thése boulon

Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis

N° d’ordre : 873

THESE

en vue de l’obtention du

DOCTORAT de L’INSAT et de L’ENIT

Spécialité : Génie Mécanique

par

Jamel CHAKHARI

Ingénieur et technologue en génie mécanique

Le 10 Juillet 2007

MODELISATION D’UNE FIXATION PAR ELEMENTS FILETES D’UNE STRUCTURE A FORTE EXCENTRATION DE

CHARGEMENT ET SOUMISE A DES SOLLICITATIONS EN FATIGUE

Jury :

M. Ali ZGHAL Professeur à l’ESST de Tunis M. Marc SARTOR Professeur à l’INSA de Toulouse M. Jean GUILLOT Professeur à l’INSA de Toulouse M. Tahar FAKHFAKH Maître de conférences (HDR) à l’ENI de Sfax M. Jean-Marc LINARES Maître de conférences (HDR) à l’IUT d’Aix en Provence M. Alain DAIDIE Maître de conférences à l’INSA de Toulouse

Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, 135 avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 04 France.

Laboratoire de mécanique des solides, de structures et de développement technologique, ESST de Tunis Tunisie.

Nom : CHAKHARI Prénom : Jamel

MODELISATION D’UNE FIXATION PAR ELEMENTS FILETES D’UNE STRUCTURE A FORTE EXCENTRATION DE CHARGEMENT ET

SOUMISE A DES SOLLICITATIONS EN FATIGUE

Thèse de doctorat en Génie Mécanique

Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, INSA Toulouse, France. Laboratoire de mécanique des solides, de structures et de développement technologique, ESST de Tunis Tunisie. ___________________________________________________________________________

RESUME : Dans cette thèse, un outil numérique de dimensionnement d’une fixation par éléments

filetés d’une structure à forte excentration de chargement est présenté. Il s’agit du développement d’un modèle numérique pour un assemblage type d’une pièce prismatique fixée sur son support par deux vis ou deux boulons. Les axes des vis et celui de la force appliquée à l’assemblage sont parallèles et situés dans le même plan.

Le modèle proposé est construit à partir d’éléments finis unidimensionnels représentant les pièces et d’éléments ressorts modélisant le contact élastique entre les deux pièces assemblées. La particularité du modèle est la prise en compte de l’évolution de la zone de contact en fonction du chargement extérieur. La déformation locale due au contact de la pièce assemblée avec le coin de son support est formulée. Un algorithme qui réactualise la matrice de rigidité de contact est développé. La résolution numérique est associée à un programme écrit en Langage C, donnant les contraintes dans les vis d’assemblage en statique et en dynamique.

Des simulations éléments finis tridimensionnels et une étude expérimentale ont été réalisées. Le comportement et les résultats du modèle développé sont validés. La méthode de plan d’expériences est appliquée pour l’analyse des effets des paramètres de l’assemblage sur le comportement en fatigue des vis de fixation. Le modèle est ensuite étendu et appliqué à d’autres configurations d’assemblages multi boulonnés.

Mots clés : Assemblages boulonnés, Dimensionnement, Modélisation de structures, Eléments Finis, Non linéarité de contact, Fatigue.

Name: CHAKHARI Surname: Jamel

MODELING OF A THREADED ELEMENTS JOINT OF A STRUCTURE SUBJECTED TO HIGH ECCENTRIC FATIGUE LOADING.

PhD thesis of Mechanical Engineering

Toulouse Mechanical Engineering Laboratory, INSA Toulouse, France. Solid Mechanics, Structures and Technological Developments Laboratory, ESST Tunis, Tunisia.

__________________________________________________________________________ ABSTRACT: This PhD thesis presents a numerical tool for dimensioning threaded elements joint of a

structure subjected to high eccentric fatigue loading. The model is relative to a basic joint prismatic part fixed on its supporting structure by two fasteners (screws or bolts) whose axes are parallel and coplanar with external loading.

This model is established from unidirectional finite elements to represent the subassemblies and the screws. The elastic contact between subassemblies is modelled by linear springs. The main advantage of the model is considering the evolution of the contact zone with external loading. Moreover, Local deformation due to the contact between the lower part angle and the upper connected subassembly is formulated. An algorithm which updates the contact stiffness matrix and sets out forces and displacements at each node of the structure is developed and coded under C. The main contribution of this program is the evaluation of the stresses in both static and fatigue.

3D Finite Elements calculations and experimental tests were conducted to validate the behavior of the model and results. A statistical software method is applied to set out joint parameters effects on fasteners fatigue. The numerical dimensioning model is finally extended to others configurations of multi bolted joints.

Keywords: Bolted joints, Dimensioning, Structures modelling, Finite elements, Contact non-linearity, Fatigue.

Remerciements

Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse et du Laboratoire de Mécanique des Solides, de Structures et de Développement Technologique de Tunis, sous la direction des professeurs Marc Sartor et Ali Zghal. Ce même travail a été suivi de près par le professeur émérite Jean Guillot et le maître de conférences Alain Daidié à l’INSA de Toulouse.

J’exprime profondément mes remerciements à M. Jean Guillot pour m’avoir proposé le sujet de recherche qui a donné ce travail. M. Guillot m’a motivé dans les moments difficiles.

Je tiens à remercier M. Alain Daidié qui a suivi de près l’avancement de ce travail. Il m’a aidé dans la vérification des différents résultats. M. Daidié m’a aidé et m’a dirigé au cours de la préparation de mes communications et de mes articles. Grâce à lui j’ai pu trouver tous les moyens nécessaires pour effectuer mes essais expérimentaux dans de bonnes conditions, malgré les déplacements entre les deux laboratoires. Il m’a également soutenu pour trouver un hébergement pendant les périodes de mon séjour à l’INSA de Toulouse.

J’adresse ma reconnaissance à M. Jean Marc LINARES et également à M. Taher FAKHFAKH, maîtres de conférence à l’IUT d’Aix en Provence et à l’ENI de Sfax, qui m’ont fait l’honneur d’être rapporteurs de mon travail et ont accepté de consacrer du temps pour la lecture et le jugement de ce document.

J’adresse toute ma gratitude à M. Marc Sartor pour son accueil chaleureux et pour son aide pendant le déroulement des procédures d’inscription à l’INSA. Je le remercie pour m’avoir encouragé et permis d’avancer progressivement pour atteindre les objectifs du sujet de recherche.

Je remercie également M. Ali Zghal pour m’avoir accueilli dans son laboratoire et pour m’avoir dirigé pendant les différentes étapes de recherche. M. Zghal m’a conseillé d’aborder le problème sur les différents aspects analytique, numérique et expérimental.

Je remercie vivement la secrétaire du laboratoire LGMT, Mme Annie Cazeaux, pour son aide administratif pendant mes inscriptions. Merci à M. Alain Bezombes, le technicien du laboratoire LGMT, pour son aide pendant la préparation et le déroulement des essais expérimentaux.

Le travail dans les deux laboratoires de recherche m’a amené à connaître un grand nombre de personnes avec beaucoup de plaisir. Les relations entre nous ont été très agréables. J’exprime un Merci spécial à Zouhair Chaib mon ami tunisien au Laboratoire LGMT. Il m’a aidé à plusieurs occasions et pendant nos discussions sur certains points concernant les assemblages filetés. Merci à Dimitri Leray, Feras Alkatan, Hazem Aziz, Emmanuel Rodriguez, Adrien Barrot, Christine Barrot, Youssef Fares, Abbassi Fathi, Chaouachi Fredj, à tous les techniciens et enseignants des deux laboratoires.

Par rapport à ce travail de thèse, merci à mes parents comme aux membres de ma famille. Je remercie infiniment mon frère Zouhaier et sa femme Nathalie pour m’avoir aidé pendant mon séjour en France.

Merci aux lecteurs de cette thèse.

___________________________________________________________________________ 1

TABLE DES MATIERES Introduction Générale.............................................................................................................. 5

Chapitre I : Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés ................... 7

1.1 Application des éléments filetés........................................................................................... 7 1.2 Résistance statique et dynamique d’un élément fileté ......................................................... 9

1.2.1 Tenue statique d’un élément fileté ............................................................................... 9 1.2.2 Tenue dynamique d’un élément fileté ........................................................................ 11

1.3 Modèles de calcul existants des assemblages filetés à chargement excentré..................... 12 1.3.1 Assemblages à chargement faiblement excentré (Modèle VDI 2230 linéaire) .......... 12 1.3.2 Assemblage à chargement fortement excentré (Modèle poutre non linéaire) ............ 18

1.4 Conclusion et position du sujet de recherche ..................................................................... 21 Chapitre II : Modélisation analytique d’un assemblage précontraint à un ou à deux boulons et à chargement excentré......................................................................................... 23

2.1 Modèle analytique à un boulon .......................................................................................... 23 2.1.1 Modèle analytique à un boulon et en tension ............................................................. 23 2.1.2 Modèle analytique à un boulon et en compression .................................................... 25

2.2 Modèle analytique à deux boulons..................................................................................... 26 2.2.1 Modèle analytique à deux boulons en tension............................................................ 26 2.2.2 Modèle analytique à deux boulon en compression..................................................... 27

2.3 Programme de calcul du modèle analytique ...................................................................... 29 2.4 Conclusion.......................................................................................................................... 29 Chapitre III : Modélisation en éléments finis tridimensionnels d’un assemblage à deux éléments filetés ........................................................................................................................ 31

3.1 Méthode des éléments finis ................................................................................................ 31 3.2 Modèle éléments finis 3D d’un assemblage à deux vis ..................................................... 32 3.3 Résultats des simulations EF 3D........................................................................................ 37 3.4 Limites du modèle analytique ............................................................................................ 40

3.4.1 Etude de cas ................................................................................................................ 40 3.4.2 Analyse du problème de référence à une vis (calcul EF 3D) ..................................... 41 3.4.3 Comparaison calcul tridimensionnel (EF) / Modèle analytique à deux vis................ 43

3.5 Conclusion.......................................................................................................................... 45 Chapitre IV : Etude expérimentale ....................................................................................... 47

4.1 Assemblage étudié.............................................................................................................. 47 4.2 Essais réalisés..................................................................................................................... 48

4.2.1 Méthodes des plans d’expériences ............................................................................. 48 4.2.2 Choix d’un plan d’expériences mixte......................................................................... 48 4.2.3 Assemblages réalisés .................................................................................................. 49

4.3 Précontraintes et forces appliquées aux assemblages ........................................................ 50 4.4 Dispositifs expérimentaux.................................................................................................. 52

Table des matières __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 2

4.4.1 Machine d’essais ........................................................................................................ 52 4.4.2 Préparation des pièces pour un plan d’expériences mixte.......................................... 52 4.4.3 Instrumentation des vis par des jauges de déformation.............................................. 53 4.4.4 Dispositifs d’application des efforts sur les assemblages........................................... 54

4.5 Dépouillement des résultats expérimentaux....................................................................... 55 4.5.1 Résultats expérimentaux bruts.................................................................................... 55 4.5.2 Calcul de contraintes à partir des lectures sur les jauges............................................ 56 4.5.3 Contraintes normales gauches et droites de chaque vis.............................................. 56 4.5.4 Causes possibles de différence de contraintes entre vis symétriques......................... 57 4.5.5 Passage d’un assemblage à 4 vis à un assemblage à 2 vis.......................................... 58

5.6 Conclusion.......................................................................................................................... 61

Chapitre V : Modèle numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons..................... 63

5.1 Présentation du modèle ...................................................................................................... 63 5.2 Problème du rapprochement des pièces au coin support.................................................... 69

5.2.1 Position du problème du coin support ........................................................................ 69 5.2.2 Plasticité locale et formation d’un coin arrondi du support........................................ 70 5.2.3 Formulation analytique du rapprochement Delta au coin

sous chargement de compression............................................................................... 71 5.3 Résolution numérique ........................................................................................................ 76 5.4 Structure du programme de calcul ..................................................................................... 76 5.5 Conclusion.......................................................................................................................... 77

Chapitre VI : Validation du modèle numérique simplifié ................................................... 79

6.1 Validation des résultats du modèle..................................................................................... 79 6.2 Etude des effets par plan d’expériences ............................................................................. 84

6.2.1 Etapes du plan d’expériences réalisé .......................................................................... 84 6.2.2 Dépouillement et interprétation des résultats ............................................................. 85

6.2.2.1 Utilisation du logiciel BPEW ........................................................................... 85 6.2.2.2 Utilisation du logiciel JMP............................................................................... 86

6.2.3 Effets des paramètres de l’assemblage sur la fatigue des vis ..................................... 86 6.2.3.1 Effet du module d’élasticité des pièces assemblées ......................................... 86 6.2.3.2 Effets des paramètres définissant la géométrie des pièces ............................... 86 6.2.3.3 Effets du serrage des vis ................................................................................... 87 6.2.3.4 Effets du rapprochement Delta au coin ............................................................ 87

6.2.4 Formulation du coefficient α à l’aide du logiciel BPEW........................................... 88 6.2.5 Application à des cas tests .......................................................................................... 89

6.3 Conclusion.......................................................................................................................... 90

Chapitre VII : Application du modèle numérique simplifié et conception d’une interface graphique sur Visual Basic (VBA6)...................................................................................... 91

7.1 Etude d’une structure profilée en « U » ............................................................................. 91 7.1.1 Application du modèle numérique simplifié .............................................................. 91

7.1.1.1 Structure symétrique et position de la force variable (cas 1) ........................... 91 7.1.1.2 Structure non symétrique et position de la force centrée (cas 2)...................... 93

Table des matières __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 3

7.1.1.3 Cas particulier d’une plaque avec la position de la force variable (cas 3)........ 94 7.1.1.4 Comment appliquer le modèle numérique simplifié ........................................ 94

7.1.2 Simulation éléments finis 3D des assemblages profilés à quatre vis ......................... 95 7.1.3 Proposition d’un modèle spatial construit par des éléments finis 1D ........................ 98

7.2 Conception d’interface graphique pour le logiciel d’application du modèle numérique simplifié ......................................................................................... 100 7.2.1 Synoptique de l’interface graphique......................................................................... 100 7.2.2 Environnement et outils de développement ............................................................. 102 7.2.3 Elaboration d’une maquette d’interface ................................................................... 103 7.2.4 Aperçu du logiciel .................................................................................................... 104 7.2.5 Evolution futures de l’environnement de l’outil de calcul ....................................... 108

7.3 Conclusion........................................................................................................................ 108

Chapitre VIII : Extension d’étude : Modèle numérique simplifié général. Cas d’un assemblage à deux boulons, sollicité en plus par une force transversale ........................ 111

8.1 Modélisation..................................................................................................................... 111 8.2 Condition de non glissement à l’interface de contact ...................................................... 112 8.3 Algorithme de résolution et programmation du modèle .................................................. 115 8.4 Validation du modèle par des simulations EF 3D............................................................ 117

8.4.1 Simulations EF 3D du comportement de l’assemblage............................................ 117 8.4.2 Distribution de la pression à l’interface de contact .................................................. 118 8.4.3 Comparaison des résultats en contrainte alternée..................................................... 120

8.5 Effet de l’effort transversal sur les contraintes alternées des vis ..................................... 124 8.6 Intérêt des essais expérimentaux ...................................................................................... 126 8.7 Conclusion........................................................................................................................ 126

Conclusion générale et perspectives ................................................................................... 127

Références bibliographiques ............................................................................................... 129

Publications........................................................................................................................... 135

Annexes ................................................................................................................................. 137

___________________________________________________________________________ 5

INTRODUCTION GENERALE

Les éléments filetés trouvent beaucoup d’applications dans différents domaines mécaniques, civils, aéronautiques et marins. Ils sont utilisés pour supporter des charges statiques ou des charges cycliques de fatigue. Les industriels recherchent de plus en plus à maîtriser le dimensionnement de ces éléments de fixation. Cet intérêt nécessite de développer des modèles de calcul plus performants que les règles de calcul conventionnelles sur les assemblages. D’autre part, l’exploitation de ces modèles dans le processus de conception exige des outils interactifs pour que le concepteur puisse simuler plusieurs scénarii et trouver la solution convenable.

Les assemblages par éléments filetés sont couramment utilisés dans les différents secteurs de l’industrie et ceci grâce à leur facilité de mise en oeuvre. La maîtrise de ce genre d’assemblage est bien exploitée par les industriels pour différentes raisons :

- Minimiser les volumes des produits finis : Produit en pièces détachées.

- Décomposer le produit pour assurer le transport et la livraison : avions, voitures, grues…

- Faciliter le changement des pièces pour des opérations de maintenance…

Malgré les nombreuses applications des éléments filetés, leur dimensionnement dans certaines configurations d’assemblage n’est pas maîtrisé par les industriels.

Le cas de chargement fortement excentré entraînant de grandes déformations des pièces assemblées n’a pas été suffisamment étudié. Le modèle VDI n’est alors plus convenable. La formulation poutre fléchie d’Agatonovic, même améliorée, souffre de la non-prise en compte de la zone réelle de contact. En se référant à ces travaux et aux travaux réalisés au Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT), nous avons développé dans cette thèse un outil de dimensionnement des assemblages de pièces prismatiques comportant deux éléments filetés disposés en « Tandem », soumis à un chargement excentré de tension et/ou de compression. Le travail comporte plusieurs étapes :

Le chapitre I est une étude bibliographique dans laquelle on a défini les éléments filetés et leurs critères de dimensionnement en statique et en fatigue. Dans une seconde section, les méthodes et modèles existants de calcul des assemblages filetés à chargements excentrés sont rappelés. Après une synthèse bibliographique, le problème de recherche est posé. Il s’agit de développer un modèle de calcul des assemblages filetés précontraints, sollicités par des charges fortement excentrées.

Dans le chapitre II, un modèle analytique des assemblages filetés à un ou à deux boulons et à chargements excentrés, sollicités en tension ou en compression, est présenté. C’est une extension du modèle poutre fléchie du LGMT. L’algorithme de résolution numérique est défini.

Au début du chapitre III, un modèle Eléments Finis tridimensionnels d’un assemblage à deux éléments filetés effectué sur le logiciel de calcul EF I_DEAS est présenté. Dans la suite de cette étude, les résultats du modèle analytique sont comparés aux résultats des simulations en Eléments Finis tridimensionnels. L’objectif est d’étudier au préalable le comportement général de ces assemblages, de valider le modèle analytique et de montrer ses limites d’exploitation. La comparaison des résultats montre que le modèle analytique représente correctement le comportement réel de l’assemblage en tension. Mais l’application directe de

Introduction générale __________________________________________________________________________________________

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ce modèle n’est pas possible, car on ne dispose pas de la valeur de la souplesse au contact. Ceci s’explique par l’absence de formules exactes des raideurs de contact entre la pièce assemblée et son support. Le comportement du modèle analytique en compression est loin du comportement réel, car dans ce cas s’ajoute le problème du contact de la pièce assemblée avec le coin du support.

Le chapitre IV présente l’étude expérimentale qui a été réalisée pour analyser le comportement réel d’un assemblage symétrique à quatre boulons sollicité par un chargement excentré de tension ou de compression. Les essais ont permis de disposer de données fiables servant à valider et caler un modèle numérique simplifié dont la présentation est faite dans le chapitre V. Dans cette étude la méthode des plans d’expériences est appliquée afin de minimiser et choisir convenablement les cas expérimentaux.

Le modèle analytique s’est montré inexploitable, ce qui nous a poussé à élaborer une modélisation plus sophistiquée présentée au chapitre V. Cette nouvelle approche a été développée sur le principe d’un modèle numérique simplifié, dans lequel nous avons tenu compte du comportement du contact pièce-support en mettant une série de ressorts dont le nombre évolue selon l’état de chargement. L’assemblage est modélisé par une structure d’éléments poutres à deux nœuds. La déformation au niveau du coin support en compression est formulée. La résolution du modèle s’apparente à une méthode itérative qui tient compte de l’évolution du contact en fonction du chargement extérieur. L’algorithme de résolution est codé en langage C. Il donne les déplacements en tout nœud de la structure, ce qui permet de calculer les efforts nodaux et d’en déduire ensuite les contraintes dans les vis ou les boulons de fixation.

Le chapitre VI regroupe les différents résultats et présente plusieurs cas d’étude qui

permettent de valider le comportement général du modèle numérique simplifié. La méthode des plans d’expériences déjà définie pour l’étude expérimentale est exploitée ici pour étudier les effets des différents paramètres de l’assemblage sur la tenue en fatigue des vis. Elle permet aussi de préciser les coefficients de calage du modèle programmé. Un coefficient REP est défini comme facteur de distribution de raideur permettant de trouver la raideur équivalente de la couche élastique. Un autre coefficient de calage α est introduit dans la formulation de déformation au coin de contact pour le modèle en compression. Les valeurs optimales des coefficients de calage ont été déterminées et les résultats du modèle numérique sont validés à l’intérieur et à l’extérieur du domaine des cas étudiés.

Dans le chapitre VII, l’application du modèle numérique développé est étendue au calcul

des assemblages à quatre éléments filetés et à d’autres configurations de structures profilées dont le dimensionnement se ramène au modèle de base présenté. On traite en particulier la fixation des profilés en U. La seconde section de ce chapitre présente le développement de l’interface d’un logiciel qui calcule plusieurs configurations d’assemblages filetés en exploitant le programme de base du modèle développé. L’interface est réalisé dans l’environnement Visual Basic for Applications 6 (VBA6).

Le dernier chapitre présente une extension de l’étude. Il s’agit du développement d’un

modèle pour le même type d’assemblage celui-ci étant sollicité en plus par un effort transversal. Nous avons dû améliorer les algorithmes de calcul en considérant les états d’adhérence, de frottement et de glissement à l’interface. Les résultats de ce nouveau modèle sont validés par des simulations en éléments finis tridimensionnels.

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Chapitre I :

ETAT DE L’ART SUR LES ASSEMBLAGES FILETES

À CHARGEMENTS EXCENTRES

1.1 APPLICATION DES ELEMENTS FILETES

Un assemblage par éléments filetés est constitué par deux ou plusieurs structures à assembler moyennant un ou plusieurs des éléments de liaison suivants :

Vis : Tige filetée avec ou sans tête équipée d’un dispositif d’entraînement (rainure, forme hexagonale : creux ou tête…)

Ecrou : Pièce taraudée ayant un dispositif d’entraînement.

Goujon : Tige comportant un filetage à ses deux extrémités.

Boulon : Ensemble constitué d’une vis à tête et un écrou. Un boulon est destiné normalement à assurer un serrage entre la face d’appui de la tête et celle de l’écrou.

L’AFNOR a réuni dans un recueil Boulonnerie – Visserie, les principales normes relatives aux éléments d’assemblages filetés (vis, écrous, …). Parmi ces normes ayant une spécification technique, on cite : NF E27-005, E27-702 et NF E 27-009 [49]. Les caractéristiques mécaniques définies par ces normes sont :

- Diamètre nominal d ; - Les dimensions du filet et sa section résistante As ; - Essais de caractérisation de l’élément fileté ; - Les classes de qualité.

Le grand avantage des boulons, en particulier les boulons haute résistance HR, réside dans le fait qu’ils permettent un serrage élevé des pièces tout en restant dans le domaine élastique. Cet effort de serrage induit un effort de frottement qui s’oppose au mouvement relatif des surfaces de contact des pièces assemblées et ainsi permet de réaliser des assemblages par adhérence. Cette technique a conduit l’AFNOR à une normalisation globale des éléments filetés (vis, goujons, écrous). Pour la vis, la classe de qualité défini essentiellement la résistance minimale à la traction (Rm) et la limite minimale conventionnelle d'élasticité (Rρ0.2). Ces caractéristiques sont obtenues à partir d’essais statistiques effectués sur un lot de pièces prélevé au cours de la fabrication de ces éléments qui sont généralement forgés et pour lesquels le filetage est réalisé par roulage et traité thermiquement.

Les assemblages par éléments filetés sont couramment utilisés dans les différents secteurs et ceci grâce à leur facilité de manipulation. La maîtrise de ce genre d’assemblage est bien exploitée par les industriels pour différentes raisons dont on cite :

- Minimiser les volumes des produits finis : Produit en pièces détachées ; tel que les appareils électroménagers, machines de production ;

- Discrétiser le produit pour assurer le transport et la livraison : avion en tronçons, grues… ;

- Faciliter la maintenance des pièces défectueuses : changements des composants mécaniques.

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés __________________________________________________________________________________________

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La flexion est une sollicitation qu’on cherche à éviter en jouant sur la géométrie pour la transformer en sollicitation de traction et de compression, mais ce n’est pas toujours possible. Nous citons quelques exemples de pièces soumises à ce type de sollicitation :

- Assemblage boulonné des Bogies de TGV, (Figure 1.1) - Supports des moteurs de voitures, (Figure 1.2) - Les charpentes métalliques sont souvent en flexion excentrée. Elles sont

surdimensionnées en structure et en nombre de fixations, (Figure 1.3) - Les stabilisateurs, les pales d’hélicoptères et autres pièces aéronautiques. Le poids

est le facteur prépondérant d’où le recours aux éléments filetés précontraints. - Les ressorts plats qui travaillent généralement sous des chargements fortement

excentrés. Ils sont sollicités en fatigue. - En agriculture et en génie civil : les pelleteuses, les bineuses … - Les panneaux de publicité et les panneaux routiers.

Figure 1.1 : Assemblage boulonné des Bogies de TGV

Figure 1.2 : Support moteur assemblé par 4 boulons et renforcé par des nervures.

Figure 1.3 : Fixation des charpentes métalliques


___________________________________________________________________________ 9

1.2 RESISTANCE STATIQUE ET DYNAMIQUE D'UN ELEMENT FILETE 1.2.1 Tenue statique d’un élément fileté Dans le cas le plus général, la vis est soumise à un effort de tension FB, à un moment de flexion MFB et à un moment de torsion CB dans le cas où la précontrainte est obtenue par application d’un couple de serrage. Pour les filetages normalisés le moment de torsion CB s’exprime par la relation usuelle :

]d 0.583f p [0.16 Q C 2B += (1-1)

Avec : Q : effort de précontrainte. p : pas du filetage. d2 : diamètre à flanc de filet. f : coefficient de frottement vis / écrou. Compte tenu de la forme de la vis, celle-ci est tout à fait assimilable à une poutre et le calcul serait classique s’il n’y avait pas les deux particularités suivantes :

- La vis obtenue par forgeage et roulage n’est pas un matériau homogène et isotrope. - On constate que la plupart des ruptures se produisent au niveau du premier filet en prise,

donc dans la zone d’introduction des charges (concentration de contrainte à fond de filet et répartition non uniforme des charges le long de l’écrou), (Figures1.4 et 1.5).

Figure 1.4 : Concentration de contrainte à fond de filet dans la vis [23].


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F B FB

1er filet en prise

Figure 1.5 : Répartition non uniforme des charges le long de l’écrou [23].

En plus de ces inconvénients, s’ajoutent les perturbations dues à la fabrication en très grande série des éléments filetés, ce qui est difficile à quantifier. La solution fournie par la norme est qu’au niveau des essais de caractérisation, les essais de traction pour obtenir Rm, Rp0.2 et éventuellement σD (limite de fatigue ou d’endurance) seront réalisés directement sur les vis équipées de leurs écrous. A partir d’un lot représentatif de la fabrication, on obtiendra des valeurs représentatives d’efforts maximaux admissibles à rupture et d’efforts à la limite conventionnelle d’élasticité, ou d’efforts alternés limites. Pour pouvoir passer aux contraintes (Rm, Rp0.2, σD) pour une pièce filetée il était nécessaire de choisir une section équivalente ; c'est la section résistante (As). Elle est définie comme la section de la pièce cylindrique de même résistance que la pièce filetée. La norme E25-030 [15] définit cette section résistante de la manière suivante :

Ad d

s =+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

π4 2

2 32

(1-2)

Où d2 est le diamètre à flanc de filet et d3 le diamètre à fond de filet. Pour la vérification statique de la vis, considérée comme une pièce cylindrique de section (As) et de diamètre (ds), on calcule les contraintes maximales de tension (traction + flexion), Eq.(1-3), et de torsion, Eq.(1-4).

Bmax FBmaxM 3

s s

F 32Mσ

A π d= + (1-3)

3s

BM

dC 16

π=τ

(1-4)

Puis la contrainte équivalente de Von Mises : 2 2

éq.max M Mσ = σ +3.τ (1-5)

Critère de résistance en statique de la vis : On suppose que la contrainte normale équivalente maximale que peut supporter la vis sans se déformer de façon permanente est telle que : σéq.max ≤ 0.9Re min (1-6)


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Où Re min est la résistance élastique minimale de la classe de qualité de la vis. Cette condition correspond à la charge d’épreuve définie par la norme ISO 898-1 anciennement E27-009 [49]. On remarque un faible coefficient de sécurité dans la valeur limite choisie, ceci s’explique par le fait que la limite d’élasticité apparente caractérise l’effort qui entraîne le fluage partiel du premier filet en prise, ce qui ne met pas en cause la résistance globale de la vis. 1.2.2 Tenue dynamique d’un élément fileté

Le comportement en fatigue des boulons normalisés (vis obtenues par roulage plus un traitement thermique) est indépendant de la classe de qualité. Leur résistance en fatigue est légèrement influencée par le chargement statique généré par la contrainte principale statique (σm = 0.5 à 0.8 Re avec Re correspondant à la limite élastique de la classe de qualité) (Martinez-Martinez [43], VDI 2230 [67], E25-030 [15], Fares et al. [17]).

Les essais de fatigue sur les assemblages boulonnés doivent être conforme à la norme NF E27-009 [49], Fares [16] et VDI 2230 [67] sachant que 85% des ruptures se font au premier filet engagé, (Figure 1.5). Ceci est dû à la grande concentration de contraintes qui est en relation avec la distribution des charges entre la vis et l’écrou.

La résistance en fatigue des vis est très faible comparée à leur résistance statique. Ceci s’explique par la concentration de contrainte au niveau des filets et donc à la plastification aux fonds des filets même pour des efforts appliqués faibles. Les normes VDI 2230 [67] et E25-030 [15] prennent en compte la concentration de contraintes au niveau des filets. Elles recommandent des valeurs de la limite de fatigue pour les boulons haute résistance exprimés par rapport à la section de la tige filetée As à partir de courbes de Wöhler théoriques et en sollicitations axiales de fatigue.

La sollicitation de fatigue est la variation de la contrainte normale entre l’état précontraint et l’état de chargement au niveau de la section As du filetage. Ces variations résultent d’une force de traction ou d’un moment fléchissant. Dans le cas le plus général, la contrainte alternée est la conséquence de la variation de l’effort de tension ΔFB et du moment de flexion ΔMFB dans le boulon, Eq (1-7).

FB sBa

s s

ΔM dΔFσ = +2A 4I

(1-7)

64dπI

4ss= (1-8)

Pour le calcul de vérification, on peut se contenter des résultats d’essais publiés dans les références VDI-1983 [67], Sayettat et al [55], Lieurade [40] et Heywood [25].

La limite de fatigue des vis est pratiquement indépendante de la classe de qualité. Les essais les plus récents tendent à montrer que la limite de fatigue σD décroît légèrement pour les classes (HR) les plus élevées (12.9). La contrainte alternée admissible σD décroît lorsque le diamètre des vis augmente. Pour un nombre de cycles de 2.106 et pour les classes de qualité 8.8, 10.9 et 12.9 on adopte les valeurs données par le diagramme de Haigh (Figure 1.6).


___________________________________________________________________________ 12

80 900

40

50

60

70

80

90 ± σa (MPa)

σm/Rp0.2(%)

d = 4 à 8 mm

d = 10 à 16 mm

d = 18 à 30 mm

10 20 30 40 50 60 70 Figure 1.6 : Diagramme de Haigh définissant les contraintes σa en fonction

de 2.0pm R/σ pour les vis de classes 8.8, 10.9 et 12.9 [25] 1.3 MODELES DE CALCUL EXISTANTS DES ASSEMBLAGES FILETES À CHARGEMENT EXCENTRE

1.3.1 Assemblages à chargement faiblement excentré (Modèle VDI 2230 linéaire)

Actuellement, il existe un modèle très connu, proposé par les recommandations VDI 2230-1983 [67] pour le calcul des assemblages vissés. Ce modèle implique le non-décollement à l’interface de contact des pièces assemblées. Hypothèses :

La Figure1.7 représente un assemblage boulonné sollicité par une charge extérieure FE excentrée de m. et dont l’axe (SS’) de la vis est excentré de n par rapport à l'axe principal d'inertie (OO’) des pièces considérées. On peut avoir un ou plusieurs boulons en ligne.

Cette modélisation impose de respecter certaines conditions géométriques : a P mini2u D l ≤ + (1-9)

a P miniD lm u

2+

≤ ≤ (1-10)

Avec : Da est le diamètre de tête de la vis lP mini est la plus faible épaisseur des pièces assemblées. b est la largeur des pièces (suivant Z). δ est l'entraxe entre deux boulons successifs. On peut prendre :

a P mini a P minib= D + l pour δ D l> + (1-11)

a P minib=δ pour δ D l≤ + (1-12)

En fait, dans le cas de plusieurs boulons alignés, on se ramène au modèle à un boulon en supposant que la charge se répartît également sur chaque élément.


___________________________________________________________________________ 13

b

2u

O' S'

L P

L P m

ini

X

SO

n m FE

FE

Y

Z

X

Figure 1.7 : Assemblage a chargement faiblement excentré.

Ces conditions dimensionnelles définissent un solide prismatique, les hypothèses suivantes

sont considérées réalisables : - Toutes les sections transversales de ce solide prismatique restent planes et la distribution

des contraintes dans chaque section est linéaire. - La rigidité en flexion de la vis est négligeable devant celle du solide. - Sous l'action des forces appliquées au solide, la pression de contact (contrainte normale

de contact) dans l'interface n'est nulle en aucun point de la surface ce qui veut dire qu'il n'y a pas de décollement.

Détermination du supplément d'effort

Si les hypothèses précédentes sont respectées, nous pouvons calculer les souplesses définies comme le quotient des déplacements Δl pris sur l'axe de la vis par la force de compression résultante F sur les pièces.

En admettant un non-décollement des pièces, l'équation de la compatibilité des déplacements sur l'axe de la vis nous donne l'égalité entre l'allongement supplémentaire du boulon sous ΔFB et la détente des pièces sous ΔFE :

** *

B b E BF S F Sp F SpΔ ⋅ = Δ ⋅ − Δ ⋅ (1-13)

D’où le supplément de force sur le boulon :

E*

**

B FpSSb

pSF Δ+

=Δ (1-14)


___________________________________________________________________________ 14

Sp, Sp* et Sp** sont les souplesses équivalentes suivant les différents cas de charge, représentés sur la Figure 1.8.

m

nn

ΔP/2

ΔP/2

ΔP’/ 2

ΔP’/ 2ΔP’’/ 2

ΔP’’/ 2

FE FE

FEFE

FE

FE

Position finale Position intermédiaire Figure 1.8 : Influence de l’emplacement de la force par rapport à l’axe de la pièce sur la

déformation élastique. Pour une disposition de vis concentrique et une charge concentrique (n = m = 0) :

ApElpSp ×

= (1-15)

Pour une disposition de vis excentrée de n et une introduction de charge extérieure excentrée de m tel que m = n :

)Ip

Apn²Sp(1)Ip

Apn²(1ApE

lppS * ×

+=×

+×

= (1-16)

Pour une disposition de vis excentrée de n et une charge extérieure excentrée de m :

)Ip

ApmnSp(1)Ip

Apmn(1ApE

lppS ** ××

+=××

+×

= (1-17)

Ap = 2u.b (1-18)

Avec : Ap la section équivalente Ip le moment quadratique de Ap E le module de Young des pièces m distance de FE à Gz, G est le barycentre de surface (vue de dessus). n distance de OO' à SS' affectée du signe positif si FE et FB sont du même côté de l'axe Gz sinon du signe négatif.

De la même manière que pour les assemblages chargés axialement, nous introduisons un

coefficient γ pour tenir compte de la zone d’introduction du chargement sur les pièces [65], [23]. Le supplément d'effort vaut alors :

E*

**

B FpSSb

pSF Δ+

γ=Δ (1-19)

EexB FF Δ⋅λ=Δ (1-20)


___________________________________________________________________________ 15

*

**

expSSb

pS

+γ=λ (1-21)

exλ est appelé le facteur de charge. Il peut être exprimé en fonction des raideurs KB et KP :

Bp

P Bp

nmApK (1 )In²ApK K (1 )

I

ex

⋅ +

λ = γ+ +

(1-22)

Détermination du supplément de moment Nous appliquons l’effort sur la pièce supérieure de l’assemblage. Nous considérons

l’ensemble comme un solide en flexion et nous admettons que la tête du boulon suit la déformée de la pièce, ce qui signifie que les rotations angulaires de la pièce et du boulon sont égales.

Considérons deux états de chargement sous FEmaxi et FEmini. Le boulon va alors tourner d’un angle θ1 pour un effort extérieur égal à FEmaxi et d’un angle θ2 pour un effort extérieur égal à FEmini (Figure 1.9).

