Terminale S TP 6_Diffraction de la lumière

M.Meyniel 1/2

Objectifs : - Observer des phénomènes de diffraction. - Rechercher les facteurs ayant une influence sur la figure de diffraction : * en déduire la largeur d’une fente fine à l’aide d’un laser de longueur d’onde connue, * en déduire la longueur d’onde d’un laser à l’aide d’une fente fine de largeur connue.

Quelle formule permet de donner l’expression de la largeur de la tache centrale de diffraction

en fonction des paramètres du dispositif mis en place ?

I. Observation d’un phénomène lié au laser.

Document 1 : Le phénomène de diffraction

Quand une onde rencontre un obstacle possédant une ouverture « a », celle-ci réémet l’onde dans toutes les directions possibles. Il s’agit du phénomène de diffraction. Toutes les grandeurs (fréquence, longueur d’onde, célérité) sont conservées. Seule la direction de propagation change avec un étalement. Ce phénomène, caractéristique des ondes, n’est perceptible que si la taille de l’ouverture est proche ou inférieure à celle de la longueur d’onde λ : houle à l’entrée d’un port, ondes sonores à travers une porte …

Document 2 : Diffraction des ondes lumineuses par une fente fine

On utilise un LASER (Light Amplification by Simulated Emission of Radiation) émettant une lumière de longueur d’onde λ. On dispose une fente fine verticale de largeur a dans le trajet lumineux et l’on observe sur un écran, situé à une distance D de la fente, la figure de diffraction obtenue avec le passage de l’onde lumineuse monochromatique à travers la fente fine.

La largeur L de la tache centrale varie lorsque l’on fait varier : - la distance D entre la fente et l’écran, - la longueur de l’onde lumineuse λ, - la largeur a de la fente.

1. Par analogie phénoménologique, préciser la nature de la lumière.

2. A quelle condition doit satisfaire l’ouverture a de la fente pour observer ce phénomène ?

3. a. Préciser sur le schéma ci-contre, les

différentes grandeurs rencontrées dans les

documents. b. Indiquer comment mesurer la largeur de

la tache centrale L avec précision sachant

que la tache centrale est deux fois plus étalée

que les autres taches.

4. A partir du dispositif mis en place, un élève propose plusieurs formules afin de répondre à l’interrogation

initiale avec k une constante sans dimension.

Parmi les différentes formules, lesquelles peut-on éliminer par une simple analyse dimensionnelle ?

II. Etude quantitative des paramètres influant sur la largeur de la tache centrale.

1. Influence de la largeur de la fente a.

Installer correctement laser, fente et écran afin de réaliser des mesures précises.

Le banc servant de règle, fixer la distance D entre la fente et l’écran à 1,50 m.

Faire varier la largeur a de la fente et mesurer la distance L correspondant à la largeur de la tache centrale pour

compléter le tableau ci-dessous.

Largeur de la fente : a (μm) 400 280 120 100 50 40 inconnue

Largeur de la tache centrale : L (mm)

Diffraction de la lumière

Laser He-Ne

fente

Vue de dessus

écran

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Ouvrir le logiciel Regressi pour tracer la courbe : L = f (a).

Ouvrir un nouveau fichier : dans la barre d’outils choisir Fichier → Nouveau → Clavier.

Dans le tableau Variables expérimentales, taper les grandeurs et leurs unités → OK puis entrer les couples de valeur.

Dans le menu Fenêtre, cliquer sur Mosaïque verticale pour faire apparaître le graphe.

1. Représenter l’allure du graphe sur votre copie.

2. Quelle relation semble exister entre L et a pour et D fixées ?

Pour le vérifier, cliquer sur Modéliser puis taper l’expression du modèle → Ajuster.

3. La modélisation est correcte si l’écart relatif est faible (< 5 %). Conclure.

4. a. Quelles grandeurs choisir sur chaque axe pour obtenir une courbe plus simple traduisant la relation

précédente ? Le faire sur l’ordinateur.

b. Représenter alors l’allure de la courbe en indiquant la relation entre les grandeurs axiales et en précisant le

coefficient directeur.

2. Influence de la distance D entre la fente et l’écran.

Toujours avec le laser, faire varier D en gardant cette fois-ci une même fente de largeur : a = ………….

Mesurer pour chaque valeur de D la longueur L de la tache centrale et compléter le tableau :

Distance : D (m)

Largeur de la tache centrale : L (mm)

Tracer la courbe L = f (D).

Etablir, comme précédemment, la relation existe entre L et D pour et a fixées ?

