thése ultrason

7/21/2019 thse ultrason

1/108


2/108


3/108

3

toutes les autres proprits du matriau, on a utilis la mthode de la transforme dHilbert. Les

rsultats obtenus sur les matriaux analyss prsentent de bonnes estimations juges trs satisfaisantes

par rapport la littrature.

Mots cls : Ultrasons, Vitesse, Attnuation, Rigidit, Amortissement, composite stratifi, polymres.

" Simultaneous evaluation of ultrasonic velocities and attenuation in composite and

polymeric materials"

Abstract

During the ultrasonic inspection, by echo or transmission mode, of parallelepipedic plates in

composite materials or in polymers, it produces some modifications of the acoustic and transmission

parameters in relation with the propagation velocity and attenuation of the transmitted wave. In

presence of the attenuation or dissipation phenomenon of the plan acoustic wave, the viscous-elastic

behaviour of the propagation medium is described by Kelvin-Voigt model. By using this model, the

complex rigidity and the viscous damping can de determined. To attain this purpose, this work deals

with the study of the propagation properties and attenuation of ultrasonic waves to evaluate the

propagation velocity and the attenuation of ultrasound in composite and polymer materials. So,

knowing these characteristics, we can identify elastic and viscous elastic properties of the studied

materials such as stratified multilayer composite, made of unidirectional fibres of carbon / epoxy,

polyethylene and polyurethane. Additionally, for a better evaluation of the flight time of the wave

which depends on all other properties of the material, we used the Hilbert transform method. The

obtained results of the analyzed materials present a good estimation in comparison to those indicated

by the literature.

Key words: Ultrasounds, Velocity, Attenuation, rigidity, damping, composite, polymers.


4/108

4

Remerciements

Je tiens tout d'abord remercier en premier lieu, le Bon Dieu, le Tout Puissant, de

mavoir donn autant de courage, de patience et de volont pour atteindre ce but.

Dautre part, ce travail ne pouvait aboutir sans laide et de lencouragement que

javais reu de la part de plusieurs personnes. Jexprime mes vifs remerciements mon

Directeur de Thse, Mr. M.A Si-ChAIB, matre de Conferences lUniversit de MHamed

Bougara de Boumerds dont les directives, les conseils et les remarques pertinentes m'ont

guid tout au long de cette recherche.

Jexprime mes vifs remerciements Monsieur le professeur, NOUR Abdelkader,

Directeur du Laboratoire Dynamique des Moteurs et Vibroacoustique, qui ma fait lhonneur

daccepter la prsidence de mon jury et pour tout lintrt quil porte mon travail.

Jexprime mes vifs remerciements Mr ; A. BADIDI-BOUDA, Maitre de recherches

au CSC-Chraga, pour mavoir accueilli au sein du Centre de Soudage et Contrle de Chraga

et de mavoir offert tous les moyens ncessaires pour russir mon projet de recherche, et

davoir accepter de juger ce travail. Jexprime galement, au Docteur Drai, ma vive gratitude

pour son accueil et assistance prcieuse ainsi qua toute lquipe du laboratoire de traitement

du signal.

Mes remerciements vont aussi Monsieur BOUTKEDJIRT Tarek, Matre de

confrences lUSTHB, pour avoir accepter dexaminer ce mmoire de magister.

Je tiens remercier Monsieur KHELIL Med-Elhocine, Matre de confrences

lUniversit de MHamed Bougara de Boumerds, qui me fait galement lhonneur de vouloir

juger ce travail et prendre part au jury.

Ce travail a beaucoup enrichi ma vie professionnel tant des points de vus scientifique,

pdagogique, quhumain. Que tous ceux et celles qui ont particip dune faon ou dune autre

son accomplissement trouvent ici lexpression de ma profonde gratitude.


5/108

5

SOMMAIRE

Notations utilises

Abrviations

Introduction gnrale................................................................................. 12

Chapitre I. Revue bibliographique

Introduction

I .1. Caractristiques mcaniques et proprits des matriaux polymres et

composites. ...................................................................................................17

I .1.1. Polymres ................................................................................................... 17

I .1.2. Composites .................................................................................................21

I .2. Techniques exprimentales de caractrisation des matriaux ..................30

I .2.1. Mthodes de dtermination des constantes lastiques et viscolastiques ...... 30

I .2.2. Test mcanique pour la dtermination du module danisotropie

des matriaux .............................................................................................31

I .2.3. Mesure ultrasonore des proprits mcaniques des matriaux........... .......... 31

I .3. Le phnomne dabsorption par effet viscolastique.................................32

I .3.1. Dfinition et principaux modles rhologiques ........... ...................... ........... 32

I .3.2. Approche temporelle ...................................................................................38

I .3.3. Approche empirique.................................................................................... 39

Conclusion ............................................................................................................ 41

Chapitre II. Thorie

Introduction

II.1. Equation de llasticit anisotrope gnrale ...............................................42II.2. Structure du matriau : Classe de symtrie ...............................................44

II .2.1. Symtrie triclinique....................................................................................45

II .2.2. Symtrie monoclinique ..............................................................................45

II .2.3. Symtrie orthorhombique........................................................................... 46


6/108

6

II .3. Ondes planes dans les solides anisotropes.................................................47

II .3.1. Propagation donde dans les directions de symtrie matrielle du matriau.50

II .3.2. Technique de transmission par immersion................................................... 52

II .3.3. Mesure de la vitesse donde et de lattnuation par la technique

dimmersion ultrasonore ............................................................................52II .3.4. Relation entre le tenseur des contraintes et les constantes mcaniques.........55

II .3.5. Dtermination des normales aux plans de symtrie et le systme

des coordonnes principales........................................................................57

Conclusion ............................................................................................................ 61

CHAPITRE III. Elments de traitement du signal

Introduction

IV .1. Echantillonnage des signaux ..................................................................62

IV .1.1. Dfinition .............................................................................................. 62

IV .1.2. Thorme dchantillonnage .................................................................. 62

IV .1.3. Opration dchantillonnage .................................................................. 63

IV .2. Transforme de Fourier discrte (TFD) et transforme

de Fourier rapide (TFR) ........................................................................63

IV .2.1. Dfinition de la TFD .............................................................................63

IV .2.2. La Transforme de Fourier Rapide TFR ou FFT .................................... 65

IV .2.3. Proprits de la T.F.D............................................................................ 66

IV .3. La transforme dHilbert .......................................................................67

IV .3.1. Dfinition de la Transforme dHilbert .................................................. 67

IV .3.2. Utilisation de la Transforme dHilbert dans la dtection denveloppe... 68

IV .3.3. Utilit de la dtection denveloppe en C.N.D .........................................69

Conclusion .........................................................................................................70

CHAPITRE IV. Etude exprimentale

Introduction

IV. 1. Techniques ultrasonores de mesure ......................................................71

IV.1.1. Problmatique et choix des prouvettes............ ...................................... 71

IV.1.2. Technique de transmission ultrasonore pour la dtermination

simultane de la vitesse de propagation et de lattnuation ultrasonore..72


7/108

7

IV. 1.3. Transducteur, pramplificateur et oscilloscope ................................ ...... 74

IV.2. Mesures en immersion des constantes viscolastiques .........................75

IV.2.1. Dtermination des constantes viscolastiques et de lattnuation....... ...... 76

IV.2.2. Rsultats et discussion du calcul des rigidits complexes en immersion .. 77

V.3. Dispositif de mesure par cho pour la dtermination simultane de

lpaisseur, la vitesse, la densit et lattnuation ....................................84

IV.3.1. Calcul de lpaisseur et de la vitesse de londe longitudinale.................... 86

IV.3.2. Calcul de la densit et de lattnuation ..................................................... 87

IV.3.3. Rsultats des proprits mcaniques mesures de mesure par cho .......... 88

IV.4. Discussion ................................................................................................ 93

IV.4.1. Comparaison des rsultats obtenus par les deux techniques...................... 93

Conclusion ..........................................................................................................94

Conclusion gnrale ................................................................................... 95

Bibliographie .............................................................................................. 97

Annexes : N1 et N2.


8/108

8

Notations utilises

Symbole Signification

: Tenseur de contraintes

ij : Elments du tenseur de contraintes

: Dformation volumique

ij : Elment du tenseur de dformation dordre deux

, : Constantes de Lam

, : Constantes complexes de Lam

E: Module dYoung

G : Module de compression uniforme

: Longueur donde

: Densit

U: Vecteur dplacement

ij : Symbole de Kronecker

2 ou Oprateur Laplacien

C: Tenseur dlasticit

ijklC : Constantes lastiques du seconde ordre

jklC : Constantes viscolastiques du seconde ordre

LV : Vitesse de propagation de londe longitudinale

TV : Vitesse de propagation de londe transversale

V : Vitesse de phase

: Pulsation de londe

f : Frquence de londe

: Temps de vol

: Coefficient dattnuation

L : Coefficient dattnuation de viscosit de compression

T : Coefficient dattnuation de viscosit de cisaillement

: Coefficient damortissement


9/108

9

: Tenseur damortissement

k: Nombre dondes

k: Nombre dondes complexes

Lk Nombre dondes longitudinales

Tk Nombre dondes transversales

p : Champ de pression acoustique

L : Fonction gnralise de dissipation

( )1 t+ : Fonction de Heaviside

c : Clrit de londe dans le solide

kA : Composantes de lamplitude du dplacement

k

P : Dplacements unitaires des vecteurs de polarisation

k ,

k : Tenseur de Christoffel.