Figure 1.9 : Détermination du supplément de moment.

On considère que la tête du boulon suit la déformée de la pièce, nous obtenons :

FB

FB1

FP

FB1B1maxE1 K

MK

MFnFm=

−⋅−⋅=θ (1-23)

Emin B2 FB2 FB22

FP FB

m F n F M MK K

⋅ − ⋅ −θ = = (1-24)

Et donc en introduisant le facteur de charge λex et en faisant la différence nous avons :

FPEmax Emin FB

FB

Knm(F F )(1 ) M 1m Kex

⎛ ⎞− − λ = Δ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1-25)

KFB et KFP sont respectivement les raideurs en flexion de la vis et de la pièce. Par hypothèse KFB est petit devant KFP alors 1 est négligeable devant KFP/KFB d’où :


___________________________________________________________________________ 16

EexFP

FBFB Fm)

mn(1

KKM Δ⋅λ−=Δ (1-26)

Détermination de la force minimale de serrage nécessaire

La distribution de pression à l’interface ne pouvant être supposée linéaire que pour des pièces de très faible section, il est difficile, dans le cas de pièces réelles, de s’assurer qu’une force de serrage FPminiex évite l’ouverture de l’interface dans le cas d’un chargement excentré.

Dans l’hypothèse de répartition linéaire des contraintes de contact σ(x), on écrit que, pour une force extérieure donnée FE, au point d’abscisse x = u, on considère σ(u) ≥ 0 (Figure 1.10). En ce point la contrainte normale vaut :

B FB

Gz

F M(x) x

A'p Iσ = + (1-27)

B ex EF = - (Q - (1 - )F )λ (1-28)

FB ex EM = (m - .n).F - Q.nλ (1-29)

A’P : section réelle à l’interface. IGz : moment quadratique de la section A’P.

FE

FE

X

O

O’

S

S’

Y

m

n

u

FB

FB

Figure 1.10 : Précontrainte minimale.

Nous obtenons la précontrainte minimale à installer pour : σ(u) = 0 et elle vaut donc :

EexEzG

miniex F)(1Fn.u

pA'I

n)u(mQ ⋅−+⋅+

−= λ (1-30)

La force minimale de serrage est alors :


___________________________________________________________________________ 17

Pminiex EGz

u(m n)F FI n.uA'p

−= ⋅

+ (1-31)

Force extérieure maximale Inversement, pour une précharge donnée Q, nous pouvons déterminer l’intensité maximale

de la force extérieure à ne pas dépasser pour rester dans la zone de non-décollement :

)(1n.u

pA'I

n)u(mQF

exzG

EC

λ−++

−= (1-32)

2tπD

A'p=2ub-4

(1-33)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅π⋅+

⋅π−=

4D

n64D

IpI2

t24

tGZ

(1-34)

A’P est la section réelle, et IGZ est le moment de la section à l'interface (en tenant compte du trou de passage et de son excentration). Contrainte alternée et contrainte maximale

On continue le calcul de la même façon que pour le chargement axial mais en faisant intervenir le moment fléchissant dans le calcul des contraintes. Ce qui donne les contraintes suivantes :

Selon le modèle LGMT :

s

sFB

s

Eexa 4I

dM2A

F ⋅Δ+

Δ⋅λ=σ (1-35)

2

3s

M

2

s

sFBmaxi

s

Emaxiexmaxiemax d

C1632I

dMA

FQ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅λ+=σ (1-36)

Selon le modèle VDI 2230 :

3

3FB

d3

Eexa 4I

dM2A

F ⋅Δ+

Δ⋅λ=σ (1-37)

2

33

G

2

d3

EmaxiexMemax d

M163A

FF⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅λ+=σ (1-38)

Le LGMT introduit aussi la contrainte due au moment de flexion dans le calcul de la

contrainte équivalente maximale.

Limites d’application du modèle VDI 2230 linéaire

L’application du modèle VDI 2230 [67] linéaire est limitée aux assemblages soumis à des chargements faiblement excentrés par rapport à la vis ou le boulon à dimensionner. Cette conclusion a été validée par Massol dans sa thèse [45], (Figures 1.11 et 1.12). La vis de fixation de la bride est sollicitée par des suppléments de forces et de moments importants et


___________________________________________________________________________ 18

qui varient non linéairement pour des charges extérieures plus importantes. Cette conclusion s’appuie sur les résultats des simulations éléments finis tridimensionnels et les résultats expérimentaux. Par contre, le modèle VDI donne une variation linéaire des suppléments d’efforts en fonction du chargement extérieur et s’il surestime les suppléments d’efforts et de moments pour les charges faibles, il les sous estime dangereusement à partir d’un certain niveau de chargement. Ceci s’explique par le fait que la flexion de la pièce n’est pas négligeable et qu’il existe un décollement à l’interface de contact. Dans cette configuration, les hypothèses du modèle ne sont pas toutes vérifiées.

Fe

L"

Figure 1.11 : Exemple de bride prismatique à un boulon M24 [45]

20 40 60 80 100 120 1400

20

40

60

80

100

120

140

Fe (kN)

Q1 = 100 kN EXPQ2 = 200 kN EXPQ3 = 286 kN EXPQ1 = 100 kN E.FQ2 = 200 kN E.FQ3 = 286 kN E.FVDI lineaire

Fb (kN)Δ

FeFe

Fe

1

2

3

20 40 60 80 100 120 140

0

20

40

60

80

100

120

140

Fe (kN)

MFb (kN.mm)Δ

Q1 = 100 kN EXPQ2 = 200 kN EXPQ3 = 286 kN EXPQ1 = 100 kN E.FQ2 = 200 kN E.FQ3 = 286 kN E.FVDI lineaire

Fe

Fe

Fe

1

2

3

a- Suppléments de force b- Suppléments de moment

Figure 1.12 : Suppléments de force et de moment de flexion appliqués au boulon de la bride prismatique [45]

1.3.2 Assemblages à chargement fortement excentré (Modèle poutre non linéaire)

Dans le cas des pièces « minces » soumises à des efforts fortement excentrés, donc à une flexion prépondérante, l’hypothèse de non-décollement à l’interface de contact des pièces assemblées n’est plus vérifiée. L’élément fondamental constituant la base de plusieurs modèles de calcul des assemblages filetés a été le modèle poutre. Agatonovic [1] a proposé un modèle qui, tout en restant simple, tient compte des deux paramètres principaux que sont la


___________________________________________________________________________ 19

rigidité en flexion des pièces assemblées et la grandeur de la précontrainte de serrage. Sur la base de ces travaux, des modèles de calcul soumis à des charges axiales fortement excentrées ont été développés au sein du Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT). Guillot [23] a amélioré le modèle proposé par Agatonovic en introduisant un paramètre supplémentaire qui lie entre elles les raideurs locales et dont la valeur dépend de l’importance de la précharge initiale. Bakhiet [6] a proposé une nouvelle formulation analytique qui prend en compte la dimension de la zone d’appui. Bulatovic [10] a développé un modèle analytique qui décrit le processus de déformation d’un assemblage a un boulon, fortement excentré.

Ces modèles ont été développés pour des fixations à un seul boulon et pour un chargement de direction parallèle à l’axe de la vis. Ils consistent à utiliser des ressorts pour modéliser la raideur en compression de la poutre et la raideur en traction du boulon. Ils peuvent être appliqués pour dimensionner un assemblage symétrique en T, (Figure 1.13) assemblage également modélisé par Broughton [9].

Figure 1.13 : Assemblage symétrique en T de pièces en Aluminium.

Dans plusieurs travaux de recherche, les brides en T ont été modélisées par éléments finis

non linéaires (Bursi et Jaspart [11], Sherbourne et Bahaari [57], Kishi et al. [33], Komuro et al. [34]). Dans ces travaux le comportement en déplacement de la structure de la bride est montré. Bursi et Japart [12] ont trouvé une bonne corrélation entre les résultats des simulations numériques et ceux issus des essais expérimentaux. Girao et al. [21], dans leur modèle numérique, ont remplacé l’action du boulon sur la poutre par un ressort linéaire axial. Ces modèles représentent bien le comportement de la structure de la bride en déplacement, mais ils n’étudient pas la fatigue des vis de fixation sous sollicitations dynamiques qui nécessite des évaluations très précises des variations de contraintes.

Au cours du développement des différents modèles pour des assemblages à chargement axial ou excentré, les auteurs ont rencontré souvent le problème de calcul des rigidités pour les éléments filetés ou bien pour les pièces assemblées. Dans ce cas, ils appliquent des modèles existants ou bien ils développent leurs propres modèles, comme dans [4], [62], [70]. On trouve dans la littérature [53], [29], [71], [20], les modèles les plus courants qui peuvent être utilisés pour la détermination des raideurs axiales ou de flexion des éléments filetés et des pièces assemblées.

Les assemblages à plusieurs boulons n’ont fait l’objet que de quelques travaux. Kowalske [35] a étudié une poutre reposant sur la moitié inférieure, l’assise a été remplacée dans le modèle de calcul par un nombre limité d’appuis élastiques. On trouve un développement conséquent de ces modèles dans les travaux d’Oden et Pires [50]. Ceux-ci ont développé un modèle de calcul, avec lequel on peut déterminer des assemblages de type poutre à un ou plusieurs boulons. On peut introduire les charges de fonctionnement sous forme de forces parallèles aux axes des boulons, des moments et des charges distribuées. La flèche de la poutre est déterminée, par une résolution analytique ou par la méthode des différences finies


___________________________________________________________________________ 20

de l’équation différentielle d’ordre quatre, donnée par la relation Eq. (1-39), avec des conditions aux limites convenables.

E I wx

k w pp p i∂∂

4

4 + = (1-39)

Numériquement l’équation précédente est remplacée par la formulation approchée (1-40).

iii2p

1ii1ipp pwk

xww2wIE =+

+−Δ

−+ (1-40)

Avec : 1 ≤ ≤i N w : est la flèche de la poutre en un point d’abscisse x ki : est la raideur du ième appui élastique.

p : la densité de charge linéique appliquée à la poutre. Ip : le moment quadratique de la poutre. Ep : le module de Young du matériau constituant la poutre. wi : la flèche au ième nœud du maillage considéré. Δ xp : le pas du maillage considéré. pi : la densité de charge nodale.

N : le nombre total de nœuds sur la poutre.

La matrice de rigidité globale de la poutre et de l’appui élastique s’obtient en additionnant les N équations algébriques. Cela donne un système d’équations linéaires à N inconnues (les flèches wi ,1 ≤ ≤i N ). La résolution du système d’équations se fait par un processus itératif. A chaque itération, on calcule la pénétration des flèches des nœuds dans la fondation élastique. Le test de pénétration se fait par vérification du signe de chaque flèche.

Al-Jabri [14] a modélisé un assemblage poutre-poteau à trois boulons sollicité par un moment extérieur et sous une température élevée. Le LGMT a mis au point un modèle analytique, appelé « poutre fléchie » ou « modèle non-linéaire », et l'a validé pour les brides rectangulaires et circulaires. Marty [44] a modélisé les brides cylindriques comme des plaques en flexion reposant sur leur moitié inférieure considérée en compression et discrétisée. Il a développé un programme de calcul par éléments finis, construit à partir des éléments de type plaque axisymétrique à deux nœuds, pour étudier le supplément d’effort et de moment dans le boulon. Benkhira [7] a contribué à la modélisation numérique des brides prismatiques boulonnées en tenant compte du frottement à l’interface. Parmi les modèles numériques des assemblages boulonnés, développés au LGMT et qui prennent en compte les conditions de contact on trouve le modèle de Lakiss [37].

Malheureusement, les modèles existants restent limités, car ils ne modélisent que des assemblages de forme géométrique simple et bien définie. Ils ne permettent pas de définir les différentes zones de contact (adhérence, décollement). Les modèles qui intègrent une couche élastique au niveau du contact entre pièces, ne montrent pas comment déterminer les raideurs de ces éléments élastiques et comment elles évoluent en fonction du chargement.


___________________________________________________________________________ 21

1.4 Conclusion et position du sujet de recherche

Le modèle VDI 2230 linéaire prend en compte la flexion de la liaison en considérant que le solide intéressé par la déformation de flexion a un axe neutre parallèle à l'axe du boulon. On peut dire que cela est conforme à la représentation des assemblages de pièces dont l'épaisseur est grande par rapport à leurs autres dimensions.

Pour de nombreux assemblages courants, l'épaisseur des pièces reste faible par rapport à leur longueur et par rapport à la valeur de l'excentration des charges. Le modèle en poutre fléchie semble alors plus naturel. On cherche alors à étendre l’application de ce dernier modèle aux fixations à deux boulons et on s’intéresse au développement d’un outil de dimensionnement des assemblages de pièces prismatiques par deux éléments filetés disposés en « Tandem », comme le représente la Figure 1.14. Cet assemblage est soumis à un chargement fortement excentré de tension et/ou de compression.

±± FFEE

±± MMEE

Figure 1.14 : Fixation par deux boulons en « Tandem », sollicitée par une charge fortement excentrée de tension et/ou de compression parallèle aux axes des vis.

L'application du modèle poutre fléchie, pose de nombreux problèmes :

- Absence de formules analytiques qui donnent les valeurs des raideurs au niveau des zones de contact ;

- Evolution du contact entre la pièce et le bâti ; - Effet du coin si l’assemblage est sollicité en compression ; - Stabilité de l'assemblage ; - Cas d’un assemblage à un boulon ; - Cas d’un assemblage à deux boulons.

Le modèle non linéaire ou poutre fléchie a été développé pour le cas d’un assemblage à un boulon [23]. Il est développé et étendu au cas d’un assemblage à deux boulons travaillant en tension et en compression, dans le cas le plus général où la zone d’appui est décalée par rapport à la zone d’application de la charge. C’est cette disposition qui justifie l’utilisation d’un assemblage à deux boulons.

___________________________________________________________________________ 23

Chapitre II :

MODELISATION ANALYTIQUE

D’UN ASSEMBLAGE PRECONTRAINT A UN OU A DEUX BOULONS

ET À CHARGEMENT EXCENTRE

Il s'agit de déterminer une loi analytique modélisant le comportement d’une poutre sollicitée en flexion. Dans un premier temps, nous présentons brièvement le problème d’une fixation à un seul boulon. Par la suite, nous étendons le modèle de la fixation à deux boulons.

Dans le cas d’efforts fortement excentrés le modèle linéaire proposé par la recommandation VDI 2230 n’est plus applicable. D’autre part, cette modélisation est basée sur le principe d’un non-décollement à l’interface de contact des pièces assemblées. Dans le cas des poutres soumises à de la flexion prépondérante, cette dernière hypothèse n’est plus réaliste.

De nombreux travaux expérimentaux ont montré de façon évidente que la force de précontrainte et la rigidité de flexion de la pièce sont les deux paramètres les plus importants. Le modèle qui est proposé par Agatonovic [1] prend en compte ces deux grandeurs et notre modélisation s’appuie sur ces travaux.

2.1 MODELE ANALYTIQUE A UN BOULON

2.1.1 Modèle analytique à un boulon et en tension

Le modèle adopté par Agatonovic [1] et complété par les travaux du LGMT [23] et [6], consiste à utiliser des ressorts pour modéliser la raideur locale en compression de la poutre et la raideur en traction du boulon.

Le principe consiste à calculer la valeur de l’excentration s de la résultante des forces de contact FP1 en utilisant le modèle de poutre défini sur la figure 2.1 et modélisé par une poutre en flexion et des ressorts de raideurs KB1 pour le boulon et KP pour la pièce.

F E

M FB1

M FB1

F B1

F B1

Δ OB

Δ OP

Q

Δ P

Δ B

hp

F P1

f D

m s

Socle rigide

θ B1

K P

K B1

(a) (b) (c) Figure 2.1 : Modèle poutre fléchie en tension (FE positif)

Chapitre II Modèle analytique __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 24

Les hypothèses principales consistent à admettre que l’influence du trou de passage du boulon sur la rigidité en flexion des pièces est négligeable ; que la rigidité en flexion ainsi que la raideur de compression des pièces assemblées restent constantes mais aussi que les efforts qui sont situés dans le plan de symétrie de la poutre sont introduits dans le plan supérieur de la pièce.

En écrivant les conditions de compatibilité des déplacements, entre l’état précontraint (Figure 2.1-b) et l’état chargé (Figure 2.1-c), on trouve les équations (2-1) et (2-2). En introduisant ensuite les équations d’équilibre de la pièce fléchie, on obtient les relations permettant le calcul du paramètre s, de la réaction FP1 et de l’effort de tension FB1, équations (2-3), (2-4) et (2-5).

0 0P 0B b P b P= + = Q.S + Q.S = Q.(S + S )Δ Δ Δ (2-1)

0 P B B1 b P1 P D= + = F .S + F .S - fΔ Δ Δ (2-2)

0ms )SS

FQ(

S . I . .E 6.s m

éq

b

Eéqpp

3

=−−+ (2-3)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

sm1 FF E1B

(2-4)

E P1 B1F +F -F =0 (2-5)

De plus, on admet que le boulon suit parfaitement la déformation de la pièce. De cette condition d’égalité de rotation angulaire entre la tête de la vis et la pièce (θB1 = θP), on obtient la relation donnant le moment de flexion dans le boulon :

Eppp

bbFB1 F

I . E.h . 2I . E. s . m

M = (2-6)

Avec :

Souplesse du boulon : Sb =1/KB1

Souplesse de la pièce : Sp =1/KP

Souplesse équivalente : Séq = Sb + Sp

Module de Young du boulon : Eb

Module de Young de la pièce : Ep

Pour une géométrie connue, un chargement FE et une précontrainte donnés, il est possible de déterminer les inconnues du problème (s, FP1, FB1, MFB1) en résolvant le système d’équations (2-3), (2-4), (2-5) et (2-6). Pour obtenir des résultats cohérents il faut évaluer avec précision les raideurs locales (ou les souplesses locales) des pièces sollicitées de l’assemblage. Il est possible de calculer ces raideurs à partir d’un calcul par éléments finis. Cependant, cette procédure reste trop lourde à mettre en œuvre dans le cadre d’études préliminaires. Plusieurs travaux proposent des méthodes de calcul des raideurs des zones en compression des pièces assemblées (Annexe V). Ces méthodes sont insuffisantes et ne donnent pas de formulations précises pour les raideurs équivalentes aux contacts. Pour le calcul de la raideur de la vis, on utilise le modèle LGMT [23].


___________________________________________________________________________ 25

2.1.2 Modèle analytique à un boulon en compression

F

E

M

FB

M

FB

F B1

F

F P1

v s

F P2

B1

w

FB1

FP1

s v w

FE

P1 B1

FP2

P2 u

Figure 2.2 : Modèle poutre fléchie en compression (FE négatif)

Le problème est similaire à l’étude pour FE positif. Les inconnues du problème sont les mêmes que précédemment (s le décollement de la poutre par rapport au boulon, FB1 l’effort de tension dans le boulon, FP1 l’effort de contact du support sur la poutre) auxquelles on ajoute FP2 l’effort de réaction de la pièce à l'extrémité « coin » du support (Figure 2.2).

Il faut trouver quatre équations fonctions de quatre inconnues : s, FB1, FP1 et FP2. Pour satisfaire ce problème, on applique le même raisonnement que dans le cas de la tension. Entre l’état précontraint et l’état chargé on établit les conditions de compatibilité des déplacements entre P1 et B1 par la relation (2-7). Les conditions d’équilibre (2-8) et (2-9), sont définies par l’application du principe fondamentale de la statique. Enfin la dernière équation est obtenue en écrivant la condition de compatibilité de déplacement entre P1 et P2 soit la relation (2-10).

3

0 eq B1 b1 P1 P1 P1P P

s= Q.S = F .S + F .S -F6.E .I

Δ (2-7)

P1 P2 B1 EF + F - F - F = 0 (2-8)

B1 P1 Ev.F - (v + s).F - w.F = 0 (2-9)

3 2P1 P1 P2 P2

A BF .S - F .S = .(s + v) + (s + v) + C(s + v) + D6 2

(2-10)

Où A, B, C et D sont exprimés en fonction des variables : s, FP1 et FP2.

PP

2PE

I.EFF

A−

= ( ) ( )PP

EE2P

I.EF.wvs.FF

B−+−

=

s.B2s.A

I.E.2s.F

C2

PP

21P −−= s.Cs.

2B

6s.A

I.E.6s.F

D 23

PP

31P −−−=

Remarques sur l’évolution de s

Dans la réalité et pour une étude en tension, la variation de s n’est pas infinie. On peut être confronté à deux cas qui limitent la position de FP1. Le premier cas, consiste à limiter le socle d’une distance u, du côté de s (Figure 2.2). Pour une configuration de s = u, on modifie considérablement la zone de contact entre la pièce et le socle jusqu'à la restreindre à l’arête du


___________________________________________________________________________ 26

socle. En général, cette configuration est néfaste à la bonne tenue de la pièce (pression de contact locale très élevée). L’autre cas correspond à un montage avec deux vis de fixation espacées de la valeur u. Dans cette condition, le paramètre s peut continuer à évoluer. Cependant, les conditions limites ne sont plus les mêmes car il faut prendre en considération le comportement associé à la deuxième vis. Ce nouveau problème est une suite du premier modèle présenté. On montrera, par la suite dans quel cas l’ajout d’une deuxième vis améliore les performances de la fixation.

2.2 MODELE ANALYTIQUE A DEUX BOULONS On s’intéresse au modèle paramétré comportant deux vis fixant une poutre de section

rectangulaire (2a x hP), sur un support considéré rigide. À l’extrémité de la poutre, on exerce un effort FE alternatif (même intensité dans les deux directions).

u v

w

t a

hP

FE

FE

Etude en tension de la poutre Etude en compression de la poutre

Figure 2.3 : Modèle paramétré - poutre fléchie sollicitée par un effort alterné

Les modèles qui seront appliqués seront basés sur l’approche des Figures 2.4 et 2.5. Dans cette étude, on considère que la tête des vis suit l’évolution angulaire de la poutre.

2.2.1 Modèle analytique à deux boulons en tension

On adopte pour le deuxième boulon les mêmes caractéristiques géométriques et la même précontrainte Q.

FE FB2

s u v w

FB1

FP1

P1 B2 B1 P2

s’ m Figure 2.4 : Modèle analytique poutre fléchie sollicitée par un effort alterné FE>0.


___________________________________________________________________________ 27

Lorsque l'on applique progressivement FE, on observe que le décollement s augmente petit à petit. Tant que s est plus petit que l'entraxe des deux vis, la seconde vis ne travaille pas. Son état de contrainte est toujours celui de la précontrainte seule. Mais lorsque s atteint cette valeur d'entraxe ou la dépasse, alors il faut la prendre en compte. Celle-ci contribue à l'état d’équilibre final.

Notation : m = v + w

Les inconnues du problème sont :

s le décollement de la poutre par rapport au boulon 2

Fb1 l'effort de traction dans le boulon 1


Fp1 l'effort de réaction du support sur la poutre

Il faut trouver quatre équations en fonction de ces inconnues.

Compatibilité de déplacement entre P1 et B1 : 3

0 eq P1 P1 B2 b P1P P

s= Q.S = F .S +F .S - F6.E .I

Δ (2-11)

Equations d’équilibre : P1 B1 B2 EF - F - F + F = 0 (2-12)

B2 E P1u.F + m.F - (u+s).F = 0 (2-13)

Compatibilité de déplacement entre B1 et B2 : 3 2

B1 B2 bA B(F - F ).S = .u + .u + C.u 6 2

(2-14)

Avec :

B1 E

P P

F -FA =

E I E B1 E

P P

(F -F )u+m.FB =

E I P1 2

P P

FC = s

2E I

Les équations (2-11), (2-12), (2-13) et (2-14) forment le système d'équations qu'il faut

résoudre pour trouver les quatre inconnues s, FB1, FB2 et FP1.

2.2.2 Modèle analytique à deux boulons en compression

La modélisation du comportement mécanique est donnée sur la Figure 2.5.

Les inconnues du problème sont :

s le décollement de la poutre par rapport au boulon 2



Fp1 l'effort de réaction du support sur la poutre

Fp2 l'effort de réaction de la pièce à l'extrémité

Il faut trouver cinq équations en fonction de ces inconnues.


___________________________________________________________________________ 28

FE

FB2

s u v w

FB1

FP1

P1 B2 B1 P2

s’

FP2

m

Figure 2.5 : Modèle analytique poutre fléchie sollicitée par un effort alterné FE<0.

Compatibilité de déplacement entre P1 et B1 : 3

0 eq P1 P1 B2 b P1P P

s= Q.S = F .S +F .S - F6.E .I

Δ (2-15)

Equations d’équilibre : P1 P2 B1 B2 EF + F - F - F - F = 0 (2-16)

B2 E P1 P2u.F - m.F - (u+s).F + v.F = 0 (2-17)

Compatibilité de déplacement entre B1 et B2 : 3 2

B1 B2 bA B(F - F ).S = .u + .u + C.u 6 2

(2-18)

Avec :

P1 B2

P P

F -FA=

E I P1

P P

s.FB=

E I 2P1

P P

FC= .s

2E I

Compatibilité de déplacement entre B1 et P2 : 3 22 2

P2 P2 B1 b 2A BF .S - F .S = .v + .v + C .v 6 2

(2-19)

Avec:

E P22

P P

F -FA =

E I P2 E E2

P P

(F -F )v-wFB =

E I 2

2AC = .u + B.u + C 2

Ce système de cinq équations est constitué de :

2 équations du premier degré en s

2 équations du second degré en s

1 équation du troisième degré en s

La résolution du système d’équations obtenu permet de trouver les inconnues : s, FB1, FB2, FP1 et FP2.


___________________________________________________________________________ 29

2.3 PROGRAMME DE CALCUL DU MODELE ANALYTIQUE

L’organigramme de la Figure 2.6 explique la démarche de calcul d’un assemblage par deux boulons en « Tandem ». La programmation est réalisée en langage C.

Introduction des données géométriques + précontrainte

+ force extérieure

Calcul des souplesses vis et pièce

Fe > 0

Résolution selon la méthode une vis en traction

Résolution selon la méthode une vis en compression

Non

s < u

Attention ! La deuxième vis travaille

La deuxième vis ne travaille pas

Calcul de σa et σmax pour chaque vis

Fin

Oui

Non

Oui

Figure 2.6 : Procédure de calcul du modèle analytique.

2.4 CONCLUSION En règle générale, le rôle de la première vis est prépondérant par rapport à la seconde.

Dans un premier temps, il est possible de considérer que seule la première vis travaille, dans le cadre d’une recherche préliminaire de solutions. Le modèle à un boulon pourrait satisfaire ce pré-dimensionnement. Cette hypothèse est dans tous les cas pessimiste et peut être mal interprétée si l’assemblage comporte une poutre de hauteur élevée avec un chargement FE négatif. Dans cette configuration, l’appui sur le « coin » peut avoir un effet de levier et venir modifier la distribution des efforts dans les fixations. Dans un second temps, on intègre le comportement de la deuxième vis afin d'affiner l'étude. Les résultats du modèle analytique sont présentés et interprétés dans le chapitre suivant, après avoir présenté la modélisation en éléments finis tridimensionnels d’un assemblage à deux vis. Cette organisation permettra de comparer les deux modèles, de valider le modèle analytique dans les différents cas de chargement, mais aussi de monter ses limites d’exploitation.

___________________________________________________________________________ 31

Chapitre III :

MODELISATION EN ELEMENTS FINIS TRIDIMENSIONNELS D’UN ASSEMBLAGE A DEUX ELEMENTS FILETES

3.1 METHODE DES ELEMENTS FINIS Les techniques de calcul des structures ont connu ces dernières années un développement

considérable. Elles sont motivées par les besoins des industries de pointe et soutenues par les progrès effectués en informatique. La méthode des éléments finis (M.E.F) est communément utilisée aujourd’hui pour l’analyse des structures dans de nombreux secteurs de l’industrie : aérospatial, nucléaire, génie civil, construction navale, génie mécanique…

Par ailleurs, il est intéressant de remarquer que la M.E.F appliquée au calcul des structures est une technique récente, à caractère pluridisciplinaire (Figure 3.1), car elle met en œuvre les connaissances de trois disciplines de base : La mécanique des structures, l’analyse numérique et l’informatique appliquée [29].

Figure 3.1: Caractère pluridisciplinaire de la M.E.F La méthode de calcul par cette technique comprend quatre phases (Figure 3.2) :

- Calculs matriciels élémentaires (matrices de rigidité, forces équivalentes, …) ;

- Calculs au niveau global : Assemblage des caractéristiques élémentaires ;

- Résolution numérique du problème global (Système linéaire ou non linéaire, …) ;

- Calcul de restitution au niveau élémentaire (Calcul des contraintes par élément, …).

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 32

Figure 3.2 : Organigramme simplifié de traitement pour l’analyse statique (Méthode des déplacements)

3.2 MODELE ELEMENTS FINIS 3D D’UN ASSEMBLAGE A DEUX VIS Le logiciel utilisé pour les simulations statiques en modèle éléments finis tridimensionnels

est I-DEAS (version 11) [28]. Nous modélisons un assemblage à deux vis et à chargement excentré tel que celui de la Figure 1.14.

Préparation du modèle : Compte tenu de la symétrie du problème étudié, seulement la moitié de l’assemblage est

modélisé. Ce qui a permis de réduire le nombre d'équations et donc d'accroître la rapidité de calcul lors d'une simulation. Compte tenu du nombre prévu de simulations à effectuer, cette considération a été importante.


___________________________________________________________________________ 33

Dans un premier temps, le socle est considéré infiniment rigide. Son module de Young est pris 1000 fois plus élevé que celui des vis et de la poutre. La Figure 3.3 montre une vue du modèle après assemblage des pièces.

±FE/2

Figure 3.3 : Modèle paramétré d’un assemblage à deux vis (Exemple de dimensions).

Notation des paramètres : t: distance entre l’axe de la deuxième vis et l’extrémité gauche de la pièce assemblée u: entraxe des deux vis v : distance entre axe de la vis la plus proche et le coin d’angle du socle w : distance entre le coin d’angle du socle et l’extrémité de la pièce assemblée hp : hauteur de la pièce assemblée a : ½ largeur des pièces

Pour l’exemple étudié, les dimensions de l’assemblage à deux vis sont données dans le tableau 3.1. La précontrainte de serrage est σ0 = 200 MPa.

t (mm) u (mm) v (mm) w (mm) hp (mm) 2a (mm)

20 25 25 55 20 40

Tableau 3.1 : Dimensions de l’exemple d’assemblage à 2 vis défini Figure 3.3. Maillage :

C'est certainement la partie la plus délicate du travail à réaliser car celui-ci conditionne la qualité du modèle en terme de précision des résultats et de rapidité de résolution. La première étape consiste à partitionner le modèle en fonction du paramétrage souhaité par la suite. Celui-ci doit permettre notamment un raffinement du maillage de la pièce assemblée au niveau de


___________________________________________________________________________ 34

chaque vis car il y a une discontinuité de forme en ces zones et donc un risque de concentration de contrainte. Ensuite, chaque partie est maillée avec un raffinement du modèle au niveau de chaque vis (les contraintes seront lues dans le corps de la vis), Figures 3.4 et 3.5.

Le modèle de l’exemple ainsi maillé est constitué de 20322 éléments. On comprend ici l'importance d'avoir tenu compte de la propriété de symétrie. A la zone commune au maillage vis et poutre, les nœuds ont été fusionnés. Autrement dit, poutre et vis ne forment qu'une seule pièce. Cette simplification est possible car lors des simulations, il n'y a jamais de glissement entre la vis et la poutre, lorsque l'effort est normal au plan de contact vis-poutre. Cette opération nécessite d'avoir maillé la vis et la poutre de telle sorte que les nœuds à faire coïncider se retrouvent en vis-à-vis.

Figure 3.4 : Maillage de l’assemblage, vue 3D. Raffinement du maillage réglé aux endroits des vis d’assemblage.

Figure 3.5 : Maillage des vis d’assemblage.


___________________________________________________________________________ 35

Conditions aux limites : Les conditions limites mises en place pour le modèle sont de trois types :

Contacts : Les éléments "contacts" jouent le rôle de barrières physiques lors de l'interaction des deux pièces en contact. D'autre part, ils intègrent les phénomènes de frottement entre pièces dans leur fonction. Ils sont localisés entre le socle et la poutre.

Les croix jaunes marquent les surfaces en vis-à-vis munies de contacts. Il y a près de 1500 éléments de contact ce qui pénalise sensiblement le temps de calcul et notamment la vitesse de convergence du calcul. Il faut moins de 20 itérations pour aboutir au résultat.

Figure 3.6 : Eléments de contact dans le modèle EF.

Contraintes : Premièrement, compte tenu de la considération de symétrie exploitée pour diviser le modèle par deux, le plan de coupe doit donc impérativement rester dans son plan de départ (sa déformation est plane). Deuxièmement, il faut bloquer le socle. C'est la référence pour les déformations. Du fait de sa rigidité infinie, il ne reste qu'à le bloquer en translation (pas en rotation). C'est ce que l'on peut voir sur la figure 3.7.

Figure 3.7 : Eléments de blocage dans le modèle EF.

Pour finir, il reste à contraindre l'extrémité des vis. Dans la pratique, les conditions dépendent du type d’assemblage avec la pièce support. Ici, comme on veut pouvoir lire facilement la contrainte de flexion, on laisse la vis se déplacer perpendiculairement à son axe. On parle de flexion circulaire. Ces hypothèses sont similaires avec le modèle analytique. En axial (suivant l’axe y), on impose initialement un déplacement vers le bas à l'extrémité du corps de la vis (cela correspond à la précontrainte lors du serrage de la vis) puis on conserve ce déplacement imposé, Figure 3.8.

Pour régler cette précontrainte, les dimensions géométriques étant fixées, on impose un déplacement arbitraire à l'extrémité et on lance le calcul sans chargement extérieur. On lit la contrainte moyenne dans la vis. Il reste à faire une règle de trois sur la valeur du déplacement pour imposer alors la contrainte souhaitée.


___________________________________________________________________________ 36

Déplacement imposé

Figure 3.8 : Application d’une précontrainte dans le modèle EF.

Chargements : Le chargement est toujours appliqué en bout de poutre, soit vers le haut, soit vers le bas suivant que l'on veut de la tension ou de la compression sur l’assemblage. On applique un chargement surfacique (face de l’extrémité) ou linéique (sur la ligne verticale de la face d’extrémité qui se trouve sur le plan moyen de l’assemblage). Quel que soit le cas de chargement choisi, les résultats au niveau de la vis sont très proches et l’on trouve les mêmes contraintes.

On crée plusieurs cas de chargements pour un même calcul afin de gagner en temps de résolution. En effet, La matrice de raideur n’est conditionnée qu’une seule fois, quel que soit le chargement. On peut lancer plusieurs calculs de plusieurs heures en tache de fond et les récupérer plus tard grâce à une sauvegarde automatique.

Exploitation du modèle : Avec la taille du modèle, une modélisation en 3D et le nombre de contacts sur toute une

surface, la résolution d'un cas de charge est assez longue (environ 1 heure sur un PC HP 2100 P4 CPU 2.4 GHz et 1Go de Ram).

Simulation numérique et résolution du modèle EF 3D: Au post traitement on peut trouver différents résultats. On s’intéresse particulièrement aux

contraintes normales sur les vis d’assemblage, (Figures 3.9 et 3.10).

Figure 3.9 : Modèle à deux vis, Contraintes normales YY. Chargement en tension avec FE égal à 15 kN. Déplacement maximal Ymax =1.01 mm.


___________________________________________________________________________ 37

Figure 3.10 : Modèle à deux vis, Contraintes normales YY. Compression avec un chargement

FE de 30 kN. Déplacement maximal Ymax =0.729 mm.

En compression, le coin au point P2 de la pièce support est sollicité par des contraintes importantes, ce qui favorise sa déformation plastique. Les simulations en EF tridimensionnels montrent bien la présence de ces contraintes. Au coin les contraintes de Von Mises peuvent atteindre 1030 MPa pour un chargement de 30 kN, (Figure 3.11).

P2

Figure 3.11 : Contraintes de Von Mises, Déformation du coin de la pièce support Cas compression avec un chargement FE de 30 kN.

3.3 RESULTATS DES SIMULATIONS EF 3D Lecture des contraintes : La lecture des contraintes normales sur chaque vis se fait en deux points de contrôle dans le plan de symétrie, à gauche et à droite dans un plan moyen de flexion de la vis, Figure 3.12. La position de ce plan de lecture doit être éloignée de la tête afin de ne pas être perturbé par les concentrations de contrainte existant sous la tête de la vis.

Points de contrôle

Figure 3.12 : Position des points de contrôle (lecture) gauche et droite sur les vis.


___________________________________________________________________________ 38

Contraintes normales : Les contraintes normales de traction et de flexion sur l’axe d’une vis se calculent facilement tel que défini sur la Figure 3.13.

