A. Partie 2 : Diffraction - Institut Optique

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Opt. Phys Partie 2 : Diffraction 1 02/11/2016

Henri BENISTY novembre 2015

COURS D’OPTIQUE PHYSIQUE ESO1

Partie 2 : Diffraction

I. Formulation générales

I.1 Introduction, exemple de l’effet Talbot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Propagation dans le vide, Développement en Ondes Planes (Cours de liaison avec l’e.m., sera fait par F. Marquier ) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.3 Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.4 Diffraction de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II à V : Formulations de Fourier

II) Diffraction à l’infini ou diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III) Généralisation de la diffraction de Fraunhofer à une conjugaison quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

IV) Imagerie en lumière cohérente (optique de Fourier), applic. à la strioscopie et au contraste de phase. . . . 27

V) Application aux réseaux, réseaux blazés (hors poly : voir transparents).

A. Partie 2 : Diffraction

A.I. Formulations générales

A.I.1. INTRODUCTION Bibliographie personnelle :

Eugene Hecht, « Optique », Pearson Education

(fort bonne traduction française, plein de parfaites illustrations)

van de Hulst « Light scattering by small particles », Dover, NY?, 1957

Lipson&Lipson, “Optical Physics”, Cambridge University Press? Cambridge, 1969.

Avant de faire une introduction générale mettant en relief les questions fondamentales soulevées par la diffraction des ondes, nous traitons un cas intermédiaire entre fentes d’YOUNG et diffraction, « l’effet Talbot ».

De quoi s’agit-il ? Nous repartons de fentes, telles les fentes d’Young, mais nous en prenons plusieurs équi-espacées, d’espacement a , au lieu de seulement deux fentes, et nous les éclairons toutes avec la même phase incidente.

Cette situation, c’est aussi celle qui se produira dans ce qu’on appelle un réseau (et qui n’est évoqué qu’en fin de ce cours, bien que ce soit un composant des plus importants qui se rattache à la « diffraction ») . Mais notre démarche pour l’instant est plutôt sous-tendue par l’idée que, naturellement, en rendant les fentes de plus en plus nombreuses et rapprochées, on finira par passer au cas d’une ouverture continue.

Concrètement, on se place notamment à distance finie d du plan des fentes, et l’on se demande à quelle condition les rayons issus de deux fentes adjacentes sont en phase, au droit d’une des fentes (ou bien le long de

leur médiane). Cette condition fixe une relation du type da . On voit donc apparaître une taille intermédiaire entre d et , « ni grande, ni petite » (typiquement d’un ordre de grandeur de 100 µm à 1 mm sur un banc classique à distances d de 10 -50 cm). Ce sera la taille de la « première zone de Fresnel » explicitée ci-dessous.


Cette approche particulière nous amène à remarquer au passage que dans cette configuration « proche du réseau », il se produit des modulations d’intensités remarquables à certaines distances particulières. Ceci est connu sous le nom d’effet Talbot dans les bancs classiques. C’est illustré par une simulation ci-dessous. Notez que dans ces simulations, pour avoir des rayons paraxiaux, la boite de simulation est très allongée (x>>y), et l’on est obligé quand on la représente de la dilater verticalement (suivant y) pour en distinguer les détails. C’est pourquoi il y a de multiples zoom en inserts dans la figure composite ci-dessous.

Enfin, le même effet est utilisé abondamment en optique intégrée, et est connu sous le nom de « MMI » pour "MultiMode Interferometer". Il sert à faire des divisions ou combinaisons de faisceaux guidés sans faire des « Y » explicites, car la pointe d’un Y entre deux guides qui se séparent est un cauchemar de technologue, ce n’est pas aussi facile qu’un aiguillage pour un train ! Cet effet n’est pas connu sous le nom d’effet Talbot dans ce cadre MMI, car ce sont les aspects de guidage (« modes discrets ») qui ont été prédominants dans la compréhension et l’invention de ce dispositif d’optique intégrée. Quoi qu’il en soit, si l’on assimile l’arrivée d’un petit guide sur un écran à l’une des fentes dans l’expérience précédente, les réflexions successives sur les murs du guide créent une série d’images. Ici j’ai pioché l’image pour un seul guide et je l’ai dupliquée à la verticale sous des grisés pour que l’on voit le rapport : Le résultat est donc le même que l’effet Talbot : à des distances particulières, l’intensité se regroupe en une (ou deux, ou quatre …) fine(s) tache(s). C’est à cet endroit que l’on termine la zone large de ce « MMI », et que les guides « usuels » collectent la lumière pour l’acheminer au dispositif suivant (vous verrez en électromagnétisme l’intérêt des guides « monomodes »).

Figure IV_2006 : Effet Talbot, simulation du champ d’un grand nombre de fentes équidistantes, éclairées à incidence normale. Notez l’échelle x >> l’ échelle y ; les inserts sont (i) un zoom sur la partie « refocalisante » (au milieu des fentes) et (ii) un zoom avec un rapport d’aspect x/y plus proche de la réalité. La figure du bas illustre le « MMI » ou « MultiMode Interferometer », fort utilisé en optique intégrée. C’est une simple « boite » où rentre un guide, à gauche. Les images multiples créées par les parois de la boite produisent au total un effet Talbot. Cela permet d’utiliser le dispositif en séparatrice sans grosse contrainte de précision technologique (comme les zones de Fresnel explicitées plus bas, la distance critique est en racine carrée de la longueur d’onde …).


Nous reprenons maintenant du recul pour voir la difficulté de passer de sources ponctuelles à des ouvertures plus réalistes. En effet, à bien y regarder, nous avons fait jusqu’ici des assimilations :

• Ondes rayons calcul de « d.d.m » notée δ 2 1

• Sources incohérentes entre elles (étendues)…

Or il n’y a qu’une véritable quantité derrière cela (en physique classique), c’est le champ électromagnétique en tout point : ,...,, xzyx BEEE

Des difficultés naissent dès lors qu’on doit traiter une onde + un obstacle. Et ce, même dans des cas assez simples : Le physicien allemand Gustav Mie (1869-1957) n’est parvenu à résoudre le cas d’une onde plane se diffractant sur une sphère de métal parfait qu’en 1908, dans un monde de gens pourtant bien rodés à ce type de

calcul. Les obstacles sont représentés classiquement par des sources de courant (ou de polarisation P

) secondaires, dont la force dépend du champ total {incident + diffracté}. C’est ce qui rend le traitement électromagnétique non trivial dès que la forme des champs ou celle des conditions aux limites n’est pas simple (l’onde plane sur un dioptre plan, ça va encore, mais au-delà …)

A l’inverse, il est intéressant de noter que c’est du traitement des obstacles qu’est venu vers 1830 une des confirmations du succès de la théorie ondulatoire contre la théorie corpusculaire (Fresnel et Arago contre les successeurs de Newton), succès qui allait s’amplifier dans les décennies qui suivirent : la diffraction par un disque opaque parfaitement rond donne lieu à des trajets δ constants entre les points du bord et un point de l’axe de l’onde dans l’ombre pure du disque. Donc, aux bonnes distances, il y a des possibilités de contributions constructives à l’amplitude locale. Les "corpusculistes" eux-mêmes avaient imaginé cette géométrie pour défaire leur adversaire en leur affirmant grosso modo qu’ «on sait bien qu’il n’y a rien sur l’axe dans ce cas». Mais en faisant la manip dans de bonnes conditions, bingo, ils ont eux-mêmes vu un point brillant !

Figure IV.1

De même, les franges de bord d’écran convenablement éclairées sont des manifestations de la nature ondulatoire de la lumière, ou encore, pour les porteurs de lunettes, les petites franges qu’on voit dans les gouttes de pluie sur les verres, en présence de sources ponctuelles, la nuit…

A l’opposé des complications électromagnétiques, si l’on prend l’optique géométrique, on arrive à des résultats gênants: par exemple, l’intensité diverge à l’infini au foyer d’une lentille éclairée par une onde plane. Cela ne peut pas être ainsi, comment savoir un peu mieux ce qui se passe réellement ?

L’outil privilégié qui répondra à ce type de question sera la Transformée de Fourier (TF). Dans ce cadre, on peut déjà donner l’intuition dans le dessin ci-dessous la réponse au problème de la divergence apparente : si l’on a un signal (≡ Champ E) égal à 1 dans une pupille le long d’un axe de la lentille, sa TF ne va pas être un δ de Dirac car la lentille a une extension finie.


Figure IV.2

Il va y avoir convolution du résultat géométrique (un δ de Dirac) par une « fonction d’appareil » qui va définir la taille de la tâche de diffraction.

De façon assez profonde, la question que nous regardons ici n’est donc rien d’autre que la propagation d’un champ dans le vide après qu’il ait été tronqué par certaines limites.

Nous avons décidé avec J.-J. Greffet et F. Marquier, depuis 2010, d’insérer à ce stade de l’Optique Physique un cours sur la décomposition en ondes planes du champ électromagnétique : On anticipe sur le cours d’électromagnétisme. Nous allons pour ce faire utiliser des outils puissants comme la transformée de Fourier, mais aussi introduire des ondes « évanescentes » qui ne transportent de l’information qu’en s’atténuant exponentiellement dans une direction. C’est cette propriété qui nous permettra de mieux saisir le passage entre une échelle aussi petite qu’on veut dans le « champ proche » (le dernier dixième de nanomètre près d’un obstacle) et les échelles du champ lointain, pour lequel on dira couramment qu’on obtient des taches focales (ou des « PSF » -- Point Spread Function) « limitées par la diffraction », à une échelle liée à la longueur d’onde et aux paramètres optogéométriques du faisceau.

A.I.2. PROPAGATION DANS LE VIDE (DEVELOPPEMENT EN ONDES PLANES) 1. Introduction

Nous allons traiter de façon générale le problème de la propagation dans le vide : il s'agit de calculer le champ

en un point (x,y,z) connaissant le champ sur un plan noté z = 0 et connaissant le comportement asymptotique du champ à grande distance de ce plan. Pour aborder ce problème, on peut partir de l'équation différentielle satisfaite par le champ électrique : l'équation de propagation dans le vide. La démarche est alors classique : on recherche une solution générale puis on utilise des conditions aux limites.