q : Rupture dimpdance

R : Systme de coordonnes relatives dans lespace

pR : Systme de coordonnes principales dans lespace

0V : Vitesse donde dans leau

: Priode relative

: Angle dincidence

d: Epaisseur de lchantillon

jA : Tenseur de Voigt

jB : Modules de dilatation

X[k] : Suite numrique

x(t) Fonction du signal

y(t) Transforme dHilbert du signal

z(t): Signal analytique (appel aussi composite)N : Nombre dchantillons

x ta ( ) : Signal analogique

Te : Priode de limpulsion du peigne de DIRAC

D : Fentre temporelle

fe : Frquence dchantillonnage


10/108

10

W : Coefficient de base de la TFD

0h ( t ): Fonction de transfert du filtre de quadrature

Ci : Angle dincidence critique

jR : Coefficients de rflexion des interfaces entre iet j, en incidence normale

jT : Coefficients de transmission des interfaces entre iet j, en incidence normale

iZ : Impdance acoustique du milieu i


11/108

11

Abrviations

ABS : Terpolymre Acrylonitrile Butadine -Styrne

C.N.D : Contrle Non Destructif

PA : Polyamides

PBT : Polybutylne Trphtalate

PC : Polycarbonates

PE : Polythylne

PET : Polythylne trphtalate

PMMA : Polymthacrylate de mthyle

POM : PolyoxymthylnePS : Polystyrne standard et choc

PSU : Polysulfone

PTFE : Polyttrafluorothylne

PVC : Polychlorure de vinyle

TFD : Transforme de Fourier Discrte

TFR : Transforme de Fourier Rapide

TH : Transforme dHilbert


12/108

12

I ntroduction gnral e

Les nouvelles technologies ncessitent des matriaux nouveaux hautesperformances, capables de remplacer les matriaux classiques. En effet, les matriaux

composites et polymres permettent de concevoir et de raliser des structures amliores

possdant de bonnes proprits mcaniques allies un poids minimal. Ces matriaux ont

suscit un intrt particulier dans de nombreux secteurs tel que, laronautique, les

constructions navales, lindustrie automobile, etc.

Lvaluation des proprits mcaniques des matriaux composites et polymres

repose beaucoup sur les techniques exprimentales majoritairement destructives. Pour pallier cet inconvnient, des procds non destructifs trouvent de larges applications. Sur le plan de

la caractrisation mcanique, lvaluation ultrasonore de ces matriaux lasto-visco-plastiques

confre londe mise un caractre dispersif. Dans ce cas, les proprits viscolastiques

varient avec la frquence. Pour une frquence donne, lvaluation du matriau analyser,

sain ou endommag par la prsence de dfauts ou de fissures, implique la fois des mesures

de vitesse de propagation et dattnuation de londe considre. La connaissance de ces

caractristiques conduit lidentification des proprits dlasticit et de viscosit du matriau

analys. En effet, beaucoup de mthodes sont utilises pour mesurer leurs propritsmcaniques, qui sont bases sur lune ou lautre, statique (cest la mthode la plus ancienne

pour la dtermination des constantes lastiques, tel que les essais de traction, de compression,

et de torsion [1]) ou rponse dynamique une excitation du matriau, cas des mthodes

ultrasonores [2].Ces dernires sont dans la plupart des cas, beaucoup plus avantageuses et

plus prcises, applicables de petits chantillons et permettent galement ltude en plus de la

viscolasticit, la dispersion et les non-linarits. A cet effet, la mthode de caractrisation

ultrasonore savre dsormais, incontournable pour la dtermination des proprits

mcaniques des matriaux. Pour des milieux htrognes lchelle microscopique, loutilacoustique autorise lvaluation des caractristiques mcaniques du milieu homognis

lchelle de la longueur donde, c'est--dire, la frquence spatiale de lexcitation mcanique.

Cest cette facult dhomognisation des proprits mcaniques des matriaux, la fois

htrognes et anisotropes qui font de cette technique un outil essentiel pour lidentification

de lois de comportement dun milieu continu homogne quivalent.


13/108

13

Cette tude sinscrit prcisment, dans limportance de lanalyse et lvolution des

techniques ultrasonores adaptes aux structures htrognes des matriaux (fibres, porosits et

inclusions) et leur endommagement par microfissuration entranant gnralement, un

caractre dispersif marqu par des ondes acoustiques [3], [4], [5], [6], pour lequel un modle

viscolastique linaire des lois de comportement du milieu homogne considr est ncessaire

[7], [8], [9], [10]. Le formalisme requis pour lhypothse dun tel milieu autorise

lintroduction de fonctions de rigidit complexe en frquence, avec des lois dvolution de

vitesse de phase et de coefficient dattnuation priori quelconques. Ces dernires, la

dispersion et lattnuation, sont alors, comme deux phnomnes dpendants lun de lautre,

une relation dont il faudrait tenir compte dans les mthodes didentification des proprits

viscolastiques du milieu dispersif. Pour cela, deux grandes familles de techniques de

caractrisation ultrasonore peuvent tre distingues. La premire est base sur ltude desmodes propres dun chantillon. Dans le cas dun dplacement libre aux interfaces, la

caractrisation repose sur lanalyse des modes guids se propageant dans une plaque mince

[11], [12], [13], [14]. Pour un dplacement impos aux interfaces, il sagit dtudier les

frquences de rsonance (spectroscopie) dune structure simple (cube, plaque

rectangulaire,) [15], [16]. Ces mthodes ont lavantage dtre plus prcises dans le cas de

matriaux purement lastiques, mais sont beaucoup moins efficaces ds quun comportement

dissipatif visqueux apparat. De plus, elles sont difficilement adaptables au suivi continu de

lendommagement. Lautre famille exploite directement les proprits des ondes planes ou degroupe (vitesse de propagation et lattnuation) lies par lquation de propagation aux

proprits mcaniques du milieu. Ainsi, par lestimation de la vitesse de phase et

dattnuation des ondes ultrasonores selon plusieurs directions de propagation, il est possible

de remonter aux proprits mcaniques du matriau. Ces mesures seffectuent gnralement,

de deux faons diffrentes. Soit, londe acoustique est gnre et rceptionne au contact de

lchantillon [17], [18], soit, les mesures sont ralises sans contact, en utilisant un milieu de

couplage fluide, tel que leau, lhuile ou lair[19], [20], [21], [22], [12], [23].

Afin dvaluer les caractristiques des matriaux viscolastiques, les proprits

lastiques sont rarement suffisantes. En particulier, pour les polymres, les mesures relatives

de lattnuation dans le matriau fournissent des informations au sujet du degr dinter-

liaisons et de la cristallinit de ces derniers [24].


14/108

14

Pour les mtaux, lattnuation peut tre lie au mouvement des dislocations entre

autres caractristiques. Pour les matriaux composites, en gnral, linterphase et la matrice

dominent lattnuation. Leurs dterminations par la mthode transmission en utilisant les

mesures ultrasonores des vitesses de phase ou de groupe, savrent tre les plus largement

rpandues [12], dautant plus quelles dpendent, plus ou moins fortement de la frquence etde la temprature [25]. Ces mesures ont t un domaine de recherche trs actif tout au long de

ces dernires dcennies. Habituellement, ces mthodes exigent la connaissance des axes de

symtrie du matriau. En principe, la concidence entre les axes de symtrie et gomtriques

de lchantillon est assume. Cependant, une certaine discordance du signal entre ces deux

systmes du mme rang, peut apparatre dans beaucoup de cas ; erreur exprimentale due aux

emplacements de lchantillon, aux dfauts de coupe, aux dfauts dempilement des strates,

cas des matriaux composites industriels, et aux microfissures avec une orientation

prdominante qui ne concide pas avec les axes de symtrie, etc. [12].

Comme rpandu, la plupart des matriaux viscolastiques appartiennent la classe

de symtrie orthotropique tels que les composites, et isotropique pour le cas des polymres.

Par consquent, neuf et deux constantes indpendantes respectivement, sont ncessaires pour

modeliser leurs ractions aux charges extrieures. Pour un matriau orthotrope, sept des neuf

constantes lastiques peuvent tre obtenues de par les mesures dans les deux plans de

symtrie. Les deux autres constantes lastiques peuvent tre trouves partir des mesures

dans les plans non symtriques [23]. Pour un matriau isotrope, les ondes longitudinale ettransversale sont amplement suffisantes pour retrouver les constantes de Lam du matriau.

Cette recherche rside dans ltude des proprits dattnuation (dispersion et

dissipation) en vue dune valuation simultane des vitesses de propagation et de lattnuation

des ultrasons dans des matriaux composites et polymriques. La connaissance de ces

caractristiques conduit lidentification des proprits dlasticit et de viscosit du matriau

analys. Dans ce contexte, on tudie une mthode didentification des proprits

viscolastiques de matriaux anisotropes, effectue partir de lanalyse des signaux transmis

travers la faible paisseur dune lame paralllpipdique et pour valuer les paramtres cits

prcdemment, selon lincidence longitudinale et transversale par la technique de

transmission en immersion. De plus, nous devrons prendre en compte lattnuation, rsultant

de nombreux phnomnes plus ou moins complexes. En particulier, nous connaissons les

phnomnes lmentaires dattnuation comme la viscolasticit anisotrope et la diffusion,