Figure 3.13 : Contraintes normales de traction et de flexion dans les vis.

Nous donnons à titre d’exemple les résultats de calcul des contraintes normales gauches et droites (Figures 3.14 et 3.15) des deux vis d’un assemblage dont les dimensions ont été définies dans le tableau 3.1. Les deux vis sont serrées à une précontrainte Q = 200 MPa.

Contraintes normales dans les visCas tension FE>0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

FE (N)

σY (MPa)

V2gV2dV1gV1d

Figure 3.14 : Contraintes normales gauches et droites dans les vis, cas de chargement en tension.


___________________________________________________________________________ 39

Contraintes normales dans les visCas compression FE<0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

FE (N)

σY (MPa)

V2gV2d

V1gV1d

Figure 3.15 : Contraintes normales gauches et droites dans les vis, cas de chargement en compression.

Contraintes alternées : Les contraintes alternées aux points de contrôle 1 et 2 sur chaque vis sont calculées par les formules suivantes :

E(F )- (Q)1 1a1

σ σσ

2= (3-1)

E(F )- (Q)2 2a2

σ σσ

2= (3-2)

Pour le même exemple d’assemblage, les contraintes alternées gauches et droites dans les deux vis d’un assemblage sont représentées sur la Figure 3.16 et sur la Figure 3.17.

Contraintes alternées dans les visCas tension FE>0

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

V2gV2dV1gV1d

σa (MPa)

FE (N)

Figure 3.16 : Contraintes alternées gauches et droites dans les vis, cas tension.


___________________________________________________________________________ 40

Contraintes alternées dans les visCas compression FE<0

0

50

100

150

200

250

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

V2g

V2d

V1g

V1d

σa (MPa)

FE (N)

Figure 3.17 : Contraintes alternées gauches et droites dans les vis, cas compression.

Ces résultats montrent que la vis la plus proche du chargement est la plus sollicitée en

fatigue, en tension et en compression. En tension, la vis 2 (la plus loin de la charge), n’est quasiment pas sollicitée. Par contre, en compression son rôle est important. On remarque que la flexion des éléments filetés est importante et que les conditions de contact changent en fonction du chargement extérieur.

Ces simulations montrent bien qu’il existe un décollement à l’interface de contact des pièces assemblées et ce quel que soit le type de chargement (effort en tension ou en compression). Le modèle VDI ne peut pas être appliqué à ce type d’assemblage à flexion prépondérante et chargement excentré. Il paraît naturel d’assimiler la pièce assemblée à une poutre fléchie.

Les simulations Eléments Finis 3D nécessitent un temps de calcul important (exemple : une heure de calcul pour le cas étudié ci-dessus), en plus du temps de préparation du modèle géométrique. Ceci implique de chercher un outil de calcul équivalent mais plus rapide et qui donne des résultats corrects et exploitables au niveau des bureaux d’études.

3.4 LIMITES DU MODELE ANALYTIQUE 3.4.1 Etude de cas Pour étudier et valider les résultats du modèle analytique présenté au chapitre II et développé pour un assemblage à une ou deux vis, on calcule pour un cas d’assemblage les contraintes normales et alternées et on les compare aux résultats issus des simulations en éléments finis. L’exemple choisi est celui dont on a présenté les résultats précédemment. L’assemblage a les caractéristiques suivantes : Dimensions géométriques :

t (mm) u (mm) v (mm) w (mm) hp (mm) 2a (mm) 20 25 25 55 20 40


___________________________________________________________________________ 41

Dt (mm) Vis Da (mm) As (mm2) ds (mm) 10,5 M10 17 58 8,593

Caractéristiques des matériaux :

Ep = Eb (MPa)

Ip (mm4)

Ib (mm4)

Sp (mm/N)

Sb1 (mm/N)

Sb2 (mm/N)

210000 26666,66 268 3,223E-07 2,10E-06 2,10E-06 Précontrainte appliquée aux vis : σ0 = 200 MPa 3.4.2 Analyse du problème de référence à une vis (calcul EF 3D)

On considère dans ce cas un assemblage à un seul boulon (boulon 1) et qui a les mêmes dimensions, le même type de vis et les mêmes conditions de serrage. En analysant les résultats numériques obtenus par éléments finis, pour le modèle à un boulon, nous observons sur la Figure 3.18, une évolution non linéaire de la contrainte normale (σy) dans la vis en tension et en compression, mais plus importante pour FE positif. Cette différence notable est due au fait que, dans le cas de FE négatif, l’extrémité du socle (au point P2 de la Figure 3.11), supporte l’effort de réaction et donc soulage les efforts dans la vis.

0

100

200

300

400

500

600

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

FE (N)

σY (MPa)

Tension-EF3DCompression-EF3D

Figure 3.18 : Evolution de la contrainte normale σy en fonction du chargement FE

Si en général les fixations par vis acceptent des contraintes statiques très élevées il n’en est pas de même pour des sollicitations en fatigue. Pour l’exemple étudié, les vis employées, (H M10, de qualité 8.8), ne permettent pas de dépasser un seuil limite de contrainte alternée de σS = 50 MPa.

Pour calculer un état de contrainte alternée, il est nécessaire de rechercher, pour une intensité d’effort FE, les valeurs extrêmes des contraintes associées à un cycle. La valeur minimale de la contrainte normale vaut σy0 = 200 MPa et est obtenue pour la valeur de l’effort de précharge Q. Pour un effort extérieur FE, la contrainte normale maximale (σy1) dans la vis est obtenue pour une sollicitation en tension (FE > 0), (Figure 3.19).


___________________________________________________________________________ 42

t FE > 0 FE < 0

2.σa2 2.σa1

σy1 (FE > 0)

σy2 (FE < 0)

σy0 (Q)

Figure 3.19 : Evolution de la contrainte alternée σa en tension et compression alternées

Si l’on trace sur un même graphique, Figure 3.20, la contrainte alternée pour les deux cas

de sollicitation, pris séparément, on remarque une évolution non linéaire des courbes. D’autre part, la courbe pour FE positif atteint le seuil de σS pour FE = 4150 N et la courbe pour FE négatif atteint le seuil pour FE = 6900 N. Pour l’exemple traité et en première approche, nous pouvons considérer que les conditions de tenue à la fatigue sont essentiellement dépendantes des conditions en tension (FE > 0). En toute rigueur, il faudrait considérer le cumul des dommages, à conditions de disposer de résultats d’essais en fatigue pertinents, ce qui est rarement le cas. Enfin, le comportement en contrainte des vis sera fortement dépendant des dimensions de la poutre, notamment de sa section. Cette remarque sera plus détaillée dans le prochain chapitre sur la partie expérimentale.

Pour le montage à une vis, les courbes de la Figure 3.20 montrent que les contraintes alternées calculées à partir du modèle analytique sont très proches de celles données par simulations en éléments finis tridimensionnels pour le cas d’un chargement en tension. En compression les deux modèles ne représentent pas le même comportement. On constate que la progression de la courbe analytique pour FE positif est bien meilleure que pour FE négatif.

Pour la sollicitation de compression, la courbe du modèle analytique est proche d’une droite et présente un saut au début. Le comportement du modèle analytique dans ce cas n’est pas réaliste. Cela s’explique par l’absence de formulation adaptée des souplesses des zones de contact et en particulier par une mauvaise prise en compte de l’effet du coin de la pièce support.

0

50

100

150

200

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

FE (N)

σ a (MPa)

C-MA T-MA T-EF3DC-EF3D σs limite

C: compression (FE < 0) - T : traction (FE > 0) - MA: Modèle analytique - EF3D: Eléments Finis

Figure 3.20 : Evolutions de σa pour un montage à 1 vis (FE positif et négatif)


___________________________________________________________________________ 43

3.4.3. Comparaison calcul tridimensionnel (EF) / Modèle analytique à deux vis

Afin de valider le modèle analytique, nous examinons le cas d’un montage à deux vis pour les deux cas tension (FE > 0) et compression (FE < 0). Nous calculons par le programme, les contraintes dans les vis en considérant dans la zone d’appui une souplesse égale à celle obtenue par la simulation EF, soit SP = SP(EF) = 3,223.10-7 mm/N.

Pour le montage avec deux vis, le graphique de la figure 3.21 représente l’évolution des contraintes alternées pour les deux vis pour un assemblage en tension. Le modèle analytique en tension a le même comportement que le modèle en EF tridimensionnels et les résultats sont conformes pour les deux vis.

La deuxième vis joue un rôle de maintien de la structure et est peu sollicitée en fatigue. En plus d’une meilleure tenue en statique de l’assemblage, la deuxième vis soulage légèrement la première vis puisque la valeur de la contrainte alternée limite est obtenue pour l’effort FE = 4300 N (valeur supérieure à celle obtenue avec un assemblage à une vis). Pour des charges plus importantes, les contraintes alternées pour un assemblage à une vis sont supérieures à celles obtenues pour la première vis d’un assemblage de mêmes dimensions à deux vis. Ce résultat montre l’intérêt de la deuxième vis.

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

FE (N)

σ a (MPa)

vis 2-MA vis 1-MAvis 1-EF3D vis 2-EF3Dσs limite vis 1seul-EF3D

MA: Modèle analytique - EF3D: Eléments Finis 3D

Figure 3.21 : Résultats en tension (FE > 0) pour un montage avec 2 vis

Dans le cas d’un chargement avec FE négatif (Figure 3.22), les résultats numériques EF

montrent que les contraintes alternées sont importantes aussi pour la deuxième vis (à partir de FE = 6000 N). La vis 2 est bien sollicitée en fatigue. Les courbes sont non linéaires et évoluent progressivement.


___________________________________________________________________________ 44

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000

FE (N)

σa (MPa)

vis2-EF3D vis1-EF3D vis 1-MAvis 2-MA σs limite

MA: Modèle analytique - EF3D: Eléments Finis 3D

Figure 3.22 : Comparaison des résultats en compression (FE < 0) pour le montage avec 2 vis

Les valeurs obtenues par le programme (modèle analytique) montrent une surévaluation de la contrainte pour la vis 1. On remarque un saut de contraintes pour des charges faibles, cependant, pour des efforts de FE élevés les écarts sont plus faibles. Les contraintes alternées données par le programme sont très petites, le rôle de la vis 2 n’est pas mis en évidence par le modèle analytique. Les résultats du modèle en compression ne sont pas réalistes ni conformes aux résultats des simulations EF.

Le contact entre pièce évolue en fonction de la charge appliquée à l’assemblage. Il est étendu sur la zone d’appui pour l’état précontraint (Figure 3.23a). Pour un chargement progressif positif de FE, cette pression de contact se déplace vers la vis 2 et reste localisée essentiellement autour de cette vis lorsque les charges sont importantes (Figure 3.23b). Même si cette zone est réduite, les conditions d’adhérence restent stables. Pour un chargement extérieur négatif (Figure 3.23c), l’extrémité de la zone d’appui est très sollicitée. Pour ce type de chargement, l’effet de levier peut rendre l’équilibre du système fragile puisque les pressions de contact sont faibles, pour les zones encore actives. Dans le modèle analytique, on réduit le contact entre pièces en des appuis élastiques concentrés en un ou deux points, c’est une modélisation insuffisante du contact, particulièrement en compression.

a

b c

Figure 3.23 : Répartition de la pression de contact (en MPa) au niveau du socle : (a) état précontraints de 200 MPa ; (b) FE =15 000 N ; (c) FE =-20 000 N.


___________________________________________________________________________ 45

3.5. CONCLUSION

Cette étude comparative, entre les modèles analytiques, à une ou deux vis, et les EF, montre une bonne convergence des résultats en tension.

Pour la tension, s évolue progressivement et le résultat semble logique et représente correctement la réalité. Par contre pour la compression, l’évolution n’est pas progressive. Ce qui est surprenant c’est la variation de pente entre FE = 0 et 2000 N. Ce comportement ne semble pas réaliste et met en cause la pertinence du modèle.

En conservant la souplesse totale de la pièce (SPT = Sp_EF), et en considérant que SP = SP1 = SP2 = 0,5.SPT, on remarque qu’en compression on diminue de moitié le saut initial. Dans cette situation, la pente se retrouve légèrement plus faible. Ce qui montre que le modèle correct serait celui qui serait capable de bien gérer l’évolution et la précision des souplesses de contact.

Dans le cas où les deux vis travaillent en tension, les résultats du modèle analytique sont acceptables, mais nous ne pouvons pas évaluer analytiquement la souplesse de la pièce dans la zone de contact. Ceci limite l’exploitation du modèle. Pour le cas d’une fixation sollicitée en compression nous devons envisager de prendre en considération l’effet de bord au niveau du contact de la pièce avec le coin de son socle. Cette condition complique sérieusement une éventuelle amélioration du modèle analytique.

Le manque de formulation et de méthodes de calcul précises des souplesses des zones de contact, nous a conduit à développer un modèle plus sophistiqué et plus performant. Ce nouveau modèle numérique permet de suivre l’évolution du contact en fonction du chargement de l’assemblage. Il est développé et présenté en détail dans le chapitre V. Pour valider un tel modèle des résultats expérimentaux étaient nécessaires. Une étude expérimentale a été réalisée et elle est présentée dans le chapitre suivant.

___________________________________________________________________________ 47

Chapitre IV :

ETUDE EXPERIMENTALE

La modélisation analytique de l’assemblage à deux boulons a donné des résultats qui sont proches de la réalité en comparaison avec une modélisation éléments finis 3D, pour un assemblage en tension. Cependant, elle reste insuffisante à cause de l’absence de gestion correcte de l’évolution des raideurs de contact. Notamment, le cas du chargement en compression ne reflète pas le comportement obtenu en EF.

Pour remédier à ce problème nous avons envisagé de développer un modèle numérique simplifié, plus présentatif de la réalité. D’autre part, ce nouveau modèle apportera des informations pertinentes comme l’identification des zones de contact et de décollement.

Comme nous l’avons évoqué dans le chapitre I sur l’état de l’art, il existe peu d’informations ou de résultats sur des structures sollicitées par des chargements fortement excentrés en tension et/ou en compression.

Nous proposons, dans ce chapitre, une approche expérimentale qui permettra d'analyser les conditions dans lesquelles travaillent les vis d’un assemblage excentré. Ce travail servira de référence pour valider les simulations EF et, par la suite, le modèle numérique simplifié. Nous nous appuierons sur ces essais pour identifier des paramètres de calage au niveau des raideurs de contact et pour les exploiter d’une manière plus générale.

Il s’agit donc de déterminer expérimentalement la variation des efforts et des moments de flexion dans les boulons d’assemblage, qui sont montés précontraints et sollicités par un chargement excentré. Ceci est possible en mesurant les déformations sur les tiges des vis au moyen de jauges de déformation. Nous présentons d'abord le dispositif expérimental que nous avons réalisé. Il s'agit d’un assemblage symétrique à quatre boulons, instrumentés, sollicité en tension ou en compression au moyen d'une machine d'essais hydraulique. Nous détaillons aussi l'instrumentation de ces montages : jauges de déformation, boîtier et logiciel d'acquisition des données. Nous exposons ensuite la procédure que nous avons suivie pour réaliser un essai, et les traitements appliqués sur les données mesurées, en vue d'en extraire les informations qui nous ont paru significatives comme les contraintes, la déformation du coin,...

4.1 ASSEMBLAGE ETUDIE

C’est un assemblage symétrique à 4 boulons identiques M10 Q8.8 conçu pour étudier un assemblage à 2 boulons. Il permet d’appliquer des efforts de traction ou de compression.

Figure 4.1 : Assemblage symétrique à 4 boulons

Chapitre IV Etude expérimentale __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 48

Poutre : Socle : t u m = v + w

hP

2a

Φ11

Lt = 2.(t + u + m)

Φ11

t u v

hS

2a

Figure 4.2 : Paramètres géométriques de l’assemblage

4.2 ESSAIS REALISES 4.2.1 Méthode des plans d’expériences

L’apport de la technique des plans d’expériences est de minimiser le nombre d’essais (plan factoriel) et surtout de permettre une meilleure interprétation des résultats obtenus tout en fournissant un modèle expérimental du phénomène étudié. Cette technique est apparue avec la méthode proposée par Fischer [18], elle est appliquée dans tous les domaines de l’industrie, en agronomie, médecine et dans les secteurs mécaniques (Kuehl [36], Montgomery [47], Daidié et al. [13], Gitlow et al. [22]). Sa formulation la plus aboutie est due à Taguchi ([58], [59], [60]).

Dans un plan d'expériences, plusieurs facteurs sont modifiés d'une expérience à l'autre selon une règle précise. Ainsi, cette particularité permet d'obtenir la meilleure précision possible dans les résultats cherchés. L’application de la méthode des plans d’expériences à l’assemblage permet d’étudier le comportement réel de l’assemblage fileté, en particulier les vis. Elle permet d’analyser l’effet des différents paramètres (Ep, u, v, b, hp, …) sur les contraintes alternées dans les deux vis de fixation.

4.2.2 Choix d’un plan d’expériences mixte (voir Annexe III)

Pour choisir un plan d’expériences adapté au problème étudié nous avons procédé comme suit :

Objectifs d’application du plan d’expériences :

- Valider le comportement et les résultats des modèles développés ou utilisés pour étudier un assemblage à deux boulons.

- Connaître l’influence des différents paramètres de l’assemblage sur le comportement de chaque vis (effet sur la contrainte alternée).

- Déterminer une formulation approchée des coefficients de calage destinés au modèle numérique simplifié (chapitre V suivant).

Définition des facteurs et de leurs niveaux : Nous avons choisi les paramètres géométriques qui influent le plus sur le comportement

des vis (u, v, b, hp). L’excentration w n’est pas choisie par ce qu’elle influe plus sur la flexion de la pièce assemblée, il suffit de faire varier v. Pour chaque paramètre géométrique, il faut au


___________________________________________________________________________ 49

moins choisir trois valeurs suffisamment éloignées (3 niveaux) pour étudier les variations non linéaires du comportement de l’assemblage. Les matériaux des pièces assemblées les plus utilisés sont l’acier et l’aluminium. Le module d’élasticité longitudinal (EP) agit sur la déformation élastique des pièces. On lui donne deux valeurs (2 niveaux) associées au choix du matériau. La pièce support n’est généralement que peu sollicitée en flexion. Il suffit donc de choisir une hauteur constante (hS = 10 mm) pour la pièce support. Finalement, on doit donc choisir un plan d’expériences qui comprend cinq facteurs à trois niveaux et un facteur à un niveau, Tableau 4.1.

Facteurs Description Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 A Ep (MPa) 74000 210000 --------- B u (mm) 25 35 45 C v (mm) 10 20 25 D b (=2a) (mm) 20 30 40 E hp (mm) 13 16 20

Tableau 4.1 : Choix des facteurs et des niveaux

La précontrainte n’a pas été prise comme un paramètre variable, pour l’étude expérimentale. Ce choix provient des conditions de serrage à satisfaire pour couvrir tous les cas d’essais du plan. En particulier, lorsque l’excentration est importante avec une poutre en aluminium, il est nécessaire d’appliquer une précontrainte assez faible (Q = 200 MPa), pour éviter de plastifier la pièce avant de pouvoir récupérer des déformations significatives et exploitables dans les vis. Par contre, lorsque les simulations numériques seront corrélées avec les cas expérimentaux, il sera possible de simuler d’autres valeurs de précontraintes et de lancer de nouveaux plans d’expériences numérique.

Construction du plan

Cette étape définit les différentes combinaisons du plan à retenir. Pour un plan complet il faudrait étudier 2x3x3x3x3 = 162 combinaisons. Le logiciel de plan d’expériences BPEW [8] dispose d’un outil d’assistance au choix de plan d’expériences. Pour cette étude, on a recherché le plan qui correspond au minimum d’essais, c’est un plan d’expériences mixte qui comprend seulement 18 combinaisons parmi 162 (comme le montre la Figure AIII.3 de l’Annexe III).

Il s’agit donc de réaliser 18 assemblages à 4 boulons et les essais correspondant aux résultats des essais en tension (FE > 0) et en compression (FE < 0), seront exploités et comparés à ceux issus du modèle numérique et des simulations en EF 3D.

4.2.3 Assemblages réalisés

Nous avons fabriqué 18 assemblages (9 en Aluminium et 9 en Acier) destinés à réaliser un plan d’expériences mixte. Les matériaux employés sont un alliage d’aluminium EN AW-2017 [ AlCu4MgSi ] et acier non allié C 35.

Associés à ces assemblages, nous avons également réalisé des outillages qui permettent de solliciter le montage soit en compression, soit en tension. Cet outillage a conditionné le choix des dimensions géométriques afin que les poutres résistent aux sollicitations qui seront appliquées à partir de la machine d’essais.

Les valeurs des paramètres sont données par le Tableau 4.2. Les pièces et les essais sont réalisés au Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT).


___________________________________________________________________________ 50

Poutre Socle

N° Lt u v 2a hp Mat Ls u v 2a Mat 1 250 25 10 20 13 Alu 55 25 10 20 Alu 2 250 25 20 30 16 Alu 65 25 20 30 Alu 3 250 25 25 40 20 Alu 70 25 25 40 Alu 4 270 35 10 30 20 Alu 65 35 10 30 Alu 5 270 35 20 40 13 Alu 75 35 20 40 Alu 6 270 35 25 20 16 Alu 80 35 25 20 Alu 7 290 45 10 40 16 Alu 75 45 10 40 Alu 8 290 45 20 20 20 Alu 85 45 20 20 Alu 9 290 45 25 30 13 Alu 90 45 25 30 Alu

10 250 25 10 20 13 Acier 55 25 10 20 Acier 11 250 25 20 30 16 Acier 65 25 20 30 Acier 12 250 25 25 40 20 Acier 70 25 25 40 Acier 13 270 35 10 30 20 Acier 65 35 10 30 Acier 14 270 35 20 40 13 Acier 75 35 20 40 Acier 15 270 35 25 20 16 Acier 80 35 25 20 Acier 16 290 45 10 40 16 Acier 75 45 10 40 Acier 17 290 45 20 20 20 Acier 85 45 20 20 Acier 18 290 45 25 30 13 Acier 90 45 25 30 Acier

Tableau 4.2 : Valeurs des paramètres géométriques des essais réalisés.

Le Tableau 4.3 présente les caractéristiques des boulons utilisés pour l’étude expérimentale.

Boulons Diamètre M 10 Classe de qualité 8.8 Longueur 60 Nombre 4 Matériaux Eb

Tableau 4.3 : Caractéristiques des boulons utilisés.

Le module d’élasticité Eb de chaque vis utilisée pour l’assemblage est déterminé expérimentalement au moyen d’un essai de traction simple (Tableau 4.5).

4.3 PRECONTRAINTES ET FORCES APPLIQUEES AUX ASSEMBLAGES

La précontrainte de serrage des boulons est prise toujours inférieure à la limite élastique du matériau des vis, tel que : σ0 = 30%Re avec Re = 640 MPa pour l’acier des boulons de qualité 8.8.

Pour un montage en ¼ pont, la contrainte et l’effort de serrage sont exprimés comme suit, en utilisant des jauges de déformation longitudinales (Annexe II) :


___________________________________________________________________________ 51

Contrainte de serrage :

g db0

4.E Δ +Δσ = ( )1000.K 2

(4-1)

Effort de serrage :

s g db4.E .A Δ +ΔQ= ( )1000.K 2

(4-2)

Avec : Δg (mV/V) : lecture sur la jauge de gauche de la vis ;

Δd (mV/V) : lecture sur la jauge de droite de la vis ;

As = 58 mm2 : Section du filetage des vis ;

K = 2.11 : Facteur de jauge ;

Eb : Module d’élasticité de la vis (Tableau 4.5).

Par exemple, pour un module d’élasticité longitudinal des vis utilisées de valeur moyenne Eb = 210 000 MPa, la contrainte et l’effort de serrage sont donnés par :

g d0

Δ +Δσ =398.104( )2

(4-3)

g dΔ +ΔQ=23090.047.( )2

(4-4)

Pour Δg + Δd = 1, on a σ0 = 199.052 MPa soit 31.1% de la limite élastique de la vis. La valeur de la précharge appliquée sur chaque boulon est de : Q = 11545 N

On a choisi pour les essais une précontrainte des vis de 200 MPa. Ce choix se justifie par le fait que pour les essais avec des pièces en Aluminium on ne risque pas d’avoir une déformation plastique des pièces serrées, lors du chargement extérieur. Cette valeur de précontrainte permet de solliciter l’assemblage avec des charges importantes tout en restant dans le domaine élastique des vis employées. Pour serrer les quatre vis d’assemblage à 200 MPa, nous avons utilisé le logiciel CATMAN ce qui a nécessité d’installer les bonnes

valeurs du coefficient de proportionnalité ( b4.E1000.K

) en fonction de la valeur réelle du module

d’élasticité Eb.

Les forces appliquées expérimentalement dans chaque cas sont données dans le Tableau 4.4.


___________________________________________________________________________ 52

Matériau et

nombre d’essais

N° essai selon la numérotation du plan

d’expériences

Plage de force machine

Fmachine (N)

Matériau et nombre d’essais

N° essai selon la numérotation du plan

d’expériences

Plage de force machine

Fmachine (N)

1t (Tension) 0 à 5724 10t (Tension) 0 à 9452 1c (Compression) 0 à 11472 10c (Compression) 0 à 17036 2t (Tension) 0 à 6272 11t (Tension) 0 à 16768 2c (Compression) 0 à 40000 11c (Compression) 0 à 39428 3t (Tension) 0 à 13140 12t (Tension) 0 à 18644 3c (Compression) 0 à 40000 12c (Compression) 0 à 54084 4t (Tension) 0 à 11400 13t (Tension) 0 à 18692 4c (Compression) 0 à 40000 13c (Compression) 0 à 45380 5t (Tension) 0 à 9392 14t (Tension) 0 à 16792 5c (Compression) 0 à 29428 14c (Compression) 0 à 56384 6t (Tension) 0 à 7564 15t (Tension) 0 à 9616 6c (Compression) 0 à 22644 15c (Compression) 0 à 26524 7t (Tension) 0 à 11312 16t (Tension) 0 à 18772 7c (Compression) 0 à 26604 16c (Compression) 0 à 39812 8t (Tension) 0 à 8552 17t (Tension) 0 à 8000 8c (Compression) 0 à 32000 17c (Compression) 0 à 32000 9t (Tension) 0 à 7520 18t (Tension) 0 à 14964

Aluminium 18 essais

9c (Compression) 0 à 26748

Acier 18 essais

18c (Compression) 0 à 36320

Tableau 4.4 : Forces maximales de chargement des assemblages dans chaque essai

4.4 DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX

4.4.1 Machine d’essais

Une machine hydraulique Schenck Hydropuls PSB 100 est utilisée pour réaliser des essais de traction et de compression sur les assemblages boulonnés, (Annexe I). La machine peut être pilotée en déplacement ou en force.

Dans notre cas, on applique une rampe de force qui varie de 0 à la valeur maximale Fmax supportée par l’assemblage avec une vitesse de 0.5 kN/s. L’effort machine Fmax à appliquer sur un assemblage dépend de la géométrie et des matériaux utilisés. Cet effort ne doit provoquer aucune déformation plastique des éléments de l’assemblage.

L’asservissement de la machine devra fournir l’effort nécessaire pour respecter au plus juste la consigne de position, sous réserve de ne pas dépasser la capacité de la machine (effort maximum +/- 100 kN). L’interface informatique de la machine permet de définir quelques paramètres de sécurité pour le bon fonctionnement, comme des limites de surveillance du déplacement ou de la force. Pour faciliter le pilotage de l'essai , l'acquisition des données et éviter de perdre des informations, on lance l’application de l’effort machine ainsi que l’acquisition des données simultanément.

4.4.2 Préparation des pièces pour un plan d’expériences mixte

Les pièces en Aluminium sont numérotées de 1 à 9 et les pièces en aciers sont numérotées de 10 à 18. On utilise les quatre mêmes boulons pour les 18 assemblages (Figure 4.3).


___________________________________________________________________________ 53

Figure 4.3 : Assemblages symétriques à 4 boulons

4.4.3 Instrumentation des vis par des jauges de déformation

La vis munie de jauges de déformations est représentée sur la Figure 4.4. Elle permet de mesurer au moment du serrage de la vis, la précharge (tension initiale), puis l'évolution de cette tension au cours de l'essai. On mesure également l'évolution du moment de flexion.

Jauges de déformation

Rétrécissement de la tige pour le collage des jauges

Figure 4.4 : Vis H M10 instrumentée

La Figure 4.5 montre les modifications apportées à une vis normale M10 de pas de filet 1.5

mm et de 60 mm de longueur. Une partie de la tige a été usinée de manière à dégager un espace suffisant entre la tige et l’alésage, pour permettre le collage des jauges, la soudure des fils de liaison et le passage de ces fils sans qu’ils viennent en contact avec l’alésage. On a laissé près de la tête une partie non usinée de manière à centrer la vis dans son alésage.

Détail d’une plaquette-relais

Support isolant

Film cuivre

Trou de passage des fils des jauges

Plaquette-relais collée sur la tête Câbles de connexion

Jauge de déformation

Amincissement de la vis

Fil rigide pour le maintien des connexions

Figure 4.5 : Implantation des jauges et fils de liaison


___________________________________________________________________________ 54

Trois jauges simples g, d, m sont collées sur la partie amincie de la tige, figure 4.6. Elles mesurent la déformation parallèlement à l’axe de la vis ; elles sont positionnées, autour de cet axe, à 90° l’une de l’autre de façon à indiquer à la fois l’effort de traction et le moment de flexion dans la tige. Les fils de raccordement de ces jauges passent dans des trous percés à travers la tête et débouchant sur la partie amincie. La liaison avec les câbles de connexion aux ponts de mesure est assurée par des plaquettes-relais collées sur la tête de la vis. Sur ces plaquettes on vient souder à l’étain les fils des jauges d’un côté, et les câbles de connexion de l’autre côté.

g, d et m : jauges de déformation longitudinales

d

g

Tige de la vis

m

Figure 4.6 : Emplacement des jauges sur la tige amincie

4.4.4 Dispositifs d’application des efforts sur les assemblages

Nous avons conçu deux dispositifs expérimentaux destinés à solliciter l’assemblage boulonné suivant l’axe de la machine.

Montage de tension de l’assemblage : On utilise deux rotules (logées dans deux boites fixées sur les mors de la machine) pour ne

pas appliquer des moments extérieurs sur l’assemblage dû au désalignement des axes de traction, Figure 4.7.

Figure 4.7 : Montage assemblage en tension


___________________________________________________________________________ 55

Montage de compression de l’assemblage : On utilise deux rotules pour avoir des moments extérieurs nuls sur l’assemblage, comme

l’indique la figure 4.8.

Figure 4.8 : Montage assemblage en compression

La façon de placer les rotules ainsi que le dispositif d’installation de précontraintes sont

expliqués dans l’Annexe I. Le suivi des mesures en temps réel est assuré par le logiciel CATMAN (Annexe I). A la fin de l’essai on enregistre les résultats sur un fichier en format ASCII pour avoir un fichier de données (.dat) qui sera récupéré et traité sur un tableur.

4.5 DEPOUILLEMENT DES RESULTATS EXPERIMENTAUX

4.5.1 Résultats expérimentaux bruts

Pour chaque essai de tension ou de compression, on enregistre les mesures des jauges installées sur les 4 vis et aussi les mesures des capteurs de forces et de déplacements aux points d’application du chargement. L'instrumentation de ces assemblages comprend des jauges de déformation positionnées sur la partie réduite des vis. Chaque vis comporte trois jauges disposées à 90°, (Figure 4.9). Les jauges JGi et JDi sont placées dans le plan de flexion. Les jauges JMi, associées aux deux autres, permettent d’identifier le plan réel de flexion de chaque boulon et de vérifier qu’il est bien confondu avec le plan des jauges JGi et JDi. L’instrumentation des vis 1’ et 2’ permet une vérification de la symétrie.

JM2

JG2 JD2

JM1

JG1 JD1

JM1’

JG1’ JD1’

JM2’

JG2’ JD2’

FE

2a

L

±FE

hp

u vNiveau

des jauges

±FE

Figure 4.9 : Disposition symétrique des jauges sur les 4 vis d’assemblage


___________________________________________________________________________ 56

Dans la suite, nous nous intéressons aux indications des jauges de gauche et de droite pour chaque vis, ces mesures servent à déterminer les contraintes normales dans chaque vis pour un chargement donné. La mesure de la jauge de milieu sert à vérifier que la flexion de la vis est dans le plan médian de l’assemblage.

4.5.2 Calcul des contraintes à partir des lectures sur les jauges

Pour chaque essai de tension ou de compression, on calcule les contraintes normales

associées à chaque jauge longitudinale : b

ii4.E

σ =( )Δ1000.K

(4-5)

Avec :

Δi (mV/V) : Lecture sur la jauge i de la vis j. Eb : Module d’élasticité longitudinale des vis. La valeur réelle pour chaque vis est donnée

dans le tableau 4.5. K = 2.11 : Facteur de jauge (± 1%), ce facteur reste presque constant.

Le coefficient de proportionnalité entre la contrainte normale et la lecture d’une jauge dépend de la valeur du module d’élasticité de la vis et du facteur de jauge. Comme ces coefficients varient plus ou moins d’une vis à l’autre, nous avons déterminé le coefficient de proportionnalité expérimentalement au moyen d’un essai de traction axiale pure pour chaque vis. Le Tableau 4.5 présente ces différentes valeurs qui dépendent du module d’élasticité longitudinal de chaque vis.

N° vis d’essai

N° sur figure 4.11 V1 (2)

V2 (1)

V3 (1’)

V4 (2’)

Eb (MPa) (expérimental) 181681,55 176353,8 199848,65 186618,95

4.1000.

bEK

344.42 334.32 378.86 353.78

Tableau 4.5 : Valeurs du coefficient de proportionnalité entre contrainte normale et lecture des jauges pour les 4 vis employées pendant les essais.

Pour chaque vis on utilise le coefficient convenable pour installer la précontrainte. On

installe pour chaque essai la même précontrainte. Ces coefficients sont aussi utilisés pour le calcul des contraintes normales pour chaque vis. 4.5.3 Contraintes normales gauches et droites de chaque vis

Après traitement des données numériques de chaque essai, nous obtenons les courbes de contraintes normales gauches et droites des quatre vis de l’assemblage. On présente à titre d’exemple l’allure des courbes pour les 4 vis de l’assemblage 12, en tension (Figure 4.10) et en compression (Figure 4.11).


___________________________________________________________________________ 57

Contraintes normales gauches et droites dans les 4 vis d'assemblage

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

FE (N)

σ (MPa)

Vis2D Vis2G Vis1D Vis1G

Vis1' D Vis1' G Vis2' D Vis2' G

Figure 4.10 : Assemblage en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est de FE=Fmach/2).

Contraintes normales gauches et droites dans les 4 vis d'assemblage

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 3076 6056 8832 11558 14282 16996 19710 22408 25088

FE (N)

σ (MPa)


Vis1' D Vis1' G Vis2' D Vis2' G

Figure 4.11 : Assemblage en compression (Essai 12 Compression, avec précontrainte

Q = 200 MPa. La force machine est de FE=Fmach/2). Les courbes (1,1’) et (2,2’) sont voisines et ont la même allure. L’écart peut être dû à

l’erreur de position des vis et des jauges associées ou à un moment parasite de désalignement des axes d’application de force machine, comme l’explique le paragraphe suivant. Un essai est accepté si l’écart entre deux vis symétriques est faible. 4.5.4 Causes possibles de différence de contraintes entre vis symétriques

Les courbes de variation des contraintes pour deux vis symétriques présentent un écart

dans les cas suivants : - Erreur de position des vis et leurs jauges avant le serrage ; - Présence d’un moment parasite de désalignement des axes d’application de la force

machine.


___________________________________________________________________________ 58

La Figure 4.12 représente l’assemblage quand il y a un défaut de perpendicularité entre l’axe d’application de la force machine et les pièces assemblées. Si l’axe est de longueur l et d’inclinaison ψ, on applique sur l’assemblage en plus de la force machine (Fmach), un moment extérieur Mmach tel que :

Mmach = Fmach . l . sin ψ (4-6)

A cause de cette configuration le côté gauche sera soulagé (diminution de contrainte ou contrainte alternée négative) au cours du chargement, par contre le côté droit sera surchargé par un moment :

machE

M M =

2 (4-7)

Fmach

Fmach

Rotule

Vis de gauche (1,2) sous chargées

Vis de droite (1’, 2’) surchargées

1 2 1’ 2’

l ψ

Figure 4.12 : Etat du montage avant l’application de la force machine.

L’inclinaison ψ peut être due à : - L’implantation du filetage ; - L’inclinaison de l’axe par rapport à son embase.

