Signal Cours1 (1)

5/14/2018 Signal Cours1 (1) - slidepdf.com

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Dans ce chapitre, on s’intéresse à la représentation d’un signal. Nous sommes tous habitués à

représenter un signal à l’aide d’un oscillogramme, courbe donnant l’évolution de l’amplitude

du signal en fonction du temps. Typiquement, on étudiera un signal en utilisant un

oscilloscope. Ce que nous souhaitons mettre en évidence dans ce qui suit, c’est l’intérêt

d’avoir à notre disposition une autre représentation d’un signal, duale de la représentation

temporelle : la représentation fréquentielle.

1 SIGNAUX PERIODIQUES : SERIES DE FOURIER

1.1 Définition et propriétés

1.1.1 Décomposition en séries de Fourier

Soit x(t) un signal périodique de période0

0

1

f T = . x(t) peut se décomposer en une somme

infinie de fonctions sinusoïdales dépendant du temps. On parle de décomposition en série de

Fourier et on peut écrire x(t) sous la forme :

( ) ( )∑∞

=

++=1

00

0 sincos2

)(n

nnt nbt na

at x ω ω

avec0

00

22

T f

π π ω == .

an et bn sont les coefficients de la série de Fourier, f 0 représente la fréquence du fondamental

et nf 0 (pour n>1) représente la fréquence des différents harmoniques. Les coefficients de

Fourier sont indépendants du temps et s’expriment de la manière suivante :

! ∫ ∫ −==

2

2

0

00

0

0

0

0

0

)cos()(2)cos()(2

T

T

T

n dt t nt xT

dt t nt xT

a ω ω

! ∫ ∫ −

==2

2

0

00

0

0

0

0

0

)sin()(2

)sin()(2

T

T

T

n dt t nt xT

dt t nt xT

b ω ω

On remarque que ∫ =0

00

0 )(1

2

T

dt t xT

areprésente la valeur moyenne du signal x(t)

On peut montrer que si x(t) de période T 0 est continue et que sa dérivée x’(t) est continue par

morceaux alors la série de Fourier de x(t) converge uniformément vers x(t).

1.1.2 RemarquesLa décomposition en série de Fourier est une décomposition de fonctions sur une base de

signaux orthogonaux. En effet, les fonctions )sin( 0t nω et )cos( 0t nω sont orthogonales entre

elles :

!

=

≠=∫ mnsi

mnsi

dt t mt nT

T

O 2

1

0

)sin()sin(1

00

0

0

ω ω

!

=

≠=∫ mnsi

mnsi

dt t mt nT

T

O 2

1

0

)cos()cos(1 00

0

0

ω ω



! ( )nmdt t mt nT

T

O

,0)sin()cos(1

00

0

0

∀=∫ ω ω

A l’aide des relations précédentes, on peut alors calculer l’expression des coefficients an et bn

de la décomposition en série de Fourier. Pour ce faire, calculons l’intégrale suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt t mt nbt mt nadt t xt mn

n

T

n

n

T

∑∫ ∑∫ += 00

0

00

0

0 cossincoscoscos00

ω ω ω ω ω

En vertu de l’orthogonalité des fonctions sinus et cosinus, toutes les intégrales de la somme

sont nulles pour n ≠ m sauf celle obtenue pour n=m qui vaut maT

2

0 . On en déduit alors que les

coefficients an se calculent par la relation : ∫ =0

0

0

0

)cos()(2

T

n dt t nt xT

a ω . De même, on

démontre que les coefficients bn se calculent par la relation : ∫ =0

0

0

0

)sin()(2

T

n dt t nt xT

b ω .

1.1.3 Propriétés

1.1.3.1 Parité de la fonction

La décomposition en série de Fourier d’une fonction paire ( ))()( t xt xt =−∀ doit être une

fonction paire. En conséquence, les coefficients de Fourier bn sont tous nuls si la fonction x(t)

est paire.

La décomposition en série de Fourier d’une fonction impaire ( ))()( t xt xt −=−∀ doit être

une fonction impaire. En conséquence, les coefficients de Fourier an sont tous nuls si la

fonction x(t) est impaire.