15/108

15

auxquels nous serons forcment confronts au cas dun composite constitu dpoxy, milieu

viscolastique, et de fibres de carbone jouant le rle de diffuseurs, ainsi que deux autres

matriaux polymres diffrents, un polythylne et polyurthanne. Enfin, on termine par une

valuation simultane de lpaisseur, la vitesse, la densit et lattnuation par la technique de

par cho en immersion dont lexprience a t dj ralise par Graciet C., et Hosten B., [26]o notamment, ses rsultats sont trs apprciables pour des matriaux viscolastiques. Ainsi

donc, cette tude sarticule autour des lments et chapitres suivants. Une introduction

gnrale qui prsente la position du problme et prcise le but de cette recherche. Le chap.I

prsente une tude des matriaux viscolastiques, savoir, les composites et les polymres,

ainsi que les diffrentes techniques et mthodes exprimentales permettant leurs

caractrisations mcaniques. De plus, on prsente en gnral, le phnomne dabsorption cr

par leffet viscolastique dans les matriaux composites renforcs de fibres de carbone et les

diffrentes approches de leurs caractrisations. Le chap.II se base sur les diffrents conceptsthoriques permettant la comprhension du milieu anisotrope gnral qui constitue le support

de transmission des ondes ultrasonores, ainsi que leurs relations dynamiques avec le milieu de

propagation, et il se termine par la prsentation de diffrentes techniques de transmission en

immersion et les mthodes destimation des vitesses donde de propagation et leurs

attnuations dans les milieux viscolastiques anisotropes. Dans le chap.III, on traite les

lments essentiels du traitement du signal qui portent, en particulier, sur la numrisation du

signal et la transforme de Fourier permettant la dtermination de la fonction de transfert

exprimentale de la plaque. Ce chapitre traite galement, de la transforme dHilbert de

limpulsion rponse value des deux signaux superposs. Cest une mthode rpandue tre

plus performante et prcise. Notons que ce processus de calcul par la transforme dHilbert

permet la dtermination du temps de vol et la mesure prcise des vitesses de propagation et de

lattnuation, ainsi que les rigidits complexes du matriau y dpendant. Au chap.IV, on

prsente les techniques de mesures et le matriel utilis pour la caractrisation ultrasonore des

matriaux, savoir, le dispositif dessai de transmission en immersion et celui par cho. On

montrera comment appliquer ces concepts, collecter et traiter les rsultats exprimentaux,

obtenus sur des matriaux viscolastiques varis, anisotropes et isotropes, et rpandus dans le

domaine ultrasonore savoir respectivement, un composite stratifi unidirectionnel de 10 plis

de tissu de carbone/poxy et deux polymres : un polythylne et un polyurthane. Ces

matriaux danalyse prsentent de bonnes estimations relatives aux valeurs rfrencies dans

la littrature scientifique.


16/108

16

Ce mmoire se termine par une conclusion gnrale, en soulignant lintrt des

ultrasons dans le domaine de caractrisation des matriaux viscolastiques. Les rsultats

obtenus relatifs lvaluation de la vitesse de propagation et de lattnuation ultrasonore,

incitent lavantage la gnralisation de ces mthodes ultrasonores pour une caractrisation

relle de nouveaux matriaux.


17/108

17

Chapitre I

Revue bibliographique

Introduction

Comme tous les matriaux utiliss dans le milieu industriel, les matriaux polymres

et composites doivent tre caractriss et contrls afin de rpondre aux rgles de qualit et de

scurit souhaites. Leurs proprits et larrangement matriel de leurs diffrents constituants

leurs confrent un caractre particulier et complexe, ils sont rpandus tre des milieux

htrognes, viscolastiques et respectivement, isotropes ou anisotropes. Leur utilisationintense dans des applications industrielles les rend de grand intrt connatre leurs proprits

mcaniques et dattnuation ou parfois, de dispersion.

Cette revue bibliographique va donc tre consacre une prsentation succincte des

spcificits et des qualits de ces matriaux, ainsi que les diffrentes mthodes qui nous

permettent de recouvrir leurs caractristiques mcaniques. Cette partie se termine par une

tude dtaille de lattnuation rsultant des phnomnes dabsorption et de diffusion cres

par des microstructures trs complexes, tel que labsorption par effet viscolastique de la

matrice polymre et la diffraction ou la diffusion simple ou multiple par les fibres de carbone

pour le cas notamment, dun composite unidirectionnel de carbone / poxy.

I.1. Caractristiques mcaniques et proprits des matriaux polymres et composites

I. 1.1. Polymres

Les matriaux polymres (ou plastiques) sont des enchanements macromolculaires

organiques de motifs (ou monomres) simples ou diffrents. Un monomre est une suite

datomes de carbone lis entre eux et avec dautres lments (H, N, Si, Cl...). La nature

chimique des monomres constituants les macromolcules, leurs nombres et leurs

arrangements procurent aux polymres des proprits lastiques ou viscolastiques

particulires.


18/108

18

On distingue des homopolymres, rptition dune unique structure molculaire, et des

copolymres, rptition de plusieurs structures diffrentes. Ils sont classs en deux

catgories : les thermoplastiques et les thermodurcissables.

I. 1.1.1. Les thermoplastiques

Les thermoplastiques sont constitus de chanes ramifies, ont un point de fusion et

comportent deux classes : des amorphes, sans ordre molculaire, et des cristallins. Le

changement dtat solide / liquide ou pteux peut se faire plusieurs fois avec une perte de

caractristiques chaque cycle.

Les amorphes nont pas dordre apparent (structure semblable un liquide) et pas de

temprature de fusion prcise, mais prsentent une phase de ramollissement. Ils sont

caractriss par un faible retrait, une tenue au choc, une tenue dimensionnelle et unersistance au fluage. Les PS, ABS, PMMA, PC, PSU, PVC. (Voir la signification les

abrviations) sont des amorphes.

Les cristallins ont une structure ordonne dans une matrice amorphe. Le taux de

cristallinit donne limportance de la structure cristalline dans lensemble de la matire. Ce

taux dpend de la matire et du refroidissement lors du moulage. Ils ont une bonne tenue la

fatigue, un faible coefficient de frottement, une bonne tenue chimique. On peut noter, parmi

les cristallins, les PE, PET, PBT, PA, POM, PTFE...

I. 1.1.2. Les thermodurcissables

Les thermodurcissables ont leurs macromolcules orientes dans lespace et dans les

trois directions. Il ny a point de fusion. Le moulage est obtenu laide dun agent rticulant,

dun catalyseur ou dun durcisseur. En gnral, ils sont plus rigides que les thermoplastiques,

rsistent mieux au fluage et se prtent au moulage de grandes pices avec des fibres courtes,

longues ou tisses. Ces principales familles sont les polyesters, les phnoliques, les poxydes,

les aminoplastes.

Les proprits mcaniques des polymres, en particulier leurs rigidits dpendent deplusieurs facteurs, ils peuvent tres groups selon leurs proprits chimiques et de la

configuration spatiale de leurs chanes. Dune part, la nature des monomres prsents dans la

chane, ainsi que la stro-isomtrie, auront une influence sur la souplesse de la chane et,

dautre part, la configuration spatiale des chanes, qui peuvent tres linaires (cristallises ou

non), ramifie, rticule ou forme de rseaux amorphes.


19/108

19

Ltude du comportement mcanique de ces matriaux a donn lieu de nombreux

ouvrages de rfrence tels que ceux de J. D. Ferry [27]et R. D. Corsaro et al. [28].

I. 1.1.3. Structure molculaire

La figure I.1 prsente les formules chimiques de deux polymres rpandus dans le

domaine des mousses synthtiques ou le nombre de monomres, ou motifs lmentaires n, est

souvent suprieur 1000 : le polythylne et le polyurthane. Des rsines peuvent galement

tre utilises, comme la mlamine.

F igure I.1.Formules chimiques de deux polymres courants : a) polythylne et

b) polyurthanne. R et Rdsignent des groupes datomes fonctionnels

Le comportement mcanique des polymres est influenc par la nature des groupes

chimiques mis en jeu mais galement, par leurs caractristiques physiques telles que la masse

volumique et lencombrement spatial par exemple [29].

I. 1.1.4. Structure macromolculaire

Lassociation de monomres dans une macromolcule est due principalement, des

Forces de cohsion chimiques. En complment de ces liaisons chimiques, des liaisons

physiques peuvent intervenir pour maintenir lassemblage. Ces forces de cohsion physiques

peuvent tre dtruites, de faon rversible, sous leffet de la chaleur, dun solvant ou dune

sollicitation mcanique ; le matriau conserve toutefois sa nature. La scission dune liaison

chimique, plus rsistante, possde en revanche un caractre irrversible et modifie la naturedu matriau.

Le nombre de monomres formant une macromolcule est gnralement, trs

important et le fait dajouter ou de retirer un monomre ne modifie pas de faon significative

les proprits du matriau polymre rsultant. La figure.I.2, prsente diffrents arrangements


20/108

20

de monomres en une macromolcule. Ces arrangements ont une importance sur les

proprits macroscopiques du matriau.

Pour les matriaux rticuls, plus le niveau du dsordre des monomres est lev, plus

il sera difficile de dnouer ces chanes et donc, plus la rigidit du polymre sera importante.

Fi gure I .2.Reprsentation schmatique de diffrents arrangements de monomres

en une macromolcule : a) linaire, b) ramifie etc) rticule

I. 1.2.5. Comportement mcanique

Les matriaux polymres possdent gnralement un comportement mcanique du

type viscolastique. Leur rponse une contrainte constante 0 , pendant un temps 0t , est unecombinaison entre un comportement lastique (instantan et rversible) et un comportement

visqueux (fonction du temps et irrversible).

Le domaine de viscolasticit linaire du matriau dpend de nombreux paramtres,

tels que la temprature, lamplitude et la frquence des contraintes, des dformations, ou

encore, de la vitesse du chargement. De plus, le comportement mcanique dun mme

matriau volue suivant les domaines dtats que possde ce matriau.

I. 1.1.6. Domaines dtats

La figure I.3, prsente schmatiquement lvolution en fonction de la temprature, de

la partie relle dun module lastique et du coefficient damortissement structural qui lui

est associ. Les deux pics sur la courbe du coefficient damortissement traduisent des

transitions, ou relaxations, associes des possibilits de mouvements molculaires.


21/108

21

F igure I.3.Reprsentation schmatique de lvolution de la partie relle dun module

lastique et du coefficient damortissement associ pour un matriau polymre en fonction de

la temprature ou de la frquence[28].

La transition est la premire transition qui apparat en abaissant la temprature. Elle

donne un pic plus important que les autres transitions. Le maximum du pic de cette transition

indique la temprature de transition vitreuse Tg. A une temprature infrieure la temprature

de transition vitreuse, le matriau est dans un tat vitreux, solide et rigide. Il prsente un

comportement fragile, semblable au verre, et possde des modules dlasticit levs. Aucontraire, ltat caoutchouteux, le polymre est ductile, de la mme manire quun

caoutchouc.