Un contrôle métrologique du montage sur la machine de traction a détecté une erreur angulaire inférieure à 1 degré. On considère que l’angle d’inclinaison est faible donc le moment ME est négligeable. D’autre part, lors du chargement, le système va s’éloigner et la faible rigidité en flexion des axes, au regard de l’assemblage, va compenser les défauts d’alignement. 4.5.5 Passage d’un assemblage à 4 vis à un assemblage à 2 vis

On profite ici de la symétrie de l’assemblage pour réduire l’erreur moyenne réelle en utilisant la valeur moyenne entre deux jauges symétriques appartenant à deux vis symétriques. Ce calcul donne les valeurs des jauges d’un assemblage à deux vis, compatible avec la définition du modèle numérique étudié. Nous obtenons ensuite les contraintes normales de gauche et de droite pour chacune des deux vis.


___________________________________________________________________________ 59

Contraintes normales gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage : Les courbes de contraintes normales gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage

(cas du modèle numérique) sont données par la moyenne entre deux vis symétriques. On présente les résultats pour l’assemblage 12 : en tension (Figure 4.13) et en compression (Figure 4.14).

Contraintes normales gauches et droitesdans 2 vis d'assemblage

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

FE (N)

σ (MPa)


Figure 4.13 : Assemblage à deux vis, en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte

Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).

Contraintes normales gauches et droitesdans les 2 vis d'assemblage

0

100

200

300

400

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

FE (N)

σ (MPa)


Figure 4.14 : Assemblage à deux vis, en compression (Essai 12 Compression, avec

précontrainte Q = 200MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).

Contraintes alternées gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage :

Les courbes de contraintes normales gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage sont déduites des variations des contraintes normales relatives. On reprend le cas de l’assemblage 12 : en tension (Figure 4.15) et en compression (Figure 4.16).


___________________________________________________________________________ 60

Contraintes alternées gauches et droitesdans 2 vis d'assemblage

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2000 4000 6000 8000 10000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 1D Vis 1G Vis 2D Vis 2G

Figure 4.15 : Assemblage à deux vis, en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).

Contraintes alternées gauches et droites

dans 2 vis d'assemblage

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

FE (N)

σ a (MPa)


Figure 4.16 : Assemblage à deux vis, en compression (Essai 12 Compression, avec précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).

Contraintes alternées maximales des deux vis d’un ½ assemblage :

La suite de l’étude consiste à anticiper le comportement de la tenue à la fatigue à partir des contraintes alternées calculées sur chaque vis. Des précédentes courbes de contraintes alternées gauches et droites on ne retient que les contraintes alternées maximales sur chaque vis d’un ½ assemblage en tension (Figure 4.17) et en compression (Figure 4.18).


___________________________________________________________________________ 61

Contraintes alternées maximalesdans 2 vis d'assemblage

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2000 4000 6000 8000 10000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2 Vis 1

Figure 4.17 : Assemblage à deux vis, en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).

Contraintes alternées maximalesdans les 2 vis d'assemblage

0

5

10

15

20

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2 Vis 1

Figure 4.18 : Assemblage à deux vis, en compression (Essai 12 Compression, avec précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).

4.6 CONCLUSION

Cette étude expérimentale a permis de dégager différents résultats pour 36 essais (18

montages sollicités en tension et compression). Pour chaque essai, on dispose d’un fichier brut de données. Ces données ont été utilisées et traitées pour calculer différents résultats concernant les vis d’assemblage (forces appliquées, déplacements, flèches, contraintes normales, contraintes alternées, …).

___________________________________________________________________________ 63

Chapitre V :

MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE

D’UN ASSEMBLAGE A DEUX BOULONS

Nous proposons dans ce chapitre un modèle numérique simplifié permettant d'aborder le

problème d’assemblages à deux éléments filetés disposés en « Tandem » au stade du bureau d'études. L’assemblage modélisé est conforme à celui étudié précédemment. Dans le cadre de la théorie des poutres, nous avons discrétisé l’assemblage en éléments finis unidimensionnels. Le maillage est constitué par des éléments poutres à trois degrés de liberté par nœud (le déplacement axial, la flèche et la rotation). La zone de contact est modélisée par une suite d’éléments ressorts à deux nœuds. Chaque élément de contact est construit par regroupement de deux nœuds homologues. Chaque boulon ou vis est modélisé par une poutre dont le plan d’appui de la tête adhère sur la face supérieure de la pièce. Pour que la poutre puisse fléchir naturellement sans pénétration, il est légitime d’intercaler une fondation élastique entre la fibre moyenne et le support rigide. L’originalité de cette partie réside dans l’élaboration d’un modèle simple et dans la mise en place d’une technique de calcul itérative de la matrice de rigidité du contact, qui varie en fonction du chargement.

5.1 PRESENTATION DU MODELE

On s’intéresse au modèle paramétré comportant 2 vis identiques. Ces fixations maintiennent une poutre de section rectangulaire (2a x hP), sur un support considéré rigide (Figure 5.1a). On admet que la rigidité en flexion ainsi que la raideur des pièces assemblées restent constantes et que les efforts sont situés dans le plan de symétrie de l’assemblage. On considère que la rigidité en flexion de la pièce est plus importante que celle des vis. On adopte, pour les deux boulons, les mêmes caractéristiques géométriques et sous précontraintes respectives Q1 et Q2.

u v

w

t a

hP ±0.5FE

Vis 1

Vis 2 ±ME

Elément ressort

k

Corps rigide

Elément poutres

Q2 Q1

±FEEléments poutres B2

C L2

B1

L1

Nœud principal

Nœud intermédiaire

C’

B

D’

E2 E1

A

x

y

(±ME)

a : Modèle éléments finis 3D b : Modèle numérique simplifié

Figure 5.1 : Assemblage symétrique par deux boulons en « Tandem » sollicité en tension et/ou en compression par des charges situées dans le plan des axes des vis.

Le modèle paramétré en éléments finis tridimensionnels (Figure 5.1a), avec prise en compte du contact, nous a permis de calculer les suppléments d'effort et de moment pour différents cas de précontraintes et de chargements. Il nous a également permis d’identifier le décollement dans la zone de contact, à l’interface des pièces.

La modélisation de la Figure 5.1b consiste à discrétiser l’assemblage en éléments finis unidimensionnels et à intercaler des éléments de contact entre pièces. Les chargements sont réalisés par une force verticale FE et par un éventuel moment ME. Dans le cadre de cette étude

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 64

de calage avec l’expérimentation, on définit, au point A, une condition de rotation nulle (θE = 0) autour de l’axe z afin de matérialiser le plan de symétrie du chargement de part et d’autre des vis (Figure 5.2). Cette situation est conforme à celle de l’assemblage symétrique à quatre boulons utilisé pour les essais.

[P1]

[P2]

t u v w

hs/2 hp

2a ±±FFEE

±±θθEE

Lt = 2(t + v + v + w)

Figure 5.2 : ¼ de l’assemblage expérimental

Les éléments constitutifs du modèle simplifié de l’assemblage sont :

Eléments poutres (pièce CA) : Leur raideur en flexion est identique à celle de l'élément de la pièce prismatique. Dans le modèle simplifié, nous avons tenu compte des trous de passages des vis sur les pièces et du trou taraudé pour l’application des charges, en accord avec le montage expérimental. Un trou est modélisé par des éléments poutres successifs dont la largeur varie en escalier (Figure 5.3). La pièce réelle et la pièce modèle sont équivalentes en rigidité de flexion. Pour le modèle simplifié, on considère une ½ pièce (symétrie du montage).

≡Pièce Modèle

Figure 5.3 : Modélisation des trous en éléments poutres successifs.

Eléments poutres B1L1 et B2L2 : B1L1 et B2L2 modélisent les zones de la pièce assemblée qui sont comprimées entre le niveau d’application de l’effort extérieur FE et les têtes des boulons. Chaque élément poutre à une section équivalente AP qui peut être déterminée par un des modèles existants : Modèle VDI 2230 [67] ou le Modèle de Rasmussen [51] ou la modélisation du LGMT [2], [3]. Les deux nœuds de chaque poutre (BiLi) sont liés en rotation pour matérialiser le fait que les têtes des vis suivent la déformée de la pièce.

LiBi θθ = (5-1)

Eléments poutres (boulons B1E1 et B2E2) : Chaque boulon est modélisé par un élément poutre à deux nœuds (Figure 5.4-a), en lui affectant une matrice de rigidité particulière. Chaque nœud comporte trois degrés de liberté u, v, θ (allongement, flèche et rotation). Le découpage en plusieurs éléments n'est pas nécessaire, les déplacements aux extrémités permettent de calculer les contraintes dans chaque section, c'est-à-dire pour nous, l'effort axial FB et le moment de flexion MFB pour chaque boulon. La matrice de rigidité intègre la même


___________________________________________________________________________ 65

raideur axiale en traction que le boulon réel de section équivalente Abi. La raideur de flexion est calculée à partir d’une valeur Ibi équivalente qui intègre la forme du boulon (Figure 5.4-b).

hb y

x o

u j

v i

v j θ j

θ i i

j

ui

2

Diamètre équivalent DPi

l s +

αG

Md

l 0 +

0.4.

d d

ds

l s l 0

d

ds

Calcul de Abi Calcul de Ibi

As

A0

DPi

I0

Is

x

y

0

hP

hP

hs hb

1

d

Dt

a- Elément poutre à 2 noeuds b- Section et moment quadratique équivalents du boulon

Figure 5.4 : Modélisation du boulon en un élément poutre de longueur hb. Le calcul de la raideur axiale de compression du boulon intègre un coefficient (αGM = 0.8)

si la fixation est sur une pièce taraudée ou (αGM = 1.1) si l’assemblage est par vis-écrou, (VDI 2230 [65], [67], Alkatan [3], Fukuoka [19]). La section équivalente Abi est calculée en utilisant l’expression (5.2).

bbi

0 s GM

0 s

hA =

l +0.4d l +α d+A A

(5-2)

L’équation précédente est déduite de la relation suivante en considérant des souplesses axiales équivalentes :

0 s GM bBi

b 0 s b bi

l +0.4d l +α d h1δ = +E A A E A

⎡ ⎤≡⎢ ⎥

⎣ ⎦ (5-3)

Le moment quadratique équivalent, donné par l’équation (5-5) est calculé à partir de la souplesse équivalente de flexion, équation (5-4), qui est égale à la somme des souplesses de flexion des portions cylindriques de la vis.

0 s bFBi

b 0 s b bi

l l h1δ = +E I I E I

⎡ ⎤≡⎢ ⎥

⎣ ⎦ (5-4)

b 0 sbi

0 s s 0

h I II =

l I +l I (5-5)

b P sh =2h + h (5-6)

Pour le modèle numérique simplifié qui ne concerne qu’un quart de l’assemblage (Figure 5.2), le calcul des souplesses axiale et de flexion correspond à la moitié des valeurs obtenues et calculées pour un montage d’une hauteur totale de pièces serrées hb.

Pour le calage du modèle, par rapport à l’étude expérimentale, on place les vis en flexion pure. Ce choix évite d’introduire une erreur due à la position de la section dans laquelle sont lues les contraintes (modèle EF 3D). Les vis se déplacent librement suivant x aux points d'ancrage E1 et E2 pour satisfaire les conditions de mobilité imposées par les plans de symétrie [P1] et [P2] de la Figure 5.2. Le moment appliqué au boulon Bi est exprimé par la relation (5-7).


___________________________________________________________________________ 66

b biBi Bi

b

2E IMF θh

= (5-7)

Avec θBi : rotation de la tête Bi de la vis i (i = 1 ou 2).

Pour le cas d'un assemblage par vis, dans une pièce rigide, les points E1 et E2 sont considérés comme encastrés et les moments de flexion ne sont plus constants le long des vis. On peut les calculer facilement à l'aide des équations de la déformée des poutres :

MF'v'IE ibib = (5-8)

On désigne par σ01et σ02 les précontraintes de serrages des vis 1 et 2 correspondant à deux efforts Q1 et Q2. Sur les bases inférieures des boulons, on applique les déplacements imposés disp01 et disp02 qui modélisent les efforts de serrage. Dans notre cas, on peut en déduire les efforts axiaux FB1 et FB2 et les moments de flexion MFB1 et MFB2 respectivement dans la vis 1 et la vis 2. Ces informations sont capitales pour un dimensionnement en fatigue. En effet, entre l’état de précontrainte et l’état sous chargement on calcule les suppléments d’effort (ΔFBi) et de moment de flexion (ΔMFBi) dans le boulon i.

iBiBi QFΔF −= (5-9)

)(QMF)(FMFΔMF iBiEBiBi −= (5-10)

On en déduit la contrainte alternée (σa i) de chaque boulon par la relation (5-11), Junker [32], et on la compare à une valeur admissible σS préconisé par la norme E25-030 [15].

Sib

iBi

i

Bii a σ

I4dsΔMF

As2ΔFσ ≤

⋅⋅

+⋅

= (5-11)

Avec : dsi : diamètre de la section résistante de la vis. Asi : section résistante du filetage. Ibi : Moment quadratique de la section résistante de la vis i. σad : limite admissible en fatigue du matériau des vis.

Nœuds du socle C’D’ : Le segment C’D’ matérialise la base d'appui de la pièce. Il est composé d'éléments rigides "indéformables", puisque généralement les pièces supports sont plus rigides et plus épaisses que les pièces à attacher ou à assembler.

Eléments ressorts : Les éléments ressorts simulent l’élasticité de contact entre les deux pièces assemblées. On intercale une série de ressorts le long du contact, leur nombre évolue en fonction du décollement à l’interface de contact, donc en fonction du chargement extérieur de tension. Leurs raideurs sont distribuées proportionnellement à la surface théorique de contact représentée par chaque élément ressort. Ils sont associés à des éléments de frottement prenant en compte la zone d'adhérence. La contrainte normale à l’interface de contact (5-12) est calculée à partir des déplacements relatifs verticaux entre les nœuds de l’interface de contact et les nœuds correspondants de la ligne neutre de la pièce (CA). La contrainte tangentielle (5-13) est déterminée par la loi de frottement de Coulomb.

i nn

i

k .uσ

S= (5-12)


___________________________________________________________________________ 67

t nσ f.σ= (5-13)

Avec un , ut : déplacements normal et tangentiel à l’interface. σn , σt : contrainte normale et contrainte tangentielle à l’interface. Elles dépendent de la position du ressort i correspondant. ki : raideur ressort i . f : coefficient de frottement à l’interface.

Si l’on somme les raideurs ki de chaque ressort élémentaire, on détermine la couche élastique de raideur totale KT qui modélise le contact par la relation (5-14).

N

T ii=1

K = k∑ ; ii T

Sk = KS

et i-1 i+1i

X -XS = .2a

2 (5-14)

Avec : N : nombre total des ressorts de contact S : aire de la surface totale de contact à l’interface pièce-support. Si : aire de la surface de contact correspondant au ressort i situé à l’abscisse Xi.

Détermination des sections équivalentes Ap1 et Ap2 : Les sections équivalentes AP1 et AP2 représentent les zones de la pièce comprimée entre les têtes des vis i, (i = 1 ou 2) et la pièce support. Ces sections sont déterminées à partir de la méthode de Rasmussen [51] d’où sont issues les relations (5-15) et (5-16). Connaissant les dimensions des vis et des pièces assemblées, (Figure 5.5), cette méthode s’appuie sur des paramètres adimensionnels (5-17) dont le diamètre sous tête Da sert de référence.

hp

hs/2 Plan de symétrie

Vis 1 Vis 2

X

Y Zones en compression

∅3Da

z1z2

x1x2

b=2a

t u v w

Figure 5.5 : Application du modèle de Rasmussen à un assemblage prismatique à deux boulons.

Le modèle de Rasmussen appliquée aux zones 1 et 2 en compression sous les deux vis donne les expressions (5-15) et (5-16) des sections réduites adimensionnelles.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−++−+−= −

)DD2(12L1L0.35

tan1).D0.5()D(14πA

t2*

P12*

p2*

p*

1P1

2*t

2*P1

* (5-15)


___________________________________________________________________________ 68

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−++−+−= −

)DD2(12L1L0.35

tan1).D0.5()D(14πA

t2*

P22*

p2*

p*

1P2

2*t

2*P2

* (5-16)

Avec les paramètres adimensionnels suivants :

at

t* DD

D = ; aPp*

DL

L = ; a

1 PeqP1

*D

DD = ;

a2 Peq

P2*

DD

D = ; a2P1

P1*

DA

A = ; a2P2

P2*

DA

A = (5-17)

Da : diamètre des têtes des vis utilisées. Dt : diamètre des trous de passage des vis. Lp : hauteur totale de l’empilement des pièces tel que : LP = 2hP + hS

Lorsque l’on considère un empilage de pièces serrées LP, il convient de définir des limites géométriques à chaque section équivalente. Dans le cadre d’un assemblage prismatique, il n’existe pas de diamètre physique pièce DPi comme pour la Figure 5.4b. Aussi, on définit un diamètre de pièce équivalent fictif DPeq i qui prend en compte les dimensions locales de la pièce prismatique. Pour cette étude, on considère que les diamètres DPeq 1 et DPeq 2 sont fonctions des dimensions u, v, t, b et Da. On propose de déterminer les diamètres DPeq i selon les conditions géométriques suivantes :

- Si 3Da > b ; z1 = z2 = b ; Sinon z1 = z2 = 3Da ; - Si 1.5Da > v ; x1 = 1.5Da + v ; Sinon x1 = 3Da ; - Si 1.5Da > t ; x2 = 1.5Da + t ; Sinon x2 = 3Da ; - Si u<3Da ; x1 = x1 -1.5Da + 0.5u et x2 = x2 - 1.5Da + 0.5u ; Sinon x1 = x1 et x2 = x2 ;

Avec x1 et z1 : grandes dimensions de la surface d’intersection de l’interface de contact entre pièces et une surface circulaire de diamètre (3Da) d’axe celui de la vis 1.

x2 et z2 : grandes dimensions de la surface d’intersection de l’interface de contact entre pièces et une surface circulaire de diamètre (3Da) d’axe celui de la vis 2.

La quatrième condition caractérise l’interférence des deux zones comprimées sous têtes des vis. S’il existe une intersection des zones de compression, on répartit la partie commune sur les deux diamètres DPeq i. L’expression (5-18) de DPeq i servira à déterminer la section réduite adimensionnelle de Rasmussen AP i

*. De ces sections, on remonte aux sections des diamètres équivalents, c’est-à-dire Ap1 et Ap2.

2zxD ii

i Peq+

= (5-18)

Coefficient de répartition de raideurs : On désigne par REP le coefficient de répartition de raideurs entre les deux zones de pièce sous les têtes des deux vis et la couche élastique de contact située entre la ligne neutre de la pièce et son support. Il caractérise donc la distribution des raideurs entre les éléments poutres verticaux et les ressorts de contact. Comme dans la modélisation des raideurs dans un secteur de couronne de guidage qui a été étudiée par Vadean [63], [64].

La raideur de la relation (5-19) de la zone en compression de la pièce, de hauteur hP, se calcule à partir de la section équivalente APi. La relation (5-20) représente la raideur en compression équivalente (Kpéq) des deux zones comprimées entre les têtes des vis et la poutre.


___________________________________________________________________________ 69

Elle correspond à la somme des raideurs locales KPi. C’est cette raideur totale KT que nous allons affecter d’un coefficient de calage et distribuer tout le long du contact.

pPip

Pi h.AE

K = (5-19)

p2p1péq K K K += (5-20)

T

péq

KREP

K= (5-21)

Nous supposons que le coefficient REP reste constant pour tous les paramètres de géométrie et de matériaux de l’assemblage. Nous avons vérifié cette hypothèse expérimentalement et nous avons déterminé la valeur de ce paramètre de calage du modèle.

Déformation et rapprochement au coin du support : Dans le cas d’un coin vif, on a un matage de celui-ci qui s’arrondit. On tient compte de cette plastification locale en calculant un déplacement moyen de l’appui d’extrémité. On note Delta le déplacement vertical des pièces au contact pièce/coin de la pièce support, c’est donc le déplacement imposé au nœud B du modèle simplifié. Delta est certainement fonction des différents paramètres de l’assemblage (matériaux, géométrie, chargement), il dépend fortement de la géométrie du coin (vif ou arrondi), de la nature du contact (linéique ou non) et du champ de déformations élastiques qui en résulte. La formulation de Delta est présentée dans la section (5.2.3).

5.2 PROBLEME DU RAPPROCHEMENT DES PIECES AU COIN SUPPORT

5.2.1 Position du problème du coin support

Dans le cas d’un assemblage de pièces prismatiques par des éléments filetés, et quand il s’agit d’un chargement extérieur de compression, nous rencontrons le problème du contact entre une pièce prismatique chargée et le coin d’angle de la pièce support (Annexe IV).

Lorsqu’il y a contact sur un angle vif les contraintes locales sont très élevées (Annexe IV) et il y a un matage des pièces. Du point de vue des modèles en élasticité linéaire, ces déformations plastiques ne peuvent pas être prises en compte directement. Pourtant, la forme du contact local ne peut être négligée pour le calcul des variations d’efforts dans la vis. Nous allons donc déterminer expérimentalement la forme du coin plastifié (cylindre de faible rayon), et à partir de la formulation d’un problème de Résistance des Matériaux approché, nous recherchons le déplacement de la pièce, considéré comme une poutre, au droit de l’appui théorique situé à l’extrémité de la pièce support (Figure 5.9). Ce déplacement formulé en fonction de l’effort FE, est exprimé en fonction de l’action théorique en coin de pièce d’appui. Il est exprimé sous la forme d’une raideur locale d’appui que l’on réglera par un coefficient de calage α, déterminé expérimentalement. Cette approche a l’avantage de mettre en évidence les paramètres influents (au travers de la formulation du problème approché), ce qui devrait entraîner la détermination d’une valeur du paramètre de calage unique pour toutes les situations de pièces étudiées. L’autre intérêt de la procédure est de permettre une formulation simple du modèle paramétré en gardant le contact géométrique au coin théorique de la pièce d’appui ; la prise en compte de la déformation du coin se faisant à travers une raideur équivalente calculée analytiquement.

Dans le cadre des déformations élastiques, on a formulé analytiquement le rapprochement vertical des pièces assemblées autour du coin (Annexe IV). En analysant les formules


___________________________________________________________________________ 70

obtenues, on a conclu que sous un effort FC donné appliqué verticalement au coin les contraintes obtenues sont importantes et croissent rapidement lorsque l’on s’approche du coin vif. Ceci confirme qu’il y a vraisemblablement toujours une plastification locale du coin dès les premiers chargements de l’assemblage.

A travers un calcul en éléments finis tridimensionnel nous montrons, par un exemple d’assemblage (Figure 5.6), l’effet du coin d’angle sur l’état de déformation des pièces assemblées sous une charge de compression. Les contraintes sur le coin sont importantes et dépassent la limite élastique du matériau du support ce qui justifie également sa déformation plastique sous le chargement de compression.

Déformation du coin du support

FE

y

x

A

0

Figure 5.6 : Exemple d’assemblage en état de contraintes principales sous l’action d’une

force de compression FE = -80000 N et yA = 0.895 mm (cas de l’assemblage 18, chapitre IV). 5.2.2 Plasticité locale et formation d’un coin arrondi du support

Après chargement, l’angle vif du support devient un congé de rayon r. ce rayon dépend du matériau des pièces, de la largeur du profil et de la charge maximale qui a provoqué la plasticité du coin. A l’aide d’un projecteur de profil optique assisté par ordinateur, on a visualisé la forme des coins des assemblages expérimentaux, (Figure 5.7). On sélectionne plusieurs points sur le profil projeté du coin du support des pièces après essais. Le logiciel associé au projecteur de profil optique permet de lire directement les caractéristiques du profil mesuré (rayon, diamètre et coordonnées du centre). Pour l’exemple de la Figure 5.7, qui concerne un assemblage en aluminium, on obtient un rayon moyen de 0.43 mm.

Figure 5.7 : Détail de l’extrémité de la pièce d’appui après un chargement de compression

d’un assemblage en Aluminium.


___________________________________________________________________________ 71

Le tableau 5.1 résume les résultats des mesures pour 18 cas d’assemblages expérimentaux.

Cas Aluminium Rayon r (mm) Cas Acier Rayon r (mm) N° 1 0.309 N° 10 0.440 N° 2 0.387 N° 11 0.336 N° 3 0.320 N° 12 0.318 N° 4 0.439 N° 13 0.326 N° 5 0.318 N° 14 0.224 N° 6 0.389 N° 15 0.334 N° 7 0.352 N° 16 0.398 N° 8 0.420 N° 17 0.387 N° 9 0.314 N° 18 0.273

Moyenne 0.360 Moyenne 0.337 Tableau 5.1 : Valeurs des rayons des coins arrondis, pour les pièces supports utilisées dans

l’étude expérimentale.

NB : les valeurs des rayons ne correspondent pas à une même intensité de chargement.

Par exemple, pour les cas N° 8 et N° 17, représentés sur la Figure 5.8, les pièces ont les mêmes dimensions et sont fabriquées dans des matériaux différents. La différence, dans les formes des arrondis, est due au fait que les matériaux ont des comportements plastiques différents. On remarque que les valeurs du rayon de congé du coin des pièces supports ne sont pas très éloignées les unes des autres. Indépendamment du matériau et de la géométrie, la valeur moyenne du rayon est de r = 0.35 mm.

Pièce en Aluminium (× 40)

Assemblage N° 08 r =0.420 mm

Pièce en Acier (× 40)Assemblage N° 17

r =0.387 mm

Figure 5.8 : Rayon de congé obtenu après chargement des assemblages pour deux cas de matériaux et pour les mêmes dimensions avec un chargement Fmach =32000 N.

5.2.3 Formulation analytique du rapprochement Delta au coin sous chargement de compression Modèle de calcul


___________________________________________________________________________ 72

L’objectif de l’étude consiste à évaluer un déplacement local qui prendrait en compte le comportement élastique de la poutre (δ1) et un rapprochement élastique de contact (δ2). Le premier déplacement est obtenu par un calcul de résistance des matériaux, proche du point théorique B qui correspondrait à une valeur de flèche. Le deuxième déplacement est équivalent à un contact hertzien au point I de la Figure 5.9.

L’assemblage à deux éléments filetés, équivalent à un quart du montage expérimental, est en appui sur la pièce support et présente à son extrémité un coin arrondi de rayon r. Pour un état de chargement FE donné, le contact avec le coin se fait au point I. La perpendiculaire à la tangente en I, fait un angle θG avec la verticale, (Figure 5.9). On appelle B0’ le point correspondant au coin théorique non déformé et sa projection sur la ligne moyenne de la poutre non déformée est notée B0. Le point B matérialise la position du point B0 après déformation sous l’effet du chargement FE.

G

N

B

θG

I

r

B0

O

B’

B0’

θB

δ1

A

Y

X

θG

B B1 B2

r I

w u v t

FE

G *O

*

Détails du coin

Figure 5.9 : Modélisation du contact des pièces au coin arrondi (dimensions de l’arrondi exagérées sur la figure).

Détermination de la réaction du coin support par la méthode de superposition :

* Hypothèses : On considère que la partie de poutre comprise entre les deux vis B1 et B2 à peu d’influence sur le comportement local en B. En se basant sur le fait que la rotation de section en B est plus importante que celle en B1, on fait l’approximation que le comportement de la fixation B1 est équivalent à un encastrement. L’objectif est d’estimer la valeur de l’angle θB. La distance GB est très faible au regard des autres dimensions. Sous cette condition, les rotations des sections en G et B sont faibles et très proches (on prend θB ≈ θG). La Figure 5.10 représente le modèle poutre pour l’étude du déplacement élastique δ1 proche du point B. Pour être en accord avec la partie expérimentale, on impose une rotation angulaire nulle au point A ce qui se traduit par l’existence d’un moment ME.

x FE

B1 B

RB

y

wv

Allure de la déformée

A ME

Figure 5.10 : Modèle poutre pour estimer la réaction RB et l’angle θB au coin de contact.

Ce modèle hyperstatique est résolu par le principe de superposition de trois modèles simples : deux cas avec un encastrement en B1 et un effort soit en A soit en B ; un cas avec un encastrement en B1 et un moment en A. La réaction RB est déterminée en écrivant que la


___________________________________________________________________________ 73

somme des flèches au point B de la poutre est nulle. La flèche en B est réellement égale à la déformation locale due au contact du coin support. Cette déformation est négligeable devant les flèches de la poutre en B qui résultent des forces FE, RB et du moment équivalent ME appliqué en A. La réaction verticale RB du coin support est exprimée en fonction de FE et ME selon la relation (5-22).

B E E2v 3w 3R F M

2v 2v+

= − (5-22)

L’équation de la déformée est exprimée pour la poutre de la Figure (5.10), dans les zones (B1B) et (BA). L’intégration des équations, en considérant les conditions aux limites et en écrivant que la rotation en A est nulle, permet d’aboutir à la relation (5-23). On en déduit les expressions de ME et RB (5-24) et (5-25).

2E2

+ E B F v(v w) + (v+w)M + R = 02 2

− (5-23)

E Ev 2wM w Fv 4w

+=

+ (5-24)

B E2v 3w 3w v 2wR ( )F

2v 2v v 4w+ +

= −+

(5-25)

* Angle d’inclinaison de la section de la pièce fléchie au coin arrondi : L’intégration de

l’équation de la déformée de la poutre permet de déduire l’expression (5-26) de l’angle de rotation θB de la section au point B.

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=θ EE

2B

2

ppB F

w4vw2vvwFvw

2vR

2v

IE1arctan (5-26)

Ep: module d’élasticité longitudinal du matériau de la pièce modélisée en poutre Ip: moment quadratique de la section rectangulaire de la pièce autour de l’axe z. Déplacement vertical du nœud B dû à la présence d’un coin arrondi (δ1) :

Au cours du chargement le centre de la section (point B) a un déplacement vertical dû à la présence d’un coin arrondi de rayon r et de centre O (Figure 5.9). La direction (OI) fait un angle θG avec la verticale. En admettant l’hypothèse que θB est très proche de l’angle θG, pour un chargement donné, le point B se déplace vers le bas d’une quantité δ1 tel que :

1 B B B0 0δ =B B.y=-B' B'=-r[(1-cosθ )+(1-θ )sinθ ]uuuur r

(5-27)

Déplacement vertical du nœud B dû à la déformation élastique au contact (δ2) : Dans le domaine des petits déplacements, l’angle θB reste faible. Ainsi on peut considérer

que le contact en I est un contact cylindre plan, un cylindre de rayon r. nous formulons le rapprochement entre les deux corps en nous référant à la bibliographie sur la mécanique du contact. Pour la configuration d’un contact cylindre/plan, la formulation exacte ou analytique n’a pas été trouvée dans la théorie de Hertz [5]. Pour l’étude de roulements cylindriques Arvid Palmgren, ([56], [24]) a établi une formulation expérimentale du rapprochement entre deux solides en acier. Des travaux similaires analytiques et expérimentaux [31], [46], [26], [27], [61], ont été menés afin d’évaluer le rapprochement pour plusieurs dimensions de diamètre de


___________________________________________________________________________ 74

roulements cylindriques. Pour toutes ces études, les couples de matériaux sont acier-acier et les plus petits rayons des galets ou des aiguilles sont 10 à 20 fois plus grands que le rayon du coin d’appui. Notre problème est plus proche du comportement d’un indenteur. La mécanique des contacts décrite par les théories de Hertz ou Boussinesq, reste valable pour des petites dimensions avec de faibles pentes. Dans notre cas, la Figure 5.8 montre que les coins sont suffisamment lisses pour considérer qu’il n’existe plus d’aspérité. Dans ces conditions, on peut faire une analogie à l’application d’un chargement concentré linéique perpendiculaire à un solide déformable qui a la forme d’un demi-espace (supposé infini), ce qui correspond à un enfoncement δ tel que :

LN

E1δ *∝ avec

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−+

ν−=

2

22

1

21

* E1

E1

21

E1 (5-28)

∝ : symbole de proportionnalité δ: rapprochement entre les deux solides (mm) N : effort normal au plan tangent, c’est la résultante de la charge linéique appliquée (N) L : longueur de chargement linéique (mm) E* : Module d’élasticité longitudinal équivalent (MPa) Ei : Module d’élasticité longitudinal de la pièce i (MPa) νi : Coefficient de poisson de la pièce i

Dans notre cas, on s’intéresse au contact de la pièce assemblée avec le coin arrondi de son support sous un chargement de compression FE donné, (Figure 5.11).

θB

N

N

Figure 5.11 : Rapprochement des pièces au contact coin suivant un angle θB

Nous cherchons à formuler le rapprochement δ entre deux points éloignés de la zone de contact, chacun appartenant à un solide, suivant une direction normale au plan tangent de contact. Par analogie aux travaux réalisés sur les formulations du rapprochement des roulements cylindriques, nous proposons une relation qui est en accord avec notre environnement d’étude. Cette expression respecte les règles suivantes :

- Le contact est linéique, donc δ est proportionnel à 1/E*. Pour l’étude expérimentale qui a été menée, nous avons deux couples de matériaux (acier-acier et aluminium-aluminium).

Pour ces configurations, δ est proportionnel à E

1 2ν− ;


___________________________________________________________________________ 75

- Le contact est cylindre/plan, comme pour les formulations sur les roulements, on propose

que δ soit proportionnel à 0.9

0.8NL

.

Ce qui permet de formuler δ comme suit :

LN

Eν1αδ 0.8

0.92−= (5-29)

Le coefficient α peut être déterminé par calage du modèle expérimentalement ou avec une approche numérique. On trouve expérimentalement α proche de 2, ce résultat est présenté dans le chapitre VI, au Tableau 6.1.

La projection de N sur la verticale est la réaction RB : B

B

cosθRN = (5-30)

L est la largeur des pièces assemblées : L = 2a (5-31)

Pour un même couple de matériaux, le déplacement vertical δ2 du nœud B qui est dû à la déformation élastique du contact est donné en fonction de δ et de l’angle θB tel que :

B2 cosθ δδ −= (5-32) D’où :

B0.8

0.922 θcos

LN

Eν1αδ −

−= (5-33)

Expression du déplacement vertical (Delta) du nœud B sous une charge FE :

Le déplacement vertical (Delta) du nœud B sous une charge FE est la somme du déplacement δ1 associé à la forme arrondie du coin de la pièce support et du déplacement δ2 dû à la déformation élastique du contact :

21 δδDelta += (5-34)

Finalement, le déplacement vertical du nœud B sous un chargement de compression est :

B0.8

0.92BBB θcos

LN

Eν1α])sinθθ-(1)cosθ-r[(1Delta −

−+−= (5-35)

L’angle θB est faible, ce qui permet de simplifier la formule de Delta, relation (5-36). 2 0.9

BB B 0.8

p

1 ν RDelta r(1-θ )θ αE (2a)−

= − − (5-36)

Avec : 2 2

B Ev +3w +4vwR = F

v(v+4w)

2

B Ep p

vwθ = F2E I (v+4w)

Remarque :


___________________________________________________________________________ 76

Dans la formule (5-36) les expressions de RB et θB ne sont valables que pour un assemblage où il y a une condition de blocage de rotation au point A d’application des charges (cas du montage expérimental). Pour d’autres conditions aux limites il convient d’adapter les formules. Dans le cas de l’extrémité libre en A, on trouve :

B E2v 3wR ( )F

2v+

= et 2 2

B B Ep p

1 v vθ [ R ( vw)F ]E I 2 2

= − + (5-37)

5.3 RESOLUTION NUMERIQUE La résolution numérique du problème s’apparente à une méthode numérique itérative. Elle

consiste à chaque itération à déterminer l’état de la zone de contact et à résoudre un système de dimension finie d’équations linéaires. Pour déterminer les déplacements nodaux de la poutre et des boulons, les flèches, les rotations et les déplacements horizontaux sont calculés à l’aide du schéma d’identification numérique de contact (Organigramme 5.1), dans lequel on ajoute une condition de serrage sur la base inférieure de chaque boulon.

Pour les éléments de la structure, le schéma numérique simplifié s’écrit :

[ ] [ ]( ) { } { }

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

←−=δ+

≥δ

δ−δ

−

−

n1nFRRgoudreséR

seuilqueTant

n1nc

n

n1n

Organigramme 5.1 : Schéma d’identification numérique de contact

Où nδ désigne la norme euclidienne du vecteur déplacement, définie par les flèches, les rotations et les déplacements horizontaux aux nœuds du maillage à la nème itération. La matrice de rigidité globale [ ]Rg est déterminée par assemblage des matrices des raideurs élémentaires des éléments poutres à deux nœuds, des poutres verticales et des boulons. La matrice de rigidité de contact [ ]1n

cR − de la couche élastique est obtenue par assemblage des matrices de raideur [ ])(R 1n

iic

−δ de chaque élément ressort connaissant les déplacements à l’itération (n-1) et en effectuant le test de pénétration. Les matrices de rigidité élémentaires dépendent des sollicitations appliquées aux éléments et des degrés de liberté des nœuds ([52], [53], et [68]).

