TP 6 : Diffraction et Interférence des ondes lumineuses - Correction

Objectifs : - Pratiquer une démarche expérimentale visant à étudier ou utiliser le phénomène de diffraction et d’interférence dans le cas des ondes lumineuse. - Mettre en œuvre un protocole expérimental utilisant un laser.

I°) La lumière, une onde électromagnétique

La lumière est une onde mais qui n'est pas mécanique. En effet, les ondes mécaniques ont besoin d'un milieu pour se propager (exemple: le son dans l'air) alors que la lumière peut se propager dans le vide.

Donc comme la lumière est une onde, elle subie le phénomène de diffraction.

a°) Diffraction lumineuse

• Réaliser l'expérience ci-dessous.

1°) Dessiner rapidement sur votre compte rendu l'image obtenue dans 2 cas: lorsque la fente est large et lorsqu'elle est peu épaisse.

Voici ce que l'on observe :

2°) Qu'observez-vous ? Dans quel cas le phénomène le phénomène de diffraction apparait-il ? (Comparer la longueur d'onde λ avec la largeur de la fente)

On voit que lorsque la largeur de la fente diminue, la tache du faisceau laser s'élargie, c'est le phénomène de diffraction.

On peut vérifier sur les images suivantes que le phénomène apparaît si la largeur de l'objet diffractant (ici une fente) se rapproche de la longueur d'onde λ de l'onde.

Fente

LASER

Écran2 feuilles à bords

parfaitement découpés

D = 1,80 md ≈ 10 cm

Fente large Fente moins large Fente fine

Largeur de fente aLargeur de

fente a

λλ

Ici a > λ ( peu de diffraction)

Ici a ≈ λ ( présence de diffraction)

Ici le laser a une longueur d'onde λ = 650 nm il est donc normale que la fente soit donc fine pour que la diffraction apparaisse.

3°) Comparer la direction ou s'étale la figure de diffraction par rapport à la direction de la fente.

La tache de diffraction est perpendiculaire à la fente.

b°) Diffraction par différents objets

• Réaliser la même expérience mais avec différents objets diffractants et dessiner rapidement les images obtenues dans les cas suivants :

- Diffraction par une fente.- Diffraction par un fil.- Diffraction par un trou.

Voici les observations :

- Qu'observez-vous entre la géométrie de l'objet diffractant et de l'image obtenue ? Quelle remarque pouvez-vous faire pour la fente et le fil ?

On voit facilement que la figure de la diffraction conserve la géométrie de l'objet diffractant.On remarque aussi que la figure de diffraction est pareil pour un fil que pour une fente.

c°) Influence de la largeur de la fente

• Réaliser toujours la même expérience mais cette fois avec des diapositives dont la largeur des fentes sont calibrées.

1°) Relever la longueur d'onde λ de la lumière du laser (valeur donnée par le constructeur).

On relève que le laser a λ = 650 nm (couleur rouge).

2°) Pour chaque fente de largeur a, relever la largeur L de la tache centrale. Compléter le tableau situé derrière. Attention aux unités !

Diffraction par une fente Diffraction par un fil Diffraction par une trou

a = 400 µm

a = 280 µm

a = 120 µm

a = 100 µm

0,400×10−3 0,280×10−3 0,120×10−3 0,100×10−3 0,050×10−3 0,040×10−3

2,50 × 103 3,57 × 103 8,33 × 103 1,00 × 104 2,0 × 103 2,5 × 104

L (m) 0,006 0,009 0,021 0,027 0,047 0,062

3°) Tracer le graphique montrant l'évolution de L en fonction de 1a

.

4°) 1a

et L sont-ils proportionnels ?

Ils sont proportionnels car on obtient une droite qui passe par l'origine et donc nous avons une relation du type :

L=k×1a

(ou k est le coefficient directeur de la droite)

a (m)

1a(m−1

)

1a

Lcheveu

a = 400 µm

a = 280 µm

a = 120 µm

a = 70 µm (fente inconnue)

a = 40 µm

a = 50 µm

a = 100 µm

a = 50 µm

a = 40 µmLargeur de la tache centraleL

5°) Mesurer l'épaisseur d'un de vos cheveux. Faire apparaître les traits de construction sur le graphique.

On mesure une épaisseur L = 3,1 cm = 0,031 m.

Sur le graphique on lit l'abscisse correspondant: 1a

= 13×103 donc on a a =

1

13×103= 77µm .

d°) Modélisation (cette partie peut être faite chez vous, vous pouvez donc passer au III Interférences)

Le but de cette partie est de relier l'angle d'ouverture θ (voir image ci-dessous) en fonction de a et de λ.