Les transitions , , et , peuvent tre observes lorsque la temprature continue de

diminuer. Elles donnent des pics de moindres amplitudes car elles sont relatives des

mouvements de petits groupements molculaires spcifiques. Entre ces transitions dtat, les

proprits des matriaux varient peu.

I.1.2.Composites

On dit quun matriau est un matriau composite, lorsquil est constitu de deux ou de

plusieurs lments distincts et non miscibles, dont les caractristiques se combinent pour

donner un matriau htrogne possdant des performances globales amliores et ayant, des

proprits particulires en rponse un besoin spcifi.


22/108

22

Lune des grandes familles de matriaux composites, regroupe ceux constitus de

deux phases : un matriau fibreux, jouant le rle de renfort (armature, squelette), et il assure

la tenue mcanique (rsistance la traction et rigidit), souvent de nature filamentaire (fibres

organiques ou inorganiques) et, un matriau rsineux, appel : matrice, qui lie les fibres

renforts, rpartit les efforts (rsistance la compression ou la flexion) et assure une bonne

protection chimique du matriau.

Ce qui fait loriginalit de ces matriaux, est leur constitution de base, qui est une

association de proprits mcaniques de diffrents constituants (matrice et renfort) dans une

mme structure. Les matriaux composites sont trs varis. Ils peuvent tre classs en

fonction de la constitution de la matrice (organique, mtallique, minrale, etc.) et de la nature

du renfort (carbone, verre, aramide ou kevlar, bore, etc.). Le type dassociation matrice /

renfort, dpend principalement de lapplication pour laquelle le composite est destin. Dansles domaines aronautique et spatial par exemple, la proccupation majeure des constructeurs,

est laugmentation des performances des pices par 1amlioration de leurs proprits

caractristiques (gain de masse, tenue en fatigue, tenue en temprature, rsistance la

corrosion, etc.), ce qui explique la grande utilisation des composites carbone / poxyde dans

ce domaine.

Historiquement, le concept de renforcement base de fibres est trs ancien ; il a t

utilis par les Egyptiens dans la construction, par lintroduction de la paille dans de largile.

En 1942, le premier bateau base de fibres de verre a vu le jour, et les plastiques renforcsont fait leur apparition dans les applications aronautiques et les composants lectriques. Les

fibres de carbone et de bore haute rsistance taient introduites au dbut des annes 60, et

ont t utilises dans les composites hautes performances en 1968. Quant aux composites

matrices mtalliques, tels que le bore/aluminium, ils ont t introduits dans les annes 70. Par

la suite, il ya eu le dveloppement des fibres de kevlar (aramide) en 1973. A la fin des

annes 70, les applications des matriaux composites ont pris de plus en plus dampleur, et

ont touch les constructions aronautique et automobile, les quipements sportifs et lindustrie

biomdicale.Les annes 80 par contre ont t marques par une augmentation spectaculaire de

lutilisation des fibres hautes performances. Actuellement, laccent est mis sur le

dveloppement des composites destins aux applications hautes tempratures, tels que les

composites matrice mtallique, matrice cramique et carbone / carbone [30].


23/108

23

I .1.2.1. Structures des composites

Lanalyse du comportement des composites et la prvision de leurs proprits, font

intervenir les caractristiques de la matrice, celles des fibres, les problmes dinterface et les

conditions de fabrication. En effet, les proprits mcaniques des composites sont trs

dpendantes des fibres employes : nature, rpartition, orientation, taux ou fraction

volumique, longueurs et diamtres ou facteur de forme, ensimageset de la matrice (en

particulier, les tempratures de transition et de fusion pour les thermoplastiques).

Ces matriaux peuvent, par un assemblage judicieux de leurs composants, acqurir un

ensemble de proprits mcaniques intressantes : bonne tenue en fatigue, absence de

corrosion, et avant tout, une faible masse, une rsistance et une rigidit spcifique leve. Ces

deux dernires proprits, prsentent notamment un grand intrt dans lindustrie, dautant

plus performante quelles sont lgres et rsistantes dun point de vue mcanique. Ceci peuttre obtenu en utilisant une matrice polymrique dont la masse volumique est faible,

contenant par exemple des fibres de carbone de faible densit galement, mais surtout

possdant une rsistance mcanique trs leve. Toutefois, une bonne connaissance des

composites doit tre fonde sur celle des renforts et des matrices.

a) Les renforts

Les fibres sont constitues par plusieurs centaines ou milliers de filaments, de

diamtres compris entre 5 15 microns, longues ou courtes. Elles sont dorigine minrale(verre, carbone, bore, cramique), ou organique (aramide ou Kevlar) [31], ainsi que

dautres, continues (alpha quartz, alumine, carbure de silicium) et discontinues

(monocristaux ou trichytes) [32], mtalliques et cramiques [33], etc.. Leur assemblage, aprs

leurs traitements de surface (ensimage), constitue un renfort, donnant lieux des matriaux

composites unidimensionnels (fibres unidirectionnelles), bidimensionnels (surfaces tisses

"tissus" ou non tisses "feutres ou mats"), et tridimensionnels ou multidimensionnels (volume

prform ou non) comme le montre la figure I.4.

Les matriaux de renfort, confrent aux composites leurs caractristiques mcaniquestelles que rigidit, rsistance la rupture, duret, etc. Ces renforts permettent galement

damliorer certaines des proprits physiques telles que, le comportement thermique, la tenue

en temprature, la tenue au feu, la rsistance labrasion et les proprits lastiques.


24/108

24

Figure I. 4.Disposition des fibres : a)fibres unidirectionnelles ; b)mat ;

c)tissus ; d)tissage tridimensionnel orthogonal

CaractristiquesCarbone

(HM)

Carbone

(THM)

Carbone

Hercule AS4

Masse volumique ( )3/ mkg 1810 1950 1810

Diamtre ( )m 8 8 8

Module dYoung fE ( )GPa 400 600 235

Module spcifique fE / ( )kgMNm / 210 310 130

Contrainte la rupture fu ( )MPa 2800 2000 3730

Contrainte spcifique fu / ( )kgKNm / 1550 1030 2060

Tableau I .1. Caractristiques des fibres de carbone [30], [34]


25/108

25

Les hautes performances des composites dpendent dune part, dun module

spcifique lev (rapport du module dlasticit la densit /fE ), et dautre part, de la

contrainte spcifique (rapport de la contrainte ultime la densit /fu ). Ces deux proprits

sont contrles par les fibres. Elles sont illustres dans le tableau I.2, pour le cas des fibres decarbone haut module (HM), trs haut module (THM) [34], et les fibres de carbone AS4

[30].

b) Les matrices

La matrice dun matriau composite est le milieu ductile qui lie les fibres renforts, de

rsistance et de rigidit infrieure et sert, transfrer les efforts que subissent ces dernires.

Elle peut tre mtallique (alliage daluminium, de titane, etc.), minrale ou carbone (carbure

de silicium, carbone, etc.), cramique, et rsineuse ou organique (diffrents types de

polymres : thermoplastiques et thermodurcissables utilisation technique ou hautes

performances "thermostable ou non") [35]. Dun point de vu mcanique, la matrice dun

matriau composite se comporte comme un matriau homogne. Elle remplit deux rles

fondamentaux :

1) Elle assure le transfert des sollicitations mcaniques aux fibres (lorsque les fibres

apportent au composite leurs performances mcaniques leves). Pour cela, elle doit tre

ductile et prsenter une bonne cohsion avec les fibres, afin dassurer un transfert optimal et

limiter les dplacements de lensemble. Dautre part, elle doit avoir une faible masse

volumique, ce qui donne au composite des proprits spcifiques leves;

2) Elle incorpore les fibres et les protge vis--vis des agressions extrieures.

Il existe deux grandes familles de rsines polymres : les rsines thermoplastiques et

les rsines thermodurcissables.

Les rsines thermoplastiques sont des polymres chane linaire. Elles dveloppent

des liaisons flexibles qui permettent leur mise en forme plusieurs fois par chauffage et

refroidissement successif. Elles sont gnralement, utilises dans les produits de grande

diffusion. Cependant, lamlioration des caractristiques des rsines thermoplastiques conduit

leur utilisation dans des applications de plus en plus importantes.

Pour obtenir des composites aux performances plus leves, on utilise gnralement

des rsines thermodurcissables. Contrairement aux prcdentes, ces rsines ne peuvent tre

mises en forme quune seule fois. De plus, un chauffage supplmentaire contribuerait les


26/108

26

dgrader et, par consquent, affaiblit le matriau. En effet, aprs polymrisation par un apport

dnergie thermique, ces rsines conduisent des liaisons rigides qui ne peuvent tre dtruites

que par un apport plus important dnergie thermique.

Tableau I .2.Caractristiques mcaniques des rsines poxydes [34]

Les rsines thermodurcissables prsentent quelques inconvnients, tels quun long

temps de polymrisation (plusieurs heures), un cot lev, un redoublement de prcautions

lors de la mise en oeuvre, une sensibilit la fissuration, etc. Ces inconvnients demeurent

insignifiants devant les performances leves de ces rsines, telles quillustres par le tableau

I.1. Les rsines thermodurcissables possdent des proprits mcaniques (traction, flexion,

compression, choc, etc.) et surtout thermomcaniques, suprieures celles des rsines

thermoplastiques. Elles possdent galement une bonne tenue aux tempratures leves

(jusqu 150C 190C en continu), une excellente rsistance lattaque par lhumidit et ont

une bonne adhrence aux matriaux de renfort [34].

I .1.2.2. Les m atriaux c om pos ites stru ctu raux

La rigidit dun composite est conditionne par le nombre et lempilement des

couches, leur nature, leur orientation, leur squence dempilement, etc. Ils sont

gnralement sous forme de :

a) Monocouches

Les monocouches ou pli, reprsentent llment de base de la structure composite. Les

diffrents types de monocouches sont caractriss par la forme du renfort : fibres longues

(unidirectionnelles UD, rparties alatoirement), fibres tisses ou fibres courtes.