1.1.3.2 Formulation complexe

Il existe une formulation complexe de la décomposition en série de Fourier. Si on pose :

2

nn

n

jbac

−= , la décomposition en série de Fourier de x(t) peut s’écrire de manière

équivalente sous la forme :

∫ ∑ −+∞

∞−

==0

00

0

2

0

2)(

1)(

T

t f n j

n

t f n j

n et xT

cavecect xπ π

Justification :

( )∑

∑∑∑∞+

=

−−

+∞

=

−

−∞=

+∞

−∞=

++=

++==

1

22

0

1

21

2

0

2

00

000

)(

)(

n

t f n j

n

t f n j

n

n

t f n j

n

n

t f n j

n

n

t f n j

n

ececct x

ececcect x

π π

π π π

Or :2

nn

n

jbac

−= donc

22

nnnn

n

jba jbac

+=

−= −−

−

D’où : ( ) ( )∑∑

+∞

=

−+∞

=

−

−+++= 1

22

1

22

0

0000

22)( n

t f n jt f n jn

n

t f n jt f n jn

ee

b

ee

a

ct x

π π π π



soit ( ) ( )∑∞

=

++=1

00

0 2sin2cos2

)(n

nn t f nbt f naa

t x π π

Interprétation : la forme complexe de la décomposition en série de Fourier est la formulation

la plus usuelle. Elle fait apparaître des harmoniques de fréquences positives et négatives qui

servent mathématiquement à reconstituer l’ensemble du signal. Néanmoins, cette

décomposition n’a pas de réalité physique en ce qui concerne la partie associée aux

fréquences négatives. Elle est utilisée en traitement du signal car elle permet bien souvent une

simplification des calculs.

1.2 Interprétation de la décomposition en série de Fourier

Il est très habituel de représenter un signal par son évolution temporelle. L’oscillogramme

obtenu donne des informations sur la valeur moyenne, la valeur crête, la valeur instantanée du

signal mais ne donne pas d’information directe sur l’ensemble des fréquences contenues dans

le signal. Or nous venons de voir qu’à l’aide de la décomposition en série de Fourier, il est

simple de mettre en évidence les fréquences contenues dans un signal.Si on prend le cas d’un signal carré de rapport cyclique ½, on montre que sa décomposition en

série de Fourier fait apparaître une infinité de fréquences au niveau des multiples impairs de la

fréquence du fondamental.

L’animation située à l’adresse http://www.ta-formation.com/temps-frequence/jav-tf.htm

permet de mettre en évidence le lien entre représentation temporelle et représentation

fréquentielle.

1.3 Exemples

1.3.1 Signal carréSoit un signal carré de période T = 20ms, de largeur T/2, d’amplitude 2 et de valeur moyenne

1. La Figure 1 montre l’évolution temporelle de ce signal sur plusieurs périodes.

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Représentation temporelle

temps en s

a m p l i t u d e

Figure 1 : signal carré

Pour le calcul de sa décomposition en série de Fourier, on remarque que le signal est pair,

donc tous les coefficients bn sont nuls. Calculons les coefficients an. Nous avons :

! 10 =a

http://www.ta-formation.com/temps-frequence/jav-tf.htm

http://www.ta-formation.com/temps-frequence/jav-tf.htm



! 4

4

0

0

4

4

0

2

2

0 )2sin(2

12)2cos(

2)2cos()(

2 T

T

T

T

T

T

n t f n f nT

dt t f nT

dt t f nt xT

a−−−

=== ∫ ∫ π

π π π

=

= 2sin

2

42sin2

1

' 0

π

π π π

n

n

T

f nnaoùd n .

Ainsi si n = 2p est pair, alors a2p est nul et si n=2p+1 est impair,( )12

)1(212 +

−=+

pa

p

pπ

.

A priori, la décomposition en série de Fourier de ce signal carré est constituée d’une infinité

de fréquences multiples impaires de la fréquence du fondamental. L’amplitude de chaque

harmonique décroît comme l’inverse de son rang.

Etudions maintenant la restitution du signal carré (ou synthèse de Fourier) à partir de la

sommation de ses harmoniques. La Figure 2 montre l’évolution de l’allure temporelle du

signal carré lorsque l’on augmente le nombre d’harmoniques pris en compte.

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0. 01 0 0. 01 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 0 .0 5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Représentation temporelle

temps en s

a m p l i t u d e

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps en s

a m p l i t u d e

Fd seul

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps en s

a m p l i t u d e

Fd + H3

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps en s

a m p l i t u d e

Fd+H3+H5

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps en s

a m p l i t u d e

Fd+H3+H5+H7

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps en s

a m p l i t u d e

Fd+H3+H5+H7+H9

Figure 2 : synthèse de Fourier : de haut en bas et de gauche à droite : signal original et ses

reconstructions en augmentant le nombre d’harmoniques pris en compte.

