Signal Ednum

SIGNAL Formation Tlcom Rseaux Plneuf V 1.1 Septembre 2011 Edition numrique

Table des matires SECTION 1 Signaux 1. Description des Signaux 1 1.1 Classification des signaux 1 1.2 Signal Sinusodal 2 1.3 Puissance 5 1.4 Signal numrique 8 1.5 Les Signaux Physiques 11 2. Analyse Temps-Frquence 15 2.1 Reprsentation Temps/Frquence 15 2.2 Thorie de Fourier

16 2.3 Fonctions non-priodiques 18 2.4 Dirac 20 2.5 Produit de convolution 21 2.6 Corrlation 23 2.7 Fonctions complexes 27 2.8 Transforme de Hilbert 29 2.9 Proprits spectrales des signaux 31 3. Filtrage 33 3.1 Aspects mathmatiques 33 3.2 Approche

physique 38 3.3 Filtrage et mesure 42 3.4 Filtrage en tlcommunication 43 3.5 Dispersion 47 4. Le Bruit 51 4.1 Qu est ce que le bruit ? 51 4.2 Classification des bruits 51 4.3 Origines du bruit 54 4.4 Modles du bruit 55

4.5 protections contre le bruit 58 4.6 Rapport Signal sur Bruit 59 4.7 Systmes numriques : S/N et Taux d erreur 62 SECTION 2 Modulations Analogiques 5. Modulation d Amplitude 67 5.1 Principe de la modulation d'amplitude 67 5.2 La modulation d'amplitude 68 5.3 Modulations intermdiaires 74

5.4 Technologie 75 5.5 Conclusion 78 6. Modulation de frquence 79 6.1 Principe de la modulation de frquence 79 6.2 La modulation de frquence 80 6.3 Spectres FM 83 b

Table des matires 6.4 Technologie 87 6.5 Modulation de phase 88 7. Dmodulation Analogique 89 7.1 Les techniques de dmodulation 89 7.2 Dmodulation d amplitude : dtection d enveloppe 89 7.3 Dmodulation FM 93 7.4 Performances 98 7.5 Comparaison AM-FM 103 SECTION 3 Modulations Numriques

8. Modulations Numriques 105 8.1 Vocabulaire 105 8.2 Modulation numrique d amplitude 105 8.3 Modulations numriques de frquence FSK 107 8.4 MSK -Minimum Shift Keying 112 8.5 Porteuse en Quadrature 114 8.6 PSK Phase Shift Keying 115 8.7 QAM Quadrature Amplitude Modulation 120 8.8

APSK Amplitude And Phase Shift Keying 124 8.9 Lecture des spectres 125 8.10 Tableau comparatif 128 9. Techniques de modulations 129 9.1 Modulations diffrentielles 129 9.2 Modulation codes 131 9.3 TCM 133 9.4 OFDM 136 10. Les techniques d accs 141 10.1 L accs au

support de transmission 141 10.2 FDMA AMRF 142 10.3 TDMA AMRT 143 10.4 CDMA AMRC 144 10.5 AMRP PDMA 152 10.6 AMRS SDMA 152 10.7 AMRL WDMA 153 10.8 Nature des liaisons 155 11. Dmodulation 157 11.1 Le Canal de transmission 157

11.2 IIS-Interfrences Inter Symbole 162 11.3 Aspects thoriques de la dmodulation 170 11.4 Structure des dmodulateurs 172 11.5 Analyse d un signal QPSK 176 11.6 Schma synthtique du dmodulateur 177 c

Table des matires 12. Performances 179 12.1 Chane de dmodulation 179 12.2 Evaluation thorique des performance 180 12.3 Mesure des rapports signaux bruit 182 12.4 Canal et capacit 184 12.5 Comparaison des performances 187 13. Spcification des systmes 191 SECTION 4 Codages 14.

La Chane de codage 193 15. Conversion analogique numrique 195 15.1 Chane d acquisition de donnes 195 15.2 La conversion Analogique/Numrique 196 15.3 L'chantillonnage 196 15.4 Quantification 204 15.5 Structures de CAN 212 15.6 Acquisition de signaux HF 215 15.7 Trames 217 16.

Codage de source 219 16.1 caractristique d un code de source 219 16.2 Codage de source sans perte 221 16.3 Techniques de compression avec pertes 223 16.4 Images fixes : codes de sources avec pertes 226 16.5 Images vidos : codes de sources avec pertes 229 16.6 Son: code

de sources sans et avec pertes 232 17. Codage de canal 237 17.1 Introduction au codage de canal 237 17.2 Reprsentation polynomiale 239 17.3 Codes blocs 241 17.4 Codes convolutifs 245 17.5 Techniques de protections supplmentaires 247 17.6 Turbocodes 250 17.7 LDPC 254

17.8 Gain de codage 256 17.9 Squences Pseudo-Alatoires 258 18. Codage en bande de base 263 18.1 Gnralits 263 18.2 Aspects mathmatiques 264 18.3 Codage NRZ -antipolaire 265 18.4 Autres exemples de codages 266 d

Table des matires SECTION 5 Techniques Numriques 19. Traitement Numrique du Signal 269 19.1 Transforme en z 269 19.2 Chane de Traitement Numrique 272 20. Introduction au Filtrage Numrique 275 20.1 Stabilit 275 20.2 Filtre RIF FIR 275 20.3 Filtre RII IIR 277 21.

FFT 281 21.1 Transformes de Fourier TF&DSF 281 21.2 Transformes discrtes 282 21.3 Rsum des transformes 286 21.4 TF et FFT 287 21.5 Fentrage temporel 291 21.6 Mthodologie de mesure 296 Annexe A : Transformes de Fourier 299 Annexe B : Fonction x sin(x)/x 300 Annexe C

: Filtre du premier ordre 301 Annexe D : Fonction erfc & TEB 302 Annexe E : Performances 303 Annexe F : Gain de codage 304 Annexe G : Formulaire 305 Annexe H : Chane Numrique 306 Annexe I : Signaux Physiques 307 Annexe J : Abaque Conversion dB 308 Annexe H : Tableau ASCII tendu 309 Bibliographie 310

Index 311 e

Table des matires Cartographie Section3 1. Classification des signaux 2. Analyse Temps-Frquence 3. Filtrage 4. Bruit 5. Modulation d'amplitude 6. Modulation de frquence 7. Dmodulation Analogique 8. Modulation Numrique 9. Techniques de modulation 10. Techniques d'accs 11. Dmodulation 12. Performances 15. Conversion Analogique Numrique 16. Codage de source 17. Codage de canal 18. Codage en bande de base 19. Traitement Numrique du signal 20. Filtrage Numrique 21. FFT Section 1 Section 2 Section 4 Section 5 f

Table des matires g

Table des matires Avant-Propos Le but de cet ouvrage est de fournir un support de rfrence destination des tudiants qui dcouvrent pour la premire fois (et parfois la deuxime) de nombreux concepts avec lesquels il faut se familiariser. Modulation, Codage, Traitement du signal, Analyse de Fourier, Analogique ou Numri que Autant de rfrences indispensables celui qui dcouvre le territoire des Tlcoms. On trouvera ici regroup un grand nombre de ces notions. L objectif n est pas de faire ici un cours rigoureux ou une thse documente, mais pour des raisons d efficacit et de synthse, un m anuel pratique permettant de survivre avec plus ou moins de bonheur dans un univers en perptuelle volution, voire rvolution. En un sicle, les progrs techniques et thoriques en lectronique, informatique et mathm atique ont crs des outils dont la complexit est en mesure d tre compare aux capacits crbrales vivants. Ces progrs ne semblent pas se ralentir, et chaque anne de nouvelles appro ches enrichissent le panorama des ralisations possibles. Depuis les communications morse jusqu aux systmes 4G, cette acclration modifie en pro fondeur notre vie quotidienne, mais galement notre environnement global. L abolition de l esp ace et la continuit des relations sont devenues naturelles crant une nouvelle cologie technol ogique, maillant les rseaux dans lequel l homme doit apprendre vivre aujourd hui. Ce qui tait un outil pour s adapter l environnement est devenu un univers tonnant et dconcertant dans lequel nou s devons nouveau nous adapter. Si jadis nous gardions la matrise objective de nos moyens de communications, forc e est de constater qu aujourd hui nous en sommes devenus les observateurs et les spectateurs. C est la re sponsabilit de chacun d en rester les acteurs clairs. Puisse cet ouvrage y contribuer modestement. Je remercie tout particulirement l ensemble de mes tudiants qui ont

au fil des annes contribu l laboration de cet ouvrage MF h

Table des matires

Section 1 -Signaux 1. Signaux de Rfrence 1.1 Classification des signaux 1.1.1 Qu est ce qu un signal ? Nous pouvons dfinir un signal selon au moins deux aspects, l un mathmatique et l autre physique. Sur le plan mathmatique, il s agit d une fonction une variable, qui sera le temps t ou la frquence f. Sur le plan physique, le signal sera en rgle gnral de nature lectrique et sa valeur s exprimera en Volts (V) dans le cas de la tension, ou en Ampres (A) dans le cas d un courant.

Ces dfinitions trs gnrales ncessitent un complment et une classification afin de sign fier prcismment les types de signaux en jeu dans le domaine des tlcommunications qui nous concernera ici. 1.1.2 Grandeurs caractristiques Nous dfinirons par la suite prcisment toutes les grandeurs utiles pour un signal. C ependant, nous pouvons donner une liste des lments fondamentaux pour la description d un signal : La tension (ou le courant) par sa valeur crte, efficace ou moyenne La puissance, lie une impdance, qui peut tre remplace par la tension ou le courant a u carr Les aspects temporels, en particulier le caractre permanent ou transistoire Les aspects spectraux, selon que le signal soit compos de raies (caractre permanen t) ou dcrit par une densit spectrale de puissance (caractre transitoire) La nature des signaux, alatoire ou dterministe Ces divers paramtres seront traits dans les parties qui suivent : ils constituent le rfrentiel des tudes qui sont menes dans le cadre des tlcommunications et des transmissions. Notons en effet que ce qui nous intressera concerne les techniques de transmission de

l information par l utilisation de signaux. Le chapitre 1.5 traite des signaux usuels dans les systmes de tlcommunication: La voix humaine La vido anime Les donnes 1

Section 1 -Signaux 1.1.3 Classification La classification est une premire tape pour comprendre la nature des tudes qui sero nt menes par la suite, ainsi que pour en dfinir les proprits fondamentales. Signal continu Il peut prendre une infinit de valeurs Signal discret Il ne prend qu un nombre fini de valeurs Signal analogique Signal physique continu Signal numrique Signal discret, chantillonn et quantifi Signal dterministe Il est connu pour tout instant t et obit une loi f(t) Signal alatoire Les

valeurs qu il prend sont imprvisibles. Il obit une loi statistique. Signal nergie finie Signal puissance nulle Signal puissance finie Signal nergie infinie Signal transitoire Signal de dure limite signal nergie finie Signal permanent Signal de dure infinie signal puissance finie Signal causal Signal rel qui advient aprs sa cause

Signal acausal Signal qui advient avant la cause qui le provoque Signal priodique Signal se rptant l identique au bout d une dure finie T Signal apriodique Signal de priode infinie. Signal Bande Large Signal occupant une large bande de frquence Signal Bande troite Signal occupant une trs petite bande de frquence Signal Bande de base Signal dont le spectre comprend

de trs basse frquence Signal Bande transpose Signal dont le spectre est situ autour d une frquence non nulle 1.2 Signal Sinusodal 1.2.1 Reprsentation temporelle Un signal sinusoidal pur est une fonction mathmatique que nous pouvons exprimer p ar la relation s(t) = A 0 sin(.0t +.) Cette fonction se reprsente sous la forme suivante: 0 t V x y O T0 .sin 0A..+t0 2