Dans la mesure où nous abordons ce problème dans le cadre des équations de Maxwell, le comportement ondulatoire du rayonnement est complètement pris en compte. De ce fait, la solution que nous obtiendrons permettra notamment de traiter de la propagation du champ ayant traversé une ouverture dans un écran opaque. Il apparaît ainsi que la diffraction est un cas particulier du problème plus général de la propagation dans le vide. A contrario, si l'on prend l'optique géométrique comme cadre, la propagation d'un faisceau au travers d'une ouverture de petite taille ne peut pas être expliquée. C'est la situation dans laquelle se sont trouvés les physiciens après que Newton ait découvert l'effet de diffraction. Il a fallu attendre Fresnel qui a ajouté un principe ad hoc pour rendre compte des observations [cf. §A-I-3 suivant : principe de Huygens-Fresnel]. Ce n'est que lorsque l'on a disposé d’équations ondulatoires correctes (Helmholtz ou Maxwell) que l'on a pu enfin traiter le problème de la diffraction dans un cadre plus général et sans avoir besoin de principes additionnels. Avec ce point de vue, la diffraction et l'optique géométrique ne sont que des cas limites du problème de la propagation de la lumière.

Pour traiter ce problème, nous allons montrer qu'il est possible d'établir simplement que le champ électrique peut s'écrire sous la forme d'une superposition d'ondes planes en tout point du demi-espace situé en z > 0. Sous cette forme, on retrouve des expressions très proches de celles que l'on rencontrera dans le prochain chapitre en rayonnement. Les principales idées restent valables : notion de champ lointain, directionnalité notamment. Nous


montrerons ensuite comment l'on peut déduire de la solution générale que nous allons établir, la forme habituelle du principe de Huygens-Fresnel dans l'approximation paraxiale.

2. Propagationd’unfaisceau

a. Positionduproblème

Nous étudions la propagation dans le vide du rayonnement monochromatique de pulsation issu d'une source qui n'est pas précisée. Nous prenons comme donnée de base du problème la connaissance du champ électrique sur le plan z = 0. Il peut s'agir par exemple d'un faisceau laser qui traverse le plan z = 0 ou bien du champ dû à une antenne placée en un point de l'espace en z < 0. Ce que nous cherchons à obtenir est une expression explicite du champ électrique en tout point z > 0. Il est clair que le "problème modèle" de la diffraction d'une onde plane par un écran en est un sous-problème. Cette approche est plus générale, elle inclut également l'élargissement d'un faisceau dans le vide, le cas de l'amplitude au voisinage d'un point de focalisation, etc.

b. ÉquationdepropagationetéquationdeHelmholtz

Le point de départ est l'équation de propagation. Par souci de simplicité, nous allons travailler avec une

fonction scalaire qui représente l'une des composantes du champ électrique. La prise en compte de l'aspect vectoriel se fait de façon immédiate pour ce problème. Le champ satisfait alors à l'équation :

0

,r1,r

2

2

2

t

t

ct

où c représente la vitesse de la lumière dans le vide. Tout champ électromagnétique physique est de carré sommable par rapport à la variable temporelle sans quoi il correspondrait à une énergie infinie. On peut donc le représenter à l'aide d'une transformée de Fourier par rapport au temps sous la forme :

, , exp2

dt i t

r r

Dans l'équation ci-dessus, nous utilisons la convention de notation qui consiste à écrire f(t) une fonction dépendant du temps et f() sa transformée de Fourier. Il est plus rigoureux de noter ˜ f la transformée de

Fourier. Cependant, nous serons amenés à travailler avec des fonctions de quatre variables pour lesquelles il est difficile d'utiliser quatre tildes. Dans la suite, l'argument de la fonction (t ou ) nous dira si nous avons affaire à la fonction ou bien à sa transformée de Fourier. En insérant cette expression dans l'équation de propagation, on obtient :

0,r,rexp2 2

2

cti

d

Puisque les fonctions exp(-it) forment une base de l'espace des fonctions de carré sommable, l'intégrale est nulle si pour toute pulsation , l'égalité

0,r,r2

2

c

(1)

est vérifiée. Cette équation, satisfaite par la transformée de Fourier du champ (r,), est appelée équation de Helmholtz. Il est bon de noter ici que nous n'avons pas perdu de généralité dans le traitement du champ, en particulier, nous n'avons pas considéré que le champ (r,t), était monochromatique. L'équation de Helmholtz est valable pour chaque composante spectrale du champ et non pour le champ lui-même.

c. Formuledepropagationduchamp:développementenondesplanes

La démarche de détermination du champ électrique est tout à fait classique. Le champ (r,) obéit à l'équation de Helmholtz dans le vide et satisfait des conditions aux limites de continuité à la surface z = 0. Afin de simplifier les notations, nous omettrons la dépendance en . Nous allons développer le champ sur une base d'ondes planes. Pour ce faire, nous remarquons que le champ (x,y,z) [≡ (x,y,z,)] peut être considéré comme


une fonction de x et y dans un plan z = constante. Nous allons introduire la décomposition de Fourier de (x,y,z) suivant x et y seulement. Il est toujours possible de le faire puisque la fonction est de carré sommable dans le plan (x,y). En effet, l'intégrale du carré du champ E² sur le plan (x,y) est à une constante près le flux du vecteur de Poynting qui est nécessairement fini.

22exp,,,,

ddyxizzyx (2)

Le problème de la détermination de (x,y,z) est alors ramené à la recherche de la transformée de Fourier (,,z). Nous obtenons l'équation satisfaite par (,,z) en reportant (2) dans (1). On obtient ainsi,

022

exp,,,, 22

2

2

2

2

dd

yxizcz

z

ce qui entraine :

0,,,, 22

2

2

2

2

z

cz

z

La solution générale de cette équation s'écrit immédiatement sous la forme de deux exponentielles. Nous introduisons la notation suivante :

2

c 2 2 2 pour 2

c 2 2 2

(3a)

i 2

c 2 2 2 pour 2

c 2 2 2 (3b)

Avec ce choix de détermination, la solution générale s'écrit :

ziBziAz exp,exp,,, (4)

Si l'on considère un champ se propageant dans le sens des z positifs, le terme B est nul. La détermination de A se fait en écrivant simplement l'expression du champ dans le plan z = 0 à l'aide de (2) et (4). On obtient ainsi :

22exp,0,,

ddyxiAyx

Cette expression montre que l'amplitude complexe A(, ) est simplement la transformée de Fourier du champ

dans le plan z = 0 : 0,,, A . Ce résultat est aussi appelé spectre angulaire du champ.

Finalement, le champ en tout point (x,y,z) s'écrit sous la forme :

22exp0,,,,

ddzyxizyx (5)

Sous cette forme, il apparaît clairement que le champ s'écrit sous la forme d'une superposition d'ondes planes dont les vecteurs d'ondes ont pour composantes (,,) et qui satisfont à la relation de dispersion dans le vide :

2 2 2 2

c 2

L'amplitude complexe de chaque onde plane est donnée très simplement par la valeur de la transformée de Fourier du champ dans le plan (x,y). Il est important de remarquer que cette expression fournit une solution exacte au problème de la diffraction.

En résumé, le calcul de la transformée de Fourier du champ électrique considéré comme une fonction de x et y fournit les amplitudes des ondes planes. Pour cela on utilise la formule d'inversion :

dxdyyxiyx exp0,,0,, (6)


Il suffit alors de reporter cette expression dans (5) pour obtenir le champ en tout point (x,y,z). Il faut souligner que cette expression est valable en champ proche également puisqu'aucune approximation n'a été faite jusqu'ici.

d. Approximationdechamplointain

Si l'on se place à grande distance, Il est possible d'obtenir une forme approchée de l'intégrale (5). Pour cela on utilise l'approximation de la phase stationnaire qui permet d'obtenir une approximation d'une intégrale dont l'intégrande à une phase qui oscille très vite. On peut montrer (voir Complément du chapitre) que pour kr >> 1, on a :

0,,

exp

2

22exp0,,,,

zr

ky

r

kx

r

ikr

r

ikz

ddzyxizyx

On retrouve alors le résultat obtenu à partir du principe de Huygens-Fresnel dans l'approximation de Fraunhofer (ou de champ lointain, voir plus loin). L'amplitude du champ en champ lointain est proportionnelle à la TF du champ dans le plan z = 0 pour des fréquences spatiales fixées par la direction d'observation.

3. Lapropagationestunanalyseurdespectre

a. Notiondefréquencespatiale

Lorsque l'on effectue le calcul de l'amplitude complexe indiqué en (5) on obtient les amplitudes des ondes planes dont le vecteur d'onde a pour composantes (). Il est possible de donner une autre signification à ce calcul. En effet, effectuer la transformée de Fourier de (x,y,0) revient à décomposer en fréquences spatiales la fonction (x,y,0). Par exemple, la composante peut également s'écrire sous la forme 2fx où fx est une fréquence spatiale. Cette notion de fréquence spatiale est intuitive sur l'exemple d'une grille périodique de période d telle qu'on la voit sur la figure suivante.

La fréquence spatiale associée est 1/d horizontalement, elle est nulle suivant la verticale (la période est infinie). Dans le cas de la figure ci-dessus, le spectre fréquentiel ferait apparaître la fréquence fondamentale 1/d ainsi que les harmoniques.

b. Spectredesfréquencesspatiales

La première remarque que l'on peut faire est qu'à chaque fréquence spatiale de la fonction (x,y,0) correspond une onde plane (donc une direction de propagation).

Cela est schématisé sur la figure ci-contre où l'on a représenté un demi cercle de rayon /c dans le plan (). Pour un vecteur d'onde situé dans ce plan, on a

2

222

c

. On constate qu'une faible fréquence

spatiale (faible valeur de ) correspond à une onde plane proche de l'axe Oz tandis qu'une valeur élevée de correspond à une direction éloignée de l'axe Oz.

Dans le cas de la grille périodique décrite ci-dessus, le spectre est discret; il existe donc un nombre discret d'ondes planes pouvant se propager : ce sont les ordres du réseau (voir cours réseau).


Supposons que l'on isole une direction de propagation et que l'on mesure l'amplitude du champ électrique, on a accès à la transformée de Fourier du champ. Pour réaliser cela, il suffit de se placer en champ lointain, ou bien de se placer dans le plan focal d'une lentille. Dans ce dernier cas, le lien se fait de la façon suivante : à une fréquence spatiale du champ dans le plan z = 0 d'amplitude (,0) correspond une direction de propagation caractérisée par le vecteur d'onde de coordonnées (). A cette direction de propagation correspond un point dans le plan focal image. La répartition de l'intensité lumineuse dans le plan focal image reproduit le spectre de l'image. De façon plus précise, l'intensité est proportionnelle au carré du champ donc à |(,0)|2 si bien que l'on perd la phase. En quelque sorte, la propagation joue le rôle d'un analyseur de spectre.

c. Lapropagationestunfiltrepasse‐basdefréquencesspatiales

Nous venons de discuter de la notion de fréquence spatiale. Nous allons étudier le rôle de filtre passe-bas du phénomène de propagation. C'est cet aspect qui est à la base de la limite de résolution des appareils d'optique. Considérons des exemples de situations pour lesquelles il existe des fréquences élevées c'est-à-dire pour lesquelles l'amplitude du champ présente des variations rapides. Cela arrive pour deux types de situations : (i) lors de l'obturation d'un faisceau par un bord net d'une part, (ii) lors de la présence d'un objet ou d'une structure de taille plus petite que la longueur d'onde telle que poussière, rayure, etc.