3. Influence de la longueur d’onde λ.

Utiliser le logiciel de simulation, à l’adresse : http://perso.orange.fr/gilbert.gastebois/index.htm

→ animations scientifiques et éléments de cours → diffraction → diffraction par une fente

Mettre la luminosité au maximum.

Fixer : D = 2,00 m & a = 50 μm. Puis mesurer L pour différentes longueurs d’onde des radiations incidentes.

Compléter le tableau :

Longueur d’onde : λ (nm) 450 550 650 725

Largeur de la tache centrale : L (mm)

Tracer la courbe L = f (λ).

Quelle relation existe entre L et λ pour D et a fixées ?

4. Relation entre les paramètres.

1. Déduire de tout le travail précédent, la bonne expression de L en fonction de a, , D et k.

2. a. En utilisant la courbe établie en II. 1), calculer la valeur du coefficient de proportionnalité k.

b. En déduire l’expression définitive de L en fonction de a, et D et la belle inconnue du II.1.

5. Ecart angulaire.

Document 3 : L’écart angulaire

On appelle écart angulaire θ, l’angle, exprimé en radian, entre la droite passant par le milieu de la tache centrale et celle passant par le milieu de la première zone d’extinction.

Remarque : Pour les petits angles, on peut assimiler la valeur de l’angle exprimée en radian, avec la valeur de sa tangente. (On peut le vérifier avec sa calculatrice pour un angle de 3° par exemple).

Après avoir représenté θ sur la vue de dessus initiale, trouver la relation entre l’écart angulaire θ du faisceau diffracté

(ou angle de diffraction) et les paramètres ci-dessus.

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"Robert, Raoul et André, élèves en Terminale S sont passionnés de photographie du ciel. Ils souhaitent

que l'image d'une étoile très lointaine n'excède pas la taille d'un pixel sur le capteur du télescope.

Toutefois, ils se demandent si cela est possible expérimentalement. "

Afin de les aider à solutionner leur problème, rappeler la relation liant la largeur L aux paramètres ,

D et a sur la largeur L de la tache centrale de diffraction, dans le cas d’une fente fine.

Puis grâce aux documents, vous tenterez d'apporter une réponse à la question posée.

Document 5 Schéma d'un télescope de type Cassegrain

Capteur

miroir primaire

miroir secondaire

Pupille d'entrée du téléscope (diamètre a)

faisceau de lumière entrant dans le télescope

La distance jouant le rôle de D dans le télescope est le double de la distance entre le miroir primaire et le miroir secondaire. Cette distance est appelée "focale du télescope" et est notée f' comme pour les lentilles (cours de 1èreS).

Lorsque la lumière est diffractée par une pupille circulaire de diamètre a, la figure de diffraction comporte une tache centrale très lumineuse appelée tache d'Airy et une série de cercles concentriques lumineux formant un halo beaucoup plus diffus. Quand un télescope prend un cliché du ciel, l'image sur son capteur des étoiles visibles les plus lointaines sont des tâches d'Airy (et non des points). Ces taches d'Airy sont dues à la diffraction de la lumière des étoiles par la pupille d'entrée du télescope, qui est en général circulaire et dont la taille correspond à celle du miroir primaire (voir document 5). La demi-largeur angulaire d'une tache d'Airy obtenue grâce à une pupille circulaire de diamètre a est 1,22 fois plus grande que la demi-largeur angulaire d'une tache centrale obtenue avec une fente de même largeur a.

Document 4 Images d'étoiles par un télescope

L

D

a Ouverture circulaire

Laser

Les appareils photographiques récents possèdent des capteurs de type CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) dont l'aspect est présenté ci-contre. Un pixel sur le capteur correspond au carré représenté, au centre duquel se situe une photodiode sensible à la lumière. De bons capteurs grand public actuels possèdent usuellement des taille de pixel de l'ordre de 4 m de côté.

Document 6 Capteur CMOS

Image d'un capteur CMOS au Microscope Électronique à Balayage (MEB) (taille du pixel: environ 19 m)

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Compte-rendu sur la diffraction de la lumière :

I. Observation d’un phénomène lié au laser :

1. La lumière est une onde car elle subit le phénomène de diffraction.

2. Ce phénomène s’observe si l’obstacle ou la fente a une taille a inférieure ou égale (en ordre de grandeur) à la

longueur de l’onde λ : a ≤ λ (en ordre de grandeur) Rq : Pour les OEM, on a même a ≤ 100.λ

3. a. Attention : L se mesure du milieu d’une zone d’extinction au milieu de la zone d’extinction symétrique par

rapport à l’axe du laser.

b. Pour être plus précis, on peut

considérer plusieurs taches au lieu

de ne mesurer que la tache centrale.