On constate qu’en considérant les 10 premiers harmoniques, on transforme la sinusoïde

initiale progressivement en un carré. Comme l’amplitude de chaque harmonique décroît

lorsque le rang augmente, son influence sur l’ensemble du signal est de plus en plus faible. La

Figure 3 montre le résultat de la synthèse de Fourier du carré lorsqu’on prend en compte les100 premiers harmoniques de la décomposition en série de Fourier.



−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

temps en s

a m p l i t u d e

signal reconstruit

Figure 3 : carré reconstruit en considérant les 100 premiers harmoniques.

1.3.2 Signal triangulaire

Soit un signal triangulaire de période T=20ms et d’amplitude 1 dont l’évolution temporelle est

représentée sur la Figure 4.

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1signal triangle

temps en s

a m p l i t u d e

Figure 4 : signal triangulaire

Le signal étant impair, tous les coefficients an de la décomposition en série de Fourier sont

nuls. Après calculs, on trouve :

( ) ( )( ) ( )

−+−= !

2

0

2

0

025

52sin

3

32sin2sin

8 t f t f t f t x

π π π

π

donc le signal triangulaire ne contient que des harmoniques impairs dont l’amplitude décroît

comme le carré de son rang. On constate que la seule différence au niveau de la

décomposition en série de Fourier entre le signal carré et le signal triangulaire réside dans la

vitesse de décroissance de l’amplitude des harmoniques.



Synthèse de Fourier : vue la vitesse de décroissance de l’amplitude des harmoniques, on a une

bonne approximation du signal triangulaire en ne considérant que les 10 premiers

harmoniques ce qui était loin d’être le cas pour le signal carré (voir Figure 5).

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps en s

a m p l i t u d e

signal reconstruit avec 10 harmoniques

Figure 5 : synthèse du signal triangulaire à partir des 10 premiers harmoniques.

1.3.3 ImpulsionL’animation située à l’adresse http://www.ta-formation.com/impulsion/jav-pulse.htm permet

de réaliser la synthèse de Fourier d’une impulsion (vue comme un carré de rapport cyclique

variable).

1.4 Théorème énergétiqueLa puissance d’un signal périodique est égale à la somme du carré du module de chacun de

ses harmoniques soit :

( )∑∫ ∑∞

=

∞+

∞−=

++===1

222

0

0

22

0 2

1

4

1)(

1 0

n

nn

T

n

n baacdt t xT

P

Cette relation traduit le fait que la puissance d’un signal peut être calculée à partir de la

somme des puissances portées par chaque harmonique. La Figure 6 est une illustration de ce

théorème. Elle présente pour le signal carré de la Figure 1 la proportion de la puissance totale

du signal qui est contenue dans la somme des harmoniques successifs de la décomposition ensérie de Fourier. On constate que plus de 95% de la puissance totale du signal est portée par

les 5 premiers harmoniques.

Rque : dans le cas de la représentation complexe de la décomposition en série de Fourier,

l’énergie est répartie sur les fréquences négatives et sur les fréquences positives.

http://www.ta-formation.com/impulsion/jav-pulse.htm





0 10 20 30 40 50 6050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

nbre de fréquence

% d

e l a p u i s s a n c e t o t a l e

Figure 6 : évolution de la puissance en fonction du nombre d’harmoniques du signal considéré

1.5 Notion de distorsion harmonique et de rapport signal sur bruit

1.5.1 Distorsion harmoniqueElle représente le rapport entre la puissance des harmoniques et celle du fondamental (on

considère ici que le signal analysé est de valeur moyenne nulle).

( )

( )2

1

2

1

2

22

2

12

1

ba

ba

PPT n

nn

l fondamenta

sharmoniquedh

+

+

== ∑

∞

=

Elle permet, par exemple, de mesurer la pureté d’un signal sinusoïdal généré par un

oscillateur harmonique. En effet, si l’oscillateur est parfait, le signal généré ne contiendra

qu’une seule fréquence et le taux de distorsion harmonique sera nul.

1.5.2 Rapport signal à bruit

Par définition ,bruit

signal

BSP

P R = / . Le rapport signal à bruit s’exprime souvent en

dB : )(log10)( 10 /

bruit

signaldB BS

P

P R = .