Nous avons vu ci-dessus un premier exemple : le cas d'une grille de pas d. Le spectre comporte les harmoniques de fréquence n/d où n est un nombre entier positif. Prenons un deuxième exemple : un faisceau uniforme diaphragmé par une ouverture de forme carrée de côté a. Le calcul de l'intégrale (6) est élémentaire et le résultat fait intervenir des fonctions sin(a/2)sin(b/2)/. Cette expression donne le spectre des fréquences présentes dans l'objet. On note que la décroissance des spectres dans les hautes fréquences est lente. Cela est dû à la présence de la discontinuité du champ sur les bords. On comprend intuitivement qu'il soit impossible de construire une fonction avec un “bord net” en se contentant de superposer des fonctions de faible fréquence spatiale. Si l'on se reporte à la figure 2, on constate qu'il n'est pas possible d'associer une direction de propagation à une fréquence spatiale supérieure à /c. Si l'on se reporte à l'équation (3), on s'aperçoit que ces fréquences sont associées à des vecteurs d'onde tels que peut être imaginaire. Cela correspond donc à des ondes qui ont une décroissance exponentielle suivant z. Au-delà de quelques longueurs d'onde, leur contribution au champ devient négligeable. Seules les ondes planes telles que

2 2 2

c 2 (7)

ont une composante du vecteur d'onde suivant z et peuvent donc se propager. En résumé, seules les ondes satisfaisant à (7) peuvent se propager. Le vecteur d'onde maximal dans le plan (x,y) correspondant à une onde propagative est /c = 2 et la fréquence maximale est 1

Cela a une conséquence fondamentale pour la télédétection et l'imagerie. Lors de la propagation on perd toute l'information sur les fortes fréquences spatiales. En d'autres termes, les détails fins, les structures de (x,y,0) plus petits que la longueur d'onde du rayonnement sont perdus lors de la propagation. En particulier, toute image optique ne peut donner des détails plus petits que la longueur d'onde puisque la fréquence maximale est 1

Il est toutefois possible de dépasser cette limite. Pour réaliser ceci, il faut aller chercher l'information là où elle se trouve, c'est-à-dire très près de la structure étudiée. Imaginons une surface sur laquelle se trouve gravée des structures petites devant la longueur d'onde. Un détecteur placé à une distance petite devant la longueur d'onde sera sensible aux ondes évanescentes (ou ondes de surface). Il sera donc sensible à des fréquences spatiales élevées et pourra fournir des images dont la résolution est meilleure que la longueur d'onde de détection.

d. Diffractionnaturelle

L'expression (6) montre que l'amplitude des ondes planes est donnée par la transformée de Fourier du champ dans le plan z = 0. Des propriétés de la transformée de Fourier, on peut déduire des propriétés très générales concernant la propagation d'un faisceau. Si l'on note x la largeur du faisceau et max la valeur maximale de la composante du vecteur d'onde selon Ox, on peut écrire 2max x . Ceci est une propriété des transformées de

Fourier. Cette inégalité fournit un ordre de grandeur de max si le champ ne varie pas rapidement sur x, on a

alors 2max x . On peut introduire l'angle formé dans le plan (x,z) par le vecteur d'onde de coordonnées

() avec l'axe Oz : sin

2 . On a donc x /sin max . Pour des petits angles, on obtient


x /max

Il est important de bien noter que ce résultat découle de la structure finie du champ électromagnétique. Il n'est nullement nécessaire d'avoir des bords matériels pour voir apparaître la diffraction.

Pour obtenir une estimation de l'ouverture angulaire du rayonnement, nous avons remplacé l'inégalité par une égalité. Nous avons signalé que ceci n'est valable que si le champ électromagnétique ne varie que très lentement dans l'ouverture. Nous allons préciser ce point dans ce paragraphe. Il est clair que si le champ varie sur l'ouverture, des fréquences spatiales plus élevées apparaîtront dans le résultat de (6). Cela correspond à des directions de propagation plus éloignées de l'axe Oz. Citons deux exemples concrets de situations de ce type. On peut imaginer que l'on dispose une grille de période égale à 5 longueurs d'onde sur l'ouverture. L'amplitude du champ varie donc de façon appréciable sur une distance de 5 longueurs d'onde. Cela se traduit par l'apparition de fréquences spatiales élevées discrètes (du fait de la périodicité) dans le spectre fourni par (6). Le réseau diffracte la lumière dans des directions discrètes qui s'écartent fortement de l'axe. Un deuxième cas important est celui d'un faisceau de taille limitée obtenu en disposant une ouverture juste derrière un corps noir. On sait d'expérience que dans ce cas le rayonnement est isotrope quelle que soit la taille de l'ouverture. Cela reste vrai même si l'on utilise un filtre sélectionnant une seule longueur d'onde. Cela semble être en contradiction avec la relation max /x . De plus, l'intensité lumineuse est homogène sur toute l'ouverture. Dans ce cas, c'est la phase du rayonnement qui varie très rapidement sur l'ouverture. De façon plus précise, la phase est en fait une quantité aléatoire caractérisée par une fonction de corrélation dont la longueur caractéristique (appelée longueur de cohérence spatiale) est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde. Le concept d'onde plane est très mal adapté à la description du rayonnement thermique dont la source est constituée de milliards d'atomes décorrélés. Il faut pour cela une description statistique qui sort du cadre de ce cours.

A.I.3. PRINCIPE DE HUYGENS-FRESNEL

A.I.3.1. Ecriture de base, transmittance de l’obstacle C’est un principe élégant, proposé sans démonstration, puis démontré tard (cf. le développement en ondes

planes ci-dessus)!

Ce principe se base sur une version continue des sommations que nous avons pu faire avec le Fabry-Pérot ou les réseaux : on va en effet procéder à une sommation continue d’ondelettes sphériques pour trouver l’amplitude A(P) au point P qui nous intéresse.

Cette sommation s’écrit ainsi, en prenant l’exemple d’un trou (voir la figure)

Figure IV.3

trou( ) ( ) ( )

j k MPeP M K dS

MP A A

Avant d’examiner les tréfonds de cette formulation, remarquons qu’on généralise aisément la nature de l’obstacle, en introduisant un écran à transmittance complexe t(M)

On écrit alors

)()()( incident MtMM AA


Notez quelques pièges sur ce qu’est une transmittance complexe :

- écran noir et blanc : t(M)= 0 ou 1

Dans ce cas, vous serez tentez d’écrire, pour une ouverture rectangulaire de taille L à la position centrale xo, (dans un cas à une dimension) :

L

xxxt o )(

Rect)(

- écran de phase, pour lequel t(M)=1 ou 1 , par exemple, de phase ou 0 (essayez d’écrire /2 !).

L

xxxt o )(

Rect21)( ou encore :

L

xxjxt o )(

Rectexp)(

Mais gare à ne pas mélanger les phases (qu’on aimerait tant additionner comme on s’y est habitué avec les interféromètres) et les amplitudes !

A.I.3.2. La constante à prendre ? On se pose ici la question de la "bonne" valeur de K(). Cela inclue sa valeur à =0°, et aussi son éventuelle

dépendance en , l'angle que fait MP avec la normale au plan de référence Oz.

Les deux points sont subtils, nous commençons par le premier. On pourrait s’attendre à ce que, si l’on ne met pas d’obstacle, l’amplitude des ondelettes soit « égale » à l’amplitude incidente A(M). Faisons le raisonnement rigoureux suivant : une onde plane ne rencontrant rien doit bien redonner un peu plus loin …eh bien une onde plane, et la même s’il vous plait !

Figure IV.4

On SAIT donc, dans ce cas, que

( ) exp( )

exp( ( )) exp( ) exp( )

z j k z

z L j k z L j k z j k L

A AA ( )

et pour trouver K, on peut donc écrire que l’onde est égale à sa "diffractée"

,exp( )

exp( )j k r

jkL K dx dyr

Nous formons, pour ce calcul, l’hypothèse que la convergence sera obtenue en se cantonnant à une partie centrale du plan de M (en z) : en effet, dans le cas contraire, loin du point M , le reste s’annule sensiblement du fait que les phases vont évoluer « trop vite » dans l’intégrale. On fait de surcroît l’hypothèse que cette partie centrale est assez limitée pour que la distance PM puisse être développée ainsi :

L

y

L

xLLyxr

221

22222

Le numérateur devient donc 2 2

exp( ) exp exp2 2

x yjkL jk jk

L L

Dans le dénominateur, on peut prendre constante Lr sous réserve de vérification, qu’effectivement, la convergence est obtenue pour des extensions latérales autour de M très petites devant L.

On a donc maintenant le calcul "simple" à faire :

2 2

,1 exp exp

2 2

K x yjk jk dx dy

L L L


Or l’intégrale est devenue séparable :

2 2 2 2

,exp exp exp exp

2 2 2 2

K x y K x yjk jk dx dy jk dx jk dy

L L L L L L

Or on connaît l’intégrale sans dimension de 2jue :

2 /42

(1 )ju je du e j

.

(Nous la reverrons avec la spirale de Cornu …, la démo est dispo sur certains sites de matheux…)

En faisant le changement de variable dxL

kduLkxu

2),2/(22 , on trouve donc

2

2/4 /22 21 j jK L

e KeL k k

/2 1

2jk

K ej

On a donc une expression plus précise du principe de Huygens-Fresnel (« HF » en abrégé) :

trou

1( ) ( )

j k reP M dS

j r

A A

Elle est « assez » valide, on verra sur ce point comment l’intégrale 2 /4

2(1 )ju je du e j

converge, et comment cela correspond à des différences de marche entre MP et r de typiquement quelques dizaines de longueurs d’onde de plus, donc à des écarts latéraux x faibles dans les situations d’optique usuelles, d’observation, disons lorsqu’on observe à plus de quelques centimètres de l’écran.

A.I.3.3. Généralisations plus physiques La formule ci-dessus semble considérer tout point de l’espace baigné par l’onde incidente comme susceptible

de rayonner à son tour dans toutes les directions. Or on trouverait dans ce cas une cohérence aussi parfaite vers l’arrière que vers l’avant, avec une solution identique. Pour pallier cette incohérence, Kirchhoff a introduit un terme dépendant de la direction ( )K :

1

( ) (1 cos )Kj

Ainsi, avec ce terme, le résultat a le bon goût de s’annuler si l’on va vers l’arrière (=π).