Section 1 -Signaux L amplitude est 0, c est la valeur crte ou maximale du signal. Le dphasage . exprime le dcalage de la courbe t=0. On rappelle ainsi que le signal sinusodal correspond au dveloppe ment du rayon d un cercle en rotation. La frquence f0 exprime en Hertz est dfinie par la relation .0 f = [Hz] 02p O .0 est la pulsation en rad/s. Ce signal est un signal priodique de priode T0 exprime en seconde et valant: 1 T0 = [s] f0 1.2.2 Reprsentation spectrale Il s agit de ne reprsenter dans un repre amplitude/frquence que la raie correspondant la frquence f0 de la porteuse et d amplitude A = A / 2 , ou d amplitude crte. 00 Amplitude Sur le spectre, la raie est reprsente traditionnellement par une flche. Cela signif ie que le signal est permanent dans le temps, et que sa largeur spectrale est nulle, c est dire que les caractristiques de ce signal sinusodal pur (frquence, phase, amplitude) sont inchanges dans le temps, c est dire l infini dans le pass et le futur. Dans le cas contraire, on dira que ce signal, qu on dsignera parfois sous le nom de porteuse, est bande large ou encore modul , et la reprsentation utilisera la notion de densit spectr ale de puissance. Cette notion sera explicite plus loin [1.4.3]. Notons que cette reprsentation est thorique : aucun signal n est infini dans le temp s et sa mesure ne

pourra se reprsenter que par une densit de puissance, c est dire une courbe fonction de la frquence. 1.2.3 Reprsentation 3D Amplitude f0=1/T0 ff0 A0 T0 f Domainetemporel Domaine spectral A0 t 3

Section 1 -Signaux

Pour rsumer les deux reprsentations prcdentes et clairer leur relation, on peut reprs nter sur un mme graphique ci-dessus les deux aspects temporel et spectral. On peut constater que l information sur la phase n est pas visible sur le spectre. O n peut l obtenir seulement sur une reprsentation temporelle. 1.2.4 Reprsentation I/Q Cette information sur la phase d un signal est capitale dans le cas o les signaux m odulants sont numriques et que l on utilise des modulations de phase. On utilise alors la reprsentat ion I/Q, qui correspond au plan complexe ou trigonomtrique, mais invers. Sur le graphique qui suit on reprsente la porteuse p(t) dans cette reprsentation. L amplitude de la flche correspond l amplitude de la porteuse. La phase est l angle de la flche par rapport l axe des abcisses appel axe I pour In Phase (en phase). L axe Q dsigne l axe en Quadrature. Ce systme d axe (I/Q) tourne sur lui mme la pulsation . . 0 QQ rayon 1 I I Axe I : In phase, composante en phase avec cos(.0t) . Axe Q : Quadrature, composante en quadrature avec cos(.0t) . Une information importante visualiser sur ce type de graphique est la frquence. E

n fait ce schma n est valable que pour une frquence (ou une pulsation) prcise, ici f0 =.0/2p . Si on dsire reprsenter ici une porteuse p1 de pulsation .1 >.0 , alors on aura un cercle : l extrmit de cette porteuse va tourner plus vite que les axes eux-mmes qui sont synchroniss sur .0 , et elle va tourner vers la gauche. QQ . .2 . 0 I I 0cos( .2t) En effet, en se rappelant que la pulsation instantane est la drive de la phase inst antane, l augmentation de la phase signifie une pulsation suprieure, et sur le schma l augment ation de cette phase se traduit bien par une rotation de la flche vers la gauche. Par principe, on ne reprsente que l extrmit de la porteuse dans le diagramme I/Q et q ue l on symbolise par un point. 4

Section 1 -Signaux 1.2.5 Reprsentation complexe Dans de nombreux cas il est utile d utiliser la rprsentation complexe. Dans ce cas l a porteuse p(t) est associe au nombre complexe suivant : j.0t

A0e j. et alors: p(t) = Re[A 0t ] 0 Si prsent on considre le point C d affixe c c = a + jb =aej. alors le produit de c par l expression de la porteuse complexe conduit : j. j.0tj.0t ae .A 0e = (a + jb).A 0e et l expression de sa partie relle redonne la valeur: aA cos(. t) - bA sin(. t) 00 00 Placer le point C dans le plan complexe est donc identique placer la porteuse mod ule c est dire ici multiplie par l affixe c. On a donc une identit entre le plan complexe et le pla n I/Q. Cette remarque peut conduire des reprsentations mathmatiques complexes trs pousses mais qu i se reprsentent aisment sur ce type de graphe. x y O e

teA00 . . a b C. 1.3 Puissance 1.3.1 Valeur efficace Nous avons dfini pour le moment la valeur crte ou maximale du signal priodique: 0, a insi que la valeur : A0 = A 0/ 2 [V] Celle-ci est appele valeur efficace du signal sinusodal. On parlera ainsi de tensi on efficace (U) ou de courant efficace (I). Sa dfinition intgrale est rappele au 2.2.4. 1.3.2 Impdance et puissance L impdance d un diple Z est par la loi d Ohm le rapport entre la tension et le courant instantane appliqus un diple : i Z=u/i u 5

Section 1 -Signaux Cette grandeur Z peut a priori tre complexe s il existe un dphasage entre le courant et la tension. Dans le cas qui nous intresse en tlcommunication pour le traitement du signal, nous ne considrerons en gnral que des grandeurs relles pour les impdances utiles, en particul ier 50

. La puissance instantane P dissipe par le diple correspond au produit courant P(t) = u(t).i(t) [W] En considrant un signal sinusoial (paragraphe 1.2.1) on a avec la loi d Ohm: u(t) = 2.U cos(.0t +. ) et i(t) = 2.I cos(.0t) u(t) = Z.i(t) la puissance moyenne, c est dire en prenant la moyenne temporelle de la puissance instantane et qu on qualifie aussi qualifie d active ou relle, relative ce signal, vaut : P0 = U.I cos(. ) [W] et dans le cas d une impdance Z relle: U 2 P = [W] 0 Z tension instantans :

1.3.3 Puissance et complexe L utilisation des grandeurs complexes conduit l utilisation d une dfinition spcifique d la puissance compatible avec celle de la puissance relle : 1 P(t) = u(t).i *(t) 2 Cette dfinition permet d liminer la composante temporelle: 1 Uj. P = e j. avec en outre Z = e 2 I U 2

Ce qui permet de conclure : P0 = Re(P) = Re( Z ) En outre, la composante imaginaire Im(.) est appele puissance ractive.

1.3.4 Dcibels La comparaison de deux puissances P1 et P2 s exprime en calculant leur rapport P1 /P2 . Cependant, les carts de puissance sont parfois tels que ce rapport peut atteindre des propor tions largement suprieures au milliard. Ces valeurs tant trs difficiles apprhender pour l esprit, l u isation du dcibel (dixime de Bel) permet de ramener ces carts des proportions aisment manipulab les. L cart entre ces deux puissances s exprime en dcibels (dB) par: . P1 . GdB = 10log.. [dB] . P2 . La conversion des puissances en tension l aide de la relation du 1.3.2 et avec une impdance de rfrence identique conduit ainsi la relation quivalente: . U1 . GdB = 20log.. [dB] .U 2 . 6

Section 1 -Signaux 1.3.5 dBm et dBW Le dcibel permet de comparer des puissances, mais pas d exprimer simplement une pui ssance absolue. Afin de faciliter les manipulations mathmatiques, on introduit la notion de dBm, pour dcibel milliwatt. Ainsi, au lieu d exprimer une puissance P en Watt, milliwatt, microwatt on utilisera son expression en dBm, c est dire que l on calcule son rapport avec la pui ssance de 1mW : . P(W ) . PdBm = 10log.. [dBm] . 1mW . Ainsi, le 0dBm correspond 1mW exactement. Les valeurs positives seront suprieures cette rfrence, celles qui sont ngatives seront plus petites. Dans le cas de fortes puissances ( l mission principalement), on prfre utiliser le dBW , pour dcibel Watt: . P(W ) . PdBW = 10log.. [dBW] . 1W . 1.3.6 dBV et dB V La mesure des tensions, paralllement, utilise ses propres rfrences appelles dBV et dB V: . U (V ) . UdBV = 20log..

[dBV] . 1V . . U (V ) . U= 20log .. .. .. [dBV] dBV . 1V . 1.3.7 Tableau (cf Annexe G) Le tableau qui suit permet de lire simultanment les niveaux quivalents en tension et puissance sur 50

. Puissance W dBm dBW dBV dBV Volts 1MW (Mga) 90 60 197 77 7kV 1kW (kilo) 60 30 167 47 224V 1W 30 0 dBW 137 17 7V 1mW (milli) 0 dBm -30 107 -13 224mV 1W (micro) -30 -60 77 -43 7mV 1nW (nano) -60 -90 47 -73 224V 1pW (pico) -90 -120 17 -103 7V 1W1mW1uW 1kW 1MW1pW 300-30 60 90-60 -60 300-30 60-90 47 10777 137 167 197 W dBm dBW dBuV (sur50Ohms) 7

Section 1 -Signaux 1.4 Signal numrique 1.4.1 Dfinitions On entend ici par signal numrique, un signal physique sens ne reprsenter qu un nombre fini de valeurs. Nous allons donc considrer ici des signaux qui cette fois ne prennent qu u n nombre de valeurs de tension limit (2, 4, ). Ces signaux reprsentent essentiellement des messa ges binaires, constitus de 0 et de 1 . Pour caractriser ces signaux, nous utiliserons les dfinitions suivantes: L lment binaire Not eb, il dsigne dans un message binaire un 0 ou un 1 . En anglais, on dit bit pour binary digit. Le bit Il s agit en franais de l unit qui mesure la quantit d information (on dit aussi de dcision) contenue dans un message binaire. A ne pas confondre avec le bit anglais qui dsigne un eb! [En anglais, nous signalons galement que Byte signifie Octet en franais] Moment Il s agit de l tat physique que peut prendre la porteuse module par un signal numrique (amplitude, phase et frquence). Symbole Combinaison d eb associe un moment Valence Dbit de moments ou Rapidit de modulation la valence d un signal modul c est le nombre m de moments de la porteuse module Il s agit du nombre de moments que prend la porteuse par unit de temps. Sa signification physique est essentielle : le dbit de moments reprsente la vitesse de changement d tats physiques de la porteuse dans le milieu de transmission. Si T est la dure d un moment, alors le dbit R vaut RT= 1 et s exprime en Bauds (Bd) Dbit d information D Il reprsente la quantit d information par unit de temps qui est transmis dans le systme de communication. Il dpend donc de m, valence du signal. Plus m est grand, plus on peut dire de choses ,

donc plus l information est grande. On retiendra la relation fondamentale qui exprime le dbit d information en bit par seconde : D = R log 2 (m) [bit/s] [La notation bit/s pour bit par seconde est parfois remplace par bps ou b/s] En consquence, si la valeur de la valence est de la forme 2n, o n sera le nombre d eb constituant un symbole, et ce qui est pratiquement toujours le cas, alors : D = n.R [bit/s] et un eb porte alors exactement un bit d information : le dbit d eb par seconde et celui de bits par seconde sont identiques; d o la confusion traditionnelle entre bit et eb. 8

Section 1 -Signaux 1.4.2 Signal de rfrence : NRZ Le signal de rfrence est un signal qui prend deux niveaux de tension : +a et a Volts. La dure de chaque niveau est constante et vaudra T dans toute la suite. On notera an(t) le signal temporel constitu d une succession d lments an prenant la valeur +a ou a de manire alatoire et quiprobable : a .{- a;+a}. Ce signal porte le nom de NRZ pour Non Retour Zro, sous entendu, non r etour n zro au cours de la dure d un moment T. T V t +a -a an(t) "0" "0" "0" "0""1" "1" "1" La valence de ce signal est m=2. Les deux moments sont +a Volts et a Volts pendant T. Il porte respectivement les symboles 1 et 0 . La vitesse de modulation de ce signal en Baud sera donc R=1/T. Le dbit binaire lui est gal. 1.4.3 Densit spectrale de puissance On ne peut pas reprsenter le spectre d un tel signal par des raies [il n est pas priod ique, cf partie 2.2] dont la puissance totale se calculerait simplement. On utilise donc la densit spectrale de puissance,

qui reprsente la valeur moyenne de la puissance du signal en fonction de la frquen ce. Dans le cas o l apparition des moments +a et a est quiprobable, on montre que : . sin(pfT ) .2 G( f ) = aT .. .. .. [V/Hz] pfT .. V/Hz f aT 1 R=1/T 2R 3R .. . . .. . . fTfTp p )sin( )( fG Densit spectrale de puissance Cette expression est dtaille au 2.6.3. Notons que cette grandeur peut galement s expri mer en W/Hz, en considrant une impdance de travail Z,[ G( f )/ Z ], ou en dBm/Hz, en rfrence 1mW [10log(G( f )/ Z.1mW )]. On peut noter le cas particulier du signal tout a , qui est une tension continue a Volts. Sa puissance vaut a/Z,. Cette valeur correspond l intgrale de la densit spectrale de puissance (cf 2.3.4) : +8 G( f )df = a 2 [V] .-8 La puissance du signal est proportionnelle la surface

sous la courbe, et non la valeur de cette courbe. Ainsi, on notera que plus de 60% de la puissance est contenue dans le lo be principal, entre 0 et 9