Masse volumique ( 3k g /m ) 1100 1500

Module dlasticit en traction (GPa) 3 5

Contrainte la rupture en traction (MPa) 60 80

Contrainte la rupture en flexion (MPa) 100 150

Allongement la rupture en traction en (%) 2 5

Rsistance au cisaillement (MPa) 30 50

Temprature de flchissement sous charge (C) 290


27/108

27

b) Stratifis

Un stratifi est constitu de lempilement de deux ou plusieurs couches (appeles

galement plis) entreposes successivement, et se comportant comme une seule entit

structurale. Chaque couche est forme de fibres de faible section (denviron 10 20 m de

diamtre), imprgnes de rsine.

Chaque couche est dsigne par son orientation, qui est langle que fait la direction des

fibres avec la direction de rfrence (qui est gnralement la direction des fibres

unidirectionnelles orientes 0).

La squence dempilement du stratifi, dsigne le nombre et lorientation des couches

successives en parcourant le stratifi dune face lautre. Ainsi, un stratifi est dit

unidirectionnel si, langle entre deux couches conscutives est nul, c'est--dire, toutes les

fibres sont alignes selon une seule direction. Par contre, un stratifi est multidirectionnel si

les couches successives, sont orientes les unes par rapport aux autres des angles autres que

0 tel, les multidirectionnels [0/ +45/ -45/ 90/ 90/ +45/ -45/ 0]. A titre dexemple, les stratifis 10 plis concerns par la prsente tude sont unidirectionnels 0. Pour ce qui est de la

convention de signe, elle est tablie selon le systme daxes que lon se fixe.

Un stratifi est constitu dun empilement de monocouches ayant, chacun, une

orientation propre par rapport un rfrentiel commun aux couches et dsign, comme le

rfrentiel du stratifi.

Le choix de lempilement et plus particulirement des orientations permettra davoir

des proprits mcaniques spcifiques.


28/108


29/108

29

le phnomne dendommagement le plus diffus dans les structures composites et celui qui

affecte le plus leur intgrit structurale et leur dure de vie [36].

I.1.2.4. Comportement mcanique

Si le schma de llasticit linaire reprsente assez bien le comportement mcaniquedes fibres en petites dformations, il nen est pas de mme de la matrice qui assure la liaison

entre les renforts. Cette dernire est gnralement organique et constitue de grosses

molcules qui prsentent un caractre visqueux. On entend par visqueux un milieu dans lequel

la dissipation volumique intrinsque nest en fonction que des vitesses des divers paramtres

caractrisant le milieu, tels que les vitesses de dformation ainsi que les contraintes de

rigidits (figure I.5). La matrice tant visqueuse, elle va donc, confrer au matriau composite

un caractre de viscosit.

(a) (b)

a) Sollicitation impose au matriau (dformation ou contrainte)

b) Effets dus aux sollicitations (contrainte ou dformation)

Figure 1. 5.Evolution, temprature constante, des termes diagonaux des matrices de

relaxation{ })(tC et la dformation{ })(tS en fonction du temps


30/108

30

La viscosit du composite peut galement avoir pour origine lhtrognit du

matriau. En effet, si la liaison fibre matrice est mdiocre, des micro-frottements entre les

diffrents constituants provoquent une perte dnergie que lon peut traduire globalement par

la viscosit. Cette dissipation dnergie, qui dpend des vitesses, peut avoir un effet positif et

recherch dans les comportements vibratoire et acoustique des structures [37].

I.2. Techniques exprimentales de caractrisation des matriaux

I. 2.1. Mthodes de dtermination des constantes lastiques et viscolastiques

Beaucoup de mthodes, employes pour mesurer les constantes lastiques et

viscolastiques, sont bases sur lune ou lautre, statique ou rponse dynamique une

excitation du matriau [2]. La mthode la plus ancienne pour la dtermination des constantes

lastiques tait lessai statique, tel que les essais de traction, de compression et de torsion [1]et au cours du sicle dernier, lvaluation non destructive des structures a connu un essor

considrable. Depuis, les techniques ultrasonores sont devenues loutil privilgi pour le

contrle et lvaluation non destructive des proprits mcaniques de la majorit des

matriaux.

Les matriaux anisotropes sont caractriss par de nombreuses constantes lastiques

indpendantes. En raison des besoins dessai, les mthodes dynamiques ont t dveloppes,

y compris la transmission ultrasonore [14]et [38], mthodes de rsonance [16] et faisceau

lumineux.Compares aux mthodes statiques qui exigent lutilisation de multiples chantillons

et qui aggravent les incertitudes dessai, les mthodes dynamiques ont de nombreux

avantages. Dans le plupart des cas, elles sont beaucoup plus prcises et applicables aux petits

chantillons et, actuellement, elles permettent galement ltude de la viscolasticit, la

dispersion et la non-linarit.

Les mthodes les plus largement rpandues ont t rpertories [39]ou lexactitude

des mthodes diffre et la liste ci-dessous est classe approximativement en ordre

dcroissant :

Techniques donde de volume acoustique ou ultrasonore, y compris les mthodes de

transmission et de limpulsion superpose.

Techniques de rsonance de lchantillon sous la forme de tiges, de barres, de

paralllpipdes, de plaques et plus rcemment, de sphres.


31/108

31

Dformation statique.

Lumire, neutron et dispersion de rayon X, y compris la dispersion de Brillouin.

La technique de la transmission ultrasonore et la dispersion de Brillouin sont

gnralement, les mthodes les plus utilises maintenant [39]. La dispersion de Brillouinpermet des mesures sur de trs petits chantillons, dordre de quelques millimtres ;

sauf quelle ne peut fournir aucune information au sujet de leffet de la temprature sur les

constantes lastiques. En gnral, la mthode de transmission ultrasonore tient des avantages

significatifs si lensemble complet des constantes lastiques est exig [39].

Etant donn que le prsent mmoire se concentre sur les techniques qui emploient la

transmission ultrasonore pour la dtermination de certaines caractristiques mcaniques dune

utilit technologique importante, savoir : la densit, lpaisseur et les constantes

viscolastiques. Pour ce fait, des concepts thoriques sont notamment dvelopps ci-aprspour permettre la comprhension des diffrentes mthodes et techniques de mesure.

I .2.2. Test mcanique pour la dtermination du module danisotropie des matriaux

Dans le pass, un certain nombre de mthodes dessai mcaniques ont t introduites

avec le dveloppement de nouveaux matriaux, particulirement, les composites. Les

nouvelles mthodes dessai fournissent des moyens de distinction entre les nouveaux

systmes matriels devenus disponibles. Les configurations dessai mcanique les plus

communes taient, la traction, la compression, le cisaillement et la flexion. Toutes ces

dernires peuvent tre employes pour obtenir les deux constantes lastiques de Lam et pour

mesurer la charge limite du matriau [40].

I .2.3. Mesure ultrasonore des proprits mcaniques des matriaux

La technique utilisant la transmission ultrasonore pour caractriser les proprits du

matriau sest dveloppe sensiblement au cours des quinze vingt dernires annes

[14]. Il y a de nombreuses rfrences se concentrant sur ces mthodes pour obtenir les

constantes lastiques [40]. Par lapproche de la transmission ultrasonore, le spcimen est

immerg dans un fluide ou mis en contact direct avec le capteur. La limitation de la technique

de contact direct est quelle exige que pratiquement, lchantillon soit assez pais (3 5 cm),

et galement, coup diffrentes angles, comme celui dessai mcanique [12]et [41]. Dans le

pass, un inconvnient majeur de la technique dimmersion, particulirement, pour des

contrles en service, tait la ncessit dimmerger le matriau dans un liquide, couramment,


32/108


33/108

33

- Solide lastique de Hooke, avec contrainte linairement proportionnelle la dformation :

= C (I.1)

O, est la contrainte uni-axiale, est la dformation uni-axiale associe, et C est

le module dlasticit reliant et .- Amortisseur visqueux de Newton, avec contrainte linairement proportionnelle la vitesse

de dformation :

d

dt(I.2)

O, est le coefficient de viscosit reliant contrainte et vitesse de dformation.

Parmi les modles un peu plus compliqus, rendant mieux compte du comportement

des solides rels, on trouve les modles deux paramtres :

- Le modle de MAXWELL (figure I.6), qui associe en srie un ressort (lasticit) et un

amortisseur fluide visqueux.

Fi gure I.6.Modle rhologique de Maxwell.

- Le modle de Kelvin-Voigt, qui permet une reprsentation complexe de la raideur et de

lamortissement pour une excitation sinusodale [47].

Cest ce modle auquel on sintresse plus particulirement ici, car il est frquemment

utilis dans la littrature pour modliser la viscolasticit dans les solides. Il est schmatis

par lassociation en parallle dun ressort et dun amortisseur fluide visqueux (figure I.7).


34/108

34

F igure I .7.Modle de Kelvin-Voigt

La contrainte globale de traction uni-axiale applique au systme ressort / amortisseur

visqueux en parallle est gale la somme des contraintes de chaque lment :

1 2

(I.3)

O, 1 et 2 sont les contraintes induites respectivement dans le ressort et

lamortisseur (figure I.7).

On introduit les lois de Hooke (I.1) et de Newton (I.2) ( coefficient de viscosit) dans

cette relation et on obtient :

d= C

dt(I.4)

Or dans un modle de propagation donde, dans le cas o les variables de champ(dplacement, dformation, contrainte) sont exprimes comme fonctions harmoniques du

temps, soit :

t e et t e (I.5)

On recherche une relation entre les contraintes et les dformations du type

( ) = C , obtenue en introduisant dans (I.4) les relations (I.5). Le modle de Kelvin-Voigt

est donc caractris par la relation suivante dans le domaine frquentiel :

( )C = C + i (I.6)

On dfinit de mme un nombre donde complexe ( )k tel que, ( )k = k - i , o k,

partie relle, qui permet son tour de dfinir la vitesse de phase V tel que,

V =k

, est le


35/108

35

nombre donde ; est positif et reprsente le coefficient dattnuation qui est directement li

aux proprits damortissement du matriau, et ^ dsigne la notation complexe. De cette

approche, le matriau est peru comme homogne o, la longueur donde , vrifie la relation

suivante :

V = =k f

(I.7)

En introduisant une solution en onde plane longitudinale dans lquation donde

unidimensionnelle (1D), on obtient une quation complexe dont on peut sparer les parties

relles et imaginaires [9]:

( )

( )

2 2 2

2 2

C k - +2

i k - - 2kC = 0

(I.8)

O, est la masse volumique du milieu de propagation considr, C et sont

respectivement, le module dlasticit et le coefficient de viscosit dfinis prcdemment et

est la pulsation (appele aussi, frquence angulaire et dfinie par : f 2= , f tant la

frquence).