Un peu plus tard, Sommerfeld avait percé l’essentiel de ce principe à partir de l’électromagnétisme plus rigoureux (bien que la démo rigoureuse date des années 1940 !). Dans le rayonnement du dipôle, on trouve des termes qui ont des déphasages de π /2 entre eux mais avec des puissances de 1/r croissantes.

Ainsi Sommerfeld a été amené à proposer :

... 2

1( ) ( ) cosj k r jkP M e dS

r r

A A

Bref, quand on cherche la solution pour une onde sphérique (scalaire ou non) au voisinage d’une source ponctuelle, on trouve ce type de termes, et l’on peut concevoir que l’on doit prendre ce type de solutions comme base quand on veut démontrer le principe de HF. Pour la suite, nous utiliserons la première version, la plus simple, qui nous suffit. Les gens des micro-ondes sont souvent obligés de bien tenir compte du terme en 1/r2 qui est plus fort au voisinage des sources.

A.I.3.4. Amplitude complexe analytique dans le cas paraxial On va faire l’hypothèse que le terme en 1/ 1/MP d est mettable en facteur pour toutes les paires MP

concernées. Evidemment, on ne sort en revanche pas le terme exp( )j k PM de l’intégrale au numérateur. Il

varie très rapidement ! La figure ci-dessous illustre la situation.


'

2'

2

k xu

dk y

vd

plan des points

1( ) ( ) j k r

MP M e dS

j d A A

Avec les coordonnées des points : M(x,y) P (x’,y’), on a

2 22 2 2

2 2

2 21 12 2

( ') ( ')( ') ( ') 1

( ') ( ')

x x y yr d x x y y d

d d

x x y yd

d d

Evaluons le domaine de validité de cette formule : les termes négligés doivent être <<.

Or ils valent )8/1(/)'( 34 dxx car ...8/2/11 2

Soit 3)')(8/1( xx où dxx /)'(

Donc on doit vérifier 3'8

x x

; si = 22 mrad ( 1,4°), cela permet 3 = 10-5, soit

5( ') 8 10 40cmx x !

par exemple (x-x’) = 1 cm et d = 1 m ou 50 cm donne largement assez de marge.

Il vient alors que exp( )j k d se met en facteur, et peut donc sortir de l’intégrale,

… et l’on peut développer d

yy

d

xx 2

21

2

21 )'()'(

et faire de même avec les termes en x’2 et y’2, ensuite :

2 2

2 2 2 2' '2 2

( ') ( ')

2 2trou

' '

trou

1( ) ( )

1( )

x y x yd d

x x y yj k

d djkd

xx yyj kj k j kjkd d d

P M e e dx dyj d

e e M e e dx dyj d

A A

A

On voit que seul le dernier terme garde les contributions croisées xx’ et yy’… elles seront cruciales. (elles contiennent l’information avec la complexité requise pour décrire un processus d’imagerie : dans tout plan normal à l’axe optique, il existe en chaque point de ce plan des rayons qui ont toutes les directions, se rendant vers « tous » les autres points de plans suivants)

Nous posons

Ces quantités u et v ont la dimension de k, le vecteur d’onde (1/distance)

Ce sont, en somme, les composantes x,y du vecteur d’onde transverse du problème.

<<

<<


On redéfinit )(MA comme )(trans MA , fonction définie sur [–,+]×[–,+] et étant nulle hors du trou.

Ainsi on écrit :

2 2 2 2' '2 2trans 2 ( )

partout1

( ) ( )x y x y

d dj k j kjkd j xu yvP e e M e e dx dy

j d

A A

Cela commence à ressembler à de la transformée de Fourier !

Attention, nous parlons de TF à 2 dimensions.

Avertissement aux utilisateurs de MATLAB notamment : la « FFT» d’un array C, size(C)=M×N, c'est-à-dire l’instruction ‘fft(C)’, n’effectue la TF que sur une dimension, pas sur les deux.

Pour la TF dont nous parlons ici, il faut utiliser l’instruction ‘fft2’ .

Ecrit sous la forme d’une TF et en arrangeant la notation du préfacteur, cela donne :

2 2

2 2trans

'/

'/

1( ) TF ( )

P Mj k d j kd d

u x d

v y d

P e M ej d

A A

précisons ainsi le principe de notation : 2( ) ( ( )) ( )j xg TF f x e f x dx (signe changé en 2011)

C’est en général à ce stade qu’on introduit la diffraction dite « de Fresnel » qui couvre des cas tels que la diffraction par un bord ou une fente à une distance quelconque, et qui fait apparaître l’intégrale de

Fresnel 2b jkx

ae dx et la spirale de Cornu. Nous ne donnons qu’un bref aperçu ci-dessous. Voir les

ouvrages de bibliothèque et les notes au tableau + les simulations.

A.I.4. DIFFRACTION DE FRESNEL On se place dans le cas d’une amplitude incidente uniforme pour simplifier. En quoi l’écran créé-t-il une

distribution de lumière différente de l’ombre géométrique ? C’est ce que dit l’intégrale ci-dessus. Pour voir l’essentiel, on la réduit aussi à une seule dimension, x. Il vient, en faisant fi du préfacteur :

2( ')

2

trou( )

x xj k

dj kdP e e dx

A

L’intégrale est celle que nous avons voulu calculer avec des bornes pour trouver la constante K.

Pour un point source donné, le point O par exemple, visualisons la variation parabolique en fonction de x’ de la distance de O à l’écran :

Cette variation signifie que le long de x’, on trouve de x’=0 à x’=± d une zone dite "Première Zone de

Fresnel" où l’amplitude complexe s’écarte en phase de moins de de sa phase à l’origine (le trajet ne change pas de plus de λ/2), puis une deuxième zone autour, où la phase s’écarte de π à 2π et tend donc à s’opposer, etc.


On vient ainsi de voir apparaître une nouvelle longueur qui n’est « ni grande ni petite » : d , qui est typiquement de l’ordre de la fraction de mm dans les problèmes usuels (d= 10 cm, λ=0.5µm). On peut montrer aisément que toutes ces zones ont sensiblement même aire dans le plan Ox’y’, ces zones ayant évidemment la forme d’anneau, ou d’un disque pour la première.

Noter que dans le problème posé, chercher l’intensité en P, il faut plutôt voir les zones de Fresnel dans le plan du trou, Oxy. L’idée à garder dans un coin de votre mémoire est que la zone qui contribue à l’essentiel

de l’amplitude dans le plan de P à distance d du trou a pour taille latérale d et pour aire A= λd (nous avons introduit plus haut la géométrie de l’effet Talbot pour faire voir ceci).

Bien qu’on ne puisse pas le démontrer sans un attirail mathématique, il est intuitif que les contributions des zones de Fresnel >1 s’annulent globalement entre elles, ne laissant en gros que la contribution de la première à un facteur numérique près.

Notez enfin, en anticipant un peu, que l’on peut aller continûment de la diffraction de Fresnel au cas limite de diffraction de Fraunhofer ci-dessous. Ce cas limite correspond à dire que la parabolicité de la courbe r(x’) devient négligeable pour d très grand. Si on peut regarder cette courbe comme une droite localement, les contributions quadratiques disparaissent, la seule qu’on ne doit pas faire disparaître est celle qui donne le terme croisé xu+yv comme indiqué plus haut.

Revenons à notre problème : nous voulons par exemple calculer la diffraction à distance d d’une fente de hauteur L située entre x=0 et x=L en un point P de position xP.

2

0( )

exp( )2

L Px xjk dx

d

A

Le changement de variable )(2/ Pxxdku et la notation dks 2/ permettent de se ramener à :

( ) ( ) ( )2 2 2( ) ( ) ( )

exp( ) cos( ) sin( )P P P

P P P

s L x s L x s L x

s x s x s xju du u du j u du

A

Les primitives de ces intégrandes ne sont pas connues analytiquement. Mais on peut soit les tracer numériquement une fois pour toutes, soit utiliser la construction de la spirale de Cornu : On trace de façon

paramétrée par la borne U dans le plan complexe la quantité : 2

Cornu( )U juO

U e du , qui n’est autre que

l’addition de contribution d’ondelettes élémentaires. Et l’on construit ensuite l’amplitude résultante par l’utilisation de deux points adéquats de cette fonction :

2exp Cornu( ( )) Cornu( ( ))P

P

s(L x )P Ps( x )

( ju )du s x s L x

A

Regardons le dessin de la spirale de Cornu, et commentons-le :


Spirale de Cornu dans le plan complexe (les repères sont les valeurs de U), avec utilisation pour construire l’amplitude d’une fente.

Graphes de )(sinet )cos( 22 uu en bas et de

U

O

U

Oduuduu )sin(et )cos( 22 en haut

On voit que l’on tend en + ou – ∞ vers des asymptotes à ~ ±0.707, ce qui correspond à ce que nous avons affirmé pour trouver la constante K (déphasage de π/4 pour x, avec autant pour y on a au total π/2).

Trois situations A B C sont illustrées sur ce graphe de Cornu, ainsi que sur l’exemple d’ouverture ci-dessous.

La situation A est la plus simple à comprendre : on est au bord inférieur de l’ouverture, on prend comme borne Cornu(0). L’autre vaut presque l’asymptote compte tenu d’une ouverture relativement grande dans l’exemple choisi (de plusieurs zone de Fresnel !) . L’amplitude vaut donc la moitié de l’amplitude géométrique (centre à centre de spirales), et l’intensité vaut donc le quart de sa valeur incidente. C’est au passage un résultat général du bord d’écran (si les autres bords sont assez loin) !

Ensuite, au point B, on est tout près du milieu, mais légèrement sur-intense. C’est parce que l’évolution locale des points sur la spirale permet d’aller au-delà des centres, au moins d’un des deux côtés. On a supprimé de la lumière venant de zones de Fresnel qui étaient en situation de destruction, on a donc bien gagné de l’amplitude. Le point milieu peut être en général sur-intense ou sous-intense.

Diffraction de Fresnel : Intensité diffractée par une ouverture, et comparaison à la prédiction de l’optique géométrique. Les trois cas A B et C sont ceux repérés sur la spirale de Cornu plus haut.

La situation C est le cas où l’on intègre sur des zones de Fresnel d’ordre élevé : les contributions s’annulent en bonne partie (on fait plusieurs tours) mais la résultante peut être relativement plus forte ou plus faible suivant qu’on boucle un nombre demi entiers ou entiers de tours. D’où les oscillations résiduelles dans cette zone.


Retenir enfin de tout cela : deux choses

- en taille, l’écartement des franges dans toute la zone du bord d’écran est en d .