On peut considérer ici que le signal utile est le fondamental de la décomposition en série de

Fourier et que le bruit est constitué des différents harmoniques.



2 TRANSFORMEE DE FOURIER – REPRESENTATIONFREQUENTIELLE

Soit un signal de période T constitué d’une succession d’impulsions positives de largeur aT

(a<1) et d’amplitude E . Ce signal est représenté sur la Figure 7

Figure 7 : train d’impulsions

Sa décomposition en série de Fourier s’écrit :

++++= !! )2cos(

)sin(2)2cos(

)sin(21)(

T

t n

an

an

T

t

a

aaE t x π

π

π π

π

π

Cette décomposition montre que ce signal est la somme de fonctions sinusoïdales pures de

fréquence multiples de la fréquence fondamentale f=1/T dont l’amplitude varie comme la

fonction sinus cardinal ou sin(x)/x que l’on notera sinc(x). Toutes ces composantes

sinusoïdales sont espacées de 1/T.

Intéressons nous maintenant à une impulsion unique. On peut considérer ce signal comme un

signal périodique de période T infinie. Si on augmente la période T , les composantessinusoïdales de la décomposition en série de Fourier vont avoir tendance à se rapprocher et à

balayer en continu tous les points de l’enveloppe de type sinc. On va donc tendre vers une

décomposition constituée de fonctions sinusoïdales dont la fréquence varie de façon continue.La décomposition du signal x(t) non périodique (ou de période infinie) sous forme

harmonique ne peut donc plus s’exprimer à l’aide des séries de Fourier qui font intervenir une

sommation discrète. On montre que la décomposition harmonique d’un signal non périodique

se calcule à l’aide de la transformée de Fourier (qui joue le rôle des coefficients de Fourier

pour les signaux non périodiques).

2.1 Définition de la transformée de Fourier (TF)

Par définition, la transformée de Fourier d’un signal x(t) s’écrit :

∫ +∞

∞−

−== dt et xt xTF f X t f jπ 2)()]([)(

X(f) est une fonction qui est indépendante du temps. C’est une fonction complexe que l’on

peut écrire sous la forme module et phase : ))(exp()()( f f X f X ϕ = ou sous forme de partie

réelle et de partie imaginaire : ))(())(()( f X m j f X e f X ℑ+ℜ= avec :

∫ ∫ +∞

∞−

+∞

∞−

=ℑ=ℜ dt t f t x f X met dt t f t x f X e )2sin()())(()2cos()())(( π π

Les conditions nécessaires et suffisantes de l’existence de la TF sont :" x(t) est bornée ;

t

x t

T

aTE



" x(t) est de classe L1, i.e. ∞+<∫ +∞

∞−dt t x )(

" x(t) présente un nombre fini de discontinuités.

Une caractéristique essentielle de la TF est qu’elle est inversible à savoir que l’on peut

retrouver x(t) si on connaît X(f) sous réserve que x(t) soit de classe L2 i.e.

∫ ℜ

dt t x2

)( existe ce

qui signifie que x(t) est un signal à énergie finie. Dans le cas où elle existe, la transformée de

Fourier inverse se calcule grâce à la relation suivante :

∫ +∞

∞−

+− == df e f X F X TF t xt f jπ 21

)()]([)(

et il y a réciprocité entre x(t) et X(f).

2.2 Représentation fréquentielle : spectre d’un signalL’évolution de la fonction X(f) en fonction de la fréquence fournit une nouvelle manière de

représenter la fonction x(t). On nomme spectre de x(t) le module de la TF. C’est une fonction

continue de la fréquence. On dispose alors de deux représentations duales l’une de l’autrepour un même signal x(t) : la représentation temporelle et la représentation fréquentielle.

2.2.1 Quelques exemples

2.2.1.1 Fonction exponentielle décroissante

Il s’agit par exemple de la fonction )exp(1

)(τ τ

t t f −= traduisant la décharge d’une capacité

dans une résistance à partir de l’instant t=0. La Figure 8 montre l’évolution temporelle de

cette fonction.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Exponentielle décroissante

temps

f ( t )

Figure 8 : Exponentielle décroissante

Calculons sa TF en remarquant que la fonction est causale (i.e. f(t) = 0 pour t<0). Par

définition,



+∞+∞+∞

∞−

−

+

−=−−=== ∫ ∫ 00

2)

21exp(

1)2exp(

1)()]([)( t

f jdt t f j

t dt et xt xTF f X t f j

τ

τ π

τ π

τ τ

π

f j f X

τ π 21

1)(

+=

La Figure 9 représente le spectre de la fonction de décharge d’une capacité dans unerésistance. Il s’agit du module de la TF de Fourier X(f) calculée précédemment.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Spectre de f(t)

fréquence

M o d u l e d

e l a T F

Figure 9 : spectre d’une exponentielle décroissante

2.2.1.2 Fonction porte

Soit ( )

>

≤=∏

20

21

τ

τ

τ

t pour

t pour t une porte d’amplitude 1 et de largeur τ.