De faon gnrale, le comportement mcanique dun matriau viscolastique peut tre

reprsent par un tenseur dlasticit C, ainsi quun tenseur damortissement [9]. Si on

considre que la traction uni-axiale est applique au systme ressort / amortisseur dfini dansla figure I.7, dans la direction arbitraire note 1, alors les paramtres Cet correspondent

aux coefficients11

C et11

de ces tenseurs respectifs.

Lquation (I.8) conduit alors aux relations suivantes [9]:

22 2

2

1111

11

3 11

112

1111

11

k - =

C 1+

C

Ck =

C 1+

C

(I.9)


36/108

36

On peut alors exprimer le coefficient d'attnuation en fonction de la frquence, ce qui donne :

2

2 1 22 211

1111

1111

1 1 = -2C 1+1+ CC

(I.10)

Si on suppose que les effets de viscosit sont faibles devant les effets d'lasticit

(approximation de faible viscosit), on peut crire la relation :

2

11

11


37/108

37

Ainsi, au premier ordre, le nombre donde varie linairement avec la frquence ce qui

montre que le modle de Kelvin-Voigt combin avec lapproximation de faible viscosit

(I.11) nimplique pas de dispersion de la vitesse (puisque la vitesse V est dfinie aussi par,

V k = , soit au premier ordre LV V= ).Pour terminer ce paragraphe concernant les modles rhologiques, notons quil existe

des modles encore plus complexes pour reprsenter la viscolasticit dans les solides. Par

exemple, on trouve dans la rfrence [48]une analyse thorique de la propagation dondes

planes harmoniques en milieu multicouche viscolastique laide du modle rhologique de

Zener (figure I.8).

F igure I.8.Modle de Zener

Ce modle est aussi caractris par un module dlasticit complexe *C comme dans

le cas du modle de Kelvin-Voigt mais, il utilise des paramtres diffrents. On a avec ce

modle :

( )

( )

*

*

2

12

2

12

2

1

Re1

1 1

Im1

C C

C C

+ = + = +

(I.15)

O : - est le temps de relaxation caractristique de dformation due lapplication dune

contrainte constante.

- est le temps de relaxation de contrainte correspondant lapplication dune

dformation constante.


38/108

38

- 1C est un module dlasticit qui est gal au module dlasticit classique lorsquil

ny a pas de viscosit.

En pratique, le modle de Kelvin-Voigt est le plus souvent utilis, car il fait intervenir

moins de paramtres de viscosit que les modles les plus complexes comme celui de Zener.

Cependant, il a tendance surestimer labsorption [49].

I.3.2. Approche temporelle

Dans le paragraphe prcdent, nous avons introduit pour le modle de Kelvin-Voigt un

nombre donde complexe ( )k = k - i , dont la partie relle est le nombre donde (reli la

vitesse de phase) et la partie imaginaire est le coefficient dattnuation. Dans une telle

situation, Kramers et Krnig ont tabli les relations classiques portant leurs noms [50], qui

relient les parties relles et imaginaires de ce nombre donde complexe de manire respecter

la causalit et qui permettent ainsi de trouver lexpression de la dispersion connaissant

lattnuation, ou inversement. Or, la validit de ces expressions a t mise en doute par Szabo

en 1994 [51]pour les matriaux pour lesquels lattnuation varie selon une loi proportionnelle

une puissance de la frquence suprieure ou gale 1. Nanmoins, Waters et al. ont

rcemment montr [52] que lon pouvait dvelopper des relations de type Kramers-Krnig

dans le domaine frquentiel valables pour toutes les puissances de la frquence. De plus, ils

ont montr que lorsque cette puissance est gale 2, et que lattnuation est donc

proportionnelle au carr de la frquence (cas notamment du modle rhologique de Kelvin-

Voigt), la dispersion de la vitesse de phase est rigoureusement nulle. Ce rsultat est galement

dmontr dans les travaux de Szabo [53].

Paralllement cela, une thorie dans le domaine temporel a t dveloppe par

Szabo, fonde sur un traitement mathmatique rigoureux utilisant la thorie des distributions

[51] et [54]. Il traite lexemple de la propagation mono-dimensionnelle dans un fluide,

problme pour lequel lquation donde pour la pression scrit :

( ) ( ) ( ) ( )22

20

p z,t1p z,t - L t * p z,t - = 0

c t

(I.16)

O : 2 est loprateur Laplacien, p est le champ de pression, 0c est une vitesse de phase

constante, zreprsente une coordonne spatiale et t est le temps. Le second terme de cette


39/108

39

quation est une opration de convolution qui fait apparatre une distribution L que lon peut

interprter comme une fonction gnralise de dissipation [55], et qui est dfinie par :

( ) ( ) ( )

-1

+L t = -2.1 t F

(I.17)

Dans cette dfinition, ( )1 t+ est la fonction de Heaviside, et-1F dsigne loprateur de

transforme de Fourier inverse. On peut ainsi noter que cette fonction de dissipation crite

dans le domaine temporel est relie simplement au coefficient dattnuation par une

transforme de Fourier inverse. De plus, par lintermdiaire de la fonction de Heaviside, la

causalit est assure.

Pour rsumer, nous avons vu que non seulement la causalit est effectivement

respecte pour toutes les puissances lorsque lattnuation suit une loi de puissance de la

frquence, mais aussi que la dispersion de la vitesse de phase est nulle pour les lois en

puissances paires (conclusions tires des travaux de Waters [52]et Szabo [53]).

Pour terminer ce paragraphe sur lapproche temporelle de la prise en compte de

lattnuation par effet viscolastique, notons que la causalit du modle de Kelvin-Voigt est

galement montre de faon rigoureuse dans les travaux de Duren et al. [56], pour le cas de la

propagation unidimensionnelle dans un milieu isotrope, en donnant dans cet article

lexpression de la rponse impulsionnelle du systme. Lavantage dune telle expression est

quelle na aucune dpendance frquentielle, elle ne dpend que de z, t, et des constantes

associes la loi de comportement du modle de Kelvin-Voigt. Ainsi, la solution gnrale de

lquation donde considre peut tre dtermine sans passer par une analyse du

comportement frquentiel du milieu.

I.3.3. Approche empirique

Pour dterminer la loi dattnuation dun matriau donn, on peut raliser des mesures

de lattnuation dun chantillon pour diffrentes frquences, puis interpoler les rsultats

exprimentaux obtenus par une loi frquentielle adapte.

Parmi les auteurs ayant effectu de telles tudes, Kinra et al. [57] ont mesur

lattnuation dondes longitudinales dans la rsine poxy pure. Ces rsultats ont t

rcemment complts par Biwa et al., pour les ondes transversales [58]. Lensemble de ces

mesures met en vidence un comportement linaire avec la frquence de lattnuation dans


40/108

40

lpoxy. Ce rsultat, classique pour les polymres solides, avait dj t observ par Rokhlin

et al. [59], qui ont galement mis en vidence dans cette rfrence une dispersion trs faible

de la vitesse de phase dans lpoxy.

Dans la pratique, on peut reprsenter lattnuation par effet viscolastique dans

lpoxy par lintermdiaire de coefficients de Lam complexes * et * [55], donns par

(I.18) :

* *

*

2 22

2 22

22 1

2

21

2

L LL

L

T TT

T

VV i

k f

VfV i

k f

+ = = +

= = +

(I.18)

O,Lk et Tk sont les nombres donde des ondes longitudinales et transversales dans

lpoxy, LV et TV sont leurs vitesses de propagation et L et T leurs coefficients

dattnuation.

Les observations exprimentales de Kinra et al., et Rohklin et al., rfrences ci-

dessus, conduisent un comportement de la vitesse de phase ( LV , TV ) indpendant de la

frquence et un comportement de lattnuation ( L , T ) proportionnel la frquence. En

reportant ces observations dans les quations (I.18) il apparat que les coefficients de Lam

dcrivant le comportement viscolastique de lpoxy, sont indpendants de la frquence.

Comme cela est not par Rokhlin et al. [59], ce dernier rsultat apparat donc en contradiction

avec le rsultat thorique prdit par les modles rhologiques, savoir une loi dattnuation

proportionnelle au carr de la frquence. Rokhlin et al., interprtent cette incohrence de la

thorie rhologique par le fait que les phnomnes physiques complexes intervenant

lchelle molculaire lorigine de lattnuation, sont insuffisamment compris.

Si on considre maintenant des plaques carbone / poxy, on peut se rfrer des

rsultats exprimentaux dattnuation effectus par Deschamps et Hosten [60]. Dans cet

article, les auteurs ont report les rsultats exprimentaux de mesures dattnuation sur un

chantillon carbone / poxy unidirectionnel pour diffrentes frquences et ont ainsi montr

que sur une plage de 1 MHz 8 MHz environ, cette attnuation est linaire avec la frquence.


41/108

41

Conclusion

La propagation des ondes dans les matriaux viscolastiques notamment, les

composites fibreux et les polymres, a fait lobjet de nombreuses tudes thoriques.

