation d’actif ................................................................................................................................................. 71

3.2. Revalorisation cible ........................................................................................................................................... 71

3.3. Les produits financiers ..................................................................................................................................... 71

3.4. Politique de participation aux bénéfices ...................................................................................................... 72

3.5. Marge financière ................................................................................................................................................ 74

C h a p i t r e 5C h a p i t r e 5C h a p i t r e 5C h a p i t r e 5 : D é r o u l e m e n t d u m o d è l e: D é r o u l e m e n t d u m o d è l e: D é r o u l e m e n t d u m o d è l e: D é r o u l e m e n t d u m o d è l e ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 75757575

1. Déroulement général du modèle ............................................................................................................................... 75

2. Modélisation des sorties totales ............................................................................................................................... 76

2.1. Evolution du nombre de rachats .................................................................................................................... 76

2.2. Evolution du nombre de décès ........................................................................................................................ 77

2.3. Evolution du nombre de contrats ................................................................................................................... 78

3. Evaluation des arbitrages ........................................................................................................................................... 78

3.1. Hypothèses de modélisation............................................................................................................................ 78

3.2. Etablissement du modèle d’arbitrage ........................................................................................................... 78

3.3. Choix des paramètres ....................................................................................................................................... 80

4. Evolution des provisions mathématiques ............................................................................................................... 81

4.1. Sur le fonds Euro ................................................................................................................................................ 81

4.2. Sur le fonds UC.................................................................................................................................................... 82

5. Evaluation des liquidités et des prestations .......................................................................................................... 83

6. Rebalancement de l’actif ............................................................................................................................................. 85

3333è m eè m eè m eè m e

p a r t i ep a r t i ep a r t i ep a r t i e : : : : A p p l i c a t i o n d u m o d è l e A p p l i c a t i o n d u m o d è l e A p p l i c a t i o n d u m o d è l e A p p l i c a t i o n d u m o d è l e e t a n a l y s e d e s r é s u l t a t se t a n a l y s e d e s r é s u l t a t se t a n a l y s e d e s r é s u l t a t se t a n a l y s e d e s r é s u l t a t s ................................................................................................................................................................................................................................ 86868686

C h a p i t r e 6C h a p i t r e 6C h a p i t r e 6C h a p i t r e 6 : P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s: P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s: P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s: P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 86868686

1. Hypothèses générales du contrat ............................................................................................................................. 86

2. Description du portefeuille d’actif ............................................................................................................................ 86

3. Présentation du portefeuille d’assurés ................................................................................................................... 89

4. Tableaux de synthèse des hypothèses ..................................................................................................................... 90

C h a p i t r e 7C h a p i t r e 7C h a p i t r e 7C h a p i t r e 7 : C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l: C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l: C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l: C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 91919191

1. La marge de solvabilité sous Solvabilité I ............................................................................................................... 91

2. Calcul de la provision Best Estimate sous Solvabilité II ..................................................................................... 91

2.1. Méthode de calcul ......................................................................................................................................... 91

2.2. Hypothèses et résultats.............................................................................................................................. 93

2.3. Convergence .................................................................................................................................................. 94

2.4. Intervalle de confiance par Bootstrap ................................................................................................... 94

3. Calcul du BSCR ............................................................................................................................................................... 96

3.1. Risque de souscription vie ............................................................................................................................... 96

3.2. Risque de marché ............................................................................................................................................... 97

3.3. Agrégation des modules de risques ............................................................................................................ 101

4. SCR Opérationnel ......................................................................................................................................................... 102

5. Calcul du SCR ................................................................................................................................................................ 102

6. Calcul de la Marge de risque ..................................................................................................................................... 103

7. Analyse des résultats ................................................................................................................................................. 104


7.1. Le Best Estimate et la marge de risque ..................................................................................................... 104

7.2. Le SCR de souscription vie ............................................................................................................................. 105

7.3. Le SCR marché .................................................................................................................................................. 106

7.4. Le SCR ................................................................................................................................................................. 107

C h a p i t r e 8C h a p i t r e 8C h a p i t r e 8C h a p i t r e 8 : E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s: E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s: E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s: E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 109109109109

1. Sensibilité au nombre d’assurés ............................................................................................................................. 109

2. Sensibilité au taux de rachat structurel ............................................................................................................... 109

3. Sensibilité à l’âge des assurés ................................................................................................................................. 111

4. Sensibilité à la répartition du portefeuille ........................................................................................................... 111

5. Les limites du modèle ................................................................................................................................................. 112

C o n c l u s i o nC o n c l u s i o nC o n c l u s i o nC o n c l u s i o n ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 113113113113

A n n e x e sA n n e x e sA n n e x e sA n n e x e s ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 115115115115

ANNEXE 1. Condition de positivité des taux courts du modèle CIR ........................................................................... 115

ANNEXE 2. Démonstration de la formule du prix des actions du modèle de Black et Scholes ........................... 116

ANNEXE 3. Décomposition de Cholesky............................................................................................................................. 117

ANNEXE 4. La Value at Risk (VaR) ...................................................................................................................................... 119

ANNEXE 5. Courbes des taux fournies par le CEIOPS pour le QIS5 .......................................................................... 120

ANNEXE 6. Chocs sur la courbe des taux .......................................................................................................................... 121

B i b l i o g r a p h i eB i b l i o g r a p h i eB i b l i o g r a p h i eB i b l i o g r a p h i e ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 122122122122

T a b l e d e s i l l u s t r a t i o n sT a b l e d e s i l l u s t r a t i o n sT a b l e d e s i l l u s t r a t i o n sT a b l e d e s i l l u s t r a t i o n s .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 125125125125


Résumé

La réforme Solvabilité II vise à renforcer les critères de solvabilité des assureurs afin de garantir le

respect des engagements pris envers les assurés. La réforme prône une nouvelle approche des risques,

tous les risques auxquels les assureurs sont soumis devant être pris en compte, tant du point de vue

quantitatif que qualitatif.

Tous les acteurs du marché sont impliqués dans l’élaboration de cette réforme. Ils doivent en effet

répondre à des études quantitatives permettant à la Commission européenne d’évaluer l’impact des

mesures sur le marché. Quatre études ont d’ores et déjà été menées et la cinquième étude (QIS5) est

actuellement en cours d’exécution. Cette dernière introduit certaines modifications, comme la prise en

compte d’une prime de liquidité ou le renforcement du calibrage de certains chocs.

Solvabilité II définit une nouvelle approche de valorisation des passifs et des actifs d’assurance, en

valeur de marché ou « juste valeur ». Les provisions techniques des passifs non réplicables se

composent d’une provision Best Estimate et d’une marge de risque. Solvabilité II impose également deux

niveaux de fonds propres dont le SCR, le niveau de capital de solvabilité requis.

Le SCR est calculé de manière à limiter la probabilité de ruine de l’assureur à une tous les 200 ans en

moyenne. Il peut être calculé selon une formule standard ou selon un modèle interne propre à chaque

compagnie. Il est désormais également possible d’avoir recours à un modèle interne partiel, pour

modéliser une partie de ses risques, les autres étant pris en compte selon la formule standard. Dans le

cadre de ce mémoire, le SCR est calculé selon les caractéristiques de la formule standard définie dans

les quatrième et cinquième études d’impact.

La valorisation en « juste valeur » impose aux assureurs de projeter l’évolution de leur activité. Ils

doivent mettre en place un modèle de simulation de scénarios économiques pour modéliser l’évolution

de leur actif et de leur passif. Le modèle défini dans ce mémoire repose sur le principe de la

modélisation stochastique qui a l’avantage de fournir un nombre important de scénarios aléatoires. Le

modèle implémenté permet ensuite de définir les montants de provisions techniques et d’exigences de

capital.

L’application est réalisée sur un contrat d’épargne multi-supports. Les risques sous-jacents à ce type de

contrat sont essentiellement les risques de souscription vie et les risques de marché. Le contrat

proposant des garanties en cas de décès et la possibilité de rachat, l’assureur est exposé aux risques de

mortalité et de rachat. Les autres risques de souscription définis dans la formule standard comme le

risque de dépenses et le risque catastrophe n’ont pas été pris en compte dans le cadre de cette étude.

Les risques de marché pris en compte sont les risques de taux d’intérêt, le risque sur le cours des

actions ainsi que le risque d’illiquidité introduit dans le QIS5.


L’étude comparative des résultats obtenus selon les exigences du QIS4 et du QIS5 donne les résultats

suivants :

- baisse du montant de provision Best Estimate due à l’intégration de la prime de liquidité ;

- augmentation du SCR de souscription vie expliquée par le durcissement de certains chocs ;

- baisse du SCR marché grâce à la diminution des chocs appliqués sur les taux d’intérêt et les

cours des actions malgré l’introduction du module de risque d’illiquidité ;

- augmentation du SCR opérationnel ;

- augmentation du SCR global mais dans une proportion non significative ;

- augmentation de la marge de risque due à l’augmentation des SCR de souscription et

opérationnel.

Une étude de sensibilité sur les paramètres du modèle a cependant mis en évidence le fait que les

résultats obtenus dépendent grandement des hypothèses considérées, tant au niveau du contrat que de

la politique de l’assureur. Les résultats obtenus ne sont donc valables que pour le cas particulier étudié

ici et ne présument en rien des résultats du marché de l’assurance en général.

Mots clésMots clésMots clésMots clés :::: Solvabilité II, contrat d’épargne multi-supports, QIS4, QIS5, valorisation, capital

réglementaire, provision Best Estimate, marge de risque, SCR de souscription vie, SCR marché,

scénarios économiques, simulation stochastique, sensibilités.


Abstract

The reform Solvency II aims at reinforcing the solvency of insurance undertakings in order to ensure

compliance with commitments to policyholders. All risks have to be taken into account, both

quantitatively and qualitatively.

All insurers are involved in developing the reform. They need to respond to quantitative studies allowing

the European Commission to assess the impact of this reform. Four studies have already been

conducted and the fifth study (QIS5) is currently running. This last study introduces some

modifications, as the inclusion of a liquidity premium or the strengthening of the calibration.

Solvency II defines a new valuation approach of insurance assets and liabilities. They must be valued in

fair value. When liabilities cannot be replicated, technical provisions must be composed by a Best

Estimate and a risk margin. Solvency II also requires two levels of own funds including the SCR, the

solvency capital requirement. The SCR is calculated to limit the probability of ruin to one every 200

years. It can be calculated using a standard formula or an internal model. It is now also possible to use a

partial internal model, to model a portion of its risks, the others being considered by the standard

formula. In this thesis, the SCR is calculated according to the characteristics of the standard formula

set out in the fourth and fifth impact studies.

Valuation in “fair value” requires insurers to project the evolution of their business. They must develop

a simulation model of economic scenarios to model the evolution of their assets and liabilities. The model

defined here is based on the principle of the stochastic modelling which has the advantage of providing a

large number of random scenarios. The implemented model is then used to determine the amounts of

technical provisions and capital requirements.

The application is carried out on a unit-linked saving contract. The risks underlying these contracts are

essentially life underwriting risk and market risk. As the contract offers guarantees for death and

allows policy lapse, the insurer is exposed to both mortality and lapse risks. Other underwriting risks

identified in the standard formula as expense risk and catastrophe risk are not taken into account.

Market risk is here composed of interest rate risk, equity risk and illiquidity premium risk introduced

into the QIS5.

The comparative study of results obtained by the QIS4 and the QIS5 gives the following results:

- lower amount of Best Estimate provision due to the integration of a liquidity premium;

- increased life underwriting SCR explained by the hardening of certain shocks;

- lower market SCR by reducing shocks applied to interest rates and equity despite the

introduction of an illiquidity premium risk module;

- increased SCR operational risk;

- increased in the amount of SCR but not in a significant proportion;


- increased risk margin due to the increase of life underwriting SCR and operational SCR.

A sensitivity analysis on model parameters highlighted the fact that the results depend heavily on

assumptions considered, both on contract than on the policy of the insurer. The results obtained are

only valid for the particular case studied and do not presume the results of the insurance market in

general.

Key wordsKey wordsKey wordsKey words :::: Solvency II, unit-linked saving contract, QIS4, QIS5, valuation, capital requirement, Best

Estimate, risk margin, SCR life underwriting risk, SCR market risk, economic scenario, stochastic

simulation, sensitivity analysis.


Introduction

La réglementation du secteur des assurances est en pleine mutation. Une nouvelle réforme européenne

Solvabilité II est en cours d’élaboration et remplacera le système actuel, Solvabilité I le 1er

janvier 2013.

La directive cadre (2009/138/CE) de cette nouvelle réforme a été adoptée le 5 mai 2009 et définit les

bases des nouvelles exigences réglementaires. Cette réglementation a pour objectif d’assurer la

capacité des assureurs à faire face à leurs engagements vis-à-vis des assurés.

L’élaboration de la réforme Solvabilité II implique tous les acteurs du marché de l’assurance. Ils sont en

effet invités à répondre à des études quantitatives d’impact lancées par la Commission européenne qui

permettent de mesurer l’applicabilité et les effets des nouvelles mesures proposées. Quatre études

d’impact ont précédemment été menées et la 5ème

et dernière étude complète a été lancée en août 2010.

Cette réforme introduit une nouvelle approche de valorisation des actifs et des passifs d’assurance :

l’évaluation économique dite en « juste valeur ». Les actifs et les passifs doivent désormais être évalués

à leur valeur de marché.

Dans le cadre de Solvabilité II, l’évaluation du bilan des sociétés d’assurance est prospective et

nécessite donc d’effectuer une projection de l’activité de l’assureur. Un modèle de scénario économique

doit donc être implémenté pour projeter l’évolution des actifs, le comportement des assurés et les

interactions actif/passif.

Le but de ce mémoire est donc d’évaluer l’impact de la réglementation Solvabilité II et plus

particulièrement l’impact des changements proposés dans la dernière étude (QIS5).

L’application des exigences réglementaires se fera sur la base d’un contrat d’épargne d’assurance vie

multi-supports. Le contrat d’épargne d’assurance vie est le produit d’épargne longue préféré des

Français. Il représente 51% des placements effectués sur les différents produits d’épargne longue.

Une première partie sera consacrée à la présentation du cadre de l’étude, comprenant une présentation

des contrats multi-supports ainsi qu’une présentation du contexte réglementaire Solvabilité II et des

exigences définies dans la 5ème

étude d’impact.

La deuxième partie définira le modèle de scénario économique utilisé. Les techniques de simulation

seront présentées ainsi que le déroulement du modèle de projection.

Enfin, la troisième et dernière partie sera consacrée à la présentation du portefeuille de contrats et aux

calculs des exigences réglementaires et présentera également une analyse des sensibilités.


1ère partie

Le cadre de l’étude

Avant de décrire les éléments techniques de modélisation, il est important de présenter le contexte

économique et le domaine d’application auxquels l’étude se rapporte. La modélisation de l’activité

d’assurance vie se fait dans le cadre de la réforme Solvabilité II. Cette réforme impose le calcul de

nouveaux capitaux réglementaires avec des hypothèses de calculs différentes de celles appliquées dans

le système actuellement en vigueur.

Un premier chapitre présentera le domaine d’application de l’étude, le marché de l’assurance vie et plus

particulièrement les particularités du contrat d’épargne multi-supports. Le deuxième chapitre

présentera le contexte réglementaire actuel, Solvabilité I ainsi que la réforme en cours d’élaboration

Solvabilité II. Le troisième chapitre sera consacré aux différences entre le QIS4 et le QIS5, les deux

dernières études d’impact lancées par la Commission Européenne dans le cadre de la réforme

Solvabilité II.

Chapitre 1 : Le contrat d’épargne

Les ménages français consacrent une partie de leurs revenus à l’épargne. Ils ne dépensent pas

immédiatement l’intégralité de leurs revenus mais en placent un partie en vue d’une consommation

future.

De nombreux contrats d’épargne sont disponibles sur le marché mais les plus répandus sont les

contrats d’assurance vie.

Ce chapitre présentera tout d’abord quelques définitions élémentaires et fera une brève description du

marché de l’assurance vie en France. Les caractéristiques du contrat d’épargne en assurance vie seront

ensuite présentées notamment celles du contrat multi-supports de type de contrat étant celui étudié

par la suite.

1. Introduction

1.1. Quelques définitions

« L’assuranceL’assuranceL’assuranceL’assurance est une opération par laquelle une partie (l’assureur) s’engage en contrepartie du

paiement d’une prime par une autre partie (le souscripteur) à exécuter une prestation au profit d’une

tierce personne (le bénéficiaire) en cas de réalisation d’un événement aléatoire, le risque, concernant

une dernière partie (l’assuré). » Le contrat d’assurance doit donc définir les relations entre toutes les

parties concernées.


L’assurance vieL’assurance vieL’assurance vieL’assurance vie est définie dans le Code des Assurances comme « un engagement dont l’exécution

dépend de la durée de la vie humaine. » (Article L 310-1)

EpargnerEpargnerEpargnerEpargner est le fait de renoncer à une consommation immédiate au profit de la consommation future

en plaçant de l’argent qui devient dès lors indisponible pour les dépenses courantes. L’épargne vise à

faire fructifier un capital en bénéficiant d’un taux de rémunération au moins égal à l’inflation pour ne

pas que l’argent perde de la valeur.

1.2. Les besoins couverts par l’assurance vie

Les produits d’épargne répondent à différents besoins :

- la transmission d’un capital en cas de décès afin de protéger ses proches ;

- la constitution d’un complément de retraite ;

- la valorisation d’un capital sur le long terme ;

- la constitution d’une épargne de précaution ou sans objectif précis.

1.3. L’assurance vie en France

L’assurance vie est le placement préféré des Français. Elle représente plus de la moitié des placements

à moyen et long termes des Français. L’attrait pour l’assurance vie est expliqué en partie par les

avantages fiscaux accordés sur ce type de contrat.

Figure Figure Figure Figure 1111. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009

51%

10%

12%

6%

5%

2% 9%

5%

Encours des différents produits d'épargne

longue en 2009 (2419 Mds€)

Assurance vie (hors épargne retraite)

OPCVM non monétaires

Actions non cotées

Participations

Actions cotées

Obligations

Epargne contractuelle (PEL,Perp)

Epargne retraite (contrats d'assurance

retraite+Perco)Source: Banque de France, FFSA,


Pour présenter brièvement le marché de l’assurance vie, il est intéressant de regarder son importance

au sein des assurances de personnes, l’évolution des provisions mathématiques liées aux contrats

d’assurance vie ainsi que la part relative des supports Euro et unités de compte (UC) dans ces

provisions.

Les contrats d’épargne d’assurance vie représentent la part la plus importante des assurances de

personnes en termes de cotisations. 66% des cotisations sont destinées à un contrat d’épargne en euro

et 11% à un contrat en UC.

Figure Figure Figure Figure 2222. Cotisations par catégorie de contrats en 2009. Cotisations par catégorie de contrats en 2009. Cotisations par catégorie de contrats en 2009. Cotisations par catégorie de contrats en 2009

Les montants de provisions mathématiques en assurance vie sont en constante augmentation depuis

2000. Pour l’année 2009, les provisions mathématiques s’élèvent à 1234 milliards d’euros dont 1026

milliards sur les supports Euro. L’augmentation a été un peu plus faible en 2008 en raison de la crise

financière.

Les données concernant les années 2000 à 2008 proviennent de publications de l’ACP (Autorité de

Contrôle Prudentiel) tandis que celles concernant l’année 2009 proviennent d’une publication de la FFSA

(Fédération Française des Sociétés d’Assurance). Un décalage peut donc exister entre ces données.

6%

11%

6%

11%66%

Cotisations par catégorie de contrats

Bons de capitalisation

En cas de maladie ou

d'accident corporel

En cas de décès

En cas de vie (UC)

En cas de vie (euros)

Source: FFSA


Figure Figure Figure Figure 3333. Evolution des provisions mathématiques en montant. Evolution des provisions mathématiques en montant. Evolution des provisions mathématiques en montant. Evolution des provisions mathématiques en montant

En ce qui concerne les supports d’investissement, les assurés choisissent majoritairement les supports

en Euros. En 2009, 17% des provisions mathématiques sont allouées à des supports en UC et 83% à des

supports Euro. Pour les supports en euro, le risque est principalement porté par l’assureur, à la

différence des supports UC où le risque est porté par l’assuré.

Figure Figure Figure Figure 4444.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro

En 2008, la crise financière a eu pour effet de réorienter les investissements vers les supports en euros

au détriment des supports en UC. La part des provisions mathématiques allouées aux supports en UC

est passée de 21% en 2007 à 16% en 2008.

0

500

1000

1500

PM

en

mil

lia

rds

d'e

uro

années

Evolution des provisions

mathématiques en montant

UC

Euro

79%

81%

84%

84%

83%

81%

79%

79%

84%

83%

76% 78% 80% 82% 84% 86%

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

pourcentage des PM

an

né

es

Euro

Euro


2. Les contrats d’épargne en assurance vie

La plupart des contrats d’assurance vie distribués par les assureurs sont des contrats de type capital

différé avec contre assurance en cas de décès.

Ces contrats garantissent le versement d’un capital au bénéficiaire, ce capital étant obtenu par la

fructification des primes versées par le souscripteur. La contre assurance en cas de décès implique que

le capital acquis est reversé au bénéficiaire du contrat en cas de décès de l’assuré avant le terme du

contrat.

On distingue plusieurs types de contrat :

- les contrats en euros ;

- les contrats en unités de compte ;

- les contrats multi-supports.

2.1. Les contrats en euros

Les contrats en euros sont des contrats sécuritaires dont la garantie est exprimée en euros. Ces

contrats sont les moins risqués pour les assurés. La garantie est un engagement de taux de rendement

qui peut n’être qu’un rendement de 0%, c’est la notion de taux minimum garanti. Les placements sont

gérés par l’assureur et sont majoritairement composés de titres sans risque (obligations…). Mais pour

espérer un meilleur rendement du fonds Euro et pouvoir servir un meilleur taux, l’assureur incorpore

d’autres types de titres, plus risqués, en faible quantité.

2.2. Les contrats en unités de compte

Les contrats en unités de compte sont des contrats dont la garantie est exprimée par référence à une

ou plusieurs unités de compte. Une unité de compte est un support d’investissement. L’assureur

s’engage sur un nombre d’unités de compte sans s’engager sur leur valeur. L’assureur ne supporte pas

le risque financier lié à l’évolution de la valeur des UC, il est porté par l’assuré. Un contrat en UC est

principalement composé d’actions et peut fournir un rendement supérieur à celui d’un fonds Euro. Une

UC peut cependant fournir un rendement négatif. Ce type de support est donc plus risqué que le fonds

Euro pour l’assuré mais permet également d’augmenter le rendement espéré.

2.3. Les contrats multi-supports

Les contrats multi-supports sont des contrats qui permettent d’investir sur plusieurs supports en UC ou

en euros. Ils permettent également à l’assuré d’arbitrer entre des supports en UC et les supports en

euros. L’assuré peut soit gérer lui-même la répartition de son épargne soit lorsque le contrat le

propose, choisir un profil de gestion (prudent, équilibré ou dynamique) et confier ainsi les opérations


d’arbitrages à l’assureur. Le risque encouru par l’assureur repose principalement sur la partie Euro du

contrat.

3. Caractéristiques du contrat d’épargne multi-supports

3.1. Fonctionnement du contrat

3.1.1. Souscription et renonciation

Le contrat d’épargne a une durée de vie en général supérieure à 8 ans. En effet, à partir de 8 ans

d’ancienneté, les assurés bénéficient d’une fiscalité plus avantageuse. La durée du contrat est fixée à la

souscription mais les contrats sont ensuite tacitement reconductibles chaque année tout en préservant

l’ancienneté acquise. Le décès de l’assuré ainsi que le rachat total mettent fin au contrat d’assurance.

Après la souscription, l’assuré dispose d’un délai de 30 jours pour renoncer à son contrat (30 jours à

compter de la date de remise de la notice d’information du contrat à l’assuré). Si l’assuré souhaite

placer tout ou partie de son épargne sur un support en unités de compte, pour ne pas être exposé au

risque de renonciation, les assureurs n’investissent les sommes sur ce support qu’une fois le délai de

renonciation passé. Les sommes sont temporairement placées sur un support monétaire.

3.1.2. Les modes de gestion

Selon leur profil d’investisseur, les assurés ont le choix entre trois modes de gestion :

- la gestion libregestion libregestion libregestion libre qui permet à l’assuré de répartir son investissement sur les différents fonds

disponibles en toute autonomie ;

- la gestion sous mandatgestion sous mandatgestion sous mandatgestion sous mandat qui permet de bénéficier de l’expertise d’un spécialiste de l’allocation

d’actifs et de bénéficier ainsi des meilleures opportunités financières du marché ;

- la gestion profiléegestion profiléegestion profiléegestion profilée qui définit une allocation cible en fonction du profil d’investisseur de l’assuré

(prudent, équilibré ou dynamique). Les placements sont rééquilibrés périodiquement suivant la

répartition cible.

3.1.3. Les versements

Les versements peuvent être de différentes formes :

- ccccotisationotisationotisationotisation uniqueuniqueuniqueunique : versement ayant lieu en une seule fois, en général à la souscription du

contrat ;

- vvvversements réguliersersements réguliersersements réguliersersements réguliers : versements effectués selon un calendrier défini à la souscription. Ces

versements n’ont pas un caractère obligatoire;

- vvvversements libresersements libresersements libresersements libres : il n’y a pas de calendrier de versements prévu au contrat. Le souscripteur

décide du montant et du moment des versements. En général, un montant de versement minimal

est demandé à la souscription.


3.1.4. Les chargements et les frais

Sur un contrat d’épargne, l’assureur peut prélever différents frais dont :

- des chargementchargementchargementchargements d’acquisitions d’acquisitions d’acquisitions d’acquisition : prélevés lors des versements, ils réduisent le capital investi

lors du versement dans le but de couvrir le coût de commercialisation du contrat ;

- des chargementchargementchargementchargements d’administrations d’administrations d’administrations d’administration ;

- des chargementchargementchargementchargements de gestions de gestions de gestions de gestion prélevés sur l’épargne de l’assuré pour couvrir le coût de la

gestion du contrat et des placements ;

- des chargementchargementchargementchargements d’arbitrages d’arbitrages d’arbitrages d’arbitrage dans le cas des contrats multi-supports, prélevés sur l’épargne

transférée.

3.2. Options et garanties des contrats multi-supports

3.2.1. Taux minimum garanti (TMG)

Le taux minimum garanti concerne uniquement les supports en euros du contrat multi-supports. La

partie UC ne comporte aucune garantie de rendement.

Le taux minimum garanti est un engagement de rémunération minimale que l’assureur prend envers les

assurés. Dans la plupart des contrats, le TMG est fixé annuellement.