Calculons sa TF.

[ ] 2

2

2

2

22)2exp(

2

1)()]([)(

T

T

T

T

t f jt f j jft

jf dt edt et xt xTF f X

+

−

+

−

−∞+

∞−

− −−==== ∫ ∫ π π

π π

[ ] )(sin)sin(

2

)sin(2)exp()exp(

2

1)( f c

f

f

f j

f j f j f j

f j f X τ π τ

π

τ π

π

τ π τ π τ π

π ===−−=

La Figure 10 donne la représentation du spectre de la fonction porte.

Πτ(t)

tτ /2-τ /2

1



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Spectre de f(t)

fréquence

M o d u l e d e l a T F

Figure 10 : allure du spectre en fréquence de la fonction porte

2.3 Propriétés

2.3.1 Linéarité, homothétie et parité

2.3.1.1 Linéarité

La transformée de Fourier est une opération linéaire. Soit X(f) = TF[x(t)] et Y(f) = TF[y(t)],

on a : )()()]()([ f Y b f X at byt axTF +=+ .

2.3.1.2 Homothétie

Soit X(f) = TF[x(t)], on a : [ ] )(1

)(a

f X

aat xTF = ce qui traduit le fait qu’un étalement de

l’échelle des temps conduit à une contraction de l’échelle des fréquences et inversement.

2.3.1.3 Parité

Si x(t) est réelle et paire, il en va de même pour sa TF.

Si x(t) est réelle et impaire, sa TF est imaginaire et impaire.

Si x(t) est imaginaire et paire, il en va de même pour sa TF.

Si x(t) est imaginaire et impaire, sa TF est réelle et impaire.

Soit x(t) quelconque, on a les relations suivantes (l’astérisque représentant l’opération de

conjugaison) :

( ) ( ) f X t xet f X t x TF TF − →← →← **)()(

2.3.2 Translations temporelle et fréquentielle

2.3.2.1 Translation temporelle

La relation )()( f X t xTF →← entraîne )()2exp()( f X f a jat x

TF π − →←− ce qui traduit le

fait qu’un retard dans le domaine temporelle se traduit par un déphasage au niveau de la TF

dans le domaine fréquentiel.



2.3.2.2 Translation en fréquence : modulation

La relation )()( f X t xTF →← entraîne )()2exp()( p

TF

p f f X t f jt x − →←− π . Cette propriété

montre que si on multiplie un signal par une fréquence pure f p, son spectre en fréquence se

trouve être translaté autour de f p. Cette propriété dite propriété de modulation est très utilisée

dans les systèmes de télécommunication comme nous le verrons par la suite.

2.3.3 DualitéCette propriété permet de calculer de nouvelles paires de transformées de Fourier à partir de

paires déjà connues. Si )()( f X t x TF →← alors ( ) ( )TF X t x f ←→ − .

2.3.4 Dérivation

Si )()( f X t xTF →← et si x(t) est dérivable (plusieurs fois éventuellement) alors :

( ) ( ) )(2)(

)(2)(

f X f jdt

t xd et f X f j

dt

t dx nTF

n

nTF π π →← →←

2.3.5 Cas particulier des signaux réelsDans le cas où x(t) est un signal réel, sa TF X(f) vérifie une propriété de symétrie hermitique

(symétrie pour la partie réelle et antisymétrie pour la partie imaginaire) à savoir si

))(())(()( f X m j f X e f X ℑ+ℜ= , on a les relations :

[ ] [ ]

[ ] [ ]

ℑ−=−ℑℜ=−ℜ

)()(

)()(

f X m f X m

f X e f X e

De ce fait, il n’est pas utile de considérer X(f) pour les valeurs négatives de la fréquence ce qui

est intéressant car il est impossible de donner une signification physique aux fréquences

négatives. D’un point de vue pratique (dans la nature, les signaux sont réels), on peut donc se

limiter aux calculs de spectre pour les fréquences positives et prolonger le résultat trouvé par

symétrie hermitique.