5.4 STRUCTURE DU PROGRAMME DE CALCUL Un programme de calcul, développé en langage C, permet la définition des nœuds et des

éléments finis et ensuite calcule les matrices de rigidité des différents éléments constitutifs. L’assemblage de ces matrices donne la rigidité globale de la structure ajoutée à la rigidité des éléments de contact. Les calculs des suppléments d’effort et de moment de flexion dans les vis se font en deux étapes suivant la démarche décrite dans l’organigramme 5.2.

A l'installation des précontraintes, on détermine le déplacement sur la partie inférieure de chaque vis, ainsi que les suppléments d'effort ( )Q(F iBiΔ ) et de moment ( )Q(MF iBiΔ ) dans les deux boulons.


___________________________________________________________________________ 77

A l'état de chargement extérieur, une fois que les déplacements dus au serrage sont imposés (ces déplacements jouent le rôle des efforts de serrage), on détermine les suppléments d'effort et de moment dans chaque boulon. On calcule les contraintes et on vérifie le dimensionnement des éléments filetés de l’assemblage étudié.

Données générales d’un assemblage à 2 boulons

- Dimensions des pièces assemblées : u, v, w, t, Lar, Lp, Dt , Dapp , … - Matériau pièces Ep, νp - Chargement : FEmax

Début

- Dimensions des éléments filetés : d, ds, p, Da, l0, l1, li - Matériau et classe de qualité : Eb, ν - Serrage : Q1 , Q2

- Calcul des raideurs des zones en compression, sous les têtes des vis parla méthodes de Rasmussen : Kp1 et Kp2 - Calcul des diamètres équivalents des zones comprimées : Dp1 et Dp2 - Calcul des raideurs équivalentes des vis

Maillage de la structure en éléments 1D : - Définition des nœuds - Définition des éléments finis

Raideur équivalent des deux zones comprimées sous têtesdes vis : Kpéq = Kp1 +Kp2

Raideur totale des ressorts modélisant la couche élastique du contact entre pièces : Kt Hypothèse (vérifiée expérimentalement) : Kt/Kpéq=REP REP=0.75 : coefficient de répartition de raideurs

Raideur Ki d’un ressort i , position Xi remplaçant une portion decouche de surface Si de largeur 2a .S est la surface totale de

contact : KtSSK ii .= et a

XXS

iii 2.2

11 +− −=

- Calcul de la matrice de rigidité globale de la structure libre : Rg- Ajout des rigidités des éléments ressorts : Rc

Matrice de rigidité globale : RT

Conditions de blocage

Lecture des forces de serrages Q1 et Q2

Pré-

cont

rain

tes

Identification numérique du contact

Calcul des suppléments de forces et de moments et des déplacements des bases inférieures des deux vis : disp01, disp02

Lecture des forces de chargement FE , ME

Identification numérique du contact Réactualiser la matrice Rc

Déplacements imposés aux pieds des vis disp01, disp02

Cha

rgem

ent

Calcul des suppléments de forces et de moments, des contraintes normales et des contraintes

alternées dans les vis

FE < FEmax oui non

Fichier de résultats Fin

Tension

Calcul de Deltaoui

non

Organigramme 5.2 : Algorithme de calcul des suppléments d'effort et de moment

5.5 CONCLUSION Le modèle pour lequel nous venons de présenter les hypothèses, la formulation, la méthode

et les techniques de résolution, fait intervenir deux facteurs de calage notés REP et α. Ces facteurs ont été utilisés pour trouver les raideurs des zones de contact entre pièces assemblées. Il est donc évident qu’un seul cas d’étude ne suffit pas pour montrer le comportement général du modèle développé et pour valider ses résultats.

La validation des résultats du modèle numérique simplifié ne peut donc être justifiée que par une étude expérimentale ou par des simulations éléments finis tridimensionnels,


___________________________________________________________________________ 78

effectuées sur plusieurs cas où l’on fait varier les différents paramètres de l’assemblage. Ces deux moyens de validation ne permettent pas de définir quels cas il est judicieux d’étudier. Il fallait donc chercher un outil qui permette de minimiser le nombre d’essais qui caractérisent le mieux le phénomène étudié. Cet outil ne peut être que la méthode des plans d’expériences. Le chapitre suivant présente les différents cas étudiés et les résultats de validation du modèle établi.

___________________________________________________________________________ 79

Chapitre VI :

VALIDATION DU MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE

6.1 VALIDATION DES RESULTATS DU MODELE

Le modèle programmé fait intervenir les coefficients de calage REP et α définis précédemment. Les valeurs de ces paramètres seront déterminées en recherchant la « meilleure » valeur telle que les résultats expérimentaux, les résultats issus d’un calcul éléments finis tridimensionnels et ceux du modèle simplifié coïncident le mieux possible et que le comportement soit bien reproduit. Nous présentons dans la suite les résultats de quatre exemples d’assemblages à deux boulons en Tandem et nous les comparons à ceux issus du modèle simplifié.

Sur les Figures de 6.1 à 6.8, nous présentons les résultats pour quatre assemblages sollicités par un effort théorique FE en compression de 40000 N et dont les données numériques sont récapitulées dans le Tableau 6.1. Pour une précontrainte de 200 MPa, nous avons réalisé un calcul de comportement en fatigue. Pour chaque incrément d’effort, la contrainte alternée est déterminée à partir de la relation (5-11). Les simulations numériques permettent aisément d’aller au-delà des capacités réelles des vis. Ce choix est intentionnel pour mieux faire apparaître l’évolution du comportement sous de très fortes charges. Pour l’expérimental, nous avons été au maximum des capacités des vis employées soit une contrainte alternée effective de 70 MPa.

Données Assemblage 1

(E18) Assemblage 2

(E12) Assemblage 3

(E03) Assemblage 4

(E13) hp (mm) 13 20 20 20 2a (mm) 30 40 40 30 L (mm) 290 250 250 270 u (mm) 45 25 25 35 v (mm) 25 25 25 10 Matériau pièce Acier C35 Acier C35 Aluminium 2017A Acier C35 Précharge vis 1 mesurée Cas tension : σ01 (MPa)

206.379

207.878

203.786

204.655

Précharge vis 2 mesurée Cas tension : σ02 (MPa)

210.116

207.204

204.627

201.942

Précharge vis 1 mesurée Cas compression : σ01 MPa)

201,912

202,156

202,477

205,343

Précharge vis 2 mesurée Cas compression : σ02 MPa)

207,963

200,751

203,067

203.210

REP (Tension) 0.75 0.75 0.75 0.75 REP (Compression) 0.75 0.75 0.75 0.75 Coefficient de correction α 2.05 2 2 2.1 Rapprochement Delta (mm) -0.020 -0.015 -0.042 -0.042 Angle maxi θB (en degrés°) 0.306 0.063 0.179 0.046

Tableau 6.1 : Paramètres d’assemblage.

Exemple 1 : Sur la Figure 6.1 et la Figure 6.2, nous présentons les résultats en tension et en compression de l’assemblage 1. Dans les deux cas de sollicitations, les courbes, entre l’expérimental et les modèles numériques coïncident bien. On constate que la convergence est

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 80

plus significative pour le cas en traction (FE > 0). En tension la vis 2 n’est quasiment pas sollicitée en contrainte alternée, les contraintes sont négatives et cette vis joue seulement un rôle dans la stabilité de l’assemblage. Dans l’étude en compression (FE < 0), la vis 2 n’est sollicitée qu’à partir de charges importantes (plus que 25000 N).

Les vis H M10-60 de qualité 8.8 ont une limite admissible en fatigue de (σS = 50 MPa), [25]. En tension cette valeur est atteinte pour la vis 1 à un effort extérieur de 4500 N. En compression la contrainte alternée admissible est obtenue aussi avec la vis 1, mais à une charge plus importante 15000 N. Donc le dimensionnement en Fatigue doit être fait par rapport à la vis 1 et en tension (FE > 0).

-50

0

50

100

150

200

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle Simplifié

Vis 1-M odèle Simplifié Vis 2-EF 3D Vis 1-EF 3D

Figure 6.1 : Comparaison des résultats, pour FE > 0, Assemblage 1.

-50

0

50

100

150

200

250

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle simplifié

Vis 1-M odèle simplifié Vis 2-EF 3D Vis 1-EF 3D

Figure 6.2 : Comparaison des résultats, pour FE < 0, Assemblage 1.

Exemple 2 : La Figure 6.3 et la Figure 6.4 représentent les résultats en tension et en

compression pour un deuxième assemblage en Acier de caractéristiques mécaniques (E = 210000 MPa et ν = 0.3). Comme pour le premier assemblage, les courbes entre l’étude expérimentale et les modèles numériques sont assez proches. La convergence est moins significative pour des charges importantes. Dans ce cas la vis 2 est sollicitée même en tension (à partir de 10000 N). En compression, elle participe au maintien des pièces également comme la vis 1.


___________________________________________________________________________ 81

Les contraintes alternées considérables supportées par la deuxième vis s’expliquent par le fait que les pièces assemblées sont de section importante (hp = 20 mm) et donc qu’elles ont une grande rigidité à la flexion.

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

FE (N)

σ a (MPa)




-5

5

15

25

35

45

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle simplifiéVis 1-M odèle simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D

Figure 6.4 : Comparaison des résultats, pour FE < 0, Assemblage2.

Exemple 3 : La Figure 6.5 et la Figure 6.6 présentent les résultats pour un assemblage de

mêmes dimensions que l’assemblage 2. Dans ce cas les pièces sont réalisées en Aluminium 2017A de caractéristiques mécaniques (E = 74000 MPa et ν = 0.33). Les résultats de l’assemblage 3 montrent que les courbes, entre l’expérimental, le calcul tridimensionnel et le modèle simplifié, ont le même comportement et coïncident convenablement. Les courbes expérimentales sont limitées car pour des charges plus importantes il y aura déformation plastique des pièces fabriquées en alliage d’aluminium.


___________________________________________________________________________ 82

-20

30

80

130

180

230

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

FE (N)

σa (MPa)


vis 1-M odèle Simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D


0

15

30

45

60

75

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

FE (N)

σa (MPa)



Figure 6.6 : Comparaison des résultats, pour FE < 0. Courbes expérimentales limitées à 20000 N pour éviter la déformation plastique des pièces, Assemblage 3

Exemple 4 : La Figure 6.7 et la Figure 6.8 représentent les résultats en tension et en

compression pour un quatrième assemblage, les pièces sont en Acier. Les résultats coïncident et le comportement du modèle développé est validé. En tension la vis 2 est faiblement sollicitée en fatigue, elle stabilise l’assemblage.

En compression, les deux vis sont sollicitées par des contraintes alternées importantes. On remarque que maintenant c’est la vis 2 qui est plus sollicitée que la vis 1. Ce comportement s’explique par l’importance de la rigidité en flexion de la pièce assemblée par rapport à celle des vis (Section importante hp=20 mm et 2a=30 mm) et la faible distance de la vis 1 par rapport au coin du support (v=10 mm). Cette dimension joue un rôle essentiel.


___________________________________________________________________________ 83

-50

0

50

100

150

200

250

0 5000 10000 15000 20000 25000

FE (N)

σ a (MPa)




-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

FE (N)

σa (MPa)



Figure 6.8 : Comparaison des résultats, pour FE < 0. Assemblage 4 Conclusions :

Le coefficient de répartition de raideurs REP a la même valeur pour les quatre assemblages : REP = 0.75, en tension et en compression. Cette valeur est retrouvée pour tous les essais du plan d’expériences. Ce constat montre que le modèle représente bien le comportement physique réel.

Le coefficient de calage α, défini dans la formulation de la déformation élastique au contact entre pièces et le coin du support, vaut α = 2. Avec cette valeur on trouve de bons résultats pour tous les cas. Pour optimiser le comportement du modèle simplifié et se rapprocher au maximum des résultats, il a été nécessaire d’aborder une étude de sensibilité du coefficient α aux différents paramètres géométriques de l’assemblage.

Dans tous les cas, le rapprochement Delta est faible (< 0.1mm). Delta est plus important pour les assemblages dont la vis 1 est plus proche du coin (0.042 mm pour l’exemple 4). Avec des pièces en alliage d’aluminium, Delta est plus significatif (0.039 mm pour l’exemple 3).

Le comportement en fatigue des deux vis d’assemblage dépend fortement de la rigidité de flexion de la pièce assemblée, des matériaux et des positions des vis. Ces interprétations seront plus détaillées dans la section suivante de ce chapitre, en appliquant les techniques des plans d’expériences.


___________________________________________________________________________ 84

6.2 ETUDE DES EFFETS PAR PLAN D’EXPERIENCES 6.2.1 Etapes du plan d’expériences réalisé

La méthode des plans d’expériences est appliquée dans cette étape afin d’étudier l’influence des différents paramètres de l’assemblage sur le comportement des vis en fatigue. Les différentes étapes suivies sont :

Définition des objectifs :

Les objectifs d’application du plan d’expériences doivent permettre de : - Connaître l’influence des différents paramètres de l’assemblage a deux boulons sur le

comportement de chaque vis (effet sur la contrainte alternée). - Déterminer une formulation du coefficient de calage α introduit dans la formule du

rapprochement vertical Delta dû aux déformations du contact entre la pièce assemblée et le coin de son support sous une charge de compression.

Synthèse du « savoir faire » :

Dans cette étape du plan d’expériences, on définit les facteurs et leurs niveaux, (Tableau 4.1). On a défini un plan d’expériences à 5 facteurs (Ep, u, v, b, hP) et 3 niveaux.

Domaine d’étude :

Le Tableau 4.1 sert de plan d’étude pour appliquer le plan d’expériences.

Eléments de sortie :

1- Contraintes alternées dans la vis 1 : (σa1) 2- Contraintes alternées dans la vis 2 : (σa2) 3- Coefficient de calage du rapprochement Delta au coin : (α)

Construction du plan :

Comme nous l’avons dit et justifié au chapitre IV (Etude expérimentale), le plan choisi est un plan mixte qui comprend seulement 18 combinaisons (Figure AIII-3 de l’Annexe III). La troisième sortie est traitée indépendamment des deux premières (α est indépendant de EP). On a aussi créé et on a construit un plan factoriel mixte de 18 sites à l’aide du logiciel BPEW [8].

Conduite des essais :

Les résultats proviennent du modèle numérique simplifié. Ils ont été validés par un calcul éléments finis tridimensionnels (sur le logiciel I-DEAS version 11) et une étude expérimentale. Les courbes des contraintes alternées pour chaque cas sont corrélées par les trois études. La limite admissible pour les contraintes alternées des vis est atteinte en premier lieu pour des sollicitations de tension, il suffit donc de considérer les résultats en tension pour l’étude des effets. Les résultats de tous les cas sont résumés dans le Tableau 6.2.

Dépouillement et interprétation des résultats :

Cette étape est réalisée à l’aide des logiciels de plan d’expériences et fait l’objet du prochain paragraphe.


___________________________________________________________________________ 85

N° d’essai Ep (MPa)

u (mm)

v (mm)

b (mm)

hp (mm)

σa1 (MPa)

σa2 (MPa)

1 74000 25 10 20 13 142.63 -3,67 2 74000 25 20 30 16 71.78 -8,22 3 74000 25 25 40 20 31.87 -6,81 4 74000 35 10 30 20 46.53 -3,68 5 74000 35 20 40 13 78.88 -1,98 6 74000 35 25 20 16 92.67 -1,12 7 74000 45 10 40 16 53.73 -0,63 8 74000 45 20 20 20 57.27 -0,60 9 74000 45 25 30 13 94.63 0,76

10 210000 25 10 20 13 94.69 -3,67 11 210000 25 20 30 16 35.89 -4,50 12 210000 25 25 40 20 14.49 -2,69 13 210000 35 10 30 20 22.01 -2,19 14 210000 35 20 40 13 40.34 -1,50 15 210000 35 25 20 16 48.53 -1,55 16 210000 45 10 40 16 27.21 -0,61 17 210000 45 20 20 20 29.44 -0,75 18 210000 45 25 30 13 50.64 0,10

Tableau 6.2 : Valeurs des contraintes alternées appliquées aux vis pour les 18 cas du plan

d’expériences mixte avec Q1 = Q2 = 200 MPa. Etude en tension avec FE = 4500 N. 6.2.2 Dépouillement et interprétation des résultats Cette étape est réalisée à l’aide de deux logiciels différents : BPEW [8] et JMP [30]. 6.2.2.1 Utilisation du logiciel BPEW

Saisie des résultats du plan sur le logiciel BPEW :

Les résultats sont introduits dans BPEW pour les sorties σa1 et σa2 (Figure AIII-4 de l’Annexe III).

Calcul de l’analyse de variance :

Pour chaque facteur, nous effectuerons une analyse de variance avec un risque inférieur à 5 % dans le cas le plus défavorable. Cette procédure permet de mettre en évidence les facteurs les plus déterminants. On note A = Ep ; B = u ; C = v ; D = b et E = hP. Les paramètres EP, hP et v sont les facteurs les plus influents (% les plus importants), pour la contrainte alternée σa1 de la vis 1 (Figure AIII-5 de l’Annexe III).

Ep, v, b et hp ont tous la même grandeur d’effet (moins de 5 %) sur σa2 de la vis 2. l’entraxe u est le facteur le plus influent (65.36 % d’effet) pour la contrainte alternée de la vis 2 (Figure AIII-6 de l’Annexe III).

Vérification du test de normalité :

Le test de normalité des résidus permet de dire que les estimateurs des coefficients sont normalement distribués. Ce test est vérifié pour les deux sorties du plan (Figure AIII-7 et Figure AIII-8 de l’Annexe III).

Représentation graphique des effets :

Cette étape permet de comparer les effets entre différents facteurs et de visualiser les effets dans l’étude d’interaction. A l’aide de ces graphes, on peut voir les effets des différents facteurs sur l’évolution des contraintes dans les vis. On peut aussi voir les effets des


___________________________________________________________________________ 86

interactions des facteurs. Mais on a quelques difficultés pour généraliser nos conclusions. Pour cela on a utilisé dans la suite de cette analyse un autre logiciel plus sophistiqué pour le dépouillement des résultats. 6.2.2.2 Utilisation du logiciel JMP

Le logiciel JMP est plus pratique et exploitable pour l’interprétation des résultats d’un plan d’expériences. Il est utilisé après la définition du plan d’expériences par BPEW. Toutes les données sont introduites dans un seul tableau (Figure AIII-9 de l’Annexe III). Le dépouillement consiste à évaluer et analyser les effets afin de produire les graphes des effets. A l’aide du logiciel JMP nous avons déterminé l’effet de chaque paramètre sur les contraintes alternées sollicitant les vis de fixation lorsque l’assemblage est sollicité en tension (en tension les contraintes sont plus importantes qu’en compression). 6.2.3 Effets des paramètres de l’assemblage sur la fatigue des vis

6.2.3.1 Effet du module d’élasticité des pièces assemblées

On déduit que les contraintes alternées, en valeur absolu, appliquée aux vis 1 et 2, diminuent si le module d’élasticité des pièces assemblées augmente (Figure 6.9 et 6.10).

6.2.3.2 Effets des paramètres définissant la géométrie des pièces

- Effet des paramètres géométriques sur les contraintes alternées appliquées à la vis 1

L’influence des différents paramètres de l’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 1, est représentée par les courbes de la Figure 6.9 correspondant aux cinq paramètres d’étude.

Graphique des effets moyens sur la contrainte alternée Sig_a1

0102030405060708090

Ep1Ep2

hp1hp2

hp3 b1 b2 b3 v1 v2 v3 u1 u2 u3

Sig_

a1 [M

Pa]

Sig_a1

Moyenne

Figure 6.9 : Effet de chaque paramètre d’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 1

Pour des précontraintes de serrage et un chargement extérieur fixe, la contrainte alternée

σa1 de la vis1 diminue avec l’augmentation des paramètres b et hp. Elle est moins influencée par les facteurs de géométrie u et v. La contrainte σa1 dépend fortement des paramètres b et hp. Autrement dit, σa1 est très influencée par la grandeur de la section de la pièce fléchie (importance du moment quadratique de cette section).

- Effet des paramètres géométriques sur les contraintes alternées appliquées à la vis 2 Les courbes de la Figure 6.10 représentent l’influence des différents paramètres de

l’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 2. Ces courbes correspondent aux cinq paramètres d’étude.


___________________________________________________________________________ 87

Graphique des effets moyens sur la contrainte alternée Sig_a2

0123

456

Ep1Ep2

hp1hp2

hp3 b1 b2 b3 v1 v2 v3 u1 u2 u3

Sig_

a2 [

MPa

]

Sig_a2

Moyenne

Figure 6.10 : Effet de chaque paramètre d’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 2.

Pour des précontraintes de serrage et un chargement extérieur fixe, la contrainte alternée

σa2 de la vis 2 varie légèrement avec les paramètres v, b et hp. Elle est influencée essentiellement par l’entraxe u.

6.2.3.3. Effets du serrage des vis

Nous appliquons sur un même assemblage deux serrages différents et nous mesurons les contraintes appliquées aux vis en fonction de l’évolution du chargement de tension ou de compression. Nous prenons l’assemblage 2, sous deux précontraintes σ01 = σ02 = 200 MPa puis 300 MPa. Les résultats sont présentés sur la Figure 6.11. Nous constatons que si le serrage est plus important, les vis sont moins sollicitées aux contraintes alternées en tension et en compression de l’assemblage.

Effet du serrage sur les contraintes alternées des visPrecontraintes σ0 1=σ02=Sig0

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000

FE (N)

σa (MPa)

vis2_Sig0=200M Pa vis1_Sig0=200M Pa

vis1_Sig0=300M Pa vis2_Sig0=300M Pa

Sig0

Figure 6.11 : Comparaison des résultats, pour deux serrages différents, Assemblage 2 6.2.3.4 Effets du rapprochement Delta au coin

Pour deux configurations d’hypothèse, nous calculons les contraintes alternées dans les deux vis d’un même assemblage. Dans un premier calcul, nous considérons toutes les hypothèses du modèle simplifié et nous prenons en compte la déformation Delta au coin. Dans un deuxième calcul, nous négligeons la déformation au coin : Delta = 0. La Figure 6.12


___________________________________________________________________________ 88

montre la comparaison des résultats. Nous remarquons la grande sensibilité des valeurs des contraintes alternées à la déformation du coin du support. Cette remarque justifie le fait que nous nous sommes intéressés à ce problème particulier, qui à première vue pouvait paraître négligeable. Nous remarquons ici que la fatigue des vis diminue si la déformation des pièces en contact au coin est plus grande.

-5

15

35

55

75

95

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2-M NS-Delta#0 Vis 1-M NS-Delta#0

Vis 1-M NS-Delta=0 Vis 2-M NS-Delta=0

Figure 6.12 : Variation des contraintes alternées dans les vis, entre un coin déformable (Delta = 0.039mm) et un coin rigide (Delta = 0), Assemblage du cas 3 du plan mixte,

Q1 = Q2 = 200 MPa. 6.2.4 Formulation du coefficient α à l’aide du logiciel BPEW

Dans le cadre d’une étude de sensibilité aux différents paramètres de l’assemblage, on cherche une formulation du coefficient de calage α introduit dans la formule du rapprochement vertical Delta dû aux déformations de contact entre la pièce assemblée et le coin de son support sous une charge de compression. Pour une valeur moyenne α = 2.03, on a trouvé des résultats satisfaisants donnés par le modèle simplifié en compression. On a refait les calculs avec le modèle programmé, en cherchant α tel que les courbes coïncident le mieux possible. Les valeurs obtenues sont regroupées dans le Tableau 6.3 suivant.

On vérifie toute la démarche puis on introduit les données sur le logiciel BPEW. Ce dernier permet de formuler α à partir du calcul des prédicteurs. Comme α est indépendant du module d’élasticité du matériau des pièces, on définit dans ce cas un plan factoriel fractionnaire de 4 facteurs à 3 modalités. On fait l’analyse de variance et on vérifie le test de normalité des résidus, Figure 6.13.


___________________________________________________________________________ 89

N° d’essai Ep

(MPa) u

(mm) v

(mm) b

(mm) hp

(mm) α

1 74000 25 10 20 13 2.2 2 74000 25 20 30 16 2.05 3 74000 25 25 40 20 2 4 74000 35 10 30 20 2.1 5 74000 35 20 40 13 1.92 6 74000 35 25 20 16 1.95 7 74000 45 10 40 16 1.8 8 74000 45 20 20 20 2.2 9 74000 45 25 30 13 2.05

10 210000 25 10 20 13 2.2 11 210000 25 20 30 16 2.05 12 210000 25 25 40 20 2 13 210000 35 10 30 20 2.1 14 210000 35 20 40 13 1.92 15 210000 35 25 20 16 1.95 16 210000 45 10 40 16 1.8 17 210000 45 20 20 20 2.2 18 210000 45 25 30 13 2.05

Tableau 6.3 : Valeurs du coefficient de calage α pour les 18 cas du plan

d’expériences mixte avec Q1 = Q2 = 200 MPa.

Figure 6.13 : Test de normalité des résidus.

On en déduit un Prédicteur continu de α :

α = 4.9075 + 0.0225 b – 0.00055 b2 – 0.38405 hp + 0.011825 hp2 (6-1)

Cette expression n’est valable que dans le domaine d’étude du plan d’expériences. Il faut alors la tester pour d’autres cas d’étude pour vérifier la linéarité du plan.

6.2.5 Application à des cas tests

Pour vérifier la linéarité des réponses dans le domaine d’étude, on construit un modèle EF tridimensionnel conforme à ceux du plan d’expériences avec les données suivantes :

- Vis: même caractéristiques (d = 10 mm)


___________________________________________________________________________ 90

- Précontrainte Q = 200MPa

- Force (machine) maximale : 80 kN

- Matériaux : Acier et Alliage d’aluminium

Les résultats des simulations éléments finis sur le logiciel I-DEAS version 11, sont comparés à ceux issus d’un calcul à l’aide du modèle simplifié programmé. Les calculs sont faits avec REP = 0.75. On donne à α son expression trouvée avec le prédicteur continu (6-1), à l’aide de la méthode des plans d’expériences.

Les données pour chaque cas test de validation sont résumées dans le Tableau 6.4.

Cas u v b=2a hp Matériaux α

1 30 18 35 18 Alu 1.939 2 40 15 25 14 Alu 2.067 3 26 12 32 19 Alu 2.036 4 20 9 18 10 Alu 2.476 5 60 30 50 25 Alu 2.446 6 30 18 35 18 Acier 1.939 7 40 15 25 14 Acier 2.067 8 26 12 32 19 Acier 2.036 9 20 9 18 10 Acier 2.476

10 60 30 50 25 Acier 2.446

Tableau 6.4 : Valeurs des paramètres de l’assemblage pour les cas tests.

Pour les cas (1, 2, 3, 6, 7 et 8), les valeurs de α sont voisines de 2.03 et les résultats sont validés. Par contre, pour les cas (4, 5, 9 et 10), les valeurs de α sont loin de 2.03. Dans tous les cas la sensibilité de α est inférieure à 25 % et les résultats sont meilleurs à l’intérieur du domaine d’étude expérimentale.

On peut se satisfaire de travailler avec la valeur moyenne de α (α = 2.03), avec laquelle le modèle en compression donne de bons résultats aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur du domaine d’étude et ce quelles que soient les valeurs des paramètres de l’assemblage. Mais, pour un calcul plus précis, on retiendra pour α l’expression polynomiale déduite de l’analyse du plan d’expériences et fonction des grandeurs de la section b et hP de la poutre fléchie.

6.3 CONCLUSION

Les résultats du modèle numérique établi sont confrontés et validés par les résultats expérimentaux et par ceux issus des simulations éléments finis tridimensionnels. Le modèle validé est développé pour un assemblage de base de deux pièces prismatiques fixées par deux vis ou deux boulons identiques. Dans la suite, cet outil est appliqué et étendu à d’autres configurations d’assemblages que l’on peut ramener au modèle de base.

___________________________________________________________________________ 91

Chapitre VII :

APPLICATION DU MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE

ET CONCEPTION D’UNE INTERFACE GRAPHIQUE SUR VBA6

7.1 ETUDE D’UNE STRUCTURE PROFILEE EN « U »

7.1.1 Application du modèle numérique simplifié Dans l’objectif d’appliquer la modélisation développée à des structures plus complexes, on

cherche dans ce travail à ramener un assemblage réel à un modèle poutre dont les comportements en statique et en fatigue seraient similaires. Pour cette étude, la pièce est constituée d’une section ouverte en forme de « U ». La fixation est réalisée par quatre vis de mêmes caractéristiques géométriques et mécaniques. Pour cette approche, nous étudierons en particulier les deux cas de structure présentés sur les Figures 7.1 (cas 1 et cas 2).

Cette étape consiste essentiellement à rechercher un moment quadratique équivalent de la section du profilé et à trouver la force équivalente appliquée sur le tandem le plus chargé. Ceci permet de ramener l’étude réelle à celle d’une poutre fléchie fixée par deux vis. La démarche proposée basée sur la résistance des matériaux est approchée, mais elle est souvent tout à fait suffisante en pré-dimensionnement. Elle permet l’utilisation du modèle à deux boulons, évitant ainsi d’avoir recours aux simulations en éléments finis 3D.

± FE

v1

v2

v3 Cas 1

± FE

b

h

l v2

v1

v3 Cas 2

e e

Figure 7.1 : Structures profilées en U, dissymétriques, assemblées par quatre boulons

7.1.1.1 Structure symétrique et position de la force variable (cas 1) Dans cette approche, la position de l’effort FE sera variable. Les dimensions géométriques du profilé sont variables, mais on conserve la symétrie géométrique du U par rapport au plan médian des quatre vis (Figure 7.2).

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 92

v1

e

h

v2

FE1

FE2 FE

*Gv3

b

OZ

Y

Figure 7.2 : Charges équivalentes sur les deux rangées de boulons

FE hors du plan de symétrie. Coordonnées du barycentre de la section du profilé :

On détermine la position du centre de gravité G du profilé en U à partir de l’expression du barycentre. De par la symétrie du profil dans le plan yOz, ZG est nul et seul YG doit être calculé à partir de la relation (7-1). L’expression de la section du profilé S est obtenue par différence entre la partie rectangulaire pleine S1 et la partie vide S2.

Calcul de YG :

S: section du profilé ; S1 : section pleine ; S2 : section vide S1 = b.h ; S2 = (b-2v2)(h-v3) ; S = S1 - S2

Y1 = 0 ; Y2 = v3/2

Formule du barycentre : SYG = S1Y1 - S2Y2

S = bv3+2v2(h-v3) et )vh(v4bv2)vh)(v2b(v

Y323

333G −+

−−−= (7-1)

Moment quadratique IGz de la section du profilé en G :

Des informations précédentes, on détermine le moment quadratique IGz de la section rapportée au centre de gravité de la section.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−−−= 2

22

332

3

Oz YS12

)vh)(v2b(12bhI

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−+

−−−=

4v)vh)(v2b(

12)vh)(v2b(

12bhI

2332

332

3

Oz et IGz = IOz+SYG2 (7-2)

Effort équivalent appliqué sur le Tandem le plus chargé :

A partir du chargement réel, on détermine l’effort FEi associé à chaque ligne de fixation. On admet que le comportement de la structure sous la sollicitation de FE reste dans le domaine élastique. A partir des relations d’équilibre relatif à la position de l’effort résultant, on calcule les expressions des charges discrétisées FEi satisfaisant une distribution proportionnelle de FE.


___________________________________________________________________________ 93

Equations d’équilibre :

FE = FE2-FE1

v1FE1 = (v1-e)FE2

d’où 1E1 E

e-vF = F .

2e et 1E2 E

v +eF = F .

2e (7-3)

On remarque que le Tandem le plus chargé est naturellement celui du côté où la charge est concentrée. Il supporte une charge équivalente : FE éq = FE2 d’où :

E1

Eéq Fe2

evF

+= (7-4)

On se place dans un cas conservatif où l’on considère que chaque rangée de vis supporte un effort FEéq. Dans cette hypothèse, la structure réelle est sollicitée par 2 FEéq et la flexion transversale, autour de l’axe X, est considérée comme suffisamment faible pour être négligée. On ramène le calcul de la pièce réelle à l’étude d’une poutre à deux boulons, chargée par FE2, dont le moment quadratique équivalent, par rapport à l’axe Z, est égal à la moitié du profilé réel (IGZ_réel = 2 . IGZ_modèle).

7.1.1.2 Structure non symétrique et position de la force centrée (cas 2)

La démarche de travail est identique au cas précédent. Lorsque la forme de la pièce est dissymétrique (Figure 7.3), le moment quadratique détermine le comportement en flexion de l’assemblage et donc le chargement de chaque ligne de fixations.

h

v3 b

v1 v2 Y

Z O *G

FE

Figure 7.3 : Section non symétrique et FE sur le plan de symétrie des fixations. Coordonnées du barycentre G de la section du profilé :

S: section du profilé ; S1 : section pleine ; S2 : section vide

Y1 = 0 ; Z1 = 0 Y2 = v3/2 Z2 = (v1-v1)/2

S1 = b.h ; S2 = (b-v1-v2)(h-v3) ; S = bv3+(v1+v2)(h-v3)

Formule du barycentre : SYG = S1Y1-S2Y2 et SZG = S1Z1-S2Z2

[ ])vh)(vv(bv2)vh)(vvb(v

Y3213

3213G −++

−−−= et [ ])vh)(vv(bv2

)vh)(vvb)(vv(Z

3213

32112G −++

−−−−= (7-5)


___________________________________________________________________________ 94

Moment quadratique IGz de la section du profilé en G :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−−−−−= 2

3

33321

3

Oz v3

)vh(4

)vh)(vvb(12bhI et IGz = IOz+SYG

2 (7-6)

Effort équivalent appliqué sur le Tandem le plus chargé :

Pour le cas particulier où la charge est concentrée au milieu des deux Tandems, chaque ligne est sollicitée par une charge équivalente qui vaut :

2F

F Eeq = (7-7)

La démarche est similaire au cas précédent. On applique ce chargement à une poutre dont le moment quadratique est IGZ_modèle = IGZ_réel / 2.

7.1.1.3 Cas particulier d’une plaque avec la position de la force variable (cas 3)

On considère l’assemblage d’une pièce prismatique plaque, par quatre vis identiques. La plaque est sollicitée par une force hors du plan de symétrie de l’assemblage, (Figure 7.4).

FE

v1

e

h

b

Y

Z O

Figure 7.4 :Section rectangulaire et FE hors plan de symétrie.

Ce problème est un cas particulier du cas 1. il suffit de considérer que le paramètre b = v3.

Dans ces conditions, le barycentre G est confondu avec O. Le moment quadratique IGz de la section du profilé en G se limite à l’expression (7-8) et la relation (7-9) représente la charge équivalente.

12bhI

3

Gz = (7-8)

1Eéq E

v +eF = F

2e (7-9)

7.1.1.4 Comment appliquer le modèle numérique simplifié

On cherche à appliquer le modèle de base (modèle numérique simplifié), au calcul des fixations de profilés en U par quatre boulons. Ce travail est restreint au trois cas d’études détaillés dans la section précédente. Pour utiliser le modèle numérique simplifié, nous devons adopter une stratégie de passage à partir des hypothèses suivantes :


___________________________________________________________________________ 95

- La force extérieure peut être localisée à différents niveaux du profilé en U : au point O, au barycentre G ou répartie sur toute la section. Comme on traite de cas de sollicitation fortement excentrée, le comportement de l’assemblage aux droits des vis sera quasi indépendant de la localisation du niveau d’application du chargement à l’extrémité du profilé.

- Les déplacements des têtes des vis sont associés à la déformée de l’âme du profilé (partie centrale), qui est de hauteur v3. Pour appliquer le modèle de référence on doit donner aux éléments finis poutres (représentant la pièce supérieure) un moment quadratique calculé à un axe passant à la moitié de la hauteur d’appui fixée par les vis (soit v3/2).

- On dimensionne les vis par rapport au tandem le plus chargé à partir du calcul de la force équivalente (FEéq). On néglige le gauchissement de la poutre qui peut être obtenu lors de l’application des forces extérieures décalées latéralement ou si la section n’est pas symétrique. On admet également que les tandems ont les mêmes déplacements.

- Pour tenir compte de la présence de deux boulons identiques transversalement, on associe, à chaque élément poutre (boulon) du modèle de référence, une section équivalente à 2Sb et un moment quadratique équivalent égal à 2Ib tout en conservant la hauteur d’appui réelle v3. Le modèle numérique sera calculé avec un effort d’application équivalent à Fapp = 2.FEéq.

Les résultats obtenus correspondent aux vis du Tandem le plus chargé. Ce qui suffit pour le dimensionnement des éléments de fixation de la structure profilée en U.

