Traitement du signal -...

1

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15

0.19Partie voisée du mot six (au mil ieu du mot)

0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot)

Cours - Travaux Dirigés etTravaux Pratiques de

Traitement du signal

Benoît [email protected]

2

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

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-0.01

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-0.01

0.00

0.01


Traitement du Signal

I) Introduction générale

Plan du cours

Cours � TD

Grandes parties :

Généralités sur les signauxAnalyse fréquentielle des signaux (Séries de Fourier, Transformée de Fourier�)Filtrage analogique et numérique(Transformée de Laplace�)

Dans chaque partie :

Approfondissements théoriques (T. Laplace, distributions, intégration�)Cas continu, cas discretCas des imagesApplicationsExercices

TP

Utilisation de Scilab

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0.00

0.01




Modalités de déroulementChaque séance : 1h-1h30 cours / 1h30-2h TPApproche pédagogique : très appliquée voire inductiveLogiciel/langage de programmation utilisé : ScilabTP par binôme, sur ordinateurs portables personnelsCompte-rendus de TP (1 par séance) :

Contenu :o réponses aux questions poséeso programmes écritso résultats de leur testo interprétation de ces résultats

Format fichiers : compatible MsWordNom fichier : TPn_Nom1Nom2.doc (n numéro du TP)Possibilité de compléter avant séance suivante ; envoi des compléments à :

[email protected]

EvaluationQCM de 5 à 10 questions en fin de chaque séance (10 mn) ; questions de cours, TD et TPCompte-rendus de TPExamen final

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-0.01

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0.01




Quelques généralités

Qu�est-ce qu�un signal ?

! une grandeur physique variant au cours du temps! une fonction mathématique (variable : le temps)

mais également�

! une image (variables : les 2 dimensions spatiales)

Qu�est-ce que le traitement du signal ?

! A la fois très théorique et très appliqué

Applications

! téléphonie, communications, audio-visuel, médecine�

Outils! ordinateur / logiciels-programmation "bas-niveau"! processeurs spécialisés (DSP)

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

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-0.01

0.00

0.01



II) Notions générales

II.1) Rappels

Signal sinusoïdal :

ou

avec :

A : amplitude ; ω pulsation (=2πf ; f=1/T) en rad/s ; φ : phase à l�origine (0<=φ<2π) en rad

Représentations :

temporelle fréquentielle

)tsin(A)t(s ϕ+ω=

f0

Spectre d�amplitude

A

f f0

Spectre de phase

φ

f

T

A

t

s(t)

t0=φ/ω

)2

tsin(A)tcos(A)t(s π+ϕ+ω=ϕ+ω=

6

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0.00

0.01




II.1) Rappels

Signal quelconque :

Représentations (exemple : mot "zéro") :

temporelle :

fréquentielle :

Spectre d�amplitude

7

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0.03

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-0.01

0.00

0.01




II.2) Caractéristiques des signaux

Valeur moyenne :

Valeur efficace :

Energie :

Puissance :

Instantanée :

Moyenne :

∫+

=Tt

tmoy0

0

dt)t(sT1S

∫+

=Tt

t

2eff

0

0

dt)t(sT1S

∫+

=Tt

t

2moy

0

0

dt)t(sT1P

)t(sP 2=

∫−= 2

1

t

t12

21moy dt)t(stt

1)t,t(S

signal périodiquesignal non périodique

2eff

t

t

2

1212

t,tmoy Sdt)t(s

tt1

ttE

P 2

1

21 =−

=−

= ∫

∫=2

121

t

t

2t,t dt)t(sE

∫−= 2

1

t

t

2

1221eff dt)t(s

tt1)t,t(S

Domaine continu

8

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-0.05

-0.01

0.03

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




II.2) Caractéristiques des signaux

Valeur moyenne :

Energie :

Puissance :

Instantanée : , n indice d�échantillon

Moyenne :

Domaine discret

Soit s={s1, s2, �sN} un signal discret composé de N échantillons. Par analogie avec le domaine continu, on peut définir les notions de valeur moyenne, d�énergie et de puissance (la somme continuese transforme en somme discrète ):

∑−

=

=1N

0nnmoy s

N1S

∑−

=

=1N

0n

2nsE

∫∑

2nn sP =

∑∑−

=

−

=

===1N

0nn

1N

0n

2n P

N1s

N1

NEP

9

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Principe

Tout signal s(t) périodique peut se décomposer sous la forme d�une somme de fonctions sinusoïdales (sinus-cosinus) dont les fréquences sont des multiples entiers n de sa fréquence, et et les amplitudes diminuent lorsque n augmente :

Avec , T période du signal et f0 sa fréquencea0 est la valeur moyenne du signal :

Les termes de la somme sont appelés harmoniques (partiels en musique) :

(n≥1)

Propriétés importantes

� Si la fonction s(t) est paire, bn=0 pour tout n>0.� Si la fonction s(t) est impaire, an=0 pour tout n≥0.

III) Séries de Fourier

III.1) Forme de base

))tnsin(bt)ncos(a(a)t(s 0n1n

0n0 ω+ω+= ∑∞

=

000 T

2f2 π=π=ω

∫=T

00 dt)t(sT1a

∫ ω=T

0 0n dt)tncos()t(sT2a

∫ ω=T

0 0n dt)tnsin()t(sT2b

10

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Exemple pour signal carré :

La décomposition donne :

, n impair (=0 pour n pair)

La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) :

∑∞

=

ωπ

=1n n

tnsina4)t(s

-AT/2

A

++∈−+∈

=[kTT,kT2/T[tpourA

[kT2/T,0[tpourA)t(s



11

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


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-0.02

-0.01

0.00

0.01



Exemple pour signal triangulaire :


, n impair (=0 pour n pair)




-AT/2

∈−−∈+

=[4/T3,4/T]tpourtA2

[4/T,4/T[tpourt)t(s

( )∑∞

=

− ω−π

=1n

22

1n

2 ntnsin)1(A8)t(s

12

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Exemple pour signal en dents de scie :



[kT2/T,kT2/T[tpourtTA2)t(s ++−∈=

-AT

A



∑∞

=

− ω−π

=1n

1n

n)tnsin()1(A2)t(s

13

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Représentations fréquentielles

Signal carré

, n impair

Signal triangulaire

, n impair

Signal en dents de scie

f0 3f0 5f0

bn

b1

b3 b5

f0 3f0 5f0

bn

f0 3f0 5f02f0 4f0

bn

∑∞

=

ωπ

=1n n

)tnsin(A4)t(s

∑∞

=

− ω−π

=1n

1n

n)tnsin()1(A2)t(s



( )∑∞

=

− ω−π

=1n

22

1n

2 ntnsin)1(A8)t(s

Spectres d�amplitude

f0 3f0 5f0

f0 3f0 5f0

f0 3f0 5f02f0 4f0

Spectres de phase

π

π

14

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Exemple d�un signal quelconque

Signal périodique quelconque (ici ni pair ni impair), de fréquence f0 :

peut se mettre sous la forme d�une somme de sinusoïdes et cosinusoïdes :

! Etonnant, non ?

s(t)

t0

)tncos(a)tnsin(ba)t(s1n

0n1n

0n0 ∑∑∞

=

∞

=

ω+ω+=

T0



15

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Remarques

Pour obtenir le triangle précédent, il a fallu alterner le signe des sinus :

Pour décaler ce triangle de �π/2, il aurait fallu utiliser des cosinus :



∑∞

=

ωπ

=1n

20

2 n)tncos(A8)t(s

( )∑∞

=

− ω−π

=1n

22

1n

2 ntnsin)1(A8)t(s

16

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Phénomène de Gibbs

Quand le nombre d�harmoniques tend vers l�infini, on obtient :

Explications

Convergence en moyenne quadratique :

Notons le signal décomposé :

alors

Mais pas convergence uniforme (=en tous points) :

ti t.q.