3 DISTRIBUTIONS

3.1 Position du problème.Nous allons essayer d’illustrer le problème qui se pose grâce à un exemple physique : la

notion de masse ponctuelle. Pour simplifier, nous nous limiterons à une répartition de masse

mono-dimensionnelle. Imaginons une masse unité diversement répartie sur l’axe Ox entre les

abscisses –h et +h avec une densité d h(x) (voir Figure 11).

Figure 11 : densité de répartition d’une masse

Cette fonction densité a les propriétés suivantes :

( )

( )

( )∫ ℜ

==

≥ℜ∈∀

1)

0)

0)

dx xd iii

h xsi xd ii

xd xi

h

h

h

"

Si on imagine maintenant que l’on observe cette masse de très loin, tout se passe comme si

toute la masse était comprimée en x=0, cela devient une masse ponctuelle située en 0. Que sepasse-t-il pour la fonction d h(x) si on fait tendre h vers 0 ? Si on admet qu’il existe une limite

pour la fonction densité de répartition quand h tend vers 0, cette limite doit vérifier :

( )

( )

( )∫ ℜ

=≠=≥ℜ∈∀

1)

00)

0)

dx xd iii

xsi xd ii

xd xi

h

h

h

On conçoit qu’en x=0 la valeur d(0) soit infinie. On définit ainsi intuitivement la notion

d’impulsion qui est une « fonction » qui vérifie les trois propriétés précédentes. La situation

est la même que pour une charge électrique ponctuelle portée par une particule élémentaire.

3.2 Objectifs et définitions.

La théorie des distributions permet la généralisation des notions de fonctions et de dérivation.

3.2.1 Généralisation de la notion de fonctionL’idée de base est de considérer toute fonction f comme un opérateur T f agissant par

intégration sur les fonctions elles-mêmes :

( ) ∫ +∞

∞−= dx x x f T f )()( ϕ ϕ

Une distribution est donc un opérateur qui, à une fonction ϕ, fait correspondre un nombre.

Etant donnée la définition même d’une distribution, on constate que les fonctions ϕ ne

peuvent pas être quelconques. En effet, pour éviter les problèmes de convergence à l’infini, on

h-h

dh(x)

x



supposera que les fonctions ϕ sont nulles en dehors d’un intervalle borné. Ceci a l’avantage

de permettre d’associer une distribution à une fonction f quelconque.

3.2.2 Généralisation de la notion de dérivéeVoyons ce qui se passe quand nous calculons la dérivée d’une distribution. Il s’agit donc de la

fonctionnelle Tf ’ qui agit sur les fonctions ϕ bornées et qui est définie par (on suppose a

priori que f est dérivable) :

( ) ∫ +∞

∞−= dx x x f T

f )()(

'' ϕ ϕ

ce qui donne après intégration par parties (le terme tout intégré est nul car la fonction ϕ est

nulle en dehors d’un intervalle borné) :

( ) ∫ +∞

∞−−= dx x x f T

f )()(

'' ϕ ϕ

On constate que ce résultat ne fait plus intervenir la dérivée de f et donc on peut définir la

dérivée d’une distribution même si la fonction f associée n’est pas dérivable. En revanche, les

fonctions ϕ doivent d’être dérivables. On imposera de plus aux fonctions ϕ d’êtreindéfiniment dérivables si on veut pouvoir dériver plusieurs fois une distribution.

3.2.3 Définition

Soit ∆ l’ensemble des fonctions ϕ indéfiniment dérivables et nulles en dehors d’un espace

borné. On définit une règle de convergence dans ∆ : ϕ n converge dans ∆ vers ϕ (t) quand n

tend vers l’infini si :

" Les supports des ϕ n sont contenus dans un même intervalle borné indépendant de n ;

" ϕ n, ainsi que toutes les suites dérivées, convergent uniformément vers ϕ ainsi que ses

dérivées correspondantes.