- Chromatiquement, ces franges sont peu sensibles en position à la longueur d’onde du fait de cette

dépendance en Elles restent assez contrastée en lumière blanche pour l’œil (≡ 440 à

640 nm « utiles » ("à -3dB"), seulement 10% de variation en terme de ! )

Sections II à V : Formulations de Fourier

A.II. Diffraction à l’infini ou diffraction de Fraunhofer

A.II.1. DIFFRACTION A L’INFINI ET ANGLE Les termes quadratiques dans les exponentielles traduisent des fronts de phase courbes, convergents ou

divergents (passons pudiquement le cas astigmatique). Il est raisonnable de penser que quand les rayons de courbure deviennent très grands, ils n’ont plus à être explicitement considérés, seule la direction du front d’onde ou de sa normale (le rayon) compte. Donc faisons tendre d vers l’infini et regardons…

Mais soyons prudents : On ne va pas faire tendre x’/d vers zéro, cela reviendrait à se contenter de la direction sur l’axe. En effet il est bon de remarquer que dans cette limite d ∞, les quantités de la TF u et v ne sont autres que les angles sous lesquels de P on voit l’obstacle (tout petit vu de loin) :

d

y

d

xyx

'',

'' , et donc

'

,' yx vu

Noter que u et v ont la dimension d’un nombre d’onde, et sont des fractions de =1/. On retrouvera un écho de cette remarque dans l’étude de la résolution : faible angle d’ouverture, résolution « faible », c'est-à-dire bien plus grande que .

Bref, l’idée physique est que d va tendre vers l’infini à u,v constants, c'est-à-dire à angle d

y

d

xyx

'',

''

constants. On voit qu’en revanche, les points M de l’obstacle sont parfaitement fixés dans notre problème. Donc

le terme dM 2/2 tend bien vers zéro, lui ! On a donc le résultat simple :

trans'/

'/

( ) TF ( ) u x d

v y d

P M

A A !!! (à l’infini)

A des termes simples près (un terme de phase et un 1/d qui est incontournable), l’amplitude est donc essentiellement la TF de l’amplitude spatiale au niveau de l’obstacle. Cette amplitude est elle-même le résultat combiné de (i) la forme/la transmittance de l’obstacle ET (ii) de la façon dont il est éclairé, ce n’est donc pas une caractéristique de l’obstacle seul. Mais c’est quand même un résultat simple qui montre la valeur de l’outil TF pour appréhender l’essentiel de la diffraction à l’infini.

Ceci dit, à l’infini, l’amplitude est en effet bien faible (en 1/d !). Pour y remédier, on ramène l’infini au foyer d’une lentille, avec une bien classique conjugaison infini-foyer.

Pour un rayon dans une direction ',' yx donnée

de l’espace, et un focale f on obtient un point sur


l’écran de coordonnées fx x''

écran , fy y''

écran .

On peut éventuellement se payer le luxe de prendre d=f, auquel cas xx 'écran , yy '

écran . Nous verrons

l’intérêt de ce cas particulier dans LE montage de traitement d’image « par transformée de Fourier », dit aussi montage de Double diffraction.

Bref, on retiendra dans un cas général que si l’on est intéressé par l’aspect photométrique et géométrique, c'est-

à-dire par la répartition d’intensité sur l’écran, on peut faire fi du terme de phase 2 /2Pj k d d

je .

Quant au terme 1/d et donc quant à la valeur absolue de l’intensité, on ne s’attarde pas non plus car la modification par la lentille serait à prendre en compte elle aussi.

[Je mentionne néanmoins (cf. l’ouvrage de van de Hulst par exemple) que lorsque l’on cherche l’intensité en un point dans un cas général (de diffraction de Fresnel, à d finie), l’ordre de grandeur est donné par le flux de l’onde à travers une petite aire de surface d de l’obstacle à distance d, si une telle aire est plus petite que l’obstacle évidemment. On peut préciser cela le plus aisément dans le cas des « zones de Fresnel », chacune d’aire d.].

Enfin, voyons le cas très particulier où l’obstacle est éclairé par une onde plane idéale en incidence normale. L’obstacle est décrit par sa transmittance COMPLEXE t(x,y)=t(M). Il vient dans ce cas :

'/

'/

( ) TF ( , )x

y

u

v

P t x y

A et donc l’intensité I(P) obéit à la répartition

2

/'

/'),(TF)(

y

x

v

uyxtPI

Notez le cas limite « t 1 partout » : alors la TF s’identifie alors à 0,0 , c'est-à-dire qu’il n’y a de direction

que l’incidence normale, et donc seul le point du foyer est "allumé" sur l’écran derrière la lentille, le reste de l’écran est noir.

Inversement si la transmission est 0,0 , c'est-à-dire un très petit trou, la TF vaut 1 partout, la lumière

« gicle » uniformément dans toutes les directions (ce qui est vrai dans l’approximation scalaire uniquement).

A.II.2. CAS PARTICULIER : OBSTACLE A VARIABLES SEPARABLES Donnons une notation vectorielle pour la TF 2D générale :

où

y

x

v

u

(II.2.1)

La séparabilité est la propriété suivante : )()(),()( yhxgyxfrf

, cas très particulier (le rectangle, mais

pas le disque, par exemple). Dans un tel cas,

dyeyhdxexgfyjxj yx 22 )()()(

~ n’est autre que

)(~

)(~)(~

)(~)(~

vhughgf yx

On se ramène donc à des calculs purement 1D. A l’aide des règles de dilatations et de translation, il suffit de connaître le résultat pour la forme générique 1D, par exemple la fonction créneau pour f(x) (on peut à titre d’exercice imaginer le triangle, f(x) ayant deux pentes égales, ou l’arche de sinusoïde ou de parabole, etc.).

Rappelons à ce stade les formules de translation


1D 2( ) ( )oj uxog x x e g u

2D 2( ) ( , )oj rof r r e f u v

Et les formules de dilatation

1D ( / ) ( )g x a a g au

2D )(~

),(~

)/( 22

afaavaufaarf

A.II.3. OUVERTURE RECTANGULAIRE

Dans ce cas, nous avons :

( , ) Rect( )Rect( )x y

t x ya b

avec par définition Rect valant 1 ou 0 , et de largeur 1 centrée en 0.

ḗNous allons à partir de ce point considérer

Nous allons à partir de ce point considérer carrément que la lentille ramenant l’infini à son foyer est accolée à l’ouverture rectangulaire ou autre considérée. Qu’observe-t-on au foyer de cette lentille ?

On rappelle que u

u

)sin(

TF[Rect]u , le sinc avec dans l’argument.

Nous avons donc le résultat intermédiaire :

sin( ) sin( )( , )

a u b vt u v ab

a u b v

D’où la répartition d’intensité dans le plan focal de la lentille :

222 )sin()sin()sin()sin(

),(

bv

bv

au

au

bv

bv

au

auvuI

En décrivant plus explicitement l’écran lui-même plutôt que les directions des rayons, cette expression est donc :

22 )/'(sinc)/'(sinc)','( fbyfaxyxI


x

y

figure obtenue avec une ouverture rectangulaire telle que b = 1,5a .

Représentation logarithmique avec une dynamique de 60 dB.

Rappelons les caractéristiques de la fonction sinc2 : sa pleine largeur à mi hauteur correspond aux arguments ±0.88/2 du sinus, ce qui revient à dire que la largeur totale à mi hauteur est donnée par :

'1/ 2 0,88 ~

f fx

a a

sur x et '

1/ 2 0,88 ~f f

yb b

sur y.

Nous retrouvons l’effet classique des TF, la largeur caractéristique est en proportion inverse de ba, , la plus

grande ouverture angulaire du lobe principal (plus grand '2/1x ) étant associée à la plus petite ouverture.

Il importe aussi de retrouver la limite de l’optique géométrique : si <a,b, '2/1x , '

2/1y 0, on trouve

asymptotiquement un point mathématique au foyer.

Nous avons , depuis 2006, proposé un logiciel de simulation pouvant avoir des ouvertures « au choix » en cliquant pour définir des niveaux noirs/blancs/gris sur une matrice 16x16.

Voici trois cas de figure que nous avons illustré (figures de diffraction en lin et log)

- L’ouverture rectangulaire standard.

- Une ouverture similaire, mais « apodisée suivant y », notez les bien plus petits lobes secondaires.

- Un cas « aléatoire » en amplitude, notez l’allure « tronquée de Fourier » de la figure de diffraction, figure dépourvues de hautes fréquences par construction (les 16x16 pixels de l’écran).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x' ( ×.f'/a)

I/I0

diffraction par une ouverture rectangulaire section y’=0

a

f '

a

fx

''2

1

0


- L’ouverture rectangulaire standard

- Une ouverture similaire, mais « apodisée suivant y », notez les bien plus petits lobes secondaires.

- Un cas « aléatoire » en amplitude, notez l’allure « tronquée de Fourier » de la figure de diffraction, figure dépourvues de hautes fréquences par construction (les 16×16 pixels de

l’écran -]8,8]×]-8 8],

fréquence maximale =

1/8ème de 1/taille fenêtre).

Fig. IV-Simulation Fraunhofer 16×16 ; simulation de la figure de diffraction à l’infini dans les 3 cas indiqués


A.II.4. OUVERTURE CIRCULAIRE C’est le cas le plus fréquent pour les instruments usuels. On écrit la TF (II.2.1) à faire pour un disque, .

or

yvxuj dSerayon de disque

)(2 .

Sans rentrer dans la démonstration mathématique, on devine que cette TF ne dépend que de 2222 )( yvxuvu

, et qu’elle ne dépend pas de l’angle de (u,v). En notant ici la norme de la

fréquence spatiale considérée, on admettra que la TF d’un disque de rayon ro est ce qu’on appelle la tâche d’Airy, précisément donnée par :

o

2 1r

2 (2 )TF[Disque ( )]

2o

oo

J rr r

r

J1 est la fonction de Bessel de 1ère espèce et d’ordre 1.

Dans cette expression, la fonction 2J1(u)/u doit être vue comme l’analogue du sinc pour ce problème de 2D. En gros J1 possède des oscillations qui ressemblent localement à un sinus, mais n’en a pas globalement ni la régularité, ni l’amplitude constante.

Graphes comparés de sin(u) et de 2J1(u), qui décroît lentement et reste légèrement déphasé. Noter surtout que le premier zéro est écarté de 22% de celui du sinus

Noter que les fonctions de Bessel apparaissent dès que l’on doit intégrer des fonctions de type cos(cos(…) ) , par exemple exp( j cos), et que de telle fonctions apparaissent bien si on écrit la TF en polaire :

(x,y)() et (u,v)(,’)

Bref, on se souviendra qu’à la base :

2

)2(2)](TF[Disque 1

1J

r ,

et on s’en servira pour retrouver les cas particuliers de géométrie disque, anneaux, etc.