)tncos(a)tnsin(ba)t(s~1n

0n1n

0n0 ∑∑∞

=

∞

=

ω+ω+=)t(s~

∃

( ) 0dt)t(s~)t(slim 2

n=−∫

+∞

∞−∞→

( ) 0)t(s~)t(slim 2ii

n≠−

∞→

17

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

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0.03

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-0.01

0.00

0.01



III) Séries de FourierIII.2) Forme avec un seul coefficient

s(t) peut se mettre sous la forme suivante :

avec

et

Intérêt : séparation en spectre d�amplitude et spectre de phase :

∑∞

=

ϕ+ω+=1n

n0n0 )tncos(ca)t(s

2n

2nn bac +=

=ϕ

n

nn a

barctg

f0 3f0 5f02f0 4f0

|Cn|

a0

C1

C2C3 C4

f f0 3f0 5f02f0 4f0

arg(Cn)

φ1φ2

φ3φ4

f

φ5

18

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

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0.03

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



III) Séries de FourierIII.3) Forme complexe

En utilisant les formules d�Euler :

on obtient une nouvelle expression (complexe) du signal :

avec

Avantage : forme compacte

Interprétation : fréquences négatives (!)

∑∞

−∞=

ω=n

tjnnec)t(s

∫ ω−=T

0

tjnn dte)t(s

T1c

2eecos

jα−α +=α 2eej

j2eesin

jj α−αα−α −−=−=α

19

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Spectre de cos(ω0t) :

Spectre de sin(ω0t) :

Spectre du signal carré :

f0

Re(cn)

0,5

-f0 f

Im(cn)

f f0

|cn|

0,5

-f0 f

f0

Im(cn)

0,5

-f0 f

Re(cn)

f f0

|cn|

0,5

-f0 f

f0

Im(cn)

b1/2

-f0f

b3/2

-b1/2-b3/2

3f0

-3f0


20

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Représentation du passage de sin(ωt) à cos(ωt) :

Re

Im

f

sin cos


21

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

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-0.01

0.00

0.01




III.4) Formalisation

[ ])Ff()Ff(2j)f(S 00 −δ−+δ=

[ ])Ff()Ff(21)f(S 00 −δ++δ=

Exemples :

Cosinus :

Sinus :

Formalisation des spectres de fréquence, par utilisation de l�impulsion de Dirac :

+∞=δ )0( 0)0t( =≠δ 1dt)t( =δ∫+∞

∞−

=δ

→ Ttrect

T1lim)t(

0T

voir Théorie des Distributions

)t(δDéfinition de :

On peut l�obtenir par exemple de la manière suivante :

Importance de :

- permet de connaître la réponse impulsionnelle d�un système

(qui permet à son tour de connaître la réponse du système à n�importe quel signal)

- outil mathématique très utile (échantillonnage, Transformée de Fourier, etc)

)t(δ

)t(δ0

δ(t)

t

1

t0

δ(t-t0)

t

1

22

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




III.4) Formalisation

Propriétés de :)t(δ

)0(s)t().t(s ≠δ

)0(sdt)t().t(s =δ∫+∞

∞−

)t(sdt)tt().t(s 00 =−δ∫+∞

∞−

)tt().t(s)tt().t(s 000 −δ=−δ

∑+∞

−∞=

−δ=δk

T )kTt()t(

Peigne de Dirac

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−δ=−δkk

)kTt().kT(x)kTt().t(x

Utile pour l�étude de l�échantillonnage des signaux

)t().0(s)t().t(s δ=δ

23

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




III.5) Répartition de l�énergie

On peut démontrer la propriété suivante :

Il y a donc conservation de l�énergie en passant de la représentation temporelle à la représentation fréquentielle.

Avec les coefficients complexe ci :

C�est le théorème de Parseval (ou Besse-Parseval)

)ba(lim21adt)t(s

T1P 2

n2n

N

1nN

20

Tt

t

20

0

++== ∑∫=∞→

+

∑−=∞→

=N

Nn

2

nN

climP

24

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




III.6) Approfondissements théoriques

Rappels

Continuité

Une fonction est continue en un point si la valeur de la fonction en ce point est la même que l�on y arrive par la droite ou par la gauche.

Si le nombre de points de discontinuité sur un intervalle est fini, et qu�elle admet des limites finies à droite et à gauche, la fonction est continue par morceaux :

Exemple de fonction continue par morceaux : signal carré, signal en dents de scie�

Dérivabilité

Une fonction est dérivable en un point si sa dérivée en ce point est finie, soit si :

Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.

∞<−−=

→0

0

xx0 xx

)x(f)x(flim)x('f0

)x(flim)x(flim00 xxxx −+ →→

=

25

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Notions de convergence

Pour savoir si le signal approximé (noté ici) représente bien le signal original s(t), on définit plusieurs types de convergences.

Convergence en moyenne

Convergence en moyenne quadratique(=moyenne au sens de l�énergie)

Convergence uniforme

Convergence ponctuelle (=convergence simple)

Il en existe d�autres� (voir plus tard)

On étudie la limite de ces quantités, quand

Pour avoir convergence, il faut que cette limite tende vers 0.

)t(s~

( ) dt)t(s~)t(sI

2∫ −

dt)t(s~)t(sI∫ −

( ) It,)t(s~)t(ssup ∈−

∞→n

It,)t(s~)t(s ∈∀−

26

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Notions de convergence

Exemple

Soit sn(t) une suite de signaux définis sur [0,1] par :et s(t) le signal défini par :

Convergence simple On cherche si sn(t) s(t) quand On a : donc il y a convergence simple

Convergence uniforme

Pour n fixé, donc on n�a pas convergence uniforme.

Convergence en moyenne quadratique

Donc on a la convergence en moyenne quadratique. On aurait pu montrer de la même manière qu�on a la convergence en moyenne

nn t)t(s =

=∈=

1)1(s[1,0[tpour0)t(s

∞→n→

0)t(s)t(s,It n →−∈∀

1n =5n =

t

)t(sn

)t(s

∈∀=−=−

[1,0[tt)t(s)t(s0)1(s)1(s

nn

n

1tlim)t(s)t(slim n

1t1tn

==−→→

( ) [ ] ∞→→+

=+

==− +∫∫ nqd01n2

1t1n2

1dttdt)t(s)t(s 10

1n21

0

n21

0

2n

27

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Signaux décomposables en SF

Signaux intégrables (ou sommables) : espace L1(t1,t2)

Signaux de carré intégrables : espace L2(t1,t2)

Intérêt de cet espace :- notion d�énergie- notion d�orthogonalité- notion de projection

Condition d�application de la décomposition en SF : s(t) L1(0,T) ou L2(0,T)

∞<∫ dt)t(s2

1

t

t

2

∞<∫ dt)t(s2

1

t

t

∈

28

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Bases orthogonales

Rappel : produit scalaire

2 fonctions x(t) et y(t) sur l�intervalle [t1,t2] :

2 vecteurs et

Produit scalaire sur [0,T] de 2 fonctions exponentielles et :

Les fonctions forment une base orthogonale

Développement en série : cas général

avec

Cas des séries de Fourier :

0dtee)t(y),t(xT

0

tjntjn 21 =>=< ∫ ω−ω

tjn2e)t(y ω=tjn1e)t(x ω=

∫>=< 2

1

t

tdt)t(y)t(x)t(y),t(x

{ }n21 x,...,x,xx = { }n21 y,...,y,yy = i

n

0iiy.xy.x ∑

=

=

tjne)t(x ω=

∑+∞

=

Φ=1n

nn )t(a)t(s ∫ Φ>=Φ=<T

0 nnn dt)t(s),t(sa 0, *lk >=ΦΦ< lk,l,k ≠Ζ∈∀

tjnn e ω−=Φ

Ζ∈∀ 21 n,n

29

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



IV) Transformée de Fourier

IV.1) Définition

Définition

Comparaison avec Transformée de Laplace :

Fourier cas particulier de Laplace avec :

Transformée inverse :

Condition d�application :

