Theorie Des Poutres_2011

7/29/2019 Theorie Des Poutres_2011

1/55

ENSIM 2A

Mecanique :

theorie des poutres (resistance des materiaux)

Jean-Michel Genevaux

avec les complicites de Samuel Deslandes, Stephane Durand, Francois Gautier,tous les collegues precedents qui ont fourni leurs documents.

1er juin 2011

cel00611692,

version1

27Jul2011
http://hal.archives-ouvertes.fr/http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00611692/fr/


2/55

Table des matieres

1 Objectifs et methode 2

2 Cours de theorie des poutres 62.1 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Les ceintures de theorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Les Outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 De lelasticite a la theorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Notion de poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Liaisons - isostaticite - hyperstaticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Efforts interieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.5 Description de la section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.6 Annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Lois de comportement de la poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 1ere cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 2nd cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.4 3ieme cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.5 Formules de Bresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.6 exemple dutilisation : sollicitation de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.7 flexion simple autour de laxe Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Resolutions de problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.1 Resolution par superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.2 Methodes energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.3 resolution de systemes hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.4 Systemes articule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Une cinematique mieux adaptee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6.1 Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6.2 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Dimensionnement : cette partie nest vue que lors des travaux pratiques . . . . . . 50

2.7.1 Cercle de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.2 Criteres de limite delasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.3 Methode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7.4 Exemple de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.8 Non linearites geometriques (grands deplacements) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8.2 equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8.3 methode incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8.4 flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9.1 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9.2 Equation dequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9.3 Modele variationnel en deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9.4 Modele variationnel mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

cel00611692,

version1

27Jul2011


3/55

Chapitre 1

Objectifs et methode

Tous les documents (cours, td, tp , examens, corriges, qcm) relatifs a ce cours sont disponibles

sous http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95Ce polycopie est divise en plusieurs parties : Pour verifier de facon individuelle que vous avez acquis les competences necessaires, des petits

exercices cibles, appeles brevets, sont disponibles dans le recueil banque de brevets. Ils ontete ecrit suites aux erreurs rencontrees les plus frequemment dans les copies dexamen. CetteBanque de brevet concerne lensemble des trois annees de formation a lENSIM. Un arbredes connaissances vous permet, en grisant les brevets dont vous etes detenteur-trice de savoirou vous en etes dans la formation proposee.

Pour vous entraner a manipuler les concepts et a prendre un peu de hauteur et vous ap-proprier la demarche globale, des sujets de travaux diriges et des sujets dexamens sontdisponibles dans un polycopie specifique. Les corriges des td et examens sont disponibles surUMTICE.

Lexamen final classique de 1h15 sur une table naura pas lieu. Il est remplace par le passagede ceintures (de blanche a noire) qui valident chacune une etape de la formation. Une ceintureest acquise lorsque vous trouvez le(s) resultat(s), votre reponse ne presente pas derreur dhomogeneite, les ecritures sont completes (vecteurs, bases, points dexpression dun torseur, unites pour

un resultat chiffre).Vous pouvez tenter dobtenir une ceinture lorsque vous vous sentez pret-e a le faire. Ellessont passees de facon individuelle, dans lordre des couleurs, lors des seances denseignement ou dexamen, ou entre 12h45 et 13h30, sur rendez-vous aupres de [email protected], au 4ieme

etage du LAUM, salle cafe. Attention, le nombre de places est limite car au maximum 2etudiants peuvent tenter une ceinture par jour ou JM Genevaux est disponible. Les passages

de ceinture, sarretent une semaine avant le jury de fin dannee. Priorite est donnee auxpremieres tentatives de passage dune ceinture et aux premieres ceintures.

Vous ne pouvez passer quune ceinture par seance avec comme seul document, un polycopiede cours vierge qui vous sera fourni. Vous pouvez passer une ceinture autant de fois que vousle souhaitez (dans la reserve des places diponibles) jusqua obtention de celle-ci. Le passagedune ceinture necessite que vous signez la declaration suivante : Je mengage sur lhonneur ane pas evoquer avec mes camarades le contenu du sujet de passage de ceinture.. Cela p ermeta vos camarades de faire une mesure libre et non faussee de leurs savoirs scientifiques etnon de leur competence de memorisation. Linterfacage avec les modalites de controle desconnaissances qui necessite une note sera fait par la formule n = c1nc1 20, avec n la note, cle nombre de ceintures obtenues et nc le nombre de ceintures disponibles.

En fin de module, il vous sera demande devaluer le module afin de nous faire part de vos

remarques.Nous vous souhaitons une bonne decouverte, une interessante confrontation des modeles quenous developperons lors de cette formation et utiliserons en td, a la realite des essais effectues en

2

cel00611692,

version1

27Jul2011


4/55

travaux pratiques, et bien sur... une bonne collaboration entre vous.

3

cel00611692,

version1

27Jul2011


5/55

Il peut vous etre utile de connatre les termes specifiques a la mecanique en anglais. Voici doncune selection de termes.

acere spiky

appuye simplement simply supportedcoalescer to coalesceencastre clamped

etre a divergence nulle to be divergence-lessisotherme isothermallabaque the chartla bobine the coil

la dispersion the scatterla frequence de pompage the pump frequency

la frequence de sonde the imaging frequencyla frequence superieure the overtone

la fuite the leakage

la ligne nodale the nodal linela manche, la pochette, lalesage the sleeve

la poutre the beamla pulsation the angular frequency

la rainure the groovela rugosite the ruggedness

la variable muette the dummy variablele flux entrant the inward flowle flux sortant the outward flow

le jeu the clearancele module dYoung the modulus of elasticity

le ventre de vibration the antinodeles conditions aux limite the boundary conditions

libre free edgese contracter to shrink

serre tighttendu taut

4

cel00611692,

version1

27Jul2011


6/55

Bibliographie

[1] Axisa, Hermes, Paris

[2] Batoz,JL Dhatt,G Modelisation des structures par elements finis : volume 2 : poutres et plaquesHermes, Paris, 1990

[3] Batoz,JL Dhatt,G Modelisation des structures par elements finis : volume 3 : coques Hermes,

Paris, 1992[4] Chevalier,L Mecanique des milieux continus deformables, Ellipse, 2004

[5] Dumontet Exercices de mecanique des milieux continus, Masson, Paris, 1994

[6] JM Genevaux, fichiers disponible sur le reseau sous distrib doc etu / 2a modelisation / modeljmg

[7] JM Genevaux, fichiers disponible sur le reseau sous distrib doc etu / 1a tdp / cinematiques

[8] Lemaitre,J Chaboche,JL Mecanique des materiaux solides. Dunod, Paris, (cote 620.1 LEM ala BU)

[9] Germain,P Muller,P Introduction a la mecanique des milieux continus. Masson, Paris, 1980

[10] Genevaux,JM A propos des tenseurs, cours Ensim 1A, 2005

[11] Zucchini,A Lourenco,PB A micro-mechanical model for the homogenisation of masonry, In-ternational Journal of Solids and Structures, 39, Issue 12, June 2002, Pages 3233-3255.

[12] Albiges Resistance des materiaux

[13] Courbon

[14] Feodossiev

[15] Laroze Resistance des materiaux et structures (tome 2) ed. : Masson-Eyrolle

[16] Timoshenko

[17] Techniques de lingenieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes)

[18] Chevalier Mecanique des systemes et des milieux deformables, ellipse, paris, 2004.

[19] Dumontet, Duvaut, Lene, Muller, Turbe, Exercices de mecanique des milieux continus, Masson,Paris 1994

[20] Salencon,

[21] Salencon, Mecanique des milieux continus, tome 2, Thermoelasticite, Editions de lEcole Poly-technique, Palaiseau, 2001

[22] Salencon, Mecanique des milieux continus, tome 3, Milieux curvilignes, Editions de lEcolePolytechnique, Palaiseau, 2001

[23] Axisa,F Modelisation des systemes mecaniques : systemes continus Hermes, Paris, 2001

[24] Batoz,JL Dhatt,G Modelisation des structures par elements finis : volume 2 : poutres et plaquesHermes, Paris, 1990

[25] Chevalier,L Mecanique des systemes et des milieux deformables Ellipses, Paris, 1996

[26] JM Genevaux, fichiers disponible sur le reseau sous distrib doc etu / 2a modelisation / model

jmg[27] JM Genevaux, fichiers disponible sur le reseau sous distrib doc etu / 1a tdp / cinematiques

5

cel00611692,

version1

27Jul2011


7/55

Chapitre 2

Cours de theorie des poutres

2.1 Bibliographie

Voici ci-dessous, quelques auteurs et livres traitant de la theorie des poutres. Vous pouvezconsulter ces ouvrages a la bibliotheque universitaire.