Pour un diaphragme de diamètre D, une lentille de focale f pour l’observation à l’infini, la répartition d’intensité suivant la variable ’ (la variable radiale du plan d’observation) est donc :

2

14

)/'(

)/'(2)','(

fD

fDJDyxI

Figure d’Airy. Représentation logarithmique avec une dynamique de 25 dB.


Le premier ZERO de la fonction de Bessel J1 est situé à 3,83..1,22 [au lieu de 1,00 pour le sinus] soit

'

1,22D

f

1,22

' fD

en termes angulaires

D

22,1zéro1er

A retenir évidemment, l’ouverture ronde s’appliquant à l’immense majorité des instruments optiques.

Même remarques que pour le cas du rectangle :

D grand, point sur l’écran petit, faisceau très peu divergent ;

D/ limite de l’optique géométrique.

A.III. Généralisation de la diffraction de Fraunhofer à une conjugaison quelconque

Nous avons conduit le raisonnement du A.II en supposant une conjugaison infini foyer (focale f). On va montrer ici que le raisonnement se généralise pour tout conjugaison, à condition de remplacer f par la distance (pupille de sortie) (image). Nous ne saurions trop souligner l’importance de ce travail pour l’imagerie en général, par exemple la projection de masque cruciale pour la fabrication microélectronique de nos microprocesseurs et mémoires.

Du point de vue physique, l’onde incidente sur l’écran n’est plus une onde plane, c’est une onde convergente (cf. illustration). Peu importe d’où elle vient et comment elle a été produite.

On a représenté ici une lentille convergente diaphragmée par un iris circulaire, mais il peut s’agir d’un « S.O. » quelconque a priori.

La conséquence, en termes d’amplitude, du remplacement de l’onde plane par une onde convergente est une modification de la PHASE

)(MA de l’onde incidente. Voyons cela en détail.

A.III.1. AMPLITUDE D’UNE ONDE CONVERGENTE, PUPILLE. Quelle est l’expression de )(MA pour une onde convergente au point O’ comme décrit ci-dessus ? surtout,

comment l’expression en x,y est-elle modifiée ?

Si l’on note O 'Mr , l’amplitude )(MA est en

/jkre r ,


comme pour les ondes sphériques que nous avons décrites dans le principe de HF (et sans trop de scrupule sur le facteur de phase, le plan focal n’étant généralement pas critique à /4 près). Nous poursuivons donc par le même DL avec les mêmes approximations usuelles:

d

yxdr

2

22

On peut donc écrire :

2 2

2( )x y

djkd jk

oe

M A ed

A , au lieu de oA pour l’onde plane.

Nota Bene : cela veut dire que dans le plan du diaphragme (plan de O), les bords sont en avance de

phase sur le centre O (en effet, on a pris la convention ( )j kz te pour une onde vers 0z . Par exemple, si on se base sur z = 0 , et que l’on regarde un point z<0, trivialement, il y a retard en ce point et la phase zk z est négative)

En effet, la phase en O est plus petite que la phase de tous les autres points du plan Oxy. C’est pour cela que l’onde converge. L’illustration et son commentaire ci-dessous appuient ce propos.

M est en avance sur O, et A et M sont en phase puisqu’ils appartiennent à la même surface d’onde. Par conséquent :

2

( ) ( ) ( ) ( )M O A O OA

Nous prenons O comme origine des phases.

Il faut encore multiplier ceci par ),( yxt pour représenter le passage du diaphragme. Soit :

2 2

2( ) ( , )x y

djkd jk

oe

M A e t x yd

A

Muni de cette nouvelle expression, nous l’injectons dans l’amplitude en P (le terme en jkde s’éliminant avec

celui en jkde ) :

2 2 2 2 2 2' '2 2 2 2 ( )

( )2( ) ( , )

x y x y x yd d d

j k jk jko j xu yvAP e e t x y e e dx dy

j d

A

Le premier exp sous l’intégrale est du à l’aspect convergent de l’onde. Il se compense entièrement avec le deuxième exp qui reflète les ondes divergentes du principe de HF !!!

Ainsi, l’amplitude sur l’écran du SO est bien la TF de ),( yxt , comme c’était le cas pour la diffraction de

Fraunhofer « à l’infini ». Au fond, c’est le fait d’être à un foyer dans les deux cas qui nous vaut cette compensation…. Ceci s’écrit donc :

2 2' '2

21

( ) TF[ ( , )]x y

dj kjkd

o u,vP A e e t x yj d

A d

yv

d

xu

'

,'

On retiendra surtout la répartition spatiale :

22 ]),(TF[),( u,vyxtvu A


C’est donc une conclusion importante : IL SUFFIT DE CONNAITRE LA « FONCTION PUPILLAIRE » ),( yxt [cas

particulier 1 ou 0 mais elle peut être complexe] pour connaître la figure de diffraction dans le plan image. Cette figure sera le module carré de la TF de ),( yxt prise au point )/',/'( dydx .

Donc premier exemple de conséquence simple : cette figure de diffraction s’ira dilatant du bleu au rouge (x’ grandit avec pour un même argument de la TF).

A.III.2. LIMITE DE RESOLUTION D’UN S.O. LIMITE PAR LA

DIFFRACTION Quels sont les deux points les plus proches dont on puisse distinguer l’image ? on considère un S.O. parfait,

sans aberration aucune, de pupille de sortie de diamètre D , située à distance d du plan image.

Le rayon de la tache d’Airy (1er zéro) est D

d22,1 . En effet au lieu de 22,1

'

f

D

, nous avons maintenant

22,1'

d

D

pour les directions que nous regardons (cf. valeurs de u et v ci-dessus). On dira que l’on ne peut

résoudre deux points plus rapprochés (du moins sans traitement sophistiqué ou sans information supplémentaire, du style « dans cette région de l’image il n’y a que deux points, le reste est du bruit », voir plus bas). Dans cette configuration le maximum de la première figure d’Airy est confondu avec le premier zéro de la seconde figure.

Nous retiendrons donc

D

dro

22,1

C’est le CRITERE DE RAYLEIGH donnant la résolution, limitée par la diffraction, d’un SO d’ouverture ronde, parfait et sans aberration.

On peut relier ce résultat à l’Ouverture Numérique

image notée (ON)’ : d

DnnnON

2''''sin')'(

Donc on a pour n’=1 : )'(

1

222,1

222,122,1

2OND

dr

dDo


)'(

1

222,1Résolution

ON

NE DEPEND QUE DE l’O.N. IMAGE !!

R1 : On appelle encore cette version le critère de Rayleigh. Depuis une vingtaine d’année, un certain nombre de méthode d’imageries « battent » le critère de Rayleigh, en sacrifiant l’un ou l’autre des aspects de l’imagerie (optique linéaire, en champ lointain…)

R2 : Définition valable aussi pour toute particule avec mv

h

p

h Broglie de ,

donc par exemple pour les électrons accélérés à 10 keV (<<511 keV), Broglie de << 1nm microscopie

électronique !

R3 : ON objet et ON image : La résolution côté objet peut se trouver par retour inverse : pour un point

source en O’, la tâche de diffraction côté objet aura de même une taille )(

1

222,1

ON

avec l’ON objet cette fois-

ci ! Cette taille peut être grande, elle est dans la proportion ON/ON’ de la résolution image liée au grandissement transverse yg du S.O.

Un microscope fonctionne avec (ON) maxi et (ON)’ petit car ce qui compte est la résolution dans le plan objet. Un duplicateur de diapo(ou objectif de photo « macro ») fonctionne non loin de (ON)=(ON)’, à une valeur d’(ON) aussi grande que possible (jusqu’à ce que aberration, vignettage, etc. limitent tout effort…)

R4 Pour un objet à l’infini (conjugaison - foyer), on revient à ce qu’on a vu, le diamètre angulaire

minimal résolu est Dd

22.1 taille

Pour un télescope, D maxi est donc crucial, et ne gâche évidemment rien du point de vue photométrique !

(lumière collectée 2D , en gros). Conclusion assez générale « Plus on peut mettre de 2/ dans D , plus les interférences nous rapprochent de l’optique géométrique »

A.III.3. TRANSMITTANCE D’UNE LENTIILLE Nous allons décrire une lentille comme un objet de phase. Ce calcul est d’un grand intérêt pour la suite.

Nous nous plaçons dans un plan normal à l'axe optique et situé juste avant une lentille : nous y trouvons une amplitude complexe )(M-A : ce sera une onde sphérique issue d’un point A. Nous cherchons à connaître

l’amplitude )(MA dans un plan situé juste après la lentille, et qui prenne en compte la courbure de l’onde. La

transmittance )(/)( MM A At(M) de la lentille sera donc, quand la lentille est parfaitement transparente,

uniquement un terme de déphasage.

Les points S1 et S2 tendent tous deux vers O, centre de la lentille.


OSetS 21

Appelons f(M) la partie « non générique » de la transmittance dans le plan de la lentille. Car attention la transmittance )(/)( MM A At(M) tiendra compte explicitement ("génériquement") du déphasage variable

introduit sur un front d'onde donné (une lentille n'en serait pas une si elle ne courbait pas un front d'onde...). Ce qu'on veut inclure dans f(M), c'est "tout le reste" : la pupille en premier lieu (donc une fonction disque dans la plupart des cas), et si nécessaire le coefficient de transmission de la lentille.

En appliquant la relation donnant l’écart d’un plan à une sphère ― déjà utilisée aux paragraphes précédents ― nous trouvons :

2

2 1( )

Mjk

S AA M e

et

2

2 '2( ) ( )

Mjk

S AA M f M e

Considérant que M est en avance sur N, on peut vérifier les signes des exponentielles en se rappelant qu’une avance de phase correspond à une phase positive.

Nous avons alors, pour la transmittance : 2 1 1

2 '2 1( )( ) ( )

( )

Mjk

S A S AA Mt M f M e

A M

Or 2 1

1 1 1 1 1

'' ' fS A S A OA OA (formule de conjugaison des lentilles)

On trouve donc la transmittance t(M) sous la forme

2

2 '( ) ( )

Mjk

ft M f M e

(IV. 3)

Cette formule est également valable dans la configuration infini-foyer (la démonstration est immédiate).

On pourra à titre d’exercice vérifier que la formule ainsi trouvée redonne bien la formule des lentilles pour 2 ondes sphériques. Pour ce faire, on écrira seulement les formes des ondes entrantes et sortantes puis le fait que

),( yxt les relie.