( ) ∫+∞

−∞=

π−==t

ft2j dte)t(s)t(sF)f(S

( ) ∫+∞

=

−−

==0t

ptdte)t(s)t(sL)p(S ω+σ= jp

ω= jp

( ) ∫+∞

−∞=

π− ==f

ft2j1 dfe)f(S)f(SF)t(s

∞<∫+∞

−∞=tdt.)t(x

30

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.2) Propriétés

Linéarité

Parité

Cas d�un signal réel :� Si s(t) est une fonction paire, alors S(f) est une fonction paire et réelle.� Si s(t) est une fonction impaire, alors S(f) est une fonction impaire et imaginaire.� Si s(t) n�est ni paire ni impaire, alors S(f) comporte une partie réelle paire et une partie imaginaire

impaire.Remarque : le signal peut être complexe (purement théorique)

Changement d�échelle (ou homothétie)

Dérivation

Intégration

)f(Y.b)f(X.a)t(y.b)t(x.a F +→←+

→←

afX

a1)at(x F

)f(X.)f2j(dt

)t(xd nFn

n

π→←

)f(X.j1d).(x F

t

0ω

→←ττ∫

31

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.2) Propriétés

Translation

a) temporelle

avec b) Fréquentielle

Théorème de Parseval (ou de Bessel-Parseval)

Convolution

Densité spectrale de puissance

ℜ∈a

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−= df)f(Sdt)t(s 22

)af(Xe).t(x Fat2j −→←π

af2jF e).f(X)at(x π−→←−

)f(Y).f(X)t(y*)t(x F→

)f(Y*)f(X)t(y).t(x F→ ∫+∞

−∞=−=

udu)ut(x)u(y)t(y*)t(x

Rappel :

2)f(S

Conservation de l�énergie

32

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.2) TF de quelques signaux courants

Tableau de transformées

S(f)=F[s(t)]s(t)

[ ])ff()ff(21

00 −δ++δ)tf2cos()t(s 0π=

)tf2sin()t(s 0π= [ ])ff()ff(2j

00 −δ−+δ

=ΠTtrect)

Tt(

Tttri

)Tf(csinT

)Tf(csinT 2

∑+∞

−∞=

−δ=δn

T )nTt()t( )f(T1)

Tnf(

T1

T1

n

δ=−δ∑+∞

−∞=

)f(δ

)t(δ 1

1

33

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.2) TF de quelques signaux courants

Quelques démonstrations

Signal porte

Rappel :

Signal sinusoïdal

∫+∞

−∞=

π−=t

ft2j dte)t(s)f(S

[ ] [ ] [ ] )Tf(csinATfTsinf

Aeef2j

Aeef2j

Aef2j

AdteA fTjfTjfTjfTj2/T2/T

ft2j2/T

2/Tt

ft2j =ππ

=−π

=−π

−=π

−== π−πππ−+−

π−+

−=

π−∫

xxsin)x(csin

ππ=

[ ] )ff(Xe).t(xF 0tf2j 0 −=π

[ ] )f(1F δ=[ ] )ff(eF 0

tf2j 0 −δ=π

( ) ( ))ff()ff(21)e(F)e(F

21))tf2(cos(F)f(S 00

tf2jtf2j0

00 +δ+−δ=+=π= ππ

34

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.3) Lien avec séries de Fourier

Principe

Dans le cas d�un signal non-périodique, on peut considérer qu�il est périodique en faisant :

Détail

On reprend l�expression de la forme complexe :

avec

Ré-écriture :

avec

∑+∞

−∞=

π=

n

tTn2j

nec)t(s ∫−π−

=2/T

2/T

tTn2j

n dte).t(sT1c

∑+∞

−∞=

π=

n

tTn2j

0 e).nf(S)t(s ∫−π−

=2/T

2/T

tTn2j

0 dte).t(sT1)nF(S

∞→T

f0 3f0

|Cn|

f-f0 00 T t 2f0

SF f0=1/Ts(t)

35

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.3) Lien avec séries de Fourier

Finalement :

avec

Interprétation :

|S(f)|

f00 t

TFs(t)

∑ ∫+∞

−∞=

π

−

τπ−

ττ=

n

tTn2j2/T

2/TTn2j

T1ede).(s)t(s

dfe.de).(s)t(s ft2jf2j π+∞

∞−

τπ−+∞

∞−

ττ= ∫∫

( ) ∫+∞

∞−

π− == dfe).f(S)f(SF)t(s ft2j1 ( ) ∫+∞

∞−

π−== dte).t(s)t(sF)f(S ft2j

36

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01




IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Définitionsk=0, 1, �, N-1

ou avec

TFD inverse (TFD-1): k=0, 1, �, N-1

Propriétés

Signification des indices

Entrées

Sorties

∑−

=

π−=

1N

0n

Nnk2j

e)n(xN1)k(X

∑−

=

=1N

0n

knNW)n(x

N1)k(X N

nk2jnkN eW

π−=

∑−

=

−=1N

0k

knNW)k(X)n(x

[ ]1N;0 −

[ ]1N;0 − [ ]eT)1N(;0 −

−

Nff;0 e

e

37

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Echantillonnage

Consiste à relever les valeurs d�un signal à intervalles de temps réguliers : la période d�échantillonnage fe.

Exemple : CD audio, son échantillonné à fe=44100Hz.

Conséquence de l�échantillonnage : réplication périodique du spectre

D�où la condition d�échantillonnage de Shannon (ou de Nyquist) :

-2fe -fe fe 2fe0

Bon

Mauvais

maxe f2f >

0 fe 2fe-2fe -fe fmax

0 fmax

maxe f2f >

maxe f2f <

spectre du signal continu

échantillonnage

38

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Effet de la troncature du signal

TF

TF

t

t f

s(t)

s(t)

|S(f)|

f

|S(f)|Nombre de périodes infini : théorique

En pratique : nombre de périodes fini

39

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Effet de la troncature du signal (suite)

Explications

1) On a déjà vu la transformée d�un produit :

Ici, la troncature du signal est équivalente à une multiplication par un signal porte :

ta durée d�analyse

Transformée :

d�où, dans le cas d�un sinus :

soit

2) Cette dernière expression est obtenue par utilisation de la propriété de translation du produit de convolution (voir plus loin) :

)f(Y*)f(X)t(y).t(x TF→←

)t/t(rect)t(s)t(rect)t(s)t(s att aa×=×=

)ft(csint*)f(S)f(S aata=

[ ] [ ])ft(csint*)ff()ft(csint*)ff(21)f(S)Ff()Ff(

2j)f(S aa0aa0t

TF00 a

−δ−+δ=→←−δ−+δ=

[ ] [ ])t)ff((csint)t)ff((csint21)f(S)Ff()Ff(

2j)f(S a0aa0at

TF00 a

−−+=→←−δ−+δ=

)xx(f)xx(*)x(f 00 −=−δ

40

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





En résumé�.

Pour pouvoir interpréter correctement les résultats de la programmation de la TFD, il faut prendre en compte :

- l�effet de la troncature du signal (sinus cardinaux au lieu d�impulsions de Dirac)- l�effet de l�échantillonnage (répétition périodique du spectre)- la signification des indices des points de sortie de la TFD

résumés sur le schéma suivant :

TF

t f

s(t) im(S(f))

échantillonné à Te échantillonné à fe=1/Terésolution spectrale : fe/N

fe/2 fe

N points N points

NTe

41

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Améliorations par fenêtrage (ou apodisation)

On peut atténuer les effets du fenêtrage en utilisant une fenêtre moins abrupte que la fonction porte.Il existe plusieurs types de fenêtres possibles, dont voici 2 exemples courants :

Fenêtre de Hamming

Fenêtre de Hanning

TF

t

f

s(t)

im(S(f))

fe/2 fe

( )tf2cos46,054,0)t(f 0π+=

( )( )tf2cos15,0)t(f 0π+=

t

s(t)

x

=

s�(t)

42

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT)

Il s�agit d�un algorithme de calcul rapide de la TFDIl est basé sur des simplifications des calculs permises par les propriétés de l�exponentielle.