3.2.2. La participation aux bénéfices

La participation aux bénéfices est une obligation de l’assureur, définie dans le Code des Assurances.

D’après l’article L331-3 du Code des Assurances, « les entreprises d’assurance sur la vie ou de

capitalisation doivent faire participer les assurés aux bénéfices techniques et financiers qu’elles

réalisent, dans les conditions fixées par arrêté du ministre de l’économie et des finances ». Cette

participation au bénéfice légale ne concerne que la partie euros du contrat multi-supports.

Le Code des Assurances définit un montant minimal de participation aux bénéfices que l’assureur doit

reverser à ses assurés. La participation aux bénéfices obligatoireparticipation aux bénéfices obligatoireparticipation aux bénéfices obligatoireparticipation aux bénéfices obligatoire vaut au minimum 85% des

bénéfices financiers (0% en cas de perte) et 90% des bénéfices techniques (100% en cas de perte).

En plus de cette contrainte réglementaire, le contrat d’assurance peut comporter une clause de

participation aux bénéfices. Cette participation est dite participation est dite participation est dite participation est dite contractuellecontractuellecontractuellecontractuelle.

L’assureur peut également verser une participation aux bénéfices discrétionnaireparticipation aux bénéfices discrétionnaireparticipation aux bénéfices discrétionnaireparticipation aux bénéfices discrétionnaire. Cette

participation correspond aux versements faits à l’assuré en excédent des montants qui sont garantis au

contrat. Le choix des montants versés et de l’échéancier est à la discrétion de l’assureur. Cette

participation supplémentaire est versée pour éviter les rachats massifs de contrat si le taux servi est


inférieur à celui offert par la concurrence. La participation aux bénéfices discrétionnaire s’ajoute donc

aux participations réglementaire et contractuelle.

L’assureur est libre de répartir la participation aux bénéfices entre les assurés. Il n’est pas tenu de la

répartir équitablement entre tous les assurés. En général, les assureurs rémunèrent davantage les

nouveaux produits. Cette participation est stockée en provision pour participation aux bénéfices lorsque

les produits financiers suffisent pour servir le taux cible de rémunération. L’assureur dispose alors d’un

délai de 8 ans pour distribuer la participation stockée. Ce mécanisme permet à l’assureur de lisser le

rendement du fonds Euro dans le temps en stockant la participation aux bénéfices en période de forte

croissance financière et en la distribuant dans le cas contraire.

3.2.3. Les options de rachat et d’avance

En cas de besoin de liquidités avant le terme du contrat, l’assuré à la possibilité de demander un rachat

partiel ou total de son contrat, dans la mesure où le contrat comporte une valeur de rachat (ce qui est

généralement le cas en épargne), ou une avance.

Le rachat partielLe rachat partielLe rachat partielLe rachat partiel permet à l’assuré de récupérer une partie de la provision mathématique allouée au

contrat d’assurance, l’autre partie restant investie dans le contrat. Le rachat partiel ne met donc pas fin

au contrat. Lors d’un rachat partiel, le désinvestissement se fait de façon proportionnelle entre les

fonds Euro et UC.

Le rachat totalLe rachat totalLe rachat totalLe rachat total permet à l’assuré de récupérer l’ensemble de l’épargne constituée au titre du contrat.

L’assuré met alors fin à son contrat d’assurance.

Les opérations de rachat peuvent éventuellement être soumises à des pénalités en fonction de

l’ancienneté du contrat.

L’avanceL’avanceL’avanceL’avance permet au souscripteur d’obtenir des liquidités sans diminuer son épargne. L’avance est un

prêt accordé par l’assureur et gagé sur l’épargne acquise par l’assuré (la provision mathématique du

support Euro du contrat sert de garantie au prêt). L’avance ne met pas fin au contrat et ne diminue pas

le montant de l’épargne alloué au contrat. L’assuré peut ainsi disposer de liquidités sans perdre les

avantages fiscaux liés au contrat d’épargne.

3.2.4. Les arbitrages

L’arbitrage est un élément clé du contrat multi-supports. L’assuré a la possibilité de transférer son

épargne entre les différents fonds d’investissement disponibles au contrat. Certains contrats proposent

des options d’arbitrage automatique comme l’investissement progressif ou la sécurisation de l’épargne.


3.2.5. La garantie plancher pour les supports en UC

Contrairement à la partie euro des contrats multi-supports, le risque des supports en unités de compte

est entièrement porté par l’assuré (en absence de garanties annexes). En effet, l’assureur s’engage sur

un nombre d’unités de compte mais pas sur leur valeur.

Lorsque la garantie plancher est proposée pour le fonds en UC, un montant minimal est garanti.

Généralement, l’événement qui conditionne cette garantie est le décès de l’assuré. La garantie plancher

est une assurance contre le risque de pertes dues aux fluctuations de la valeur des UC. La garantie

plancher n’est disponible qu’à la souscription du contrat, elle ne peut pas être souscrite ultérieurement.

3.3. Risques liés à l’assurance vie

Les assureurs commercialisant des contrats d’assurance vie sont soumis à différents types de risques.

Le niveau de risque relatif à un contrat d’épargne multi-supports dépend des options et des garanties

disponibles au contrat.

3.3.1. Les risques viagers

Les risques viagers sont liés à la durée de la vie humaine. Le risque peut provenir de la table de

mortalité utilisée lors de la tarification du contrat, qui ne correspondrait pas à la mortalité effective des

assurés du contrat. Cet écart est justifié par deux raisons principales. D’une part la mortalité n’est pas

figée dans le temps. Les assurés vivent de plus en plus longtemps. D’autre part, les assurés souscrivant

le contrat ne sont généralement pas représentatifs de l’ensemble de la population utilisée pour créer la

table. Ce phénomène est appelé anti-sélection. En épargne retraite par exemple, le risque est que les

individus ayant souscrit un contrat soient en meilleure santé que les individus ayant servi à établir les

tables, l’assureur devant alors verser des rentes plus longtemps. Dans ce cas, si l’assureur utilise les

tables règlementaires, il sous-tarife son contrat.

Cependant, dans la plupart des contrats d’épargne, le risque viager est faible. Le but premier poursuivi

par les souscripteurs de contrats d’épargne n’est pas de s’assurer en cas de décès mais de se constituer

en capital. Les seuls contrats comportant un risque viager important sont les contrats de prévoyance et

les contrats de retraite.

3.3.2. Les risques financiers

Les risques financiers encourus par l’assureur ne sont pas de même nature selon le type de support du

contrat. Il faut faire la distinction entre les risques financiers liés aux supports euro et ceux liés aux

supports UC.


3.3.2.1. Risques sur les supports en Euro

Les risques de tauxLes risques de tauxLes risques de tauxLes risques de taux

Les risques de taux sont liés aux variations des taux d’intérêt sur le marché obligataire. Deux types de

risques de taux existent, le risque de baisse des taux ou risque de réinvestissement et le risque de

hausse des taux ou risque d’exigibilité.

En cas de baisse des taux d’intérêt, le rendement du portefeuille va diminuer. Cette diminution sera

d’autant plus rapide que l’actif est plus « court » que le passif. En effet, lorsque les obligations détenues

par l’entreprise arrivent à échéance, l’entreprise doit réinvestir le nominal remboursé. Si les taux ont

baissés, le nouveau placement se fera à un taux inférieur au précédent. Le risque est donc que les

placements ne suffisent pas à couvrir les engagements pris au passif.

Le risque de hausse des taux résulte d’un actif trop « long » par rapport au passif et est amplifié par la

possibilité de rachat. Si les taux augmentent, les obligations achetées antérieurement se retrouvent en

moins-values latentes. Si le contrat arrive à échéance avant le remboursement des obligations ou si

l’assuré décide de racheter son contrat pour pouvoir bénéficier de cette hausse des taux, l’entreprise va

réaliser ces moins-values.

3.3.2.2. Risques sur les supports en UC

L’actif en représentation d’un engagement en unités de compte est généralement composé de ces

mêmes unités de compte. Le risque de marché lié à l’évolution du cours des supports est en principe

porté par l’assuré. Cependant, l’assureur reste exposé à d’autres risques sur les supports en UC. Il s’agit

notamment du risque de renonciation et du risque de liquidité. De plus, si le contrat comporte une

garantie plancher cela engendre un risque supplémentaire pour l’assureur.

Le risque de renonciationLe risque de renonciationLe risque de renonciationLe risque de renonciation

Le risque de renonciation est lié au délai de renonciation de 30 jours autorisé par la réglementation. Si

l’assuré décide de renoncer à son contrat, l’assureur doit lui rembourser l’intégralité des primes

versées. Or, pendant ce délai, les unités de compte peuvent perdre de la valeur. Pour se protéger contre

ce risque, l’assureur ne va pas placer directement les primes reçues sur les fonds en unités de compte,

celles-ci vont être investies sur un fonds monétaire, le temps du délai de renonciation.

Le risque de liquiditéLe risque de liquiditéLe risque de liquiditéLe risque de liquidité

Le risque de liquidité correspond pour l’assureur à l’impossibilité de céder un actif sur les marchés au

moment du remboursement du contrat.


Le risque lié aux garanties plancherLe risque lié aux garanties plancherLe risque lié aux garanties plancherLe risque lié aux garanties plancher

En cas de présence au contrat d’une garantie plancher, l’assureur est exposé à hauteur de la différence

positive entre la valeur plancher et la valeur acquise par l’unité de compte. Ce risque est donc lié aux

évolutions de marchés.

Chapitre 2 : Le contexte réglementaire

Le marché de l’assurance est un acteur majeur de l’Economie. Les compagnies d’assurance sont des

investisseurs institutionnels, elles doivent placer les primes versées par leurs assurés afin de pouvoir

honorer leurs engagements futurs. Elles perçoivent les primes avant de payer les prestations et font

donc des placements de montant très important pour pouvoir en tirer des revenus.

L’assurance est caractérisée par un cycle de production inversé, les assureurs fixent le prix de leurs

produits avant de connaitre le montant de prestations futures. Ce mode de fonctionnement est source

d’incertitude quant à la capacité à honorer ses engagements, l’assureur ne connait pas le montant de

ses engagements envers les assurés. Ainsi il est nécessaire de définir des règles afin de garantir la

capacité des assureurs à honorer leurs engagements et protéger ainsi les assurés.

La notion de solvabilité est alors définie comme la capacité à faire face aux engagements vis-à-vis des

tiers.

1. Le contexte actuel : Solvabilité I

1.1. Genèse et principes

En Europe, le principe de solvabilité a été clarifié dans deux directives européennes cadres introduisant

la notion d’exigence de marge de solvabilité. La première datant de 1973 (73/239/CEE) concerne

l’assurance non-vie, et la seconde de 1979 (79/267/CEE) vise l’assurance vie. Ces deux directives sont à

la base de la réglementation actuelle, Solvabilité I qui a été adoptée en 2002 et est entrée en vigueur en

2004.

Cette réglementation impose aux compagnies d’assurance de détenir un niveau de fonds propres

minimal.

1.2. Les 3 grandes notions de Solvabilité I

Solvabilité I repose sur trois grandes notions :

- la marge de solvabilité (MS) ;

- l’exigence de marge de solvabilité (EMS) ;

- le fonds de garantie (FG).


1.2.1. La marge de solvabilité

La marge de solvabilité est un « matelas de sécurité » imposé par la règlementation, dont l’évaluation

dépend de l’activité de la compagnie, afin de pouvoir faire face à une situation de sinistralité anormale.

Cette notion traduit le fait que les actifs d’une compagnie doivent être supérieurs à ses engagements.

La marge de solvabilité est constituée principalement des éléments suivants :

- les capitaux propres ;

- les réserves (en particulier la réserve de capitalisation) ;

- les plus-values latentes.

Un bilan synthétique d’une compagnie d’assurance vie peut se présenter comme suit :

ACTIFACTIFACTIFACTIF PASSIFPASSIFPASSIFPASSIF

Actifs incorporelsActifs incorporelsActifs incorporelsActifs incorporels

Fonds propres:Fonds propres:Fonds propres:Fonds propres:

capital social

PlacementsPlacementsPlacementsPlacements

réserves légales et statuaires

réserve de capitalisation

report à nouveau

résultat de l'exercice

Provisions techniques:Provisions techniques:Provisions techniques:Provisions techniques:

provisions mathématiques

autres provisions

Placements relatifs aux contrats UCPlacements relatifs aux contrats UCPlacements relatifs aux contrats UCPlacements relatifs aux contrats UC Provisions techniques des contrats UC

Compte courantCompte courantCompte courantCompte courant Emprunts

Autres créancesAutres créancesAutres créancesAutres créances Autres dettes

Figure Figure Figure Figure 5555. Bilan d'une compagnie d'assurance vie. Bilan d'une compagnie d'assurance vie. Bilan d'une compagnie d'assurance vie. Bilan d'une compagnie d'assurance vie

Marge de solvabilité : ��

Avec :

- MS= Marge de Solvabilité ;

- SNC = Situation Nette Comptable (ou capitaux propres) ;

- PVL =Plus Value Latente des placements (excédent de la valeur de réalisation sur la valeur

comptable).

Les deux sources principales de diminution de la marge sont :

- une dépréciation de l’actif ;

- des montants de provisions insuffisants.


1.2.2. L’exigence de marge de solvabilité (EMS)

L’exigence de marge de solvabilité est le capital réglementaire requis pour qu’une entreprise puisse

continuer son activité. Elle représente un montant au-delà duquel les fonds propres de l’entreprise ne

doivent pas descendre.

Le calcul de l’EMS diffère pour les branches vie et non-vie. Seul le calcul concernant l’activité vie est

présenté ici.

L’exigence de marge de solvabilité pour l’activité vie est égale à 4% des provisions mathématiques

nettes de réassurance pour les produits hors UC, pourcentage qui est réduit à 1% pour les provisions

liées aux contrats en UC car le risque de placement est transféré à l’assuré. Ce pourcentage des

provisions est multiplié par un ratio de réassurance qui ne peut pas être inférieur à 85%. On ajoute

également entre 0,1% et 0,3% des capitaux sous risques en fonction de la durée de l’engagement (0,1%

pour les engagements inférieurs à 3 ans, 0,15% pour ceux entre 3 et 5 ans et 0,3% pour les autres). Les

capitaux sous risques sont également multipliés par un ratio de réassurance, qui ne peut pas être

inférieur à 50%.

�� 4%�� 1%�� " #$%�85%; )%*é$,,� -�0,1%à0,3%�$23)$4%,54,*3,647,8 " #$%�50%; )%*é$,,�

Avec :

- ��: Exigence Minimale de Solvabilité en assurance vie ;

- �� : provisions mathématiques des engagements hors UC ;

- �� : provisions mathématiques des contrats en UC ;

- )%*é$,,: taux de réassurance.

1.2.3. Le fonds de garantie

Le montant de fonds de garantie est égal au tiers de l’exigence de marge de solvabilité. Il doit de plus

respecter un plancher qui est différent selon la branche d’activité. En assurance vie il ne doit pas être

inférieur à 3 millions d’euros. En assurance non-vie il ne doit pas être inférieur à 2 millions d’euros.

Le fonds de garantie se calcule comme suit :

9: � #$% ;13��; 1<�=>?��>�>�� " 2�€ 1<�=>?�� " 3�€B

��: Exigence Minimale de Solvabilité.


Pour finir le montant de fonds propres nécessaire est défini comme le maximum entre l’exigence de

marge de solvabilité et le fonds de garantie.

9� � #$%��; 9:�

1.3. Les exigences réglementaires

La marge de solvabilité d’une compagnie d’assurance doit être supérieure à l’exigence de marge

réglementaire et au montant de fonds de garantie.

Si la marge de solvabilité est inférieure à l’EMS, l’entreprise doit constituer un plan de redressement

dans un délai d’un mois.

Si la marge de solvabilité est inférieure au fonds de garantie, l’entreprise doit mettre en place un plan

de financement à court terme dans un délai d’un mois également pour revenir à une marge acceptable.

Si la compagnie n’est pas en mesure de retrouver une marge suffisante, elle peut se voir retirer son

agrément par les autorités de contrôle.

1.4. Les limites de Solvabilité I

Le système Solvabilité I comporte des avantages. Il est peu coûteux et relativement simple car les

calculs sont fondés sur des données comptables. Il comporte cependant de nombreux inconvénients.

Ces derniers peuvent être séparés en deux catégories. D’une part les critiques quantitatives et d’autre

part les critiques qualitatives.

Limites quantitatives :

- Solvabilité I prend comme référence le passé. Il est donc supposé que le passé est représentatif

du futur. La vision uniquement rétrospective de cette réglementation est remise en cause.

- Le calcul de l’exigence de marge de solvabilité ne pénalise pas les compagnies qui ne

provisionnent pas assez alors qu’il pénalise la prudence de tarification et de provisionnement.

- Tous les risques auxquels l’entreprise est exposée ne sont pas pris en compte. De plus,

Solvabilité I ne tient pas compte du profil de risque des compagnies.

Limites qualitatives :

- Il n’y a pas de surveillance sur le contrôle interne (méthodes de gestion…).

- Le système s’est révélé insuffisant vis-à-vis d’autres systèmes de solvabilité internationaux

(Swiss Solvency Test en Suisse par exemple).

- Solvabilité I n’est pas en accord avec les normes comptables internationales US-GAAP et IAS-

IFRS qui servent de référence.


- Sous le système actuel Solvabilité I, des divergences existant entre les pays de l’Union

Européenne faussent la concurrence entre les états.

2. La réforme Solvabilité II

La réforme Solvabilité II prévoit la refonte de 13 directives en vigueur concernant le secteur des

assurances et l’instauration de nouveaux principes de solvabilité. La directive cadre (2009/138/CE) a

été adoptée le 5 mai 2009 par le conseil ECOFIN après avoir été votée par le parlement européen le 22

avril 2009.

2.1. Les objectifs

La directive Solvabilité II a pour objectifs principaux de renforcer la protection des assurés, de

renforcer l’intégration du marché européen, de favoriser la compétitivité des assureurs européens sur

le marché international et d’améliorer la légifération.

Pour ce faire, la Commission européenne prévoit d’harmoniser le système avec les normes comptables

internationales IFRS International Financial Reporting Standards. Les assureurs vont être davantage

responsabilisés. La directive va promouvoir la bonne gestion des risques en favorisant l’utilisation de

modèles internes pour l’évaluation du besoin en capital. En contrepartie, la Commission va renforcer le

dialogue prudentiel avec les acteurs du marché de l’assurance.

La réforme Solvabilité II est marquée par un changement de philosophie. Elle introduit une vision

économique du bilan et une approche globale de l’entreprise. L’approche n’est plus rétrospective et

forfaitaire mais prospective et adaptée au profil de risque de chaque compagnie. De plus, la réforme

prend désormais en compte la réduction et le transfert de risque. Le niveau de fonds propres requis est

proportionné aux risques d’actifs et de passifs portés par la compagnie d’assurance. Solvabilité II

favorise donc une gestion par les risques. Solvabilité II vise également à harmoniser les reportings

demandés aux assureurs ainsi que les systèmes de gouvernance.

2.2. Une nouvelle approche de valorisation

L’article 75 de la Directive Cadre définit le principe de valorisation des actifs et des passifs d’assurance.

La valorisation des actifs est fondée sur une notion d’échange économique et celle des passifs sur une

notion de transfert. Les actifs doivent être valorisés au montant auquel ils pourraient être échangés et

les passifs d’assurance doivent être valorisés au montant auquel ils pourraient être transférés dans des

conditions de concurrence normales entre des parties également informées et consentantes.

Ces principes d’évaluation sont identiques à ceux définis dans les normes IFRS. L’approche est fondée

sur la valeur économique, la « juste valeur ». Les actifs doivent être évalués à leur valeur de cession et


les passifs à leur valeur de transfert. La norme Solvabilité II intègre uniquement des exceptions aux

normes IFRS, lorsque celles-ci ne semblent pas adaptées.

Les différences entre les normes IFRS et Solvabilité II sont résumées poste par poste dans les

spécifications techniques du QIS5, section 1.

Les actifs doivent être comptabilisés à leur valeur de marché. Lorsqu’un passif est réplicable, i.e lorsque

les flux du passif peuvent être répliqués parfaitement par des produits financiers, l’assureur doit

comptabiliser ce passif à la valeur de marché de ces dits produits. Il s’agit de la méthode « mark to

market ». Si le passif n’est pas réplicable, l’assureur doit alors le comptabiliser comme la somme d’un

Best Estimate et d’une Marge de risque, c’est la méthode « mark to model ».

Figure Figure Figure Figure 6666. Bilan . Bilan . Bilan . Bilan ééééconomique sous conomique sous conomique sous conomique sous SolvabSolvabSolvabSolvabilité IIilité IIilité IIilité II

2.3. Le processus de consultation

2.3.1. Le processus Lamfalussy

La Commission européenne utilise le processus législatif Lamfalussy pour élaborer la réforme

Solvabilité II. C’est le processus employé pour mettre en place les réglementations du secteur financier,

qui est utilisé ici pour la première fois dans le secteur de l’assurance.

ACTIFS

en valeur de marché

Valeur Mark

to Market

Marge de risque

MCR

SCR

Best Estimate

Risques réplicables Risques non réplicables

Besoin

en

capital


Le processus Lamfalussy est constitué de quatre niveaux :

- Niveau 1 : élaboration de la légifération ;

- Niveau 2 : élaboration des mesures d’exécution ;

- Niveau 3 : coopération des régulateurs ;

- Niveau 4 : contrôle du respect du droit.

Ce processus permet d’élaborer des réformes plus adaptées à la réalité, car les textes de loi sont

préparés après consultation des acteurs du marché.

Figure Figure Figure Figure 7777. Le processus Lamfalussy. Le processus Lamfalussy. Le processus Lamfalussy. Le processus Lamfalussy

2.3.2. Les acteurs de la réforme

La Commission européenneLa Commission européenneLa Commission européenneLa Commission européenne

La Commission européenne est l’unique acteur législatif du processus Lamfalussy. Elle rédige la

directive après consultation des acteurs du marché de l’assurance. Le projet Solvabilité II est traité au

sein de la Direction Générale Marché Intérieur et Services.

Les Etats membresLes Etats membresLes Etats membresLes Etats membres

Les Etats membres interviennent par le biais de deux organismes, le CEIOPS (Committee of European

Insurance and Occupational Pensions Supervisors) et l’EIOPC (European Insurance and Occupational

Pensions Committee).

Le CEIOPS regroupe les représentants des autorités de contrôle des Etats membres. En France,

l’autorité de contrôle est l’ACP (Autorité de Contrôle Prudentiel) anciennement ACAM (Autorité de

•Directive sur le cadre prévoyant les compétences nécessaires décidée à la fois par le

Conseil et le Parlement après proposition de la Commission Européenne.

Niveau 1: élaboration de la légifération

•Mesures techniques d'exécution données par la Commission Européenne sur la base des

propositions réalisées par le CEIOPS et des échanges avec le marché.

Niveau 2: élaboration des mesures d’exécution

• Coopération renforcée des autorités de contrôle en vue de favoriser l'harmonisation du

contrôle, de l'application de la Directive et de ses principes

Niveau 3: Coopération des régulateurs

•Renforcement des procédures d’infractions, organisé par la Commission Européenne.

Niveau 4: contrôle du respect du droit


Contrôle des Assurances et Mutuelles). Le CEIOPS a un rôle consultatif. Il conseille la Commission

européenne dans l’élaboration des directives. Il a préparé le marché en émettant des Consultations

Papers (CP) sur lesquels les acteurs de l’assurance ont pu faire des retours. Suite à ces retours, le

CEIOPS a émis des Final Advices. A partir de ces documents, la Commission européenne a ensuite lancé

plusieurs études quantitatives d’impact (QIS).

L’EIOPC est le comité européen des assurances et pensions professionnelles. Il assiste la Commission

européenne dans l’élaboration de la directive cadre.

Les professionnelsLes professionnelsLes professionnelsLes professionnels

Les professionnels jouent un rôle important dans l’élaboration de la réforme Solvabilité II. Ils sont

amenés à répondre aux CP et à participer aux QIS. Ils guident les participants et se chargent de

remonter le point de vue du marché aux institutions européennes et aux autorités de contrôle.

Voici une liste non exhaustive des acteurs de la réforme :

- le CEA (Comité Européen des Assurances) ;

- le CRO Forum (Chief Risk Officer Forum) ;

- le CFO Forum (Chief Financial Officers Forum);

- le GCAE (Groupe Consultatif Actuariel Européen).

En France, les intervenants principaux sont :

- la FFSA (Fédération Française des Sociétés d’Assurance) ;

- le GEMA (Groupement des Entreprises Mutuelles d’Assurance) ;

- la FNMF (Fédération Nationale de la Mutualité Française) ;

- le CTIP (Centre Technique des Institutions de Prévoyance).

2.4. La structure en 3 piliers

La réforme Solvabilité II est fondée sur une structure en trois piliers.

2.4.1. Pilier 1 : exigences quantitatives

Le premier pilier définit des règles quantitatives de calcul pour les provisions techniques et les fonds

propres.

En ce qui concerne les provisions techniques, le but principal est d’harmoniser leur valorisation.

Le premier pilier définit deux niveaux de fonds propres : le MCR Minimum Capital Requirement et le SCR

Solvency Capital Requirement.


Le MCR représente un niveau minimum de fonds propres que les compagnies ne doivent pas franchir. Si

une compagnie a un niveau de fonds propres inférieur au MCR, les autorités de contrôle interviennent.

Le MCR est déterminé par un calcul simplifié et est identique pour toutes les compagnies.

Le SCR est un indicateur basé sur l’exposition aux risques des compagnies d’assurance. Il prend en

compte tous les risques liés à l’activité de la compagnie. Son calcul repose sur une formule standard ou

sur l’utilisation d’un modèle interne total ou partiel propre à la compagnie d’assurance.

2.4.2. Pilier 2 : aspects qualitatifs et contrôle

Le deuxième pilier a pour but de fixer des normes qualitatives à l’ensemble du marché de l’assurance.

Ces normes concernent le processus de suivi des risques des compagnies, la gouvernance, le risk

management ainsi que la mise en place de la surveillance par les autorités de contrôle. L’objectif est

d’harmoniser les processus de contrôle, au sein des compagnies ainsi que l’activité des superviseurs.

Les entreprises sont incitées à identifier leur exposition face aux différents types de risque et à les

gérer. Elles doivent pouvoir contrôler en interne le suivi de leurs risques. Pour se faire, l’article 45 de la

Directive introduit un processus d’évaluation des risques, l’ORSA (Own Risk and Solvency Assessment).