Section 1 -Signaux R. Donc plus la vitesse du signal modulant sera grande, plus la puissance occupe ra une place importante au niveau spectral. W/Hz f aT/Z R=1/T 2R 3R )( fG Puissance entre 0 et R Densit spectrale de puissance Les reprsentations graphiques de cette densit spectrale de puissance peuvent se fa ire soit en linaire, soit en logarithmique. La figure qui suit utilise une reprsentation logarithmique pour l axe des ordonnes : dBm/Hz f 10log(aT/Z.1mW) R=1/T 2R 3R )( fG13,5dB Densit spectrale de puissance Les lobes dits secondaires auront une influence sur la remonte du niveau de bruit jusqu des frquences leves par rapport la vitesse R du signal modulant. Cette large tendue spectrale est lie essentiellement aux fronts raides des transitions de tension entre +a et a. La figure qui suit utilise galement une chelle logarithmique sur l axe des abscisses f. dBm/Hz f R=1/T 10R )( fG 20dB Tp/1 10log(aT/Z.1mW) Densit spectrale de puissance Afin d valuer les nuisances dues ce type de signaux, on retiendra que les pertes so nt de l ordre de 20dB/dcades, ce qui contribue un niveau de bruit lev. Nous verrons qu un filtrage est absolument ncessaire dans ces conditions pour la transmission de signaux radios et la gestio n de l occupation du spectre. 10

Section 1 -Signaux 1.4.4 Influence de la vitesse La vitesse R a une double influence sur l allure de cette rpartition spectrale : les lobes s largis sent et le sommet du lobe principal s abaisse. Le schma qui suit indique la diffrence entre deux reprsentations spectrales pour une vitesse R1 et R2>R1. Le signal le plus rapide est reprsent sous forme pointille. dBm/Hz fR1 10log(a/R1.Z.1mW) 10log(R1/R2) R2 1.4.5 Signal m-aire Dans la plupart des modulations numriques, on manipule galement des signaux modula nts qui peuvent avoir non pas deux mais trois ou quatre niveaux de tension. On parle alo rs de signaux m-aire avec m nombre d tats de tensions. Au niveau spectral, cela n apporte aucune diffrence par rapport ce qui a t vu dans le s paragraphes prcdents, except le niveau absolu de puissance. Si m est le nombre de niveau et Dv le niveau de tension entre deux niveaux voisins, tous quidistants, alors la densit spectrale de puissance d un tel signal vaut: DV T . sin(pfT ) .2 G( f ) = (m -1) .. .. .. [V/Hz] 12 pfT .. 1.5 Les Signaux physiques 1.5.1

La voix La voix humaine a fait l objet de nombreuses tudes rcentes, en particuliers concerna nt sa reconnaissance automatique ou sa synthse. Son traitement par des codages adequats motive galement des recherches sur ce qui la rend comprhensible l oreille humaine, et en pa rticulier son timbre, ce qui permet de reconnatre une voix et ce qu elle voque (motions, temprament ) De nouvelles techniques de compression et de transmission peuvent alors tre dveloppes avec succs. Nous ne retiendrons ici que les proprits spectrales globales concernant l occupation du spectre ainsi que quelques proprits utiles dans le dimensionnement des systmes de tlcommunications. 11

Section 1 -Signaux Bande analogique de la voix 50Hz-8kHz Bande tlphonique 300Hz-3kHz Bande Hi-Fi 15Hz-15kHz Dynamique (voix forte/faible) 30 dB stabilit des caractristiques 20-50ms Dlai optimal de transmission 400ms Pause entre deux mots ~100ms Dbit numrique standard 64 kbit/s 1kHz 10kHz 20kHz 300Hz 0dB -20dB -40dB Limite d'audibilit dynamique 30dB niveau relatif f 1.5.2 La vido analogique Les signaux vidos sont bien entendu plus dlicats reprsenter car ils dpendent de leur technique d acquisition. Nous nous intressons ici au signal vido analogique classique couleur, diffus par voix hertzienne (TV) ou sur cble vido (type connectique RCA/cinch). Les signaux numrique s seront traits ultrieurement dans la section 4. Le signal vido standard se dcompose en trois signaux fondamentaux correspondant au x trois couleurs rouge (R), bleu (B) et vert (V) qui fournissent les paramtres de luminan ce (Y) et de chrominance (C). La luminance permet la visualisation Noir et Blanc d un signal co uleur. Le signal chrominance divis en deux composantes (Cr et Cb) permet de fournir les informatio ns sur la couleur. Le signal de luminance dtermin de manire empirique s exprime: Y = 0,30.R + 0,59.V + 0,11.B avec 0 pour le noir et 1 pour le blanc. Les signaux de chrominance sont repectiv ement : Cr = R -Y Cb

= B - Y Du point de vue spectrale, le signal de luminance occupe la plus grande partie d u spectre en bande de base. Les signaux de chrominances sont moins riches et occupent une faible bande spectrale; chacun d eux peut moduler (NTSC et PAL) en amplitude deux porteuses de mme valeur en quadr ature (Cosinus et sinus) afin d occuper le moins de place possible. 4,43MHz 6MHz niveau relatif f Luminance Y Chrominance Cr et Cb 12

Section 1 -Signaux On distingue en outre les normes NTSC (National TV Systems Comittee) pour les Et ats-Unis PAL (Phase Alternative Line) pour l Europe et SECAM (Squentiel A Mmoire) pour la France qui diffrent sur le traitement du signal de chrominance : le SECAM utilise deux sous porteuses pour Cr et Cb modules en frquences. Dans le format YUV, on ajoute la composante Y (Luminance) on pondre les deux autr es composantes de chrominance : U =0,492*(B-Y) V =0,877*(R-Y) 1.5.3 Les donnes (cf Annexe H) Prsentes dans les fichiers, les telex, mail, sms meta-donnes de flus audio ou on les reprsente sous forme binaire, associe une reprsentation des caractres alphabtiques, es et des caractres de ponctuation ou de contrle. Le code ASCII (American Standard Code Information Interchange) est l un des plus populaires et des plus utiliss. [on obtient ces ctres dans un traitement de texte courant avec la combinaison ALT+ncaractre] Dcimal ASCII Hexa ASCII caractre ASCII Hexa ASCII caractre ASCII Hexa ASCII caractre ASCII Hexa ASCII caractre 0 00 32 20 Espace 64 @ 96 60 ` 1 01

vido, des chiffr for cara

Dcimal

Dcimal

Dcimal

40

. ! A a 2 . " B b 3 . # C c 4 . $ D d 5 . % E e 6 . & F f 7

33 21 65 41 97 61 02 34 22 66 42 98 62 03 35 23 67 43 99 63 04 36 24 68 44 100 64 05 37 25 69 45 101 65 06 38 26 70 46 102 66

07 39 27 ' 71 47 G 103 67 g 8 08 . 40 28 ( 72 48 H 104 68 h 9 09 . 41 29 ) 73 49 I 105 69 i 10 0A . 42 2A * 74 4A J 106 6A j 11 0B . 43 2B + 75 4B K 107 6B k 12 0C . 44 2C , 76 4C L 108 6C l 13 0D

. 45 2D -77 4D M 109 6D m 14 0E . 46 2E . 78 4E N 110 6E n 15 0F 47 2F / 79 4F O 111 6F o 16 10 . 48 30 0 80 50 P 112 70 p 17 11 . 49 31 1 81 51 Q 113 71 q 18 12 . 50 32 2 82 52 R 114 72 r 19 13 . 51 33 3 83 53 S 115 73 s 20 14 52 34 4 84 54 T 116 74 t 21 15 53 35 5 85 55 U 117 75 u 22 16 . 54 36 6 86 56 V 118 76 v 23 17 . 55 37 7 87 57 W 119 77 w 24 18 . 56 38 8 88 58 X 120 78 x 25 19

. 57 39 9 89 59 Y 121 79 y 26 1A . 58 3A : 90 5A Z 122 7A z 27 1B . 59 3B ; 91 5B [ 123 7B { 28 1C . 60 3C < 92 5C \ 124 7C 29 1D . 61 3D = 93 5D ] 125 7D } 30 1E . 62 3E > 94 5E ^ 126 7E ~ 31 1F . 63 3F ? 95 5F _ 127 7F

Une normalisation ISO plus complte permet d exploiter des variantes de divers alpha bets. Celle associe l alphabet latin d Europe de l Ouest est note ISO 8859-1 [-15 pour l ajout du s ole ]. 13

Section 1 -Signaux

Section 1 -Signaux 2. Analyse Temps-Frquence 2.1 Reprsentation Temps/Frquence L tude d un signal peut se faire de nombreuses faons. L aspect temps/frquence/amplitude st le plus classique mais pas le seul, et dans certains cas il est largement insuffisa nt. Il faut y ajouter les notions d tude statistique, comme pour certains signaux numriques, ou pour le bruit. Nanmoins, l tude temps/frquence reste suffisante dans le cadre d une premire approche. lle implique deux appareils de mesure essentiels dans le domaine analogique : l oscill oscope et l analyseur de spectre. Ces mesures peuvent aussi se raliser dans le domaine numrique, ce qui implique une acquisition du signal et une bonne connaissance des difficults associes (repliement du spectre, b ruit de quantification, codage ). L intrt est de remplacer des appareils lourd et coteux par un microordinateur. Cette tude sera mene dans les dernires sections (Section 4 et 5) de ce document. On pourra complter ces quipements par un analyseur de rseaux qui permettra d analyser le signal en phase, et non plus seulement en amplitude. Puissance Domaine T0 t f Domainetemporel spectral f0=1/T0 PdBm Cette partie permettra de poser les fondements mathmatiques l analyse et au traitem ent du signal. 15

Section 1 -Signaux 2.2 Thorie de Fourier 2.2.1 DSF Dveloppement en Srie de Fourier Considrons un signal temporel s(t), que l on assimilera une fonction relle. Supposons ici que ce signal est une fonction priodique du temps, de priode T0 . La thorie de Fourier permet d affirmer l existence d un dveloppement en srie de la forme : +8 s(t) = a0 +Sak cos(k.0t) +bk sin(k.0t) k=1 avec : 2 T /2 2 T /2 a = 0 s(t) cos(k. t)dt et b = 0 s(t)sin(k. t)dt k 0 k 0 .-T /2 .-T /2 00 T0 T0 On peut galement utiliser la reprsentation complexe : +8 T /2 jk. t 10 - jk. t

00 s(t) =SCke avec Ck = s(t)e dt .-T /2 0 k-8 T0 2.2.2 Reprsentation On dit que le spectre obtenu pour un signal priodique est un spectre de raies. Se ulement, cette reprsentation est partielle puisqu elle ne peut reprsenter fidlement que l amplitude de s raies C . k f0 f2f0-f0-2f0 C1 C2 C0 Ck La phase de la raie arg(C ) n apparat pas sur ce graphique en deux dimensions. Il faut soit lui k adjoindre un second graphique reprsentant la phase en fonction de la frquence, soi t utiliser une reprsentation 3D du spectre, comme sur le schma ci-dessous. fk f Ck .Re(Ck) Im(Ck) 16