Rappels

L�objectif est de calculer avec , k=0,1,2,�,N

Développement selon n :, k=0,1,2,�,N

puis selon k :

��.

Forme matricielle :

∑−

=

=1N

0n

knNW)n(x

N1)k(X N

nk2jnkN eW

π−=

)1N(xw...)1(xw)0(xw)k(X k)1N(N

k1N

k0N −+++= ×−××

)1N(xw...)1(xw)0(xw)0(X 0)1N(N

01N

00N −+++= ×−××

)1N(xw...)1(xw)0(xw)1(X 1)1N(N

11N

10N −+++= ×−××

)1N(xw...)1(xw)0(xw)1N(X )1N()1N(N

)1N(1N

)1N(0N −+++=− −×−−×−×

−−

=

−−

−×−−×−−×

−×−−×

×−×−×

)1N(x)2N(x

...)0(x

ww...ww......w

............ww...w

)1N(X)2N(X

...)0(X

)1N()1N(N

)1N()2N(N

)1N(0N

)2N()1N(N

)2N(0N

0)1N(N

0)2N(N

00N

[ ] [ ][ ]XWX =

43

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01






Exercice

1) Calculer la matrice des facteurs de phase dans le cas d�un signal de 4 points.

2) Calculer la TFR du signal défini par :

x(n), n=0,�,3 :

3) Interpréter les résultats (en prenant en compte que ce signal peut être considéré comme une période de signal sinusoïdal)

4) Recommencer avec le signal suivant :

-1010

-1010-1010

44

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01






Exemples

TFD

0 1 7

1Im(S(f))

1 7

0,5

-0,5

0 7

1

TFD

|S(f)|

1 7

0,5

Re(S(f))

7

0,5

|S(f)|

1 7

0,5

1

sin(2πft)

cos(2πft)

1

45

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01






Principe

On reconnaît 2 TFD de N/2 points : celle des termes d�indices pairs et celle des termes d�indices impairs ; seuls les sorties de ces derniers sont multipliées par un facteur de phase.

coût de calcul moindre

En répétant cette opération jusqu�à obtenir des TFD de 2 points, on obtient une forte réduction du coût de calcul :

au lieu de

k2/N

k2N W

2N

k2jexpN

k22jexpW =

π−=

π−=

kN

12/N

0n

kn

2N

kn

2N

12/N

0n

WW)1n2(xW)n2(x)k(X

++= ∑∑

−

=

−

=

)1n2(kN

12/N

0n

12/N

0n

n2kN W)1n2(xW)n2(x)k(X +

−

=

−

=∑∑ ++=

kN

12/N

0n

n2kN

12/N

0n

n2kN WW)1n2(xW)n2(x)k(X

++= ∑∑

−

=

−

=

NLog2N

22N

46

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01






Structure (exemple pour 8 points)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

02W

02W

02W

02W 1

4W

14W

04W

04W

08W18W28W38W

papillon

47

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Analyse spectrale

Principe

En pratique

Chevauchement des trames

Choix de la taille de la fenêtre

Compromis temps (durée la plus courte possible) � fréquence (durée la plus grande possible)

t(nTe)

FFT FFT FFT FFT

fenêtrage ××××

signal

s(n)

spectrogramme

(image obtenue avec Matplot de Scilab)

t

f

tramage

48

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Reconstruction du signal original

Modifications possibles :

- Etirement temporel (time stretching)Intérêt : changer la durée du signal sans changer son contenu fréquentiel

- Transposition de fréquence par décalage du spectre (pitch shifting)Intérêt (exemple) : changer la hauteur d�unevoix sans changer son timbre

- Modification du spectre (diminution ouréhaussement de l�énergie dans certaines bandes de fréquences, etc), et notamment filtrage (mais attention aux pentes raides !)

nTe

FFT FFT FFT FFT

fenêtrage ××××

signal

s(n)

FFT-1

spectrogramme

FFT-1 FFT-1 FFT-1

nTe

s(n)+

49

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Application aux images

Transformée directe

p=0,1,�,M-1 et q=0,1,�,N-1

m et n : dimensions spatiales de l�image originale (positions)p et q : dimensions de l�image transformée (fréquences spatiales)

F(0,0) : composante continue = valeur moyenne des pixels

Transformée inverse

m=0,1,�,M-1 et n=0,1,�,N-1

Nnq2j1M

0m

1N

0n

Mmp2j

e.e).n,m(f)q,p(Fπ−−

=

−

=

π−

∑∑=

Nnq2j1M

0p

1N

0q

Mmp2j

e.e).q,p(FMN1)n,m(f

π−

=

−

=

π

∑∑=

50

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Application aux images

Explication :

TF2D

=ΠTtrect)

Tt( )Tf(csinT

TF

T2T

51

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01





Applications concrètes

Prothèse auditive

Un petit boîtier monté sur ou dans les oreilles intègre un processeur spécialisé dans le traitement du signal (DSP), réalisant une TFR. Différents paramètres du spectre de fréquences obtenu peuvent alors être modifiés, en fonction des besoins de l�utilisateur :

· l�énergie du signal dans les bandes de fréquence,

· modification du contenu spectral (pitch et voisement),

· modification de l'enveloppe spectrale,

· modification du rythme temporel.

Un signal temporel modifié est alors re-synthétisé et généré en son.

52

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01






Spectroscopie à infra-rouge (IR)

La spectroscopie IR est basée sur l'absorption d'un rayonnement infrarouge par le matériau analysé. Elle permet via la détection des vibrations caractéristiques des liaisons chimiques, d'effectuer l'analyse des fonctions chimiques présentes dans le matériau. Permet de déterminer la présence ou l�absence de composés chimiques.

La spectroscopie IR à Transformée de Fourier (ou FTIR : Fourier Transformed InfraRed Spectroscopy) transforme un interférogramme (intensité en fonction de la position d�un miroir) ensectre infrarouge.

TF

53

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01






Format d�images JPEG

Compression :

Décompression :

Les mêmes étapes mais en sens inverse.

54

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction

Objectifs

En général : laisser passer certaines choses et en retenir d�autres.

En traitement du signal : ces choses = plages (ou bandes) de fréquences.

Nuance : filtrage actif = augmenter (l�énergie de) certaines bandes de fréquences.

Exemple : filtrage passe-bas : ne laisse passer que des basses fréquences.

Définitions

Un filtre est un système linéaire. Il peut être décrit par

- une équation différentielle linéaire

- une fonction de transfert de Laplace

- un produit de convolution avec sa réponse impulsionnelle

Ces 3 descriptions sont équivalentes.

En général, le système est stationnaire : coefficients de l�équa. diff. constants.

55

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction

Définitions

e(t) entrée s(t) sortie h(t) réponse impulsionnelle (à δ(t))

E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)]

Représentations

)p(E)p(S)p(H =

)j(E)j(S)j(H

ωω=ω

)t(eb)t(sa...dt

)t(sdadt

)t(sda 00n

1n

1nn

n

n =+++−

−

∫+∞

∞−

τττ−== d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

Domaine temporel Domaine fréquentiel (complexe)

p=jω)t(h

TL

TLEquation différentielle

Réponse impulsionnelle

Réponse générale

Fonction de transfert de Laplace

Fonction de transfert harmonique

56

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction

Propriétés

e(t) filtre s(t)

Un filtre est un système linéaire, stationnaire.

Un filtre physiquement réalisable est causal.

Linéarité

a1e1(t)+a2e2(t) → a1s1(t)+a2s2(t)

Stationnarité

e(t-t0) → s(t-t0)

Causalité

δ(t) → h(t)=0 pour t<0

57

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction

Transformée de Laplace

Définition

s(t) causal

Propriétés

Linéarité

Retard

Dérivée

Le 2e terme correspond aux conditions initiales. Il est souvent pris nul.