L’ORSA est un processus complet qui permet de suivre en continu le besoin en capital d’une entreprise

en fonction de sa stratégie commerciale notamment. C’est un outil de gestion des risques et une source

d’information pour les autorités de contrôle. Son rôle est de faire en sorte que les entreprises ne se

limitent pas aux calculs réglementaires mais aillent plus loin dans le processus de gestion de leurs

risques.

2.4.3. Pilier 3 : information et discipline de marché

Le troisième pilier définit les informations qui doivent être publiées par les compagnies. Les

informations publiées sont destinées à différents acteurs.

Deux types de rapport sont à fournir :

- le SFCR (Solvency & Financial Condition Report), publié annuellement dans le but d’informer les

actionnaires et les analystes de marché ;

- le RTS (Reporting To Supervisor) permettant de vérifier le calcul de l’exigence en capital, publié

trimestriellement à l’attention des autorités de contrôle.

Une version abrégée du SFCR sera également publiée à l’attention du public.

Ces informations recouvrent entre autres la performance financière, les données et hypothèses

utilisées pour la détermination du SCR.


Le pilier 3 prévoit la réalisation d’états voués à remplacer les états réglementaires actuels : les QRT

(Quantitative Reporting Templates). Ces états, en leur version provisoire, ont une vocation plus

actuarielle que les états réglementaires actuels qui sont essentiellement comptables (environ 40%

d’informations actuarielles contre 10% actuellement).

Figure Figure Figure Figure 8888. Les 3 piliers de . Les 3 piliers de . Les 3 piliers de . Les 3 piliers de Solvabilité IISolvabilité IISolvabilité IISolvabilité II

2.5. Les études quantitatives d’impact (QIS)

Afin de préparer le passage à Solvabilité II, la Commission européenne a demandé au CEIOPS d’évaluer

l’impact des mesures sur le marché. Les QIS permettent tout d’abord de fournir des informations sur

l’impact quantitatif de la réforme. Ces études permettent également de préparer le marché à la réforme

en fournissant un point de départ pour un dialogue permanent entre assureurs, réassureurs et

superviseurs. La participation au QIS se fait sur la base du volontariat.

2.5.1. Du QIS1 au QIS4

QISQISQISQIS1 1 1 1

C’est la première étude menée par le CEIOPS, qui s’est déroulée durant l’automne 2005. Le but principal

de cette étude quantitative d’impact était de pouvoir évaluer le niveau de prudence des provisions

techniques.

Cette étude devait également permettre au CEIOPS de recueillir des informations qualitatives sur les

méthodes et modèles utilisés par les compagnies.

Résultat:

- 312 entreprises ont participé à cette étude.

- Le CEIOPS a pu acquérir des informations sur l’impact du Best Estimate et de la marge de

risque sur les provisions techniques et sur la capacité des entreprises à effectuer les calculs.

Pilier 1

Les exigences

quantitatives

• Provisions techniques:

BE et MR

• Exigences de capital:

MCR et SCR

• Fonds propres

Pilier 2

Les exigences qualitatives

et le contrôle

• Contrôle interne et

gestion des risques: ORSA

•Système de gouvernance

•Supervision

• Capital add-on

Pilier 3

Information et discipline

de marché

• RTS à l'attention des

superviseurs

•SFCR à l'attention du

public


- Il s’est avéré que le marché était sur-provisionné. Le niveau de marge de solvabilité requis était

en général inférieur au niveau de provisions déjà constitué par les compagnies.

QISQISQISQIS2222

La deuxième étude d’impact a été lancée en mai 2006. L’objectif principal de cette étude était

l’évaluation du besoin en capital, à travers le calcul du SCR et du MCR. L’approche était méthodologique

et non axée sur la calibration.

Cette deuxième étude est marquée par une plus forte participation des acteurs de l’assurance. 514

entreprises ont participé contre 312 lors du QIS1.

Résultats :

- Les compagnies ont demandé des simplifications des méthodes de calculs.

- Les petites entreprises ont désiré des méthodes simplifiées, adaptées à la nature et à la

complexité des risques auxquels elles sont exposées. Le principe de proportionnalité a

commencé à se profiler.

- Certains groupes ont effectué un calcul de SCR pour l’ensemble du groupe en plus du calcul pour

chaque entité sans la demande du CEIOPS. Cela a lancé la réflexion sur le SCR groupe.

- En règle générale, le besoin de capital est réduit par rapport au QIS1 et la plupart des

entreprises sont solvables selon les critères avancés.

QISQISQISQIS3333

La troisième étude d’impact s’est déroulée en avril 2007. Cette étude a marqué un tournant car elle

n’était plus seulement qualitative mais également quantitative.

L’étude d’impact a été marquée par une forte participation. 1027 entreprises du secteur des

assurances ont répondu à l’appel du CEIOPS, deux fois plus que pour l’étude précédente. Ceci s’explique

du fait que cette troisième étude soit la première à caractère réellement quantitatif.

Résultats :

- La comparaison des montants de provisions techniques sous Solvabilité I et Solvabilité II

montre que les montants requis sont plus faibles avec le QIS3. Ce résultat peut s’expliquer par

la prise en compte de la diversification des groupes.

- Les réponses données par les différents participants ont été très hétérogènes et difficilement

exploitables.


QISQISQISQIS4444

Cette quatrième étude d’impact s’est déroulée du mois d’avril au mois de juillet 2008.

Suite aux difficultés d’exploitation des résultats du QIS3 dues à une forte hétérogénéité des réponses

des acteurs du marché, l’ACAM a publié pour la première fois des Orientations Nationales

Complémentaires (ONC) pour aider les organismes d’assurance à répondre à cette étude et ainsi

faciliter l’interprétation des résultats.

Cette étude tournait autour de quatre points principaux :

- L’évaluation de l’impact quantitatif de l’exigence en capital sur le bilan des assureurs et

réassureurs, y compris des effets de la diversification et de la transférabilité des fonds propres.

- L’introduction de simplifications dans les calculs de l’exigence de capital ainsi que l’utilisation

des paramètres spécifiques des compagnies.

- La conception et le calibrage du MCR.

- La comparaison des résultats obtenus par la formule standard et par les modèles internes dans

le calcul du besoin en capital.

1412 compagnies ont répondu à l’appel du CEIOPS soit une augmentation de 37% de la participation par

rapport au QIS précédent.

Voici une liste non exhaustive des principaux changements apportés par le QIS4 par rapport au QIS3 :

- Mise en pratique du principe de proportionnalité.

- Introduction de la diversification géographique.

- Développement du module santé, définition des sous-modules du risque santé.

- Mise en place d’une approche combinée dans le calcul du MCR (MCR linéaire).

- Importance donnée aux modèles internes.

- Insistance sur le principe de solvabilité pour les groupes.

2.5.2. Le QIS5

La Commission européenne a publié le 15 avril 2010 le draft des spécifications techniques du QIS5 qui

doit se dérouler d’août à novembre 2010. Ce projet a été réalisé par le CEIOPS sur la base de ses

dernières recommandations techniques transmises à la Commission fin mars 2010. Suite aux retours de

place sur ce draft, la Commission a publié le 6 juillet 2010 la version définitive des spécifications

techniques du QIS5.

Le QIS5 a pour finalité de mesurer l’impact du nouveau calibrage sur la formule standard, d’évaluer la

faisabilité des calculs ainsi que l’état d’avancement des acteurs du marché et de collecter des données.

Première étude à tenir compte des leçons de la crise financière, c’est un « état des lieux » qui ne préjuge


en rien du calibrage final. Le QIS5 est la dernière étude d’impact complète mais il est possible qu’un

QIS6 ait lieu, avec un champ d’application limité.

Des simplifications pourraient être apportées à la formule standard -dont la complexité se rapproche de

plus en plus d’un modèle interne- suite aux retours du QIS5.

Le QIS5 prendra fin le 30 octobre pour les organismes « solo » et le 15 novembre pour les groupes. A la

suite de cette étude, l’ACP transmettra un « rapport pays » au CEIOPS fin décembre. Le CEIOPS publiera

ensuite le rapport QIS5 européen le 29/04/2011.

L’ACP a renouvelé la publication d’Orientations Nationales Complémentaires. Il s’agit pour l’ACP

d’éclairer les acteurs du marché français sur certaines dispositions qui ne paraissent pas suffisamment

précises dans les spécifications techniques.

Les ONC relatives au QIS5 concernent notamment:

- le calcul du Best Estimate (horizon de projection, rachats conjoncturels et structurels) ;

- la prise en compte de la réserve de capitalisation ;

- les fonds cantonnés ;

- les impôts différés.

Figure Figure Figure Figure 9999. Chronologie des études quantitatives d'impact. Chronologie des études quantitatives d'impact. Chronologie des études quantitatives d'impact. Chronologie des études quantitatives d'impact

2.6. Le calendrier de la réforme

Les évolutions de la réforme depuis 2007 ainsi que les perspectives d’avancement restantes sont

résumées dans le tableau suivant :


Figure Figure Figure Figure 10101010. Calendrier de la réforme . Calendrier de la réforme . Calendrier de la réforme . Calendrier de la réforme Solvabilité IISolvabilité IISolvabilité IISolvabilité II

En parallèle des études quantitatives d’impact pour évaluer les mesures de niveau 1 de la Directive, la

Commission européenne et le CEIOPS élaborent respectivement les mesures de niveau 2 et les

recommandations de niveau 3.

Le calendrier du QIS5 est le suivant :

Figure Figure Figure Figure 11111111. Calendrier des étapes du . Calendrier des étapes du . Calendrier des étapes du . Calendrier des étapes du QIS5QIS5QIS5QIS5

Les intervenants disposent d’un délai limité pour répondre à l’étude d’impact. Les résultats obtenus

seront ensuite synthétisés et les résultats seront publiés.


Chapitre 3 : Le pilier 1 de la réforme vision QIS5

Afin de préparer le marché à la réforme Solvabilité II et obtenir des informations sur la faisabilité des

calculs ainsi que sur l’impact potentiel en termes de besoin de capital, la Commission Européenne mène

des études quantitatives d’impact. Dans le cadre de ce mémoire, les calculs des exigences

réglementaires sont faits selon les prescriptions du QIS5 évoqué dans le chapitre précédent. Les

exigences quantitatives ainsi que le calibrage des calculs proposés depuis le QIS4 sont présentés dans

ce chapitre. La présentation est orientée vers l’étude de l’activité d’assurance vie.

1. Les provisions techniques

Dans Solvabilité II, le montant des provisions techniques doit correspondre à l’évaluation du montant

qu’une entreprise devrait payer si elle transférait son portefeuille à un tiers.

Les principes généraux d’évaluation des provisions techniques sont globalement inchangés par rapport

au QIS4.

Le calcul des provisions techniques distingue les passifs réplicables des passifs non réplicables. Un

passif réplicable est comptabilisé à sa valeur de marché tandis qu’un passif non réplicable doit être

estimé par le calcul d’un Best Estimate et d’une Marge de risque.

Les passifs relatifs au support UC du contrat traité ici ne sont pas considérés comme réplicables. En

effet, par la présence de frais de gestion, le risque porté par l’assureur au titre du support en UC n’est

pas nul. Le risque repose sur la non-couverture possible des frais de gestion par les charges prélevées

par l’assureur.

1.1. Le Best Estimate

Le Best Estimate correspond au montant espéré qu’une compagnie d’assurance devrait débourser pour

régler tous ses engagements. Il est défini dans l’article 77 de la Directive 2009/138/CE comme : « la

meilleure estimation correspondant à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie

futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l’argent […] estimée sur la base de la courbe des taux

sans risque pertinents ».

Le calcul du Best Estimate doit tenir compte de toutes les entrées et sorties de capital, relatives aux

engagements de l’assureur et des assurés pendant toute la durée des engagements.


Le calcul du Best Estimate s’effectue sous les hypothèses suivantes :

- l’horizon : les spécifications du QIS5 insistent sur le fait que l’horizon de simulation doit être

suffisamment long pour que la différence entre les provisions calculées avec cet horizon et

celles calculées jusqu’à extinction totale du portefeuille soit négligeable ;

- l’actualisation : les flux sont actualisés au taux d’actualisation sans risque fourni par la courbe

des taux du CEIOPS. Ces taux incorporent désormais une prime d’illiquidité ;

- la réassurance : les provisions en Best Estimate sont calculées brutes de réassurance ;

- prime: une partie des primes futures sont désormais prises en compte dans le calcul.

Le Best Estimate correspond donc à la valeur actuelle probable des flux de trésorerie futurs, jusqu’à

l’extinction du portefeuille.

Il doit pouvoir couvrir :

- les prestations ;

- les coûts liés à l’exploitation des contrats ;

- les prélèvements sociaux.

Les différentes étapes pour calculer le Best Estimate sont les suivantes :

- calculer les flux de prestations et de frais à chaque date de projection ;

- actualiser tous les flux à la date initiale.

Figure Figure Figure Figure 12121212. Schéma d'actualisation du Best Estimate. Schéma d'actualisation du Best Estimate. Schéma d'actualisation du Best Estimate. Schéma d'actualisation du Best Estimate


C� �D 9E4%F�1 *F�FGFHI

Avec :

- 9E4%F le flux probables l’année t ;

- *F: taux sans risque de maturité t ;

- � : l’horizon de simulation.

La prime de La prime de La prime de La prime de liquiditéliquiditéliquiditéliquidité

Dans le QIS5, la courbe des taux utilisée pour l’actualisation des passifs prend en compte une prime de

liquidité. La prime de liquidité est liée à la différence de rendements entre les actifs liquides et illiquides

et doit traduire la capacité de l’assureur à investir dans des actifs moins liquides et donc plus risqués.

Cette prime de liquidité dépend du type de passif d’assurance considéré :

- 100% pour les passifs d’assurance pour lesquels les seuls risques sont la longévité et le risque

de dépense, l’assureur n’a aucun risque lié au rachat et l’ensemble des primes a déjà été versé.

Il s’agit notamment des rentes viagères ;

- 75% pour les autres passifs d’assurance avec participation aux bénéfices. Il s’agit notamment

des contrats d’assurance vie en euros ;

- 50% pour les autres passifs d’assurance.

Le CEIOPS met également à disposition une courbe des taux sans prime de liquidité.

Figure Figure Figure Figure 13131313. Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de . Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de . Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de . Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de liquiditéliquiditéliquiditéliquidité

1,000%

1,500%

2,000%

2,500%

3,000%

3,500%

4,000%

4,500%

5,000%

1 6 11 16 21 26 31 36

tau

x

maturité

Courbes des taux du CEIOPS en fonction de la

prime de liquidité

sans prime de liquidité

50%

75%

100%


1.2. La Marge de risque

Dans le cas de passifs dit « non réplicables », la marge de risque s’ajoute au Best Estimate de manière à

garantir que le montant total des provisions techniques soit égal au montant qu’une entreprise

d’assurance serait prête à payer pour transférer son passif à un repreneur.

La marge de risque correspond au coût d’immobilisation des fonds propres. Elle est calculée selon la

méthode du coût du capital (CoC).

5� � 6%D �LM��)��1 *FNI�FNIFOP

Où :

- 5� est la Marge de risque calculée par la méthode du coût du capital ;

- 6% correspond au taux de coût du capital ;

- �LM��)� est le SCR pour l’année t de « l’entreprise de référence » ;

- *FNI est le taux sans risque sans prime de liquidité pour la maturité t+1.

Le SCR de « l’entreprise de référence » ne prendra ici en compte que le risque de souscription vie et le

risque opérationnel.

Une simplification existe pour calculer le�LM��)�. Il peut être calculé selon la formule :

�LM��)� � �LM��0�C�G�F�0� " C�G�F�)�

Où :

- C�G�F�0� est le Best Estimate net de réassurance à la date d’évaluation ;

- C�G�F�)� est le Best Estimate net de réassurance à la date t.

Le QIS5 propose également une simplification pour le calcul de la Marge de risque faisant intervenir les

durations : 5� � 6%�1 *I� " Q4*R�S�0� " SCRUV�0�

Où :

- Q4*R�S�0� est la duration modifiée en 0 ;

- *1 est le taux sans risque pour la maturité 1.

Pour calculer la duration modifiée, il faut d’abord calculer la duration.

La duration est la mesure de la durée moyenne d’attente des versements des flux.


Q4*�0� � ∑ ) " 9E4%F " X 11 *FYFFOI∑ 9E4%F " X 11 *FYFFOI

Où :

- 9E4%F : flux probables l’année t ;

- *F: taux risque neutre de maturité t ;

- Q4*�0� : duration en 0.

La duration modifiée vaut :

Q4*R�S�0� � Q4*�0�1 *=

Où *= est le taux actuariel.

Différences avec le Différences avec le Différences avec le Différences avec le QIS4QIS4QIS4QIS4

Le calcul de la Marge de risque par la méthode du coût du capital est inchangé depuis le QIS4, en

revanche des modifications ont été apportées aux méthodes de simplification.

Pour calculer la Marge de risque selon le QIS4, il était possible d’appliquer la simplification suivante :

5� � 6%-0.5 Q4*R�S�0�8 " �LM��0�

2. Le Minimum Capital Requirement (MCR)

Le MCR est le minimum de capital requis. Il correspond au niveau minimum de fonds propres en dessous

duquel l’intervention de l’autorité de contrôle est automatique. Si l’entreprise ne détient pas le niveau

minimum de fonds propres requis elle peut se voir retirer son agrément.

Le MCR doit être compris entre 25% et 45% du SCR et doit respecter un seuil plancher de 3 200 000

euros pour les compagnies d’assurance vie.

3. Le Solvency Capital Requirement (SCR)

Le SCR est le capital de solvabilité requis. Il correspond au niveau de fonds propres nécessaire à une

entreprise afin d’être en mesure d’absorber des pertes imprévues importantes. Le SCR doit couvrir le

portefeuille en cours de l’entreprise ainsi que le portefeuille dont la souscription est attendue dans les

12 prochains mois.

Les paramètres et hypothèses entrant dans le calcul du SCR sont calibrés de manière à représenter la

Value at Risk (VaR) à un horizon temporel d’un an avec un niveau de confiance de 99,5%. Le SCR doit


couvrir une probabilité de ruine de 0,5% sur un horizon d’un an ce qui correspond à une faillite tous les

200 ans.

Le capital de solvabilité requis peut être calculé soit à l’aide de la formule standard proposée par la

Commission européenne soit par un modèle interne propre à l’entreprise. Il est également possible

d’avoir recours à un modèle interne partiel pour calculer le SCR. Dans ce cas, l’entreprise programme

son propre modèle pour certains risques et utilise la formule standard pour les autres. Les résultats

obtenus via le modèle interne partiel doivent ensuite être agrégés avec ceux calculés par la formule

standard pour déterminer le SCR.

3.1. Structure générale du SCR

Le calcul du SCR suivant la formule standard est décomposé en plusieurs modules de risque comportant

eux-mêmes différents sous-modules.

La structure du SCR donnée dans les spécifications techniques du QIS5 est plus complexe que celle

élaborée pour le QIS4. Elle comprend trois modules de risque de souscription - vie, non-vie et santé - un

module de risque de contrepartie, un module de risque de marché, un module de risque pour les actifs

intangibles ainsi qu’un module pour le risque opérationnel.

Figure Figure Figure Figure 14141414. Structure générale du SCR . Structure générale du SCR . Structure générale du SCR . Structure générale du SCR selon le QIS5selon le QIS5selon le QIS5selon le QIS5


Les changements majeurs dans la structure de la formule standard depuis le QIS4 sont les suivants :

- introduction d’un module pour les actifs incorporels ;

- introduction d’un sous-module de risque d’illiquidité dans le module de risque de marché ;

- introduction d’un sous-module de risque de rachat dans le module de souscription non-vie ;

- modification de l’architecture du module de souscription santé.

Le SCR s’obtient par la formule principale suivante :

�L � C�L [ \]^ �L_`

Avec :

- C�L : Basic Solvency Capital Requirement (capital de solvabilité requis de base) ;

- \]^ : Ajustements dûs aux effets d’absorption des provisions techniques et des impôts

différés ;

- �L_` : Capital requis au titre du risque opérationnel.

3.2. Le Basic Solvency Capital Requirement (BSCR)

Le SCR de base est calculé à partir de l’estimation de la Net Asset Value (NAV) qui sera choquée afin de

tenir compte des différents risques auxquels est soumise la société d’assurance.

Le calcul du BSCR inclut désormais le capital requis pour le risque sur les actifs incorporels mais celui-ci

n’est pas agrégé avec les capitaux requis pour les autres modules.

C�L � aD 5**�b " �L� " �Lb�b �L=?F�c� �>?��`��d�

Avec :

- �LReF : Capital requis au titre du risque de marché ;

- �LS�c : Capital requis au titre du risque de contrepartie ;

- �Ld�c� : Capital requis au titre du risque de souscription vie ;

- �L>d : Capital requis au titre du risque de souscription non-vie ;

- �L��=dF� : Capital requis au titre du risque de souscription santé ;

- �L=?F�c� �>?��`��d�: Capital requis au titre du risque lié aux actifs incorporels ;

- 5**�b : Coefficient de corrélation entre les modules de risque i et j ;


La matrice de corrélation entre les risques est la suivante :

fghh MarchéMarchéMarchéMarché ContrepartieContrepartieContrepartieContrepartie Souscription Souscription Souscription Souscription

vievievievie

SantéSantéSantéSanté Souscription Souscription Souscription Souscription

nonnonnonnon----vievievievie

MarchéMarchéMarchéMarché 1

Contrepartie Contrepartie Contrepartie Contrepartie 0.25 1

Souscription vie Souscription vie Souscription vie Souscription vie 0.25 0.25 1

SantéSantéSantéSanté 0.25 0.25 0.25 1

Souscription nonSouscription nonSouscription nonSouscription non----vie vie vie vie 0.25 0.5 0 0 0 0 0 1

Les modules de risque du SCR se rapportant à notre étude sont principalement le module de risque de

souscription vie et le module de risque de marché. Les modules de souscription vie, de souscription

santé et de contrepartie ne seront pas étudiés ici.

3.2.1. Le risque de souscription vie

3.2.1.1. Sous-modules et matrice de corrélation

Figure Figure Figure Figure 15151515. Sous. Sous. Sous. Sous----modules du risque de souscription viemodules du risque de souscription viemodules du risque de souscription viemodules du risque de souscription vie

Le risque de souscription vie reflète le risque découlant des engagements d’assurance vie mais pas

seulement. Tout engagement relevant d’une activité non-vie mais étant fondé sur des méthodes de

calcul relatives à l’assurance vie -comme une rente provenant d’un contrat d’assurance non-vie qui ne

serait pas assimilable à de l’assurance santé- doit être classé dans le module de souscription vie.

Le risque de souscription vie résulte par exemple d’une tarification insuffisante lors de la souscription

d’un contrat d’assurance vie. Il prend en compte le risque de mortalité, de longévité, d’invalidité et

d’incapacité, de rachat, de dépenses, de révision et de catastrophe.

Le capital requis pour couvrir le risque de souscription vie est obtenu en agrégeant les capitaux requis

pour chaque sous-module suivant la matrice de corrélation donnée ci-après.


�Ld�c� � aD 5** 3i7�,? ∗ 3i7� ∗ 3i7?�"?

Avec :

- 3i7�� : Le capital requis au titre du risque de révision ;

- 3i7R��F : Le capital requis au titre du risque de mortalité ;

- 3i7d�>j : Le capital requis au titre du risque de longévité ;

- 3i7S�� : Le capital requis au titre du risque d’invalidité/incapacité ;

- 3i7d=`�� : Le capital requis au titre du risque de rachat ;

- 3i7�k` : Le capital requis au titre du risque de dépenses ;

- 3i7 lm : Le capital requis au titre du risque de catastrophe ;

- 5** 3i7�,? : Coefficient de corrélation entre les sous-modules r et c.

Les sous-modules de risques sont agrégés selon la matrice de corrélation suivante :

fghhnopq mortalitémortalitémortalitémortalité longévitélongévitélongévitélongévité invaliditéinvaliditéinvaliditéinvalidité rachatrachatrachatrachat dépensesdépensesdépensesdépenses révisionrévisionrévisionrévision CatastropheCatastropheCatastropheCatastrophe

MortalitéMortalitéMortalitéMortalité 1

LongévitéLongévitéLongévitéLongévité -0,25 1

InvaliditéInvaliditéInvaliditéInvalidité 0,25 0 1

RachatRachatRachatRachat 0 0,25 0 1

DépensesDépensesDépensesDépenses 0,25 0,25 0,5 0,5 1

RévisionRévisionRévisionRévision 0 0,25 0 0 0,50,50,50,5 1

CatastropheCatastropheCatastropheCatastrophe 0,250,250,250,25 0 0,250,250,250,25 0,250,250,250,25 0,250,250,250,25 0 1

La technique d’agrégation est la même que dans le QIS4 mais certains coefficients de corrélation ont

été modifiés.

Le risque catastrophe qui était complètement dé-corrélé des autres risques dans le QIS4 est

maintenant corrélé avec les risques de mortalité, d’invalidité, de rachat et de dépenses.

3.2.1.2. Présentation des risques

MortalitéMortalitéMortalitéMortalité

Le risque de mortalité est lié à l’incertitude sur le décès de l’assuré. C’est le risque de perte ou de

détérioration de la valeur des engagements de la compagnie dû à une augmentation des taux de

mortalité. Le risque de mortalité concerne tous les contrats garantissant le versement de prestations

en cas de décès de l’assuré.


Le capital réglementaire pour le risque de mortalité doit être défini comme la variation de la NAV après

un choc à la hausse des taux de mortalité.

3i7R��F � ∆�\�?��?S�R��F=d�Fé

Depuis le QIS4, le niveau de choc à appliquer a légèrement évolué :

QIS4QIS4QIS4QIS4 CP 49CP 49CP 49CP 49 QIS5QIS5QIS5QIS5

ChocChocChocChoc : augmentation : augmentation : augmentation : augmentation

permanente de la mortalitépermanente de la mortalitépermanente de la mortalitépermanente de la mortalité

10% 15% 15%

LongévitéLongévitéLongévitéLongévité

Le risque de longévité provient de l’incertitude sur la longévité des assurés. Dans le cas d’un contrat

proposant une rente viagère par exemple, le risque de longévité est important. La diminution des taux

de mortalité entraîne pour l’assureur une augmentation des provisions techniques allouées au contrat.

Le capital réglementaire pour le risque de longévité doit être défini comme la variation de la NAV après

un choc à la baisse des taux de mortalité.

3i7d�>j � ∆�\�?��?S�d�>jé��Fé

L’évolution du coefficient de choc à appliquer a évolué de la manière suivante depuis le QIS4 :


ChocChocChocChoc : diminution : diminution : diminution : diminution

permanente de la mortalitépermanente de la mortalitépermanente de la mortalitépermanente de la mortalité

25% 25% 20%

Incapacité/invaliditéIncapacité/invaliditéIncapacité/invaliditéIncapacité/invalidité

Le sous-module de risque d’incapacité et d’invalidité concerne les contrats d’assurance vie dont la partie

relative à l’incapacité et à l’invalidité ne peut pas être isolée et intégrée au module santé.