Ainsi, jusqu’au milieu de la seconde

zone d’extinction de part et d’autre

de l’axe centrale, on mesure : 2.L.

Il suffira de diviser ensuite comme on a pu le faire avec les périodes

sur l’oscilloscope ! l’imprécision est alors divisée par 2 !!

4. dim [L] = L La largeur de la tache centrale est homogène à une longueur. La formule doit donc, elle aussi,

être homogène à une longueur.

dim [k.λ.D/a] = dim [k] × dim [λ] × dim[D] / dim [a] = 1×L×L / L = L formule possible

dim [k.λ.D/a²] = dim [k] × dim [λ] × dim[D] / (dim [a])² = 1×L×L / L² = 1 formule impossible

dim [k.a.D/λ] = dim [k] × dim [a] × dim[D] / dim [λ] = 1×L×L / L = L formule possible

dim [k.λ².D/a] = dim [k] × (dim [λ])² × dim[D] / dim [a] = 1×L²×L / L = L² formule impossible

dim [k.a.D.λ] = dim [k] × dim [a] × dim[D] × dim [a] = 1×L×L×L = L3 formule impossible

II. Etude quantitative des paramètres influant sur la largeur de la tache centrale :

1. Influence de la largeur de la fente a.

1. D’après les valeurs expérimentales, on trace la fonction : L = f (a)

à l’aide du logiciel Regressi. L’allure de la courbe est représentée ci-contre :

2. D’après l’allure de la courbe (hyperbolique), on peut supposer une fonction inverse : L = k1.(1/a)

avec k1 dépendant de [λ ; D]

3. On modélise la courbe par cette fonction inverse et l’ordinateur annonce un écart relatif entre l’expérience et le

modèle inférieur à 5 %. On obtient bien une fonction inverse, la relation est vérifiée : L = k1.(1/a)

En d’autres termes, les grandeurs L et a sont inversement proportionnelles !

4. a. Il est plus aisé de travailler avec des fonctions linéaires.

Pour cela, on trace : L = f (1/a)

Le logiciel permet de calculer l’inverse de « a » en ajoutant une grandeur

calculée. Puis, on trace la fonction L = f (1/a). On obtient le graphe ci-contre :

b. La modélisation par une fonction linéaire donne un écart relatif inférieur

à 5 %, ce qui confirme la relation de proportionnalité entre L et (1/a) soit :

L = k1.(1/a) avec fonction linéaire avec k1 = 2.103 m²

a

λ

D

Vue de dessus

L 2.L

L (mm)

a (µm)

L (mm)

1/a (µm-1

)

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2. Influence de la distance D entre la fente et l’écran.

Comme précédemment, on trace la fonction : L = f (D)

Les points semblent alignés avec l’origine. On peut donc supposer qu’il s’agit d’une fonction linéaire.

La modélisation précise un écart relatif entre notre expérience et le modèle inférieur à 5 % donc il s’agit bien d’une

fonction linéaire, les grandeurs axiales sont proportionnelles soit : L = k2.D

(avec k2 = 11,4.10-3

et dépendant de a et λ)

3. Influence de la longueur d’onde λ.

Une nouvelle fois, on trace la fonction : L = f (λ)

Les points semblent alignés avec l’origine. On peut donc supposer qu’il s’agit d’une fonction linéaire.

La modélisation précise un écart relatif entre notre expérience et le modèle inférieur à 5 % donc il s’agit bien d’une

fonction linéaire, les grandeurs axiales sont proportionnelles soit : L = k3.λ

(avec k3 = 80.103 et dépendant de a et λ)

4. Relation entre les paramètres.

1. L = k1.(1/a) = k2.D = k3.λ

En d’autres termes, L est proportionnelle à D et λ et inversement proportionnelle à a => L =

2. a. D’après la modélisation du II.1, on a k1 = 2.103 m²

Or, k1 = k.λ.D => k =

=

≈ 2

b. D’où : L =

5. Ecart angulaire.

θ sur schéma

tan (θ) =

=

=

(avec la formule précédente)

Or l’angle est petit donc tan θ ≈ θ => D’où : θ =

On retrouve la définition de cours sur l’écart angulaire !!

a

D

Vue de dessus

L 2.L θ

λ