Section 1 -Signaux 2.2.3 Proprits On retiendra les proprits suivantes pour un signal priodique : Le spectre est constitu de valeurs discrtes : c est un spectre de raies. L cart de frquence entre deux raies conscutives est de 1/T ou T est la priode du signal priodique Le spectre est symtrique par rapport f=0Hz si le signal est rel. Si les valeurs des raies C sont complexes, alors on a une symtrie pour les modules et une k antisymtrie pour la phase : = C* Ck -k

La valeur C0correspond la valeur moyenne du signal aussi appele offset ou dcalage. 2.2.4 Puissance On dfinit pour un signal priodique sa valeur efficace par 1 T /2 S 2 = s(t)dt [V] eff T .T /2 On appelle alors puissance moyenne quadratique la valeur : 1 T /2

P = s(t)dt [V] .-T /2 T Le terme quadratique est associ au carr de la valeur du signal. On prendra garde d iviser par l impdance (exprim en Ohms) pour obtenir une grandeur homogne une puissance. Le thorme de Parseval permet d assurer l galit entre la puissance moyenne du signal et la somme de la puissance de chaque raie du spectre : +8 P =S Ck 2 [V] k-8 2.2.5 DSF du signal carr On considre un signal carr priodique de priode T et d amplitude normalise 1. Ce signal revt une grande importance en tlcommunication. Il peut tre le modle de base pour toutes l es horloges numriques. Un modle plus fin utilisera un signal trapzodale ( 4.2.3). Pour le signal carr simple le coefficient Cn s exprime par : 2 = pour n impair n =2k+1 Cn pn f0 f3f0-f0 p/21=Cp3/23=C5f0 p5/25=CkC

17

Section 1 -Signaux La dcroissance est donc de 20dB/dec pour la puissance des raies. C est la plus faib le possible, et donc la plus gnante en terme de parasites (perturbations lectromagntiques). 2.3 Fonctions non-priodiques 2.3.1 Limite de la DSF Le dveloppement en srie de Fourier n est possible que pour des fonctions priodiques. Or dans la plupart des cas on traite de signaux quelconques, non priodiques. Il faut alors u tiliser un autre outil pour dterminer les proprits spectrales partir du signal temporel : cet outil c est la transforme de Fourier. Il s agit en fait d une extension de la DSF en considrant qu un signal quelconque est u n signal priodique de priode T0 o T0 tend vers l infini. T /2 1 - jk 2pt / T 0 Ck =. 0 s(t)e Tdt T 0 . .. .+8 -T /2 k / T 0. f 0 0 2.3.2 Transforme de

Fourier Considrons un signal s(t), alors la transforme de Fourier de s(t), note S(f), TF[s(t)] ou F [s(t)] s exprime : +8 - j2pft S( f ) = s(t)e dt [V/Hz] .-8

C est une opration linaire. La plupart des proprits s obtiennent en utilisant les techn ques de changements de variables et les proprits de l exponentielle complexe. L opration rciproque appele transforme de Fourier inverse se note TF-1 : +8 j 2pft s(t) = S( f )e df [V] .-8 2.3.3 Reprsentation La fonction S(f) obtenue par cette opration est continue de la frquence. De plus si la fonction s(t ) est relle, comme dans le cas des signaux priodiques, S(f) est symtrique par rapport l axe zro Hertz. La courbe obtenue sera conventionnellement dnomme spectre de s(t). On peut nouveau utiliser la reprsentation du 2.3.1 pour justifier la continuit : da ns le cas priodique, nous avons des raies, donc des valeurs discrtes. Comme nous supposons q ue T tend vers l infini, 1/T, la distance entre les raies tend vers 0. Donc le spectre de raies s e resserre jusqu devenir un spectre continu la limite .

2.3.4 Puissance On exprime la puissance moyenne d un signal par : 1 T /2 P = lim s(t)dt [V] T .+8 T .-T /2 18

Section 1 -Signaux On montre plus loin [ 2.6.1 ] que cette valeur est aussi appele fonction d autocorrla tion du signal en zro. Elle est gale la relation : +8 P =G( f )df [V] .-8 o G( f ) est la densit spectrale de puissance du signal s(t), fonction dfinie comme la transforme de Fourier du produit d autocorrlation de s(t). [ 2.6.2]. Le thorme de Parseval appliqu aux signaux quelconques permet d crire : +8 +8 s(t)dt = S ( f )df .-8 .-8 Attention : il ne s agit pas d galiser cette relation avec la puissance P. On montre que la gra ndeur en jeu dans ce thorme est l nergie totale du signal s(t), qui peut tre infinie. 2.3.5 Cas de la fonction porte La fonction porte carre pc(t) est associe au schma qui suit : Le calcul de la transforme de Fourier de ce signal est assez simple et on montre que : T/2 t a -T/2 V pc(t) sin(pfT

) Pc(f)=TF[pc(t)]=aT [V/Hz] pfT 1/T f aT -1/T V/Hz 2/T Pc(f) On rappelle que la fonction sinus cardinal est celle qui x associe sin(px)/px et est note parfois sinc(x). on montre que : +8sin(x) +8sin2(x) +8 dx = dx =p =p sin (x)dx .-8 .-8 2 .-8 c xx Cette relation permet de montrer la validit du thorme de Parseval pour cette foncti on : +8 +8 p(t)dt P( f )df = a2T [V/Hz]

.-8 =.-8 aT correspond donc l nergie du signal porte. L homognit avec les relations physiques nc e de diviser par l impdance pour obtenir une grandeur homogne l nergie, dont l unit est Joule [J]. 19

Section 1 -Signaux 2.4 Dirac 2.4.1 Fonctions et distributions Les mathmatiques ont introduit le concept classique de fonction qui permet de raliser une relation entre un paramtre ou une variable et une valeur finie. La notion de distribution est plus dlicat interprter. Elle peut correspondre une extension de la notion de fonction dans le cas o cette dernire pourrait prendre des valeurs infini es. S x fonction S x Distibution S'=0 S La consquence directe est que cette distribution peut prsenter une surface non nul le en un point unique, ce qui est impossible pour une fonction car la surface sous ce point y e st ncessairement nulle. On reprsente alors cette valeur infinie par une flche dont la hauteur est proporti onnelle S. 2.4.2 Dfinition intgrale du Dirac La dfinition intgrale du Dirac note d et sa reprsentation : x0 )(xd1 +8 d(x )dx =1 .- 8 Avec f une fonction est d la distribution de Dirac fonction f f(0) +8 Dirac 1

x x d (x) f (x)dx = f (0) .-8

2.4.3 Interprtation du Dirac On peut nanmoins prsenter le Dirac d une faon plus intuitive en s appuyant sur sa trans forme de Fourier et sur ce qui a t trait dans le paragraphe 2.3.5 consacr la fonction porte p (t). La transforme de Fourier d un Dirac vaut 1 de par sa dfinition intgrale cite ci-dessus : TF[d (t)] = 1 20

Section 1 -Signaux De mme rciproquement on montre en passant par la TF inverse d un Dirac : TF[a] = ad ( f ) or la fonction constante a peut tre assimile une fonction porte dont la dure T tend vers l infini. La transforme de Fourier de cette fonction porte est donc un sinus cardinal qui se r esserre sur la raie zro, et de par la relation qui prcde, elle tend vers une fonction Dirac. f0 )(fad f 0 )(sin fTaTc1/T->0 aT T/2 t a -T/2 V pc(t) TF f0 a V TF On peut crire mathmatiquement que : d ( f ) = limT sin (pfT ) T .+8 c La surface du Dirac est donc constante et vaut toujours 1. Sa hauteur est infini e (d o la flche), et sa largeur nulle (d o le trait).Une autre dfinition est donne en 2.7.2. 2.5 Produit de convolution 2.5.1 Dfinition du Produit de convolution Soient deux signaux x1(t) et x2(t). On appelle produit de convolution de ces deux fonctions la grandeur note x1* x2 :

+8 x1* x2 = .-8 x1(t )x2(t -t )dt [V/Hz] Ce produit est commutatif, associatif et distributif par rapport l addition. Le Dirac prsente la proprit d tre l lment neutre de la convolution : x *d= x 2.5.2 Proprit fondamentale Thorme de Plancherel La transforme de Fourier du produit de convolution est gale au produit des transfo rmes de Fourier : I(x * x )=I(x ).I(x ) = X ( f ).X ( f ) 12 1212 21

Section 1 -Signaux Cette proprit, connue aussi sous le nom de thorme de Plancherel, se montre simplemen t en utilisant les dfinitions du produit de convolution et de la transforme de Fourier.

2.5.3 Fonction de transfert et rponse impulsionnelle Pour expliciter la nature de h(t), inverse de la transforme de Fourier de la fonc tion de transfert, il suffit de se reporter la proprit du Dirac, lment neutre de la convolution. Si l impul ion de Dirac, c est dire impulsion de dure nulle et d amplitude infinie, est applique l entre d un de fonction de transfert H(f), alors la rponse temporelle est h(t). h(t) Systme d(t) h(t) linaire H(f)= F FFFF-1 [h(t)]

h(t) est appele rponse impulsionnelle du systme. On peut appliquer ce rsultat la dtermination de la fonction de transfert d un systme quelconque. On applique une impulsion trs court e ( l aide d un gnrateur d impulsions) et on rcupre l aide d un oscilloscope mmoire la rponse tem L application d une transforme de Fourier cette rponse permettra d obtenir la fonction (f). 2.5.4 Applications aux systmes Un systme en tlcommunication peut dsigner soit une fonction (filtre, amplificateur, mlangeur, oscillateur, coupleur ) soit un ensemble de ces fonctions ralisant une opration de t raitement du signal. Ce systme peut tre tudi soit dans le domaine spectrale, soit dans le domaine temporel. L opration de transforme de Fourier permet d assurer la stricte quivalence entre les de ux domaines.

Choix est laiss l oprateur de celui qui convient le mieux. e(t) s(t)=h1(t)*h2(t)*h3(t)*e(t)h1(t) h2(t) h3(t) H1(f) H2(f) H3(f) S(f)=H1(f).H2(f).H3(f).E(f)E(f) FFFFFFFFFFFF-1Fonction 1 Fonction 2 Fonction 3 Le traitement spectral reste plus ais, le chanage de fonctions se traduisant par l e produit des fonctions de transfert, alors que le domaine temporel ncessite l opration de convolu tion plus dlicate mathmatiquement.

2.5.5 Rponse indicielle Une impulsion de dure trs courte est trs difficile obtenir. On peut gnrer plus simpl ment un chelon de tension ut(t). Nous renvoyons au paragraphe 2.7.1 pour la formalisation de cette fonction. La rponse d un systme cet chelon est appele rponse indicielle. En anticipant sur le chapitre suivant 2.6 sur les signaux complexes, on montre que : 1 TF[ut (t)] = pd (pf ) + jpf 22

Section 1 -Signaux L interprtation de la rponse est alors plus complique que dans le cas prcdent. 2.5.6 Exemple de convolution Afin d expliquer plus concrtement ce qu est la convolution de deux signaux temporels, prsentons ici le cas d un chelon attaquant une fonction dont la rponse impulsionnelle est en forme de cloche. Nous allons donc dterminer le produit de convolution de ces deux signaux : x1(t)*x2(t) t +1 x1(t) t a x2(t) -T T La relation de convolution exprime la surface S d une courbe constitue par le produ it des deux signaux x1(t-t) et x2(t). Ce produit renvoie la valeur de [x1*x2](t). : +8 [x * x ](t ) = x (t -t )x (t)dt 12 12 .-8 t x1(t-).x2(t) surface S t t x1*x2 -T Tt S t On obtient alors pour le produit de convolution une courbe constitue par la succe ssion des surfaces quand le signal chelon glisse en fonction de la valeur de t. Cette courbe est gale ment, selon notre interprtation, la rponse indicielle de la fonction x2(t).