Les spécifications techniques du QIS5 spécifient que le capital réglementaire pour le risque

d’invalidité/incapacité doit être défini comme la variation de la NAV après une augmentation de 35% des

taux d’entrée en invalidité et en incapacité la première année et 25% des taux de maintien les années

suivantes ainsi qu’une diminution permanente de 20% des taux de sortie d’invalidité.

Ce nouveau choc n’est pas à prendre en compte si la diminution est déjà intégrée dans les tables

utilisées.


Le calibrage des chocs a évolué depuis le QIS4 :


augmentation augmentation augmentation augmentation

taux d'invaliditétaux d'invaliditétaux d'invaliditétaux d'invalidité

la 1ère année 35% 50% 35%

les années suivantes 25% 25% 25%

diminution taux de rémissiondiminution taux de rémissiondiminution taux de rémissiondiminution taux de rémission 20% 20%

RachatRachatRachatRachat

Le risque de rachat provient de l’incertitude sur les taux de rachat d’un contrat, la résiliation ou la

cessation de paiement des primes.

Les spécifications techniques du QIS5 spécifient que la charge en capital relative au risque de rachat

est obtenue en calculant la variation de la NAV après l’application de chocs haussier et baissier sur les

taux de rachat.

Le QIS5 définit un choc de rachat massif spécifique aux produits non-retail mais ne disposant pas de ce

type de produit, le marché français n’est pas concerné.

La charge en capital relative au risque de rachat se calcule de la manière suivante :

3i7d=`�� #$%- $2,7S�s>; $2,7t`; $2,7R=��8

Avec :

- 3i7d=`�� : Capital requis pour le risque de rachat ;

- $2,7S�s> : Chargement en capital au titre du risque de diminution permanente des taux de

rachat ;

- $2,7t` : Chargement en capital au titre du risque d’augmentation permanente des taux de

rachat ;

- $2,7R=�� : Chargement en capital au titre du risque de rachat massif.

Les besoins dus aux différents chocs de rachat sont calculés comme suit :

$2,7S�s> � ∆�\�?��? �=?�=F à d= <=�� $2,7t` � ∆�\�?��? �=?�=F à d= �=t�� $2,7R=�� ∆�\�?��? S� �=?�=F R=��c


Le calibrage du risque de rachat a évolué depuis le QIS4 de la manière suivante :

Soit L le taux de rachat avant les chocs.


taux taux taux taux

choquéschoquéschoquéschoqués

à la baisse 50%R max�50%R;R [ 20%� Inchangé

à la hausse 150%R min�150%R;100%� Inchangé

rachat rachat rachat rachat

massifmassifmassifmassif

tous 30% 30% Inchangé

non-retail 70% Inchangé

DépensesDépensesDépensesDépenses

Le risque de dépenses est dû à une augmentation des frais de gestion des contrats d’assurance.

La charge en capital requise pour le risque de dépenses correspond à la variation de la NAV suite à une

augmentation de 10 % des dépenses futures par rapport aux anticipations du Best Estimate et à une

augmentation de 1 % par an du taux d’inflation des dépenses par rapport aux anticipations.

RévisionRévisionRévisionRévision

Le risque de révision représente le risque d’une variation du montant d’une rente du fait d’une révision

imprévue de la sinistralité. Ce module de risque ne concerne que les rentes de l’activité non-vie qui sont

affiliées au module de souscription vie.

La charge en capital se détermine en calculant la variation de la NAV après une augmentation de 3 % du

montant annuel à payer pour les rentes exposées au risque de révision.

CatastropheCatastropheCatastropheCatastrophe

Le risque de catastrophe en vie prend en compte les événements extrêmes ou irréguliers (une pandémie

ou une explosion nucléaire par exemple) qui ne sont pas suffisamment pris en compte dans les autres

sous-modules de souscription vie. Il concerne tous les contrats proposant une garantie en cas de décès.

Le capital requis au titre du risque catastrophe est obtenu à partir de la variation de la NAV après un

choc à la hausse de 0,15% de la mortalité des assurés la première année.

3i7 lm � ∆�\�?��??=F=�F��`��


3.2.2. Le risque de marché

3.2.2.1. Sous-modules et matrices de corrélation

Figure Figure Figure Figure 16161616. Sous. Sous. Sous. Sous----modules du risque de marchémodules du risque de marchémodules du risque de marchémodules du risque de marché

Le risque de marché est le risque de perte dû aux fluctuations des prix des instruments financiers. Ce

risque peut résulter des variations des cours des actions, des cours des matières premières, des taux

d’intérêt, des taux de change, etc.

Principaux changements depuis le QIS4 :

- introduction d’un sous-module de risque d’illiquidité;

- introduction de coefficients de corrélation différents suivant le sens du choc sur le taux

d’intérêt.

Le SCR marché est défini comme le maximum entre l’agrégation des sous-modules avec un choc de taux

à la hausse et celle avec un choc de taux à la baisse.

�LReF� #$% zaD5**�{)|2�,? ∗ �{)t`,� ∗ �{)t`,?�∗? , aD5**�{)Q5}~�,? ∗ �{)S�s>,� ∗ �{)S�s>,?�∗? �

Les spécifications techniques du QIS5 définissent donc deux matrices de corrélation :

CorrMrkDownCorrMrkDownCorrMrkDownCorrMrkDown IntérêtIntérêtIntérêtIntérêt ActionActionActionAction ImmobilierImmobilierImmobilierImmobilier SpreadSpreadSpreadSpread ChangeChangeChangeChange ConcentrationConcentrationConcentrationConcentration IlliquiditéIlliquiditéIlliquiditéIlliquidité

IntérêtIntérêtIntérêtIntérêt 1

ActionActionActionAction 0.5 1

ImmobilierImmobilierImmobilierImmobilier 0.5 0.75 1

SpreadSpreadSpreadSpread 0.5 0.75 0.5 1

ChangeChangeChangeChange 0.25 0.25 0.25 0.25 1

ConcentrationConcentrationConcentrationConcentration 0 0 0 0 0 1

IlliquiditéIlliquiditéIlliquiditéIlliquidité 0 0 0 -0,5 0 0 1


CorrMrkUpCorrMrkUpCorrMrkUpCorrMrkUp IntérêtIntérêtIntérêtIntérêt ActionActionActionAction ImmobilierImmobilierImmobilierImmobilier SpreadSpreadSpreadSpread ChangeChangeChangeChange ConcentrationConcentrationConcentrationConcentration IlliquiditéIlliquiditéIlliquiditéIlliquidité

IntérêtIntérêtIntérêtIntérêt 1

ActionActionActionAction 0 1

ImmobilierImmobilierImmobilierImmobilier 0 0.75 1

SpreadSpreadSpreadSpread 0 0.75 0.5 1

ChangeChangeChangeChange 0.25 0.25 0.25 0.25 1

ConcentrationConcentrationConcentrationConcentration 0 0 0 0 0 1

IlliquiditéIlliquiditéIlliquiditéIlliquidité 0 0 0 -0,5 0 0 1

3.2.2.2. Présentation des risques

Taux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêt

Le risque de taux d’intérêt concerne les actifs et passifs qui sont sensibles aux variations de la courbe

des taux d’intérêt.

Dans les spécifications techniques du QIS5, la charge en capital requise est obtenue par le calcul des

variations de la NAV après application de deux scénarios de choc sur les taux, un scénario haussier et un

scénario baissier. �{)�>Ft` � ∆�\�t`

�{)�>FS�s> � ∆�\�S�s>

Les coefficients de chocs à appliquer à la courbe des taux ont été modifiés depuis le QIS4.

ActionActionActionAction

Le risque action concerne les actifs d’assurance sensibles aux variations des cours des actions. Ce

risque résulte d’une variation défavorable du cours des actions. Les compagnies d’assurance pouvant

recourir aux actions pour améliorer leurs performances financières, elles sont exposées à leur

variabilité.

Pour déterminer le capital requis au titre du sous-module action, il faut faire la distinction entre deux

catégories d’actions, les actions dites « globales » et les « autres ». Pour chaque type d’actions, le capital

requis est obtenu par le calcul de la variation de la NAV après l’application d’un choc spécifique.

�{)��t�F� � #$%-∆�\��t�F��?e; 08


Actions « globales » :

- actions cotées dans les pays de l’EEE (Espace Economique Européen) et de l’OCDE (Organisation

de Coopération et de Développement Economique) ;

- application d’un choc de 30% comprenant un ajustement de -9%.

« Autres » actions :

- actions non cotées, actions cotées uniquement sur les marchés émergents, fonds spéculatifs et

les autres investissements ;

- application d’un choc de 40% comprenant un ajustement de -9%.

Les deux résultats obtenus sont ensuite agrégés avec une corrélation de 75%.

� Ajustement symétriqueAjustement symétriqueAjustement symétriqueAjustement symétrique

L’ajustement appliqué aux chocs sur actions est du au mécanisme d’ajustement symétrique ou effet

dampener. Ce mécanisme est explicité dans l’article 106 de la Directive 2009/138/CE. L’ajustement

permet de moduler la charge en fonds propres requise pour couvrir le risque action en fonction des

niveaux atteints par les marchés financiers. Il dépend du niveau d’un indice approprié, du cours des

actions et de la moyenne pondérée de cet indice. En pratique, il correspond à l’écart relatif entre le

niveau du marché et sa moyenne mobile sur un horizon de temps donné. L’indice de référence retenu

par le CEIOPS est le MSCI World Developed Index et l’horizon de temps choisi est fixé à un an.

L’ajustement est limité à un corridor de -10%/+10% du scénario représentatif de la formule standard.

Evolution du calibrage des chocs sur le niveau des actions :

Chocs niveau Chocs niveau Chocs niveau Chocs niveau

actionactionactionaction

QIS4QIS4QIS4QIS4 CP 69CP 69CP 69CP 69 Final advicesFinal advicesFinal advicesFinal advices QIS5QIS5QIS5QIS5

GlobalesGlobalesGlobalesGlobales -32% -45% -45% -39%

AutresAutresAutresAutres -40% -60% -55% -49%

ImmobilierImmobilierImmobilierImmobilier

Le risque immobilier résulte d’une variation défavorable du niveau ou de la volatilité du cours de

l’immobilier impactant les actifs et les passifs.

Dans les spécifications techniques du QIS5, la charge en capital requise est obtenue par le calcul des

variations de la NAV après application d’un choc à la baisse de 25% sur la valeur de l’immobilier.

Dans le CP 70, le CEIOPS proposait un choc calibré suivant la nature du bien immobilier. Ce calibrage n’a

pas été retenu et le CEIOPS revient à un choc unique dès le Final advice associé au CP 70.


Secteur immobilierSecteur immobilierSecteur immobilierSecteur immobilier QIS4QIS4QIS4QIS4 CP 70CP 70CP 70CP 70 Final adviceFinal adviceFinal adviceFinal advice QIS5QIS5QIS5QIS5

Bureaux de ville, magasins Bureaux de ville, magasins Bureaux de ville, magasins Bureaux de ville, magasins

de détail, entrepôtsde détail, entrepôtsde détail, entrepôtsde détail, entrepôts 20%

30%

25% 25% BureauxBureauxBureauxBureaux 25%

AutresAutresAutresAutres 25%

ChangeChangeChangeChange

Le risque de change est le risque de perte dû à une variation des taux de change. En cas d’inadéquation

entre les devises des éléments de l’actif et du passif, l’assureur est exposé au risque de change. Une

règle de congruence entre actif et passif impose cependant qu’au moins 80% des engagements de

l’assureur soient couverts dans la même devise afin d’éviter que les assureurs ne spéculent sur les taux

de change.

Le capital requis est obtenu par la variation de la NAV après l’application d’un choc haussier de 25 % et

d’un choc baissier de 25% (en prenant le maximum des deux) de toutes les autres devises face à la

devise locale dans laquelle l’entreprise établit ses comptes (sauf quelques exceptions).

Changements depuis le QIS4 :

- les chocs doivent être effectués sur chacune des devises (le choc n’est plus global comme dans

le QIS4) ;

- les résultats obtenus sont ensuite agrégés.

SpreadSpreadSpreadSpread

Le risque de spread de crédit dépend de l’évolution de l’écart entre le taux de rentabilité actuariel d’une

obligation et le taux de rentabilité actuariel d’un emprunt sans risque de même maturité. Le risque de

spread est d’autant plus important que la note de l’émetteur est faible. Il est évalué à partir du risque

de spread des obligations, du risque de spread des produits structurés de crédit et enfin du risque de

spread des dérivés de crédit.

ConcentrationConcentrationConcentrationConcentration

Le risque de concentration dans le QIS5 est limité au risque inhérent à l’accumulation de positions

auprès d’une même contrepartie. Si l’assureur détient une grande quantité de titre d’un même

émetteur, en cas de défaillance, cela peut causer des moins-values et des pertes importantes.

Les actifs pris en compte dans le module de risque de contrepartie ne sont pas à prendre en compte

dans le module de concentration.


IlliquiditéIlliquiditéIlliquiditéIlliquidité

Ce module n’existait pas dans la structure du SCR du QIS4.

Le risque d’illiquidité résulte de la difficulté à vendre ou acheter un actif. Un actif est dit illiquide

lorsqu’il est difficilement achetable ou vendable. Ce risque est pris en compte car la prime de liquidité

est intégrée dans le calcul des provisions techniques. Le risque de liquidité est relatif à une baisse de la

prime de liquidité, les effets d’une hausse de la prime étant pris en considération dans le module de

risque de spread.

Les spécifications techniques du QIS5 spécifient que le capital requis au titre du risque d’illiquidité est

déterminé par la variation de la NAV après application d’un choc à la baisse de 65% du montant de la

prime de liquidité.

�{)�dd��t�S�Fé � #$%-∆�\�?��?�dd��t�S�Fé; 08

3.2.3. Le risque de contrepartie

Le risque de contrepartie est le risque de pertes résultant d’une défaillance imprévue ou d’une

dégradation de la note de crédit des contreparties de l’entreprise.

3.2.4. Le risque sur les actifs incorporels

Les spécifications techniques du QIS5 font apparaitre un module de risques sur les actifs incorporels

qui n’existait pas dans les précédentes études quantitatives d’impact.

Les actifs incorporels sont des actifs qui n'ont pas d'existence physique (fonds de commerce, brevets,

etc.) à l’inverse des actifs corporels qui représentent les actifs matériels de l'entreprise. Ces actifs sont

exposés à deux types de risques : le risque de marché et le risque interne inhérent à la nature même de

ces éléments.

Le SCR du module correspond à 80% de la valeur des actifs incorporels.

3.3. Le risque opérationnel

Le risque opérationnel est le risque de perte résultant soit d’une défaillance interne dans le système

d’information de la compagnie ou d’une erreur de personnel soit d’un évènement externe comme le

risque climatique ou environnemental.


La formule de calcul du risque opérationnel dans le QIS5 est donnée par :

�L�` � #3~�30%C�L;�2� 25%�%2td Avec :

- �2 : Charge du risque opérationnel pour tous les contrats hors les contrats d’assurance vie où

le risque est pas porté entièrement par l’assuré ;

- �%2td : Montant des dépenses annuelles (brutes de réassurance) dans le cadre des contrats en

UC (dépenses administratives) durant les 12 derniers mois.

�2 � #$%-�2`��R��; �2`��>�8

Dans le cadre du contrat étudié, il faut considérer :

�2 � �2`��>� � 0,45%-��d�c� [ ��d�c��td8

Avec :

- ��d�c� : Total des provisions techniques pour l’activité vie ;

- ��d�c��td : Total des provisions techniques pour la partie UC des contrats d’assurance vie.

La formule appliquée sera donc:

�L�` � #3~ X30%C�L; 0,45%-��d�c� [ ��d�c��td8Y

Dans le QIS4, le risque opérationnel était calculé de la manière suivante : �L�` � #3~ X30%C�L; 0,30%-��d�c� [ ��d�c��td8Y


2ème partie

La modélisation

Le contexte de l’étude étant désormais exposé, il est temps de s’intéresser à la modélisation du bilan de

l’assureur. L’évaluation des provisions techniques sous Solvabilité II nécessitant une projection du bilan

de l’assureur, un modèle de scénarios économiques va être mis en place. Il s’agit de modéliser l’évolution

future de l’actif et du passif de l’assureur. Le modèle de scénarios économique choisi est fondé sur des

techniques de modélisation stochastique.

Un premier chapitre présentera les techniques et modèles de simulation choisis. Un deuxième chapitre

détaillera le déroulement du modèle de bilan implémenté.

Chapitre 4 : Techniques de modélisation

1. Modélisation de l’actif

L’actif de l’entreprise doit être modélisé de manière simple mais réaliste. La modélisation stochastique a

été choisie pour simuler des trajectoires pour les différents éléments composant l’actif.

1.1. La modélisation stochastique

Afin d’estimer les risques auxquels la société est exposée, certaines variables du modèle vont être

estimées de manière stochastique. En effet, les variables comme le taux obligataire et le cours des

actions peuvent être représentées par des processus stochastiques. La modélisation stochastique

permet de générer de nombreuses trajectoires pour représenter des scénarios économiques et

financiers.

Contrairement aux scénarios déterministes, les scénarios stochastiques ne sont pas créés

arbitrairement, ils sont aléatoires. Ils dépendent cependant du générateur de nombres aléatoires choisi

et des paramètres des processus stochastiques.


Schématiquement, un modèle stochastique peut se représenter de la manière suivante :

Figure Figure Figure Figure 17171717. Schéma du modèle de simulation stochastique. Schéma du modèle de simulation stochastique. Schéma du modèle de simulation stochastique. Schéma du modèle de simulation stochastique

1.2. Génération de nombres aléatoires

Pour simuler des réalisations d’une loi de probabilité, il faut être capable de générer des nombres

aléatoires distribués selon la loi uniforme sur �0,1�, de fonction de répartition :

9��4� � � 0,34 � 04,30 � 4 � 11,34 � 1

Les nombres aléatoires obtenus vont permettent de générer des variables aléatoires suivant une loi

normale centrée réduite et d’obtenir ensuite des trajectoires pour le cours des actions et les taux

d’intérêt.

Un générateur de nombres aléatoires est disponible sous VBA à partir de la fonction Random. C’est un

générateur congruentiel, il fait partie des générateurs pseudo-aléatoires. Un générateur congruentiel

est défini par une graine et un calcul récursif à partir de cette graine. Le choix de la graine définit la

qualité de la simulation.


Il existe des générateurs de meilleure qualité que les pseudo-aléatoires, ce sont les générateurs quasi-

aléatoires. C’est ce type de générateur qui va être utilisé pour simuler des variables de loi normale.

Le générateur choisi pour simuler des nombres aléatoires est le générateur quasi-aléatoire du Tore

mélangé. Ce générateur a l’avantage d’être performant tout en étant simple à mettre en place. Le

générateur du Tore mélangé est dérivé du générateur du Tore mais assure l’indépendance entre les

nombres aléatoires simulés contrairement au générateur du Tore.

L’algorithme du Tore génère des nombres aléatoires de loi uniforme. La ~-ème réalisation d’une suite de

variables aléatoires uniformes �4>�>∈� est définie par la formule suivante :

4> � ~�2 [ �~�2� Avec : � � : Opérateur partie entière ; 2 : Un nombre premier.

Les nombres aléatoires obtenus par cet algorithme ne sont pas indépendants terme à terme. Il n’est

donc pas possible d’utiliser la méthode de Monte Carlo à partir des résultats du générateur du Tore.

Une solution consiste à mélanger les valeurs obtenues avant de les utiliser pour simuler des

trajectoires.

Au lieu d’utiliser la valeur 4> définie par la formule ci-dessus, la valeur 4R (avec # fonction d’une

variable aléatoire uniforme) sera utilisée.

L’algorithme utilisé est le suivant : 4R � 4��>�

Où : ��~� � �� ∗ ~�`��S�� ∗ 4� 1�

Les paramètres sont : ~�`��S�� : nombre de périodes de projection du modèle ; 4� : réalisation d’une variable aléatoire uniforme. Cette valeur est obtenue à partir du générateur Rnd

d’Excel ; � : supérieur ou égal à 1. Son rôle est de réduire le nombre de tirages donnant le même nombre

aléatoire. Plus � est élevé, plus la probabilité d’avoir deux fois le même nombre aléatoire est faible.

Les paramètres choisis pour mettre en œuvre l’algorithme sont les suivants : � � 10 et 2 � 3, 5 54 7


La littérature sur le sujet estime que dans la pratique � � 10 est suffisant pour assurer que la

probabilité de tirer deux fois le même nombre aléatoire est assez faible.

1.3. Simulation de variables aléatoires gaussiennes

Les modèles utilisés pour simuler les actions et les taux reposent sur la simulation de mouvements

browniens.

Un mouvement brownien standard �W�, t � 0� est un processus stochastique adapté construit sur un

espace probabilisé filtré �Ω,�, Ϝ, P� et qui vérifie les propriétés suivantes :

- ∀ω ∈ Ω,WP � 0; - ∀0 � tP � tI � ⋯ � t , les variables aléatoires W�¡ [W�¢ , W�£ [W�¡ , ⋯ ,W�¤ [W�¤¥¡

sont indépendantes ;

- ∀s, t � 0 tels que s � t, la variable aléatoire W� [W§ suit une loi normale centrée réduite de

variance t [ s; - ∀ω ∈ Ω , la trajectoire t → W��ω� est continue.

Simuler une trajectoire de mouvement brownien revient donc à simuler des variables gaussiennes

indépendantes et identiquement distribuées.

A partir des variables aléatoires de loi uniforme obtenues par l’algorithme du Tore mélangé, il est

possible d’obtenir des variables aléatoires de loi normale centrée réduite en appliquant l’inverse de la

fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Cette méthode est fondée sur le résultat suivant :

Soit | une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur l’intervalle�0; 1�. Alors la variable

aléatoire réelle 9�I�|� a pour fonction de répartition9.

La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est :

9�4� � 1√2ª« 7�k£¬t� ]%

1.4. Modélisation du taux d’intérêt

Le but recherché est la modélisation de la courbe des taux d’intérêt. La courbe de départ pour modéliser

les taux est la courbe des taux fournie par le CEIOPS dans les spécifications techniques du QIS5. La

courbe des taux ainsi obtenue va permettre d’obtenir le prix des actifs qui dépendent du taux d’intérêt

mais également la valeur des passifs qui sont actualisés avec la courbe des taux.


1.4.1. Le modèle de Cox Ingersoll et Ross (CIR)

Le modèle retenu pour modéliser l’évolution du taux court instantané est le modèle de Cox Ingersoll et

Ross (CIR) développé en 1985.

L’évolution du taux court instantané est modélisée suivant l’équation différentielle stochastique:

]*F � $�� [ *F�]) ®�*F] F

Où :

- a est la force de retour à la moyenne ;

- b est la moyenne sur le long terme du taux instantané ;

- σ est la volatilité telle que σ�r� corresponde à l’écart type instantané du taux court ;

- ¯ est un mouvement brownien standard.

Les variations du taux court sont expliquées par un effet de retour à la moyenne et un effet aléatoire dû

au mouvement brownien.

Ce modèle a été choisi car il est simple à mettre en œuvre et présente certains avantages. Il ne fournit

pas de taux négatifs, contrairement au modèle de Vasicek par exemple. Il est basé sur l’hypothèse de

retour à la moyenne, qui est vérifiée en pratique, ce qui lui confère un caractère économique.

Le modèle comporte cependant des inconvénients. Par exemple, les différents paramètres du processus

de diffusion sont constants. Le modèle CIR est un modèle à un facteur où le taux court dépend d’une

seule source d’incertitude. Il existe des modèles à deux facteurs, comme le modèle de Brennan et

Schwartz dans lequel le retour à la moyenne du taux court se fait vers un taux long qui suit également un

processus stochastique.

1.4.2. Discrétisation du processus

Pour discrétiser le processus de diffusion du taux court, il faut avoir recours à une approximation. Il a

été décidé d’utiliser le schéma d’Euler explicite.

Ce schéma donne l’approximation de premier ordre suivante :

*FN´F [ *F µ $�� [ *F�¶) ®�*F¶) ∗ ·FI

Où :

- δt est le pas de temps utilisé pour la modélisation ;

- ·)1 est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

Il faut procéder à une récurrence pour obtenir les taux courts instantanés jusqu’à la fin de la projection.


Le problème est donc réduit à la simulation d’une loi normale centrée réduite et à la détermination des

paramètresa,b, σ et du taux court initial *P.

Figure Figure Figure Figure 18181818. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations

1.4.3. Prix des zéro-coupon et taux zéro-coupon

Le taux court instantané permet de reconstituer la structure par terme des taux à n’importe quelle

date. En effet, le prix en t du zéro-coupon de maturité T sous le modèle CIR est déterminé par la formule

suivante :

�¹�), �� \�), ��7�º�F,m��» ,∀) ¼ �

Où, ∀) ¼ �: \�), �� z 2½7�¾N=N¿��m�F�¬�½ $ À��7¾�m�F� [ 1� 2½�

¬=<Á£

C�), �� 2-7¾�m�F� [ 18�½ $ À��7¾�m�F� [ 1� 2½

½ � ��$ À�¬ 2®¬

Le paramètre À est la prime de risque. La prime de risque mesure l’écart entre la rentabilité attendue

d’un actif risqué et le taux d’intérêt sans risque. Elle correspond au prix qu’un individu serait prêt à

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

Ta

ux

co

urt

s

Années

Evolution des taux courts sur 100 simulations


payer pour prendre un risque. Le modèle étant réalisé en univers risque neutre, la prime de risque est

nulle.

Les taux zéro-coupon sont déduits du prix des obligations zéro-coupon par la formule :

L¹�), �� [ ~ X�¹�), ��Y� [ )

Une obligation zéro-coupon est un titre dont la rémunération est constituée exclusivement par l'écart

entre son prix d'émission et son prix de remboursement. Cette obligation ne verse aucun coupon

intermédiaire entre sa date d’émission et sa date de remboursement.

1.4.4. Estimation des paramètres

Les paramètres du modèle CIR sont estimés à partir de la courbe des taux zéro-coupon fournie par le

CEIOPS pour le QIS5.

Le but de l’estimation est de fournir des paramètres permettant de reproduire le plus fidèlement

possible les prix de marché des zéro-coupon à la date d’évaluation��0, ��.

La volatilité ® du taux court instantané dans le modèle CIR est fixée arbitrairement.