7.1.2 Simulation éléments finis 3D des assemblages profilés à quatre vis

La stratégie d’application du modèle numérique simplifié aux assemblages de profilés en « U » ne pose pas de problème pour des cas simples de structures, quand on a une symétrie de géométrie de section et de chargement. Si le problème est dissymétrique, on a un gauchissement de la section de la pièce assemblée, ce qui génère une flexion transversale qui n’est pas la même sur les deux rangées de vis. Si cette flexion est négligeable devant la flexion des vis dans le plan de leur Tandem, on peut admettre d’appliquer la stratégie présentée. Si non, il faut chercher un autre modèle plus réaliste. Pour montrer les limites de notre stratégie on a construit un modèle élément finis tridimensionnel permettant de simuler le comportement d’un assemblage en U à quatre vis. Dans ce cadre d’étude, on s’intéresse, à la modélisation d’un assemblage d’un profilé afin d’évaluer le comportement sous l’action d’un chargement vertical dans le but d’analyser l’incidence sur le comportement des tenues des fixations. Le chargement est placé dans le plan de symétrie longitudinal de la structure, mais aussi décalé par rapport à ce plan. Ce travail permettra de vérifier les différentes hypothèses émises pour l’application du modèle générique à un cas d’étude réel.

Modèle Eléments Finis 3D :

On cherche l’effet de la géométrie de la section et la position du chargement sur le comportement de l’assemblage. Il n’est donc pas nécessaire de modifier les dimensions de l’assemblage suivant l’axe des X. On prend les valeurs du Tableau 7.1.

t u v w L

20 50 30 60 160

Tableau 7.1 : Dimensions suivant X des assemblages étudiés.


___________________________________________________________________________ 96

FE

Figure 7.5 : Maillage d’un assemblage à 4 vis d’un profilé en U symétrique sur un support prismatique. Le chargement est situé dans le plan de symétrie, à l’extrémité de la structure.

Pour l’ensemble de l’étude on conserve un effort de chargement FE = 10 kN. Pour étudier le comportement de l’assemblage, on fait varier les dimensions de la section et la position du point d’application de la force à l’extrémité de la poutre en U. Le modèle en éléments finis 3D de la Figure 7.5 représente, le comportement d’un assemblage d’un profilé en U fixé par quatre éléments filetés disposés symétriquement par rapport au plan moyen. Les notations (v1, v2, v3, e, b et h) des paramètres de la section sont les mêmes que pour les cas étudiés de la partie (7.1.1). Les deux rangées de vis sont distantes de 2e.

Assemblage d’un profilé symétrique en U, force dans le plan de symétrie longitudinal : La Figure 7.6 représente la répartition des déplacements suivant Y. On remarque la

symétrie des déplacements, les deux Tandems se comportent alors de la même manière. Le déplacement maximal au point d’application de la charge est de 4.27 mm. Le Tableau 7.2 regroupe les dimensions retenues pour l’exemple de la Figure 7.6.

2e v1 v2 v3 b h 25 0 5 5 60 15

Tableau 7.2 : Dimensions de la section en U (Figures 7.6 et 7.7).

Figure 7.6 : Déplacement suivant Y. Assemblage en tension sous une force FE =10 kN

dans le plan de symétrie. Section symétrique en U.


___________________________________________________________________________ 97

Figure 7.7 : Energie de déformation. Section symétrique et FE sur le plan de symétrie

(FE =10 kN). La déformation est encaissée par les cotés du profilé.

La Figure 7.7 représente la répartition de l’énergie de déformation sur la structure de l’assemblage. La déformation est encaissée par les cotés du profilé, lesquels donnent un important moment quadratique à la section du profilé.

Assemblage d’un profilé symétrique en U, force hors plan de symétrie :

La Figure 7.8 représente la répartition des déplacements suivant Y. On remarque la non symétrie des déplacements, les deux Tandems sont sollicités différemment. Le déplacement maximal est de 2,2 mm.

2e v1 v2 v3 b h

42.5 12.5 7.5 5 100 30

Tableau 7.3 : Dimensions de la section symétrique en U et position de la force appliquée. (Figure 7.8).

Figure 7.8 : Déplacement suivant Y. Assemblage en tension sous une force FE

hors plan de symétrie (FE =10 kN). Section symétrique en U.


___________________________________________________________________________ 98

Assemblage d’un profilé symétrique en U, force dans le plan du Tandem : La Figure 7.9 représente la répartition des déplacements suivant Y. On remarque la non symétrie des déplacements, les deux Tandems sont sollicités différemment. Le tandem dans le plan duquel est appliqué le chargement, est bien plus sollicité.

2e v1 v2 v3 b h 25 e =12.5 12.5 5 75 20

Tableau 7.4 : Dimensions de la section symétrique en U et position de la force sur un Tandem (Figure 7.9).

Figure 7.9 : Déplacement suivant Y. Assemblage en tension sous une force FE

sur un Tandem (FE =10 kN). Section symétrique en U.

Conclusion :

Les deux Tandem de vis ou de boulons se comportent différemment si la section du profilé n’a pas une géométrie symétrique par rapport au plan médian des deux rangées de fixations, ou bien, si la force est appliquée en dehors de ce plan. On remarque un gauchissement de section induit par un moment de torsion lié à l’excentration de la force. Le gauchissement existe même si la force est dans le plan médian, quand la section est dissymétrique. Nous concluons que l’application du modèle numérique simplifié, par un calcul équivalent approché, ne donnera pas de résultats cohérents, si les efforts deviennent importants. L’approche proposée en début de chapitre semble difficilement exploitable pour des configurations de structures complexes. Il est préférable de s’orienter vers une modélisation numérique plus fine et qui puisse mieux représenter le comportement spatial de la structure sollicitée.

7.1.3 Proposition d’un modèle spatial construit avec des éléments finis 1D

Il s’avère d’après les résultats des simulations du comportement d’un assemblage à quatre boulons, pour différents cas de charges et de sections, que les deux rangées de boulons ne sont pas sollicitées de la même manière. L’application du modèle numérique développé précédemment ne permet que d’approcher le comportement du Tandem le plus chargé.


___________________________________________________________________________ 99

Nous proposons dans cette partie un modèle dont le comportement est plus proche de celui des assemblages à quatre boulons disposés suivant deux rangées. Nous cherchons à identifier le comportement de chaque élément fileté de l’assemblage. Il s’agit d’un modèle spatial à quatre éléments filetés construit à partir d’éléments unidimensionnels qui permettent d’installer des rigidités équivalentes à celles de la pièce, dans les directions de déformations prépondérantes, pour le comportement des éléments d’assemblage.

Hypothèses :

- La poutre est constituée d’une section prismatique ou une section ouverte en forme de « U ». La fixation est réalisée par quatre vis de mêmes caractéristiques géométriques et mécaniques.

- Les quatre vis sont précontraintes. - Les têtes des vis suivent la déformation de la pièce assemblée. - Les efforts appliqués sont excentrés par rapport aux vis d’assemblage.

Modélisation :

Le modèle est construit par des éléments de type poutre 1D sur la base de la Figure 10. Le niveau d’introduction de charge est γ = 0,5. Il est possible d’introduire des efforts appliqués hors du plan médian des deux Tandem.

Nous avons introduit des éléments rigides (poutres en bleu), ce choix vient de l’hypothèse de conservation de la forme et des dimensions de la section du profilé assemblé, sous un chargement extérieur raisonnable.

± FE

Elément ressort

Nœud principal

Profilé Zones en compression Vis d’assemblage Eléments poutres rigides

Q11

Q12

Q22

Q21

AO

A

B

C1

C2

D

C12

C11

C21

C22

B21

B22

B11

B12

E11

E12

E21

E22

Support Rigide

Figure 7.10 : Modèle spatial d’un assemblage à 4 éléments filetés.


___________________________________________________________________________ 100

Résolution numérique : La méthode de résolution utilise la même démarche que celle développée pour la

résolution du modèle numérique simplifié d’un assemblage à 2 éléments filetés. Dans ce cas on ajoute des éléments poutres rigides (module de Young très grand). Pour modéliser le profilé assemblé, nous considérons des éléments poutres à deux nœuds. Ces éléments sont en plus sollicités à la torsion, ce qui leur donne des matrices de rigidité comportant des termes relatifs à la raideur en torsion des éléments. La raideur en torsion d’un élément profilé est fonction de la géométrie de l’élément et de son module d’élasticité transversale G.

7.2 CONCEPTION D’UNE INTERFACE GRAPHIQUE POUR LE LOGICIEL D’APPLICATION DU MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE

La création d’une interface graphique s’inscrit dans le cadre du développement d’un outil de dimensionnement spécialisé (« outil métier »), qui soit à la fois peu coûteux (a contrario d’un modèle éléments finis 3D), sûr et précis tout en étant rapide et facile d’utilisation.

L'objectif premier est la recherche appliquée au monde industriel. Il s'agit de mettre à disposition des concepteurs, dans un cadre d'étude préliminaire, des outils d'agencement et de pré-dimensionnement évolués pour rechercher des solutions techniques d'assemblage de pièces.

Dans l’industrie mécanique, les concepteurs sont très intéressés par ce type d'outil d'aide à la décision. Ces logiciels évitent de lancer des modélisations complexes coûteuses en temps de mise en oeuvre et de calcul. Grâce à ce type d'outil, on peut générer plusieurs scénarii d'implantation et de disposition de pièces pour, ensuite, les comparer.

L’interface graphique permet de créer le lien entre le programme et l’utilisateur, et par la même occasion, d’exploiter une méthode récurrente de calcul. Après le lancement du calcul et l’exécution du code développé en langage C, nous obtenons les résultats dans des tableaux et des graphiques (les efforts et les moments de flexion appliqués sur les vis, les suppléments de charges, les contraintes normales, alternées et de Von Mises). Toutes ces informations vont aider le concepteur à valider ou non la solution choisie en fonction des options et des données de départ.

Ainsi, le travail consistera à introduire des données d’entrée et à exploiter les résultats par l’intermédiaire d’une interface graphique.

7.2.1 Synoptique de l’interface graphique

Nous disposons d’un programme de calcul de fixation des pièces prismatiques ou des profilés en U. Le programme est écrit en langage « C ». Afin de le rendre le plus évolutif possible nous avons choisi d’élaborer deux programmes distincts pour étudier :

- le cas tension : « MS_2B_tensQ1Q2.exe ».

- le cas compression : « MS_2B_compQ1Q2.exe ».

Les deux exécutables utilisent comme source de données un fichier texte (Input_MS_2b_CHAKHARI.txt) précisant ligne par ligne les paramètres nécessaires à la résolution du problème. Quel que soit le cas d’étude (tension ou compression), les données à fournir sont organisées en cinq points :


___________________________________________________________________________ 101

- le type d’assemblage : cinq configurations d’assemblages sont proposées (modèles un deux boulons ; montage symétrique où non ; assemblages avec une pièce prismatique ou un profilé) ;

- le type de fixation : utilisation de vis pour un support taraudé, de boulons pour un support ou un montage symétrique ;

- les paramètres géométriques : énumération de toutes les dimensions des pièces de l’assemblage et des vis ;

- les paramètres mécaniques : liste des modules d’élasticité et des coefficients de poisson, des coefficients d’adhérence des différentes pièces ;

- les paramètres de chargement : efforts de précharge des fixations, les efforts maximaux de chargement ainsi que le nombre de pas de charge.

De même, une fois le programme de calculs exécuté, un fichier texte de résultats (Output_MS2b_CHAKHARI.txt) est fourni par le code. Une première partie rappelle toutes les données d’entrées et une seconde partie présente tous les résultats. Au final, on récupère, pour chaque pas de chargement un tableau contenant :

- les paramètres de calcul : les valeurs de souplesse des pièces et des vis, pour un serrage au couple, les valeurs des couples ainsi que la contrainte de torsion ;

- un tableau récapitulatif des résultats : contenant les efforts et les moments de flexion pour chaque fixation, les suppléments d’effort et de moment de flexion, les contraintes maximale, alternée et équivalente de Von Mises.

L’outil de calcul doit permettre l’acquisition des paramètres d’entrée, générer automatiquement l’écriture de ces données dans un fichier texte et lancer le code de calcul approprié (cas Tension ou Compression). Une fois les calculs effectués, les résultats seront extraits d’un fichier texte et affichés ensuite sous la forme de tableaux.

Afin de rendre l’acquisition des données plus performante, il est nécessaire de réaliser une interface de dialogue conviviale et interactive grâce à l’utilisation de fenêtres de dialogue. La Figure 7.11 présente l’organisation de l’outil de calcul.


___________________________________________________________________________ 102

Lancement du programme

Choix d’une configuration d’assemblage(Introduire un numéro de 1 à 5)

Introduction des donnéespour vis ou boulons

(Géométrie et matériau)

Introduction des donnéespour les pièces assemblées

(Géométrie, matériau coefficients de frottement)

Précontraintes de serrage des visChargement extérieur : forces et moments

Déplacement imposés et blocages

Création du fichier d’entrées :Input_MS_2b_CHAKHARI.txt

Choix d’un programmede calcul

Exécutable de calcul en tension : MS_2B_tensQ1Q2.exe

Exécutable de calcul en compression : MS_2B_compQ1Q2.exe

Création d’un fichier sorties :Output_MS2b_CHAKHARI.txt

Extraction des résultats :Tableaux, courbes, …

Fin

Interface graphique pour l’acquisition des

données

Interface graphique pour la lecture des

résultats

Figure 7.11 : Synoptique de l’outil de calcul

7.2.2 Environnement et outils de développement Afin de répondre aux différentes caractéristiques énoncées précédemment, le choix du

logiciel s’est rapidement porté sur Visual Basic for Applications 6 (VBA6). Le choix du langage de programmation pour l’interface est un compromis entre portabilité, simplicité de mise en oeuvre, flexibilité relative à son langage orienté objet. D’autre part, la très grande diffusion de cet outil de programmation et de développement d’interfaces est très largement répandue dans le milieu de la création de progiciels. Cette remarque nous apporte une certaine garantie sur la pérennité du support informatique dans le temps.

Ce logiciel de développement d’interfaces graphiques est intégré dans de nombreux outils de bureautique sous le système d’exploitation Windows. Il permet de créer des applications


___________________________________________________________________________ 103

fenêtrées et de pratiquer de la programmation événementielle. Il remplace et étend les capacités des langages de type macro-commande et inclut la possibilité de manipuler les fonctionnalités de l'interface utilisateur comme les menus, les barres d'outils. Il offre la possibilité de pouvoir personnaliser les boîtes de dialogue et les formulaires utilisateurs. Il peut cependant être utilisé pour contrôler une application à partir d'une autre (par exemple, créer automatiquement un document à partir de données issues d’une application comme un tableur ou d’un fichier texte).

Visual Basic for Applications est un outil de développement extrêmement puissant et est d’une grande simplicité d'utilisation. Il présente un avantage manifeste : la simplicité de l'élaboration d’une interface graphique. Pour toutes ces qualités nous avons fait le choix d’utiliser ce logiciel pour élaborer notre environnement d’interface. Ce logiciel permet de programmer en langage orienté objet ; c'est-à-dire que les instructions ne sont pas rassemblées sur un seul et unique listing. Elles sont, au contraire, attachées aux objets dans les feuilles qui composent une application. Lorsqu'un objet, par exemple une touche de commande ou une zone de texte, est activé par la souris ou une touche du clavier, le programme recherche la partie de code spécifique qui y correspond et l'exécute. Dans le cas contraire, c'est-à-dire en l'absence de code, aucune action n'en découle.

Avec ce langage de programmation, les feuilles (Form) sont les pages qui s'affichent à l'écran lors de l'exécution du programme. Elles contiennent des boutons de commande, des zones de texte et des images auxquelles sont attribuées des lignes de commande.

En résumé, nous pouvons dire qu'une application développée sous VBA6 peut regrouper plusieurs feuilles qui contiennent divers objets auxquels sont rattachés de petits programmes indépendants appelés procédures, eux-mêmes activés lorsque certains événements se présentent.

7.2.3 Elaboration d’une maquette d’interface Au cours de la réalisation de cette interface, une très grande attention a été portée sur

l’ergonomie et la convivialité de l’utilisation du logiciel. L’apparition en quasi-permanence de notes explicatives et d’images descriptives quand la souris navigue sur l’écran renforce la volonté d’atteindre cet objectif.

En vue de modifications futures, dans le but d’ajouter des options, il a fallu se soucier de garder une forte flexibilité concernant l’évolution de l’interface des boites de dialogue. Il faut faire interagir le langage de programmation avec d’autres fichiers tels que des fichiers textes ou exécutables, afin de permettre une meilleure exploitation des informations et assurer une interactivité dans l’utilisation de l’outil.

L’idée directrice lors de la conception de l’interface était de limiter la complexité et le nombre de manipulations pour l’utilisateur. Il faut être le plus attractif possible dans l’interface, pour que l’utilisateur perçoive cet outil de calcul comme un logiciel d’assistance pour la recherche de solutions. Afin qu’il soit très simple et rapide d’utilisation, une maquette a été développée à partir d’un diaporama. Plusieurs scénarii ont été simulés pour évaluer la pertinence des fenêtres de dialogue (Figure 7.12). Nous avons pu ainsi tester l’aspect de l’interface en optimisant l’ergonomie et en rationalisant les informations à introduire. Ce travail préliminaire est indispensable pour être sûr d’offrir au concepteur un outil en adéquation avec son besoin.


___________________________________________________________________________ 104

Figure 7.12 : Exemple d’une première maquette sur diaporama

Pour compléter l’ergonomie de l’outil d’assistance, on a inclus un certain nombre d’avertissements afin d’éviter les erreurs de saisie. Cela rend le programme plus fiable vis-à-vis des résultats qui sont attendus. D’autre part, un ensemble de messages furtifs, sous la forme d’infos bulles, permettent d’afficher des informations pour identifier la variable sélectionnée et pour guider l’utilisateur. Ces messages doivent cependant être restreints et concis pour ne pas pénaliser l’environnement de la fenêtre de dialogue en cours d’utilisation.

Ce travail requiert pour qualité principale la rigueur. Dans la gestion des noms donnés aux variables ou aux informations recueillies lors de la lecture ou l’écriture des fichiers. Il faut, par exemple, veiller à ce qu’il n’y ait ni espace, ni accent. De même, il faut respecter, durant tout le programme, les notations retenues initialement lors de l’acquisition des informations au travers de l’interface, et surveiller qu’elles correspondent bien entre les fichiers d’entrée et de sortie, sans quoi le programme de calcul ne pourrait s’exécuter correctement.

7.2.4 Aperçu du logiciel Les Figures de 7.13 à 7.18 montrent la maquette que nous avons conçue pour l’interface

graphique du modèle numérique simplifié. La saisie des données se fait sur plusieurs fenêtres et dans chaque fenêtre on accède à des groupes de champs de saisie. L’interface s’ouvre directement sur le choix d’une configuration d’assemblage à calculer. Il suffit de sélectionner le numéro de la configuration pour identifier le cas d’étude, (Figure 7.13). Ce travail de recherche s’est principalement intéressé à l’assemblage de fixations en tandem. Il peut, aussi répondre au cas d’étude à une fixation. Il suffit pour ce cas de considérer une précontrainte nulle pour désactiver l’influence de l’élément fileté.

La Figure 7.14 présente la fenêtre de saisie des données pour les vis et les boulons de fixation (dimensions et caractéristiques du matériau de la vis). Dans le cadre de ce démonstrateur, on n’a pas intégré de base de données de visserie. Dans les perspectives d’évolution, il sera nécessaire de le faire afin de limiter les erreurs de saisies incohérentes.

Dans la fenêtre de la Figure 7.15 on s’intéresse à la saisie des données concernant les pièces de la configuration choisie (la figure correspond à l’assemblage à deux boulons). Outre le choix des dimensions géométriques et des caractéristiques des matériaux des deux pièces,


___________________________________________________________________________ 105

on sélectionne le type de fixation et les coefficients de frottement existant aux différents niveaux d’interface de contact.

Les conditions de chargements et de précontraintes sont introduites, en dernier lieu, sur une autre fenêtre (Figure 7.16). On remarquera l’existence d’une case « Nombre de cas de charges » à remplir. Cette information permet de discrétiser le calcul en fonction du pas choisi. Le principal intérêt de cette discrétisation est d’assurer un meilleur comportement dans la résolution du contact. Grâce à cette procédure les conditions de contact évoluent progressivement. Cela permet d’évaluer plus finement le comportement à l’interface de contact des pièces, notamment, d’analyser l’évolution du décollement de la structure, pour chaque pas de calcul. D’autre part, la localisation de la zone de contact active permet d’évaluer la pression locale et de comparer ce résultat par rapport à une pression limite de matage que peut se fixer le concepteur.

Figure 7.13 : Interface graphique : sélection d’une configuration d’assemblage.

Figure 7.14 : Interface graphique : saisie des données pour vis.


___________________________________________________________________________ 106

Figure 7.15 : Interface graphique : saisie des données pour l’assemblage.

Figure 7.16 : Interface graphique : saisie des précontraintes et des chargements.

Figure 7.17 : Interface graphique : lancement du calcul.


___________________________________________________________________________ 107

Après avoir quitté la dernière fenêtre de saisie de toutes les données, ces informations d’entrée sont enregistrées dans le fichier texte « Input_MS_2b_CHAKHARI.txt ». Ensuite, l’interface bascule vers une autre fenêtre relative au calcul et aux résultats. La sélection d’un des boutons de calcul de la Figure 7.17 lance, en arrière plan, l’exécutable du code de calcul soit en tension, soit en compression. Le temps d’exécution est immédiat (moins de 2 secondes sur un PC Pentium 4, CPU 2.4 GHz). L’interface graphique récupère les résultats du fichier de sortie du programme de calcul.

Figure 7.18 : Interface graphique : affichage des résultats.

La fenêtre de la Figure 7.18 synthétise différents résultats qui sont relatifs à un cas d’étude. L’utilisateur peut choisir de visualiser entre plusieurs résultats élémentaires comme les diamètres équivalents des zones comprimées au droit de chaque vis, les couples de serrages, la flèche de la pièce à son extrémité. Les résultats sont regroupés par catégorie et des tableaux présentent les valeurs pour chaque pas de chargement. Par exemple, la Figure 7.18, le tableau supérieur rassemble les valeurs des suppléments d’effort et de moment de flexion, pour le cas tension. Le tableau inférieur présente, pour chaque vis, les résultats en contrainte alternée et en contrainte normale maximale. Ces informations serviront à orienter le concepteur vers un choix de qualité de vis ou bien de relancer un autre calcul, mais avec d’autres dimensions géométriques de fixations. D’autres informations sont aussi accessibles comme la contrainte équivalente de Von Mises. Les résultats choisis peuvent être tracés en courbes en fonction du chargement sur une feuille Excel.

Pour faciliter la navigation entre la partie acquisition des données et analyse des résultats, il existe des fonctionnalités accessibles sur chaque fenêtre et qui sont :

- le passage à la page suivante ou le retour aux pages précédentes de saisie des données ou de sélection de la configuration ;

- l’arrêt du programme à n’importe quel moment pour sortir de l’interface.


___________________________________________________________________________ 108

Cette maquette peut être améliorée en ajoutant d’autres fonctionnalités pour sauvegarder et récupérer dans l’environnement de travail, le dernier résultat afin d’éviter de relancer toutes les étapes d’acquisition et de calcul. Pour conserver un document papier, il faudra intégrer une procédure d’impression qui permettrait d’imprimer un récapitulatif des résultats. Actuellement, les fichiers d’entrée et de sortie du programme de calcul assurent ce rôle.

7.2.5 Evolutions futures de l’environnement de l’outil de calcul

Afin d’améliorer la convivialité de l’interface, plusieurs perspectives de poursuite du travail sont envisageables :

- Il faudrait intégrer plus de procédures de contrôle qui vérifient les erreurs de saisie de données comme, par exemple, les éventuelles incohérences dimensionnelles (d > Da, ...). Cette perspective a pour but de fiabiliser les données d’entrée du logiciel. De même, il faudrait un code qui vérifie que toutes les valeurs ont bien été rentrées. Si ce n’est pas le cas faire apparaître une fenêtre d’avertissement. Elle spécifierait l’anomalie, avec un message d’erreur qui informerait l’utilisateur qu’il manque tel ou tel paramètre ou bien l’avertissant que l’ordre de grandeur n’est pas correct.

- Une évolution rapide consisterait à rajouter des options dans l’environnement de l’interface graphique. Actuellement l’habillage de cette interface reste assez basique, mais le développement pour le réaliser étant relativement flexible, on peut aisément le compléter par des barres de menus (menu pour une édition, une copie, un enregistrement des résultats,…) et d’autres fonctionnalités similaires à des logiciels du commerce.

- Une autre évolution majeure serait de mieux exploiter des informations inutilisées dans l’interface de l’outil, mais existant dans le fichier texte des résultats. En effet, les résultats en chaque nœud de l’interface de contact sont des indications précieuses pour la tenue globale de l’assemblage (zone de contact, décollement, pression locale,...). Ces informations sont pertinentes dans une phase préliminaire de conception. Elles vont orienter le choix des solutions finales de l’assemblage étudié. D’autre part, certaines valeurs sont rentrées dans l’interface, mais ne sont pas utilisées par le programme de calcul. Afin de les rendre disponibles en prévision d’une utilisation future il faudrait les identifier dans le fichier texte par l’intermédiaire d’un symbole commentaire.

- Comme nous l’avons déjà évoqué précédemment, un couplage avec des bases de données (visserie, rondelles, matériaux, …) sera nécessaire et indispensable pour améliorer les performances de l’outil d’assistance.

Enfin, l’élaboration même de ce programme de calcul permet aussi de s’implanter dans des progiciels existants. Par exemple, il pourrait parfaitement être intégré dans l’outil de calcul industriel CETIM-COBRA qui est dédié au dimensionnement des assemblages par éléments filetés.

7.3 CONCLUSION Ce chapitre a abordé la problématique de la généralisation d’un modèle générique à

l’assemblage multi-fixations d’une structure. Le modèle numérique développé a été appliqué à des structures profilées assemblées par quatre éléments filetés. La stratégie de calcul consiste à trouver l’effort équivalent appliqué sur le Tandem le plus chargé ainsi que les caractéristiques équivalentes de la section. Ces données seront les entrées du programme de calcul associé au modèle de base.


___________________________________________________________________________ 109

A partir des simulations numériques tridimensionnelles sur des exemples d’assemblages de profilées de section ouverte, on a remarqué que dans le cas de dissymétrie de section ou de position de force et pour des charges importantes il y a gauchissement du profilé. Ce qui génère de la flexion des vis hors du plan de leur Tandem. Pour des charges acceptables on peut négliger cette flexion transversale et on peut appliquer le modèle numérique simplifié de base. Pour des charges importantes on propose de faire évoluer le modèle de base en un modèle spatial à quatre éléments filetés construit avec des éléments unidimensionnels. Il permettra de calculer les contraintes pour chacune des quatre vis.

Une interface graphique a été développée pour permettre une utilisation plus ergonomique du programme de calcul. Cette interface est conçue pour faciliter l’introduction des données, pour plusieurs configurations d’assemblages. En fonction du choix du cas d’étude (Tension ou compression), Cette interface récupère automatiquement les différents résultats issus du code de calcul. Notre première maquette d’interface graphique doit évoluer et être améliorée pour devenir un outil d’aide au dimensionnement performant dans le cadre d’une utilisation en bureau d’études.

___________________________________________________________________________ 111

Chapitre VIII :

EXTENSION D’ETUDE : MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE GENERAL

Cas d’un assemblage à deux boulons, sollicité en plus par une force transversale.

L’étude présentée au chapitre V a montré qu’en compression le comportement du coin a un effet de levier. Il génère un effort de réaction normal important, mais aussi induit un effort tangentiel qui peut initier un glissement de la poutre. Ce glissement est favorisé par de la déformation de la poutre qui réduit la zone d’adhérence et la déporte vers la fixation 2. La prise en compte d’un effort transversal à l’extrémité de la poutre permet de rechercher la limite d’adhérence pour cette configuration de chargement. En ajoutant un effort tangentiel, il est possible de généraliser le modèle développé à d’autres cas d’assemblages industriels. Cette extension d’étude à un Modèle Numérique Simplifié Généralisé (MNSG) nécessite d’intégrer le comportement de l’adhérence dans la zone de contact, à l’interface de la poutre sur son support. Cet effort transversal peut agir en poussant ou en tirant sur la structure, soit dans les deux configurations de sollicitation (Tension ou Compression), mais aussi seul (FE = ME = 0).

8.1. MODELISATION Dans cette partie, on cherche à étendre le modèle numérique simplifié déjà présenté au cas

où il existerait une force transversale appliquée sur l’extrémité de l’assemblage à deux éléments filetés, au même point que les autres sollicitations.

Les hypothèses principales consistent à admettre que la rigidité en flexion ainsi que la raideur de compression des pièces assemblées, restent constantes et que tous les efforts sont situés dans le plan de symétrie de l’assemblage comme sur la Figure 8.1.

±± FFEE

±± FFTT

±± MMEE

Figure 8.1 : Assemblage à deux boulons en « Tandem »

Les chargements sont réalisés par une force verticale FE, un effort transversal noté FT et par un éventuel moment ME. Le principe du modèle est similaire à celui présenté pour le cas du chargement vertical seul (Figure 8.2). Dans ce cas, on ajoute la possibilité de prendre en compte le phénomène du glissement à l’interface de contact. Il s’agit de vérifier la condition d’adhérence ou de non glissement. Les éléments de contact sont composés d'éléments ressorts qui simulent la raideur de contact de la pièce et permettent le décollement. Leurs raideurs sont distribuées proportionnellement à la surface théorique de contact représentée par l'élément. Le comportement local de ces éléments est aussi associé aux conditions de contact, sur la base de la loi de Coulomb, afin de prendre en compte la zone d'adhérence.

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 112

Elément de contact

k

Corps rigide

Eléments poutres

f

Q2 Q1

± FE Eléments poutres B2

C L2

B1

L1

Nœud principal

Nœud intermédiaire

C’

B

D’

E2 E1

A

x

y

(± ME)

± FT

Figure 8.2 : Modèle numérique simplifié avec effort transversal

La contrainte normale à l’interface de contact au niveau d’un ressort actif de numéro i est calculée à partir du déplacement vertical du nœud correspondant de l’interface de contact :

i nini

i

k .u =

Sσ (8-1)

La contrainte tangentielle au niveau de l’élément de contact i est déterminée par la relation Eq. (8-2) qui correspond à la condition d’équilibre à l’adhérence. L’angle tgϕi représente le coefficient d’adhérence de l’élément de contact i, à l’interface de contact, pour un ressort actif.

σti = tgϕi . σni (8-2)

uni , uti : déplacements normal et tangentiel à l’interface au niveau de l’élément de contact i. σni , σti : contrainte normale et contrainte tangentielle à l’interface de l’élément de contact i. ki : raideur du ressort i. f : coefficient limite d’adhérence à l’interface. Si : aire de la surface de contact modélisée par le ressort i.

8.2. CONDITIONS DE NON GLISSEMENT A L’INTERFACE DE CONTACT Pour vérifier la condition de non glissement à l’interface de contact, il faut trouver les

efforts normal NS et tangentiel TS résultants sous les chargements extérieurs FE, FT et ME, pour les deux configurations d’assemblages des Figures 8.3 et 8.4.

E1 E2

FT FE

FB1 FB2

F[X, E1] F[X, E2]

X

Ns

Ts

ME

ϕ

Y

Figure 8.3 : Structure en état de chargement pour le cas Tension (FE > 0).


___________________________________________________________________________ 113

X Y θB

E1 E2

NB FT

FE

FB1 FB2 F[X, E1] F[X, E2]

ME

Ns

Ts

ϕ

RB

Figure 8.4 : Structure en état de chargement pour le cas Compression (FE < 0).

Le coefficient d’adhérence tgϕ en comportement global du contact entre la poutre et son support est défini par la relation de Coulomb Eq. 8-3.

ϕ≤ TgNT ss (8-3)

En précharge : L’effort normal à l’interface de contact est égal à la somme des forces de serrages (Q1+Q2).

L’effort tangentiel maximal Ts Max à l’interface de contact est donné par la loi de Coulomb :

Ts Max = f (Q1 + Q2) (8-4)

Sous un chargement extérieur : On suppose, dans ce cas, qu’il y a q ressorts parmi N qui travaillent en compression.

L’effort normal résultant Ns à l’interface de contact est égal à la somme des efforts normaux des ressorts actifs :

N

s j njj=1

N = k . u∑ ; nj njSi u >0 on prend u =0 (8-5)

L’effort tangentiel résultant à l’interface de contact est donné par la relation (8-6). N

s j j njj=1

T = tg .k . uϕ∑ ; nj njSi u >0 on prend u =0 (8-6)

L’effort tangentiel Ts correspond à la somme des efforts tangentiels des ressorts actifs. Cet effort sera maximal lorsque les coefficients d’adhérence de tous les ressorts actifs sont à la limite de l’adhérence (tgϕj = f) :

njN

1jjMax s u.kfT ∑

== (8-7)

Pour vérifier la condition de non glissement à l’interface de contact, il faut trouver les efforts normaux et tangentiels résultants sous un chargement extérieur.

Si l’assemblage n’est sollicité que par un effort transversal extérieur FT, il n y a pas de glissement tant que FT ≤ Ts Max d’où la condition suivante :

T

1 2

F fQ +Q

≤ (8-8)


___________________________________________________________________________ 114

Si l’assemblage est sollicité par une combinaison d’efforts extérieurs (FE et FT), nous appliquons les lois d’équilibre avec la loi de contact à l’assemblage. Nous isolons la structure constituée par la pièce supérieure (poutre) et les deux boulons B1 et B2. (S), en appuie sur le support. La poutre est soumise aux efforts suivants : FE, FT, et éventuellement à la réaction RB du coin en cas de compression. Les réactions aux nœuds d’ancrage E1 et E2 (Figure 8.3 et Figure 8.4), dépendent des conditions limites initialement choisies. Pour le cas particulier de l’assemblage expérimental, les vis sont sollicitées en flexion pure, et dans ce cas, il faudrait considérer que la réaction suivant l’axe X est nulle (F(X,Ei) = 0).

Dans la résolution numérique du modèle on fait des itérations de calcul sur le chargement vertical FE, (Figure 8.5). A chaque itération k on analyse le risque de glissement à l’interface de contact en calculant un coefficient d’adhérence (tgϕ)(k). Les résultantes Ts et Ns appliquées par le support sur la poutre, à travers l’interface de contact, sont calculées à partir des données de l’itération de calcul k et des résultats de l’itération (k-1) :

En tension (Figure 8.3) : (k-1) (k-1)

s T 1 2T =F + F [X,E ] + F [X,E ] (8-9)

(k-1) (k-1) s B1 B2EN = F - F - F (8-10)

En compression (Figure 8.4) : (k-1) (k-1)

s B B T 1 2T =F + R .tgθ + F [X,E ] + F [X,E ] (8-11)

(k-1) (k-1) s B B1 B2EN = F R + F + F− (8-12)

(k-1)

1F [X,E ]et (k-1)

2F [X,E ]sont respectivement les forces appliquées suivant la direction X aux nœuds E1 et E2 calculées dans l’itération (k-1). Ces forces sont nulles si les nœuds d’ancrage E1 et E2 sont libre en déplacement suivant X, comme pour les assemblages expérimentaux.

(k-1) B1F et (k-1)

B1F sont les efforts axiaux appliqués aux boulons aux nœuds d’ancrage E1 et E2 , calculés à l’itération (k-1).

Le coefficient d’adhérence (k)(tg ) ϕ en comportement global à une itération de calcul k est :

En tension : (k-1) (k-1)

(k-1) (k-1)

(k) T 1 2

B1 B2E

F + F [X,E ] + F [X,E ](tg ) = F - F - F

ϕ (8-13)

En compression : (k-1) (k-1)

(k-1) (k-1)

B B (k) T 1 2

B B1 B2E

F + R .tgθ + F [X,E ] + F [X,E ](tg ) = F R + F + F

ϕ−

(8-14)

Il n y a pas de glissement à l’itération k si :

(k)(tg ) fϕ ≤ (8-15)

En cas de glissement : L’existence d’un glissement va générer un desserrage. Afin d’éviter ce risque, il sera

nécessaire de changer, dans la limite des dispositions géométriques de l’assemblage, les précontraintes de serrage ou de passer à un diamètre de vis supérieur. Sinon, on ne devra pas solliciter l’assemblage par des efforts qui dépassent les charges limites donnant le glissement et l’instabilité du montage.


___________________________________________________________________________ 115

8.3. ALGORITHME DE RESOLUTION ET PROGRAMMATION DU MODELE

Lecture des données

Q1, Q2 , FT , FE max, ME max

Calcul du coefficient d’adhérence en

précharge et sous FT : T

1 2

Ftg =Q +Q

ϕ

oui

non

préc

harg

emen

t

- Glissement à l’interface

- Changer de serrage des

boulons ou des vis

char

gem

ent

tg fϕ ≤

Calcul du coefficient d’adhérence

en comportement global : ( tgϕ)( k )

En tension : Eq. (8-13)

En compression: Eq. (8-14)

- Glissement à l’interface

- Vérifier les boulons

au cisaillement

- Charges maximales

donnant glissement :

FE.gliss , ME.gliss

- Résultats des itérations

précédentes (Forces,

déplacements, Contraintes

sur les vis, …

non

oui

(k)(tg ) fϕ ≤

Pas de glissement

à l’interface de contact

Test de pénétration

Réactualiser la matrice de contact

Résultats du calcul : Forces et

déplacements aux noeuds

Fin

K-1<----k

FE<---FE+ΔFE et ME<---ME+ΔME

Cal

cul

de l’

itéra

tion

k E

ffort

s tan

gent

iels

impo

sés a

ux é

lém

ents

act

ifs

Figure 8.5 : Algorithme de résolution pour un effort transversal FT donné.