2.6 Corrlation 2.6.1 Dfinitions : intercorrlation et autocorrlation Considrons deux signaux s1(t) et s2(t) valeurs relles, alors le produit d intercorrlation de ces deux signaux vaut : +8 < s ;s > (t ) = s (t)s (t +t )dt 12 12 .-8 Pour les signaux nergie finie +T /2 < s1; s2 > (t ) = lim 1 . s1(t)s2(t +t )dt T .+8 -T /2 T Pour les signaux puissance moyenne finie. 23

Section 1 -Signaux Notons simplement que les signaux dure limite appartiennent la premire classe, et q ue les signaux priodiques ou alatoires la seconde. L autocorrlation consiste considrer le mme signal : s1(t) = s2(t). Citons comme exemples d applications utilisant les proprits de la fonction de corrlat ion, La dfinition de la densit spectrale de puissance d un signal non priodique La dtection d cho dans un signal reu, le traitement radar L extraction d un signal noy dans un bruit lev La dtection de rptition dans une squence La synchronisation d un rcepteur avec un metteur (cas du GPS) Ces aspects sont voqus dans les paragraphes qui suivent. 2.6.2 Densit spectrale de puissance considrons la fonction d autocorrlation d un signal puissance moyenne finie : 1 +T /2 . (t ) = lim s(t)s(t +t )dt T .+8 .-T /2 T Sa transforme de Fourier est par dfinition la densit spectrale de puissance de s(t) et s exprime donc : G( f ) = I[. (t)] .+8 - j

2pft G( f ) = -8 . (t)e dt soit par transforme inverse : +8 j 2pft . (t) =G( f )e df .-8 soit en t=0 +8 . (0) =G( f )df .-8 En exprimant le produit d autocorrlation en 0 on trouve simplement, par dfinition de la puissance moyenne : 1 +T /2 . (0) = lim T . s(t)dt = Pmoy T .+8 -T /2 D o la conclusion finale : +8 Pmoy =G( f )df .-8 Ce qui justifie le terme Densit Spectrale de Puissance.

2.6.3 Cas du signal NRZ Rappelons le signal NRZ : il s agit d un signal de caractre alatoire, prenant au hasar d les valeurs +a et a sur une dure T. Ce signal est not an(t). 24

Section 1 -Signaux TV t +a -a an(t) "0" "0" "0" "0""1" "1" "1" La fonction porte carre pc(t) est associe au schma qui suit : T/2 t a -T/2 V Le signal NRZ est donc une srie de portes et de portes inverses. On formalise cett e description par la relation : an (t) =Sak .pc (t)*d (t - kT ) k avec ak .{- a;a} dterminant le message de an(t). On peut rduire cette expression : an (t) = pc (t)* .. Sak .d (t - kT ) . . . k . La transforme de Fourier de la fonction d autocorrlation de ce signal NRZ donne la d ensit spectrale de puissance qui s exprime: G( f ) =I[< an (t);an (t) >] . sin(pfT ) .2 G( f ) = aT

.. .. .. [V/Hz] (1.4.3) pfT .. Nous reverrons ce calcul dans le traitement des codages en section 4.

2.6.4 Dtection d chos La fonction d autocorrlation est une fonction temporelle. En t=0 on a vu (2.5.2) que cette valeur correspondait la puissance moyenne du signal. Que reprsente-t-elle ailleurs ? En rgle gnral, cette fonction permet de dterminer si il y a des corrlations l intrieur mme d un signal, c ire des zones identiques qui se rptent dans le temps, ce qui peut notamment tre le cas d ch la rception d un signal. 25

Section 1 -Signaux

Le signal de gauche est le signal initial, le second est identique mais bruit : l ch o n y est pas visible. Le schma qui suit reprsente l autocorrlation du signal bruit et fait apparatre deux l s fondamentaux :

La prsence d un cho par la prsence d un pic signifiant une corrlation interne au si

l instant de l cho par rapport l instant 0 qui permet le calcul du retard de cet cho Un affichage en dcibel sur l ordonne rvlerait encore plus clairement la prsence de cet ho.

2.6.5 Extraction de signal La fonction d autocorrlation d un signal bruit permet galement de dtecter la prsence d ignaux priodiques de trs faibles niveaux et masqus par le bruit. L oscillogramme de droite e st l autocorrlation de celui de gauche. 2.6.6 Rptition de squences Considrons la srie constitue de 0 et de 1 ci-dessous. Cette squence est-elle priodiqu e ? ou plus simplement comporte-t-elle des sries binaires identiques et quelle dure les spare ?

La rponse est assez dlicate apporter visuellement, mais en callculant la fonction d autocorrlation des deux squences, le retard apparat nettement sous forme d un pic de corrlation . Su le graphe qui suit, le pic initial ( t=0s) reprsente la valeur maximale possible. Ici le pic distant de 126ms a la mme hauteur (2V) : la squence est donc bel et bien priodique de priode 126ms 26

Section 1 -Signaux 2.7 Fonctions complexes 2.7.1 Fonction chelon Dfinissons pour commencer la fonction signe, qui donne le signal d une valeur x telle que : x = 0 . sgn(x) = 1 x < 0 . sgn(x) =-1 x +1 sgn(x) -1 A partir de cette fonction on peut dfinir la fonction chelon note ut(x). 1 ut (x) = [1+ sgn(x)] 2 x +1 ut(x) On utilisera ainsi l chelon temporel not ut(t) et l chelon frquentielle Uf(f). ATTENTION, la seconde n a rien voir avec la transforme de Fourier de la premire. Cette remarque est au dpar t de l tude qui suit sur les signaux complexes. 2.7.2 Signaux complexes Considrons le spectre d un signal rel s(t). Celui-ci, obtenu partir de sa transforme de Fourier prsente la particularit d tre symtrique par rapport zro (2.3.3) : 27

Section 1 -Signaux f V/Hz 0 On peut alors considrer le signal dont le spectre est donn par S(f). Uf(f), c est dire qu il ne comporte aucune frquence ngative dans son spectre, c est dire dans sa transforme de F ourier. f0 S(f).Uf(f) V/Hz La question qui se pose est alors : quelle est le signal temporel z(t) dont la transforme de Fourier est Z(f)=S(f).Uf(f) ? Pour rpondre cette question on est ramen au calcul de uf(t), inverse de la transforme de Fourier de Uf(f) . En effet, d aprs le thorme de Plancherel : z(t) = s(t)*uf (t) Le calcul de la transforme inverse conduit alors montrer, avec les notations prcden tes que le signal obtenu est une fonction temporelle valeur complexe : 1 . 1 . uf (t) = . .. d (t) -. .. 2 pjt .. Remarque : le calcul s appuie sur une dfinition mathmatique que nous voquerons simplement ici sans lui donner la rigueur ncessaire. Un cours plus exhaustif sur les mathmatiques du signal serait ncessaire, ce qui n est pas notre objet ici : d (t) = d [sgn(t)] dt 2.7.3 Interprtation Une explication est ncessaire pour donner ce signal complexe une interprtation sim ple : en effet, qu est-ce qu un signal temporel complexe ?

Considrons un signal cosinusodal simple : s(t) = cos(.0t) on lui associe classiquement un signal complexe not s(t) = cos(.0t) + j sin(.0t) On montre en le calculant que la transforme de Fourier du premier diffre du second par la prsence d un signal frquence ngative : TF[s(t)] =d (. +.0) +d (. -.0) TF[s(t)] = 2d (. -.0) 28

Section 1 -Signaux V V 2 cosinus rel 1 cosinus complexe 0 0 f f Ceci permet de comprendre le rle du signal complexe qui permet une analyse frquent ielle dans le domaine physique des frquences positives. On constate que le poids (puissance) es t le mme pour les deux signaux et vaut 2. Nous allons gnraliser ces notions dans le chapitre sui vant. 2.8 Transforme de Hilbert 2.8.1 Signal analytique Le signal analytique z(t) associ un signal rel s(t) est un signal complexe dont le spectre ne comporte pas de frquences ngatives. Avec les notations de la partie prcdente : Z ( f ) = S( f ).Uf ( f ) z(t) = s(t)*uf (t) donc 1 . 1 . z(t) = s(t)* . .. d (t) -.

.. 2 pjt .. 1 . 1 . z(t) =. .. s(t) - s(t)* . .. 2 pjt .. 2.8.2 Transforme de Hilbert A partir de l expression prcdente on peut introduire le signal dfinit par : 11 +8 s(t ) s (t) = s(t)* = dt pt p .-8 t -t Ce signal est appel transforme de Hilbert de s(t) : 1 +8 s(t ) H[s(t)] = dt . p -8 t -t Le signal analytique est alors dfinit par : z(t) = 1 (s(t) + jH[s(t)]) 2 f0 signal s(t) f0 signal z(t) V/Hz V/Hz 29

Section 1 -Signaux 2.8.3 Ralisation pratique La transforme de Hilbert d un signal se ralise simplement en dphasant toutes les comp osantes d un signal de 90. En effet la transforme de Hilbert correspond une opration de convolut ion, ce qui conduit trouver la fonction dont la rponse impulsionnelle est 1/pt. Angle Dphaseur D(f) p /2 0f -p /2 La fonction de transfert complexe de ce dphaseur s exprime : p j sgn( f ) D( f ) = j.sgn( f ) = e 2 et le calcul de la transforme inverse conduit (calcul dlicat analogue au 2.7.2) : -11 d(t) =I[D( f )] = pt

Ce dphaseur est dlicat raliser physiquement en basse frquence (BF), mais plus ais en haute frquence (HF). Un simple lment de cble de longueur adquat peut assurer l opration. De us pour expliciter la forme particulire du dphaseur on peut tudier celle du cosinus : - j. TF[cos(.t -.)] = TF[cos.t].e 2.8.4 Application :

modulation BLU Le schma suivant prsente ainsi la mthode pour raliser une modulation BLU (Bande Latra le Unique) partir d un signal rel s(t). Cette structure ralise l opration complte : elle limine la partie ngative du spectre de s(t) et fait la transposition en frquence porteuse. f V/Hz OL s(t) f0 f V/Hz f0-f0 30

Section 1 -Signaux 2.9 Proprits spectrales des signaux 2.9.1 Proprits fondamentales Nous noncerons ici des proprits importantes des signaux courants rencontrs en tlcommunication. Elles permettent d anticiper sur les mthodes de mesure adaptes au sig nal utile. Un signal born dans le temps a un spectre infini. Rciproquement, un signal ayant un spectre born a une dure infinie. Un signal priodique a un spectre de raies.

Un signal apriodique a un spectre continu. 2.9.2 Dure utile et largeur utile Tout signal physique a une dure limite, d o un spectre qui occupe une largeur dtermine selon sa transforme de Fourier. Strictement, ce spectre une largeur infinie. Physiquement, il est sans intrt de considrer, dans le cas d une porte carre, des lobes attnus de 500dB. Il faut donc f ixer une limite raisonnable cette largeur. La largeur utile Bu rpond a une dfinition mathmatique s appuyant sur la rpartition statistique du spectre. On peut admettre qu elle correspond grosso modo la largeur apparente du s pectre. De faon similaire, la dure utile Du d un signal bande troite correspond la dure apparente d un signal qui devrait tre de dure infinie. temps V frquence V temps V frquence V temps V frquence V temps V

frquence V 31

Section 1 -Signaux 2.9.3 Relation d incertitude On montre en utilisant les dfinitions mathmatiques propres la relation appele relat ion d incertitude : Du.Bu > 1/p Cette inquation est intressante pour l interprtation des proprits spectrales : Plus un signal sera de courte dure, plus son spectre sera large.