Le premier paramètre à estimer est le taux court instantané à la date d’évaluation*P. Pour estimer ce

paramètre, il a été choisi de spécifier un morceau de la courbe des taux zéro-coupons par quatre points

de passage. Pour satisfaire quatre contraintes, il faut un polynôme de degré 3. La méthode retenue est

donc l’interpolation cubique.

L’estimation se base sur la relation suivante :

L�0, �� Â Ã�¬ ½� ¶

Avec L�0, �� [ ~-��0, ��8�

La courbe des taux est supposée passer par les quatre points choisis-�I, L�0, �I�8,-�¬, L�0, �¬�8, -�Â, L�0, �Â�8 et -�Ä, L�0, �Ä�8.


Le système obtenu est :

ÅÆÇÆÈL�0, �I� � ��IÂ Ã�I¬ ½�I ¶L�0, �¬� � ��¬Â Ã�¬¬ ½�¬ ¶L�0, �Â� � ��ÂÂ Ã�Â¬ ½�Â ¶L�0, �Ä� � ��ÄÂ Ã�Ä¬ ½�Ä ¶

Ce système de quatre équations va permettre d’estimer les paramètres�,Ã,½ et ¶.

Comme*P � limm→ L�0, ��, le taux court instantané *P est égal à¶.

La méthode utilisée pour estimer les paramètres $ et � est la méthode des moindres carrés ordinaires.

Cette méthode consiste à trouver le couple de paramètres �$, ��qui minimise l’écart quadratique entre

les prix simulés par le modèle CIR et les prix de marché.

Q �D-2*3%)Êé5*3647b [ 2*3%7,)3#éb8¬GbHI

Où :

- D est la distance à minimiser ;

- N est le nombre d’obligations envisagées pour la simulation ;

- le prix théorique est le prix obtenu à partir de la courbe des taux du CEIOPS ;

- le prix estimé est le prix obtenu à partir de la courbe des taux modélisée d’après le modèle CIR.

L’application à la courbe des taux sans risque donne les résultats suivants :

Paramètres du modèle CIR à partir de

la courbe du CEIOPS

a 0,7268

sigma 0,02

b 0,0407

r0 0,40%


Figure Figure Figure Figure 19191919. . . . Ajustement de la courbe des taux zéroAjustement de la courbe des taux zéroAjustement de la courbe des taux zéroAjustement de la courbe des taux zéro----coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans

risque du CEIOPSrisque du CEIOPSrisque du CEIOPSrisque du CEIOPS

1.5. Modélisation des actions

Le cours des actions est simulé par une méthode stochastique. Plusieurs modèles existent pour

modéliser l’évolution des actions mais le modèle de référence qui sera utilisé ici est celui de Black et

Scholes datant de 1973. Ce modèle suppose que le cours de l’action suit un mouvement brownien

géométrique. La formule du modèle de Black et Scholes donne explicitement les prix des actions.

1.5.1. Le modèle de Black et Scholes

Selon ce modèle, le prix d’une action évolue selon le processus suivant :

]��)��)� � Ì]) ®]C�)�

Cette formule est valable pour les actions ne versant pas de dividendes.

Les différents paramètres du modèle sont :

- μ : le rendement de l’action ;

- σ : la volatilité de l’action ;

- B�t� : un mouvement brownien.

La solution explicite de l’équation précédente est :

��)� � ��0� ∗ 7Ï;Ð�Á£¬ BFNÁº�F�Ñ

Le processus de prix d’une action est log-normal.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739

Pri

x d

es

zéro

-co

up

on

s

Maturité en années

Courbe des prix des ZC

Prix ZC déduits de la

courbe du CEIOPS

Prix estimés


Hypothèses sur les paramètres :

- l’univers de travail étant ici l’univers risque neutre, le rendement de l’action est pris égal au taux

sans risque sous la probabilité risque neutre. Le taux sans risque est le taux d’intérêt court

instantané simulé par le modèle de CIR. Ce taux est constant sur chaque période�t, t 1�; - le mouvement brownien utilisé est celui de l’univers risque neutre ;

- la volatilité σ est déterministe.

Le modèle de Black et Scholes repose sur des hypothèses assez restrictives, notamment la continuité

des trajectoires, la volatilité constante et la log-normalité des rendements. L’observation du marché

contredit certaines de ces hypothèses. En effet, l’évolution du cours des actions peut présenter des

sauts, la volatilité n’est pas constante mais suit comme le cours de l’action, un processus stochastique et

l’hypothèse de log-normalité n’est pas forcément vérifiée, notamment en temps de crise. Malgré ces

inconvénients, le modèle de Black et Scholes reste largement le plus utilisé sur le marché.

1.5.2. Prise en compte des corrélations

En réalité, les évolutions des différentes actions et du taux court instantané sont corrélées. Pour

prendre en compte cette dépendance linéaire la décomposition de Cholesky est utilisée. Par cette

méthode, il va être possible de corréler les dynamiques du taux court et du prix des actions.

En reprenant les notations précédentes :

- Fest le mouvement brownien régissant l’évolution du taux court instantané ;

- CFIest le mouvement brownien régissant le cours de l’action 1 ;

- CF¬est le mouvement brownien régissant le cours de l’action 2.

Soit la matrice de corrélation suivante :

Taux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêt Action 1Action 1Action 1Action 1 Action 2Action 2Action 2Action 2

Taux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêt 1 ÒI,¬ ÒI,Â

Action 1Action 1Action 1Action 1 ÒI,¬ 1 Ò¬,Â

Action 2Action 2Action 2Action 2 ÒI,Â Ò¬,Â 1

L’algorithme du Tore mélangé permet d’obtenir un vecteur aléatoire gaussien· � �·I, ·¬, ·Â�. ·I, ·¬7)·Â sont des variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.

La décomposition de Cholesky donne les dynamiques suivantes :

]*F � $�� [ *F�]) ®�*F]·FI


]�I�)��I�)� � *F]) ÒI,¬®I]·FI ®IÓ1 [ ÒI,¬¬]·F¬

]�¬�)��¬�)� � *F]) ÒI,Â®¬]·FI ®¬ Ò¬,Â [ ÒI,¬ÒI,Â�1 [ ÒI,¬¬ ]·F¬ ®¬a1 [ ÒI,Â¬ [ -Ò¬,Â [ ÒI,¬ÒI,Â8¬1 [ ÒI,¬¬ ]·FÂ

Avec :

- σ : la volatilité du modèle CIR ;

- σI : la volatilité de l’action 1 ;

- σ¬ : la volatilité de l’action 2.

1.5.3. Discrétisation du processus

Comme pour la modélisation du taux d’intérêt, le processus du prix des actions va être discrétisé selon le

schéma d’Euler explicite.

�ÔFN´FI � �ÔFI ∗ 7%2 ÕÖ*F [ ®¬2 × ¶) ÒI,¬®√¶) ∗ ·FI ®Ó-1 [ ÒI,¬¬8¶) ∗ ·F¬Ø

�ÔFN´F¬ � �ÔF¬ ∗ 7%2 ÙÖ*F [ ®¬2 × ¶) ÒI,Â®√¶) ∗ ·FI ® Ò¬,Â [ ÒI,¬ÒI,Â�1 [ ÒI,¬¬ √¶) ∗ ·F¬

®√¶)a1 [ ÒI,Â¬ [ -Ò¬,Â [ ÒI,¬ÒI,Â8¬1 [ ÒI,¬¬ ∗ ·FÂÚ

Pour illustrer les simulations, voici le cours de l’action 2 (de rendement égal au taux sans risque et de

volatilité égale à 20%) pour 100 simulations :

FigurFigurFigurFigure e e e 20202020. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

cou

rs d

e l

'act

ion

années

Evolution du cours de l'action 2 pour

100 simulations


1.6. Modélisation des obligations

Le prix des obligations est donné à partir des taux courts simulés suivant le modèle CIR. Le prix en t

d’une obligation est donné par la formule suivante :

�*3%5�E3Û�), �� D " ��), Ü� � " ��), ��mÝHÝ¡

Avec :

- N: le nominal de l’obligation ;

- T: la maturité de l’obligation ;

- C: la valeur du coupon aux différents instants τI, τ¬, . . . , τà � T; - P�t, τ�: le prix en t du ZC de maturité τ .

2. Modélisation du passif

Pour simplifier la modélisation, le portefeuille global a été segmenté en fonction du sexe des assurés, de

leur âge et de l’ancienneté de leur contrat. Les sous portefeuilles homogènes obtenus sont appelés

«model points ». La modélisation du nombre de contrats se fait alors au niveau « model point ».

Dans le QIS5, le CEIOPS spécifie que des regroupements de contrats sous forme de « model points »

sont possibles dans la mesure où les risques sous-jacents au portefeuille sont correctement

représentés. L’utilisation des « model points » ne doit pas entrainer de perte de variables significatives

du portefeuille. Dans le cadre du QIS5, les assureurs ayant recours aux « model points » doivent justifier

leur choix en prouvant qu’une projection contrat par contrat aurait été trop lourde.

Ici, l’utilisation de « model points » permet de réduire significativement le temps de calcul.

L’avantage de cette technique est de ne pas traiter le portefeuille assuré par assuré mais par « model

point ». Il est supposé que les comportements de décès et de rachat sont sensiblement les mêmes pour

l’ensemble des contrats composant un model point.

Le contrat étant multi-supports, les assurés ont la possibilité d’arbitrer entre les fonds. Ces arbitrages

sont donc modélisés.

Les provisions réglementaires telles que la provision pour participation aux bénéfices, la réserve de

capitalisation et la provision pour risque d’exigibilité sont également modélisées.


2.1. Modélisation des sorties totales et partielles

2.1.1. Modélisation de la mortalité

La mortalité des assurés est définie par des tables de mortalité. Une table de mortalité donne pour

chaque sexe et chaque âge la probabilité annuelle de décès. Conformément à l’article 5 de l’arrêté

ministériel du 20 décembre 2005, les tables de mortalité utilisées pour les contrats d’assurance vie

(hors rente viagère) sont les tables du moment TF00-02 et TH00-02. Ces tables sont utilisables par

sexe, TF00-02 pour les femmes et TH00-02 pour les hommes.

La mortalité n’étant pas un élément essentiel du modèle (les sorties pour cause de décès étant minimes)

il sera considéré que les assurés meurent suivant les tables de mortalité. La mortalité ne sera donc pas

simulée stochastiquement.

2.1.2. Modélisation des rachats

Le comportement de rachat des assurés dépend de plusieurs facteurs. Certains rachats ont une cause

économique d’autres résultent de raisons indépendantes de la conjoncture économique et propres à

chaque assuré. La modélisation des rachats est composée de deux types de rachat : les rachats

structurels et les rachats conjoncturels.

Une incertitude très forte existe sur le comportement des assurés : les phénomènes de rachats en cas

d’écart entre le taux servi et les taux du marché n’ont jamais pu être observés sur le marché. En

absence de données fiables, des hypothèses de modélisation ont dû être considérées.

2.1.2.1. Les rachats structurels

Le comportement de rachat structurel dépend principalement des caractéristiques du contrat qui

peuvent influencer le rachat des assurés. Le principal facteur explicatif des rachats est la fiscalité. Les

contrats d’assurance vie bénéficient en effet d’une fiscalité avantageuse à partir de 8 ans d’ancienneté.

Pour prendre en compte cette composante, la fonction de rachat structurel choisie pour modéliser les

rachats dépend de l’ancienneté du contrat.

Les taux de rachat choisis sont arbitraires mais leur évolution est cohérente avec l’évolution de la

fiscalité avec un pic de rachat à 8 ans d’ancienneté.

Ancienneté du contrat (en années)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ans et

plus

taux de rachat structurel

3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 10% 8% 7% 6% 5%


Figure Figure Figure Figure 21212121. Taux de rachat . Taux de rachat . Taux de rachat . Taux de rachat structurel en fonction de l'ancienneté du contratstructurel en fonction de l'ancienneté du contratstructurel en fonction de l'ancienneté du contratstructurel en fonction de l'ancienneté du contrat

2.1.2.2. Les rachats conjoncturels

La composante conjoncturelle du comportement de rachat est liée à l’évolution du marché. Les rachats

conjoncturels sont modélisés par une fonction dépendant de l’écart entre le taux servi au contrat et un

taux dépendant du contexte économique, appelé taux attendu.

Si le taux servi est inférieur au taux attendu, les assurés auront tendance à davantage racheter leur

contrat. Inversement, si le taux servi est supérieur au taux attendu, les assurés rachèteront moins que

par le passé.

La fonction choisie pour modéliser les rachats conjoncturels est celle proposée par L’ACP dans les

Orientations Nationales Complémentaires (ONC).

Le taux attendu proposé par l’ACP pour modéliser les rachats conjoncturels est le Taux Moyen des

Emprunts d’Etat (TME).

Le TME sera estimé par les taux zéro-coupon de maturité 10 ans.

Le taux de rachat conjoncturel est défini par:

L$áÊ$)_�)%��; �� ÅÆÆÇÆÆÈ LR=k,3)%�� [ �� ¼ �LR=k )%�� [ �� [ Ã� [ Ã ,3� ¼ )%�� [ �� ¼ Ã0,3Ã ¼ )%�� [ �� ¼ ½LR�> )%�� [ �� [ ½¶ [ ½ ,3½ ¼ )%�� [ �� ¼ ¶LR�>,3)%�� [ �� ã ¶

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ta

ux

de

ra

cha

t

Ancienneté du contrat

Taux de rachat structurel

loi de rachat


Avec les paramètres suivants :

- α : Seuil en dessous duquel les rachats conjoncturels sont constants et maximums. Au-delà de

ce seuil, les rachats ne dépendent plus de la différence entre le taux servi et le TME :

- β et γ : Seuils d’indifférence à la baisse (β) et à la hausse (γ) du taux servi. Entre ces deux

seuils, le seul comportement de rachat est le rachat structurel ;

- δ : Seuil au dessus duquel les rachats conjoncturels sont constants. Au-delà de ce seuil, les

rachats ne dépendent plus de la différence entre le taux servi et le TME.

Dans les ONC des spécifications techniques du QIS4, l’ACP donnait les paramètres suivants :

- � � [5% ; - Ã � [1% ; - ½ � 0,5% ;

- ¶ � 3% ; - LR=k � 30% ; - LR�> � [5%.

Dans les ONC des spécifications techniques du QIS5, l’ACP définit deux lois de rachat, une loi

correspondant à un plafond et une loi correspondant à un plancher.

ç è é ê ëfìíî ëfìoï

plafondplafondplafondplafond -4% 0% 1% 4% 40% -4%

plancherplancherplancherplancher -6% -2% 1% 2% 20% -6%

La fonction de rachat a l’allure suivante :

Figure Figure Figure Figure 22222222. Taux de rachat conjoncturel. Taux de rachat conjoncturel. Taux de rachat conjoncturel. Taux de rachat conjoncturel du QIS5 et du QIS4du QIS5 et du QIS4du QIS5 et du QIS4du QIS5 et du QIS4 en fonction de la différence entre le taux servi par en fonction de la différence entre le taux servi par en fonction de la différence entre le taux servi par en fonction de la différence entre le taux servi par

l'assureur et le TMEl'assureur et le TMEl'assureur et le TMEl'assureur et le TME

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

-10

%

-9%

-8%

-7%

-6%

-5%

-4%

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10

%

po

urc

en

tag

e d

e r

ach

at

taux servi-TME

Taux de rachat conjoncturel

plafond max QIS5

plafond min QIS5

fonction QIS4


Une première idée était de conserver le paramétrage proposé dans les ONC des spécifications

techniques du QIS4 pour modéliser les rachats conjoncturels. Cependant, il s’avère que cette fonction

ne répond pas aux critères fournit par les ONC du QIS5. La modification du paramètre gamma ne rend

plus possible l’utilisation de la fonction proposée dans les ONC du QIS4.

Il a été décidé de prendre pour chaque paramètre la moyenne des paramètres des deux plafonds définis

dans les ONC.

Figure Figure Figure Figure 23232323. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle

2.1.2.3. Les rachats totaux

Pour chaque année de projection t, le taux de rachat total est donné par :

L��)� � min�1,#$%-0, L��)� L�)%��)�; ��)��8

Plusieurs contraintes sont intégrées dans cette formule :

- le taux de rachat émanant de la somme des taux de rachat structurel et conjoncturel doit être

positif ou nul ;

- le taux de rachat total ne peut pas être supérieur à 1.

2.1.3. Modélisation des arbitrages

Une particularité importante des contrats multi-supports est la possibilité d’effectuer des arbitrages.

Le contrat étudié permet aux assurés d’arbitrer librement entre le fonds Euro et le fonds en UC.

L’assuré peut donc transférer les provisions mathématiques allouées à son contrat d’un fonds à l’autre,

pour bénéficier de l’évolution du marché, pour augmenter ses rendements ou pour sécuriser son

épargne. Les arbitrages sont soumis à des chargements prélevés sur les sommes transférées.

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

-10

%

-9%

-8%

-7%

-6%

-5%

-4%

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10

%

po

urc

en

tag

e d

e r

ach

at

taux servi -TME

Taux de rachat conjoncturel

plafond max QIS5

plafond min QIS5

fonction utilisée


2.2. Modélisation des provisions

2.2.1. La réserve de capitalisation

La réserve de capitalisation est définie dans le Code des Assurances comme étant « destinée à parer à la

dépréciation des valeurs comprises dans l’actif de l’entreprise et à la diminution de leur revenu. »

Cette réserve est alimentée par les plus-values obligataires réalisées. En cas de réalisation de moins-

values obligataires, celles-ci entrainent des reprises sur la réserve de capitalisation.

Si à une date ) la valeur de marché de l’obligation cédée est supérieure à sa valeur comptable, il y a

réalisation d’une plus-value. Le montant doté à la réserve de capitalisation est alors égal à la différence

entre la valeur de marché de l’obligation à la date ) et sa valeur comptable à cette même date.

Dans le cas contraire, l’entreprise réalise une moins-value. Le montant de la moins-value doit être repris

sur la réserve de capitalisation dans la limite de celle-ci. Si la réserve ne permet pas d’absorber

l’intégralité de la moins-value, c’est le résultat financier qui est affecté. Le montant repris sur la réserve

est dont égal au minimum entre le montant disponible en réserve et la différence entre la valeur de

marché et la valeur comptable de l’obligation.

Formellement :

- En cas de plus-values : ð$*3$)35~L�)� � ��)� [ ��)�

- En cas de moins-values : ð$*3$)35~L�)� � #3~��)� [ ��)�; L�)��

La réserve de capitalisation à la date ) est donnée par la formule suivante :

L�)� � max�L�) [ 1� ð$*3$)35~L�)�; 0�

Les notations sont les suivantes :

- ��)� est la valeur de marché de l’obligation à la date).

- ��)� est la valeur comptable de l’obligation à la date).

- L�)� est le montant de la réserve de capitalisation à la date).

- ð$*3$)35~L�t� est le montant à doter ou à reprendre sur la réserve à la date).

Si la réserve de capitalisation ne peut pas absorber l’ensemble des moins-values, le montant de moins-

values restant vient diminuer les produits financiers.


2.2.2. La provision pour risque d’exigibilité

Conformément au Code des Assurances la provision pour risque d’exigibilité (PRE) est une provision

technique destinée à faire face aux engagements envers les assurés en cas de moins-value de

l’ensemble des actifs non-obligataires mentionnés dans l’article R.332-20 (notamment les actions,

l’immobilier, etc.) du Code.

La provision doit être constituée lorsque l’ensemble des actifs non obligataires est en moins-value

latente par rapport à leur prix d’acquisition.

Un amendement de 2008 autorise d’amortir la PRE sur une durée égale à la duration du passif de

l’entreprise dans la limite de 8 ans. La duration du passif étant supérieure à 8 ans, la PRE sera amortie

sur 8 ans.

Si à une date ) la valeur comptable de l’actif est supérieure à sa valeur de marché, la PRE doit être

dotée. Dans le cas contraire des reprises sont faite sur le montant en PRE.

Le montant à doter à la PRE est le suivant :

�L�à]5)7*�)�� #3~ Ö�L��) [ 1� 18#$%��)� [ ��)�; 0�;#$%��)� [ ��)�; 0�×[ �L��) [ 1�

Le montant en provisions à la date ) est donc :

�L��)� � �L��) [ 1� �L�à]5)7*�)�

Les variations de la PRE affectent les produits financiers de l’assureur.

2.2.3. La provision pour participation aux bénéfices

Tel qu’exposé en première partie, l’assureur dispose d’un délai de 8 ans pour distribuer la participation

aux bénéfices. Dans l’attente d’être versée, celle-ci est stockée en provision pour participation aux

bénéfices. Ce mécanisme permet à l’assureur de lisser le rendement du fonds Euro dans le temps en

stockant la participation aux bénéfices en période de forte croissance financière et en la distribuant

dans le cas contraire.


3. Modélisation des interactions actif/passif

Après avoir décrit la modélisation de l’actif et celle du passif, il faut désormais s’intéresser à la

modélisation des interactions actif/passif. En effet, l’évolution des actifs, la politique d’attribution de la

participation aux bénéfices et donc la revalorisation des contrats ont un impact sur le passif de

l’assureur à travers l’augmentation des provisions techniques et le comportement de rachat ou

d’arbitrage des assurés.

3.1. Allocation d’actif

L’allocation d’actif du fonds Euro est définie par une allocation cible en actions et en obligations. Le

portefeuille de l’assureur est composé d’une certaine proportion d’actions et d’obligations, la part

d’obligations étant prépondérante.

L’allocation cible est suivie tout au long de la projection. Chaque année, l’assureur vérifie que cette

allocation est respectée en valeur comptable. Si ce n’est pas le cas, l’assureur procède à des

investissements et désinvestissements entre les actifs du fonds pour se rapprocher de cette allocation

cible. La phase d’investissements et de désinvestissements pour se rapprocher de l’allocation cible est

appelée rebalancement de l’actif.

3.2. Revalorisation cible

L’assuré pouvant racheter à tout moment son contrat et partir à la concurrence, l’assureur doit

proposer un taux de revalorisation de l’épargne proche de celui de ses concurrents. Le taux de

revalorisation cible doit suivre le taux du marché et faire en sorte de limiter les rachats. Ce taux est

supposé dépendant du TME et est choisi de manière à avoir un taux de rachats conjoncturels nul (les

rachats structurels ne dépendant pas du taux servi). Le taux cible dépendant du TME, il suivra les

évolutions du marché. Or, il est probable que le taux servi par les concurrents suive également

l’évolution du marché.

D’après la loi de rachats conjoncturels choisie, le taux de rachats conjoncturels est nul ou négatif

lorsque le taux servi est supérieur à�� [ 1%. Le taux de revalorisation cible choisi est donc le taux

minimum annulant le taux de rachats conjoncturels.

Le taux cible est donc défini comme suit :

�$4%á3�E7�)� � �$%�0%, ��)� [ 1%�

3.3. Les produits financiers

Chaque année, une partie des produits financiers réalisés par l’assureur est destinée à la revalorisation

de l’épargne des assurés investie sur le fonds Euro.


Les produits financiers sont calculés chaque année comme suit :

�9�)� � 5425~,�)� ��$á)35~,�)� [ ��$á)35~,�)� [ ��5�E3Û$)35~,�\L�)�[ �L�à]5)7*�)�

Avec :

- 5425~,�)�: les coupons dégagés par les obligations l’année t ;

- ��$á)35~,�)�: les plus-values réalisées sur la vente d’actions l’année t ;

- ��$á)35~,�)�: les moins-values réalisées sur la vente d’actions l’année t ;

- ��5�E3Û$)35~,�\L�)�: les moins-values sur les cessions d’obligations réalisées l’année t

qui n’ont pas pu être absorbées par la réserve de capitalisation ;

- �L�à]5)7*�)�: PRE à doter l’année t.

3.4. Politique de participation aux bénéfices

Chaque année, l’assureur essaye d’atteindre le taux cible de revalorisation qu’il s’est défini. Pour

atteindre le taux cible, l’assureur se base :

- sur les produits financiers de l’année et la PPB stockée il y a 8 ans;

- si cela ne suffit pas, il puise dans la PPB des années suivantes ;

- si cela ne suffit pas, il réduit sa marge.

La clause de participation aux bénéfices du contrat définit un taux de participation aux bénéfices

contractuelle.

Chaque année, le montant de participation aux bénéfices contractuelle est défini par :

�Cá5~)*$á)47EE7�)� � )$4%�Cá5~)*$) " �9�)�

L’assureur a le choix entre verser directement cette somme aux assurés ou la conserver pendant 8 ans

maximum en provision pour participation aux bénéfices (PPB).

Pour l’année t (supposée supérieur à 8 ans) le taux servi par l’assureur est déterminé selon la politique

suivante :

- Si la PPB dotée il y a 8 ans suffit à atteindre le taux cible : ��C�) [ 8��_$ð$~)�C�)� � )$4%á3�E7�)�

Alors l’assureur ne verse que la PPB dotée il y a 8 ans. Le taux servi est donc défini par : )$4%,7*ð3�)� � ��C�) [ 8��_$ð$~)�C�)�


Si les produits des placements sont positifs, l’assureur dote alors la participation aux bénéfices

contractuelle de l’année en PPB :

��C�)� � �Cá5~)*$á)47EE7�)�

- Si la PPB dotée il y a 8 ans ne suffit pas à servir le taux cible : ��C�) [ 8��_$ð$~)�C�)� ¼ )$4%á3�E7�)�

Pour atteindre le taux cible, l’assureur va verser l’intégralité de la PPB dotée il y a 8 ans et tout ou partie

des produits financiers consacrés à la revalorisation de l’épargne. Si cela ne suffit pas, il pourra puiser

dans la PPB des années précédentes.

• Si �Cá5~)*$á)47EE7�)� ��C�) [ 8� � )$4%á3�E7�)� " ��_$ð$~)�C�)� L’assureur peut verser le taux de revalorisation cible.

)$4%,7*ð3�)� � )$4%á3�E7�)�

Le surplus de PB contractuel de l’année est stocké en PPB :

��C�)� � �Cá5~)*$á)47EE7�)� ��C�) [ 8� [ )$4%,7*ð3�)� ∗ ��_$ð$~)�C�)�

• Si �Cá5~)*$á)47EE7�)� ��C�) [ 8� ¼ )$4%á3�E7�)� " ��_$ð$~)�C�)� La somme de la PB contractuelle de l’année et de la PPB de 8 ans ne suffit pas à atteindre le taux cible,

l’assureur peut puiser dans la PPB des années suivantes.

L’assureur verse alors le taux cible si la PPB stockée jusqu’à présent le lui permet. Sinon, il verse

l’ensemble de la PPB stockée pour revaloriser au maximum l’épargne des assurés et réduit sa marge

financière pour atteindre le taux cible de revalorisation.