Distribution définie par une fonction : toute fonction f(x) localement intégrable sur ℜ permet

de définir une distribution Tf(ϕ ) par la relation :

( ) ∫ +∞

∞−∆∈∀== ϕ ϕ ϕ ϕ dx x x f t T T f f )()()(,

3.3 Propriétés.

3.3.1 Egalité de deux distributions

( ) ∆∈∀== ϕ ϕ 0,0 t T siT f f

( ) ( ) ∆∈∀== ϕ ϕ ϕ t T t T siT T f f f f ,, 221 1

3.3.2 Règle de convergence au sens des distributions

( ) ( ) ∆∈∀ → → ∞+ ϕ ϕ ϕ t T t T siT T nnn ,,

ce que l’on écrit aussi sous la forme :

( ) ( ) ∆∈∀==∞

ϕ ϕ ϕ t T t T siT T n

nn

,,limlim"" où « lim » désigne la convergence au

sens des distributions et lim désigne la convergence au sens classique.

3.3.3 Distribution en tant que limite de suite de fonctions

Pour toute distribution T f , il existe une suite de fonctions f n(t) telle que :



( ) ∫ +∞

∞−∞∆∈∀= ϕ ϕ ϕ dt t t f T n

n f )()(lim

Si on note T fn la distribution associée à la fonction f n(t), on peut écrire : T f = « lim »T fn

3.3.4 Dérivation d’une distribution

Une distribution T f est toujours dérivable et sa dérivée notée T’ f est définie par :

( ) ( )')()('' ϕ ϕ ϕ

f f T dx x x f T −=−= ∫ +∞

∞−

3.3.5 Transformée de Fourier d’une distribution

Soit T f une distribution associée à la fonction f(t). On peut définir la transformée de Fourier de

cette distribution par la relation :

( ), , ( ) f f TF T T TF ϕ ϕ =

3.4 Cas particulier : la distribution de Dirac

3.4.1 Définition

La distribution de Dirac est une distribution qui à toute fonction ϕ de ∆ fait correspondre sa

valeur à l’origine :

( ) ( ) ( ) ( )∫ +∞

∞−== 0, ϕ ϕ δ ϕ δ dt t t t

Cette formulation laisse entendre qu’il existe une « fonction » de Dirac définie par :

( )

( )

=

≠=

∫ ∞+

∞−1

00

dt t

xsi x

δ

δ

La « fonction » de Dirac apparaît comme une impulsion de largeur nulle, d’amplitude infinieet d’aire unité.

Remarquons que ces deux relations ne définissent pas une fonction au sens habituel du terme.

En effet, une fonction nulle presque partout a une intégrale nulle. La « fonction » de Dirac

étant une distribution, il est possible de calculer sa dérivée même si elle n’a aucun sens

physique.

( )0'',,' ϕ ϕ δ ϕ δ −=−=

3.4.2 Limite de la fonction porteSelon le 3.3.3, toute distribution peut être vue comme la limite d’une suite de fonctions. Ainsi

on peut définir la distribution de Dirac comme la limite de plusieurs familles de fonctions :

" ( ) ( ) +∞ → = n pour t

t nt π π δ sinlim""

" une fonction porte de durée D et d’amplitude 1/D quand D tend vers 0.

Dans les deux cas, on constate que la « fonction » limite est une impulsion.

3.4.3 Transformée de Fourier

Définissons la transformée de Fourier de la distribution de Dirac :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +∞

∞−=

+∞

∞−

+∞

∞−

=−=Φ=== duuduu f jut TF duuTF t TF f ϕ π ϕ ϕ δ ϕ δ ϕ δ .1])2exp([0,)(, 0

Il résulte de l’égalité des deux intégrales extrêmes que la transformée de Fourier de ladistribution de Dirac vaut 1 : ( ) 1≡δ TF



Si on écrit la définition de la transformée de Fourier inverse, on obtient la relation :

( ) ∫ +∞

∞−

= df ft jt )2exp(.1 π δ

Cette relation peut être justifiée physiquement par le fait que la somme d’une infinité de

cosinusoïdes de toutes fréquences est nulle pour tout t sauf en 0 car alors tous les cosinusvalent 1 et leur somme est infinie.

3.4.4 Applications

3.4.4.1 Spectre d’un signal périodique

Soit le signal ( ) ( ) ))2exp(2exp(2

)2cos( 000 t f jt f j A

t f At x π π π −+== . Calculons sa

transformée de Fourier :

( )

( )

0 0

0 0

[ exp(2 ) exp( 2 ) exp( 2 ) exp( 2 ) ]2

exp[ 2 ( ) ] exp[ 2 ( ) ]2

A X f j f t j f t dt j f t j f t dt

A X f j f f t dt j f f t dt

π π π π

π π

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

= − + − −

= − − + − +

∫ ∫

∫ ∫ soit ( ) ( )0 0( )

2

A X f f f f f δ δ = − + +

On dispose donc grâce aux distributions d’une représentation fréquentielle pour la fonction

cosinus qui apparaît comme la somme de deux impulsions de Dirac l’une en –f 0 et l’autre en

+f 0 (voir Figure 12).