Inversement, plus un signal a un spectre troit, plus sa dure est longue. 2.9.4 Thorme de Bernstein On peut noncer un thorme qui complte la relation prcdente : un signal de spectre larg et born aura des variations temporelles plus rapides qu un signal spectre troit. temps V frquence V/Hz temps V frquence V modulation de frquence En corollaire, on peut prciser qu un signal qui prsente une variation temporelle de pente infinie (impulsion ou chelon) prsente un spectre non born. 32

Section 1 -Signaux 3. Filtrage 3.1 Aspects mathmatiques 3.1.1 Notion de systme linaire sans distorsion Un systme sera dit linaire s il ne produit en sortie aucune frquence qui n tait pas prsente l entre. En d autres termes, toute sinusode l entre provoquera en sortie l apparition utre sinusode de mme frquence, ventuellement dphase et attnue, voire d amplitude nulle. On peut imposer en outre que ce systme ne provoque aucune distorsion d amplitude ou de phase au signal qui lui est appliqu l entre [cf chapitre 3.5]. La seule opration qui correspon de cette dfinition est celle de la fonction retard qui restitue en sortie le signal d entre a vec un certain retard t. s(t) = e(t -t ) En appliquant les proprits de la transforme de Fourier cette relation, on obtient a lors : - j.t S(.) = e .E(.) Cette dernire relation dtermine la fonction de transfert d un filtre idal : - j.t H (.) = e H(f) 1 0 f arg(H(f)) pente 0 f L opration de filtrage consistera donc limiter cette fonction aux plages de frquence s que l on souhaitera conserver en sortie du filtre, toujours avec le retard t. 3.1.2 Rponse

impulsionnelle et convolution Nous avons vu dans la partie prcdente que la rponse impulsionnelle d un systme tait la transforme de Fourier inverse de la fonction de transfert : 33

Section 1 -Signaux h(t) Systme h(t) Linaire H(f)= F FFFF-1[h(t)] Dans notre cas ici, la rponse impulsionnelle notre filtre idal du 3.1.1 sera un Dir ac, donc le signal d entre, parfaitement restitue mais avec un retard : -1 - j.t h(t) =I (e )=d (t -t ) dans le cas d un filtre quelconque, la rponse temporelle en sortie du filtre sera l a convolution de la rponse impulsionnelle avec le signal d entre : s(t) = h(t)*e(t) h(t) Filtre s(t)e(t) H(f)= F FFFF-1 [h(t)] Nous remarquerons ici que cette relation est fort peu utilise par les praticiens des filtres physique, que nous voquerons dans le second chapitre, et dont le travail s appuie essentielle ment sur l aspect spectral. Cependant, elle est fondamentale dans le cas d une approche des filtres numriques et apporte un complment dans l tude des comportements des systmes aux signaux transitoir es. 3.1.3 Cas du filtre Passe-bas arg(H(f)) pente f th(t) H(f)= [h(t)]FFFF-1 )(tdh(t) H(f) 1 0-f0 f0 f

0-f0 f0 Abordons ici le cas du filtre passe-bas ; d une part parce que l tude des autres type s est analogue, d autre part parce que son usage le rend indispensable dans tous les dispositifs d e traitement des signaux. Considrons un filtre passe-bas idal, de frquence de coupure f0=1/T0. Sa fonction de transfert correspond celle du filtre idal limit la frquence de coupure : - j2pf t H ( f ) = e pour f f0 34

Section 1 -Signaux On montre alors sans difficults mathmatiques majeures que la transforme de Fourier inverse de H(f) s exprime : sin(2pf0(t -t )) h(t) = p (t -t ) h(t) 0 T0 ft+t 2/T0 C est la rponse impulsionnelle : nous ne sommes pas surpris de retrouver un Dirac dc al dans le temps et dform en sin(x)/x par l opration de filtrage.

On constate que ce signal est de type acausal. En effet, la rponse h(t) est non nulle pour t ngatif, c est dire avant l impulsion cause de la rponse : le signal commence avant sa cause ! On annulera la partie pour t a) . ( = erfc 2 . il reste prciser deux choses la relation entre la tension a et la densit spectrale de puissance du signal NRZ la relation entre la tension Ueff et la densit spectrale de bruit N0 On se souvient que sur une impdance Z, une tension continue +a dveloppe une puissance constante P=a/Z. D aprs ce qui a t vu sur le bruit, sur une impdance Z, N= N0.B=Ueff/Z d o la relation : . . prob(U> a) = 1 erfc. . (7) bruit . . 2 . . Ueff. . 2 (6) 2. . 0 ZBNZP Or, comme P dsigne en ralit la puissance moyenne, P.T dsigne l nergie Eb utilise pour mettre 1 eb (de tension a) et si le filtrage est suppos rpondre au premier critre de Nyqui st (en premire approximation on peut donc crire B=1/2T,

cf section 3, 11.2.2) alors P/B=2Eb et enfin : 63

1 Eb TEB erfc 2 N0 . . . . . . = Section 1 -Signaux (8) puisque TEB dsigne bien le tauxd erreurbinaire(ou probabilit d erreur sur la rception d n eb) de la liaison. Cette formule (8) est encore valable pour une modulation 2-PSK ainsi que pour une modulation QPSK. 4.7.5Intgrateuretdcisiona -a t U .Ta -a t UInstants de dcision Instants de dcision Signal bruit Signal intgr Il est courant de placer un intgrateur avant le dtecteur de seuil effectuant la pr ise de dcision afin de lisser le signal et de minimiser les carts dus des pics transitoires de bruits pouv ant affecter gravement la prise de dcision. Nous reviendrons sur cette technique ainsi que sur l valuation de la dcision (dure o u douce) dans la section 4 sur les codages. 4.7.6 Reprsentation graphique du TEB Fonction TEB=f(Eb/No) -signal NRZ 10^-910^-810^-710^-610^-510^-410^-310^-210^-1 -5.000 0.000

5.000 10.000 15.000 0.5*erfc(sqrt( 64

Section 1 -Signaux La valeur de la variable Eb/N0 est donne habituellement en dB pour le calcul du TEB. On rappelle alors qu il faut effectuer au pralable la transformation des dB en linaire avant de calculer la courbe du taux d erreur. Le graphe qui suit donne cette fois la fonction (8) tablie prcdemme nt (4.7.4). On note traditionnellement le taux d erreur binaire (TEB) sous la forme d une puissa nce de 10 : c est le rapport entre le nombre d eb faux et le nombre d eb correctement transmis, nombre ncessairement plus petit que 1. Ainsi 10-n signifie que l on reoit un eb faux sur 10n envoys. 4.7.7 Conclusions Sur le plan des rsultats, nous remarquerons, pour continuer le parallle avec l tude m ene sur les rapports S/N en analogique, que les transmissions numriques sont de bonne qualit quand le taux d erreur descend sous la valeur 10-6, soit un eb faux sur un million. Pour des val eurs de 1 pour mille (10-3), la liaison est inexploitable et la dmodulation quasi impossible. Ces rema rques sont purement indicatives et nous verrons que l utilisation de codages correcteurs d erreurs (sect ion 4) permet de relativiser ces remarques. Eb/N0 TEB Qualit 5dB 10-2 Inexploitable 7dB 10-3 Inexploitable 11dB 10-6 Excellent 12dB 10-8 Excellent 13dB 10-10 Excellent

On constate donc qu il faut environ 4dB sur le rapport Eb/N0 pour passer d une liaison inexploitable une liaison quasi parfaite. La modification de 4dB du rapport de puissance peut t re provoque par de trs lgers dfauts sur une liaison : modification de la mto, lger dplacement d une ant ou dfaut de connexion d un cble par exemple. Ces remarques nous conduisent la notion d effet de seuil : la liaison numrique est ou bien parfaite ou bien inexistante, et le passage de l une l autre se fait brutalement. Ainsi, l augm entation du rapport signal bruit est, partir de ce seuil, sans effet sur la qualit du signal, contrairement aux transmissions analogiques (4.6.3). Sur le plan mathmatique et thorique, le calcul du TEB men dans le cas prcdent illustr e la

mthode qui peut conduire l expression thorique du Taux d erreur sur une liaison numriq e, quelque soit la nature de cette liaison : par exemple dans le cas des modulation QAM ou PSK, on considrera la demi-distance entre les points les plus proches de la constellation pour dvelopper le calcul. Cependant, ce dernier ne tiendra pas compte d ventuelle codage (GRAY, code protecteur ) qui amlioreront les rsultats. La suite de ce document (sections 3 et 4) est consacre en partie la considration d e ces problmes : l utilisation de techniques spciales qui permettent de dtecter et corriger les erreu rs et donc d amliorer les rsultats de la formule (8). On se posera alors le problme de la capaci t du canal (partie 12.4) 65

Section 2

Modulations Analogiques

Section 2


5. Modulation d Amplitude 5.1 Principe de la modulation d'amplitude 5.1.1 Les contraintes du canal On transmet habituellement des signaux par voie hertzienne, par des cbles mtalliqu es ou des fibres optiques. Ces canaux physiques de transmission ne sont aptes transmettre que cer tains types de frquences, sous une forme lectrique, radio-lectrique ou lumineuse.

Pour mettre un signal de 1kHz, on doit alors raliser un dispositif permettant d asso cier cette frquence basse une frquence plus leve et adapte au canal en question. Un changement e frquence permet de dcaler le spectre du signal transmettre autour d'une frquence lev : la frquence porteuse. C'est cette srie d oprations de translation, de duplication et de multiplexage du sp ectre que l'on ralise lors d'une modulation. 5.1.2 Principe de base Ce principe dcrit le "Mlange" d'une onde BF (voix) avec une onde HF (porteuse) On distingue trois signaux de dnominations varies: BF: AF (audio frequency), signal modulant, information, voix ou son HF: RF (radio frequency), signal modul Porteuse: onde HF ou RF non module : c'est une frquence pure Modulateur AF RF Porteuse La modulation d amplitude est aussi dnomme A3E en radiodiffusion : modulation double bande latrale avec porteuse conserve. 67

Section 2 Modulations Analogiques 68 5.2 La modulation d'amplitude A3E 5.2.1 Description des signaux de rfrence Pour dcrire cette opration, nous allons dfinir les deux signaux que nous manipulero ns ici, et dans la modulation de frquence. Le signal BF, de forme sinusodale Le signal HF (porteuse non module) galement sinusodal Signal BF Expression littrale temporelle du message: m(t) = cos.t avec . 2p T = 0.000 500.00u 1.000m 1.500m 2.000m -3.00 -1.50 0.00 1.50 3.00 Signal BF V t/s Vsys(Sys, msg) 0.000 5.000k 10.000k 15.000k 20.000k 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Spectre signal BF 1V/1kHz Mag/V f/Hz mag On rappelle la relation entre valeur crte et valeur efficace : = 2.a . Nous donno ns ici les allures temporelle et spectrale de m(t) pour 1Volts crte et 1kHz de frquence: Porteuse HF Expression temporelle de la porteuse: 0.000 500.00u 1.000m 1.500m 2.000m -3.00 -1.50 0.00 1.50 3.00 Porteuse HF V t/s Vsys(Sys, msg) 0.000 5.000k 10.000k 15.000k 20.000k 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Spectre signal HF 1.5V/10kHz Mag/V f/Hz mag

( ) cos( ) p t = 0 .0t avec 0 0 0 2 1 f T = = . p 5.2.2 La modulation d'amplitude L opration de modulation d amplitude A3E en radiodiffusion) consiste modifier l BF, ou signal modulant. La forme du signal modulant L amplitude sur le diagramme temporel

(MA, en anglais AM pour Amplitude modulation ou amplitude de l onde porteuse selon celle de l onde est ainsi prsente sur le schma suivant: est une tension exprime en volts.

Section 2


Oscillogramme de h(t): Expression du signal modul en amplitude AM : t V 0+ 0 0- Vmax Vmin . . h(t) =[ + m(t)]cos(. t) = cos(. t). 1 + cos.t 0 000 .. . 0 . a k ==On appelle k le taux de modulation : et on l exprime en %. 0 A0 Spectre de h(t): Une opration simple sur l expression h(t) permet d crire celle-ci comme la somme de fonctions sinusodales. On peut donc reprsenter le spectre du signal sous la forme de 3 raies : la raie centrale appele porteuse et deux raies latrales caractrisant le signal modulant. L amplitude sur le spectre peut s exprimer en Volts ou en Watts sur une impdance donne . 0 /2 f V f0f0-f f0+f BLI BLS Les deux raies latrales sont cartes de f de la raie centrale : plus la frquence du signal BF (f) est leve, plus les deux raies latrales sont loignes de la porteuse. On dit que la bande p

assante de h(t) vaut 2f. La raie de gauche est appele raie latrale infrieure (BLI Bande latrale infr eure) et celle de droite appele raie latrale suprieure (BLS Bande latrale suprieure).