{ } ∫+∞ −==

0

ptdte)t(s)p(S)t(sL

)p(Y.b)p(X.a)t(y.b)t(x.a L +→←+

+==−

−−∑

−=

0t

n

1i1i

1iinn

n

n

dt)t(sd.p)p(S.p

dt)t(sdL

)p(Xe)tt(x ptL0

0−→←−

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction


Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale

Théorème de la valeur initiale

Théorème de la valeur finale

Convolution et transformée de Laplace

)0(f)t(flim)p(pFlim0tp

+

→∞→==

+

)t(flim)p(pFlimt0p ∞→→

=

)p(Y).p(X)t(y*)t(x L→

)p(Y*)p(X)t(y).t(x L→

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction


Transformée de quelques signaux courants

S(p)=L[s(t)]s(t)

)t(δ 1

)t(up1

)t(u.t 2p1

)t(u).tsin(ω22p ω+

ω

)t(u).tcos(ω22p

pω+

)t(u.e at−

ap1+

)t(u.t.e nat−1n)ap(

1++

)t(u).tsin(.e t ωα−22)p()jp)(jp( ω+α+

ω=ω−α+ω+α+

ω

60

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

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-0.01

0.03

0.07

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.1) Introduction


Exercice

1) Calculer la transformée de Laplace de l�échelon unité u(t) (=1 pour t 0, 0 pour t<0)

2) Calculer la transformée de Laplace d�une impulsion de Dirac décalée : δ(t-t0)

≥

61

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.2) Réponse impulsionnelle

Importance

Permet de caractériser complètement un système, par le biais de :

- sa réponse à n�importe quel signal, de n�importe quelle fréquence

- sa fonction de transfert de Laplace

Lien entre réponse impulsionnelle et fonction de transfert

Réponse du système à une entrée quelconque e(t) : produit de convolution

Rappel

↔ l�impulsion de Dirac comporte toutes les fréquences

∫+∞

∞−

τττ−== d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

)p(H)t(h LaplacedeeTransformé →

1)t( FourierdeeTransformé →δ

62

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.2) Réponse impulsionnelle

Remarque : l�impulsion de Dirac δ(t) n�est pas une fonction, mais une distribution

Rappel : δ(t) est définie par :

Une distribution permet de définir indirectement une fonction : par une fonctionnelle :Soit φ une distribution, la fonctionnelle de f, Tf est définie par :

φ peut être quelconque, mais doit être :- à support borné (=nulle en dehors d�un intervalle borné)- indéfiniment dérivable

La théorie des distributions permet de formaliser, entre autres :- de définir la dérivée de fonctions non dérivables, ex. de l�échelon :- la représentation fréquentielle des signaux sinusoïdaux :- la représentation fréquentielle de l�impulsion de Dirac

(qui comporte toutes les fréquences) :- l�opération d�échantillonnage : - etc.

+∞=δ )0( 0)0t( =≠δ 1dt)t( =δ∫+∞

∞−

∫+∞

∞−

ϕ=ϕ dt)t()t(f)(Tf

1)t( F→δ

[ ])ff()ff(2j)tf2sin( 00

F0 −δ−+δ→π

)t()t(u dt/d δ →

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−δ=−δkk

)kTt().kT(x)kTt()t(x

63

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.3) Description d�un filtre par une équation différentielle

Cas général

e(t) signal d�entrée

s(t) signal de sortie

Nb≤Na

Résolution

Principe : utilisation de la propriété de dérivation de la transformée de Laplace (TL) :

où : f(t) une fonction du temps

F(p) sa transformée de Laplace

(pour simplifier, les conditions initiales sont ici prises nulles)

Etapes de résolution :

- on applique cette propriété à e(t), s(t) et leurs dérivées respectives

- on exprime S(p) en fonction de E(p)

- on remplace E(p) par son expression

- par TL inverse, on détermine alors s(t), la réponse à e(t)

)p(Fpdt

)t(fd nTLn

n

→←

∑∑==

=ba N

0nn

n

n

N

0nn

n

n dt)t(edb

dt)t(sda

64

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Cas du 1er ordre

Exemple d�équation différentielle :

Transformée de Laplace (en supposant les conditions initiales nulles)

Résolution pour e(t)=δ(t) (δ(t)=impulsion de Dirac, donc s(t)=réponse impulsionnelle) :

-remplacement de E(p) par 1 (=TL(δ(t))

-consultation de la table des transformées

=h(t), notation habituelle de la réponse impulsionnelle

)t(e.b)t(s.adt

)t(ds =+

ate.b)t(s −=

)p(E.b)p(S.a)p(pS =+

)p(E.b)ap)(p(S =+

))p(H(ap

b)p(E)p(S =

+=

V) Filtrage


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0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Exemple du 1er ordre : circuit RC

R : résistance

C : condensateur

i(t) : courant

e(t), s(t) : tensions

Equation différentielle

Résolution pour e(t)=δ(t) (→ réponse impulsionnelle)

e(t) s(t)R

C

R)t(s)t(e)t(i −=

dt)t(dsC)t(i =

)t(e)t(sdt

)t(dsRC =+

RCt

eRC1)t(s

−=

i(t)

V) Filtrage


66

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Cas du 2e ordre

Exemple d�équation différentielle :

Transformée de Laplace :

)t(e)t(sadt

)t(dsadt

)t(sda 012

2

2 =++

)p(E)p(Sa)p(pSa)p(Spa 012

2 =++

)p(E)apapa)(p(S 012

2 =++

))p(H(apapa

1)p(E)p(S

012

2

=++

=

2

0

2

122aap

aap

1.a1

++=

V) Filtrage


67

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage


Cas du 2e ordre : résolution (pour une entrée donnée e(t))

Pour e(t)= δ(t) : E(p)=1

→ s(t) réponse impulsionnelle

! ∆>0 : 2 racines réelles r1 et r2

! ∆ =0 : 1 racine réelle double r

! ∆ <0 : 2 racines complexes conjuguées r1,2=α+jβ

c, d des constantes

De même, on peut remplacer E(p) par la TL de n�importe quel signal

→ s(t) réponse du système à ce signal

( )ϕ+β= α tcose.c)t(s t

rte).dct()t(s +=

trtr 21 dece)t(s +=

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

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0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage


Exemple du 2e ordre : circuit RLC

Equation différentielle :

Résolution pour e(t)=δ(t) (→ réponse impulsionnelle)

! m>1

! m=1

! m<1

e(t) s(t)R

C

)t(e)t(sdt

)t(dsm2dt

)t(sd 2002

2

=ω+ω+ LC1

0 =ωLC

2Rm =

( )

π−−ω

−ω= ω−

2tm1cose

m11)t(s 2

0tm

20

0

t1

0e.t)t(s ω−

=

−

−ω= −+ω−−−ω− t)1mm(t)1mm(

20

20

20 ee

1m21)t(s

L

69

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.4) Fonction de transfert

Fonction de transfert (ou transmittance) de Laplace

Permet de connaître la réponse du filtre à n�importe quel signal d�entrée

Fonction de transfert harmonique

↔ Régime sinusoïdal (ou régime harmonique)

Permet de connaître la réponse en fréquence

Gain en décibel (dB) et phase

Remarque : représente un gain sans unité, ou gain en amplitude

Rappels : module et phase d�un complexe

)p(E)p(S)p(H =

)j(H)p(H jp ω →← ω=

)j(Hlog20)(G ω=ω )j(Garg)( ω=ωϕ

jbaz += 22 baz +=

==ϕ

abarctg)zarg()z(

)j(H ω

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0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage


Fonction de transfert harmonique (suite)

Représentation graphique : diagramme de Bode

Axe des abscisses logarithmique

la longueur d�une décade est constante

Avantages

1) Précision sur les petites valeurs du gain

2) Mise en série de fonctions de transferts élémentaires

Les courbes de gain et de phase s�ajoutent (et notamment les pentes des variations)

)j(E)j(S)j(H

ωω=ω

n21 H....HHH ×××= )H....HHlog(20Hlog20 n21 ×××= n21 Hlog20....Hlog20Hlog20 +++=

12 f10f = )f10(logflog 110210 = )f(log10logflog 11010210 += )f(log1flog 110210 +=