Albiges Resistance des materiaux Courbon Feodossiev Laroze Resistance des materiaux et structures (tome 2) ed. : Masson-Eyrolle Germain Introduction a la mecanique des milieux continus ed. : Masson Timoshenko Techniques de lingenieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes)

2.2 Les ceintures de theorie des poutres

1. blanche : etre venue une fois en cours de theorie des poutres pour recuperer le polycopie.

2. jaune : savoir determiner si un systeme est isostatique, hypostatique ou hyperstatique dedegre n.

3. orange : savoir determiner les composantes dun torseur defforts interieurs.

4. verte : savoir determiner le torseur de deplacement dun point.

5. bleue : savoir determiner le chargement maximal admissible dune structure.6. marron : savoir resoudre un probleme hyperstatique exterieurement.

7. noire : savoir resoudre un probleme hyperstatique interieurement.

2.3 Les Outils

2.3.1 De lelasticite a la theorie des poutres

Le synopsis de la demarche associe a la theorie des poutres est presente figure 2.1.Nous travaillons ici dans un repere local a un point. Nous noterons les vecteurs de ce repere

local x, y, z..La theorie des poutres est une simplification de la theorie de lelasticite. Elle peut etre envisagee

lorsque le corps solide deformable possede une dimension bien plus grande que les deux autes. Unsolide de ce type sera appele poutre. Si lon fait une section dans le plan des petites dimensions, lebarycentre de cette section sera note H. Si vous lisez dautres livres de theorie des poutres, ce point

6

cel00611692,

version1

27Jul2011


8/55

Figure 2.1 Les differents concepts necessaires a la theorie des poutres.

est generalement appele G. Pour eviter que vous ne le confondiez avec le centre de gravite de lapoutre complete (erreur devenue classique ces dernieres annees, mais extremement enervante pourlenseignant), nous choisirons de lappeler par la lettre H. Lensemble des barycentres de la poutredefini la ligne moyenne. Si la section est permendiculaire a la ligne moyenne, elle sera appelleesection droite. La position sur cette ligne moyenne est reperee par une abscisse s. Cette lignemoyenne peut etre continue, discontinue, atre continuement derivable par rapport a la variable sou non.

La theorie des poutres fournie des solutions en deplacement et contraintes qui ne sont pasnecessairement valables en tout point. Mais loin des points dapplication des chargements, des

liaisons (blocages cinematiques) et des variations brusques de section, elle est tout a fait suffisante.Ces conditions sont presentes en de nombreux points de ce type de structures.Nous rapellons les grandeurs et relations utiles en elasticite tridimensionnelle : (voir tableau

2.1)Le meme jeu de relations est present dans le cas de la theorie des poutres, seules les grandeurs

utilisees sont decrites a laide dobjets que lon appelle torseur. Ce sont les memes etres mathematiquesque ceux que vous avez utilise en mecanique des solides indeformables pour decrire leur mouvement.Ils seront ici simplement associes aux deplacement et rotation dune section droite, aux deformationsdune section droite et aux efforts generalises (resultante et moment) sur cette section.

a lechelle macroscopique locale 3D

Nous ne rapellerons que quelques definitions de lelasticite lineaire isotrope.

Les differentes possibilites de deformations dun volume elementaire (dx dy dz). On definitles 3 deformation dallongement (ou de contraction) xx, yy , zz , ainsi que les 6 deformationsde cisaillement xy , yz , zx, yx, zy , xz.

Tenseur des deformations. Ces 9 composantes peuvent etre ordonnees dans une matrice as-sociee au tenseur des deformations . Ce tenseur est symetrique de part sa construction. Il ya donc 6 composantes independantes.

Tenseur des contraintes. Il est associe aux contraintes agissant sur chaque facette dun cube.La facette de normale x subit les contraintes xx, yx, zx. Nous appellerons E le module deYoung du materiau (en Pa). Nous appellerons le coefficient de Poisson du materiau (sansunite). Nous appellerons G = E

2(1+)le module de Coulomb du materiau (en Pa). Le loi de

comportement permettant de passer du tenseur des deformations au tenseur des contraintesest,

=1 +

E

Etrace() Id, (2.1)

7

cel00611692,

version1

27Jul2011


9/55

deplacements

d

eformations

contraintes

u

conditionauxlimites

u=

udsur

u

endeplacement

passage

+

eq.compatibilite

+

eq.compatibilite

deplacements

ik

,jl

kj,il=

=

1/2

gradu+

T

gradu

(Beltrami)

il,jk

lj,ik

(1+)ij+

2

(trace)

xi

xj

=

0si

gradf=

0

deformations

pouri=

jetl=

k

loidecomportement

=

1+

E

Etrace()Id

=

2+trace()Id

div+

f=

0

equations

eq.

deNavier:

xx

x

+

xy

y

+

xz

z

+fx=

0

dequilibre

(+)

grad(divu)

xy

x

+

yy

y

+

yz

z

+fy=

0

(statique)

+

div(gradu)+u=

0

xz

x

+

yz

y

+

zz

z

+fz=

0

conditionauxlimites

T(P,

n)=

n=

Fdsurf

encontraintes

N=

S

xx

dS

passage

Ty=

S

xy

dS

contrainte

Tz=

S

xz

dS

torseur

Mx=

S

xrdS

M

fy=

S

xx

zdS

M

fz=

S

xx

zdS

Table2.1Equationsdelamecaniquedessolidesdeformablesdanslecasdunemodel

isationtridimensionnelle

8

cel00611692,

version1

27Jul2011


10/55

torseurdes

torseurdes

torseurdes

deplacements

deformations

eff

ortsinterieurs

{U}=

{Def}=

{i

nt}=

u

H

x

x+

yy+

zz

xx+yy+zz

H

Nx

+T

yy+T

zz

Mx

x+

Mfy

y+M

fz

z

H

conditionauxlimites

{U}=

{U}

d

endeplaceme

nt

aupointP

d

passage

deplacement

s

formulesdeBresse

deformation

s

(fonctiondex,y,...

)

x=

Mx

/GIc 0

M

x=

x

GIc 0

y=

Mfy

/EIH

y

M

fy=

y

EIH

y

loidecomportement

formulesdeBresse

z=

Mfz

/EIH

z

M

fz=

z

EIH

z

(fonctiondeN,Ty,...

)

x=

N/ES

N=

xES

y=

Ty

/GS

y

Ty=

yGS

y

z=

Tz

/GS

y

Tz=

zGS

z

px+

dNd

s=

0

p

y+

dTy

ds

=

0

equations

p

z+

dTz

ds

=

0

dequilibre

cx+

dMx

ds

=

0

(poutredroit

e)

cy+

dMfy

ds

Tz=

0

cz+

dMfz

ds

+T

y=

0

conditionauxlimites

{s+}+{s

}=

{d}

enchargement

aupointP

f

xx=N

/S

Mfyz

IHy

+

Mfzy

IHz

passage

yx=

Tygy(y

,z)

S

zx=

Tzgz(y

,z)

S

torseur

yy=

0

contrainte

yz=

0

zz=

0

x=

Mxrg(y

,z)

I0

Table2.2Equatio

nsdelamecaniquedessolidesdeformablesdanslecasdunemodeli

sationunidimensionnelle.

9

cel00611692,

version1

27Jul2011


11/55

ou = 2 + trace() Id, (2.2)

avec les deux coefficients de Lame donnes par,

= E2(1+)

= G, (2.3)

= E(1+)(12)

. (2.4)

a lechelle macroscopique 1D

On doit definir des grandeurs equivalentes au point de la section droite appartenant a lafibre moyenne. Nous utiliserons des torseurs : torseur de chargement, de mouvement possible a uneliaison, de deplacement, dinter-effort, de deformation, deffort interieur. Un torseur est toujourscompose dun vecteur appele resultante R et dun pseudo-vecteur appele moment M, et il estexprime necessairement en un point A. Pour ceux qui ne se souviennent plus de ce quest unpseudo-vecteur, consultez le cours sur les tenseurs de 1A.