Si les produits financiers de l’année, la PPB et la marge financière ne suffisent pas, le taux de

revalorisation servi est inférieur au taux cible et cela va engendrer une hausse des taux de rachat.

Exemple de distribution de la participation aux bénéfices sur une simulation :


Figure Figure Figure Figure 24242424. Distribution de la parti. Distribution de la parti. Distribution de la parti. Distribution de la participation aux bénéficescipation aux bénéficescipation aux bénéficescipation aux bénéfices

3.5. Marge financière

Le montant de produits financiers restants avec la rémunération des contrats compose la marge

financière.

L’assureur peut se définir une marge financière cible. Cependant comme énoncé précédemment, cette

marge pourra être sacrifiée au profit de la revalorisation de l’épargne des assurés.

-

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

mo

nta

nt

en

€

année

Distribution de la PB

PPB dotée

PPB versée

PB contractuelle versée

revalorisation cible

revalorisation effective


Chapitre 5 : Déroulement du modèle

1. Déroulement général du modèle

Le modèle implémenté sous VBA (Visual Basic Application), projette un compte de résultat et permet

d’évaluer le besoin en capital de la compagnie fictive. Il est composé de deux boucles principales, une

boucle sur le nombre de simulations et une boucle sur le nombre d’années de projection.

Le nombre d’années de simulation est un paramètre du modèle. Les spécifications du QIS5 insistent sur

le fait que l’horizon de simulation doit être suffisamment long pour que la différence entre les

provisions calculées avec cet horizon et celles calculées jusqu’à extinction totale du portefeuille soit

négligeable.

Un horizon de projection de 40 ans est suffisant dans le cas présent.

Schéma simplifié de simulation sur une année:

Figure Figure Figure Figure 25252525. Schéma de déroulement du modèle de simulation. Schéma de déroulement du modèle de simulation. Schéma de déroulement du modèle de simulation. Schéma de déroulement du modèle de simulation


2. Modélisation des sorties totales

L’ordonnancement des différents actes possibles au contrat est le suivant :

- En début d’année :

o arbitrages ;

o rachats totaux ;

o décès.

Les actes devraient en moyenne survenir en milieu d’année. Le choix de survenance en début d’année

permet de simplifier la modélisation.

Les arbitrages n’ayant pas d’impact direct sur le nombre de contrats, ils ne sont pas détaillés ici.

Hypothèses préliminaires :

- la modélisation du nombre de contrats se fait au niveau « model point » ;

- la projection se faisant en « run off », le nombre de contrats n’évolue que du fait des rachats et

des décès.

Chaque année, des assurés rachètent leur contrat et d’autres décèdent. Les rachats sont supposés

avoir lieu avant les décès, en début d’année.

Les taux de décès dépendent du sexe et de l’âge des assurés. Les taux de rachat dépendent de

l’ancienneté et de la rémunération du contrat.

2.1. Evolution du nombre de rachats

~�*$áÊ$),�), ,, $, $~á37~~7)7� � #$%�0; ~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1� " *�

- Avec :

- ,: le sexe des assurés du « model point » ;

- $: l’âge des assurés à la date d’évaluation ;

- $~á37~~7)7: l’ancienneté des assurés à la date d’évaluation ;

- ~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1�: le nombre de contrat l’année t-1 pour le

« model point » considéré ;

- *: le taux de rachat.

Dans le cadre du QIS5, le taux de rachat * est déterminé comme suit :

- Scénario standard :

*�F=>S=�S � #3~-1;#$%�0; )%,)*4á�$~á37~~7)7� )%á5~^��) [ 1�, )%,7*ð3�) [ 1��8


- Hausse des rachats : *�=t�� #3~�1; 150% " *�F=>S=�S�

- Baisse des rachats : *�$3,,7 � #$%�50% " *,)$~]$*]; *,)$~]$*] [ 20%�

Avec :

- )%,)*4á�$~á37~~7)7� le taux de rachat structurel pour l’ancienneté considéré ;

- )%á5~^��) [ 1�, )%,7*ð3�) [ 1��: le taux de rachat conjoncturel dépendant de la

différence entre le TME et le taux servi par l’assureur l’année précédente.

Le nombre de rachats total à la date ) est la somme du nombre de rachats sur chaque « model point ».

2.2. Evolution du nombre de décès

Le nombre de décès de l’année t est calculé à partir du nombre de contrats de l’année précédente moins

les rachats de l’année t auquel est appliqué un coefficient de mortalité.

~�]7á7,�), ,, $, $~á37~~7)7�� #$%-0; -~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1�[ ~�*$áÊ$),�), ,, $, $~á37~~7)7�8 " 68

Avec :

- 6: le taux de mortalité.

Le taux de mortalité est donné par les tables TH00-02 et TF00-02 et par le coefficient de choc

approprié.

Le nombre de décès total à la date ) est la somme du nombre de décès sur chaque « model point ».

Figure Figure Figure Figure 26262626. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation

0

20

40

60

80

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

no

mb

re d

'ass

uré

s

année

Evolution du nombre de rachats et

de décès sur 1000 assurés

rachat

décès


2.3. Evolution du nombre de contrats

~�á5~)*$),�), ,, $, $~á37~~7)7�� #$%�~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1�[ ~�*$áÊ$),�), ,, $, $~á37~~7)7� [ ~�]7á7,�), ,, $, $~á37~~7)7�; 0�

Si les contraintes sur les nombres de décès et de rachats sont respectées :

- ~�*$áÊ$),�), ,, $, $~á37~~7)7� � ~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1� " * ;

- ~�]7á7,�), ,, $, $~á37~~7)7� � -~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1� [~�*$áÊ$),�), ,, $, $~á37~~7)7�8 " 6.

Alors : ~�á5~)*$),�), ,, $, $~á37~~7)7�� #$%-0; ~�á5~)*$),�) [ 1, ,, $ [ 1, $~á37~~7)7 [ 1� " �1 [ *� " �1 [ 6�8

Le nombre de contrats total à la date ) est la somme du nombre de contrats sur chaque « model point ».

3. Evaluation des arbitrages

3.1. Hypothèses de modélisation

Les hypothèses retenues pour la mise en place des arbitrages sont les suivantes :

- Les arbitrages ont lieu une seule fois par an, en début d’année.

- Les arbitrages sont basés sur les performances des fonds sur l’année précédente. Le

comportement des assurés est à retardement. Les assurés considèrent les performances du

fonds sur une période comme un bon indicateur des performances futures.

- Le comportement d’arbitrage dépend de l’âge de l’assuré.

- L’assureur prélève des frais d’arbitrage.

3.2. Etablissement du modèle d’arbitrage

A chaque période, l’assuré considère la performance de l’UC ainsi que le taux servi sur le fonds Euro

pour établir ses arbitrages.

Si le rendement observé de l’UC sur la période précédente est inférieur au taux servi sur la partie Euro

de cette même période alors l’assuré va désinvestir des capitaux du fonds UC pour les investir sur le

fonds Euro.

Inversement, si le rendement observé de l’UC sur la période précédente est supérieur au taux servi sur

la partie Euro de cette même période alors l’assuré va désinvestir des capitaux du fonds Euro pour les

investir sur le fonds UC.


La proportion de capitaux transférés d’un fonds à l’autre est fonction de la différence de performance

entre les fonds.

3.2.1. En absence de chargements d’arbitrage

Le modèle est tout d’abord présenté dans le cas d’absence de chargements sur les montants arbitrés.

Les chargements d’arbitrage seront intégrés par la suite.

Si *])� �) [ 1, )� � )$4%_,7*ð3�) [ 1�

Alors, la proportion des provisions mathématiques à investir sur le fonds Euro est donnée par la formule

suivante :

2*52à3~ð7,)3*ñt��)� � #3~�{ ��)$4%,7*ð3�) [ 1� [ *])� �) [ 1, )��; 1�

La proportion est maximisée par 1 car l’assuré ne peut pas être à découvert sur le fonds UC.

La proportion à investir sur le fonds UC est donc :

2*52à3~ð7,)3*� �)� � 1 [#3~-{ �-)$4%��b�I� [ *])� �) [ 1, )�8; 18

2*52à3~ð7,)3*� �)� � #$%�1 [ { ��*])� �) [ 1, )� [ )$4%,7*ð3�) [ 1��; 0�

Le paramètre { représente la proportion à investir sur le fonds Euro lorsque le rendement du fonds

Euro est égal au rendement du fonds UC.

Le paramètre � est strictement positif. C’est un facteur de sensibilité au risque.

Si *])� �) [ 1, )� ã )$4%_,7*ð3�) [ 1�

Alors, la proportion des provisions mathématiques à investir sur le fonds UC est donnée par la formule

suivante :

2*52à3~ð7,)3*� �)� � #3~�1 [ { ��*])� �) [ 1, )� [ )$4%,7*ð3�) [ 1��; 1�

La proportion est maximisée par 1 car l’assuré ne peut pas être à découvert sur le fonds Euro.

La proportion à investir sur le fonds Euro est donc :

2*52à3~ð7,)3*ñt��)� � 1 [#3~�{ ��*])� �) [ 1, )� [ )$4%,7*ð3�) [ 1��; 1�


3.2.2. Avec chargements d’arbitrage

En réalité, le montant investi sur un fonds n’est pas égal au montant désinvesti de l’autre fonds.

L’assureur prélève en effet des chargements d’arbitrage sur les montants transférés.

Par exemple, si l’assureur prélève des chargements de 1% des provisions mathématiques transférées,

pour 100€ de provisions désinvesties du fonds euro, seulement 100(1-1%)=99€ seront réinvesties sur

le fonds UC.

Le montant investi vaut donc :

#5~)$~)3~ð7,)3ñt��)� � #5~)$~)]é,3~ð7,)3� �)� " �1 [%áÊ$*Û7#7~)$*�3)*$Û7�

#5~)$~)3~ð7,)3� �)� � #5~)$~)]é,3~ð7,)3ñt��)� " �1 [%áÊ$*Û7#7~)$*�3)*$Û7�

Illustration de l’évolution des placements des assurés entre le fonds Euro et le fonds UC sur une

simulation pour { � 80% et � � 0,5 :

Figure Figure Figure Figure 27272727. Evolution de la répartition des . Evolution de la répartition des . Evolution de la répartition des . Evolution de la répartition des placements en fonction des arbitragesplacements en fonction des arbitragesplacements en fonction des arbitragesplacements en fonction des arbitrages

3.3. Choix des paramètres

Le paramètre { a été défini à partir de données du marché. Comme il a été vu dans la 1ère

partie, en

2009, 17% des provisions mathématiques sont allouées à des supports en UC et 83% à des supports

Euro.

Le paramètre { est supposé le même pour tous les assurés et est fixé à 80%. Pour un rendement

identique sur les fonds Euro et UC, 80% des provisions mathématiques des assurés sont investies sur le

fonds Euro et 20% sur le fonds UC.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

po

urc

en

tag

e

année

Evolution des placements

fonds Euro

fonds UC


Le paramètre � est la sensibilité à la prise de risque. Il est supposé dépendre de l’âge de l’assuré. Plus

ce paramètre est élevé plus l’assuré va favoriser le fonds qui a le rendement le plus fort sans se soucier

du risque lié à ce fonds.

Les hypothèses faites sur le comportement des assurés sont les suivantes :

- il est supposé que les jeunes assurés sont moins sensibles au risque que les assurés plus âgés ;

- les jeunes assurés cherchent à dynamiser leur épargne ;

- après 50 ans, les assurés cherchent à sécuriser leur épargne.

Paramètre Paramètre Paramètre Paramètre ò Paramètre Paramètre Paramètre Paramètre ç

Assurés de moins de Assurés de moins de Assurés de moins de Assurés de moins de 35 35 35 35 ansansansans 80% 0,8

Assurés de 35 à Assurés de 35 à Assurés de 35 à Assurés de 35 à 50505050 ansansansans 80% 0,6

Assurés de plus de Assurés de plus de Assurés de plus de Assurés de plus de 50505050 ansansansans 80% 0,5

Les chargements d’arbitrages sont les mêmes pour un arbitrage du fonds Euro vers le fonds UC ou du

fonds UC vers le fonds Euro. Le taux de chargement est fixé à 1% des provisions mathématiques

désinvesties d’un fonds.

4. Evolution des provisions mathématiques

La modélisation des PM se fait par type de fonds.

4.1. Sur le fonds Euro

Les provisions mathématiques (PM) du fonds Euro évoluent chaque année. Elles sont impactées par :

- les arbitrages entrants ou sortants ;

- les prestations décès ;

- les prestations rachat ;

- les chargements ;

- la revalorisation.

Le montant de provisions mathématiques sur le fonds Euro à la date ) s’exprime ainsi :

��4*5�)� � ��4*5�) [ 1� [ \*�,5*)$~)ñt��)� \*�7~)*$~)ñt��)�[ �*7,)$]7á7,ñt��)� [ �*7,)$*$áÊ$)ñt��)� [ Ê$*Ûñt��)� *7ð$E5�)�

Avec :

- ��4*5�)�: le montant de PM sur le fonds Euro à la date t ;

- \*�,5*)$~)ñt��)�: le montant de PM transférées du fonds Euro au fonds UC à la date t ;

- \*�7~)*$~)ñt��)�: le montant de PM transférées du fonds UC au fonds Euro à la date t ;


- �*7,)$]7á7,ñt��)�: le montant des prestations décès versées à partir du fonds Euro à la

date t ;

- �*7,)$*$áÊ$)ñt��)�: le montant des prestations rachat versées à partir du fonds Euro à la

date t ;

- Ê$*Ûñt��)�: l’ensemble des chargements prélevés sur le support Euro à la date t ;

- *7ð$E5�)�: la revalorisation des PM du fonds Euro à la date t.

4.2. Sur le fonds UC

Les provisions mathématiques investies sur le fonds UC ne bénéficient pas de revalorisation de la part

de l’assureur. Elles dépendent de l’évolution du support du fonds.

��|�)� � ��|�) [ 1� [ \*�,5*)$~)� �)� \*�7~)*$~)� �)� [ �*7,)$]7á7,� �)�[ �*7,)$*$áÊ$)� �)� [ Ê$*Û� �)� \^4,)\\��)�

Avec :

- ��|�)�: le montant de PM sur le fonds UC à la date t ;

- \*�,5*)$~)� �)�: le montant de PM transférées du fonds UC au fonds Euro à la date t ;

- \*�7~)*$~)� �)�: le montant de PM transférées du fonds Euro au fonds UC à la date t ;

- �*7,)$]7á7,� �)�: le montant des prestations décès versées à partir du fonds UC à la date

t ;

- �*7,)$*$áÊ$)� �)�: le montant des prestations rachat versées à partir du fonds UC à la

date t ;

- Ê$*Û� �)�: l’ensemble des chargements prélevés sur le support UC à la date t ;

- \^4,)\\��)�: la valeur de l’ajustement ACAV du support à la date t.

L’ajustement ACAV à la date t est la différence entre la valeur des UC à la date t et leur valeur à la date t-

1 multipliée par le nombre d’UC détenu.

\^4,)\\��)� � ~�|�)� ∗ �ð$E74*|�)� [ ð$E74*|�) [ 1��

Avec :

- ~�|�)�: le nombre d’UC détenu à la date t ;

- ð$E74*|�)�: le cours de l’unité de compte à la date t.


L’évolution des provisions mathématiques sur une simulation peut se représenter comme suit :

Figure Figure Figure Figure 28282828. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC

Globalement, les provisions mathématiques diminuent avec le temps. Cette diminution est due aux décès

et aux rachats totaux. Les proportions des provisions mathématiques placées sur les fonds Euro et UC

varient suivant les années de projection. Ces variations sont dues aux arbitrages effectués par les

assurés. Après 15 années de projection, la part de fonds UC est très faible, cela illustre la sécurisation

des placements liée au vieillissement des assurés.

5. Evaluation des liquidités et des prestations

L’année t, l’assureur dispose d’un certain montant à investir sur le fonds Euro. En l’absence de

versements, le montant à investir est composé des montants transférés du fonds UC au fonds Euro par

le mécanisme d’arbitrage et du remboursement de nominal des obligations arrivées à échéance.

�5~)$~)à3~ð7,)3*�)� � \*�7~)*$~)ñt��)� �5#3~$E " ~�5�E3Û$áÊ7)77,�) [ 8�

Avec :

- \*�7~)*$~)ñt��)�: montant transféré du fonds UC au fonds Euro à la date t ;

- �5#3~$E: le nominal des obligations ;

- ~�5�E3Û$áÊ7)77,�) [ 8�: le nombre d’obligations du portefeuille achetées il y a 8 ans,

arrivant à échéance.

-

200 000

400 000

600 000

800 000

1 000 000

1 200 000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

mo

nta

nt

en

€

année

Evolution des PM

PM fonds UC

PM fonds Euro


En parallèle les sommes à désinvestir correspondent aux sorties totales et partielles. Les sorties totales

sont les prestations décès et rachat à verser aux assurés, les sorties partielles sont les montants

arbitrés du fonds Euro vers le fonds UC.

�5~)$~)à]é,3~ð7,)3*�)�� \*�,5*)$~)ñt��)� �*7,)$]7á7,ñt��)� �*7,)$*$áÊ$)ñt��)�

La différence entre le montant à investir et le montant à désinvestir en début d’année est ensuite

calculée : ]3ii7*7~á7�)� � �5~)$~)à3~ð7,)3*�)� [ �5~)$~)à]é,3~ð7,)3*�)�

Deux situations sont possibles :

- Si la différence est positive, les liquidités permettent de payer les prestations et l’excédent doit

être réinvesti.

- Si la différence est négative, les liquidités ne permettent pas de payer les prestations. Dans ce

cas, l’assureur doit désinvestir son actif à hauteur du montant manquant pour payer les

prestations.

Le désinvestissement se fait dans l’ordre suivant :

Figure Figure Figure Figure 22229999. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations


6. Rebalancement de l’actif

Le rebalancement de l’actif consiste à effectuer des investissements et désinvestissements de sorte de

se rapprocher de l’allocation cible définie par l’assureur.

L’assureur vend ou achète des obligations et des actions afin de retrouver son allocation cible. Le

désinvestissement se fait selon la règle FIFO.

Le rebalancement nécessite de calculer la valeur de marché des obligations et des actions du

portefeuille en fin d’année (31/12). La valeur de marché totale du portefeuille en fin d’année)est la

somme des valeurs de marché des obligations et des actions détenues à la fin de l’année).

��)5)$E7ÂI/I¬�)� � ��5�E3Û$)35~,ÂI/I¬�)� ��$á)35~,ÂI/I¬�)�

Si la part d’obligations en valeur de marché du portefeuille est supérieure à l’allocation cible, l’assureur

désinvestit en obligations pour investir en actions.

Inversement, si la part d’obligation en valeur de marché est inférieure à l’allocation cible, l’assureur

désinvestit en actions pour investir en obligations.


3ème partie

Application du modèle et analyse des résultats

Cette dernière partie de l’étude est consacrée à la présentation du portefeuille étudié et aux calculs des

exigences réglementaires. Les résultats obtenus seront analysés et une étude se sensibilités montrera

la dépendance des résultats aux paramètres du modèle.

Chapitre 6 : Présentation des hypothèses

1. Hypothèses générales du contrat

L’étude porte sur un contrat d’épargne multi-supports.

Les hypothèses générales relatives au contrat sont résumées dans le tableau suivant :

Caractéristiques du contratCaractéristiques du contratCaractéristiques du contratCaractéristiques du contrat Hypothèses retenuesHypothèses retenuesHypothèses retenuesHypothèses retenues

Type de contratType de contratType de contratType de contrat Contrat d’épargne multi-supports comprenant un

fonds Euro et un fonds UC

Durée de vie du contratDurée de vie du contratDurée de vie du contratDurée de vie du contrat Contrat viager

Mode de gestionMode de gestionMode de gestionMode de gestion Libre

VersementsVersementsVersementsVersements Prime unique à la souscription de 1000€

ChargementsChargementsChargementsChargements Chargements de gestion de 0,70% sur le support Euro

et de 1% sur le support UC + chargements d’arbitrage

de 1% des PM transférées

RachatsRachatsRachatsRachats Rachats totaux uniquement sans pénalité

ArbitragesArbitragesArbitragesArbitrages Possibilité d’arbitrages entre les fonds

Taux moyen garantiTaux moyen garantiTaux moyen garantiTaux moyen garanti Taux garanti de 0% (hypothèse simplificatrice)

Participation aux bénéficesParticipation aux bénéficesParticipation aux bénéficesParticipation aux bénéfices Clause de participation aux bénéfices de 90% des

produits financiers

Garantie plancherGarantie plancherGarantie plancherGarantie plancher Pas de garantie plancher

2. Description du portefeuille d’actif

L’assureur place ses fonds en obligations et en actions.

L’allocation de l’assureur sur le fonds Euro est de 80% d’obligations et 20% d’actions. Les obligations

sont majoritaires pour assurer la sécurité du placement. La part d’action permet d’améliorer le

rendement du fonds mais reste minoritaire pour ne pas exposer excessivement l’assureur aux risques

de marché.


Les obligations sont toutes de maturité 8 ans. Le nominal des obligations vaut 100€. Elles servent des

coupons annuels calculés de manière à égaliser la valeur d’achat de l’obligation au nominal. Ce type

d’obligation est appelé obligation au pair. Le taux au pair pour une maturité donnée est donc le taux de

coupon qui égalise le prix de l’obligation et le nominal.

Les actions ont un cours initial de 100€. Leur rendement est égal au taux sans risque et leur volatilité

est de 8%.

Figure Figure Figure Figure 30303030. Répartition des actifs du fonds Euro. Répartition des actifs du fonds Euro. Répartition des actifs du fonds Euro. Répartition des actifs du fonds Euro

Le fonds UC est composé d’actions. Ces actions ont une valeur initiale de 100€, un rendement égal au

taux sans risque et une volatilité de 20%.

Les actions du fonds UC ont une volatilité plus forte que celles du fonds Euro. Ce placement est donc

plus risqué mais peut prendre des valeurs plus élevées.

Exemple de l’évolution de cours des deux actions du portefeuille sur une simulation :

Figure Figure Figure Figure 31313131. Evolution des cours des deux actions du portefeuille. Evolution des cours des deux actions du portefeuille. Evolution des cours des deux actions du portefeuille. Evolution des cours des deux actions du portefeuille

80%

20%

Répartition des actifs

Obligations

Actions

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40

cou

rs e

n €

année

Evolution du cours des actions

action fonds Euro

UC


Ce graphique illustre parfaitement les différences entre une action à faible volatilité et une action à

forte volatilité. Lorsque que la volatilité est importante, le cours de l’action peut présenter de plus forte

variation, l’évolution de l’action est « moins lisse ». L’action ayant une forte volatilité est plus risquée. Sur

cette simulation, le cours de l’action du fonds UC est inférieur à celui de l’action du fonds Euro sur les 30

premières années de projection mais la situation s’inverse par la suite.

Une hypothèse de corrélation entre les taux courts et l’évolution des actions a été faite. Les évolutions

des deux actions modélisées sont également corrélées. Ces corrélations supposent que ces éléments

sont tous liés à l’évolution du marché.

La matrice de corrélation retenue est :

Taux Taux Taux Taux

d’intérêtd’intérêtd’intérêtd’intérêt

Action 1Action 1Action 1Action 1 Action 2Action 2Action 2Action 2

Taux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêtTaux d’intérêt 1 0,3 0,3

Action 1Action 1Action 1Action 1 0,3 1 0,4

Action 2Action 2Action 2Action 2 0,3 0,4 1

Les coefficients de corrélation choisis sont arbitraires. Il est cependant supposé que les deux actions

sont identiquement corrélées au taux d’intérêt et qu’elles sont plus fortement corrélées entre elles

qu’avec le taux d’intérêt.

Figure Figure Figure Figure 32323232. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation

La régression linéaire met en évidence que les distributions des deux actions sont corrélées. En effet,

les points représentant le cours des actions aux différentes dates de projection sont sensiblement

alignés.

100

150

200

250

300

350

100 150 200 250 300 350 400 450 500

X2

X1

Régression linéaire entre les actions


3. Présentation du portefeuille d’assurés

Le portefeuille considéré est fictif. A la date initiale t=0, Il est composé de 1000 assurés âgés de 18 à

86 ans. La moyenne d’âge des assurés est de 55 ans. Le portefeuille compte 54,1% de femmes et donc

45,9% d’hommes.

Figure Figure Figure Figure 33333333. Répartition des assurés par âge et par sexe. Répartition des assurés par âge et par sexe. Répartition des assurés par âge et par sexe. Répartition des assurés par âge et par sexe à t=0à t=0à t=0à t=0

Concernant la répartition des contrats par ancienneté en t=0, 16% des contrats ont moins de 4 ans

d’ancienneté, 30,7% ont entre 4 et 8 ans d’ancienneté et 53,3% ont plus de 8 ans d’ancienneté.

Graphiquement, la répartition par ancienneté se présente comme suit :

Figure Figure Figure Figure 34343434. Répartition des assurés par . Répartition des assurés par . Répartition des assurés par . Répartition des assurés par anciennetéanciennetéanciennetéancienneté à t=0à t=0à t=0à t=0

-

5

10

15

20

25

30

no

mb

re d

'ass

uré

s

âge

Répartition des assurés par âge et par sexe

Femme

Hommes

16,0%

30,7%53,3%

Répartition par ancienneté

Anc <= 4 ans

4 ans < Anc <= 8ans

> 8 ans


4. Tableaux de synthèse des hypothèses

Chargement de gestion (fonds Euro)Chargement de gestion (fonds Euro)Chargement de gestion (fonds Euro)Chargement de gestion (fonds Euro) 0,70%

Chargement de gestion (fonds UC)Chargement de gestion (fonds UC)Chargement de gestion (fonds UC)Chargement de gestion (fonds UC) 1%

Chargement d’arbitrageChargement d’arbitrageChargement d’arbitrageChargement d’arbitrage 1%

Table de mortalitéTable de mortalitéTable de mortalitéTable de mortalité TH00-02 et TF00-02

Clause de PBClause de PBClause de PBClause de PB 90% des produits financiers

ObligationsObligationsObligationsObligations Au pair/maturité 8 ans/nominal=100€

Actions (fonds Euro)Actions (fonds Euro)Actions (fonds Euro)Actions (fonds Euro) valeur initiale=100€/rendement= taux sans

risques/ volatilité=8%

Actions (fonds UC)Actions (fonds UC)Actions (fonds UC)Actions (fonds UC) valeur initiale=100€/rendement= taux sans

risques/ volatilité=20%

Répartition des placements du fonds EuroRépartition des placements du fonds EuroRépartition des placements du fonds EuroRépartition des placements du fonds Euro 80% d’obligations et 20% d’actions

PM initialesPM initialesPM initialesPM initiales 800 000€ sur le fonds Euro / 200 000€ sur le

fonds UC

Fonds Propres initiauxFonds Propres initiauxFonds Propres initiauxFonds Propres initiaux 40 000€

PPB initialePPB initialePPB initialePPB initiale 20 000€


Chapitre 7 : Calcul du besoin en capital

1. La marge de solvabilité sous Solvabilité I

La provision mathématique à la date d’évaluation vaut :

��P � ��4*5P ��|P � 800000€ 200000€ � 1000000€

A partir du montant de provisions mathématiques sur chaque fonds, l’exigence de marge de solvabilité

est calculée ainsi :

�� 4% " ��4*5P 1% " ��|P � 34000€

2. Calcul de la provision Best Estimate sous Solvabilité II

2.1. Méthode de calcul

Le Best Estimate correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs

actualisés.