Simulation les deux signaux de rfrences dcrits prcdemment (1.2.1) et impliqus dans une modulati d amplitude donnent les rsultats suivants: 69

Section 2 Modulation AM Spectre signal modul AM 2.00 Mag/V -1.50 -3.00 t/s f/Hz Vsys(Sys, am)


mag

0.001.50V 0.000500.00u1.000m1.500m2.000m 0.000.501.001.50 0.0005.000k10.000k15.000k20.000k 5.2.3 Cas limites On distingue plusieurs cas limites utiles pour la description de la modulation d a mplitude ; ces cas dpendent de la valeur du taux de modulation k. k=0% Il n y a pas de signal modulant; ou encore =0. Le signal h(t) est gale la porteuse pure. k=100% Si le taux de modulation est de 100%, on a alors = . Le signal a la forme suivante: 0 Signal modul en amplitude avec k = 100% 0 f V f0f0-f f0+f 0/2

k=100% t V 20 0 On observe un pincement du signal modul appel aussi creux de modulation . Par opposit ion, le point o le signal modul atteind le niveau maximale de 20 en tension est appel crte de modulation . Au niveau de la crte de modulation, la puissance instantane du signal modul est max imale ; cette puissance est nulle au niveau du creux de modulation. On parlera de signal forte dynamique d amplitude. k>100%; surmodulation. Dans le cas d'une surmodulation, le taux de modulation est suprieur 100%. Deux ca s peuvent se prsenter. Du point de vue thorique, il n y pas de difficults : le spectre est inchang et les co urbes dlimitant l enveloppe se croisent comme dans le schma ci dessous 70

Section 2 V 0 t V k>100% 0 /2>0/2


f0-f f0 f0+f f Cependant, pour des raisons technologiques il y a dans les modulateurs saturatio n des transistors constituant les tages amplificateurs et le signal rellement obtenu en surmodulatio n ressemble au second : 0 V t V k>100% 0 /2>0/2 f0-f f0 f0+f f Ce cas pose au moins deux problmes techniques et un troisime lgal: Une impossibilt de dmodulation classique et simple par dtection d enveloppe, donc la ncessit d une dmodulation de type synchrone ou cohrente beaucoup plus complexe. Un largissement du spectre d la saturation des amplificateurs utiliss pour raliser techniquement l'opration de modulation d'amplitude. Notons bien que cet inconvnien t est

d ordre technique et non thorique.

L interdiction ( cause du problme prcdent d largissement du spectre hors de la bande a ue) d mettre en surmodulation. En pratique, les stations mettant en modulation d amplitude (A3E) sont limites k=97%. 5.2.4 Constellation AM On peut utiliser la reprsentation polaire pour la porteuse module en amplitude. Da ns ce cas, la frquence ne change pas, seule l amplitude varie, c est dire la longueur de la flche. O n obtient donc un segment de droite sur l axe en phase I (ou plus gnralement le long d un rayon). Q I00- 0+ Constellation AM 71

Section 2


5.2.5 Puissances Considrons le cas de la modulation d'amplitude avec une sinusode comme signal modu lant. Nous reproduisons ci-dessous le spectre du signal modul : 0 f V f0f0-f f0+f /2=k0/2 fo: frquence porteuse 0 : amplitude crte de la porteuse pure A0 : tension efficace de la porteuse pure f: frquence du signal modulant : amplitude crte du signal modulant a: tension efficace du signal modulant Pour dterminer la puissance moyenne efficace totale du signal, il suffit de dtermi ner celle de chaque raie sparment : A02 Puissance efficace sur la porteuse: P0 = Z . k.A .21 k 2 A 2 k 2 Puissance efficace sur une bande latrale: Pl =. 0 .= 0 = P . 2 . Z 4Z 40 La puissance sur la bande latrale infrieure et sur la bande latrale suprieure est la mme.

Puissance totale moyenne du signal modul fournie par le gnrateur: . k 2 . Pt = P + 2P = P .1+. [W] 0 l 0 .. 2 .. O P0 est la puissance de la porteuse pure, ou non module. P0 est en principe la puissance affiche par le gnrateur. Puissance crte du signal modul fournie par le gnrateur: Il s agit de la puissance moyenne mise pendant la crte de modulation. La tension eff icace de la porteuse module est alors A0+a=A0(1+k). ) ) 2 Pcrte = P0 (1 + k Cette puissance peut donc atteindre 4 fois la puissance moyenne pour un taux de modulation de 100%. Ainsi un signal modul 100% avec une puissance moyenne de 50W ncessitera une puissa nce crte de 200W. Cela est fondamental lors de la conception des metteurs de puissance en AM.

Expression en dBm . k 2 . Pt = P +10log.1 +. [W] dBm 0dBm .. 2 .. 72

Section 2


Le rapport en dcibel entre la puissance de la raie porteuse et celle d une raie latr ale vaut : GdB = 10log PP 0 l = 6dB - 20log k Ainsi pour k= 100% le rapport maximal entre la puissance sur la porteuse et la p uissance sur les bandes latrales est de 6dB P0dBm f dBm f0f0-f f0+f PdBm k=100% 6dB Spectre en dBm du signal modul 100% 5.2.6 Cas d un signal bande large Si le signal modulant n est plus une sinusode pure mais un signal bande large, par exemple la voix, l allure du spectre du spectre modul sera comme prcis ci-dessous: Amp ff0f0-fmax f0+fmax Modulation MA Amp f fmax Signal bande de base Signal modul Les signaux de basses frquences sont au pied de la porteuse et les signaux de plu s haute frquence seront les plus loigns de la porteuse : plus le filtre autour de la porteuse sera large et plus il laissera passer les frquences aigues. La largeur de bande du signal modul est en conclusion B = 2 fmax Pour les signaux vocaux en radiodiffusion, la bande 50Hz-6000Hz est traditionnel lement utilise. Les largeurs des signaux moduls en A3E dans les gammes LF/MF/HF (Grandes Ondes Ondes

Courtes) sont ainsi de 12kHz environ. Exemple de spectre AM dans la bande HF: 1kHz/div en abscisse, donc 4kHz de largeur de bande totale visible. 73

Section 2


5.3 Modulations intermdiaires 5.3.1 Modulation d'amplitude porteuse supprime (MAPS/J3E) Dans la modulation d'amplitude, il apparait que le signal modul se compose d'une porteuse ne transportant aucune information et de deux bandes latrales transportant la mme inf ormation, le tout dans une bande passante double de celle du signal modulant. La suppression de la porteuse donne naissance une Modulation d'Amplitude Porteus e Supprime aussi appele MAPS. Allure temporelle l expression du signal module en MAPS vaut avec les notations dfinies au 1.2.1: 0 h(t) = Kp(t).m(t) = K cos(.t) cos(. t) = K [cos[(.-. )t]+ cos[(.+. )t]] 00 00 2 V t K..0 T=1/f ATTENTION: ne pas confondre avec la surmodulation 1.2.3.

Spectre ff V f0-f f0+f K0/2 On constate bien l abscence de raie porteuse sur le spectre.

Puissance La puissance totale est alors celle des deux raies et vaut: Pt = 2Pl Nous verrons lors de l analyse technologique que cette puissance est lie au coeffic ient K0 introduit par le multiplicateur ralisant l opration de modulation ( 5.4.1). 74

Section 2


5.3.2 Modulation d'amplitude en bande latrale unique (BLU/SSB) Pour accrotre encore l efficacit de l mission, et compte-tenu du fait que dans le spect re prcdent on a deux raies qui transportent la mme information (f et a), il est possible de n mettre qu une seule raie : on parle alors de modulation Bande Latrale Unique (BLU English: Single Sid e Band SSB) Lorsque la bande infrieure est conserve, on module en BLI ou BLU INF ou LSB (Lower Side Band). Lorsque la bande suprieure est conserve, on module en BLS ou BLU SUP ou USB (Upper Side Band). 5.3.3 Modulation d'amplitude en bande latrale rsiduelle (BLR/VSB) Aussi appele Vestigial Side Band en anglais (ou VSB) et dsigne par C3E.

Il s agit de filtrer le signal modul en amplitude classique de faon liminer une parti e de la bande latrale infrieure et utiliser la puissance pour l mission de la bande suprieure seule ent. Ce type de modulation est utiliser pour les signaux bande large, en particulier la TV he rtzienne analogique. On aurait pu envisager une BLU plus classique mais la ralisation technique de la BLU aurait endommag les trs basses frquences du signal vido (en particulier la composante conti nue) qui sont fondamentales pour sa restitution. ff0f0-f f0+f Filtre Amp Modulation BLR Le signal TV transmis sur le canal radio est dcrit ci-dessous occupe des bandes rs erves de 8MHz attribues par les autorits de chaque pays. La sous-porteuse son est module en ampli tude (en France) ou en frquence.

4,43MHz 6MHz niveau relatif f Luminance Y Chrominance Cr et Cb 6,5MHz Sous-porteuse son 1,25MHz Structure du canal TV hertzien Cette technique est supprime dans le cas du passage au tout DVB-T (TNT). 5.4 Technologie 5.4.1 Structure d un modulateur d amplitude La structure de base rpond la relation mathmatique du signal modul h(t): h(t) = p(t) + K0 m(t).p(t) 75

Section 2


Elle ncesssite donc deux oprations fondamentales : une multiplication et une addit ion de deux signaux: K0.m(t).p(t) m(t) p(t) X + h(t) On constate sur ce schma, que derrire le multiplicateur on retrouve le signal MAPS .

La ralisation technique de ces deux modulations s appuiera sur ce schma. Celle de la modulation BLU est plus dlicate (ce n est pas un simple filtrage ; elle se rapproche des princ ipes utiliss en modulation numrique) et sera vue ultrieurement. L opration d addition se ralise simplem nt en lectronique (additionneur de deux tensions) Celle de multiplication, aussi appele mlange est moins simple. Elle dpend de la frquence de porteuse (HF SHF) et de la finalit (modulation ou transposition). On pourra se reporter au volume suivant traitant des metteurs/rcep teurs et de la SHF pour plus d information.

Notons en outre que les modulations dites numriques utilisent galement ce type d oprat on, ce qui sera vu dans la section 3. Nous donnerons dans les paragraphes qui suivent l es structures les plus classiques de mlangeurs. 5.4.2 Multiplicateurs transistors Il existe de nombreuses structures base de transistors. On retrouve dans les schm as des composants intgrs utiliss couramment, la structure de l amplificateur diffrentiel, qui consiste e n deux transistors dont les metteurs sont connects ensemble. On peut retrouver des structures un seul composant (bipolaire ou FET), une ou de ux diodes Nous verrons que l opration de mlange peut tre lie l intermodulation entre deux signaux, opration synonyme de non-linarit pour les composants actifs semi-conducteurs. La de scription du fonctionnement de ces circuits sort du cadre de ce cours. S E1 E2

S= K0.E1.E2 76

Section 2 5.4.3 Mlangeur en anneau p(t) s(t)


m(t) D1 D3 D4 D2 Ce type de montage est utilis des frquences leves (de quelques MHz quelques GHz). Les nombres de spires des 6 enroulements sont gaux. Le fonctionnement peut s expliquer simplement en considrant que les diodes fonction nent en rgime passant ou bloqu, et que les transformateurs ont un rapport unitaire. Si p(t)>0 Les diodes D1 et D2 sont passantes et ont une rsistance dynamiques faible. Pour l es petites variations, le secondaires du transformateur de gauche est pratiquement en court circuit. Les diodes D3 et D4 sont bloques et quivalentes un circuit ouvert. s(t) = -m(t) si p(t)f0 f1>f0 Q I f2>f0 f1>f0 p. = "1" "0" I Q 0 0=. 00 I Q 10 11 01 000 I Q 010 011 111 101 100 110 001 I Q 1 -1 -1 1 Umax Valence_ _ 2 2 2 4 8 16 Dbitsbinaire_ _ R R R 2R 3R 4R Utilisation Radiodiffusion en HF (OL/OM/OC) TV Hertzienne en V/UHF Radiodiffusion en bande FM 88-108MHz CB (citizen Band) 27MHz Rseaux de communication s professionnels

et privs en V/UHF Transmission analogique TV par satellite Modem numrique HF et cble V21 V23 Modulation GFSK Gaussian FSK pour Bluetooth Transmission radio Modulation GMSK Gaussian MSK pour GSM et GPRS Transmission satellite UMTS avec talement Transmission satellite DVB-S pour la TV et la tlphonie UMTS avec talement Modems filaires V22 V26 Transmission satellite haut-dbit Modems V27 EDGE V32 Faisceau hertzien 128