Figure 12 : spectre de la fonction cosinus.

De même, on montre que la transformée de Fourier de la fonction sinus de fréquence f 0 et

d’amplitude A vaut :

( ) ( ) ( )[ ]002

f f f f j

A f X +−−= δ δ

Remarques :

" Les fonctions sinus et cosinus ne sont pas localisées en temps . En revanche, elles sont très

concentrées en fréquence.

" Nous sommes désormais capables de définir une représentation fréquentielle pour lessignaux périodiques. En effet, grâce à la décomposition en série de Fourier, ils peuvent se

décomposer en une somme discrète de fonctions de type sinus ou cosinus. Les raies

présentes dans la représentation fréquentielle d’un signal périodique ne pourront se

trouver qu’au niveau des multiples de la fréquence du fondamental (spectre discret en

fréquence). C’est une caractéristique du spectre d’un signal périodique.

3.4.4.2 Dérivée de la fonction échelon

Soit u(t) la fonction échelon (ou fonction de Heavyside) qui est nulle pour t négatif et qui vaut

1 à partir de t =0 (voir Figure 13).

f0-f0 f

A/2



Figure 13 : fonction échelon

Au sens habituel du terme, cette fonction n’est pas dérivable au point 0. Intéressons nous à la

distribution associée à la fonction échelon ( )t U ϕ , et calculons sa dérivée :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )00'.1',,'0

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ =−∞+−=−=−= ∫ +∞

dt t t U t U (n’oublions pas que la

fonction ϕ est nulle en dehors d’un intervalle borné). Donc la dérivée de la distribution

associée à l’échelon est une distribution qui à toute fonction ϕ associe sa valeur en 0 : il s’agit

donc de la distribution de Dirac.

3.4.4.3 Peigne de Dirac

Il s’agit de la périodisation à la période T d’une impulsion de Dirac. On le note :( ) ( )∑ −=

k

T kT t t pgn δ et sa représentation est donnée sur la Figure 14.

Figure 14 : peigne de Dirac

3.4.4.4 Autres fonctions

" Tension constante : x(t) = V0, sa TF de fourier vaut :

( )∫ +∞

∞−=−= f V dt t jf V f X δ π 00 )2exp()(

Cette fonction non localisée en temps est localisée en fréquence.

" Impulsion temporelle : x(t) = δ(t) a pour transformée de Fourier une constante. Donc cette

fonction très localisée temporellement n’est pas du tout localisée en fréquence.

3.5 Conclusion.Il est donc toujours possible de définir une représentation fréquentielle quelque soit le signal

analysé soit en utilisant la transformée de Fourier classique quand elle existe, soit en utilisant

la transformée de Fourier au sens des distributions.

t

u(t)1

t

pgnT



4 BIBLIOGRAPHIE

J.F Bercher « Transformée de Fourier et tutti quanti ». Cours de traitement du signal de

l’ESIEE accessible à l’adresse http://www.esiee.fr/~bercherj/Documents/Cours/Fourier.pdf

F.Cottet « Traitement des signaux et acquisition de données ». Edition Dunod, ISBN : 2-10-

003428-6, 344 pages, 1997.

G. Demengel, P. Bénichou, R. Bénichou, N. Boy, J.P. Pouget « Distributions et applications :

séries de Fourier, transformées de Fourier et de Laplace. Outils pour l’ingénieur. » Editions

Ellipses, ISBN : 2-7298-9663-5, 256 pages, 1996.

C. Gasquet, P. Witomski « Analyse de Fourier et applications : filtrage, calcul numérique,

ondelettes ». Editions Dunod, ISBN : 2-10-005018-4, 355 pages, 2000.

J.Max, J.L. Lacoume « Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux

mesures physiques ». Tome 1, 5ème

édition, Editions Masson, ISBN : 2-225-85309-6, 355

pages, 1996.

F.Rodier « Distribution et transformation de Fourier à l’usage des physiciens ». Edition

Ediscience internationale, ISBN : 2-84074-038-9, 323 pages, 1993.

http://www.esiee.fr/~bercherj/Documents/Cours/Fourier.pdf

http://www.esiee.fr/~bercherj/Documents/Cours/Fourier.pdf

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