C� �D 9E4%F�1 *F�FGFHI

Avec :

- 9E4%F le flux probables l’année t ;

- *F:taux sans risque de maturité t ;

- �: le nombre d’année de simulation.

La valeur des flux probables est estimée par la méthode de Monteméthode de Monteméthode de Monteméthode de Monte----CarloCarloCarloCarlo. Cette méthode nécessite la

réalisation d’un nombre important de simulations qui formeront des échantillons aléatoires pour chacun

des flux.

Les scénarios du modèle étant indépendants et identiquement distribués, le Best Estimate est évalué

comme suit:

C7,)�,)3#$)7 � 1~�,3#4E D D9E4%�,FGFHI " 1�1 *F�F

><��Rtd�HI

Avec :

- ~�,3#4E: le nombre de scénarios effectués ;

- 9E4%�,F: le flux de l’année t pour le scénarios.


Ce calcul repose sur la loi faible des grands nombres qui s’énonce comme suit :

Soit �Xà�à∈ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de probabilité, intégrables,

i.e E�|XI|� ¼ ∞, alors : E3#>→N �>~ � ��øI�

Avec : �> � ∑ ø�>�HI .

Dans le cadre de cette étude, les flux pris en compte dans le calcul du Best Estimate sont :

- les prestations rachat et décès ;

- les frais liés aux contrats payés par l’assureur.

Le contrat étant à prime unique, aucune prime n’est à prendre en compte sur l’intervalle de projection.

Le calcul est donc :

9E4%�,, )� � 2*7,)$]7á7,ñt��,, )� 2*7,)$*$áÊ$)ñt��,, )� 2*7,)$]7á7,� �,, )� 2*7,)$*$áÊ$)� �,, )� i*$3,$,,4*74*�,, )�

Avec :

- 2*7,)$]7á7,ñt��,, )�: les prestations décès payées à partir du fonds Euro pour l’année t et

la simulation s ;

- 2*7,)$*$áÊ$)ñt��,, )�: les prestations rachat payées à partir du fonds Euro pour l’année t

et la simulation s ;

- 2*7,)$]7á7,� �,, )�: les prestations décès payées à partir du fonds UC pour l’année t et la

simulation s ;

- 2*7,)$*$áÊ$)� �,, )�: les prestations rachat payées à partir du fonds UC pour l’année t et la

simulation s ;

- i*$3,$,,4*74*�,, )�: les frais réels payés par l’assureur pour l’année t et la simulation s.


Le graphique ci-dessous représente les flux futurs moyens à verser sur 1000 scénarios :

Figure Figure Figure Figure 35353535. Flux moyens composant le Best Estimate (sur 1000 simulations). Flux moyens composant le Best Estimate (sur 1000 simulations). Flux moyens composant le Best Estimate (sur 1000 simulations). Flux moyens composant le Best Estimate (sur 1000 simulations)

L’évolution moyenne des flux à verser présente un pic entre la 6ème et la 8ème année de projection. Ce

pic correspond à une augmentation des prestations rachats à verser.

2.2. Hypothèses et résultats

Les hypothèses retenues pour calculer le Best Estimate sont résumées dans le tableau suivant :

Date d’évaluationDate d’évaluationDate d’évaluationDate d’évaluation 31 décembre 2009

Horizon de projectionHorizon de projectionHorizon de projectionHorizon de projection 40 ans

ActualisationActualisationActualisationActualisation Les flux sont actualisés avec la courbe des taux sans

risque fournit par le CEIOPS.

Flux pris en compteFlux pris en compteFlux pris en compteFlux pris en compte - Prestations rachats et décès

- Frais de l’assureur

Nombre de simulationsNombre de simulationsNombre de simulationsNombre de simulations 1000 simulations

Le BE dans le cadre du QIS5 est calculé avec la courbe des taux sans risque comprenant une prime de

liquidité à 75%.

Dans le contexte du QIS4, la prime de liquidité n’est pas à prendre en compte, le BE est calculé avec la

courbe des taux sans risque sans prime de liquidité. La fonction de rachat conjoncturel utilisée est celle

présentée dans les ONC du QIS4.

-

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

1 6 11 16 21 26 31 36

Mo

nta

nt

en

€

Années

Flux à verser moyens sur 1000 scénarios

pic de rachat


Les résultats obtenus sont les suivants :

QIS4QIS4QIS4QIS4 QIS5QIS5QIS5QIS5

BE standardBE standardBE standardBE standard 816 922 801 632

2.3. Convergence

Pour déterminer le nombre de simulations nécessaire pour obtenir une bonne approximation du BE, il

faut s’intéresser à la convergence des approximations en fonction du nombre de simulations.

En illustration, voici le schéma de convergence du BE calculé selon le QIS5 pour 1000 simulations :

Figure Figure Figure Figure 36363636. Schéma de convergence du Best Estimate. Schéma de convergence du Best Estimate. Schéma de convergence du Best Estimate. Schéma de convergence du Best Estimate

Graphiquement, il semblerait que 1000 simulations suffisent pour obtenir une valeur fiable. L’intuition

graphique n’étant pas suffisante, la méthode du bootstrap est utilisée pour déterminer un intervalle de

confiance pour la valeur du BE obtenue.

2.4. Intervalle de confiance par Bootstrap

La méthode du Bootstrap est une méthode de ré-échantillonnage. Un échantillon bootstrap de taille

1000 est obtenu en effectuant 1000 tirages avec remise à partir de l’échantillon initial �C�I, … , C�IPPP� composé des 1000 BE simulés.

720 000

740 000

760 000

780 000

800 000

820 000

840 000

860 000

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

Be

st E

stim

ate

en

€

Nombre de simulations

Convergence du Best Estimate

Best Estimate


Pour déterminer l’intervalle de confiance, il faut calculer la moyenne de chaque échantillon et

déterminer ensuite les quantiles à 2,5% et 97,5% de la distribution des moyennes des échantillons

bootstrap. Ces quantiles correspondent aux bornes de l’intervalle de confiance à 95% (le BE appartient à

cet intervalle avec une probabilité de 95%).

Pour que la méthode de l’intervalle de confiance par Bootstrap soit fiable il faut que :

- la distribution d’échantillonnage du paramètre étudié soit approximativement normale ;

- l’estimateur obtenu soit non biaisé ;

- le nombre de ré-échantillonnage effectués soit suffisant.

Afin de satisfaire la troisième condition, 1000 tirages Bootstrap sont effectués.

La première condition est vérifiée en observant la distribution des moyennes des 1000 échantillons

bootstrap :

FFFFigure igure igure igure 37373737. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate

L’intervalle de confiance par Bootstrap est finalement donné par :

ú�C�, 95%� � �796116; 807536�

Le Best Estimate obtenu appartient bien à cet intervalle.

0

20

40

60

80

100

Fré

qu

en

ce

Moyenne

Distribution des moyennes


3. Calcul du BSCR

3.1. Risque de souscription vie

Dans cette étude, les risques de souscription vie étudiés sont les risques de mortalité, de longévité et de

rachat.

Le SCR de souscription vie est donné par :

�Ld�c� � ü� 3i7R��F 3i7d�>j 3i7d=`�� " ý 1 [0,25 0[0,25 1 0,250 0,25 1 þ " � 3i7R��F 3i7d�>j 3i7d=`��

Avec :

- 3i7R��F : Le capital requis au titre du risque de mortalité ;

- 3i7d�>j : Le capital requis au titre du risque de longévité ;

- 3i7d=`�� : Le capital requis au titre du risque de rachat.

Détail du SCR de souscription vie QIS5 :

ScénarioScénarioScénarioScénario Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate ∆�� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis

StandardStandardStandardStandard 801 632 - -

Choc mortalité Choc mortalité Choc mortalité Choc mortalité 808 066 6 434 3i7R��F � 6 434

Choc longévité Choc longévité Choc longévité Choc longévité 799 057 -2 575 3i7d�>j � 0 Choc rachatChoc rachatChoc rachatChoc rachat

haussehaussehaussehausse 830 905 29 273

3i7d=`�� 29 273 baissebaissebaissebaisse 763 331 -38 301

massifmassifmassifmassif 808 331 6 699

Le SCR de souscription vie vaut donc :

�Ld�c�� Ó 3i7#5*)¬ 3i7E$2,72

�Ld�c�� 29 972 €


Détail du SCR de souscription vie QIS4 :

ScénarioScénarioScénarioScénario Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate ∆�� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis

StandardStandardStandardStandard 816 922 -

Choc mortalité Choc mortalité Choc mortalité Choc mortalité 819 308 2 386 3i7R��F � 2386

Choc longévité Choc longévité Choc longévité Choc longévité 813 672 -3 250 3i7d�>j � 0 Choc rachatChoc rachatChoc rachatChoc rachat

haussehaussehaussehausse 840 186 23 264 3i7d=`�� 23264 baissebaissebaissebaisse 657 986 -35 925

massifmassifmassifmassif 823 576 6 654

Le SCR de souscription vie vaut : �Ld�c��Ä � Ó 3i7#5*)¬ 3i7E$2,72

�Ld�c��Ä � 23386€

3.2. Risque de marché

Contrairement aux chocs de risque de souscription qui n’affectent que le passif, les chocs de risque de

marché impactent à la fois le passif et l’actif.

Le choc de taux d’intérêt a un impact sur le rendement de l’actif ainsi que sur la courbe d’actualisation

du passif.

Le choc sur les actions impacte le rendement de l’actif, la valeur du passif sur le fonds UC et la

revalorisation du fonds Euro.

3.2.1. Risque de taux d’intérêt

Pour calculer le risque de taux d’intérêt, il faut choquer le taux d’intérêt à la hausse et à la baisse. La

prime de liquidité ne devant pas être impactée, il faut appliquer les chocs à la courbe des taux sans

risque sans prime de liquidité.


Les courbes obtenues à partir du calibrage des chocs du QIS5 sont les suivantes :

Figure Figure Figure Figure 38383838. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs

A l’actif, pour prendre en compte ces chocs, il faut re-paramétrer la courbe des taux simulée par le

modèle CIR.

Paramètres du modèle CIR utilisés :

StandardStandardStandardStandard Choc à la hausseChoc à la hausseChoc à la hausseChoc à la hausse Choc à la baisseChoc à la baisseChoc à la baisseChoc à la baisse í 0,7268 1,05 0,674 0,0407 0,0514 0,0288 h� 0,40% 0,43% 0,07% � 2% 2% 2%

Détail des résultats obtenus pour le risque de taux d’intérêt :

ScénarioScénarioScénarioScénario Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate

Actif initial en Actif initial en Actif initial en Actif initial en

valeur de valeur de valeur de valeur de

marchémarchémarchémarché

Net Net Net Net Asset Asset Asset Asset

ValueValueValueValue ∆ �� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis

HHHHausse des tauxausse des tauxausse des tauxausse des taux 777 817 954 991 177 174 21 194 �{)�>Ft` � 21194

SSSStandardtandardtandardtandard 801 632 1 000 000 198 368 - -

BBBBaisse des tauxaisse des tauxaisse des tauxaisse des taux 808 494 1 051 082 242 588 -44 220 �{)�>FS�s> � 0

Les chocs à appliquer à la courbe des taux dans le QIS4 était plus fort que ceux du QIS5.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

Ta

ux

sa

ns

risq

ue

Années

Courbes des taux QIS5

Upward shock

Standard

Downward shock


Figure Figure Figure Figure 39393939. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs

Les résultats obtenus dans le cadre du QIS4 sont les suivants :

ScénarioScénarioScénarioScénario Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate




Net Asset Net Asset Net Asset Net Asset


HHHHausse des tauxausse des tauxausse des tauxausse des taux 790 458 950 382 159 924 23 154 �{)�>Ft` � 23154


BBBBaisse des tauxaisse des tauxaisse des tauxaisse des taux 825 900 1 051 306 225 406 -42 328 �{)�>FS�s> � 0

�{)�>F � 23154€

3.2.2. Risque action

La prise en compte du risque action nécessite de choquer le cours des actions. Dans cette étude, les

actions sont toutes considérées comme « globales ». Ce sont par exemple des actions cotées.

Le choc à appliquer sera donc :

- Une baisse de 30% dans le cadre du QIS5 ;

- Une baisse de 32% dans le cadre du QIS4.

Capital requis au titre du risque sur les actions pour le QIS5 :

ScénarioScénarioScénarioScénario Best Best Best Best

EstimateEstimateEstimateEstimate







Baisse des actionsBaisse des actionsBaisse des actionsBaisse des actions 764 393 892 000 127 607 70 761 �{)��t�F� � 70761

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

Ta

ux

sa

ns

risq

ue

Années

Courbes des taux QIS4

Upward shock

Standard

Downward shock


Capital requis au titre du risque sur les actions pour le QIS4 :


EstimateEstimateEstimateEstimate







Baisse des actionsBaisse des actionsBaisse des actionsBaisse des actions 773 301 884 800 111 499 71 579 �{)��t�F� � 71579

3.2.3. Risque d’illiquidité

Le sous-module de risque d’illiquidité est une nouveauté du QIS5. Le capital requis est obtenu en

choquant la prime de liquidité de 65% à la baisse. L’actif initial n’est pas touché par un choc sur la prime

de liquidité.


EstimateEstimateEstimateEstimate ∆ �� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis

SSSStandardtandardtandardtandard 801 632 - -

Baisse Baisse Baisse Baisse de la prime de liquiditéde la prime de liquiditéde la prime de liquiditéde la prime de liquidité 805 774 4 142 �{)�dd��t�S�F� � 4142

3.2.4. Agrégation des sous-modules

Dans le QIS5, les risques et taux à la hausse et à la baisse ne sont pas identiquement corrélés avec le

risque action.

En cas de hausse des taux, le besoin en capital vaut :

�LReFt` � a�21194 70761 4142� " ý1 0 00 1 00 0 1þ " ý21194707614142 þ

�LReFt` � �21194¬ 70761¬ 4142¬

�LReFt` � 73983

En cas de baisse des taux :

�LReFS�s> � a�0 70761 4142� " ý 1 0,5 00,5 1 00 0 1þ " ý0707614142 þ

�LReFS�s> � �70761¬ 4142¬

�LReFS�s> � 70882


Le SCR marché est le maximum des deux résultats précédents : �LReF�� 73983€

Le SCR marché pour le QIS4 est calculé comme suit :

�LReF � Ó�23154 71579� " �1 00 1� " �2315471579� �LReF � �23154¬ 71579¬

�L#{)�ú�4 � 75231€

3.3. Agrégation des modules de risques

La matrice de corrélation utilisée pour calculer le BSCR est :

fghh MarchéMarchéMarchéMarché Souscription vieSouscription vieSouscription vieSouscription vie

MarchéMarchéMarchéMarché 1

Souscription vie Souscription vie Souscription vie Souscription vie 0,25 1

La corrélation entre le sous-module de souscription vie et le sous-module de marché est inchangée

depuis le QIS4.

La formule de calcul du BSCR est donc :

C�L � a��Ld�c��LReF� " � 1 0,250,25 1 � " ��Ld�c��LReF�

Les résultats obtenus sont :

C�L�� a�2997273983� " � 1 0,250,25 1 � " �2997273983 �

C�L�� 86490


C�L��Ä � a�2338675231� " � 1 0,250,25 1 � " �2338675231�

C�L��Ä � 84180

4. SCR Opérationnel

Dans le étudié, le SCR opérationnel dans le QIS5 se calcule à partir de la formule suivante :

�L52�ú�5 � #3~ X30%C�L; 0,45%-��E3i7 [ ��E3i7[4E8Y

�L52�ú�5 � #3~-30% " 86490; 0,45%�1000000 [ 200000�8

�L52�ú�5 � #3~�25914; 3600� �L52�ú�5 � 3600

La formule donnée dans le QIS4 était :

�L��Ä � #3~ X30%C�L; 0,3%-��d�c� [ ��d�c��td8Y

�L��Ä � #3~�25254; 2400�

�L��Ä � 2400

5. Calcul du SCR

Dans le cadre de ce mémoire, les ajustements dus aux effets d’absorption des provisions techniques ne

sont pas pris en compte dans le calcul du SCR. Ce choix a pour seul but de simplifier le calcul. La formule

appliquée est donc :

�L � C�L �L_`

�L�� 86490 3600 � 90090

�L��Ä � 84180 2400 � 86580


6. Calcul de la Marge de risque

Maintenant que les SCR de souscription vie et opérationnel sont calculés, il est possible de calculer la

marge de risque.

QIS5

La marge de risque est calculée suivant la simplification basée sur les durations :

5� � 6%�1 *I� " Q4*R�S�0� " �LM��0�

Le SCR de référence prend en compte le risque de souscription vie et le risque opérationnel :

�LM��0� � �Ld�c� �L�`

�LM��0� � 29972 3600 � 33572

La duration du portefeuille se calcule par la formule suivante :

Q4*�0� � ∑ ) " 9E4%F " X 11 *FYFFOI∑ 9E4%F " X 11 *FYFFOI

Elle est calculée à partir des flux moyens sur les 1000 scénarios.

Q4*�0� � 11,35$~,

Le taux actuariel est le taux constant qui donne le même résultat de duration à partir des flux

considérés. *= � 4,08%

Q4*R�S�0� � Q4*�0�1 *= � 10,91$~,

La marge de risque vaut donc :

5� � 6%1 1,608% " 10,91 " 33572 � 21628


QIS4

Les spécifications techniques du QIS4 proposaient déjà une simplification basée sur la duration mais

cette simplification ne faisait pas intervenir le taux actuariel.

5� � 6%-0,5 Q4*R�S�0�8 " �LM��0� 5� � 6% " �0,5 10,44� " �23386 2400� � 16926

7. Analyse des résultats

7.1. Le Best Estimate et la marge de risque

Le graphique suivant présente l’évolution du montant de provision Best Estimate et de la marge de

risque entre le QIS4 et le QIS5 pour le cas étudié.

Figure Figure Figure Figure 40404040. . . . Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5

La provision Best Estimate diminue entre le QIS4 et le QIS5. Cette diminution est due à l’introduction

d’une prime de liquidité qui augmente les taux d’actualisation des flux pris en compte dans le calcul de la

provision Best Estimate.

En revanche, la marge de risque nécessaire augmente entre le QIS4 et le QIS5 à cause de

l’augmentation du SCR.

816 922 €

801 632 €

16 926 €

21 628 €

750 000

760 000

770 000

780 000

790 000

800 000

810 000

820 000

830 000

840 000

QIS 4 QIS 5

Mo

nta

nt

en

€

Evolution du Best Estimate et de la

marge de risque

Best Estimate Marge de risque


La somme de la provision Best Estimate et de la marge de risque diminue.

Le résultat obtenu n’est pas en accord avec les prévisions d’évolution de l’ACP. Pour calculer la marge de

risque, il est supposé que le transfert des contrats ait lieu dans sa globalité et non plus par famille de

contrats. Cela devrait avoir pour effet d’intégrer dans la marge de risque la diversification entre les

risques, et donc de la diminuer. Ici, un seul type de contrat est considéré, il n’y a donc pas de différence

dans le transfert de risque.

7.2. Le SCR de souscription vie

Le graphique suivant présente l’évolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5.

Figure Figure Figure Figure 41414141. . . . Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5

Le durcissement du choc de mortalité et de la loi de rachat conjoncturel a pour conséquence une

augmentation du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5. Les risques de catastrophe et de

dépenses ont été négligés, mais ils devraient augmenter le capital requis. En revanche, l’ajustement

négligé devrait venir en diminution du SCR de souscription vie.

23 386

2 386

23 264

29 972

+28%

6 434

+170%

29 273

+26%

-

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

SCR vie mortalité rachat SCR vie mortalité rachat

Mo

nta

nt

du

SC

R l

ife

en

€

Evolution du SCR de souscription vie

QIS5QIS4


7.3. Le SCR marché

Le graphique suivant représente l’évolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5.

Figure Figure Figure Figure 42424242. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5

Le capital requis au titre du risque sur les actions diminue car le choc appliqué est plus faible dans le

QIS5. Le capital requis au titre du risque de taux diminue également.

Le graphe ci-dessous illustre l’évolution des chocs appliqués :

Figure Figure Figure Figure 43434343. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5

75 231€

23 154€

71 579€73 983€

-1,7%

21 194€

-8,5%

70 761€

-1,1%

4 142€

-

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

SCR

marché

intérêt action SCR

marché

intérêt action illiquidité

Montant en € Evolution du SCR marché

QIS4 QIS5

-100%

-50%

0%

50%

100%

150%

1 6 11 16 21 30Ta

ux

de

ch

oc

Maturité

Chocs sur le niveau des taux

hausse QIS4

baisse QIS4

hausse QIS5

baisse QIS5


Les chocs à la hausse sont plus faibles que dans le QIS4. Les chocs à la baisse sont plus forts les

premières années et plus faibles par la suite.

Dans le cadre de cette étude, seule le risque de taux à la hausse à un impact sur le SCR marché.

L’augmentation des chocs à la baisse n’a donc pas d’impact. En revanche, la diminution des chocs à la

hausse a pour conséquence une diminution de capital requis pour le risque de taux.

L’introduction de la prime de liquidité a également un effet sur l’évolution du SCR marché. En effet, le

choc d’illiquidité introduit dans le calcul du SCR marché mène à un montant de capital requis

supplémentaire. Ce montant reste cependant négligeable comparé à ceux engendrés par le risque de

taux à la hausse et le risque action.

Dans cette étude, le SCR marché diminue entre le QIS4 et le QIS5. Il est cependant important de

rappeler que seuls les risques de taux, d’action et d’illiquidité sont pris en compte ici. Or, le calibrage des

autres risques de marché a globalement été durci.

Le SCR

Le SCR opérationnel est plus fort dans le cadre du QIS5. Cette augmentation est due à la hausse du taux

de prise en compte des provisions mathématiques. Le BSCR augmente également à cause de

l’augmentation du SCR de souscription vie. Globalement le SCR augmente, mais très légèrement.

Figure Figure Figure Figure 44444444. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5

23 386

29 972

75 231 73 983

84 180

86 490

2 400 3 600

86 580 90 090

-

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

90 000

100 000

Mo

nta

nt

en

€

Evolution des exigences en capital

QIS4

QIS5

SCR vie SCR marché BSCR SCR Op SCR


Une fois encore, il est important de rappeler que tous les risques ne sont pas pris en compte ici. Le

calcul du risque de contrepartie ainsi que le nouveau module de risque sur les actifs incorporels

pourraient remettre en cause ce résultat.

Les résultats obtenus sont à nuancer. En effet, le contrat considéré est basé sur des hypothèses

simplifiées et certains risques auxquels l’assureur pourrait être soumis ne sont pas pris en compte.

Taux de couverture

Bilan QIS4 Bilan QIS5

ACTIF PASSIF ACTIF PASSIF

VM = 1 000 000

FP = 166 152

VM = 1 000 000

FP = 176 740

MR = 16 152 MR = 21 628

BE = 816 922

BE = 801 632

Le taux de couverture se calcule par le ratio95~],�*52*7, �L⁄ .

Fonds PropresFonds PropresFonds PropresFonds Propres SCRSCRSCRSCR Taux Taux Taux Taux de couverturede couverturede couverturede couverture

QIS4QIS4QIS4QIS4 166 152 86 580 192%

QIS5QIS5QIS5QIS5 176 740 90 090 196%

Dans le cas présent, le taux de couverture augmente très légèrement.


Chapitre 8 : Etudes des sensibilités

Le modèle implémenté dépend de nombreux paramètres. Ce chapitre vise à déterminer l’influence de

certains de ces paramètres sur les résultats obtenus. Par soucis de simplicité, seule l’influence sur le

montant de la provision Best Estimate sera déterminée. Le Best Estimate considéré est celui calculé

sous les hypothèses du QIS5.

Pour évaluer l’influence d’un paramètre il faut modifier sa valeur sans faire aucun autre changement

dans les autres hypothèses de simulation. La projection est ensuite effectuée et donne un nouveau

résultat pour la provision Best Estimate.

Les paramètres testés sont :

- Au niveau du contrat : le nombre d’assurés, la loi de rachat structurel et l’âge des assurés;

- Au niveau des décisions de l’assureur : l’allocation de portefeuille pour le fonds Euro ;

1. Sensibilité au nombre d’assurés

Initialement, le contrat comporte 1000 souscripteurs. L’objectif ici est d’évaluer l’impact du nombre

d’assurés initial sur le montant de la provision Best Estimate et de mettre en évidence l’effet de

mutualisation des risques. Pour étudier la sensibilité du Best Estimate à ce paramètre il faut faire varier

le nombre d’assurés tout en respectant la répartition initiale en termes d’ancienneté, de sexe, d’âge et

de PM initiales.

1000 simulations sont effectuées à partir de 4000 assurés.

1000 assurés1000 assurés1000 assurés1000 assurés 4000 4000 4000 4000 assurésassurésassurésassurés

Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate 801 632 3 001 136

Best Estimate/nb assurésBest Estimate/nb assurésBest Estimate/nb assurésBest Estimate/nb assurés 802 750

Le montant de provision Best Estimate obtenu pour 4000 assurés à t=0 est supérieur à celui relatif à un

portefeuille de 1000 assurés les provisions mathématiques initiales totales ayant été multipliées par

quatre. Cependant, le ratio C7,)�,)3#$)7 ~5#�*7]′$,,4*é,⁄ diminue lorsque le nombre

d’assurés augmente. Cette diminution illustre le principe de mutualisation entre les assurés.

2. Sensibilité au taux de rachat structurel

Les taux de rachat structurel ont été choisis selon une loi dépendant de l’ancienneté du contrat. Pour

étudier la sensibilité du Best Estimate à la loi de rachat structurel, plusieurs lois vont être testées. Pour

garder la cohérence de l’évolution des taux de rachat en fonction de l’ancienneté, les différentes

courbes de rachat structurel sont obtenues par une variation parallèle de la courbe de référence.


Lois étudiées :

- Diminution de 1% des taux de rachat structurel de référence ;

- Augmentation de 1% des taux de rachat structurel de référence.