1°) Donner la relation entre: tan(θ), D et L. On a

2°) Pour des petits angles, on a: tan(θ) ≈ θ, écrire alors la relation entre θ, D et L.

Si θ est petit ( c'est à dire si θ << 1 ) alors tan (θ)≈ θ =L

2D .

3°) Compléter alors le tableau ci-dessous: On rappel que λ = 650 nm = 650 × 10-9 m

0,400×10−3 0,280×10−3 0,120×10−3 0,100×10−3 0,050×10−3 0,040×10−3

λa

4°) Comparer alors θ et λ

a. En déduire alors la relation générale entre D, L et λ et a.

On remarque que est approximativement égale à λ

a et donc on peut écrire l'égalité suivante :

Ce qui s'écrit encore L =2 λ D

a5°) Vérifier l'homogénéité de la relation obtenue.

Vérifions la dimension des formules suivantes:

On a [λ]=m et de même [a ]=m et [D]=m .

On a également [L] =[λ ][D]

[a ]=

m×mm

=m . Donc la formule L =2 λ D

a est bien homogène.

II°) Interférences lumineuses

a°) Observations

On utilise le même dispositif que précédemment, mais dans cette partie les fentes utilisées sont doubles on les appelle fentes d'Young.

1°) Observer l’écran. Décrire la figure observée.

Voila ce que l'on observe :

a (m)

tan (θ)=L

2D

0,0062×1,80

=1,6×10−3θ =L2D

1,6×10−2

2,5×10−35,8×10−3 7,5×10−3

1,4×10−2 1,9×10−2

1,3×10−2

θ =L

2Dλa=

L2D

6,5×10−35,42×10−32,3×10−3650×10−9

0,400×10−3=1,6×10−3

On voit le phénomène de diffraction dans lequel apparaît plusieurs franges brillantes et sombres. Ce sont les interférences.

On appelle interfrange i la distance séparant les milieux de deux franges brillantes ou deux franges sombres consécutives.

2°) Représenter la figure d’interférence observée sur l’écran et repérer l’interfrange i sur le schéma.

b°) Influence de la distance b entre les 2 fentes

• Réaliser toujours la même expérience mais cette fois avec des diapositives dont la distance b entre les fentes est calibrée.

1°) Pour chaque distance b, relever l'interfrange i. Compléter le tableau situé ci-dessous. Attention aux unités !

Remarque : pour être plus précis, on mesure 10 interfranges et on divise la longueur par 10 pour avoir une seule interfrange.

Distance entre les fentes b (m)

Interfrange i (m) 0,0036 0,0027 0,0018

2°) En déduire, parmi les formules proposées, celle correspondant à l’expression de l’interfrange.

a/ i=λ.b.D b/ i= λ.Db

c/ i= λ.bD

d/ i= λD.b

D'après les résultats, on voit que plus la distance b est grande et plus l'interfrange i diminue.Donc on ne peut que choisir la relation b ou d. Mais il faut de plus que la relation soit homogène ce qui

n'est pas le cas de la relation d, en effet nous avons : [i]=[λ ]

[D]. [b]=

mm×m

=m−1 ce qui n'est pas

homogène à une longueur.

i (interfrange)

b = 325 µm

b = 435 µm

b = 660 µm

660×10−6435×10−6325×10−6

Donc la seule relation vérifiant l'expérience et qui soit homogène est : i=λ Db

Remarque : on peut tracer l'interfrange i en fonction de 1b

et s'apercevoir que l'on avait aussi une droite

qui passe par l'origine.

Remarque : il faut faire les mesures avec des fentes de même largeur (ici 70 µm).

c°) Application : le CD (disque compact)

Le CD fut inventé en 1981 par Sony et Phillips. Les disques compacts sont constitués d’une galette de polycarbonate de 1,2 millimètre d’épaisseur recouvert d’une fine couche d’aluminium.

Les informations sur un CD standard sont codées sur une piste d’alvéoles en spirale moulée dans le polycarbonate. Chaque alvéole mesure environ entre 125 nm et 500 nm de large et varie entre 833 nm et 3,5 µm en longueur. L’espace entre les pistes est de 1,6 µm.