Pour changer dun point A a un point B, la formule de changement de point dun torseur est aconnaitre, tout comme vous connaissez votre heros de jeunesse BABAR.Pour un torseur de chargement, dintereffort ou deffort interieurs :

{} =

R

MA

A

=

R

MB

B

=

R

MA + R AB

B

(2.5)

Pour un torseur de deplacement :

{U} =

uA

A

=

uB

B

=

uA + AB

B

(2.6)

Erreur classique : Il ne faut pas oublier de preciser, pour tout torseur, en quel p oint il estexprime.

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir lebrevet 031.

Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dontle mel est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

2.3.2 Notion de poutre

Nous travaillons ici,

soit dans dans un repere global associe a lensemble de la poutre. Nous noterons les vecteursde ce repere global i,j, k. soit dans dans un repere local a un point H. Nous noterons les vecteurs de ce repere local

x, y, z. Le vecteur x sera toujours choisi parrallele a la fibre moyenne. Les vecteurs y et zorthogonaux a x, seront dans les directions principales de la section droite (voir paragraphe2.3.5).

Erreur classique : Il ne faut pas oublier de preciser, pour tout torseur, dans quel repere ilest exprime.

principes et lois

Nous developperons une theorie lineaire, donc nous verifirons le principe de superposition : siun chargement 1 implique une champs de torseurs de deplacement 1, un chargement 2 implique une

10

cel00611692,

version1

27Jul2011


12/55

Figure 2.2 Les concepts a la description du mouvement de la fibre moyenne.

champs de torseurs de deplacement 2, alors appliquer la somme des deux chargements implique unchamps de deplacement somme des deux champs precedents.

Le principe de St Venant, exprime que la solution que la theorie des poutres fournie est admis-sible loin des points de chargement, de liaison, des discontinuite de fibre moyenne et de sa deriveeet des variations brusques de section.

Le mouvement dun point M de la poutre sera associe au mouvement du point H de la sectiondroite a laquelle il appartient. Il est donc necessaire de definir le type de lien cinematique entre lepoint M et le point H. Differentes hypotheses de cinematique de section droite sont possibles :

de Bernoulli : une section plane reste plane et normale a la fibre moyenne (cinematique

numero 2) de Timoshenko : une section plane reste plane de Bernoulli generalisee : une section plane peut se voiler (cinematique numero 3)

En fonction de la cinematique choisie, la rigidite equivalent de la section droite sera variable.

cinematique dun point de la fibre moyenne

Ce paragraphe concerne les etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.2. torseur des deplacements du barycentre dune section

{U} =

u

H

(2.7)

avec langle dont a tourne la section droite, u le deplacement du point H. Les unites S.I.de est le radiant donc 1, celles de u est le m.

torseur des deformations entre deux sectionsPour caracteriser la deformation entre deux points H(s) et H(s+ds), le torseur des deformationsest defini par :

{Def}A =lim

ds 01

ds

{U}H(s+ds) {U}H(s)

(2.8)

Tout calculs faits (voir figure 2.3), on obtient,

{Def}A =

dds

duds x

H

(2.9)

Pour cette demonstration, vous noterez quest effectue un developpement de Taylor des vari-

able et que seuls les termes dordre 2 sont conserves. Si entre deux points H et H

, le mouve-ment est celui dun solide rigide, les deux torseurs sont relies par la formule de changementde p oint, alors le torseur des deformations est nul.

11

cel00611692,

version1

27Jul2011


13/55

Figure 2.3 Demonstration de lexpression du torseur des deformations.

12

cel00611692,

version1

27Jul2011


14/55

Figure 2.4 Les concepts utiles a la determination du degre dhyperstatisme et des reactions auxliaisons.

Attention ! Dans ce cours, designe un angle de rotation (en rad), et non une vitesse de rotation (dans le torseur

cinematique dun solide, elle etait notee S2/S1). u designe un deplacement (en metre)

Ils sont donnes par rapport au repere global (O,i,j,k)

Assimilation Pour verifier votre assimilation de ce paragraphe, je vous invite a faire le brevet012.


2.3.3 Liaisons - isostaticite - hyperstaticite

Ce paragraphe concerne les etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.4.

liaisons parfaites normalisee - torseur des efforts transmissibles

(voir page suivante)

Dans ce cours, la resultante du torseur des efforts transmissibles sera notee R, le moment seranote M. La liaison etant consideree parfaite, la puissance developpee dans cette liaison doit etrenulle quelles que soient les deplacements et rotations eventuels possibles. Ceci implique que le

travail dune liaison soit nul :

uA

A

R

MA

A

= 0 (2.10)

Les liaisons associees a un probleme tridimensionnel sont normalisees. La symbolique est doncla meme que celle que vous utilisez pendant la formation de Technologie-Mecanique. Utilisez lesdessins associes !

liaison tridimensionelle encastrement : {}A =

Rii + Rjj + Rkk

Cii + Cjj + Ckk

A

liaison tridimensionelle pivot daxe Ai : {}A =

Rii + Rjj + Rkk

Cjj + Ckk

A

liaison tridimensionelle glissiere daxe Ai : {}A =

Rjj + Rkk

Cii + Cjj + Ckk

A

13

cel00611692,

version1

27Jul2011


15/55

Figure 2.5 La symbolique des liaisons 2d utilisee dans ce cours (non normalisee).

liaison tridimensionelle helicodale daxe Ai de pas p : {}A =

2Cip

i + Rjj + Rkk

Cii + Cjj + Ckk

A

liaison tridimensionelle pivot glissant daxe Ai : {}A =

Rjj + Rkk

Cjj + Ckk

A

liaison tridimensionelle spherique a doigt daxe Ai et Aj : {}A =

Rii + Rjj + Rkk

Ckk

A

liaison tridimensionelle appui plan de normale Ai : {}A

= RiiCjj + Ckk

A

liaison tridimensionelle lineaire rectiligne de normale Aj de direction Ai : {}A =

Rjj

Ckk

A

liaison tridimensionelle lineaire annulaire daxe Ai : {}A =

Rjj + Rkk

0

A

liaison tridimensionelle ponctuelle daxe Ai : {}A =

Rii

0

A

Les liaisons associees a un probleme bidimensionnel ne sont pas normalisees. Faites attention a lasignification de chaque symbole en fonction de louvrage. Pour notre part, la symbolique presenteedans la figure 2.5 sera utilisee. Pour un probleme dans le plan (A,i,j) :

liaison bidimensionelle encastrement : {}A = Rii + Rjj

Ckk

A

liaison bidimensionelle appui simple : {}A =

Rii + Rjj

0k

A

liaison bidimensionelle appui sur rouleaux de normale Aj : {}A =

Rjj

0k

A

liaison bidimensionelle glissiere daxe Ai : {}A =

Rjj

Ckk

A

Erreur classique : Il ne faut pas, lorsque le probleme est bidimensionnel, utiliser les liaisonstridimensionnelles (et inversement).

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir lesbrevets 037 et 038.


torseurs de chargement

Dans ce cours, la resultante sera notee F, le moment sera note C. Les differents torseurs dechargements sont :

force concentree au point A de direction i

{1} = F0

A

(2.11)

14

cel00611692,

version1

27Jul2011


16/55

couple concentre au point A de direction i

{2} = 0

C A

(2.12)

densite lineique de force pi sur un segment de longueur ds au point P

{d3} =

pids

0

P

(2.13)

densite lineique de couple ci sur un segment de longueur ds au point P

{d4} =

0

cids

P

(2.14)

torseur equivalent exprime au point C, dun chargement lineique sur un segment AB :

{5} =BA

pdscds

P

=BA

pds

cds + pds P C

C

= B

A pdsBA

(c + p P C)ds

C

(2.15)

Attention dans la derniere egalite ci-dessus davoir exprime p et c dans une base fixe qui nedepend pas de labscisse curviligne.



isostaticite - hyperstaticite

Avant de rechercher les efforts interieurs a une poutre, il est parfois necessaire de calculer lesreactions qui transitent par les liaisons qui maintiennent cette poutre en contact avec les autressolides voisins.

demarche La procedure suivante est a suivre

1. isolement du solide : Pour ce faire : vous definissez le solide ou lensemble de solides que vous souhaitez isoler (pour nous ce

sera la poutre consideree), par la pensee, vous entourez ce domaine isole par une fine peau, a chaque endroit ou cette fine peau intersecte une liaison, ou un chargement, un torseur

doit etre ecrit

2. bilan des actions : en chaque point ou doit etre ecrit un torseur, vous ecrivez : le point, letype de liaison (eventuellement precisez de quel axe), le torseur (deffort transmissible ou dechargement). Vous rajoutez a cette liste les torseurs de chargement a distance (pesanteur,forces electromagnetiques...)