Cependant, on ne peut pas encore vraiment distinguer parmi toutes les thories

proposes, une thorie capable de prdire avec prcision le comportement dynamique de cesmatriaux en raison notamment, des difficults simuler les phnomnes de diffusion

multiple et qui prend en compte, de faon simultane, les phnomnes de diffusion multiple et

dabsorption par effet viscolastique. Dautre part, on constate travers la littrature quil

existe relativement peu de rsultats exprimentaux, notamment sur la mesure de lattnuation

dans les composites carbone / poxy, ainsi que les polymres. Ceux-ci permettraient dvaluer

la prcision des diffrentes mthodes proposes et ainsi de les valider ou pas.

Aprs ltude bibliographique que nous avons mene, il savre que dans les

matriaux composites matrice viscolastique, lattnuation des ondes rsulte desphnomnes de diffusion et dabsorption, et on considre gnralement que le phnomne

visqueux est prpondrant face au phnomne de diffusion, ou seulement dabsorption pour le

cas des polymres.

Pour mieux comprendre le comportement dune structure donne face un branlement

acoustique infinitsimal. On propose au chapitre II, des gnralits thoriques sur la

propagation donde dans les matriaux.


42/108

42

Chapitre II

Thorie

Introduction

La mesure des proprits acoustiques dun matriau viscolastique en utilisant les

ondes ultrasonores, dpend de la relation entre la rigidit et la vitesse donde ultrasonore

mise. Ces concepts sont importants pour la comprhension des rsultats de la vitesse donde.

En outre, la raction entre les plans de symtrie et les constantes lastiques a aussi, un aspect

intressant de ces mesures pour les matriaux anisotropes. Enfin, la relation entre les mesures

dattnuation donde ultrasonore et les proprits damortissement du matriau, qui dpendentplus au moins fortement de la frquence et de la temprature, sont numres en agissant dans

les directions de propagation et de polarisation des ondes ultrasonores.

II.1. Equation de llasticit anisotrope gnrale

Pour cette application, le tenseur infinitsimal de dformationsij , dcrit la

dformation dun branlement acoustique dans un solide. La contrainte est lie au champ du

dplacementkl

u , par lquation de dformation-dplacement [61]. Le tenseur de

dformations scrit :

( )j i, j j,ii, j=1,2,3

1 = u +u

2 (II.1)

O :, ju et ,iu : sont les premires drives partielles du dplacement sur les axes i et j

(ouj et i ) respectivement.

En dynamique, les forces de reconstitution lastique sont dfinies en termes de champde contraintes

j . Lquation du mouvement dans un corps en vibration libre sexprime par

[61] :

&j, j i u (II.2)


43/108

43

O : j, j est la drive partielle de la contrainte suivant la coordonne . Les doubles points

superposs &iu , indiquent la drive seconde partielle du dplacement en fonction du temps.

Lquation base sur la loi de Hooke, stipule que la contrainte est linairement

proportionnelle la dformation et vis versa [9].

ij kljkl = C i (II.3)

Les lments du tenseur de rigiditijkl

C de lquation (II.3) sont appels, constantes

lastiques.

Comme il y a neuf quations dans lquation (II.3) (correspondant toutes les

combinaisons des indices i, j) et chacune, contient neuf contraintes limites, doncjklC a, en

effet, un total de 81 composantes. Cependant, elles ne sont pas totalement indpendantes.

Les proprits de symtrie de la dformation et de la contrainte entranent :

j ji et j ji (II.4)

Ceci entrane, daprs la relation (II.3), les proprits de la double symtrie du tenseurijkl

C :

ijkl jikl ijlk jilk C = C = C = C (II.5)

Ainsi, les composantes indpendantes dejklC sont rduites de 81 36. Si on applique

le thorme de Poynting, il en rsulte :

ijkl klijC = C (II.6)

Le nombre de constantes indpendantes est alors, rduit encore 21. Cest le nombre

maximum des constantes lastiques indpendantes pour toute symtrie structurelle dun

matriau. Si les proprits de symtrie, imposes par la nature microscopique du matriau,

sont prises en considration, le nombre est en gnral moins de 21. Le nombre de constantes

indpendantes est dordre de 2, cas isotrope, 21, cas triclinique.


44/108

44

Les quatre indices deijkl

C peuvent tres rduites deux indices en utilisant la

notation condense et simplifie suivante [61]:

1 11

2 22

3 33 (II.7)

4 23 ou 32

5 13 ou 31

6 12 ou 21

Ce qui rduit formellement la relation du tenseur de 4 me dimension dordre 3 un

tenseur de 6me dimension dordre 2 si la normalisation associe est utilise [62].

Le tenseur de rigiditijkl

C scrit sous la forme dune matrice symtrique 6x6 suivante :

(II.8)

II.2. Structure dun matriau : Classes de symtrie

En raison de la priodicit du rseau cristallin, la symtrie des matriaux anisotropes

peut explicitement tre dcrite. En trois dimensions, les 32 classes de symtrie ponctuelle

peuvent tre subdivises en 14 rseaux spatiaux. Ces derniers sont, en plus, groups en sept

systmes cristallins : triclinique, monoclinique, orthorhombique, trigonal, ttragone, cubique,

et hexagonal [63]. Les trois premires classes de symtrie (triclinique, monoclinique, et

orthorhombique) sont considres comme des systmes de symtrie typiques les moins

reprsentatifs dun corps lastique. Les restants sont considrs comme des systmes

couramment utiliss [64]. La drivation des groupes de symtrie est tudie dans divers

ouvrages. La figure II.1 dcrit la relation entre les axes et les angles des cellules units dans

les milieux anisotropes.


45/108

45

Parmi les systmes symtriques les moins reprsentatifs, la figure II.1 ci-dessous,

montre la rduction du nombre des constantes lastiques indpendantes.

Figure I I .1.Relation entre les axes et les angles dans une cellule unit conventionnelle

II.2.1. Symtrie triclinique

Un cristal triclinique se distingue par labsence de toute symtrie matrielle du solide.

Il ny a nullement de rapport entre les 21 constantes lastiques et aucune nest nulle.

La figure II.2.(a) montre un rseau tridimensionnel dun cristal triclinique et le systme

correspondant de symtrie. Les angles e t ne sont pas gaux et aucun deux nest

gal 90 [63]. Ce rsultat implique quaucun plan de symtrie nexiste dans ce genre de

systme, ou aucune symtrie rotationnelle.

II.2.2. Symtrie monoclinique

Un cristal monoclinique a un plan de symtrie singulier, le plan contenant les axes a

et c sur la figure II.2.(b), avec un double axe de symtrie rotationnelle normale laxe b .

La figure II.2. (b), montre galement, que les angles = 90 et 90 .

La forme matricielle des constantes lastiques pour un cristal monoclinique est :


46/108

46

(II.9)

Pour un matriau monoclinique, orient dans laxe normale au plan de symtrie :

046352515 === CCCC et 045362616 ==== CCCC .

Figure II .2.Illustration des rseaux tridimensionnels et de systme de symtrie cristalline.

(a) : Triclinique )90( ; (b) : Monoclinique (ou primitif : == 90 , et

90 ); (c) orthorhombique ( === 90 )

II.2.3. Symtrie orthorhombique

La symtrie orthorhombique, galement appele, symtrie orthotropique, est

caractrise par trois plans de symtrie mutuellement perpendiculaires et un double axe de

symtrie en rotation perpendiculaire ces plans avec des angles === 90 , comme le

montre la figure II.2.(c). Les matriaux orthorhombiques sont caractriss par neuf constantes


47/108

47

lastiques indpendantes. Les constantes lastiques, pour un chantillon orthotropique qui est

orient dans laxe principal, forme une base de coordonnes.

(II.10)

Si en particulier, nous effectuons une rotation de 90 autour de lun des axes du repre

dorthotropie, le matriau reste invariant, alors, il est dit quasi isotrope transverse, il est

caractris par six modules dlasticit indpendants, et cest le cas dun tissu carbone/poxy

[37]. Et si nous effectuons une quelconque rotation et le matriau reste invariant, il est dit

isotrope, cest le cas en gnral des polymres. En utilisant ces trois cas, il est alors possible

de discuter de la propagation des ondes lastiques dans les solides anisotropes.

II. 3. Ondes planes dans les solides anisotropes

De lquation constitutive (II.3) et des quations (II.1) et (II.2), nous obtenons la

solution donde plane de lquation diffrentielle du second ordre, qui assume que lquation

est sous la forme [9]:

&&ii j k l k , jl C u = u (II.11)

Avec la solution harmonique de lquation (II.11), le dplacement scrit sous la forme :

i ( kx - t)k k k

u = A P e (II.12)

O : kA reprsentent les composantes de lamplitude du dplacement ; kP , sont les

dplacements unitaires des vecteurs de polarisation, dirigs dans les directions dtermines

par le rapport entre les angles dincidence et les axes de symtrie du matriau. k =c

: est le

nombre donde une vitesse donde dans le solide c, et dune pulsation [9]. En gnral, la

vitesse donde c, est en fonction de la rigidit et de la densit du matriau. La substitution de


48/108

48

lquation (II.12) dans lquation (II.11), donne une quation aux valeurs propres, appele

quation de Christoffel, comme suit :

2kijkl j l ik j

(C n n - V )P = 0 (II.13)

Cest un polynme cubique de 2V , o V est la vitesse de phase de londe

ultrasonore ;k

: est le symbole de Kronecker ; n : est un vecteur unitaire dans la direction de

la propagation donde, de composantes1n , 2n , et 3n . Lquation (II.13), peut tre rcrite

sous la forme matricielle [9]suivante :

(II.14)

O :

i jik jkl = C n ni (II.15)

k , est appele, tenseur de Christoffel.

Le tenseur de Christoffel est en effet, un tenseur de deuxime degr, assujetti la

condition de symtrie [65]. Par consquent, il existe six composantes indpendantes du

tenseur de Christoffel. Le dveloppement de lquation (II.15) suivant la rgle indicielle

donne lieu a :

(II.16)

Afin davoir une solution non triviale de lquation de Christoffel, le dterminant de la

matrice aux coefficients de lquation (II.14) doit tre nul.