Sur un CD, l'information est codée sous forme de creux et de plats (codage binaire 0 et 1) le long d'une piste en forme de spirale. Celle-ci démarre à une distance R1 = 2,50 cm de l'axe du CD et se termine à la distance R2 = 5,80 cm. Le disque à un diamètre total de 12,00 cm.

b = 1,6 µm

1a

Dans cette partie nous allons essayer de vérifier que la distance entre les pistes vaut environ 1,6 µm.

a°) Interférence avec un CD

Principe : les pistes font office de fentes éloignées les unes des autres de la distance b = 1,6 µm. La petite valeur de b permet d'éclairer (au laser) des centaines de fentes simultanément. Donc en fait il s'agit d'interférence non pas à 2 fentes mais à plusieurs (on dit interférence à N fentes).

Résultat : l'interférence à N fentes donne une interfrange i= λ Db

identique à celle avec 2 fentes

(valable pour les petits angles). La seule différence est que les taches lumineuses sont fines.

- Réaliser l'interférence du laser avec un CD.

1°) Mesurer alors l'interfrange i et en déduire la valeur de la distance entre les pistes. Cette valeur est-elle compatible avec celle donnée dans le texte ?

Voici ce que l'on observe :

On en déduit la distance entre les pistes : i= λ.Db

→ b= λ.Di

=650×10−9

×0,20

9,2×10−2=1,4µm

Ce qui est proche de la valeur attendue 1,6 µm.

b = 1,6 µm

Zone de l'information

CD

LASER

Écran

D = 20 cmd ≈ 10 cm

i = 9,2 cm

Questions pour la culture (pour les plus rapides)

a°) Le CD s'apparente à un réseau. On indique toujours le nombre de traits par mm (un trait = 1 piste). Calculer le nombre de traits/mm pour un CD, on prendra b = 1,60 µm.

Si les pistes sont séparées par 1,60 µm alors dans 1 mm, il y a 1

1,60×10−6=625tr /mm

Ainsi, un CD s'apparente à un réseau ayant 625 tr/mm.

b°) Grâce au schéma, combien de pistes (environ) contient un CD. Pour répondre, on dira que chaque piste est un cercle de rayon R qui est supérieur de 1,60 µm du cercle précèdent.

Les pistes sont gravées entre 2,50 cm et 5,80 cm soit une distance de 5,80 – 2,50 = 3,30 cm = 33,0 mm. Dans cet intervalle, il y a alors N=625×33,0=2,06×104 pistes .

c°) En déduire la longueur totale LT des pistes. Rappel : somme des entiers : S=∑1

N

n =N (N +1)

2

Chaque piste voit sont rayon plus grand de la précédente de 1,60 µm. Si on assimile les pistes à des

cercles de rayon Rn , la longueur totale vaut alors L=∑n=1

N

2πRn .

(circonférence d'un cercle de rayon R est l = 2πR)

Or le premier cercle commence au rayon R1=2,50 cm=0,0250 m .

Le cercle suivant a un rayon R2=R1+b=0,0250+1,6×10−6

Et donc le nième cercle aura un rayon Rn=R 1+n b .

Donc nous avons L=∑n=1

N

2πRn=∑n=1

N

2 π (R1+n b) ce qui s'écrit bien sur L=∑n=1

N

2πR1+∑n=1

N

2πnb .

Ce qui s'écrit aussi L=2 πR1∑n=1

N

1+2 πb∑n=1

N

n , on reconnaît facilement la somme des entiers.

Finalement nous avons L=2 πR1 N +2π b×N ( N+1)

2.

Application numérique :

L=2π×0,0250×2,06×104+2π×1,60×10−6

×2,06×104

×(2,06×104+1)

2=5,37×103 m

Ainsi la piste sur un CD fait plus de 5 km de longueur !

Remarque : sur les DVD et sur les Blu-Ray cette distance doit être encore plus grande car la distance entre les pistes est encore plus petite (b = 0,74 µm pour le DVD et b = 0,32 µm pour le Blu-Ray)

I°) Incertitudes sur les mesures :

Résumons ce que l'on vient de voir :

la formule pour la diffraction est : L =2 λ D

a

la formule pour les interférences : i= λ Db

On les utilise généralement pour mesurer l'épaisseur des objets de faibles dimension donc, on les écrit sous la

forme suivante : a =2λ D

L et b=

λ Di

.