3. principe fondamental de la statique : Si le domaine isole est en equilibre, la somme de cestorseurs est nulle. En presence dun chargement lineique ou surfacique, lecriture de lequilibredoit faire apparatre lintegration de ce torseur sur le domaine dintegration (integrale simpleou double).

4. ecriture du systeme dequations : dans le cas dun probleme tridimensionnel, lequilibre setraduit par lecriture de 6 equations (trois de resultante, trois de moment). Dans le casdun probleme bidimensionnel, lequilibre se traduit par lecriture de 3 equations (deux deresultante, une de moment autour dun axe perpendiculaire au plan du probleme).

5. determination du nombre dinconnues hyperstatiques : le calcul (nombre dinconnues- nombre dequations = degre dhyperstatisme) est faux ! En effet, tout dependcomment les inconnues sont positionnees dans les equations. La methode est la suivante :

15

cel00611692,

version1

27Jul2011


17/55

vous entourez en rouge les chargements. Ce sont les donnees du probleme. Parmi les reactions aux liaisons (les inconnues), vous entourez en bleu celles qui peuvent

etre determinee en fonction des chargements. Si toutes les inconnues sont determinees : le systeme est dit isostatique Si toutes les inconnues ne peuvent pas etre determinees (deux inconnues sur une meme

equation, et qui napparaissent pas ailleurs par exemple), le systeme est hyperstatique vis-a-vis de ce degre de liberte. Vous choisissez lune de ces inconnues que nous appelleronsinconnue hyperstatique, vous lencadrez en vert, et vous la supposez connue (au meme titreque les chargements en rouge) pour recherchez toutes les inconnues qui peuvent de ce faitetre maintenant determinees (vous les entourez en bleu). Vous pouvez etre amene a choisirplusieurs inconnues hyperstatiques.

Le degre dhyperstatisme est le nombre minimal dinconnues (entourees envert) qui ont dues etre choisies comme hyperstatiques.

6. Vous ecrivez lexpression de chaque inconnue determinee (en bleu), en fonction du chargement(en rouge) et des inconnues hypertatiques (en vert). Dans la suite du probleme, chaque foisquune inconnue bleu apparat, elle sera remplacee par son expression rouge et verte.

exemples Lexemple de determination du degre dhyperstatisme dun systeme tridimensionnelest presente figure 2.6.

Lexemple de determination du degre dhyperstatisme dun systeme bidimensionnel est presentefigure 2.7. On remarquera que lequilibre est ecrit au point D, mais quil aurait pu etre ecrit enun autre point, les equations qui auraient alors ete obtenues seraient une combinaison lineaire desequations presentee dans lexemple. Linconnue hyperstatique choisie est linconnue R2. Il auraitete possible de choisir R3 ou C2. Quelque soit ce choix, le nombre dinconnues hyperstatique restede 1.

systeme isostatique associe On appelle systeme isostatique associe, le systeme identique geometriquement,mais dont les liaisons ou ont ete choisies une inconnue hyperstatique sont modifiees :

1. si linconnue hyperstatique est une force dans la direction i, le degre de liberte associe, latranslation dans la direction i, est liberee. La liaison est donc remplacee par la liaison quibloque les memes degres de liberte saut ce degre de liberte. Par exemple, si le probleme esttridimensionnel, une liaison encastrement, sera transformee en une liaison glissiere daxe i.Si le probleme dans le plan (A,i,j), une liaison appuis simple sera remplacee par une liaisonappuis sur rouleau de normale j.

2. si linconnue hyperstatique est un couple dans la direction i, le degre de liberte associe,la rotation dans la direction i, est liberee. La liaison est donc remplacee par la liaison quibloque les memes degres de liberte saut ce degre de liberte. Par exemple, si le probleme esttridimensionnel, une liaison encastrement, sera transformee en une liaison pivot daxe i.

Ce systeme isostatique associe est conside comme charge par

1. le meme chargement exterieur que le systeme initial,2. auquel on ajout les inconnues hyperstatiques, qui sont alors consideree comme un chargement

connu.

equation associee a une inconnue hyperstatique Le probleme isostatique associe peut doncetre resolu completement en fonction des donnees de chargement et des inconnues hyperstatiques.Appelons cette solution solution 1.

Pour retrouver le probleme initial, linconnue hyperstatique assurait que le deplacement associea celle-ci etait nul. Il faut donc rajouter une equation cinematique par inconnue hyperstatique :

1. si linconnue hyperstatique est une force Ri au point B, le deplacement dans cette directionen ce point doit etre nul : uB.i = 0.

2. si linconnue hyperstatique est un couple Ci au point B, la rotation dans cette direction ence point doit etre nul : B.i = 0.

16

cel00611692,

version1

27Jul2011


18/55

Figure 2.6 Determination du degre dhyperstatisme pour un systeme 3D.

17

cel00611692,

version1

27Jul2011


19/55

Figure 2.7 Determination du degre dhyperstatisme pour un systeme 2D.

18

cel00611692,

version1

27Jul2011


20/55

Figure 2.8 Les concepts utiles a la determination du degre dhyperstatisme et des reactions auxliaisons.

Ces equations supplementaires, fournissent des relations entre les inconnues hyperstatiques etles chargements. Elle permettent donc de determiner les inconnues hyperstatiques en fonction duchargement.

La solution complete du probleme qui verifie les conditions aux limites du probleme de depart,exprime en fonction uniquement du chargement du probleme de depart, est alors connue en rempla-cant les inconnues hyperstatiques par leur expression en fonction du chargement dans la solution1.

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir lesbrevets 013, 014, 015 et 016.Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dont

le mel est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

2.3.4 Efforts interieurs

calcul du torseur des efforts interieurs

Ce paragraphe concerne les etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.8.Dans ce cours, la resultante sera notee Rint, le moment sera note Mint.On oriente la poutre. Soit le point H dabscisse s. On notera seg+ la demi poutre dont les

abscisses sont superieures a s. On notera seg la demi poutre dont les abscisses sont inferieures a

s. Prenons comme definition que le torseur des efforts interieur represente les actions de la partieseg+ sur la partie seg-.

Si lon isole le segment seg-, celui-ci est sollicite par des torseurs exterieurs (de chargement oude liaison) sur le segment seg- et par le torseur des efforts interieurs. Ce segment etant a lequilibre,la somme des torseurs doit etre nul, donc on obtient legalite,

{eff.int.} = seg

{extseg} (2.16)

Nous aurions aussi pu isoler le segment seg +. Celui-ci est sollicite par des torseurs exterieurs(de chargement ou de liaison) sur le segment seg+ et par un torseur qui est loppose du torseur desefforts interieurs par le principe daction et de reaction. Nous faisons ici lhypothese quau point decoupure H il ny a pas de force concentree. Ce segment etant a lequilibre, la somme des torseursdoit etre nul, donc on obtient legalite,

19

cel00611692,

version1

27Jul2011


21/55

{eff.int.} =seg+

{extseg+} (2.17)

On note donc que nous disposons a chaque fois de deux manieres de calculer le torseur desefforts interieurs, en utilisant soit la partie seg+ soit la partie seg-. Les deux methodes donnent lememe resultat, car la poutre, dans sa globalite seg+ U seg- est en equilibre. Cest a vous de choisirle segment qui implique le moins de calcul. Par exemple, si sur lun des segments il y a des liaisonset des chargements, et sur lautre que des chargements (par definition connus), cest ce derniersegment quil faut utiliser car cela vous evite davoir a calculer les inconnues aux liaisons, et doncde faire lequilibre global de la structure, determiner son degre dhyperstatisme, and so on....

En general, la connaissance du torseur des efforts interieurs est necessaire sur lensemble de lapoutre. Plusieurs cas doivent etre etudies en faisant varier le point H, car lorsque s crot, a chaquepassage dun chargement, le torseur de chargement passe du segment seg+ au segment seg-.

exemple Dans le premier exemple (figure 2.9, le calcul du torseur des efforts interieurs nenecessite pas la determination des inconnues aux liaisons. On remarquera dans cet exemple quedeux cas sont a etudier en fonction de la position du point H.