H1 H2 Hn

)H....HHarg(Harg n21 ×××= n21 Harg....HargHarg +++=

71

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage



Exemple d�un filtre passe-bas du 1er ordre

Gain en amplitude (sans unité) :

Gain en décibels (dB) :

Phase :

c

j1

1)j(E)j(S)j(H

ωω+

=ωω=ω

2

c

1

1)j(H

ωω+

=ω

( )

ωω+−=

ωω+−=

ωω+

=

ωω

=ω=ωϕcc

c

j1arctgj1arctg)1(arctgj1

1arctg)j(HRe()j(HIm(

arctg)j(Harg)(

ωω+−=

ωω+−=

ωω+

=ω=ω2

c10

2

c10102

c

1010dB 1log101log20)1(log20

1

1log20)j(Hlog20)(H

72

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage



Fréquences de coupure

Diminution de la puissance de moitié

↔ diminution du gain en dB de 3

↔ multiplication du gain en amplitude (=|H(jω)|) par (≈0,7)

Démonstration :

↔

↔

↔

2/1

3)j(Hlog20)(G −=ω=ω

3)j(Hlog20 −=ω

203)j(Hlog −=ω

21

10

110)j(H203

203

===ω−

73

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage



Exemple d�un filtre passe-bas du 1er ordre (pour f0=300Hz) :

Gain en dB :

Phase (en rad) :

(figure obtenue par la fonction bode de Scilab)

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

)j(Hlog20)(HdB ω=ω

ωω

=ωϕ)j(HRe()j(HIm(

arctg)(

pente=-20dB/décade

74

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage



Exemple d�un filtre passe-bas du 2e ordre (pour f0=300Hz) :

Gain en dB :

Phase (en rad) :

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

)j(Hlog20)(HdB ω=ω

ωω

=ωϕ)j(HRe()j(HIm(

arctg)(

75

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage


Filtres élémentaires

1er ordre

passe-bas : passe-haut :

2e ordre


passe-bande : coupe-bande (*) :

(*) ou réjecteur de bande

0

j1

1)j(H

ωω+

=ω

0

0

j1

j)j(H

ωω+

ωω

=ω

2

00

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

2

00

0

jj21

j2)j(H

ωω+

ωωξ+

ωωξ

=ω

2

00

2

0

jj21

j)j(H

ωω+

ωωξ+

ωω

=ω

2

00

2

1

jj21

j1)j(H

ωω+

ωωξ+

ωω+

=ω

76

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Décomposition des fonctions de transfert

Décomposition sous forme de produit

Une fonction de transfert d�ordre n quelconque peut se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires d�ordres 1 et 2 (les ordres s�ajoutent).

Exemple : ordre 5

→ importance de l�étude des filtres d�ordre 1 et 2

On utilise cette décomposition pour obtenir le diagramme de Bode de la fonction de transfert harmonique (en jω).

2 2 15

V) Filtrage


=

77

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Décomposition des fonctions de transfert (suite)

Décomposition sous forme de somme (=en éléments simples)

avec

ou

(pi : pôles simples) (pi : pôles multiples, d�ordre q)

Cette décomposition correspond à des blocs élémentaires disposés en parallèle.

On utilise cette décomposition pour déterminer la réponse du système à un signal d�entrée quelconque(permet d�utiliser des transformées connues, à partir de la table des transformées).

1

1

1

3

012

21n

1nn apapapap

k)p(H++++

= −− ( ) ( ) ( )n

n

2

2

1

1

ppA...

ppA

ppA

−++

−+

−=

( )[ ]ippii pp)p(FA =−=

V) Filtrage


=

ipp1q

qi

1q

1q,i dp))pp)(p(F(d

)!1q(1A

=−

−

−

−−

=

78

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Formule des résidus

Un pôle peut être multiple. Par exemple, dans la fraction rationnelle suivante, pi est un pôle d�ordre q :

Sa décomposition en éléments simples donne :

avec

��.

Remarque : 0!=1

Exercice : décomposer en éléments simples :

( ) ( ) ( )nq

i1 pp...pp...pp1

)p(E)p(S

−−−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n

i

1q,i1q

i

1,iq

i

0,i

1

1

ppA...

ppA

...pp

App

A...

ppA

)p(E)p(S

−++

−++

−+

−++

−= −

−

[ ]ipp

qi0,i )pp)(p(FA =−=

ipp

qi

1,i dp))pp)(p(F(d

!11A

=

−=ipp

2

qi

2

2,i dp))pp)(p(F(d

!21A

=

−=

ipp1q

qi

1q

1q,i dp))pp)(p(F(d

)!1q(1A

=−

−

−

−−

=

3)1p(p)p(F+

=

V) Filtrage


79

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage


Exercice

Soit une fraction rationnelle définie par :

1) Déterminer sa transformée de Laplace inverse (en la décomposant préalablement en fonctions de transfert élémentaires)

2) En déduire la réponse impulsionnelle d�un système possédant F(p) pour transmittance.

3) Calculer la réponse de ce système à un signal échelon u(t), de 2 manières différentes :

- transformée de Laplace inverse

- produit de convolution avec réponse impulsionnelle

Représenter graphiquement cette réponse.

4) Représenter le diagramme de Bode de la fonction de transfert harmonique correspondant à F(p).

2p3p1)p(F 2 ++

=

80

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Exemple de programmation avec Scilab

Exemple

num=1;den=poly([1 2.61 3.41 2.61 1], "s", "coef");sys=syslin('c', num, den)bode(sys, 0.0001, 0.3);

1p61,2p41,3p61,2p1)p(H 234 ++++

=

V) Filtrage


81

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Autre exemple de programmation avec Scilab

Autre exemple

f=[0:1:10000]; f0=300;w=2*%pi*f;w0=2*%pi*f0;xi=0.1; den=(1+2*xi*%i*w/w0-(w/w0)^2);H=1../den; PhaseH=-atan(imag(den),real(den));GainHdB=20*log10(abs(H)); xbascbode(f+1,GainHdB,PhaseH);

V) Filtrage


2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

82

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Autres filtres

Filtres de Butterworth

Ils sont définis par la fonction de transfert :

N ordre du filtre

Caractéristiques

� Pente de la décroissance du gain : N×20 dB/décade. � Valeur du gain de ce filtre à la fréquence de coupure : �3dB (quel que soit l�ordre N).

N2

c

2

1

1)(H

ωω+

=ω

V) Filtrage


83

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Stabilité

Condition par rapport aux pôles

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont situés dans le demi-plan situé àgauche de l�axe imaginaire du plan de la variable p :

plan p

Explication

Pôle réel p0 :

Pôles complexes conjugués p1,2=α+jβ :

Condition par rapport à la réponse impulsionnelle

Soit h(t) la réponse impulsionnelle d�un système. Ce système est stable si : ∫+∞

−∞=∞<

tdt)t(h

V) Filtrage


tpL

0

0Ae)t(hpp

A)p(H =→←−

=

)tsin(.eA)t(h)pp)(pp(

A)p(H tL

21

ωω=→←−−

= α

risque d�instabilité

84

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Définition du produit de convolution

Définition générale (domaine continu)

Cas des signaux physiques ( ↔ causaux)

Domaine discret

Convolution avec réponse impulsionnelle h(t)

La convolution avec la réponse impulsionnelle permet de connaître la réponse du système à un signal quelconque e(t).