A.IV. Imagerie en lumière cohérente (optique de Fourier), application au contraste de phase

Par « éclairage cohérent » nous entendons un éclairage monochromatique dont la cohérence spatiale est

parfaite. Concrètement, il s’agit d’une onde plane ou d’une onde sphérique idéale : la phase à un instant t est la même pour tout point du front d’onde.

ttt MM )()(21

Les points M1 et M2 touchés par l’onde (ici une onde plane) vont se comporter comme des sources secondaires cohérentes entre elles ; on sommera donc les amplitudes complexes.

D’un point de vue pratique on peut obtenir un éclairage cohérent en disposant un trou source le plus ponctuel possible au foyer d’une optique ; cependant ce serait pécher que de ne pas se servir des lasers qui non seulement sont des sources lumineuses puissantes, mais sont surtout ce qui se fait de mieux en matière de cohérence : cohérence temporelle bien sûr (les lasers sont remarquablement monochromatiques) mais également cohérence spatiale (le front d’onde issu d’un laser a une forme parfaitement sphérique dans les angles solides considérés, même si l'onde, elle, n'est pas une onde sphérique, mais un faisceau gaussien par exemple). C’est d’ailleurs peu après l’invention du laser en 1960 que s’est développée ― à l’Institut d’Optique notamment ― ce que l’on appelle l’optique cohérente, sujet que nous allons effleurer ici.

A.IV.1. DETERMINATION DIRECTE DE L’AMPLITUDE DANS L’IMAGE

Nous partons de l’expression O(x, y) de l’onde juste après l’objet. L’objet est par exemple une diapositive noir et blanc, laissant plus ou moins passer la lumière selon les zones considérées. De façon plus générale c’est un « modulateur » qui transforme l’onde plane incidente (amplitude et phase constante) en une onde complexe O(x,y) portant toutes les informations sur l’amplitude et la phase de l’objet.

Comme on le sait ― et ce n’est pas parce que l’on est en éclairage cohérent que cela va changer fondamentalement ― un dispositif d’imagerie simple (objet – système optique – écran) ne permet d’accéder qu’à l’amplitude de l’objet, et absolument pas à sa phase : l’image d’un bout de verre d’épaisseur variable ne donnera qu’un fond lumineux uniforme… Cependant quelques ruses plus malignes les unes que les autres permettent d’avoir un peu plus que la simple information sur l’amplitude : la strioscopie et le contraste de phase en sont deux exemples, ils seront vus en T.D. Mais la plus célèbre reste l’holographie (restitution intégrale de l’amplitude et de la phase), dont nous ne parlerons pas ici mais qui fera l'objet d'un cours en deuxième année.

Réponse impulsionnelle (ou percussionnelle)

On appelle réponse impulsionnelle ou percussionnelle (R.I. en français, P.S.F. pour point spread function en anglais), l’image d’un point lumineux (représenté par un pic de Dirac de poids 1) par un système optique :

)','(),( yxDyx optiquesystème

Ainsi, la fonction d’Airy est la réponse impulsionnelle d’un système optique parfait limité par une ouverture circulaire. En présence d’aberrations, la réponse devient beaucoup plus folklorique (en général elle est plus large et les anneaux ne sont plus visibles), et permet de se faire une idée de la qualité de l’optique que l’on tient entre les mains.

Champ isoplanétique

M1

M2


Pour l’instant nous avons considéré la réponse percussionnelle sans se soucier de la position du point objet :

tacitement nous avions supposé qu’il était situé en O, sur l’axe optique. On dit que le point P(x, y) appartient au champ isoplanétique de l’objet si la figure de diffraction due au point P est rigoureusement identique à celle due au point O. Autrement dit tous les points de ce champ donnent la même réponse impulsionnelle, simplement translatée. Tous les effets de troncature des fronts d’onde dans les optiques sont susceptibles de dégrader la réponse percussionnelle hors d’axe. Ce champ n’est donc souvent qu’une partie du champ utilisable en imagerie conventionnelle sans exigence trop sévère.

0

0

0

0 ''

y

y

x

xltransversaentgrandissem

Le fait que la réponse impulsionnelle ne soit pas la même sur tout le champ ne doit donc pas paraître

surprenant et survient dans la grande majorité des cas : les systèmes optiques sont en général corrigés correctement pour un champ relativement limité : dès qu’on s’éloigne un peu trop de l’axe les figures de diffraction sont fortement asymétriques.

Expression de l’amplitude dans le plan image

Soit P0 un point appartenant au champ isoplanétique de l'objet. Son image est P'0.

La réponse impulsionnelle autour de P’0 s’écrit donc D(x’-x0, y’-y0).

Au point P0 l’amplitude objet est O(x0, y0).

L’amplitude en un point (x’, y’) du plan image due au seul point P0 est

000000 .)..',.'().,()','( dydxyyxxDyxOyxdA

Ou, en omettant le facteur de proportionnalité ² [dans les dx’ au lieu des dx…]:

)'

,'

( 00

yx

O est la dilatation de l’amplitude objet :

C’est l’image au sens de l’optique géométrique que l’on notera O’(x’0,y’0).

000000 '')'',''()'

,'

()','( dydxyyxxDyx

OyxdA


L’éclairage étant cohérent, l’amplitude résultante au point (x’,y’) s’obtient donc en sommant les amplitudes pour chaque point P0 de l’objet :

²

000000 '')'',''()','(')','(' dydxyyxxDyxOyxA

On reconnaît la convolution de l’image géométrique O’ avec la réponse impulsionnelle D : autrement dit

)'y,'x(D)'y,'x('O)'y,'x('A

soit :

A.IV.2. DETERMINATION DE L’AMPLITUDE IMAGE PAR LA

RELATION DE FRESNEL

On va retrouver l’expression précédente en utilisant la relation de Fresnel (II. 2) :

22

221

( ) ( )

PMjk d

jkdd

P

d

A P e TF A M ej d

On considère le montage dit « à double diffraction » : une première lentille sert à éclairer l’objet (typiquement une diapositive noir et blanc) de façon cohérente, avec une onde sphérique convergente, alors que la seconde sert à faire l’image de l'objet. Pour simplifier les écritures nous prendrons une configuration symétrique de façon à

avoir un grandissement transversal de –1.

Notations : P(x, y) est un point de l’objet

M(X, Y) appartient au plan de la seconde lentille

P’(x’, y’) appartient au plan image

O(P) est la transmittance de l’objet

t(M) est la transmittance de la seconde lentille.

f(M) est la pupille délimitant la seconde lentille (une fonction disque le plus souvent)

A+(P) est l’amplitude juste après l’objet

A(P’) est l’amplitude dans le plan image

A _(M) et A+(M) sont respectivement les amplitudes juste avant et juste après la seconde lentille


Tout ceci étant posé, allons-y :

Le but du jeu est de déterminer l’expression littérale exacte de l’amplitude A(P’) dans le plan image. L'objet est inséré sur le chemin d'une onde convergente, par conséquent nous connaissons l'amplitude dans le plan de la deuxième lentille (voir l'équation IV. 1 et sa démonstration).

2

21( ) ( )

Mjk d

dM

dA M e TF O P

j d

On a donc accès directement au spectre de l’objet en regardant dans ce plan. Après traversée de la seconde lentille l’amplitude devient, d'après l'équation (IV. 3) :

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )M

jkdA M t M A M f M e A M

car d=2 f’ ici (conjugaison 2f–2f)

soit :

2

21( ) ( ) . ( )

Mjk d

dM

dA M e TF O P f M

j d

Nous sommes à nouveau dans la configuration où l’on a une onde convergente et où l’on connaît l’amplitude dans un plan vertical situé dans le chemin de cette onde : on connaît donc l’amplitude complexe dans le plan image :

22

22

'

1( ') ( )

PMjk d

jkdd

P

d

A P e TF A M ej d

22 2

( )22 2

'

1 1( ') ( ) . ( )

PM Mjk d

jk d jkdd dM

dP

d

A P e TF e TF O P f M ej d j d


22

( )2

'

1( ') ( ) . ( )

Pjk djkd d M

Pdd

A P e e TF TF O P f Mj d

Or la TF d’un produit de deux fonctions, c’est le produit de convolution des TF individuelles,

TF(f g)=TF( f )*TF( g ) ; on a donc :

2

2'

'

1 1( ') ( ) ( )

Pjk d

djkd P MPd ddA

B

A P e e TF f M TF TF O Pj d j d

Le terme A est l’expression de l’amplitude due à un pic de Dirac au point J : c’est donc tout simplement la réponse impulsionnelle D(x’,y’). Pour s’en convaincre il suffit de remplacer O(P) par (P) dans la précédente expression et de se souvenir que TF( )=1.

Le terme B peut se réécrire de façon à utiliser les propriétés des TF des dilatées de fonctions : si l’on note TF( O(x) )=Õ(u), on a

)'()'(~~

²²)'

(~~

²²)(~

'

POPOdd

PdOd

d

MOTF

d

P

Car TF[TF[ f(x) ]]= f(x)

Or ici le grandissement vaut –1 : )'( PO est donc simplement l’image géométrique de l’objet : on le notera

)'(' PO . Nous retrouvons donc :

)'(')'()'(' POPDPA

On retrouve donc bien le même résultat qu’avec le petit raisonnement simple exposé

précédemment : les termes de proportionnalité qui apparaissent dans ce calcul précis ne

peuvent certes pas être obtenus avec l’autre raisonnement, mais ils sont en général

inutiles (ils explicitent les différents déphasages lors de la propagation, qui sont sans

effet sur l’intensité finalement obtenue dans le plan image).

3° ) Filtrage des fréquences spatiales Dans ce chapitre nous allons voir sous un angle plus physique ce qui a été vu précédemment, en introduisant

notamment la notion de fréquence spatiale d’un objet. On verra alors que tout système optique, à l’instar de tout système électronique, peut se voir comme un filtre laissant plus ou moins bien passer les fréquences spatiales.

Notion de fréquence spatiale


Soit un objet dont l’amplitude complexe est O(x,y)1. Nous pouvons décomposer en série de Fourier cette amplitude :

dudvevuyxO vyuxj

2

)(2),(),(

Écrit comme cela, l’objet apparaît comme étant une superposition infinie de mires sinusoïdales, ayant toutes les

fréquences et toutes les directions imaginables. Le poids de chacune des « ondelettes » )(2 vyuxje est ),( vu .

On appelle tout naturellement spectre [spatial] de l’objet la quantité ),( vu :

dxdyeyxOvu vyuxj

2

)(2),(),(

u et v sont appelées les fréquences spatiales de l’objet.