On donne les résultats avec leurs incertitudes, ici les formules (toujours données) sont :

pour la diffraction : Δ a=a √( Δ DD )

2

+( Δλλ )

2

+( Δ LL )

2

.

et pour les interférences : Δ b=b √(Δ DD )

2

+(Δλλ )

2

+(Δ ii )

2

(même formule)

Pour faire les calculs, il nous faut les incertitudes liées aux mesures, ici nous avons :

D= 1,80 ± 0,01 m (précision au centimètre, incertitude sur la position de la diapositive et de l'écran).λ = 650 ± 10 nm (le constructeur ne donne pas de valeur mais en regardant sur plusieurs sites de vente de laser c'est l'incertitude qui est donnée)

Pour la diffraction L = 0,047 ± 0,001 m (Fente affichée à 50 µm)

Pour les interférences i = 0,0027 ± 0,0001 m (Double fentes affichée à 435 µm)

Calculs avec la diffraction:

a =2λ D

L=

2×650×10−9×1,80

0,047=49,79 µm . Calculons maintenant l'incertitude sur cette valeur.

Δ a=a √(Δ DD )

2

+(Δλλ )

2

+(Δ LL )

2

= 49,79 √(0,011,80 )

2

+( 10×10−9

650×10−9 )2

+( 0,0010,047 )

2

=1,3 µm

Soit Δa = 1,3 µm ≈ 2 µm et donc nous avons finalement : a = 50 ± 2 µm

Le constructeur (Jeulin) donne ceci :

Ce qui veut dire que Δa = 0,10 × 50 = 5 µm et donc a = 50 ± 5 µm (10 % = 0,10)

Donc nous avons

(Vérification au microscope avec Mesurim)

On remarque que les bords ne sont pas très réguliers.(photographie prise sur un microscope avec un grossissement de 10 ×).

Évidement la mesure avec le logiciel dépend bien sur de l'étalonnage, je les fais avec un réseau de 15,15 tr/mm assez précis à mon avis vu la correspondance entre les résultats.

Calculs avec les interférences:

b =λ D

i=

650×10−9×1,80

0,0027=433,33 µm . Calculons maintenant l'incertitude sur cette valeur.

Δb=b √(Δ DD )

2

+(Δλλ )

2

+(Δii )

2

= 433,33 √(0,011,80 )

2

+( 10×10−9

650×10−9 )2

+( 0,0010,047 )

2

=12 µm

50 µm

a (µm)

+ 2 µm- 2 µm

+ 5 µm- 5 µm

Soit Δb = 12 µm ≈ 20 µm et donc nous avons finalement : b = 430 ± 20 µm

Le constructeur (Jeulin) donne ceci :

Remarque : Jeulin donne la distance bords à bords (internes), la largeur de fente et en faite la demi largeur. Pour avoir la distance correspondant au milieu des fentes nous avons alors 300 + 2 × 70 = 440 µm (pour la double fentes qui nous intéresse).

Ce qui veut dire que Δb = 0,10 × 440 = 44 µm ≈ 50 µm et donc b = 440 ± 50 µm (10 % = 0,10)

Donc nous avons

(Vérification au microscope avec Mesurim)

On remarque que les bords ne sont pas très réguliers ici aussi.(photographie prise sur un microscope avec un grossissement de 10 ×).

II°) Incertitudes sur la longueur d'onde du laser:

On peut très bien utiliser les formules précédentes pour déterminer la longueur d'onde du laser.

Dans ce cas les formules sont : λ =a L2D

ou λ=i bD

et dans ce cas les formules des incertitudes deviennent :

Δλ=λ √(Δ DD )

2

+(Δaa )

2

+(Δ LL )

2

et Δλ=λ √(Δ DD )

2

+(Δbb )

2

+(Δ ii )

2

Prenons pour incertitudes celles du constructeur, à savoir a = 50 ± 5 µm et b = 440 ± 50 µm. Les autres restant les mêmes : L = 0,047 ± 0,001 m et i = 0,0027 ± 0,0001 m.

440 µm

a (µm)

+ 20 µm- 20 µm

+ 50 µm- 50 µm

430 µm

Pour la diffraction:

λ =a L2D

=50×10−6

×0,0472×1,80

=652,77 nm

Δλ=λ √(Δ DD )

2

+(Δaa )

2

+(Δ LL )

2

= 652,77 √(0,011,80 )

2

+( 550 )

2

+(0,0010,047 )

2

=66,8 nm

Soit Δλ = 66,8 nm ≈ 70 nm et donc nous avons finalement : λ = 650 ± 70 nm

Pour les interférences :

λ =i bD

=0,0027×440×10−6

1,80=660 nm

Δλ=λ √(Δ DD )

2

+(Δbb )

2

+(Δ ii )

2

= 660√( 0,011,80 )

2

+( 50440 )

2

+( 0,00010,0027 )

2

=78,9 nm

Soit Δλ = 78,9 nm ≈ 80 nm et donc nous avons finalement : λ = 660 ± 80 nm