Rappel : la réponse impulsionnelle peut être connue à partir de l�équation différentielle, par le biais de la fonction de transfert de Laplace :

ττ−τ== ∫+∞

∞−d).t(e).(e)t(e*)t(e)t(s 2121

ττ−τ= ∫ d).t(e).(e)t(st

0 21

∑−

=−==

1N

0iiikkkk h.eh*es +∞= ,...,0k

∫ τττ−==t

0

d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

85

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Illustrations

Exemple dans le domaine continu : circuit RC

e(t) s(t)

1/RC

t

h(t)=(1/RC)e �t /RC

RC

τh(τ)

τh(-τ)

τ

h(t-τ)

t

changement de nom de variable

retournementdécalage

86

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Illustrations

Exemple dans le domaine continu : circuit RC (suite)

τ

e(τ)

définition d�un signal d�entréeτ

h(t-τ)

tmultiplication e(τ) x h(t-τ)

τ

h(t-τ)

τ

t

t

S

résultat : un point de la réponse recherchée

1

t

résultat pour toutes les valeurs de τ

intégration de 0 à t

87

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Illustrations

Exemple dans le domaine discret (suite)

avec e un signal échantillonné défini par (M=10) :

et h un autre signal (représentant la réponseimpulsionnelle d�un filtre) défini par (N=2) :

Résultat de la convolution entre ces 2 signaux :

Dans cet exemple, la convolution permet une détection des bords de l�impulsion présente dans le signal long.

Exercice

Donner l�expression de s3 (et vérifier sa valeur).

1M,...,1,0k −=

∫ τττ−==t

0

d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

1110)1(ehehehs 3021i

3

2ii33 =×+×−=+==∑

=−

i

k

1Nkiikkkk ehe*hs ∑

+−=−==

Rappel, cas continu :

0001111000

0001111000

00-10001000

-11

1-1.x

=

88

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Illustrations

Exemples dans le domaine discret, à 2 dimensions (traitement d�images)

(en supposant que le point central de h a pour coordonnées (0,0) et que les indices des ordonnées sont croissantes du haut vers le bas) ; M taille de l�image et N taille du filtre

Les ? Peuvent prendre des valeurs différentes selon la manière dont sont gérés les effets de bord.

Remarque : en général, N est pris impair, donc N/2 doit être considéré comme la division entière.

Exercice

Calculer explicitement s2,2 , et compléter l�image résultat.

* =

∑ ∑−= −=

++==2/N

2/Nj

2/N

2/Nij,iyj,xiy,xy,xy,x h.eh*es 1M,...,1,0y,x −=

111111111111

0-2-20??03300-3-30??02200-2-20??01100-1-10???????????

-101-101-101

89

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Illustrations

Exemples dans le domaine discret, à 2 dimensions (traitement d�images) (suite)

Autres exemples de filtres couramment utilisés :

- Filtre Laplacien

permet d�extraire des contours quelle que soit leur orientation

- Filtre moyenneur

permet de lisser une image

Les filtres peuvent être de différentes tailles.

90

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Illustrations

Exemples dans le domaine discret, à 2 dimensions (traitement d�images) (suite)

Remarque

L�opération de convolution peut être très coûteuse en terme de temps de traitement. On peut alorstirer partie de :

- La propriété suivante de la Transformée de Fourier :

- L�existence de l�algorithme de Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT).

Le principe est alors le suivant :

)f(Y).f(X)t(y*)t(x F→

)x,x(2image)f,f(2IMAGE)f,f(FILTRE).f,f(1IMAGE)x,x(filtre*)x,x(1image 21TF

212121TF

2121

1

→=→−

91

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



V) Filtrage

V.5) Convolution

Propriétés

Commutativité :

Associativité :

Distributivité :

Elément neutre : impulsion de Dirac

Translation (ou échantillonnage) :

Exercice

Démontrer l�une des propriétés

)t(x*)t(y)t(y*)t(x =

( )[ ] ( )[ ])t(z*ty*)t(x)t(z*)t(y*tx =

( )[ ] )t(z*)t(y)t(z*)t(x)t(z*)t(ytx +=+

)t(x)t(*)t(x =δ

)tt(x)tt(*)t(x 00 −=−δ

92

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Intérêt

Pouvoir réaliser des filtres avec des systèmes numériques (ordinateur standard, DSP, circuit intégrépersonnalisé�).

Représentation

Correspond à un système linéaire dont les signaux d�entrée et de sortie sont échantillonnés :

La référence au temps peut être omise :

n est l�indice de l�échantillon courant du temps discrétisé (le système est considéré comme "temps-réel" : à chaque nouvel instant n, un échantillon e(n) entre et un échantillon s(n) sort.

Equation aux différences

Concrètement, un filtrage numérique consiste à calculer un terme de la forme :

Ce sont les coefficients ai et bi qui déterminent les caractéristiques du filtre (type, fréquences de coupure, etc).

Cette équation est appelée équation aux différences.

)Qn(sb...)2n(sb)1n(sb)Pn(ea...)1n(ea)n(ea)n(s Q21P10 −++−+−+−++−+=

V) FiltrageV.6) Filtrage numérique

V.6.1) Introduction

93

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01


Réalisation pratique

Pour pouvoir calculer cette équation dans un système temps réel, le bloc du schéma précédent doit comporter de la mémoire pour les échantillons e(n-i) et s(n-i) :


2 types de filtres numériques

� RIF : à réponse impulsionnelle finie ;ne comportent que les termes en e(n-i) ;permettent d�obtenir des filtres à partir d�une réponse en fréquence idéale ;les coefficients ai sont les échantillons de la réponse impulsionnelle (ils sont souvent notés hi)

� RII : à réponse impulsionnelle infinie ;comportent des termes en e(n-i) et des termes en s(n-i) ;permettent de synthétiser des filtres à partir des caractéristiques de filtres analogiques.


V.6.1) Introduction

94

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Pourquoi "Réponse Impulsionnelle Finie" et "Réponse Impulsionnelle Infinie" ?

)1n(ks)n(e)n(s −+=

Prenons l�exemple du filtre d�équation de récurrence :

Appliquons lui une impulsion de Kronecker (δk={1,0,0,0,�.}, équivalent de l�impulsion de Dirac du domaine continu).

- si k>1, le signal de sortie s(n) peut diverger vers des valeurs

- si k=1, s(n) garde une valeur constante

- si k<1, s(n) tend vers 0 quand n

Réponse "intuitive" :

∞→

∞

Comment obtenir l�équation aux différences, à partir du filtre recherché ?

on utilise la transformée en Z


V.6.1) Introduction

95

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01


Définition

TZ d�un signal numérique s(n) :


∑∞

=

−=0n

nz)n(s)z(S


V.6.2) La transformée en Z, outil d�étude des systèmes échantillonnés

Propriétés élémentaires

Linéarité

)z(Sa)z(Sa)n(sa)n(sa 2211Z

2211 +→←+

Retard temporel

)z(Sz)nn(s 0nZ0

−→←− )p(Se)tt(s ptL0

0−→←−

)p(S.a)p(S.a)t(s.a)t(s.a 2211L

2211 +→←+

Rappel T. Laplace

Transformées élémentaires

Impulsion

Il s�agit ici de l�impulsion de Kronecker, définie par δk={1,0,0,�} :

Signal exponentiel

1Zk →←δ

aTaT1ZanT

ezz

ez11)z(Se)nT(s −−−

−

−=

−=→←=

96

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01


Rappel : suites géométriques

avec r :raison

Somme des N+1 premiers termes :

Somme de tous les termes :

Exemple

Traitement du SignalV) Filtrage

V.6) Filtrage numériqueV.6.2) La transformée en Z, outil d�étude des systèmes échantillonnés

∑∞

=∞ =+++=

0nn210 u...uuuS

n1n u.ru =+

r1r1uS

1N

0N −−=

+

r1r1limuS

1n

n0 −

−=+

∞→∞

∑∞

=∞ =++++=

0n

n321 5,0...5,05,05,01S

5,0u5,05,05,0u nn1n

1n ×=×== ++

5,15,075,0

5,0125,01

5,015,011

r1r1uS

22

02 ==−−=

−−×=

−−=

25,0

15,015,01lim

r1r1limuS

n

n

n

n0 ==

−−=

−−=

∞→∞→∞

97

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01


Lien avec la Transformée de Laplace

La TZ est la TL d�un signal échantillonné, en posant :