Exemple concret : Considérons une mire sinusoïdale de pas p selon Oy, donc un objet alternativement opaque et transparent à la lumière. C’est un réseau de diffraction fonctionnant en transmission. L’amplitude juste après

cet objet, toujours lorsqu’il est éclairé par une onde plane monochromatique, s'écrit p

yyxO 2cos1),(

L’objet est supposé infini selon x (variable conjuguée associée : u) et selon y (variable conjuguée associée : v). Calculons son spectre :

)1

,()1

,(2

1),(

2cos1

)],([),(

pvu

pvuvu

p

yTF

yxOTFvu

Le spectre se présente donc comme suit :

1 Par amplitude complexe nous entendons toujours l'amplitude juste après l'objet lorsque celui-ci est éclairé de façon cohérente par une onde plane non inclinée. Ce n'est pas une caractéristique de l'objet seul mais de l'ensemble objet + éclairage.

p

y

x


Il apparaît donc trois fréquences spatiales : 0, 1/p et –1/p.

La notion de fréquence spatiale est de fait très intuitive : tous les détails fins d’une image correspondent à des fréquences spatiales élevées, alors que les plages uniformes correspondent naturellement aux basses fréquences.

Le problème qui se pose maintenant est le suivant : nous partons d’un objet (diapositive…) avec un certain spectre de fréquences spatiales. Nous voulons savoir comment va se transformer ce spectre lorsque l’on effectue l’image de l’objet par un système optique : en d’autres termes, quelles fréquences spatiales l’optique va-t-elle reproduire sans altération ?

Un système optique est un filtre de fréquences spatiales

Nous avons vu qu’ à un point objet S, correspond une tache centrée sur l’image géométrique appelée réponse percussionnelle. Nous avons ainsi démontré la relation suivante :

A’(x’,y’) O’(x’,y’)D(x’,y’)

où A’ est l’amplitude de l’image, O’ est l’image géométrique (copie conforme de l’objet au facteur de grandissement près) et D la réponse percussionnelle.

Si nous prenons la transformée de Fourier de l’amplitude image, il vient :

Normalisons en posant

)0,0(

)','()','(

d

vudvuM

Nous avons donc :

Ã’(u’,v’) ’(u’,v’) M(u’,v’)

Ã’(u’,v’) ’(u’,v’) d(u’,v’)

spectre de l’image spectre de l’image idéale

spectre de la réponse percussionnelle


M(u’, v’) est appelée fonction de transfert de modulation cohérente ou FTMC (Coherent MTF en anglais…). M(u’, v’) est simplement le rapport entre le spectre de l’image et le spectre de l’objet (au grandissement près). La connaissance, pour une optique donnée, de la FTMC permet de savoir comment une

fréquence spatiale donnée

'

'

v

u va être transmise : c’est l’analogue exact de la fonction de transfert pour un

système électronique. Le caractère vectoriel (à 2D) de la fréquence signifie simplement que dans un objet plan, il

y a non seulement la fréquence qui compte, mais également la direction : certains filtres peuvent laisser

passer les lignes verticales mais pas les lignes horizontales, par exemple.

Que vaut la FTMC d’un système optique limité par la diffraction ?

Soit f(M) la transmittance de la pupille (dans presque la totalité des cas c’est un disque de rayon R ; dans ce cas f(M) vaut 1 à l’intérieur du disque et 0 en dehors).

D’après (IV. 2) la réponse percussionnelle dans ce cas s’exprime par :

'

'')()','( '

y

xPavecMfTFyxD

d

P

Nous prenons la TF inverse (en effet, si nous disons que D(x’,y’) est la TF de f(M), il est logique de dire que d(u’,v’) est la TF inverse de D(x’,y’) ) :

)','(²²

)()','()','(

'1

dvdufd

MfTFTFvudvud

P

Le facteur ²d² est sans importance, la FTMC (par définition normalisée à 1) vaut donc

)0,0(

)','()','()','(

f

dvdufvuFTMCvuM

Il apparaît donc que la FTMC d’un système limité par la diffraction, est tout simplement la reproduction de la pupille ! Pour une pupille circulaire f(x,y) de rayon R la FTMC est donc aussi une fonction disque ayant pour rayon :

d

Ruv

cpcpcp

''

d

R ’


Pour un système peu ouvert, R/d ’ ouverture image : la fréquence de coupure peut donc s’exprimer en fonction de l’ouverture image :

'

'' cpcp uv

Ces fréquences concernent l’image : si on veut connaître la fréquence de coupure pour l’objet, il ne faut pas oublier le facteur de grandissement. Ainsi la plus grande fréquence de l’objet transmissible par une optique est :

cpcp uv où e st l’ouverture objet.

Le fait qu’un système optique se comporte comme un filtre passe-bas n’a rien de surprenant : la convolution de l’image idéale par la réponse impulsionnelle se traduit forcément par un flou sur l’image qui occasionne une perte de détails, donc l’élimination des hautes fréquences spatiales. Ce qui est plus étonnant en revanche c’est le caractère très net et brutal de la transition, qu’on ne retrouve pas par exemple en électronique. Il est à noter tout de suite que cette dernière caractéristique n’est vraie qu’en éclairage cohérent. Pour une imagerie classique en éclairage incohérent cette propriété n’est plus vraie : la FTM est alors une fonction « tente », dont la ressemblance avec une canadienne de camping est il est vrai tout à fait troublante (voir cours de deuxième année).

Pourquoi « fonction de transfert DE MODULATION » ?

Nous allons répondre à cette question en reprenant notre exemple de mire sinusoïdale. L’objet s’écrit

p

yyxO 2cos1),( , l’image géométrique s’écrit donc

'

'2cos1),('

p

yyxO , où p’=p (

grandissement).

Le spectre de l’image est :

)','('

'2cos1)','( vuM

p

yTFvua

En reprenant la TF calculée précédemment, on trouve :

)'

1','()

'

1,0(

2

1)'

1','()

'

1,0(

2

1)','()0,0()','(

pvu

pM

pvu

pMvuMvua

car M(x) (x-a) = M(a) (x-a) .


Dans la grande majorité des cas la FTMC est une fonction paire donc )'

1,0()

'

1,0(

pM

pM . D’autre part

M(0,0)=1 par définition.

Pour obtenir l’amplitude A’(x’, y’) dans le plan image, nous prenons naturellement la transformée de Fourier de a(u’, v’) : sachant que

'

'2cos)

'

1','()

'

1','(

2

1

p

y

pvu

pvuTF

,

il vient : '

'2cos)

'

1,0(1)','()','('

p

y

pMvuaTFyxA

L’amplitude de l’image est donc une sinusoïde de pas p’2, mais la modulation d’amplitude de cette sinusoïde a changé : elle valait 1 pour l’objet de départ, elle vaut maintenant

)'

1,0(

minmax

minmax

pM

AA

AA

.

Ceci justifie l’appellation « fonction de transfert de modulation » donnée à cette fonction.

Prenons cette mire sinusoïdale et formons-en l’image avec un système optique parfait ayant une pupille circulaire : la FTMC est alors une fonction disque. Si nous avons la possibilité d’augmenter progressivement la fréquence de la mire objet, nous observons que l’image parfaitement contrastée de la mire devient brusquement un fond uniforme dès que la fréquence atteint la fréquence de coupure de l’optique. Pour comprendre un peu mieux ce comportement paradoxal, considérons à nouveau le montage dit « à double diffraction » :

2 L’intensité I=AA* n’est pas exactement une sinusoïde puisqu’il y a une composante à la fréquence double dans l’expression de I ; l’intensité image reste néanmoins périodique de période p’.


Dans le plan de la seconde lentille (aussi appelé plan de Fourier car on peut y voir la transformée de Fourier de l’objet) on peut observer trois points lumineux, le point central ayant deux fois plus d’amplitude que les pics latéraux.

On s’intéresse ici uniquement à la seconde lentille, la première est donc considérée comme ayant un diamètre infini3.

Les fréquences spatiales de l’objet étant 0, 1/p et -1/p, un calcul immédiat montre que les 2 pics latéraux sont

vus depuis le centre de l’objet sous un angle p

.

Ces trois points lumineux, cohérents entre eux, reconstituent dans le plan image une mire sinusoïdale : c’est le simple résultat d’une interférence à trois ondes.

Si maintenant le pas p de la mire objet diminue, l’angle augmente jusqu’à dépasser l’angle limite m qui est l’angle d’ouverture objet. À ce moment là, les deux pics latéraux sont stoppés par le diaphragme et il ne reste plus dans le plan de Fourier que le point central qui produit naturellement dans le plan image un fond uniforme.

La fréquence de coupure est alors élémentaire à retrouver : l’image de la mire disparaît quand le pic

latéral atteint le diaphragme donc quand d

R' .

Or l’image géométrique de la mire est une mire de

pas p’ = p (<0). L'angle p

devient dans

l'espace image l'angle 'p

'

.

Quand ' = 'm , cpmin'pd

R

; on retrouve donc que

d

Rcp .

Le fait d'avoir physiquement la TF dans le plan de Fourier ouvre la voie à toutes sortes de traitements appelés filtrages spatiaux. En cachant, en atténuant, ou en retardant une partie du spectre on affecte l'image. On peut ainsi réaliser de la Strioscopie, qui consiste à occulter la fréquence spatiale nulle. En effet pour toute image on a nécessairement un pic au centre du spectre correspondant à de la lumière non diffractée par l'objet (fréquence spatiale nulle). C'est simplement un fond uniforme qui vient se superposer à l'image et qui ne porte aucune information utile sur l'objet : en mettant un cache ponctuel au niveau de ce point, on élimine purement et simplement ce fond !

Ceci a pour effet non seulement de rehausser les contrastes et de mettre ainsi en évidence des détails plus fins qui ressortent de manière saisissante, mais également d'être sensible à la phase de l'objet : ainsi un bout de verre rayé, qui ne donnerait qu'un fond uniforme en imagerie classique, donne avec un montage strioscopique une image où apparaissent les rayures.

Dans la même veine en un peu plus subtil, citons le Contraste de phase, dont l'inventeur est aussi celui de la strioscopie, Zernike (qui reçu le prix Nobel en 1953). Cette méthode consiste à retarder de 2/ localement le pic central. On démontre dans ce cas que l'éclairement en un point de l'image est simplement proportionnel à la phase de l'objet : le relief de l'objet est donc précisément reconstitué, ce qui n'était pas le cas avec la strioscopie.

3 En pratique, ce n’est pas la TF de la mire sinusoïdale qu’on a dans le plan de Fourier, mais la TF du produit de la mire par une fonction

disque. C’est donc par conséquent la convolution d’une figure d’Airy avec la figure précédente : chaque pic est habillé par une tache d’Airy dont l’extension est uniquement fonction de la première lentille. Nous négligeons ce phénomène.

A. Partie 2 : Diffraction - Institut Optique

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