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir lesbrevets 002, 005, 018.


composantes du torseur des efforts interieurs La determination du torseur des effortsinterieurs en un point H est generalement faite dans le repere global (O,i,j,k). Son expressionpeut meme etre donnee en un point different de H. Neanmoins, si le type de sollicitation vous estdemande, et cest toujours le cas, il est necessaire

1. dexprimer ce torseur au point H2. de lexprimer dans le repere local au point H qui prenne en compte lorientation locale de la

poutre et de la forme de sa section droite.

En effet, si par exemple le torseur des efforts interieur comporte une force Fj la reponse endeformation de la poutre sera differente si la direction j est parallele a la fibre moyenne ou per-pendiculaire.

Soit (H,x,y,z) le repere local tel que, Hx tangent a la fibre moyenne Hy et Hz axes principaux de la section droite

{H} =

R

M

=

Nx + Tyy + Tzz

Mxx + M fyy + M fz z

H

(2.18)

avec, N : effort normal Ty : effort tranchant suivant la direction y Tz : effort tranchant suivant la direction z Mx : moment de torsion Mfy : moment flechissant autour de laxe Hy Mfz : moment flechissant autour de laxe HzOn ecrira donc le torseur des efforts interieur, au point H et dans ce repere local, afin de pouvoir

identifier les types de sollicitation que la poutre subit.

exemple Si lon reprend le cas tridimensionnel precedemment traite, la determination des com-posantes en un point

Erreur classique : Pour determiner les composantes dun torseur des efforts interieurs, il nefaut pas oublier avant identification, dexprimer ce torseur dans le repere local au point H.

20

cel00611692,

version1

27Jul2011


22/55

Figure 2.9 Exemple de determination du torseur des efforts interieurs pour un systeme 2D.

21

cel00611692,

version1

27Jul2011


23/55

Figure 2.10 Les concepts utiles a la determination a venir de la loi de comportement de la fibremoyenne.

Erreur classique : Il ne faut pas confondre le moment M a une liaison, et un momentflechissant Mf ou de torsion Mx : lun traduit les efforts et moments transmissibles (qui peuventetre exprimes dans nimporte quel repere), lautre des efforts et moments a linterieur de la poutre(qui ne peuvent etre exprimes que dans le repere local au point H de cette poutre.)

Erreur classique : Les composantes du torseur des efforts interieur doivent etre exprimeesen fonction des chargements et des inconnues hyperstatiques. Si vous les laissez en fonction des

inconnues aux liaisons, vous ne trouverez pas les contraintes, deplacements et rotations en fonctiondu chargement.

equations dequilibre

Elles ne sont pas vues dans ce cours bien que figurant dans le second tableau du paragraphe2.3.1. Elles ne sont pas indispensables a la resolution de probleme. Referez-vous a la bibliographie.

2.3.5 Description de la section droite

Ce paragraphe concerne les etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.8.La theorie des poutres nutilisant que la fibre moyenne, il est necessaire dassocie a cette fibre

moyenne des grandeurs decrivant la section droite.

Erreur classique : Attention aux unites ! Les integrales sont effectuees sur des surfaces etnon des volumes (comme dans le cas du cours de mecanique generale), et la masse volumiquenapparat pas (comme dans le cas du cours de mecanique generale).

moment statique dune aire plane

Si la section droite est notee S, et la distance entre un point M de cette section droite et unedroite appartenant au plan de la section droite,

m = S dS. (2.19)Le moment statique est homogene a une longueur3.

Un exemple de calcul de moment statique est fait figure 2.11.

22

cel00611692,

version1

27Jul2011


24/55

Figure 2.11 Exemple de determination du moment statique dune section droite triangulaire.

23

cel00611692,

version1

27Jul2011


25/55

Figure 2.12 Exemple de determination du barycentre dune section droite triangulaire.

barycentre

Si dH est la distance entre le barycentre de la section droite et la droite appartenant au plande la section droite, et S laire de la secion droite, alors :

dH =m

S. (2.20)

Le distance est homogene a une longueur (Si ! Si ! Nest-ce pas formidable ?).Un exemple de calcul du barycentre est fait figure 2.12.

Erreur classique : Ne pas confondre le barycentre H dune section avec le centre de graviteG de la poutre complete. Ils ne sont pas confondus pour une poutre faite en deux materiaux demasse volumique differentes dans lepaisseur (par exemple un bilame).

moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique dune aire plane

Le moment quadratique par rapport a une droite appartenant au plan de la section droite

I =

S

2 dS (2.21)

est homogene a une longueur4. A Aire de section droite S constante, plus la matiere est loin de lafibre moyenne, plus le moment quadratique est grand.

Si la section droite est notee S, la distance entre un point M de cette section droite et unedroite appartenant au plan de la section droite, et la distance entre un point M de cettesection droite et une droite appartenant au plan de la section droite, le produit quadratique

I =

S

dS, (2.22)

est homogene a une longueur4.A laide de ces grandeurs, on peut construire le tenseur quadratique de la section droite, par

exemple, par rapport aux deux droites Hy1 et Hz1 avec y1 et z1 deux directions orthogonales entreelles, on obtient,

IH =

IH,y1 IH,y1z1

IH,y1z1 IH,z1

(y1,z1)(y1,z1)

. (2.23)

Les axes principaux dune section droite, sont les deux axes Hy et Hz tels que les termes horsdiagonale de ce tenseur sont nuls :

IH = IH,y 0

0 IH,z(y,z)(y,z)

. (2.24)

Pour la diagonalisation dune matrice, veuillez consulter vos cours de math.

24

cel00611692,

version1

27Jul2011


26/55

exemple Les calculs dun moment quadradratique et dun produit quadratique dune sectiontriangulaire par rapport a deux droites passant par sont barycentre sont detailles figures 2.13 et2.14. Le calcul des directions principales et de lexpression du tenseur dinertie dans cette base estdonnee ci-dessous.

Si lon prend comme dimensions de la section triangulaire a = 3 et b = 2, le programme scilab(demo09.sce) suivant donne A la matrice associee au tenseur dinertie dans la base (y1, z1)(y1, z1),A2 la matrice associee au tenseur dinertie dans la base (y, z) (y, z) et X les vecteurs directeurs(en colonne) des deux directions principales.

//demo09.sce avec scilaba=3;b=2;iyy=a*b3/36 ;izz=b*a3/36 ;iyz=a2*b2/72 ;izy=iyz ;A=[iyy,iyz ;izy,izz] ;A[A2,X]=bdiag(A) ;A2

X

Ceci fournit les resultats :

IH =

0.67 0.50.5 1.5

(y1,z1)(y1,z1)

. (2.25)

IH =

0.43 0

0 1.73

(y,z)(y,z)

. (2.26)

y = 0.91y1 + 0.42z1, (2.27)

z = 0.42y1 0.91z1. (2.28)

Les deux vecteurs sont bien de norme 1. On remarquera dans ce cas que les direction principales ne

sont pas parralleles a lun des bords de la surface consideree. Les valeurs de moments quadratiquesautour des deux axes principaux dinertie sont les deux valeurs extremes (minimale et maximale)lorsque la base dexpression du tenseur dinertie tourne autour de laxe Hx.

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir la partiedu brevet 006 associee au moment quadratique.


moment polaire

Si la section droite est notee S, la normale a cette section x (tangent a la fibre moyenne), et la distance entre un point M de cette section droite et la droite Hx, alors le moment polaire par

rapport a laxe Hx

I0 =

S

2 dS. (2.29)

a la dimension dune longueur4.

exemple Le calcul du moment polaire dune section circulaire est detaille figure 2.15.

Erreur classique : Ne pas confondre moment quadratique et moment dinertie. Ils ne sontpas homogenes entre eux !

Erreur classique : Ne pas confondre produit quadratique et produit dinertie. Ils ne sontpas homogenes entre eux !

25

cel00611692,

version1

27Jul2011


27/55

Figure 2.13 Exemple de determination dun moment quadratique dune section droite triangu-laire.

26

cel00611692,

version1

27Jul2011


28/55

Figure 2.14 Exemple de determination dun produit quadratique dune section droite triangu-laire.

Figure 2.15 Exemple de determination dun moment polaire dune section droite circulaire.

27

cel00611692,

version1

27Jul2011


29/55

2.3.6 Annexe 1

28

cel00611692,

version1

27Jul2011


30/55

Figure 2.16 Les caracteristiques de quelques materiaux.

29

cel00611692,

version1

27Jul2011


31/55

Figure 2.17 Un exemple de caracteristiques dune section droite.

30

cel00611692,

version1

27Jul2011


32/55

Figure 2.18 Les concepts utiles a la determination a venir de la loi de comportement de la fibremoyenne.