49/108

49

(II.17)

Quand le tenseur de Christoffel j est symtrique, ses valeurs propres,2

V , sont

relles et les vecteurs propres,k

P , sont mutuellement orthogonaux. Par consquent, pour

toute direction donne n , trois modes peuvent tre gnrs, avec diffrentes vitesses de

propagation et de polarisations. Pour les directions principales de propagation, des modes de

propagation purs peuvent tre cres : une onde longitudinale quand, P = n , et deux ondes

transversales quand, P. n = 0 . En gnral, une onde quasi-longitudinale ( QL ) et deux ondes

quasi-transversales ( 1QT et 2QT ) sont gnres. Les vitesses de phase correspondantes

chacun de ces modes dondes, connues pour tre en fonction des proprits lastiques du

matriau. Ainsi, le recours aux ultrasons permet dvaluer les caractristiques lastiques dunmatriau donn.

Dans le cas dun milieu amortissant soumis des sollicitations par ondes planes

harmoniques, la relation du mouvement se traduit par une quation analogue condition de

remplacer les composantes du tenseur de Hooke par les composantes complexes du tenseur de

Hooke ( )ijklC et le nombre dondes kpar le nombre dondes complexes k[66], ainsi, la

relation (II.18) devient alors ;

( ) ik ik k P = 0 (II.18)

Pour i=1,2,3 et avec

2

2

=

k.

( )ik : est un tenseur symtrique de rang 2, appel, tenseur acoustique ou tenseur de

christoffel. Il est dfini partir des composantes complexes du tenseur de Hooke et de la

direction de propagation de londe par :

( ) ( ) jk ijkl l = C n n (II.19)

telle que ;

( ) ( ) ( ) ijkl ijkl ijkl C = C +iC (II.20)

2ij ij j V = 0


50/108

50

et lamortissement dans le matriau viscolastique a donc pour valeur :

( ) ( )( )

( )

ijkl

ijkl ijkl ijkl

C = tan =

C (II.21)

La relation (II.17) montre que lanalyse de la propagation dondes planes dans le

milieu viscolastique se ramne la rsolution dun problme de valeurs propres de matrice

complexe et symtrique 33. Le problme direct ne soulve aucune difficult, il suffit de

dterminer le tenseur de Christoffel partir de la connaissance de la direction de propagation

de londe. La valeur propre est lie la vitesse de phase de londe et son attnuation par

la relation suivante [66]:

%

22

j22

j

V = =k V

1-

(II.22)

II. 3.1. Propagation donde dans les directions de symtrie matrielle du matriau

Pour prsenter la mthode, prenons une onde se propageant dans la direction 1:

( )n= 1,0,0 . Compte tenu de lquation (II.16) donnant le tenseur de Christoffel, la relation

(II.18) se simplifie pour devenir :

0

11 1

12 2

313

C - 0 0 P 0

0 C - 0 P = 0

P 00 C -

(II.23)

La relation (II.23) admet trois solutions :

1 11

= C avec ( )0,0,1P : onde longitudinale de vitesse de phase 1,1V et dattnuation

1,1 .

2 12


1,2 .


51/108

51

3 13


1,3 .

Une onde longitudinale et deux ondes transversales se propageant dans la direction

quelconque, permettent donc par le biais de la relation (II.22) de fournir les trois composantes

complexes du tenseur de Hooke du matriau viscolastique suivantes [66]:

( )

2i, j

2ji, j i, j

V =i

V1-

(II.24)

Avec i=1,2,3 direction de propagation,

=1,2,3 direction de polarisation.

Si i = j , londe est longitudinale et nous obtenons les rigidits complexes dites de

dilatation, 11

C , 22

C , 33

C .

Si i j , londe est transversale et nous obtenons les rigidits complexes de cisaillement,

44C ,

55

C , 66C .

Enfin, si le matriau est faiblement amortissant, ce qui est le cas des composites

( , j faibles), les termesi, j i, j V

de la relation (II.24) restent petits devant 1 et cette relation

est approche par : ( )

, j i, j2ij i, j

2 VC V 1+i

Soit, en fonction de la frquence ( ) = 2f :

(II.25)

( )

( )

2i,jj

i, j i, jij

C f =V lasticit (partie relle)i

V amortissement f =

f


52/108

52

II.3.2. Technique de transmission en immersion

La technique ultrasonore utilisant la transmission ultrasonore pour caractriser les

proprits du matriau sest dveloppe sensiblement, au cours de ces dernires annes [14].

Cependant, de nombreuses rfrences, se concentrant sur ces mthodes, sont publies et

montrent ainsi, le progrs de cette technique pour le recouvrement de lensemble desconstantes viscolastiques dun matriau.

II.3.3. Mesure de la vitesse de propagation et de lattnuation ultrasonores, par la

technique dimmersion ultrasonore

Dans la technique par immersion, les transducteurs et lchantillon sont immergs

dans leau ou tout autre milieu fluide couplant. En considrant un systme de coordonnes

,1 2 3R = (x ,x x ) , pris au centre de lchantillon. Le vecteur unitaire 1 , est normal linterface

avec les deux autres. Pour un fluide couplant, londe ultrasonore dans une plaque anisotrope

avec un angle dincidence arbitraire ( 0 ), trois modes donde sont gnrs (figure II.3).

Une onde quasi-longitudinale (1QL ), une onde quasi-transversale lente ( 1QT ), et une onde

quasi-transversale rapide ( 2QT ) sont gnres dans le solide, comme la montre la figure II.3.

Ces ondes se propagent diffrentes vitesses de phase et tous les vecteurs de vitesse sont dans

le plan dincidence. Si ce plan concide avec celui de symtrie du matriau, seulement, une

onde transversale et une onde longitudinale sont gnres [9]. La deuxime polarisation

transversale nest nullement utile dans ce cas pour satisfaire les conditions aux limites linterface solide-liquide.


53/108

53

Fi gure I I .3.Mesure de la vitesse donde ultrasonore travers le milieu de

rfrence (a) et celui de lchantillon anisotrope (b)

Afin didentifier lensemble complet des constantes viscolastiques dun matriau

anisotrope gnral, il suffit de mesurer la vitesse de propagation pour la partie relle, ainsi que

lattnuation pour la partie imaginaire, selon les diffrentes directions de propagation dans le

matriau. Pour cela, de nombreux auteurs ont utilis diffrentes techniques permettant de

collecter lensemble des donnes exprimentaux, en incidence normale et, selon les quatre

plans dincidence i=1(x , j) o, = 0 , = 45 , = 90 et = 135 , appeles : mthode

angles azimutales ou par la mthode classique, avec simultanment, des ondes longitudinales

et transversales travers au moins trois faces principales du spcimen [44], comme le montre

la figure II.4.


54/108

54

Fi gure I I .4. Axes et plans de symtrie au long dun composite fibreux[67].

et sont respectivement, langle dincidence et azimutal

La priode est obtenue par corrlation [68]ou par la transforme dHilbert [69]. La

longueur donde est obtenue par la loi de Snell-Descartes [9]. Les vitesses alors, peuvent tre

calcules par la formule [38]suivante :

( , )

1

=

+

0i i

i i0 0i

VV x

V V 2cos

d d

(II.26)

Et lattnuation est donne par[66]:

( ),

i i i0 0i

0 1

V x V qAcos ln

dV d A

(II.27)

O : q est la rupture dimpdance, qui est en fonction du coefficient de rflexion R , entre le

milieu de couplage et le matriau.

( )

2 0 0 12

0 0 1

Vq = 1- R =

V +V(II.28)


55/108

55

O :0V est la vitesse donde dans leau ; i > 0 est la priode relative des signaux

travers et sans lchantillon ; i est langle dincidence ; dest lpaisseur de lchantillon ;

0A et 1A sont respectivement, les amplitudes spectrales des chos de rfrence 0s et

dinterface eau / chantillon 1s et ( , )1x indique le plan dincidence de londe suivant lesangles azimutaux .

II. 3. 4. Relation entre le tenseur des contraintes et les constantes technologiques

Les constantes mcaniques dun matriau orthotropique sont rgies par les modules

dYoung, le coefficient de Poisson et les modules de cisaillement, ainsi que dautres

constantes comportementales [70]. Le rapport entre la vitesse donde longitudinaleLV et celle

du cisaillementTV , aux constantes technologiques [71], est donn par:

= =2TE

V G2(1+)

(II.29)

2L

4 G(4G - E)V = +2G = K + G =

3 3G - E (II.30)

A partir des vitesses de chacune des trois directions dun matriau ; les constantes, 1E ,

2E , 3E , 12G , 13G et 23G , peuvent tre dtermines partir des quations (II.29) et (II.30).

1E ,

2E et

3E sont respectivement, les modules dYoung, selon la direction 1, 2, et 3 ; les

12G , 13G et 23G sont respectivement, les modules de cisaillement dans les plans (1,2), (1,3)

et (2,3) (figure II.4).


56/108


57/108

57

II. 3.5. Dtermination des normales aux plans de symtrie et le systme des

coordonnes principales

Base sur la connaissance des constantes lastiquesijkl

C , dun matriau anisotrope ;

lidentification de la symtrie lastique propre dun matriau, a t dveloppe par [72], [73]

et [62].

Deux tenseurs, jA , tenseur de Voigt, et jB , modules de dilatation, sont exigs pour

dterminer les plans de symtrie lastiques du matriau. Ces tenseurs, sont dfinis comme

suit :

ij ijkkA = C , ij ikjkB = C (II.34)

Si, la notation abrge, jC , est employe et en notation indiciel1e ; les tenseurs, A et

B , peuvent tre exprims en termes de composantes jC .

(II.35)

(II.36)

Un vecteur est normal un plan de symtrie dun matriau linairement lastique, si

et seulement si, celui-ci est un vecteur propre du tenseur A et B , respectivement. Ces

normales sont dans une direction particulire et, dfinissent un axe particulier [73]. Une fois

que ces dernires, les directions et les axes, sont obtenues en rso

thése ultrason

Documents

Transcript of thése ultrason