Figure Figure Figure Figure 45454545. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités

Impact des taux de rachat structurel sur le montant de la provision Best Estimate :

Figure Figure Figure Figure 46464646. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel

Lorsque les taux de rachat structurel augmentent, la provision Best Estimate augmente. La hausse des

taux de rachat entraine une augmentation des flux à verser qui sont comptabilisés dans le calcul de la

provision Best Estimate. Les taux de rachat des premières années augmentant, cela engendre plus de

sorties en début de contrat. Les sorties en début de contrat entrainent une augmentation du montant

de provision Best Estimate car le taux d’actualisation appliqué est inférieur au taux de revalorisation de

l’épargne.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ta

ux

de

ra

cha

t

Ancienneté du contrat

Taux de rachat structurel

baisse des

taux de

rachat de 1%

scénario de

référence

hausse des

taux de

rachat de 1%

789 999€

-1,45%

801 632€

825 797€

+3,01%

700000

720000

740000

760000

780000

800000

820000

840000

-1% référence 1%

Mo

nta

nt

en

€

Provision Best Estimate en fonction du

taux de rachat structurel


3. Sensibilité à l’âge des assurés

Pour tester l’influence de l’âge des assurés sur le montant de la provision Best Estimate la population

d’assurés va être rajeunie de 10 ans puis vieillie de 10 ans. La moyenne d’âge des assurés passe de 55

ans à 45 ans puis à 65 ans.

Figure Figure Figure Figure 47474747. Evolution de la provision . Evolution de la provision . Evolution de la provision . Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l'âge des assurésBest Estimate en fonction de l'âge des assurésBest Estimate en fonction de l'âge des assurésBest Estimate en fonction de l'âge des assurés

Lorsque la moyenne d’âge des assurés augmente, le montant de provision Best Estimate augmente. Les

assurés étant plus âgés, leur probabilité de décéder dans l’année est plus élevée. L’assureur doit donc

payer davantage de prestations décès en début de contrat lorsque la population est plus âgée. Le taux

d’actualisation étant inférieur au taux de revalorisation sur les premières années, la revalorisation de

ces prestations est plus importante que l’actualisation ce qui a pour effet d’augmenter la provision Best

Estimate.

4. Sensibilité à la répartition du portefeuille

La répartition des placements relatifs au fonds Euro est un paramètre du modèle. Il a été décidé de

placer 80% des placements en obligations et 20% en actions. Le but de cette partie est de déterminer

les variations de la provision Best Estimate est cas de modification de cette répartition.

Différentes allocations sont testées :

- 75% d’obligations et 25% d’actions ;

- 85% d’obligations et 15% d’actions ;

- 90% d’obligations et 10% d’actions.

793 179

-1,1%

801 632

824 402

+2,84%

770 000

780 000

790 000

800 000

810 000

820 000

830 000

moins 10 ans Référence plus 10 ans

Mo

nta

nt

en

€

Provision Best Estimate en fonction

de l'âge des assurés


Figure Figure Figure Figure 48484848. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro

La proportion d’actions détenues à un impact sur le montant de la provision Best Estimate. La provision

Best Estimate augmente avec l’augmentation de la proportion d’actions.

Les actions constituent un placement plus risqué que les obligations de par leur forte volatilité. En cas

de scénario d’évolution des actions défavorable, les produits financiers vont être réduits mais cela

n’entraine qu’une diminution limitée du Best Estimate en raison des garanties de taux définies au

contrat. Inversement, en cas de scénario favorable sur l’évolution des actions, les plus-values sur

actions viennent augmenter les produits financiers alors que les plus-values obligataires sont stockées

en réserve de capitalisation. Cela a pour conséquence d’augmenter le taux servi et donc la provision

Best Estimate. Cette augmentation est limitée par la diminution des rachats conjoncturels liée à

l’augmentation du taux servi.

5. Les limites du modèle

L’étude des sensibilités démontre que le résultat dépend des hypothèses du contrat et des paramètres

de modélisation choisis. Le montant de provisions Best Estimate est très sensible aux hypothèses de

rachat et à l’âge des assurés. En effet, ces deux paramètres influencent directement les flux pris en

compte dans le calcul du Best Estimate.

Même si les résultats dépendent grandement des hypothèses choisies, les calculs pour le QIS4 et le

QIS5 ayant été effectués à partir des mêmes paramètres de simulation, il est possible de les comparer

et d’analyser l’évolution du besoin en capital entre ces deux études pour le contrat et les risques

considérés.

794 246€

-0,92%

797 250€

-0,55%

801 632€

808 319€

+0,83%

785 000

790 000

795 000

800 000

805 000

810 000

10% 15% 20% 25%

Mo

nta

nt

en

€

Part d'actions dans le portefeuille

Provision Best Estimate en fonction de la

répartition du portefeuille


Conclusion

Le premier pilier de la réforme Solvabilité II définit des exigences quantitatives. L’évaluation des actifs

et des passifs doit se faire en valeur de marché. Les provisions techniques des passifs non réplicables

doivent se composer d’une provision Best Estimate et d’une marge de risque. Deux niveaux de fonds

propres sont également définis : le capital minimum requis (MCR) et le capital de solvabilité requis

(SCR). L’élaboration du premier pilier de la réforme passe par la réalisation d’études quantitatives

d’impact faisant intervenir l’ensemble des acteurs du marché. La dernière étude (QIS5), lancée en août

2010, comporte des nouveautés. Elle introduit notamment la prise en compte d’une prime de liquidité

dans l’actualisation des passifs et modifie le calibrage de la formule standard de calcul du SCR.

L’évaluation en « juste valeur » impose aux assureurs d’être capables de projeter l’évolution de leur actif

et de leur passif. Ils doivent avoir recours à un modèle de scénario économique. Le modèle implémenté a

permis d’effectuer une projection de l’évolution de l’actif de l’assureur et des interactions entre l’actif et

le passif à travers la politique de rémunération des contrats. La projection du passif a nécessité de

modéliser le comportement des assurés, à travers la mortalité, les rachats et les arbitrages. Les

phénomènes de rachat et d’arbitrage étant difficilement observables, de nombreuses hypothèses sur le

comportement des assurés ont dû être considérées. Pour simplifier la modélisation, le portefeuille

d’assurés a été segmenté en « model points », possibilité étant évoquée dans le QIS5.

Le modèle de projection du bilan de l’assureur permet de calculer le montant de la provision Best

Estimate, le SCR ainsi que la marge de risque intervenant dans les exigences de solvabilité. Les résultats

sont obtenus à partir de 1000 simulations de scénarios économiques, seuls les résultats moyens étant

analysables.

Dans le cadre du contrat multi-supports étudié, les risques pris en compte dans le calcul du SCR sont les

risques de souscription vie, les risques de marché ainsi que le risque opérationnel. Tous les sous-

modules de risques n’ont cependant pas été pris en compte, les risques de dépenses et de catastrophe

ont été négligés ainsi que l’ajustement dû à l’effet d’absorption des provisions techniques.

Les résultats obtenus mettent en évidence une augmentation du capital requis au titre du risque de

souscription vie et une baisse de celui relatif aux risques de marché. Le montant total du SCR augmente

(notamment par l’augmentation du capital lié au risque opérationnel) mais dans une proportion non

significative. L’intégration de la prime de liquidité a pour effet d’une part de diminuer le montant de la

provision Best Estimate et d’autre part d’ajouter un montant supplémentaire au SCR marché par le

calcul du risque d’illiquidité. Le capital requis au titre du risque d’illiquidité est cependant négligeable

par rapport aux risques de taux et d’action. La marge de risque quant à elle augmente avec

l’augmentation du SCR.


L’étude des sensibilités a montré cependant que les résultats obtenus dépendaient grandement des

caractéristiques du contrat et du portefeuille, des hypothèses sur le comportement des assurés et de la

politique de placement de l’assureur. Les résultats de cette étude ne sont donc pas directement

transposables à la réalité du marché.

A l’heure où les acteurs de l’assurance se préparent à l’entrée en vigueur de Solvabilité II, de nouvelles

normes de solvabilité pour les banques sont en cours d’élaboration sous le nom de « Bâle 3 » et auraient

pour objectif un nouveau renforcement des fonds propres. La réglementation des assurances suivant à

retardement celle du système bancaire mais avec de plus grandes ambitions en termes de solvabilité, il

n’est pas impossible que peu après l’application des normes Solvabilité II, la Commission européenne ne

commence des travaux de réflexion sur une réforme « Solvabilité 3 ».


Annexes

ANNEXE 1. Condition de positivité des taux courts du modèle CIR

Pour que les taux courts simulés par le modèle CIR soient positifs, la condition $� ã Á²¬ doit être

respectée.

DémonstrationDémonstrationDémonstrationDémonstration ::::

La dynamique du modèle de Cox-Ingersoll-Ross est:

d*�)� � $-� [ *�)�8d) ®�*�)�d F

Soit ��)� � �*�)�.

La démonstration est basée sur le lemme d’Itôlemme d’Itôlemme d’Itôlemme d’Itô :

Soit ��F�FOP une filtration, c’est-à-dire une suite de ®-algèbres telle que pour tout ) ã 0, �F ⊂ �FNI.

Soit � F� un mouvement brownien standard par rapport à ��F�FOP et soit ��F�FOP un processus

aléatoire solution de l’équation différentielle stochastique :

d�F �ÌFd) ®Fd F

Les processus �ÌF�FOP et �®F�FOP sont supposés adaptés par rapport à la filtration ��F�FOP.

Soit i une fonction �I,¬��N,�� à valeurs réelles.

Alors

i�), �F� � i�0, �P� « ¶¶4 i�4, �tFP �d4 « ¶¶% i�4, �tF

P �d�t 12« ¶²¶%²i�4, �tFP �d ¼ � ãt

Avec ¼ � ãF�� ®t¬FP d4 .

L’application de ce lemme à ��)�donne : d��)� � Ö2$� [ ®²4�*�)� [ $�*�)�2 ×d) ®2 d F

Lorsque *�)� est suffisamment petit, le premier terme domine les autres.

Si $� ¼ Á²¬ , le premier terme se retrouve donc négatif et le taux va rapidement devenir négatif

également.


ANNEXE 2. Démonstration de la formule du prix des actions du modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes donne explicitement le prix des actions à la date t par la formule :

�F � �Pexp ÕÖÌ [ ®²2 × ) ®C�)�Ø

DémonstrationDémonstrationDémonstrationDémonstration ::::

Dans le modèle de B&S, le prix d’une action évolue selon le processus :

d�F�F � Ìd) ®dC�)�

Avec :

- S� le prix de l’action à la date t; - Ì la rentabilité espérée ;

- ® la volatilité ;

- C�)� un mouvement brownien.

L’équation précédente peut s’écrire : dln��F� � Ìd) ®dC�)�

L’application du lemme d’Itô donne :

d ln��F� � 1St d�F [12 ∙ 1�F² d⟨�F, �F⟩

Or, d⟨�F, �F⟩ � ⟨d�F ,d�F⟩

� ⟨�FÌd) �F®dC�)�, �FÌd) �F®dC�)�⟩ � ⟨�FÌd), �FÌd)⟩ 2⟨�F®dC�)�, �FÌd)⟩ ⟨�F®dC�)�, �F®dC�)�⟩ � ⟨�F®dC�)�, �F®dC�)�⟩ ��F²®²⟨dC�)�,dC�)�⟩ � �F²®²d)

La formule précédente devient :

d ln��F� � 1St d�F [12 ∙ 1�F² �F²®²d)

d ln��F� � Ìd) ®dC�)� [®²2 d)

d ln��F� � ÖÌ [ ®²2 ×d) ®dC�)�

Or,


ln��m� [ ln��P� � « d ln��F� � «ÖÌ [ ®²2 ×d) «®dC�)�mP

mP

mP

L’intégration donne donc :

�ln��F��P# � $ÖÌ [ ®²2 × )%P# �®dC�)��P#

ln ;�m�PB � ÖÌ [ ®²2 ×� ®C��

Finalement, �m�P � exp ÕÖÌ [ ®²2 ×� ®C��Ø

La formule du prix de l’action à la date T est donc :

�m � �Pexp ÕÖÌ [ ®²2 ×� ®C��Ø

ANNEXE 3. Décomposition de Cholesky

Théorème de CholeskyThéorème de CholeskyThéorème de CholeskyThéorème de Cholesky ::::

Si � est une matrice symétrique définie positive, alors il existe au moins une matrice triangulaire

inférieure telle que : � � m

Il est possible d’imposer que les éléments diagonaux de la matrice soient tous positifs, dans ce cas la

décomposition est unique.

Application du théorèmeApplication du théorèmeApplication du théorèmeApplication du théorème :

Soient I et ¬ deux vecteurs gaussiens tels que :

I~��0, 1S� ¬~��#,��

Où 1S représente la matrice identité de dimension], �une matrice symétrique définie positive et # un

réel.

Il existe alors une unique matrice triangulaire inférieure à diagonale positive vérifiant :

� � m ¬ � # I

Démonstration:Démonstration:Démonstration:Démonstration:

- '� ¬� � '�# I� � # '� I� � #


- �$*� ¬� � '�� ¬ [ '� ¬�� ¬ [ '� ¬��m� � '��# I [ #��# I [ #�m� � '�� I�� I�m� � '� - I Im8 m� � '� I Im� m � m � �

¬ étant une fonction linéaire de I, un vecteur gaussien, alors ¬ est aussi un vecteur gaussien.

Application au cas particulier où Application au cas particulier où Application au cas particulier où Application au cas particulier où ( � ) ∶

Soit ø � +øIø¬øÂ,~��#,�� où � � � ®I¬ ®I®¬ÒI,¬ ®I®ÂÒI,Â®I®¬ÒI,¬ ®¬¬ ®¬®ÂÒ¬,Â®I®ÂÒI,Â ®¬®ÂÒ¬,Â ®Â¬ �

Avec :

- ρ.,/ : coefficient de corrélation entre les variables X. et X/. D’après le théorème de Cholesky, il existe une matrice � �EI,I 0 0E¬,I E¬,¬ 0EÂ,I EÂ,¬ EÂ,Â� telle que � � m .

Le système à résoudre est :

� ®I¬ ®I®¬ÒI,¬ ®I®ÂÒI,Â®I®¬ÒI,¬ ®¬¬ ®¬®ÂÒ¬,Â®I®ÂÒI,Â ®¬®ÂÒ¬,Â ®Â¬ � � �EI,I 0 0E¬,I E¬,¬ 0EÂ,I EÂ,¬ EÂ,Â� �EI,I E¬,I EÂ,I0 E¬,¬ EÂ,¬0 0 EÂ,Â�

� 0 EI,I¬ EI,IE¬,I EI,IEÂ,IEI,IE¬,I E¬,I¬ E¬,¬¬ E¬,IEÂ,I E¬,¬EÂ,¬EÂ,IEI,I EÂ,IE¬,I EÂ,¬E¬,¬ EÂ,I¬ EÂ,¬¬ EÂ,Â¬1

Il advient :

ÅÆÆÆÆÇÆÆÆÆÈ EI,I � ®IE¬,I � ®¬ÒI,¬

E¬,¬ � ®¬Ó1 [ ÒI,¬¬EÂ,I � ®ÂÒI,ÂEÂ,¬ � ®Â Ò¬,Â [ ÒI,¬ÒI,Â�1 [ ÒI,¬¬EÂ,Â � ®Âa1 [ ÒI,Â¬ [ -Ò¬,Â [ ÒI,¬ÒI,Â8¬1 [ ÒI,¬¬


Donc �233334®I 0 0®¬ÒI,¬ ®¬�1 [ ÒI,¬¬ 0

®ÂÒI,Â ®Â 5£,6�5¡,£5¡,6ÓI�5¡,££ ®Âa1 [ ÒI,Â¬ [ -5£,6�5¡,£5¡,68£I�5¡,££ 788889

ANNEXE 4. La Value at Risk (VaR)

La VaR est une mesure de risque. Elle correspond à un montant de perte probable. Pour calculer la VaR,

il faut spécifier deux paramètres, la période sur laquelle la variation de valeur est mesurée et le seuil de

confiance.

La VaR, de niveau α ∈[0;1] associée au risque X est donnée par l’égalité :

�$L�ø, �� 3~i�%/��ø � %� ã ��


ANNEXE 5. Courbes des taux fournies par le CEIOPS pour le QIS5

Courbe des taux sans risque (fin décembre 2009)

Maturité (en année)

Sans prime de liquidité

50% 75% 100%

1 1,210% 1,475% 1,608% 1,740% 2 1,786% 2,051% 2,184% 2,316% 3 2,193% 2,458% 2,591% 2,723% 4 2,506% 2,771% 2,903% 3,036% 5 2,757% 3,022% 3,154% 3,287% 6 2,970% 3,235% 3,368% 3,500% 7 3,158% 3,423% 3,555% 3,688% 8 3,325% 3,590% 3,722% 3,855% 9 3,473% 3,738% 3,871% 4,003% 10 3,605% 3,870% 4,003% 4,135% 11 3,721% 3,986% 4,118% 4,251% 12 3,821% 4,086% 4,218% 4,351% 13 3,904% 4,169% 4,302% 4,434% 14 3,973% 4,238% 4,371% 4,503% 15 4,028% 4,293% 4,425% 4,558% 16 4,069% 4,281% 4,387% 4,493% 17 4,098% 4,257% 4,336% 4,416% 18 4,115% 4,221% 4,274% 4,327% 19 4,123% 4,176% 4,202% 4,229% 20 4,121% 4,121% 4,121% 4,121% 21 4,112% 4,112% 4,112% 4,112% 22 4,097% 4,097% 4,097% 4,097% 23 4,077% 4,077% 4,077% 4,077% 24 4,053% 4,053% 4,053% 4,053% 25 4,026% 4,026% 4,026% 4,026% 26 3,997% 3,997% 3,997% 3,997% 27 3,967% 3,967% 3,967% 3,967% 28 3,936% 3,936% 3,936% 3,936% 29 3,905% 3,905% 3,905% 3,905% 30 3,875% 3,875% 3,875% 3,875% 31 3,849% 3,849% 3,849% 3,849% 32 3,828% 3,828% 3,828% 3,828% 33 3,812% 3,812% 3,812% 3,812% 34 3,800% 3,800% 3,800% 3,800% 35 3,790% 3,790% 3,790% 3,790% 36 3,783% 3,783% 3,783% 3,783% 37 3,779% 3,779% 3,779% 3,779% 38 3,776% 3,776% 3,776% 3,776% 39 3,774% 3,774% 3,774% 3,774% 40 3,774% 3,774% 3,774% 3,774%


ANNEXE 6. Chocs sur la courbe des taux

QIS4 QIS5

maturité up down up down

0.25 70% -75% 0.5 70% -75% 1 94% -51% 70% -75% 2 77% -47% 70% -65% 3 69% -44% 64% -56% 4 62% -42% 59% -50% 5 56% -40% 55% -46% 6 52% -38% 52% -42% 7 49% -37% 49% -39% 8 46% -35% 47% -36% 9 44% -34% 44% -33% 10 42% -34% 42% -31% 11 42% -34% 39% -30% 12 42% -34% 37% -29% 13 42% -34% 35% -28% 14 42% -34% 34% -28% 15 42% -34% 33% -27% 16 41% -33% 31% -28% 17 40% -33% 30% -28% 18 39% -32% 29% -28% 19 38% -31% 27% -29% 20 37% -31% 26% -29% 21 37% -31% 26% -29% 22 37% -31% 26% -30% 23 37% -31% 26% -30% 24 37% -31% 26% -30% 25 37% -31% 26% -30% 26 37% -31% 25% -30% 27 37% -31% 25% -30% 28 37% -31% 25% -30% 29 37% -31% 25% -30% 30 37% -31% 25% -30% 31 37% -31% 25% -30% 32 37% -31% 25% -30% 33 37% -31% 25% -30% 34 37% -31% 25% -30% 35 37% -31% 25% -30% 36 37% -31% 25% -30% 37 37% -31% 25% -30% 38 37% -31% 25% -30% 39 37% -31% 25% -30% 40 37% -31% 25% -30%


Bibliographie

Ouvrages

� Franck LE VALLOIS, Patrice PALSKY, Bernard PARIS, Alain TOSETTI - Gestion actif passif en

assurance vie, réglementation, outils, méthodes – Economica

� Frédéric PLANCHET, Pierre THEROND, Julien JACQUEMIN- Modèles financiers en assurance,

analyses de risque dynamiques – Economica

� John HULL – Options, futures et autres actifs dérivés, 6ème édition – Person Education France

� Damien LAMBERTON, Bernard LAPEYRE – Introduction au calcul stochastique appliqué à la

finance - Ellipses

Publications

� Journal officiel de l’Union européenne – Directive 2009/138/CE du Parlement européen et du

conseil du 25 novembre 2009 sur l’accès aux activités de l’assurance et de la réassurance et

leur exercice (solvabilité II)- 17/12/2009

� EUROPEAN COMMISSION – QIS5 Technical Specifications – 5/07/2010

� COMMISSION EUROPEENNE – Spécifications techniques du QIS4 – 31/03/2008

� ACAM – Analyses et synthèses : principaux enseignements de la quatrième étude quantitative

d’impact (QIS4) – décembre 2008

� ACP – Orientations Nationales Complémentaires aux Spécifications Techniques du QIS5

� OPTIMIND – Livre Blanc - Solvency II - Les Consultations Papers - 2ème vague- juillet 2009

� OPTIMIND – Livre Blanc - Solvency II - Les Consultations Papers - 3ème vague- février 2010

� CEIOPS – QIS5 : Questions & Answers

� ACP – FAQ Questions/Réponses- Solvabilité II : 5ème

étude d’impact


� FFSA – Rapport annuel 2009

� ACAM – Rapport d’activité 2008 – Les chiffres du marché français de l’assurance

� OPTIMIND – Dossier technique Solvabilité II : Limites et opportunités de la réforme – janvier

2010

� Rudy Palm – Utilisation du Bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l’estimation des

paramètres - 2006

Mémoires d’actuariat

� Chloé PARFAIT – La provision Best Estimate d’un contrat d’épargne en euros – Mémoire

Dauphine 2008

� Gael GOLLIARD – La réforme Solvabilité II en Epargne : Best Estimate et capital réglementaire –

ISUP 2009

� Frédérique HENGE – Rapprochement des concepts de la Valeur Intrasèque et du Capital

Economique en Assurance Vie – ULP 2006

� Thomas BRION – Modèles d’arbitrages dynamiques – EURIA 2009

� Eva BENROS – Solvabilité II : Calibrage des MCR/SCR dans le contexte QIS4 – ULP 2008

Supports de cours

� Anne SERRA – Gestion actif-passif d’une société d’assurance vie – Dauphine 2009-2010

� Sandrine HENON – Modèles de taux d’intérêt – Dauphine 2009-2010

� Alexandre STOJANOVIC – Introduction à Solvabilité II – Dauphine 2009-2010

� Delphine CHAUMEL – Théorie de l’assurance vie – Dauphine 2009-2010

Sites internet

� www.ffsa.fr


� www.acam-france.fr

� www.ceiops.org

� ec.europa.eu

� www.qis5.fr

� www.institutdesactuaires.com

� www.ressources-actuarielles.net

Conférences

� « Solvabilité II : du QIS5 à la mise en œuvre des piliers 2 et 3, les priorités de la feuille de route »

- Optimind en partenariat avec Caritat – 6 mai 2010

� « Rencontre avec l’ACP : échanges pratiques et opérationnels autour du QIS5 » - ACP et Institut

des Actuaires – 5 juillet 2010


Table des illustrations

Figure 1. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009 .............................................................. 12

Figure 2. Cotisations par catégorie de contrats en 2009 ..................................................................................... 13

Figure 3. Evolution des provisions mathématiques en montant .......................................................................... 14

Figure 4.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro ...................................... 14

Figure 5. Bilan d'une compagnie d'assurance vie .................................................................................................... 22

Figure 6. Bilan économique sous Solvabilité II ........................................................................................................ 26

Figure 7. Le processus Lamfalussy ............................................................................................................................ 27

Figure 8. Les 3 piliers de Solvabilité II ...................................................................................................................... 30

Figure 9. Chronologie des études quantitatives d'impact ..................................................................................... 33

Figure 10. Calendrier de la réforme Solvabilité II .................................................................................................. 34

Figure 11. Calendrier des étapes du QIS5 ................................................................................................................ 34

Figure 12. Schéma d'actualisation du Best Estimate ............................................................................................. 36

Figure 13. Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de liquidité ........ 37

Figure 14. Structure générale du SCR selon le QIS5 ............................................................................................. 40

Figure 15. Sous-modules du risque de souscription vie ........................................................................................ 42

Figure 16. Sous-modules du risque de marché........................................................................................................ 47

Figure 17. Schéma du modèle de simulation stochastique ................................................................................... 54

Figure 18. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations.............................. 58

Figure 19. Ajustement de la courbe des taux zéro-coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe

des taux sans risque du CEIOPS .................................................................................................................................. 61

Figure 20. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations ...... 63

Figure 21. Taux de rachat structurel en fonction de l'ancienneté du contrat ................................................. 66

Figure 22. Taux de rachat conjoncturel du QIS5 et du QIS4 en fonction de la différence entre le taux

servi par l'assureur et le TME ...................................................................................................................................... 67

Figure 23. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle ............................................................................ 68

Figure 24. Distribution de la participation aux bénéfices ..................................................................................... 74

Figure 25. Schéma de déroulement du modèle de simulation .............................................................................. 75

Figure 26. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation .................................................... 77

Figure 27. Evolution de la répartition des placements en fonction des arbitrages ........................................ 80

Figure 28. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC ...................... 83

Figure 29. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations ................................... 84

Figure 30. Répartition des actifs du fonds Euro ..................................................................................................... 87

Figure 31. Evolution des cours des deux actions du portefeuille ........................................................................ 87

Figure 32. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation ............................... 88

Figure 33. Répartition des assurés par âge et par sexe ....................................................................................... 89

Figure 34. Répartition des assurés par ancienneté ............................................................................................... 89

Figure 35. Flux moyens composant le Best Estimate (sur 1000 simulations) ................................................. 93


Figure 36. Schéma de convergence du Best Estimate ........................................................................................... 94

Figure 37. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate ......................... 95

Figure 38. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs .................................................................... 98

Figure 39. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs .................................................................... 99

Figure 40. Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5 ................. 104

Figure 41. Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5 ..................................................... 105

Figure 42. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5 .................................... 106

Figure 43. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5 .......................................................................... 106

Figure 44. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5 ........................................................................ 107

Figure 45. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités ........................................ 110

Figure 46. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel ................ 110

Figure 47. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l'âge des assurés ................................. 111

Figure 48. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture

du fonds Euro ................................................................................................................................................................ 112

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