2.4 Lois de comportement de la poutre


2.4.1 Objectif

En letat actuel, vous savez calculer le torseur des efforts interieurs en tout point dune poutreen fonction du chargement et deventuelles inconnues hyperstatiques. Deux types de demarchepeuvent alors vous etre demandees :

1. calculer les deplacements et rotations de sections droite en certains points de la poutre

2. calculer les contraintes maximales dans la poutre pour determiner si les limites delasticitedu materiau constitutif de la poutre ne sont pas depassees.

La premiere demarche necessite a partir des torseurs defforts interieurs, de calculer les torseursde deformation, puis le champs de deplacement et de rotation des points de la fibre moyenne.Ces calculs peuvent etre fait en restant dans une description 1D si lon connait la relation entreles composantes du torseur des deformations et les composantes du torseur des efforts interieurs.Pour demontrer ces relations il faut passer (voir figure 2.18) par une description locale 3D desdeformations et contraintes engendrees en un point P de la section droite distant du point H de lafibre moyenne par un vecteur tel que HP = yy + zz. Ces relations appelees loi de comportement dela poutre dependent des hypotheses de cinematique prises dans la section droite. Cest pourquoi,

nous etudirons 3 cas. Ces trois cas sont illustres sur une poutre en flexion representee figure 2.19.

2.4.2 1ere cinematique

description de la cinematique

Le plan normal suit le torseur en H sans se deformer dans le plan. On peut alors calculer ledeplacement du point P par rapport au point P (voir figure 2.20). On considere le torseur desdeformations connu. La section droite passant par H subit un mouvement de corps solide, doncles torseurs de deplacement sont les memes pour tous les points de la section droite.

deformations

On calcule le tenseur des deformations du parallelepipede entre P et P de cotes dy, dz, ds (voir

figure 2.21). On evalue dans un premier temps le gradient de u, en notant que dx = ds, dy = dy etdz = dz.

31

cel00611692,

version1

27Jul2011


33/55

Figure 2.19 Les trois cinematiques des sections droites envisagees, illustrees dans le cas dunepoutre de section droite rectangulaire, sollicitee en flexion et effort tranchant.

contraintes

On calcule le tenseur des contraintes necessaire a lobtention de ce tenseur des deformations(voir figure 2.22). On utilise pour cela la loi de comportement de lelasticite tridimensionnelle, quiutilise les coefficients de Lame et .

torseur des efforts interieurs

Lensemble des contraintes sur les facettes de normale x aux points P de la section droitepassant par H, en se cumulant, realisent les actions du segment seg+ sur le segment seg-. Ellesdoivent donc etre equivalentes au torseur des efforts interieurs. Il faut donc faire des integrales surla section droite (voir figure 2.23). Comme le point H est le barycentre de la section droite, lesmoments statiques sur lensemble de la section sont nuls : ceci fait disparatre quelques integrales.Dautre part, ds pouvant etre pris infiniment petit, dautres integrales sont negligeables. Pourles termes de moment, apparaissent les moments quadratiques, le moment polaire et les produitquadratiques de la section droite. Ces derniers sont nuls si les axes y et z sont les directionsprincipales de la sections droite : cest ce qui est choisi.

ecriture matricielle

Les 6 equations precedentes peuvent etre ecrites sous forme matricielles en faisant apparatre lemodule de Young E et le coefficient de poisson , grace aux relations 2.3 les liants aux coefficients

32

cel00611692,

version1

27Jul2011


34/55

Figure 2.20 Calcul du deplacement relatif du point P par rapport au point P.

33

cel00611692,

version1

27Jul2011


35/55

Figure 2.21 Calcul du tenseur des deformations pour la cinematique 1.

Figure 2.22 Calcul du tenseur des contraintes pour la cinematique 1..

34

cel00611692,

version1

27Jul2011


36/55

Figure 2.23 Calcul du composantes du torseur des efforts interieurs la cinematique 1..

35

cel00611692,

version1

27Jul2011


37/55

de Lame.

NTy

TzMx

MfyMfz

= ... (2.30)

...

ES(1+)(1+)(1+2) 0 0 0 0 0

0 ES2(1+)

0 0 0 0

0 0 ES2(1+)

0 0 0

0 0 0Ebh(b2+h2)2(1+)12 0 0

0 0 0 0 Ehb3(1+)

12(1+)(

1+2)

0

0 0 0 0 0 Ebh3(1+)

12(1+)(1+2)

xyzxyz

,(2.31)

incompatibilite

Cette cinematique implique que les contraintes yy et zz ne sont pas nulles dans la sectiondroite, donc a fortiori sur les surface laterales de la p outre. Or, sur ces surfaces non chargees, lescontraintes exercees par lair sur la poutre sont nulles. Il y a donc contradiction entre la realite et lemodele associe a la cinematique 1. Prenons lexemple dun torseur des deformations ne comportantque le terme x. Tous les petits parrallelepipedes entre les points P et P

sallongent de la valeurxds. De part leffet Poisson, ils souhaitent se contracter dans les directions y et z. Or la cinematique1 choisie, dun mouvement en bloc rigide dune section droite les en empeche. Cette cinematique

nest pas realiste pour une poutres non bloquee sur toutes ses surfaces laterales.Il nous faut chercher une cinematique telles que sur les surfaces laterales les contraintes yy etzz soients nulles. Cest lobjet de la seconde cinematique.



2.4.3 2nd cinematique

Le plan normal peut se deformer dans le plan tel que yy et zz restent nuls.

description de la cinematique

Le torseur des deformations est choisi identique a celui de la cinematique 1, mais un mouvementdu point P dans le plan uy(y, z)y + uz(y, z)z, mouvement pour linstant inconnu, est rajoute (voirfigure 2.24.

deformations

Le tenseur des deformations est aussi modifie par la presence de ces deux fonctions (voir figure2.25).

contraintes

On peut donc en deduire par la loi de lelasticite, le tenseur des contraintes (voir figure 2.26). Sila p outre nest pas chargee sur ses faces de normale y et z, les yy , zz , et yz doivent etre nullessur ces faces. Recherchons une solution telles quelle soient nulles dans toute la poutre, cela impose

36

cel00611692,

version1

27Jul2011


38/55

Figure 2.24 Calcul du deplacement relatif du point P par rapport au point P pour lacinematique 2.

Figure 2.25 Calcul du tenseur des deformations pour la cinematique 2.

une relation sur les fonction inconnues. Si lon reecrit ces conditions en terme de deformation, lecoefficient de poisson entre les deformations apparat (voir figure 2.27). On peut alors en deduireles champs de deplacement complementaires pour assurer que les contraintes soient nulles sur lesfaces laterales de la poutre. On remarquera que cela implique en tout point de la section droite,que les contraintes yy , zz , et yz sont toutes nulles.

torseur des efforts interieurs

Par la meme demarche que pour la cinematique 1, il faut donc faire des integrales sur la sectiondroite (voir figure 2.28) pour obtenir les composantes du torseur des efforts interieurs. Dans lescalculs presentes la nullite des moments statiques par rapport a H est utilisee.

ecriture matricielle

Les 6 equations precedentes peuvent etre ecrites sous forme matricielles.

NTyTzMx

MfyMfz

=

ES 0 0 0 0 00 GS 0 0 0 00 0 GS 0 0 00 0 0 GI0 0 00 0 0 0 EIHy 00 0 0 0 0 EIHz

xyzx

yz

, (2.32)

incompatibilite

Cette cinematique implique que les contraintes yx et zx sont constantes dans lepaisseur de lapoutre, donc sur les surfaces exterieures laterales. Du fait de la symetrie du tenseur des contraintes,cela implique sur la surface de normale y que la contrainte yx soit non nulle. Or elle doit etre egalea la contrainte exercee par lexterieur sur cette surface. Si cette surface est libre, cette contrainteexterieure est nulle. Il y a donc contradiction entre la realite et le modele.

Il nous faut chercher une cinematique telles que la repartition des contraintes yx et zx soient

des fontions de y et z et nulles sur les bords de la section droite. Cest lobjet de la troisiemecinematique qui implique un voilement de la section en presence dun effort tranchant.

37

cel00611692,

version1

27Jul2011


39/55

Figure 2.26 Calcul du tenseur des contraintes pour la cinematique 2 et des conditions de surfaceslibres de contrainte.

Figure 2.27 Relation entre les deformations pour la cinematique 2 et les champs de deplacementcomplementaires.