La couche élastique C’D’ de la Figure 8.2 est définie par l’ensemble des N ressorts


___________________________________________________________________________ 116

Calcul des itérations : On suppose qu’il y a adhérence en précharge et sous un effort transversal FT appliqué à

l’extrémité de la poutre. C'est-à-dire que l’on a : T

1 2

F fQ +Q

≤

Notations :

Tj(k) : Effort tangentiel appliqué au nœud j (entre la zone BC de la Figure 8.2) à l’itération k.

C’est l’effort tangentiel équivalent appliqué par le support sur la poutre, au niveau de la zone de contact, modélisé par le ressort j.

Lc : longueur totale de la zone de contact entre les pièces assemblées (BC)

Lj : Longueur de la zone de contact j (Lj ≤ Lc)

Pour un effort transversal donné FT, on calcule les itérations en faisant varier l’effort extérieur. Pour FT une valeur donnée, on choisit de faire varier la force FE parce qu’elle sollicite plus les vis de fixation en flexion. On peut aussi ajouter une boucle dans le code de calcul pour faire varier FT mais il suffit de faire varier sa valeur d’entrée pour étudier son effet sur les contraintes dans les vis.

Itération (0) : Sous la précharge et sous un chargement transversal FT les pièces adhèrent et l’on suppose

que l’adhérence est uniforme sur toute la zone de contact, d’où l’effort tangentiel au contact j :

(0)

j

jT

C

LT =F

L (8-16)

C’est un calcul approché permettant d’initialiser les valeurs des efforts tangentiels. Itération (k) :

Etant donné tous les résultats du calcul à l’itération (k-1), on procède au calcul de l’itération k comme suit :

- Test de pénétration et réactualisation de la zone de contact (matrice de rigidité de contact, zones en contact, zones en décollement).

- On calcule le coefficient d’adhérence global (k)

(tg )ϕ à l’itération (k), relations (8-13) ou (8-14) en se servant des résultats de l’itération (k-1) et des données de l’itération k.

- On prend le coefficient d’adhérence uniforme sur toute la zone de contact active (interfaces en contact) pour le calcul des efforts tangentiels appliqués à l’itération k.

- Pour chaque élément de contact actif j, on impose comme condition aux limites à l’itération k un effort tangentiel Tj

(k) tel qu’il est donné par la relation (8-17).

- On lance le calcul pour l’itération k. (k-1) (k)(k)

j jT =N .(tg )ϕ (8-17)

Avec :

[ ] [ ]{ }(k-1)

j

(k-1) (k-1)jN =k . X j;v -X (j+N);v (8-18)


___________________________________________________________________________ 117

jj T

C

Lk =K .

L (8-19)

(k-1)

jN : Effort normal appliqué au ressort j à l’itération (k-1).

jk : Raideur du ressort j.

[ ](k-1)X j;v : Déplacement du nœud j suivant l’axe des Y à l’itération (k-1).

Le test de glissement dépend de l’adhérence globale laquelle résulte de l’adhérence locale. On calcule pour chaque itération un coefficient d’adhérence caractérisant le comportement local et global du contact. On fait donc un modèle approché pour modéliser le contact à l’interface et calculer les efforts tangentiels à chaque itération.

8.4. VALIDATION DU MODELE PAR DES SIMULATIONS EF 3D Nous reprenons l’exemple d’un assemblage à deux vis dont les dimensions sont données

dans le Tableau 8.1. Les deux vis sont M10 8.8. Les pièces assemblées sont en aciers. Le coefficient de frottement à l’interface de contact est f = 0.14.

t (mm) u (mm) v (mm) w (mm) hp (mm) 2a (mm)

20 25 25 55 20 40

Tableau 8.1 : Dimensions de l’exemple d’assemblage à 2 vis.

Le modèle en éléments finis tridimensionnels est représenté sur la Figure 8.6. On a imposé

les mêmes conditions aux limites que pour les modèles précédents sauf pour l’extrémité de la pièce assemblée où l’on n’impose pas une rotation nulle ni un arrêt en déplacement suivant X. Les pieds des vis sont libre en déplacement suivant X. On a appliqué en plus de l’effort vertical un effort transversal FT. Les précontraintes appliquées aux vis sont identiques et sont σ01 = σ02 = 200 MPa. Elles correspondent à des efforts de serrage Q1 = Q2 = 11600 N.

Figure 8.6 : Modèle Eléments Finis tridimensionnels avec effort transversal FT.

8.4.1 Simulations EF 3D du comportement de l’assemblage Comportement en tension : Les simulations en EF tridimensionnels montrent que la pièce

fléchit et qu’un glissement global se produit à l’interface pour FT =6000 N et FE = 15000N,


___________________________________________________________________________ 118

(Figure 8.7). Ce glissement s’explique par le fait que le chargement transversal FT dépasse le chargement limite d’adhérence à et que le bas des vis est libre en déplacement suivant la direction X. Le déplacement maximal suivant X est lu à l’extrémité de la pièce assemblée et vaut 1.22 mm.

Figure 8.7 : Déplacement suivant X de l’assemblage en tension sous un chargement

FE = 15000 N et FT = 6000 N.

Comportement en compression : Les simulations montrent aussi qu’un glissement à l’interface se produit pour FT = 10000 N et FE = -40000 N, (Figure 8.8). Le déplacement maximal suivant X, lu à l’extrémité de la pièce assemblée, est de 1.21 mm.

Figure 8.8 : Déplacement suivant X de l’assemblage en compression sous un chargement

FE= -40000 N et FT = 10000 N.

8.4.2 Distribution de la pression à l’interface de contact Comme dans le cas d’un chargement FE seul, la configuration en tension est la plus

pénalisante pour la tenue de l’assemblage. Afin de valider le comportement du Modèle Numérique Simplifié Général, nous avons étudié l’assemblage avec uniquement un chargement transversal (FE = 0 et FT ≠ 0). Ce cas d’étude permet d’évaluer et de vérifier l’état du contact par rapport au chargement limite d’adhérence à l’interface (FT = Ts Max = f (Q1 + Q2) = 3248 N).

a : FE = FT = 0

(état précontraint) b : FE = 0 et FT = 3240 N

(limite d’adhérence) c : FE = 0 et FT = 3250 N

(état de glissement)

Figure 8.9 : Evolution de la zone du contact avec FE = 0 et FT > 0


___________________________________________________________________________ 119

La distribution de pression au niveau de l’interface de contact de la Figure 8.9, présente une pression plus élevée entre les deux vis de l’assemblage. L’évolution de cette distribution ne varie pas beaucoup entre l’état précontraint (Figure 8.9a) et la position limite de l’adhérence (Figure 8.9b et Figure 8.10). Le rôle des précontraintes, au niveau des vis, est primordiale pour maintenir cette pression de contact à proximité des vis. Suivant la largeur (axe Z), le modèle en éléments finis présente une variation décroissante de la pression. Le programme de calcul ne peut pas prendre en compte ce phénomène. Par contre, le programme calcule une valeur moyenne de la pression associée à une position X de l’interface de contact. La Figure 8.10 tient compte de cette remarque. On constate une bonne corrélation entre les résultats du programme et ceux qui sont obtenus par le calcul éléments finis.

Figure 8.10 : Distribution de la pression à l’interface du contact

Une étude similaire à la précédente est réalisée en tenant en compte de l’existence d’un chargement vertical (FE = 15000 N). Le choix de cette valeur sollicite l’assemblage en flexion prépondérante et fait apparaître un décollement au niveau de l’interface du contact. La sollicitation en flexion augmente la pression à l’interface de la pièce sur son support et contribue, dans un premier temps à l’adhérence de l’assemblage. Par contre, cette zone s’est considérablement réduite par rapport à l’état de précharge seule (Figure 8.9a) et s’est déplacée au-delà de la deuxième vis (Figure 8.11).

a : FE = 15000 N et FT = 0

(état 1) b : FE = 15000 N et FT = 5000 N

(limite d’adhérence) c : FE = 15000 N et FT = 5200 N

(état de glissement)

Figure 8.11 : Evolution de la zone du contact avec FE > 0 et FT > 0

La Figure 8.12 présente la distribution de la pression entre le modèle numérique et les simulations éléments finis. Les courbes sont relatives à l’état 1 (Figure 8.11a) et l’état limite d’adhérence (Figure 8.11b). Le glissement apparaît plus tôt pour le modèle numérique, mais


___________________________________________________________________________ 120

reste proche du comportement obtenu en éléments finis. L’allure des courbes est similaire et le seuil du décollement se situe autour de 20 mm, dans les deux cas.

On constate une légère dispersion sur la valeur maximale de la pression, à l’extrémité de la pièce. Toutefois, cette pression est localisée sur le bord de la poutre et il peut exister des singularités numériques liées à un maillage mal conditionné localement et qui nécessiterait d’être plus raffiné. De ces remarques, il ne faut retenir que l’ordre de grandeur de la pression extrême, qui doit être proche de 80 MPa. D’autre part, les courbes associées aux résultats des simulations éléments finis ne décroissent pas de la même façon, ce qui n’est pas le cas pour les courbes du modèles numériques. Les premiers nœuds, situés à l’extrémité des courbes éléments finis, se déchargent lorsque que l’on augmente l’effort FT. Ce comportement n’est pas observé pour le modèle numérique. L’ajout de l’effort transversal a diminuée la pression, donc l’effort normal de réaction, au détriment de l’effort transversal qui voit son intensité augmenter (augmentation de l’angle de contact). La procédure de calcul mis en œuvre pour le modèle numérique ne permet pas d’obtenir ce degré de finesse. Toutefois, dans le cadre d’un outil de pré-dimensionnement, on considère que les résultats obtenus en première approche sont tout à fait satisfaisants.

Figure 8.12 : Distribution de la pression à l’interface du contact

8.4.3 Comparaison des résultats en contrainte alternée

Les résultats du modèle numérique simplifié général sont comparés à ceux issus des simulations EF tridimensionnels. Les courbes des contraintes alternées en fonction du chargement vertical FE sont représentées sur les Figures de 8.13 à 8.16 pour deux cas de chargement transversal (positif : FT = 3000 N et négatif : FT = -3000 N). Ce choix vérifie la condition de non glissement sous l’effort transversal seul : FT ≤ f (Q1 + Q2) en considérant un coefficient de frottement f = 0.14, pour l’interface de contact des pièces choisies.

En tension (FE > 0), on trouve une bonne corrélation entre les résultats des deux modèles numériques pour les deux sens de l’effort transversal et pour chaque vis, (Figures 8.13 et 8.14). Les calculs sont faits au-delà des capacités réelles des vis (la contrainte limite admissible pour des vis standard M10 8.8 est σD =50 MPa). Ce n’est que pour étudier le comportement du modèle numérique simplifié général pour des charges plus sévères. La


___________________________________________________________________________ 121

deuxième vis de l’assemblage n’est sollicitée qu’à partir des charges (FE = 7000 N pour FT = 3000 N) et (FE = 10000 N pour FT = -3000 N).

Comparaison de résultats - MNSG / EF 3DCas tension et FT = 3000 N

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 M NSG Vis 2 M NSG Figure 8.13 : Assemblage en tension et soumis à FT = 3000 N.

Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D

Cas tension et FT = - 3000 N

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 M NSG Vis 2 M NSG Figure 8.14 : Assemblage en tension et soumis à FT = -3000 N.

En compression (FE < 0), les deux modèles numériques donnent des résultats proches pour les deux sens de l’effort transversal et pour chaque vis, (Figures 8.15 et 8.16). Le comportement de l’assemblage n’est pas justement représenté comme les simulations EF tridimensionnels. Pour le cas (FT > 0) on remarque pour le modèle une diminution des contraintes alternées à partir de (FE = 8000 N), Figure 8.15, puis les courbes reprennent leur évolution normale en augmentant l’effort vertical FE. Cette variation s’explique par un glissement relatif entre les pièces assemblées suite à une diminution de la surface de la zone en contact, ce qui soulage légèrement les vis et particulièrement la vis 2. Après glissement, un nouvel état d’équilibre apparaît et les pièces adhèrent de nouveau. En compression, l’écart important entre les résultats des deux modèles peut être justifié par le fait que dans le modèle EF tridimensionnel le contact au niveau du coin du support est considéré sur une surface très limitée, par contre dans notre modèle, on représente le contact avec le coin par des déplacements imposés équivalents. Dans tous les cas le modèle développé dimensionne les fixations par rapport à la vis 1 en toute sécurité.


___________________________________________________________________________ 122

Comparaison de résultats - MNSG / EF 3DCas compression et FT = 3000 N

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5000 10000 15000 20000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 M NSG Vis 2 M NSG Figure 8.15 : Assemblage en compression et soumis à FT =3000 N.


Cas compression et FT = - 3000 N

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5000 10000 15000 20000

FE (N)

σa (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 2 M NSG Vis 1 M NSG

Figure 8.16 : Assemblage en compression et soumis à FT = -3000 N.

En appliquant le modèle développé au même exemple mais pour des charges transversales plus importantes (FT > f (Q1 + Q2)). Les courbes des contraintes alternées obtenues présentent des variations autour de leurs valeurs moyennes, (Figures de 8.17 à 8.20). Ceci est remarqué en tension (FE > 0) et en compression (FE < 0). Ces fluctuations sont associées à des glissements successifs à l’interface de contact en augmentant progressivement le chargement vertical FE. Si on augmente FE Progressivement les efforts normaux diminuent ce qui favorise le glissement. D’autre part, l’étendu de la surface de contact s’éloigne de FE, pour diminuer et se restreindre sur l’extrémité opposée à FE.


___________________________________________________________________________ 123

Comparaison de résultats - MNSG / EF 3DCas tension et FT = 5000 N

-50 0

50 100

150 200 250

300 350

400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

F E (N)

σ a (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 MNSG Vis 2 MNSG Figure 8.17 : Assemblage en tension et soumis à FT = 5000 N.


Cas compression et FT = 10000 N

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 4000 8000 12000 16000 20000

F E (N)

σ a (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3DVis 1 MNSG Vis 2 MNSGPolynomial (Vis 2 MNSG) Polynomial (Vis 1 MNSG)

Figure 8.18 : Assemblage en compression et soumis à FT = 10000 N.


Cas tension et FT = - 5000 N

-50 0

50 100 150 200 250 300 350 400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

F E (N)

σ a (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 MNSG Vis 2 MNSG Figure 8.19 : Assemblage en tension et soumis à FT =-5000 N.


___________________________________________________________________________ 124

Comparaison de résultats - MNSG / EF 3DCas compression et FT = - 10000 N

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5000 10000 15000 20000 25000

F E (N)

σ a (MPa)

Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3DVis 2 MNSG Vis 1 MNSGPolynomial (Vis 1 MNSG) Polynomial (Vis 2 MNSG)

Figure 8.20 : Assemblage en compression et soumis à FT = -10000 N.

8.5. EFFET DE L’EFFORT TRANSVERSAL SUR LES CONTRAINTES ALTERNEES DES VIS

On fait varier l’effort transversal FT pour chaque calcul. On remarque que pour un assemblage sollicité par une force de tension verticale donnée, l’augmentation de la force transversale FT ne fait qu’augmenter légèrement les contraintes alternées des deux vis d’assemblage, (Figure 8.20). En compression, l’augmentation de la force transversale FT, augmente considérablement les contraintes alternées sur les deux vis d’assemblage, (Figure 8.21).

Etude en tension (FE>0)

Variation de l'effort transversal

- 2 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

10 0

12 0

14 0

16 0

0 10 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 50 0 0 6 0 0 0 70 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0

FE (N)

σa (MPa)

vis2-EF 3D-Ft0 vis1-EF 3D-Ft0 vis1-EF 3D-Ft1000 vis2-EF 3D-Ft1000

vis1-EF 3D-Ft5000 vis2-EF 3D-Ft5000 vis1-EF 3D-Ft10000 vis2-EF 3D-Ft10000

Figure 8.21 : Variation des contraintes alternées des vis en fonction de l’effort FT pour un

assemblage en tension.


___________________________________________________________________________ 125

Etude en compression (FE<0)Variation de l'effort transversal

- 2 5

0

2 5

50

75

10 0

0 50 0 0 10 0 0 0 150 0 0 2 0 0 0 0 2 50 0 0

FE (N)

σa (MPa)

vis2-EF 3D-Ft0 vis1-EF 3D-Ft0 vis1-EF 3D-Ft1000vis2-EF 3D-Ft1000 vis1-EF 3D-Ft5000 vis2-EF 3D-Ft5000vis1-EF 3D-Ft10000 vis2-EF 3D-Ft10000

Figure 8.22 : Variation des contraintes alternées des vis en fonction de l’effort FT pour un

assemblage en compression.

On représente dans la Figure 8.23 les contraintes alternées des deux vis 1 et 2 en fonction des deux forces extérieures FE et FT. L’évolution des contraintes est non linéaire. Si on trace le plan d’équation σa = 50 MPa, on peut trouver sa ligne d’intersection avec l’évolution de σa en fonction des variables (FE et FT). Cette ligne est la limite du domaine d’application des charges FE et FT.

Tension (FE > 0) Compression (FE < 0)

Figure 8.23 : Variation de la contrainte alternée dans les vis 1 et 2 en fonction de effort vertical FE et l’effort transversal FT.


___________________________________________________________________________ 126

8.6. INTERET DES ESSAIS EXPERIMENTAUX Il est intéressant de réaliser des essais qui serviront à vérifier les résultats des modèles

numériques pour un assemblage sollicité à la fois par un effort vertical et un effort transversal. Dans cette extension d’étude, nous nous limitons à une validation numérique du modèle simplifié étendu au cas transversal. On propose une configuration du dispositif expérimental, (Figure 8.24). Au moyen de deux vérins hydrauliques à double effet, on peut appliquer simultanément ou indépendamment à l’extrémité de l’assemblage une force transversale FT et une force verticale FE. Ce qui permet d’appliquer à l’assemblage une force dans toute direction et tout sens dans le plan. Les deux vérins sont articulés à leurs extrémités, les déplacements verticaux donnés par le vérin V sont petits et la longueur L entre les deux articulations du vérin H est choisie suffisamment grande.

Vérin H

Vis 1 Vis 2

Assemblage à deux boulons

Bâti Système de fixation du support

Pièce support

Vér

in V

Figure 8.24 : Schéma de principe du dispositif expérimental pour un assemblage à deux

boulons sous chargements dans le plan (transversal FT et vertical FE).

8.7. CONCLUSION Le modèle numérique développé est étendu et validé pour tout chargement appliqué à l’extrémité

de l’assemblage dans son plan, cas des problèmes réels où la force appliquée est quelconque. Pour des composantes transversales importantes l’assemblage prend un nouvel état d’équilibre, soit que les pièces adhèrent de nouveau soit que les vis sont sollicitées en cisaillement sous la force transversale. Dans ce cas, il faut penser à modifier les conditions de serrage, de chargement ou de géométrie de l’assemblage. Pour mieux étudier le comportement de l’assemblage sous des charges importantes, il vaut mieux réaliser des essais permettant de suivre l’évolution du contact en fonction des charges verticales et transversales, et de déterminer le début de glissement à l’interface de contact des pièces assemblées pour différentes configurations de géométrie et de serrage des vis.

___________________________________________________________________________ 127

CONCLUSION GENERALE

En pré-dimensionnement des assemblages filetés, on peut souvent considérer que seule la première vis travaille réellement, comme dans le modèle analytique à un boulon. Cette hypothèse n’est pas toujours acceptable. Il fallait donc prendre en compte la deuxième vis afin d'affiner l'étude. Pour cela nous avons développé un modèle analytique à deux boulons. Ce modèle est bien validé en tension, en comparaison avec une modélisation en éléments finis tridimensionnels. La deuxième vis est beaucoup moins sollicitée en flexion, mais sa contribution améliore la tenue et la stabilité du montage sous un chargement d’intensité variable. Elle participe à la rigidité globale de l’assemblage et diminue le niveau de la contrainte alternée de la première vis. Ce constat est d’autant plus vrai que l’entraxe (u), des boulons, est faible.

Pour des vis de M10 à M16 et pour des conditions d’endurance supérieures à 2.106 cycles, la limite de fatigue est de l’ordre de 50 MPa pour des vis standard. Dans tous les cas de montage, la sollicitation en tension reste la plus contraignante pour l’étude en fatigue. C’est ce type de sollicitation qui atteint rapidement la valeur de la contrainte alternée admissible (σad).

En compression les résultats permettent de constater que le modèle analytique ne représente pas correctement le comportement réel de l’assemblage, c’est pourquoi nous avons envisagé une nouvelle modélisation numérique simplifiée. Ce modèle intègre des éléments poutres pour caractériser la pièce et les vis tandis que le comportement du contact entre la pièce et son support est réalisé avec des ressorts dont la particularité est de ne travailler qu’en compression. Ce dernier modèle permet de calculer les déplacements et les efforts dans tous les nœuds de la structure. Il peut non seulement servir au dimensionnement des éléments de fixation en toute sécurité, en statique ou en dynamique, mais aussi évaluer la zone de contact ainsi que le décollement, pour un état de chargement donné.

L’étude expérimentale valide le comportement du modèle simplifié développé. La méthode des plans d’expériences (plan mixte), a permis d’étudier l’influence des différents paramètres de l’assemblage sur la contrainte alternée dans les vis. L’influence du serrage des vis et l’effet des déformations au coin support, sur la fatigue des vis, ont été mis en évidence.

Le modèle programmé a l’avantage de traiter le calcul des assemblages dans un temps très faible, en comparaison à un calcul en éléments finis tridimensionnels. Il est exploitable pour des applications industrielles. Afin de rendre le code de calcul opérationnel dans un environnement de bureaux d’études, un habillage a été développé pour aboutir à un d’outil d’assistance au dimensionnement des fixations. Ce démonstrateur a été développé pour plusieurs configurations d’assemblages boulonnés couramment rencontrés dans le domaine industriel.

L’angle au coin est faible, le glissement à l’interface de contact des pièces assemblées ne peut avoir lieu que localement. Par contre, si l’assemblage est sollicité en plus par des forces transversales, on doit intégrer les composantes tangentielles des efforts de contact à l’interface dans les itérations de résolution numérique du modèle. Pour cela, une extension d’étude a été développée pour le cas des assemblages sollicités en plus par des charges transversales. La validation du modèle est faite par comparaison aux calculs Eléments Finis tridimensionnels. Ce dernier modèle permet de dimensionner l’assemblage pour un chargement quelconque appliqué à son extrémité.

Conclusions et perspectives __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 128

PERSPECTIVES

Pour des contraintes de temps et de matériels, les essais expérimentaux pour le cas d’un assemblage sollicité en plus par un effort transversal n’ont pas pu être réalisés. De tels essais permettraient de valider expérimentalement les résultats du modèle numérique, dans ce dernier cas. La réalisation de ces essais est possible sur une machine permettant d’appliquer à l’assemblage simultanément un chargement vertical et transversal.

Nous pensons qu’il existe trois axes possibles comme développements futurs et qui représentent une continuité de notre travail :

1) Un modèle numérique simplifié à n lignes et p colonnes de boulons fixant une pièce prismatique sur un support et à chargement excentré peut être développé. La pièce fixée peut être une poutre ou une plaque rectangulaire.

2) Dans la plupart des assemblages filetés, le chargement extérieur réel peut aussi comporter un moment de flexion transversal. Un tel moment provoque le gauchissement de la pièce assemblée, et génère donc d’autres contraintes dans les éléments filetés (flexion des vis hors du plan de l’assemblage). Le modèle numérique présenté comme modèle de base dans cette thèse peut être étendu pour associer la sollicitation de flexion aux autres efforts et simuler le comportement réel de la structure assemblée. Dans ce cas, on doit introduire les raideurs transversales des éléments concernés dans leurs matrices de rigidité. Ce qui implique d’ajouter un degré de liberté par nœud, qui est la rotation autour de l’axe x ou l’axe y.

3) Le code de calcul du modèle simplifié développé a été exploité à travers une interface graphique conçue sous le logiciel Visual Basic for Applications (VBA6). Cette interface permet d’introduire les données relatives à cinq configurations d’assemblages à un, deux ou quatre boulons. On peut ensuite lancer le calcul et lire les résultats. Cette première ébauche de logiciel peut être améliorée et étendue à d’autres configurations d’assemblages filetés. Elle peut être aussi associée à une bibliothèque d’éléments standard et à des bases de données de matériaux.

Au final, si toutes ces suggestions de développement aboutissent, nous pouvons penser que nous disposerions d’un outil numérique d’assistance capable de calculer diverses configurations d’assemblages filetés de pièces prismatiques et de traiter beaucoup de cas industriels.

___________________________________________________________________________ 129

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___________________________________________________________________________ 137

ANNEXES

I - Dispositifs expérimentaux ................................................................................................. 139

II - Traitement des mesures des jauges de déformations ....................................................... 144

III - Etapes du plan d’expériences mixte - Application des logiciels BPEW et JMP ............ 147

IV - Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°.............................................. 155

V - Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté .................................... 161

___________________________________________________________________________ 139

Annexe I

DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX

1. Machine d’essai Une machine hydraulique Schenck Hydropuls PSB 100 est utilisée pour réaliser des essais

de traction et de compression sur les assemblages boulonnés. La machine peut être pilotée en déplacement ou en force. Dans notre cas, on applique une rampe de force qui varie de 0 à la valeur maximale supportée par l’assemblage avec une vitesse de 0.5 KN/s.

L’effort machine Fmax à appliquer sur un assemblage dépend de la géométrie et des matériaux utilisés. Cet effort ne doit provoquer aucune déformation plastique des éléments de l’assemblage. Fmax est estimée par le programme développé suite à la modélisation en éléments finis 3D.

L’asservissement de la machine devra fournir l’effort nécessaire pour respecter au plus juste la consigne de position, sous réserve de ne pas dépasser la capacité de la machine (effort maximum +/- 100kN). L’interface informatique de la machine permet de définir quelques paramètres de sécurité pour le bon fonctionnement, comme des limites de surveillance du déplacement ou de la force.

Figure A1.1 : Machine d’essais de traction – compression

Annexe I Dispositifs expérimentaux __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 140

2. Emplacement des rotules

Figure A1.2 : Emplacement des rotules

Pour assurer le guidage du montage au cours des essais de compression, on a conçu trois pièces cylindriques intercalées entre les deux rotules tout en permettant la déformation élastique des pièces. Il y a trois pièces car la hauteur hP prend trois valeurs selon le plan d’expériences à suivre.

Figure A1.3 : Pièces intermédiaires pour guidage et stabilité du montage en compression

3. Dispositif d’installation de la précontrainte sur l’assemblage

Les quatre boulons sont positionnés par rapport aux jauges et doivent être serrés de la même façon. On coince les têtes des boulons entre les mors d’un étau de fraiseuse, (Figure A1.4). On monte les écrous jusqu’à effleurer la pièce, sans faire de serrage, puis on tare à zéro toutes les données sorties du logiciel d’acquisition CATMAN.

Quand on serre les écrous, on doit avoir la même somme de déformation des jauges située à gauche et à droite d’une vis (Δg + Δd), pour les quatre boulons. Cette somme doit correspondre à la valeur de précontrainte souhaitée.

Figure A1.4 : Dispositif de serrage des boulons

4. Dispositifs de mesure et d’acquisition des données

La traduction des déformations des jauges est assurée par des boîtiers électroniques SPIDER 08. Les fils des jauges sont reliés aux canaux physiques des boîtiers par des connecteurs appropriés, Figure AI.5.


___________________________________________________________________________ 141

Figure AI.5 : Boîtiers Spider 8 et connecteurs des fils issus des jauges de déformations

La mise en œuvre des mesures extensométriques issues des vis instrumentées présente certaines difficultés :

- du côté de la tête, l’extrémité de la vis est encombrée par les fils de liaison des jauges et leurs plaquettes-relais ;

- la tête doit être coincée entre les mors pour installer la précontrainte ce qui provoque parfois l’arrachement des fils ;

- Il faut respecter la position des jauges gauche et droite de chaque vis par rapport aux entrées physiques des boîtiers Spider 8.

Les mesures ont été prises par un système d'acquisition informatisé. On branche les boîtiers Spider 8 à un ordinateur équipé du logiciel CATMAN qui permet de lire et de traiter les différentes mesures.

La Figure AI.6 montre comment les jauges sont intégrées dans leur pont de mesure (pont de Wheatstone). Les jauges de déformation longitudinale sont montées en ¼ de pont ; elles forment un demi-pont avec leur résistance compensatrice.

tension de mesure

Um

résistance decompensation

jauge tension d’alimentation Ual

Figure AI.6 : Montage en ¼ pont (jauges longitudinales)

L’allongement d’une jauge de déformation induit une variation de sa résistance et donc de la tension de mesure. La résistance compensatrice et les résistances de complément du pont (intégrées dans le boîtier d'acquisition Spider 8) sont d’une précision élevée et d'une grande stabilité, la variation de la tension de sortie ne dépend donc que de l’état de la jauge. On enregistre le rapport Um/Ual entre la tension de sortie du pont et sa tension d’alimentation, qui est très sensiblement proportionnel à la déformation subie par la jauge.

Au cours des essais les données sont acquises à l’aide d’un boîtier d’acquisition Spider 8 de la société Hottinger Baldwin Messtechnik Gmbh (HBM). La Figure AI.7 montre un schéma d’ensemble du matériel d’acquisition.


___________________________________________________________________________ 142

Boîtier d'acquisition Spider 8

Vis instrumentée

Adaptateurs

Liaison parallèle

Capteur de force machine

Figure AI.7 : Schéma d’ensemble du matériel d’acquisition

Ce boîtier offre la possibilité d’acquérir simultanément les données sur 8 canaux analogiques (nous avons utilisé deux boîtiers car nous avions besoin de 13 entrées). Ces données sont numérisées et transmises par blocs, sur le port parallèle d’un PC. La configuration du Spider 8 ainsi que l’affichage des signaux de données et leur enregistrement sont assurés par le logiciel CATMAN spécifique à Spider 8.

La configuration de ce logiciel comprend, entre autres, la désignation des canaux utilisés et leurs noms, le type et la connexion des capteurs, les fréquences d’acquisition et de transmission des données (Figure AI.8).

période d’échantillonnage transmission des données au PC

par blocs de 10 échantillons

Figure AI.8 : Ecran de définition de l’échantillonnage

Au cours des manipulations, on s'est intéressé à l'évolution progressive des grandeurs au cours du temps. On a donc retenu un échantillonnage des grandeurs en 10 points par seconde. Le système d’acquisition enregistre les signaux des jauges de déformation de chacune des quatre vis, ceux des capteurs de force et de déplacement sur la machine SCHENCK ainsi que la mesure du temps. Le suivi des mesures en temps réel est assuré par le logiciel CATMAN, comme le montre les Figures AI.9 et AI.10.


___________________________________________________________________________ 143

Figure AI.9 : Lecture des mesures des jauges et des capteurs (Essai16, tension

un cycle de charge-décharge)

Figure AI.10 : Lecture des mesures des jauges et des capteurs (Essai16, compression un cycle de charge-décharge)


___________________________________________________________________________ 144

A la fin de l’essai on enregistre les résultats dans un fichier en format ASCII pour avoir un fichier de données (.dat). Ce fichier texte sera récupéré sur un tableur, Figure AI.11. Sur la nouvelle version du logiciel, on récupère directement les données en format du tableur.

Figure AI.11 : Enregistrement des données des essais.

___________________________________________________________________________ 145

Annexe II

TRAITEMENT DES MESURES DES JAUGES DE DEFORMATIONS

Quand une jauge de déformation, de résistance électrique au repos R, subit un allongement relatif ε, la variation relative de sa résistance peut s’écrire :

ΔR =K.R

ε ou ΔR ΔL=K.R L

(AII-1)

Où K est le facteur de jauge (sans unité) donné par le fabriquant, qui dépend du matériau constituant la jauge et des détails de sa fabrication.

Le pont de Wheatstone équipant la jauge fournit une mesure Δ(Um/Ual) proportionnelle à ΔR/R . Pour les trois jauges de déformations longitudinales : g, m et d, les déformations sont :

- Pour un montage en ¼ de pont :

m ii

i al

U1 4ε = Δ1000 K U

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(AII-2)

- Pour un montage en ½ pont :

m ii

i al

U1 2ε = Δ1000 K U

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(AII-3)

Ki est le facteur de jauge (sans unité), Um/Ual est exprimé en mV/V, et ε est sans unité.

Jauge g

Jauge d

xr

yr Mx

My

Mf

Section de la vis au niveau des jauges

Jauge m

Figure AII.1 : Décomposition du moment de flexion selon deux directions

orthogonales

Annexe II Traitement des mesures des jauges de déformations __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 146

Les jauges gauche « g » et droite « d » sont diamétralement opposées, (Figure AII.1). On calcule donc la déformation εQ moyenne due à la seule tension de la vis en prenant la moyenne des déformations mesurées par ces deux jauges :

g dQ

ε +εε =

2 (AII-4)

Le calcul du moment de flexion est un peu plus compliqué : il faut d’abord calculer ses composantes selon deux directions orthogonales, puis en déduire le moment de flexion total. Les deux directions sont celles de deux diamètres de la vis passant l'un par les jauges « g » et « d », l'autre par la jauge milieu « m ». On nomme X et Y les axes portant ces 2 diamètres. Les déformations dues aux moments de flexion Mx et My sont données respectivement par :

g dMx m

ε +εε =ε -

2 (AII-5)

g dMy

ε -εε =

2 (AII-6)

La déformation due au moment de torsion (couple de serrage) peut être directement mesurée par une rosette « r ». Nous n’avons pas collé de rosettes sur les vis puisque le moment de torsion ne change pas au cours du chargement de l’assemblage et nous savons calculer sa valeur initiale :

Mt rε =ε (AII-7)

Nous en déduisons les contraintes normales et tangentielles à la surface de la vis, où Eb et G sont respectivement les modules d’élasticité longitudinal et transversal de la pièce (vis) :

Q b Qσ =E .ε et M x,M y b M x,M yσ =E .ε (AII-8)

M tτ= 2 G .ε (AII-9)

L’application des formules de la résistance des matériaux nous permet facilement d’en déduire la tension et les moments de flexion et de torsion dans la tige de vis :

QQ=σ .S (AII-10)

Mx xx

v

σ IM =2D

(AII-11)

My yy

v

σ IM =2

D (AII-12)

zt

v

τ IM =2D

(AIII-13)

Dans ces expressions :

σ et τ sont les contraintes normales et de cisaillement correspondantes aux déformations εQ, εMx, εMy ou εMt selon le cas,

S est l’aire de la section de la vis au niveau de l’implantation des jauges. Ix, Iy, et Iz sont les moments quadratiques de la section définis par :

Annexe II Traitement des mesures des jauges de déformations __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 147

4v

x yπ DI =I =64

4v

zπ DI =32

Dv est le diamètre de la tige de la vis au niveau de l’amincissement (Dv = ds = 8.593 mm : diamètre résistant des vis utilisées). Donc S=As = 58 mm2 pour un filetage M10.

Le moment total de flexion Mf est porté par un axe orthogonal à la direction du déplacement de la pièce serrée ou de la tête de la vis. Il est donné par :

2 2f x yM = M +M (AII-14)

Le plan vertical passant par les jauges g et d est un plan de symétrie de l’assemblage (symétrie de géométrie, de conditions aux limites et de chargement). Donc on prend pour le calcul Mx=0 et Mf =My. Dans ces conditions on a :

Q b Qσ =E .ε et f fM b Mσ =E .ε (AII-15)

On désigne par Δi = Δ(Umi/Ual) en (mV/V), la mesure de la variation du rapport de tension relative a la jauge i. Le facteur de jauge est le même et est noté K.

Pour un montage en ¼ pont (une jauge représente ¼ pont) :

ii4ε = .Δ

1000 .K (AII-16)

Expressions des contraintes normales des vis :

g dbQ

4E Δ +Δσ = ( )1000.K 2

et f

g dbM

4E Δ -Δσ = ( )1000.K 2

(AII-17)

Expressions des efforts intérieurs des vis au niveau des jauges :

s g db4E .A Δ +ΔQ= ( )1000.K 2

et s g db

f4E .A Δ -ΔM = ( )1000.K 2

(AII-18)

Contraintes alternées dans les vis d’assemblage :

Au cours du chargement de l’assemblage les contraintes normales σQ et σMf varient. La contrainte alternée σa dans la vis correspond à ½ de la somme des variations de σQ et σMf par rapport à l’état initial de précontrainte.