Démonstration

Traitement du SignalV) Filtrage

V.6) Filtrage numériqueV.6.2) La transformée en Z, outil d�étude des systèmes échantillonnés

{ } ∫+∞ −==0

ptdte)t(s)p(S)t(sL

pTeez =

1)t( L→←δ

ptL0

0e)tt( −→←−δ

∑∑∑∞

=

−+∞

−∞=

+∞

−∞=

=→←−δ=−δ×=0n

pnTee

L

nee

nee

ee)nT(s)p(S)nTt()nT(s)nTt()t(s)t(s

Soit s(t) un signal et se(t) sa version échantillonnée :

pTeez = ∑∞

=

−=0n

ne z)nT(s)z(S

98

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Fonction de transfert en Z et réponse impulsionnelle

)z(E)z(S)z(H =

1)z(E)nT(e Zk =→δ= )z(S

1)z(S)z(H ==

{ })n(hZz)n(h)z(H0n

n ==∑∞

=

−

la fonction de transfert est la TZ de la réponse impulsionnelle (idem Laplace)



99

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01


De la fonction de transfert en z à l�équation aux différences

Forme générale de la fonction de transfert en z du filtre numérique :


∑

∑

=

−

=

−

−−−

−−−

−=

−−−−++++== Q

1q

qq

P

0p

pp

QQ

22

11

PP

22

110

z.b1

za

zb...zbzb1za...zazaa

)z(E)z(S)z(H

E(z) et S(z) représentent respectivement les transformées en z des échantillons d�entrée e(n)

(avec n correspond à nTe) et de sortie s(n) courants :

E(z)=Z{e(n)} S(z)=Z{s(n)}

(propriétés de retard temporel

et de linéarité)

)Qn(sb...)2n(sb)1n(sb)Pn(ea...)2n(ea)1n(ea)n(ea)n(s Q21P210 −++−+−+−++−+−+=

� Z{e(n-n0)}=z-n0 E(z)

� Z{aea(n)+beb(n)}=aEa(z)+bEb(z)



100

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Fonction de transfert de Laplace

Fonction de transfert en Z

Equation aux différences

221

2210

p'bp'b1p'ap'a'a

)p(X)p(Y)p(H

−−++==

22

11

22

110

zbzb1zazaa

)z(X)z(Y)z(H −−

−−

−−++==

)2n(sb)1n(sb)2n(ea)1n(ea)n(ea)n(s 21210 −+−+−+−+=

z1z1

T2p

e +−→

[ ] )z(Ez)nn(eZ 0n0

−=−

Synthèse des filtres RII par Transformée bilinéaire (exemple pour l�ordre 2)

Fondement théorique : équivalence de l�intégration

2)1n(x)n(xT)1n(y)n(ydt).t(x)t(y e

t

0

−++−=→= ∫

transformée bilinéaire


V.6.3) Synthèse des filtres

Objectif

Déterminer les coefficients ai et bi des filtres RII et les coefficients ai des filtres RIF, à partir de caractéristiques souhaitées (type des filtres, ordre, etc).

101

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Relations obtenues par application de la transformée bilinéaire :

Exemple : Filtre passe-bas d�ordre 2

2

00

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

10 k

1a = 01

1 a2k2a == 0

12 a

k1a == ( )2

11 k1

k2b −= ( )2

12 kk21

k1b +ξ−=

avec : 21 kk21k +ξ+=

c

e

ffkπ

=

Exemple d�application numérique

fc=500Hz ; ξ=0,1 ; fe=44100Hz a0=0,00126 a1=2 a2=1 b1=-1,98084 b2=0,98587



)2n(sb)1n(sb)2n(ea)1n(ea)n(ea)n(s 21210 −+−+−+−+=

)2n(s98587,0)1n(s98084,1)2n(e)1n(e2)n(e00126,0 −+−−−+−+=

102

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



les coefficients d�un filtre RIF peuvent s�obtenir par TFD-1

Principe

2 propriétés importantes :

1)

2)

)f(H)t(h F→

∑=

−=N

0i

)in(e)n(h)n(s

h(t) réponse impulsionnelle|H(f)| réponse en fréquence (=module de la FT harmonique)

h(n) coefficients du filtre (qui en contient N)



Synthèse des filtres RIF par développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle

103

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Principe

Part du constat que la réponse en fréquence désirée est une fonction périodique de période fe(conséquence de l�échantillonnage) on peut la développer en série de Fourier

∑+∞

−∞=

π=

k

Tt2jk

k e.c)t(s avec ∫π−

=T

0Tt2jk

k dte).t(sT1cCas classique :

Ici : ∑+∞

−∞=

π

=k

ff2jk

kee.g)f(H avec ∫

π−

= e ef

0

ff2jk

ek dfe).f(H

f1g

∫

π= ef

0ee

k dfffk2cos).f(H

f1gOn annule la partie imaginaire :


( )∫ π=5,0

0k dFkF2cos).F(H2gSimplification :effF =

Décalage pour causalité : pkk gh −= avec 2Np = si N pair,

21Np −= si N impair

(1)

Développement de (1) :

, k=0,�,N-1

( )ck F)pk(2sin)pk(

1h −ππ−

= ( )ck F)pk(2sin)pk(

1h −ππ−

−=

+ passe-bande, coupe-bande�



Synthèse pas développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle (suite)

104

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Algorithme du cas passe-bas

Lire la valeur de N (nombre de coefficients du filtre)Si N pair

p=N/2sinon

p=(N-1)/2Lire la valeur de la fréquence de coupure normalisée FcPour k variant de 0 à N-1 //calcul des coefficients h(i) du filtre

Si k!=ph(k+1)=sin(2*pi*(k-p)*Fc)/((k-p)*pi); //k-p pour le décalage

sinonh(k+1)=2*Fc; //sinus(x)/x pour x=0 traité à part

Diviser les coefficients h(i) par leur somme

N=10if modulo(N,2)==0 //si N pair

p=N/2;else

p=(N-1)/2; //si N impairendFc=0.01for k=0:N-1

if k~=ph(k+1)=1/(k-p)/%pi*sin(2*Fc*(k-p)*%pi);

elseh(k+1)=2*Fc; //cas sin(x)/x pour x=0 traité à part

endendsomme=sum(h);h=h/somme //division des coefficients par leur somme

Programme Scilab correspondant




105

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



fréquence de coupure relative : Fc=0,01

( )ππ

= k02,0sink1gkpasse-bas , k=-5,�,5

pkk gh −=et

, k=0,�,9( )π−π−

= )5k(02,0sin)5k(

1hk

52Np ==avec

Exemple : Réalisation d�un filtre passe-bas avec fe=44100Hz, fc=4410Hz et N=10

h0= 0.0989147h1= 0.0995054 = h9h2= 0.0999662 = h8h3= 0.1002962 = h7h4= 0.1004945 = h6h5= 0.1005607

Résultats obtenus :




106

0 20 40 60 80 100 120 140-0.13

-0.09

-0.05

-0.01

0.03

0.07

0.11

0.15


0 20 40 60 80 100 120 140-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01



Filtres RII

Avantages- peu de coefficients donc calcul rapide- modélisation des filtres analogiques (et notamment possibilité d�obtenir des résonances)

Inconvénients- risque d�instabilité surtout pour les grands facteurs de qualité- les coefficients doivent être codés avec beaucoup de précision (conséquence du risque d�instabilité)- phase non-linéaire (se traduit par une déformation du signal). Rm : le temps de propagation de groupe

est défini par :

Il correspond au temps de transfert de l�énergie du signal d�entrée vers sa sortie. Il doit être constantsinon le signal subit une déformation par le filtre.

Filtres RIF

Avantages- pas de risque d�instabilité- phase linéaire- permet de synthétiser n�importe quelle fonction de transfert (sauf résonances)

Inconvénients- nombreux coefficients surtout pour les pentes raides et les bandes passantes étroites

ωϕ=

ddtg


V.6.4) Comparaison des filtres RII et RIF

Traitement du signal -...

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