38

cel00611692,

version1

27Jul2011


40/55

Figure 2.28 Expression des composantes du torseur des efforts interieurs pour la cinematique 2.

39

cel00611692,

version1

27Jul2011


41/55

Figure 2.29 Repartition des contraintes de cisaillement dues a une sollicitation de torsion, enfonction de la forme de la section droite et de la cinematique choisie.



2.4.4 3ieme cinematique

Le plan normal se deforme dans le plan tel que yy et zz restent nuls, et tel que les contraintesyx et zx soient nulles sur les b ords de la section droite. Cette cinematique (Fig. 2.19) sera etudieeplus avant dans le cours de modelisation [?]. Nous y obtiendrons des facteurs correctifs du momentpolaire et des sections equivalentes sous effort tranchant. Ces facteurs correctifs sont detailles dansles tableaux des figures 2.30 et 2.31. Il en est de meme pour la sollicitation de torsion pour laquellela proportionalite de la contrainte de cisaillement avec la distance au point H nest verifiee que

dans le cas dune poutre de section droite circulaire (Fig. 2.29).

NTyTz

MxMfyMfz

=

ES 0 0 0 0 00 GSy 0 0 0 00 0 GSz 0 0 00 0 0 GIc0 0 00 0 0 0 EIHy 00 0 0 0 0 EIHz

xyzxyz

, (2.33)

On rappelle ci-dessous la loi de comportement pour la cinematique 2, qui ne differe de la loi decomportement de la cinematique 3 que par trois termes, sur les lignes 2, 3 et 4 :

NTyTz

MxMfyMfz

=

ES 0 0 0 0 00 GS 0 0 0 00 0 GS 0 0 00 0 0 GI0 0 00 0 0 0 EIHy 00 0 0 0 0 EIHz

xyzxyz

, (2.34)

Erreur classique : Ne pas confondre dans la notation ci-dessus, G le module de Coulombexprime en P a, le centre de gravite de lensemble de la poutre G (cest un point, cela na pasdunite), et le barycentre dune section droite H (cest un point, cela na pas dunite).

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir le

brevet 049.Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dont


40

cel00611692,

version1

27Jul2011


42/55

Figure 2.30 Effet du cisaillement p1

41

cel00611692,

version1

27Jul2011


43/55

Figure 2.31 Effet du cisaillement p2

42

cel00611692,

version1

27Jul2011


44/55

Figure 2.32 Les concepts utiles au passage direct du torseur des efforts interieurs au torseur dedeplacement.

2.4.5 Formules de Bresse

Ce paragraphe concerne les etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.32.Utilite : Lutilisation des Formules de Bresse, permet de resoudre des problemes : dans lespace tridimensionnel, pour des poutres dont la ligne moyenne nest pas rectiligne.

Cest leur generalite qui leur donne toute leur force, et sont donc etudiees dans ce cours.

Erreur classique : Certains dentre vous ont utilises les annees precedentes des formules du

type EIHzd2ydx2 = Mfz . Ces formules ne sont pas valables dans les deux cas ci-dessus.

Elles peuvent etre construite par approche successive. Soit une poutre reliant un p oint A a unpoint B, orientee de A vers B, le point courant etant note H.

Supponsons que cette poutre est infiniment rigide. Si le point A subit un torseur de deplacementcompose dun angle de rotation A et dune translation uA, alors le torseur de deplacementau point B est obtenu par la formule de changement de point.

B = A, (2.35)

uB = uA + A AB. (2.36)

Supposons cette fois que le point A est immobile mais que seul se deforme un petit tronconHHde longueur ds a partir du point H. Le torseur de deplacement de H est compose deH = (xx + yy + z z)ds et dune translation uH = (xx + yy + zz)ds. La deformationde ce petit segment implique un torseur de deplacement au point B :

B = (xx + yy + z z)ds, (2.37)

uB = (xx + yy + zz)ds + (xx + yy + z z)ds HB. (2.38)

Supposons cette fois que le point A est mobile et que toute la poutre se deforme. Il suffit defaire la somme des torseurs : du premier et du second que lon aura integre le long de toutela poutre AB. On obtient les formules de Bresse ci-dessous.

Soit une poutre dont lorientation de la fibre moyenne est de Pdeb a Pfin, si le torseur desdeformations est note,

{DefH} =

xx + yy + z zxx + yy + zz

=

Mx/GI

c0 x + Mfy/EIHy y + M fz/EIHz z

N/ES x + Ty/GSy y + Tz/GSz z

H

(2.39)

43

cel00611692,

version1

27Jul2011


45/55

alors le torseur de deplacement au point Pfin par rapport au torseur de deplacement du point Pdebest,

{UPfin} =

PfinuPfin

Pfin

(2.40)

{UPfin} =

Pdeb +sPfinsPdeb

(xx + yy + z z)ds

uPdeb + Pdeb PdebPfin +sPfinsPdeb

(xx + yy + zz)ds

+sPfinsPdeb

(xx + yy + z z) HPfinds

Pfin

(2.41)

{UPfin} =

PfinuPfin

=

Pdeb +sPfinsPdeb

(Mx/GIc0 x + M fy/EIHy y + Mfz/EIHz z)ds

uPdeb + Pdeb PdebPfin + sPfinsPdeb

(N/ES x + Ty/GSy y + Tz/GSz z)ds

+sPfinsPdeb (Mx/GIc0 x + M fy/EIHy y + M fz/EIHz z) HPfinds

Pfin

(2.42)

Les formules de Bresse ci-dessus sont relatifs a la cinematique 3. Nous rappelons ci-dessous, lesformules de Bresse pour la cinematique 2, qui ne different que par 3 termes :

{UPfin} =

PfinuPfin

=

Pdeb +sPfinsPdeb

(Mx/GI0 x + Mfy/EIHy y + Mfz/EIHz z)ds

uPdeb + Pdeb PdebPfin +sPfinsPdeb

(N/ES x + Ty/GSy + Tz/GSz)ds

+sPfinsPdeb

(Mx/GI0 x + Mfy/EIHy y + Mfz/EIHz z) HPfinds

Pfin

(2.43)

Erreur classique : Une fois les formules de Bresse utilisees, votre resultat ne doit plus faireapparatre les coordonnees du point H. Si cest le cas, cest que vous navez pas effectue lintegrationentre les abscisses sPdeb et sPfin.

Erreur classique : Si dans un probleme donne, le deplacement en Pfin et connu et que vousrecherchez le deplacement en Pdeb, ecrivez la formule de Bresse comme ci-dessus, puis passer letermes complementaires a uPfin de lautre cote de legalite.

2.4.6 exemple dutilisation : sollicitation de traction

Pour une poutre sollicitee en traction-compression, seul leffort normal N est different de 0. Laloi de comportement de la fibre moyenne 2.33 fournie donc,

xyzxyz

=

N/ES00000

. (2.44)

Les composantes du tenseur des deformations en un point P a la distance y1 et z1 de la fibremoyenne, sont alors donnees par,

xx = N/ES,yy = xx,zz = xx,

xy = 0,yz = 0,zx = 0.

(2.45)

44

cel00611692,

version1

27Jul2011


46/55

Les composantes du tenseur des contraintes sont alors donnees par,

xx = N/S,yy = 0,

zz = 0,xy = 0,yz = 0,zx = 0.

(2.46)

On note dans ce cas particulier que les tenseurs des contraintes et des deformations ne dependentpas de la position du point P par rapport au point H.

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir lesbrevets 050 et 054.


2.4.7 flexion simple autour de laxe Hz

Une poutre est sollicitee en flexion simple autour de laxe Hz lorsque Mfz et Ty sont differentsde 0. La loi de comportement de la fibre moyenne 2.33 fournie donc,

xyzxyz

=

0Ty/GSy

000

Mfz /EIHz

. (2.47)

Les composantes du tenseur des deformations en un point P a la distance y1 et z1 de la fibre

moyenne, sont alors donnees par,

xx(y1, z1) = MfzEIHz

y1,

yy(y1, z1) = xx,zz(y1, z1) = xx,

xy(y1, z1) =TyGS g(y1),

yz = 0,zx = 0.

(2.48)

La repartition des deformations dans lepaisseur de la poutre nest pas constante (cinematique3). La fonction g(y1) peut etre calculee (voir cours de 2ieme annee a venir). Cest la raison pourlaquelle il faut corriger la section en cisaillement (Sy) dans la loi de comportement. Des exemplesde ces fonctions sont fournies dans les tableaux joints (figures 2.30 2.31).