___________________________________________________________________________ 149

Annexe III

ETAPES DU PLAN D’EXPERIENCES MIXTE APPLICATION DES LOGICIELS BPEW ET JMP

Les différentes étapes suivies pour réaliser un plan d’expériences sont les suivantes : 1. Définition des objectifs et des moyens

L’objectif d’application du plan d’expériences est de connaître l’influence des différents paramètres de l’assemblage à deux boulons sur le comportement de chaque vis (effet sur la contrainte alternée).

2. Synthèse du « savoir-faire »

Dans cette étape du plan d’expériences, on définit les facteurs et leurs niveaux. On a profité des essais réalisés (18 essais donnés par un plan mixte défini dans la suite). Les valeurs des contraintes alternées dans les deux vis sont données par le modèle numérique simplifié. Elles sont déterminées tel que les trois courbes de contraintes coïncident le mieux possible pour chaque cas d’étude.

Domaine d’étude : Facteurs Description Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 A Ep 74000 21000 --------- B u 25 35 45 C v 10 20 25 D b(=2a) 20 30 40 E hp 13 16 20

Tableau AIII.1: Choix des facteurs et des niveaux

Eléments de sortie :

1- Contraintes alternées dans la vis 1 : (Sig_a1) 2- Contraintes alternées dans la vis 2 : (Sig_a2)

Figure AIII.1 : Création d’un plan factoriel mixte de 18 sites avec le logiciel BPEW

Annexe III Etapes du plan d’expériences mixte __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 150

Figure AIII.2 : Description du plan d’expériences avec le logiciel BPEW

3. Construction du plan

Cette étape définit les différentes combinaisons du plan à retenir. Pour notre cas, il s’agit de 2x3x3x3x3 = 162 combinaisons pour un plan complet. BPEW propose pour un plan mixte seulement 18 combinaisons, dans un tableau comme le montre la Figure AIII.3.

Figure AIII.3 : Extrait des combinaisons du plan d’expériences

4. Conduite des essais

Les valeurs des contraintes alternées dans les deux vis sont données par le modèle numérique simplifié. Elles sont déterminées tel que les trois courbes de contraintes coïncident le mieux possible pour chaque cas d’étude. Les résultats de tous les cas sont résumés dans le Tableau AIII.2.


___________________________________________________________________________ 151

N° d’essai Ep

(MPa) u

(mm) v

(mm) b

(mm) hp

(mm) Sig_a1 (MPa)

Sig_a2 (MPa)

1 74000 25 10 20 13 142,63 -8,66 2 74000 25 20 30 16 71,78 -8,58 3 74000 25 25 40 20 31,87 -6,55 4 74000 35 10 30 20 46,53 -4,88 5 74000 35 20 40 13 78,88 -3,51 6 74000 35 25 20 16 92,67 -3,42 7 74000 45 10 40 16 53,73 -0,18 8 74000 45 20 20 20 57,27 -2,29 9 74000 45 25 30 13 94,63 0,2

10 210000 25 10 20 13 94,69 -6,44 11 210000 25 20 30 16 35,89 -4,76 12 210000 25 25 40 20 14,49 -2 13 210000 35 10 30 20 22,01 -2,77 14 210000 35 20 40 13 40,34 -1,72 15 210000 35 25 20 16 48,53 -3,14 16 210000 45 10 40 16 27,21 -1,2 17 210000 45 20 20 20 29,44 -2,18 18 210000 45 25 30 13 50,64 -0,42

Tableau AIII.2 : Valeurs des contraintes alternées appliquées aux vis pour les 18 cas du plan d’expériences mixte et avec Q1=Q2=200 MPa et FE=4500 N

5. Dépouillement et interprétation des résultats Cette étape est réalisée par deux logiciels différents : BPEW (Boite à Plans d’expériences

version 3) et JMP (version 5.1).

5.1. Utilisation du logiciel BPEW

5.1.1 Saisie des résultats du plan sur le logiciel BPEW Les résultats sont introduits dans BPEW comme le montre la Figure AIII.4.

Figure AIII.4 : Saisie des sorties Sig_a1 et Sig_a2 sur le logiciel BPEW.


___________________________________________________________________________ 152

5.1.2. Calcul de l’analyse de variance Pour chaque facteur nous effectuons une analyse de variance avec un risque inférieur à 5 %

dans le cas le plus défavorable. Cette procédure permet de mettre en évidence les facteurs les plus déterminants. On note A=Ep ; B=u ; C=v , D=b et E=hp.

Figure AIII.5 : Analyse de variance avec BPEW à un risque 5 % pour la sortie Sig_a1

Ep, hp et v sont les facteurs les plus influents (% les plus importants) pour la contrainte

alternée Sig_a1 de la vis 1.

Figure AIII.6 : Analyse de variance avec BPEW à un risque 5 % pour la sortie Sig_a2.

Ep, v, b et hp ont tous la même grandeur d’effet (moins de 5 %) sur Sig_a2 de la vis 2.

L’entraxe u est le facteur le plus influent (65.36 % d’effet) sur la contrainte alternée de la vis 2.


___________________________________________________________________________ 153

5.1.3. Vérification du test de normalité Le test de normalité des résidus permet de dire que les estimateurs des coefficients sont

normalement distribués. Ce test est vérifié pour les deux sorties du plan.

Figure AIII.7 : Rapport du test de normalité par BPEW pour Sig_a1

Figure AIII.8 : Rapport du test de normalité par BPEW pour Sig_a2

5.1.4. Représentation graphique des effets

Cette étape permet de comparer les effets entre différents facteurs et de visualiser les effets dans l’étude d’interaction. A l’aide de ces graphes, on peut voir les effets des différents facteurs sur l’évolution des contraintes dans les vis. On peut aussi voir les effets des interactions des facteurs. Mais ces résultats ne nous ont pas permis de généraliser nos conclusions. Pour cela on a été amené à utiliser un autre logiciel plus sophistiqué pour le dépouillement des résultats.


___________________________________________________________________________ 154

5.2. Utilisation du logiciel JMP Le logiciel JMP est exploité pour mieux dépouiller et interpréter les résultats du plan

d’expériences déjà défini à l’aide du logiciel BPEW. Toutes les données sont introduites dans un seul tableau, Figure AIII.9.

Figure AIII.9 : Tableau de données entrées dans JMP.

Le dépouillement consiste à évaluer et analyser les effets afin de produire les graphes des

effets. A l’aide du logiciel JMP nous avons déterminé l’effet de chaque paramètre sur les contraintes appliquées aux vis de fixation. Par exemple, l’effet du module d’élasticité EP (Figure AIII.10). On déduit que les contraintes alternées, en valeur absolue, appliquées aux vis 1 et 2, diminuent si le module d’élasticité des pièces assemblées augmente.

a. Effet sur vis 1 b. Effet sur vis 2

Figure AIII.10 : Effet du module d’élasticité longitudinal Ep sur les contraintes alternées dans les vis. On représente la densité non paramétrée des valeurs de contraintes.

___________________________________________________________________________ 155

Annexe IV

FORMULATION ANALYTIQUE DU PROBLEME DE COIN D’ANGLE 90°

1. Modélisation du coin du support et des actions de contact :

Considérons une plaque semi infinie ayant la forme d’un coin d’angle qui modélise le coin du support de l’assemblage boulonné étudié. On prend le cas d’un angle droit. La plaque reçoit au coin une force extérieure cF

r dans le repère (C, 1xr , 2xr ), (Figure AIV.1).

Figure AIV.1 : Modélisation des actions de contact sur le coin du support.

Nous cherchons à formuler le champ de déplacements dans le domaine continu de la

plaque et en déduire le déplacement résultant au point C suivant la direction verticale 1xr .

2. Fonction d’Airy Nous prenons la fonction d’Airy de la forme :

2(r,θ)=Cr cos2θϕ (AIV-1) Nous considérons l’élasticité plane en coordonnées polaires. On vérifie la compatibilité des déplacements :

0=ΔΔ ϕ (AIV-2) En coordonnées polaires :

2 2

22 2

1 1r r θr r

ϕ ϕ ϕϕ ∂∂ ∂Δ = + +∂ ∂ ∂

et 2 2

22 2

1 1( )r r θr r

ϕ ϕ∂∂ ∂Δ Δ = + + Δ∂ ∂ ∂

= 2 C rc o s2 θrϕ∂

∂

Annexe IV Formulation analytique du problème de coin d’angle 90° __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 156

2

2= 2 C co s2θ

rϕ∂

∂

2= -2 C r s in 2 θθϕ∂

∂ et

22

2= -4 C r c o s 2 θ

θϕ∂

∂

Ce qui donne 0=Δ ϕ et donc 0=ΔΔ ϕ Nous exprimons les contraintes avec la fonction d’Airy :

rr ,θθ , r2

1 1σ =rr

ϕ ϕ+ (AIV-3)

θθ , rrσ = ϕ (AIV-4)

rθ ,θ ,r1σ = -[ ]r

ϕ (AIV-5)

En remplaçant ces fonctions par ses expressions, on trouve : rrσ = -2C cos2θ (AIV-6)

θθσ = 2C cos2θ (AIV-7)

rθσ = 2C sin2θ (AIV-8)

Tr(σ)=0 ⇔ rr θθ zzσ +σ +σ = 0 D’où zzσ = 0 (AIV-9)

3. Equations d’équilibre :

On admet que l’axe rXr

est lié au point M de calcul. On pose R=CA=CB, rayon du coin (ABC) et b largeur de la plaque. L’équation d’équilibre locale s’écrit :

i j j iσ n = F ou Fn . rr

=σ (AIV-10)

rr rθ

θ r θ θ

σ σ 0σ = σ σ 0

0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(AIV-11)

On pose : C A = C B = R (AIV-12)

b: la largeur de la pièce. Sur tout point M du coin (ABC) on a :

1 2

r

(x ,x ,z )

c o sθn = X = -s in θ

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

rr (AIV-13)

1 2

C

(x ,x ,z )

FF = 0

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

r (AIV-14)

L’équilibre du coin suivant la verticale s’écrit :

C

π2

rr rθ0

(σ cosθ-σ sinθ)bRdθ+F =0∫ (AIV-15)


___________________________________________________________________________ 157

En remplaçant les contraintes par ses expressions, on écrit :

C

π2

0

(-2Ccos2θcosθ-2Csin2θsinθ)bRdθ=-F∫

ce qui donne : cF

C=2bR

(AIV-16)

D’où les expressions des contraintes en fonction de la force appliquée : c

rrF

σ = - co s2θb R

(AIV-17)

cθθ

Fσ = cos2θ

bR (AIV-18)

crθ

Fσ = sin 2θ

b R (AIV-19)

4. Interprétations sur les contraintes

Pour θ=0 on a : crr

Fσ = -

bR ; cθθ

Fσ =

b R et rθσ = 0

R

rr θθσ =σ

Figure AIV.2. Variation des contraintes en fonction de la position par rapport au coin.

Quand on s’approche du coin (R tend vers 0) la contrainte tend vers l’infini, ce qui

explique la présence des déformations plastiques dès le premier chargement. Quand on s’éloigne du coin (R tend vers + ∞) la contrainte devient très faible. D’après l’expression (AIV-16), quand R tend vers 0, C tend vers l’infini. La fonction

d’Airy n’est plus définie. L’hypothèse de supposer que les déformations sont élastiques n’est plus satisfaite lorsque l’on est très proche du coin.

Dès que l’on applique la première force sur le coin, il se forme une zone de contact entre les deux pièces suite à une plasticité locale du coin d’angle.


___________________________________________________________________________ 158

5. Etude des déformations

Au voisinage du coin d’angle les déformations sont élastiques. En élasticité plane, les composants du tenseur de déformation s’expriment comme suit :

rrr rr θθ

U1ε = (σ -νσ )=E r

∂∂

(AIV-20)

r θθθ θθ rr

U1 U 1ε = (σ -νσ )= +E r r θ

∂∂

(AIV-21)

θ θrrθ rθ

U UU1+ν 1 1ε = σ = ( + - )E 2 r θ r r

∂∂∂ ∂

(AIV-22)

En remplaçant les contraintes par ses expressions, on écrit : r

rrU2Cε =- (1+ν)cos2θ=

E r∂∂

(AIV-23)

θrθθ

UU2C 1ε = (1+ν)cos2θ= +E r r θ

∂∂

(AIV-24)

θ θrrθ

U UU2C 1 1ε = (1+ν)sin2θ= ( + - )E 2 r θ r r

∂∂∂ ∂

(AIV-25)

L’intégration de rrε donne l’expression de rU : rEU

=-r(1+ν)cos2θ+h(θ)2C

(AIV-26)

Nous reportons rU dans l’expression de θθε : θ

θθ rU

=rε -Uθ

∂∂

[ ]θU 2C= 2r(1+ν)cos2θ-h(θ)θ E

∂∂

D’où :

0

θθ

θ

EU=r(1+ν)sin2θ- h(v)dv+H(r)

2C ∫ (AIV-27)

Où h(θ) et H(r) sont des fonctions arbitraires qui seront déterminées par la vérification de l’équation différentielle liant, rθε , rU et θU :

θ θrrθ

U UU1 1ε = ( - )2 r θ r r

∂∂+

∂ ∂ (AIV-28)

En dérivant rU et θU , on écrit :

rUE =2r(1+ν)sin2θ+h'(θ)2C θ

∂∂

(AIV-29)

θUE =(1+ν)sin2θ+H'(r)2C r

∂∂

(AIV-30)

Or rθ2Cε = (1+ν)sin2θE

, l’équation différentielle liant rθε , rU et θU s’écrit donc après

simplification :

0

θ

θ

h'(θ) 1 1+ h(v)dv+H'(r)- H(r)=0r r r∫ ( r ,θ )∀ (AIV-31)


___________________________________________________________________________ 159

D’où :

0

θ

θ

h '(θ )+ h (v )d v = H (r) -rH '( r)= B∫ ( r ,θ )∀ (AIV-32)

B est une constante puisque le 1er membre dépend uniquement de θ et le second de r. On peut donc mettre :

θ

0

h'(θ)+ h(v)dv=B-A∫ (AIV-33)

Avec

0

0

θ

A= h(v)dv∫ et B=H(r)-rH'(r) (AIV-34)

Les solutions de ces équations différentielles sont : H(r)=B+Dr (AIV-35)

h(θ)=h(0)cosθ+(B-A)sinθ (AIV-36)

Avec D une constante réelle. La forme générale des déplacements est alors connue, il suffit d’exprimer les conditions aux limites du problème pour déterminer les constantes. 6. Conditions aux limites de déplacements Dans le cas d’un assemblage symétrique par rapport au plan médian du support on a :

rU (R ,0)=0 d’où h ( 0 ) = R ( 1 + ν ) (AIV-37)

Sur la face supérieure du support et loin du coin la déformation est négligeable, d’où :

rπU ( R , ) 02

→ quand R → ∞

h ( 0 ) * 0 + ( B -A ) + R ( 1 + ν ) 0→ quand R → ∞ ce qui donne : ( B -A ) = -R ( 1 + ν ) (AIV-38)

D’où

h(θ)=R(1+ν)(cosθ-sinθ) (AIV-39)

Or

rEU=-r(1+ν)cos2θ+h(θ)

2Cen déduire :

[ ]r2CU = (1+ν) R(cosθ-sinθ)-rcos2θE

; r R≤ et cFC=

2bR (AIV-40)

D’où l’expression finale du déplacement rU :

[ ]cr

FU = (1+ν) R(cosθ-sinθ)-rcos2θ

bRE (AIV-41)

Le déplacement vertical vers le bas du coin C (r = 0 et θ = 0) est : cF1+νDelta90 =

E b (AIV-42)


___________________________________________________________________________ 160

7. Conclusion et application au modèle de calcul Pour un chargement concentré FC donné, sur une zone de rayon r du coin, la contrainte

peut dépasser la contrainte limite admissible du matériau du coin support. Cette zone subit donc des déformations plastiques. La force FC ne reste pas concentrée sur l’arête vive du coin, il se forme une surface de contact entre les deux pièces, suite à une plasticité locale du coin d’angle. Après un certain nombre de cycles de chargement alterné, il ne reste plus de coin vif. Il se forme un coin arrondi dont le rayon se stabilise dès les premiers cycles de chargement.

Un coin anguleux reste vif seulement si la limite élastique de son matériau est élevée ou s’il est sollicité par des forces faibles. Ces conditions ne sont pas généralement celles d’un assemblage fileté présentant un coin comme celui que nous modélisons. Il ne sera donc pas utile d’appliquer la formule du déplacement élastique (AV-42) que nous avons montrée. D’autre part nous cherchons un modèle pour dimensionner les éléments filetés en statique, mais aussi en fatigue. Or, après quelques cycles de chargement il se forme forcément un coin arrondi, il fallait alors chercher une expression de l’enfoncement qui caractérise bien cette géométrie de contact.

___________________________________________________________________________ 161

Annexe V

MODELES EXISTANTS DE CALCUL DES RAIDEURS D’UN ASSEMBLAGE FILETE

On présente dans cette annexe les modèles qui peuvent être utilisés pour la détermination

des raideurs des éléments filetés et des pièces assemblées. 1. Raideur d’un élément fileté (boulon ou vis)

La raideur d’un élément fileté a fait l’objet de plusieurs études. Les modèles couramment utilisés, (Figure AV.1) sont : le modèle VDI 2230 ([65], [67], [66]) et celui préconisé par Guillot [23] au LGMT. Le calcul de la raideur s'appuie sur un modèle équivalent soumis à une tension uniforme.

0,4d

ξ d

0,4d

δ GM

L 0

L 2

L 1

L 2

L p

L L 1

A0

AS

Ai

VDI 2230 LGMT

Figure AV.1 : Modèles de calcul des raideurs équivalentes d’un boulon ou d’une vis.

Modèle VDI 2230 La méthode VDI donne la souplesse équivalente :

GM1Ks δ...δδδ +++= (AV-1)

Soit d’une façon générale : 31

sB b 0 i d3 d3 0

ll 0,4d1 1 li 0,5d 0, 4dδK E A A A A A

⎡ ⎤+= = + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (AV-2)

Avec : δK=0,4d/(Eb⋅A0):la raideur de la tête du boulon A0: section de la tige de diamètre d (A0= πd²/4) δGM=δG+δM = 0,5d/(Eb⋅Ad3)+ 0,4d/(Eb⋅A0): raideur de la partie filetée engagée de la vis δ1=l1/(Eb⋅A0): raideur de la tige non filetée de diamètre d δi=li/(Eb⋅Ai): raideur des sections lisses intermédiaires de diamètres di δ3=l3/(Eb⋅Ad3): raideur de la partie filetée non engagée de diamètre d3

Soit en regroupant les termes : 31

sB b 0 i d3

l 0,5dl 0,8d1 1 liδK E A A A

⎡ ⎤++= = + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (AV-3)

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté __________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ 162

Modèle LGMT La raideur équivalente KB d'un boulon qui assemble des pièces de longueur totale Lp est

prise égale à celle d'un modèle équivalent considéré comme soumis à une tension uniforme.

Nous avons donc :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅ξ+++

+= ∑

s

1

i0

0

bB Adl

Ali

A0,4dl

E1

K1 (AV-4)

Avec : A0 section de la tige de diamètre d AS section équivalente de la partie filetée (section résistante) Eb module d'élasticité du matériau Ai différentes sections de la tige entre les sections A0 et As

Les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants et le principe de la modélisation peut être

utilisé pour des vis et des boulons de formes spéciales avec le terme : ∑iA

li

ξ : Coefficient dépendant des dimensions de l’écrou ξ = 1,1 pour un écrou ξ = 0,8 pour une pièce taraudée

2. Raideur des pièces assemblées

Pour le calcul de la raideur des pièces de nombreux modèles ont été proposés (VDI 2230 [67], N’Guyen [48], Wileman [69], Rasmussen [51], Massol [45]). Dans tous les cas, ce calcul s’effectue à partir d’une section équivalente Ap (Figure AV.2) qui correspond au cylindre qui chargé uniformément aurait la même raideur que la pièce considérée, d’où :

EpApl

K1 p

P ⋅= (AV-5)

Dans le cas d’assemblage de matériaux différents, nous considérons le modèle équivalent de section Ap soumis à une compression uniforme de longueur lp1, lp2..... et de module d'élasticité Ep1, Ep2.... On écrit:

∑=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

pi

pi

p2

p2

p1

p1

P El

Ap1....

El

El

Ap1

K1 (AV-6)

La plupart des travaux sont basés sur la notion de cône de déformation de même raideur que celle des pièces ([65], [39]). Cette description permet par une approche purement géométrique le traitement des empilages de pièces de diamètres différents. Toutefois, cela oblige à introduire l’angle du cône comme un paramètre géométrique supplémentaire, qui est lié par des relations empiriques diverses aux différentes caractéristiques de l’assemblage ([38], [42], [41]). Ils considèrent tous les pièces cylindriques et utilisent soit des essais soit des simulations en éléments finis. Massol [45] a effectué des mesures pour valider sa modélisation. Celles-ci, compte tenu de la difficulté à caractériser la variation de longueur des pièces mesurées sur l’axe de l’assemblage donnent des résultats médiocres.


___________________________________________________________________________ 163

DP

Da

d

Dt

EP1

EP2

LP1

AP

y

x

3Da

y

x

3Da

Définition de DP pour des pièces prismatiques :DP = (x+y)/2 avec x, y < 3Da

LP2

LP1

LP2 LP

Figure AV.2 : Raideur des pièces assemblées.

Modèle VDI 2230 - 1983 Ce modèle a été mis au point expérimentalement. Une première expression a été donnée en

1977 puis modifiée en 1983. L’ensemble des travaux qui a amené à cette dernière expression est décrit dans [67]. L’ensemble des paramètres définissant l’assemblage est pris en compte, et à partir de l’hypothèse que la raideur est inversement proportionnelle au module d’élasticité on peut l’exprimer comme la raideur d’une pièce de même longueur et de même module d’élasticité que la pièce réelle et de section équivalente Ap chargée uniformément (Figure AV.2). On a donc :

p1

pp1p1 L

AEK = (AV-7)

pp2 p2

p2

AK EL

= (AV-8)

Ces travaux qui se sont déroulés sur une dizaine d’années ont donné lieu à plusieurs formulations VDI 2230 1977, 1983, 1986 [67], [66]. Cette dernière formulation est souvent celle donnée par les manuels spécialisés et a servi à de très nombreux calculs industriels. Elle est synthétisée dans le tableau récapitulatif en fin d’annexe (Tableau AV.1) et se présente sous la forme suivante :

2 2P a P a t

π1° cas : D D A = (D -D )4

≤ (AV-9)

2 2 2a P a P P a t a p a

π π2° cas : D D D +L A = (D -D )+ D (D -D ) ( 1) 1)4 8

⎡ ⎤≤ ≤ + −⎣ ⎦x (AV-10)

3° cas : Dp>(Da + Lp) (AV-11)


___________________________________________________________________________ 164

Pour le cas 3 Eq. (AV-11), la raideur des pièces assemblées reste constante même pour des diamètres de pièce croissants. Le calcul de la section équivalente sera effectué en prenant Dp=Da+Lp dans l’équation précédente. Modèle VDI 2230 – 2003

Conscient de la médiocrité du modèle VDI 83, l’association des ingénieurs mécaniciens allemands a piloté un grand nombre de travaux réalisés dans des laboratoires d’universités allemandes et qui ont amené à la publication de nouvelles recommandations VDI 2230 en 2003 [65]. Ces travaux ont abouti à un ensemble cohérent qui permet de calculer la raideur de pièces cylindriques et de leurs empilages.

La VDI 2230 s’appuie sur l’idée de Rotscher [54] qui consiste à assimiler la zone de compression de la pièce à un cône dans chaque section duquel la contrainte est uniforme. Il est alors facile de calculer la somme des déformations pour obtenir le déplacement total et de calculer la souplesse de l’assemblage. Rotscher considérait un cône d’angle au sommet constant de 45° et dans la VDI 2230 on considère un cône d’angle variable en fonction de la géométrie des pièces et du type de fixation (boulon ou vis), Figure AV.3 et AV.4.

Dp

Da

L cône

L cylindreL p

dt

ϕ

Figure AV.3 : Assemblage boulonné, présence d’un cône et un cylindre de déformation.

Au LGMT, Massol [45] avait proposé une approche de même nature pour traiter les

empilages de pièces.

a) Cône de déformation équivalent b) Modèle de calcul

Lp

Lcϕ Cône

Cylindre

Figure AV.4 : Assemblage serré par vis.


___________________________________________________________________________ 165

La méthode utilise un paramètre W pour distinguer les deux types d’assemblage :

W = 1 assemblages par boulons ; W = 2 assemblages par vis.

Elle s’appuie sur le calcul de l’angle du cône ϕ déduit de simulations en éléments finis et exprimé en fonction des paramètres adimensionnels :

aP

P*

DLL = et

aP

P*

DDD =

Pour un assemblage par boulon : tan ϕ = 0,362 + 0,032 ln Lp*/2+0,153 ln Dp*

Pour un assemblage par vis : tan ϕ = 0,348 + 0,013 ln Lp*+0,193 ln Dp*

Une autre donnée de base de cette modélisation est la limitation de la dimension de la base du cône : Dp limite = Da + W.Lp.tan(ϕ)

- Pour Dp = Dp limite, on va se trouver dans la situation décrite (figure AV.4 a), la zone de compression étant constituée de deux cônes équivalents :

P tP

a t a P t

a t a P t

W.E .π.d .tanK =

(D +d )(D +W.L .tan -d )2ln(D -d )(D +W.L .tan d )

ϕ⎡ ⎤ϕ⎢ ⎥ϕ +⎣ ⎦

(AV-12)

- Quand on a: Da < D p < Dp limite alors la zone de compression équivalente est constituée de cône(s) et de cylindre (figure AV.3 et AV.4 b) :

P PP

P aa t P tP2 2

a tt a t P t

E .π E .πK =

(D -D )4(D +d )(D -d )2 . L.lnW.tanD -dW.d .tan (D -d )(D +d )

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ϕϕ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(AV-13)

L’ensemble de la méthode est détaillé dans [65]. Son principal avantage est de donner une

expression pouvant être appliquée à de nombreux cas de figures dans le cas d’un chargement symétrique, et notamment aux empilages de pièces. Cette nouvelle proposition VDI est intéressante et donne de bons résultats. Elle est facile à pratiquer en calcul manuel, un peu plus compliquée à programmer à cause de la description géométrique de la zone équivalente comprimée.

Modèle de Rasmussen

Rasmussen [51] a effectué un calcul du déplacement de la surface supérieure de la pièce mesuré sur le cercle moyen de contact, en modélisant par éléments finis la pièce et le boulon. La modélisation est plus proche de la réalité, mais comme la déformation n'est évidemment pas plane alors caractériser la raideur à partir du déplacement moyen est tout à fait arbitraire. Rasmussen propose une expression unique pour le calcul de la section équivalente à partir des grandeurs sans dimensions caractéristiques de la géométrie de la pièce, ce qui permet une représentation graphique plus synthétique des nombreux cas de calcul.

Le modèle proposé par Rasmussen est basé sur une étude en éléments finis (Figure AV.5). Bien que la discrétisation du modèle EF soit assez grossière, il prend en compte la déformation au contact, ce qui présente deux avantages :

- il considère à la fois la pièce et la vis et est tout à fait représentatif de la réalité, même si les dimensions retenues pour la tête de vis (1,5d) ne sont pas totalement conformes à la norme.

- à partir d’un nombre suffisant de simulations couvrant un large domaine d’utilisation, l’auteur propose une seule formule de calcul à partir de paramètres géométriques adimensionnés par rapport au diamètre d’appui de la tête de la vis Da.


___________________________________________________________________________ 166

Figure AV.5 : Modèle E.F de Rasmussen

Les vis étudiées sont hexagonales standard (ISO) de diamètre nominal d (figure AV.6).

Lp

Dt

Da

Dp

dK

Figure AV.6 : Définition des paramètres de l’assemblage.

Les paramètres adimensionnels sont définis par :

* PP

a

DD

D= ;

a

tt*

DDD = ;

a

pp

*

DLL = ; *

a

KK D

= ; *

a

dd

D= et * P

P 2a

AA

D= (AV-14)

Le domaine étudié est large et défini par Dp

*=1 à 10 et Lp*=0.5 à 10 et pour des boulons 6<d<30 avec K*=0.42 ; d*=0.63 et Dt

*=0.7

Les résultats obtenus lui ont permis de proposer la formule analytique suivante :

* *2* *2 1 P P*2

tP P *2 *2tP

0.35 1L 1 2Lπ (1 ) 0.5( 1).A D tgD4 2( )D D

−⎡ ⎤+ −+⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

(AV-15)

Modèle développé au LGMT-1992 (Rasmussen modifié)

Massol [45], en 1992, a fait des études sur toute une série de pièces différentes aussi bien en éléments finis que par des essais en extensométrie. En utilisant la méthode des éléments finis, et en considérant l'ensemble boulon-pièce il a caractérisé la raideur de l'ensemble, ce qui permet de faire abstraction de la déformation réelle à l'interface. Puis à partir de deux simulations successives, en faisant varier le module d'élasticité des pièces, il obtient deux relations qui lui permettent de séparer les raideurs du boulon et des pièces. A partir de ces travaux il a proposé une nouvelle formule qui permet un calcul plus précis de la raideur des pièces cylindriques avec trou axial. Massol propose de ne pas dissocier le boulon et la pièce et de caractériser la raideur de l’ensemble, ce qui permet de faire abstraction de la déformation


___________________________________________________________________________ 167

réelle à l’interface. Ainsi, on peut déduire la raideur de la pièce si l’on connaît avec précision la raideur du boulon. Pour s’affranchir de la raideur du boulon dont on ne maîtrise pas la valeur exacte, Massol utilise la technique de double simulation avec deux matériaux différents des pièces assemblées. Il obtient alors directement la raideur de la pièce. Il a calculé toutes les sections équivalentes réduites des pièces, Eq. (AV-17) en fonction des trois paramètres géométriques adimensionnels déjà utilisés par Rasmussen, Eq. (AV-16).

a

tt*

DDD = ; * P

Pa

DD

D= ; * P

Pa

LL

D= (AV-16)

a2

pp*

DAA = (AV-17)

Le choix de Da comme paramètre privilégié se justifie par le fait que la norme le fixe

sensiblement proportionnel au diamètre nominal et que c’est lui qui détermine la zone d’introduction des efforts dans la pièce. La plage explorée est définie par :

0.71D0.62 t*≤≤ ; 5D1 p

*≤≤ et 5.2L1.6 p*≤≤

MASSOL a finalement proposé une nouvelle formule donnant la section équivalente

réduite, en modifiant la formule donnée par Rasmussen :

* *2* *2 1 P P*2

tP P *2 *2tP

0.35 1L 1 2Lπ (1 ) 0.61( 1).A D tgD4 2.04( )D D

−⎡ ⎤+ −+⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

(AV-18)

Cette expression qui a été validée expérimentalement en mesurant les déplacements

moyens sous tête donne de très bons résultats, dans le domaine étudié. Le remplacement du coefficient 0,5 par 0,61 dans le deuxième terme n’est pas convenable. En effet lorsque DP

* = Dt* on doit avoir AP

* = 0 ce qui implique un coefficient de 0,5.

On récapitule les trois modèles de calcul de raideurs de pièces (Tableau AV.1) et on constate d’après les études de comparaison des modèles cités précédemment, menées au laboratoire LGMT ([23], [3], [45]) que :

- Les méthodes de VDI (83) et de Rasmussen ont une précision équivalente, mais que celle de Rasmussen minimise la raideur ce qui va dans le sens de la sécurité.

- La méthode Rasmussen modifié proposé par le LGMT offre une meilleure précision que celle de Rasmussen.

- La méthode Rasmussen modifié doit être appliquée avec précaution dans le cas des assemblages par vis et goujons, étant donné que cette formulation a été établie pour des assemblages boulonnés.

Enfin Les modèles de calcul des raideurs des éléments filetés et des pièces assemblées servent à faire des calculs en statique et en fatigue des éléments filetés. Ils permettent de réaliser des modélisations en EF équivalentes plus simples en modélisant le filetage en assemblage continu ou en créant un super-élément boulon à deux nœuds intégrable dans un modèle de calcul de structure.


___________________________________________________________________________ 168

Tableau récapitulatif pour le calcul des raideurs des pièces (ou la section Ap) :

Cas 1 Cas 2 Cas 3

Réf

éren

ce

d LP

DP Da

Dt

d LP

DP

Da

Dt

LP

d

DP Da

Dt

DP ≤ Da Da < DP < Da + LP DP ≥ Da + LP

( )2t

2pP DD

4A −⋅

π= ( ) ( ) ( ) X2XDDD

8DD

4A apa

2t

2aP ⋅+⋅−⋅⋅

π+−⋅

π= ( ) ( ) X2XLD

8DD

4A pa

2t

2aP ⋅+⋅⋅⋅

π+−⋅

π=

Serrage par écrou Serrage dans un trou borgne Serrage par écrou Serrage dans un trou borgne

Mod

èle

VD

I 198

3

3

2p

ap

D

DLX

⋅=

2,0

P

p

DL

X ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ( )

3

2ap

ap

DL

DLX

+

⋅=

2,0

Pp

p

DLL

X ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

a

t*t

a

P*P

a

P*P2

a

P*P D

DD

DL

L DD

D DA

A ====

Mod

èle

Ras

mus

sen

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−++−+−

π= −

)DD(21L21L35.0

tan)1D(21)D1(

4A 2*

t2*

P

2*P

*P12*

P2*

t*P

a

t*t

a

P*P

a

P*P2

a

P*P D

DD

DL

L DD

D DA

A ====

Mod

èle

LGM

T :

Ras

mus

sen

mod

ifié

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−++−+−

π= −

)DD(04,21L21L35.0

tan)1D(61,0)D1(4

A 2*t

2*P

2*P

*P12*

P2*

t*P

Tableau AV.1 : Calcul des raideurs des pièces (Détermination de la section AP).

Titre : Modélisation d’une fixation par éléments filetés d’une structure à forte excentration de chargement et soumise à des sollicitations en fatigue.

Résumé: Dans ce mémoire, un outil numérique de dimensionnement d’une fixation par éléments filetés d’une structure à forte excentration de chargement est présenté. Il s’agit du développement d’un modèle numérique pour un assemblage type d’une pièce prismatique fixée sur son support par deux vis ou deux boulons. Les axes des vis et celui de la force appliquée à l’assemblage sont parallèles et situés dans le même plan. Le modèle proposé est construit à partir d’éléments finis unidimensionnels, représentant les pièces, et d’éléments ressorts modélisant le contact élastique entre les deux pièces assemblées. La particularité du modèle est la prise en compte de l’évolution de la zone de contact en fonction du chargement extérieur. La déformation locale du au contact de la pièce assemblée avec le coin de son support est formulée. Un algorithme qui réactualise la matrice de rigidité de contact est développé. La résolution numérique est associée à un programme développé en Langage C, donnant les contraintes sollicitant les vis d’assemblage en statique et en dynamique. Des simulations éléments finis tridimensionnels et une étude expérimentale ont été réalisées. Le comportement et les résultats du modèle développé sont validés. La méthode de plan d’expériences est appliquée pour l’analyse des effets des paramètres de l’assemblage sur le comportement en fatigue des vis de fixation. Le modèle est ensuite étendu et appliqué à d’autres configurations d’assemblages multi- boulonnés.

Spécialité : Génie Mécanique

Mots-clés : Assemblages boulonnés, Dimensionnement, Modélisation de structures, Eléments Finis, Non linéarité de contact, Fatigue.

___________________________________________________________________________ Title: Modeling of a threaded elements joint of a structure subjected to high eccentric fatigue

loading.

Abstract: This PhD thesis presents a numerical tool for dimensioning threaded elements joint of a structure subjected to high eccentric fatigue loading. The model is relative to a basic joint prismatic part fixed on its supporting structure by two fasteners (screws or bolts) whose axes are parallel and coplanar with external loading. This model is established from unidirectional finite elements to represent the subassemblies and the screws. The elastic contact between subassemblies is modelled by linear springs. The main advantage of the model is considering the evolution of the contact zone with external loading. Moreover, Local deformation due to the contact between the lower part angle and the upper connected subassembly is formulated. An algorithm which updates the contact stiffness matrix and sets out forces and displacements at each node of the structure is developed and coded under C. The main contribution of this program is the evaluation of the stresses in both static and fatigue. 3D Finite Elements calculations and experimental tests were conducted to validate the behavior of the model and results. A statistical software method is applied to set out joint parameters effects on fasteners fatigue. The numerical dimensioning model is finally extended to others configurations of multi bolted joints.

Speciality: Mechanical Engineering

Keywords: Bolted joints, Dimensioning, Structures modelling, Finite elements, Contact non-linearity, Fatigue.

Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, 135 avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 04 France.

Laboratoire de mécanique des solides, de structures et de développement technologique, ESST de Tunis Tunisie.

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