Section 3

Modulations Numriques

9. Techniques de modulations 9.1 Modulations diffrentielles 9.1.1 Dfinition Les modulations de phase diffrentielles DPSK (Differential Phase Shift Keying) so nt une variante des modulations PSK. L information n est plus contenue dans la phase absolue de la p orteuse mais dans l cart de phase par rapport l tat prcdent. On peut en donner trois illustrations diffrentes. 9.1.2 QPSK diffrentielle On peut construire une modulation PSK deux tats diffrentielle avec : Pour 0 , conservation de la phase de l tat prcdent Pour 1 , inversion de la phase de l tat prcdent Cependant il existe un risque de pertes de la frquence horloge. On peut donc util iser une OQPSK et imposer une transition systmatique tous les T : on ne transmet alors qu un eb par moment : pp saut + , e.b. transmis 1 saut -, e.b. transmis 0 22 Dans le cas d une QPSK pure, le saut de 180 peut tre utilise et on peut transmettre d eux eb par moments. Symbole Saut de phase 00 Pas de saut (0) 01 Saut de 90 10 Saut de 90 11 Saut de 180 Q 11 01

I 00 10 129 DQPSK

Section 3


Les modulations non diffrentielles sont aussi appeles cohrentes car elles ncessitent de connatre la phase de la porteuse. Ici, seules les transitions sont importantes et on pourra utiliser des dmodulateurs incohrents , c est dire qui ne ncessitent pas la rcupration de la porteuse en phas ec PLL) . h(t) DPSK retard T )cos(.. X Dmodulation incohrente d'une modulation diffrentielle 9.1.3. PSK8 diffrentielle On peut encore optimiser le principe en utilisant une 8-PSK. On peut galement uti liser les 8 sauts de phase possibles et ainsi transmettre chaque moment 3eb. On retrouve ainsi la mme efficacit spectrale qu une 8-PSK. Symbole Saut de phase Symbole Saut de phase 000 Pas de saut (0) 110 Saut de 180 001 Saut de 45 111 Saut de 225 101 Saut de 90 011 Saut de 270 100 Saut de 135 010 Saut de 315

9.1.4. Intrts et inconvnients Le principale intrt rside dans l incohrence de la dmodulation, qui devient trs simple iser, sans rcupration de porteuse. Le principal inconvnient rside dans le risque d erreurs : en effet, si on se trompe sur un saut de phase, la mesure du saut suivant sera galement fausse (trop grande ou trop petite suivant la premire erreur). On risque sur une 8-PSK 6 eb errons pour une erreur de dcision sur un sym bole. Il est donc important d utiliser un codage de GRAY ( 9.3.2) pour les sauts de faon limiter ces r isques. Le tableau prcdent rpond aux exigences du code de GRAY.

9.1.5. p pppp/4 DQPSK C est une modulation diffrentielle huit tats de phase mais qui transmet seulement 2e b par moment. Tous les sauts ne sont pas utiliss, ce qui prsente l intrt d viter les transitions par qui provoquent des annulations de la porteuse (saut de 180). Q

DQPSK 00 10 11 01 4/p I 130

Section 3 Modulations Numriques 131 Sur le graphe qui suit on montre la constellation d une p/4 DQPSK dont les signaux modulants ont t filtrs par des filtres en cosinus surlevs. -2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000 -1.50 -0.75 0.00 0.75 1.50 encoded constellation after filtering Signal(Sys, q, 0 Ce type de modulation est utilis par les tlphones cellulaires amricains et japonais.

9.2 Modulations codes 9.2.1 Nature et intrts Afin d augmenter l efficacit d une modulation, c est dire d assurer un taux d erreur le faible possible dans des conditions donnes (cf chapitre 11- Dmodulation), on a dvelopp des techniques o le codage est associ au mappage des symboles sur la constellation. C est dire que l s symboles (combinaisons d eb) sont associs de manire prcise aux diffrents points de la constella tion et en rapport avec les contraintes de la liaison. Ce chapitre anticipe quelque peu sur la partie suivante, auquel nous renvoyons p our des dtails supplmentaires. 9.2.2 Influence du bruit sur la constellation Tout les points de la constellation vont tre sensibles aux bruits et auront tenda nce s taler autour de leur position idal dfinit par le couple (an, bn). L origine des bruits et leur contribution peut se classer en deux catgories : Gigue de phase : Elle modifie la phase de la porteuse et peut tre due diffrentes causes : Stabilit des oscillateurs (VCO, PLL ) Effet Doppler (mouvement de l metteur par rapport au rcepteur) Non linarit des phases de filtres (dispersion) I Q an bn Bruit d'amplitude Gigue de phase

Section 3 Bruit d amplitude :


Il joue sur l amplitude de la porteuse Parasites externes (Foudre, tincelles ) Bruits lectroniques (bruit blanc thermique) Fading (vanouissements dus aux multi-trajets) On peut signaler en outre l influence du bruit de quantification, provoqu par le nombre d tat de quantification limit du CAN lors de la numrisation du signal modul. Les amplitud es de la porteuses sont discrtises selon la figure qui suit : I Q an bn Bruit de quantific ation 9.2.3 Codage de GRAY Pour diminuer le risque d erreurs on utilise un codage type codage de Gray , les zon es de dcision adjacents ne codent que les sries qui diffre d un e.b. (voir schma ci-dessous). Le codage de Gray peut encore tre utilis pour une 8-PSK. 00 I Q 10 1101 2 eb errons 00 I Q 10 01 Toujours 1 eb erron 11Codage de GRAY En revanche, il est impossible raliser pour une modulation QAM vu la structure de la constellation. On utilise alors le concept de modulation hirarchique. 9.2.4 Modulations hirarchiques Le codage de GRAY tant impossible raliser en QAM avec une efficacit comparable aux modulations PSK, on utilise d autres procds qui permettent de limiter les erreurs. O n parle dans ce

cas de modulations hirarchiques. Plusieurs variantes coexistent. I Q 1 -1 -1 1 I Q 1 -1 -1 1 132

Section 3


Elles s appuient en grande partie sur la nature des eb transmettre (codage) et pri vilgient la transmission de certains (poids fort) sur les autres. Sur le schma ci-dessus, la constellation de droite permet d identifier de manire plus sre les quadrants qui portent les 2 eb de poids f orts. Ainsi dans le cas de la 16QAM, les quatre quadrans peuvent coder chacun 2eb en codage de Gray comme pour une QPSK ; les 2eb suivant seront de poids faibles. I Q 1 -1 -1 1 Autre possibilit : sur la constellation ci-dessus, les points griss peuvent tre mod uls sparment des autres comme une QPSK classique. La rsistance au bruit de cettte modulation sera plus grande que celle utilisant les points noirs. On transmettra ainsi de manire fiable 2 eb. On va tre ainsi conduit transmettre simultanment deux flux binaires distincts

Le flux Haute priorit (HP Stream, High priority Stream) mieux protg, avec un dbit infrieur pouvant tre reu dans des conditions mdiocres : l intrieur d un btiment, da un vhicule, loin de l metteur

Le flux Basse priorit (LP stream, Low Priority Stream) moins sr. Avec un dbit suprieur devant tre reu dans de bonnes conditions : l extrieur d un btiment, fixe, prt de l metteur Ces procds sont utiliss pour les cas o la transmission doit tre continue et o certain s erreurs peuvent tre tolres (transmission temps rel , images et sons). Ce type de modulation es utilis pour les normes de types DVB-T (Digital Video Broadcasting Terrestrial) dans le cas d une 64QAM. 9.2.5 PCM Pulse Coded Modulation le terme PCM se traduit par MIC Modulation d Impulsions Codes. Cette technqiue n est pas proprement parl une modulation, mais une technique de transcodage lectrique en ban de de base. Elle est historiquement associe au traitement numrique de la voix avec un dbit de 6 4kbit/s. Nous la

dtaillerons dans la section suivante. Initialement labore pour les rseaux numriques, on la retrouve aujourd hui sur les bouc les locales analogiques pour accrotre le dbit binaire dans les normes telles que V90 et V92, mm e si ces lignes ne sont pas prvues pour cela. 9.3 TCM 9.3.1 Treillis Coded Modulation Plus rcemment dveloppe, la modulation TCM (ou MCT, Modulation Code en Treillis) est en ralit une technique de codage du train binaire modulant qui permet d accrotre l efficac it spectrale, c est dire le dbit binaire conditions gales de transmission (puissance, bruit et ban de passante). Cette technique est assimilable celle des codages detecteurs correcteurs d erreurs dits convolutifs et qui seront tudis dans la section suivante. 133

Section 3


L ide est de ne pas autoriser les transitions par certains points au cours de la tr ansmission, ce qui permettra une dtection plus efficace des erreurs de dcision et un pouvoir de corre ction grce l exploitation d un treillis (cf section 4). On peut ainsi doubler le dbit binaire transmis en utilisant cette technique. 9.3.2 Transitions simples en modulation de phase Pour transmettre le train binaire, on peut aller indiffrement d un point de la cons tellation un autre. Le plus petit trajet possible est donc la distance entre deux de ces points, soi t sur une porteuse de 1Volts, une distance de dmin : d min = 2 = 1,414 V L erreur, cause par l influence de la tension de bruit (cf section 1 de ce document), est donc limite par cette valeur. Diminuer l erreur revient augmenter la distance entre lespoints, donc accrotre la valeur de la porteuse. Q I dmin Dans le cas d une 8PSK, Tout comme en QPSK, la distance entre deux points limite l e rreur. Comme les points sont plus rapprochs, le risque d erreur est plus grand Q I d'min d'min = 2sin(p / 8) =0,765 V Ainsi, pour une porteuse de puissance identique, la 8PSK est moins performante q ue la QPSK, l identification non ambigu des points de la constellation ncessitant moins de bruit . En contre-partie, le dbit est augment pour une bande passante quivalente dans un rapport 3/2. 9.3.3 Codage et chemin Supposons prsent que toutes les transitions partir d un point ne soient pas autorise

s. Ce principe a dj t voqu dans le cas de l OQPSK, ou de la p/4 DQPSk ( 9.1.5). Ainsi, dans le cadr la 8PSK, partir d un point, seuls 4 sont accessibles dans la sous-constellation QPSK laquelle il appartient. Le dbit et les performances pour cette transition sont donc identique s celle d une QPSK : 134

Section 3 QQ


I saut 1 1 0 2 3 4 5 6 7 I saut 2 Seulement, au second saut, les points les moins distants du point d origine (2 et 6) vont diverger vers la seconde sous constellation. Seul le point le plus loign (4) autorise le saut de retour au point de dpart (0). Au troisime saut, d autres chemins peuvent passer nouveau par le point de dpart. L ord re des sauts et des chemins est dtermin par un treillis qui permet de lire les chemins valides (cf plus bas). Le premier chemin qui convergera nouveau vers l origine et pourra y rester aux sauts suivants, est celui prsent sur la figure suivante : Q I saut 3 saut 4 sauts suivants 0 1 23 4 Supposons que la squence toute nulle soit transmise. En principe, dans ce cas le code est galement nul et le mme point (point 0 sur la constellation) est transmis en continu : la p orteuse est fixe. Le trajet le plus court qui diverge et reconverge est l aller-retour par le point opp os (0-4-0), de longueur 4, suivi par le trajet (0-2-1-2-0) de longueur 2*(1,414+0,765)=4,36 V . Compar la QPSK o le trajet le plus court tait (0-2-0), le trajet (0-4-0) est ici racine de deux fois plus long. Par consquent, il faudra deux fois plus de bruit (en terme de puissance) pour compromettre le traj et nul, c est dire le confondre avec un trajet valide. I Q 0 2 4 I Q 0

1 23 4 Surface (puissance) de bruit en QPSK Surface (puissance) de bruit en 8PSK-TCM Le gain obtenu par ce procd, appel 8PSK-TCM est de 3dB sur une QPSK classique dbit quivalent. 9.3.4 Codage en Treillis On fournit ci-dessous un treillis quatre tats, avec gauche les transitions possib les et droite les dibits du train binaire modulant. La squence dcode impose la rception de p

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