Les composantes du tenseur des contraintes sont alors donnees par,

xx(y1, z1) = MfzIHz

y1,

yy = 0,zz = 0,

xy(y1, z1) =TyS g(y1),

yz = 0,zx = 0.

(2.49)

On note dans ce cas particulier que les tenseurs des contraintes et des deformations dependentde la position du point P par rapport au point H.


brevet 051, 052, 053 et 055.Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dont


45

cel00611692,

version1

27Jul2011


47/55

2.5 Resolutions de problemes

Si lobjectif est de calculer un deplacement (ou une rotation) dun point de la poutre, il faut : choisir un point de depart ou le deplacement et/ou la rotation est connue

orienter la poutre du point de depart au point ou seffectue la recherche de deplacement ecrire la ou les formules de Bresse necessaires identifier les composantes du torseur des efforts interieurs qui doivent etre calculees, et sur

quel segment, calculer ces composantes en fonction du chargement (et des eventuelles inconnues hypersta-

tiques (en vert)). Le choix judicieux du secteur aval ou amont peut parfois permettre deviterde calculer les reactions aux liaisons.

deux cas sont possibles : le systeme est hypertatique

il faut ecrire une equation supplementaire : elle concerne le degre de liberte dual delinconnue hyperstatique (en vert).

Si cest une force dans une direction, cest le deplacement dans cette direction. Si cest

un moment autour dun axe, cest la rotation autour de cet axe. Calculer (comme ci-dessus par les formules de Bresse ou une methode energetique)

le deplacement recherche (ou la rotation recherchee). Ceci vous donne une equationsupplementaire qui lie linconnue hyperstatique (en vert) aux chargements (en rouge).

Remplacer dans les expressions des composantes deffort interieur, linconnue hypersta-tique (en vert) par son expression en fonction du chargement,

si le systeme est isostatique, les composantes du torseur des efforts interieurs sont alorsconnues en fonction uniquement des chargements (en rouge).

injecter ces expressions dans les formules de Bresse, faire les integrales

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir les

brevets 075 et 077.Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dontle mel est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

2.5.1 Resolution par superposition

hypotheses

Pour que le principe de supperposition soit valide, il faut que la loi de comportement du materiauutilise soit lineaire, et que les deplacements soient petits devant les dimensions de la structure.Cette deuxieme condition dexprime plus precisement par le fait quil faut que le torseur des effortsinterieurs ne varie que de facon negligeable sil est calcule pour la poutre dans sa configurationinitiale et sil est calcule dans sa configuration deformee.

enonce

Soit une structure elastique lineaire, sous un ensemble de chargements {1} cette structure subitun champs de deplacement {U1}, sous un ensemble de chargements {2} cette structure subit unchamps de deplacement {U2}, alors si elle est chargee simultanement par {1}+ {2}, son champsde deplacement est {U1}+ {U2}.

exemple

Soit une poutre droite de longueur l = 1 m, de moment quadratique IHz = 1 108 m4 autourde laxe Hz, reliant les points A et B, tel que AP = li et que le point A est encastre.

Cette poutre sous une charge en B F = 100j N, subit un deplacement en B qui vaut uB =

0.0159j m. Cette poutre sous un couple C = 100k Nm en D, milieu de [AB], subit un deplacement en B

qui vaut uB = 0.0179j.

46

cel00611692,

version1

27Jul2011


48/55

Sous les deux chargements, le deplacement du point B vaut uB = 0.0337j.

Assimilation Pour verifier que vous avez assimile ce paragraphe, je vous invite a obtenir les

brevets 056 074.Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dontle mel est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

2.5.2 Methodes energetiques

Les formules de Bresse necessitent des calculs dans des espaces vectoriels, alors que bien souvent,cest un deplacement dans une direction, une rotation autour dun axe ou un etat de deformationqui est cherche. Ce sont des grandeurs scalaires (des tenseurs dordre 0). Il est donc interessant demettre en place une methode de resolution qui utilise une grandeur scalaire : lenergie.

Energie de Deformation

Par definition lenergie de deformation est :

Wint =1

2

poutre

N2

ES+

T2yGSy

+T2z

GSz+

M2xGIc0

+M f2yEIHy

+Mf2zEIHz

ds (2.50)

Elle correspond a la somme sur toute la poutre de lenergie de deformation dans une section droite.Cette derniere est le comoment du torseur des deformations de la section droite et du torseur desefforts interieurs. Le fait que la structure soit elastique, fait apparatre le coefficient 1/2 de part laproportionalite de ces deux torseurs. En utilisant la loi de comportement de la cinematique 3, onpeut remplacer le torseur des deformations par son expression du torseur des efforts interieurs. Onobtient ainsi la formule 2.50.


brevet 057.Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dontle mel est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

travail des chargements exterieurs

Les chargements exterieurs sont de deux types : les reactions aux liaisons les chargements imposes

Supposons que pour une poutre, un unique chargement soit impose en un point B et que celui-cisoit represente par un torseur {B} dont les deux composantes F et C croissent proportionellement.Sous leffet de ce chargement le point B subit un champs de deplacement represente par le torseur{UB} compose dune resultante et dun moment uB. Le travail de ce torseur de chargement

entre letat repos et letat charge est la moitie du comoment des torseurs de chargement et dedeplacement :

Wext =1

2

F .uB + C.

. (2.51)

Les reactions aux liaisons, si elles sont parfaites, ne travaillent pas. En effet, soit la composantede deplacement ou de rotation est nulle alors quune reaction est presente, soit la composante dedeplacement ou de rotation nest pas nulle, mais la composante de force ou de couple est nulle.

travail dun chargement constant lors dun mouvement du a une autre charge

Supposons quun torseur de chargement {A} soit applique a un point A et que ce point Asubisse un torseur de deplacment {UA} du a un autre chargement. Le travail de {A} dans lemouvement {UA} est,

Wext =

F .uA + C.

, (2.52)

qui differe de lequation 2.51 simplement par labsence du coefficient 12

.

47

cel00611692,

version1

27Jul2011


49/55

theoreme de reciprocite de Maxwell-Betti

Supposons maintenant quun systeme subisse : un premier chargement {1} en un point A qui implique un champs de deplacement {U1}

en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi dun second {2} en un pointB, qui implique un champs de deplacement supplementaire {U2}. Dans la premiere phase, le

travail exterieur est W11 =12

FA.u1A + CA.1A

. Dans la seconde phase il est W12 + W22 =

FA.u2A + CA.2A

+ 1

2

FB.u2B + CB.2B

.

un premier chargement {2} en un point B qui implique un champs de deplacement {U2}en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi dun second {1} en un pointA, qui implique un champs de deplacement supplementaire {U1}. Dans la premiere phase, le

travail exterieur est W22 =12

FB.u2B + CB.2B

. Dans la seconde phase il est W21+ W11 =

FB.u1B + CB.1B

+ 1

2

FA.u1A + CA.1A

.

Le champ de deplacement total ne depend pas de lordre dans lequel les chargements ont ete

appliques. Le travail des forces exterieures nen depend donc pas. Egaler ces travaux ammene alegalite W12 = W21 : le travail du chargement 1 dans le deplacement 2 est egal au travail duchargement 2 dans le deplacement 1.

A titre dillustration, si le chargement 1 est une force F1A en A qui implique un deplacementu1B en B, le chargement 2 est une force F2B en B qui implique un deplacement u2A en A, alors,

F1A.u2A = F2B.u1B. (2.53)

Si les modules des forces et leurs directions sont les memes, et que les deplacements sont mesuresdans les directions de ces forces,

u2A = u1B. (2.54)

Si lon appelle c12 =u1BF1A

, le coefficient dinfluence dune force en A sur le deplacement en B, on aalors legalite des coefficients dinfluence,

c12 = c21. (2.55)

Le coefficient dinfluence nest rien dautre que la fonction de reponse en frequence entre le pointA et le point B a frequence nulle.



theoreme de Castigliano

Sur lexemple du ressort de raideur k, montrons que le deplacement u et relie a la force F paru = WextF . Wext =

12

uF, or u = F/k, donc Wext =12

F2/k, dou WextF = F/k etWextF = u.

Si le systeme est conservatif, le travail des chargements exterieurs est stoque sous la formedenergie interne. On a donc legalite Wint = Wext.

On peut donc enoncer de facon plus generale, le theoreme de Castigliano comme : Pour uneffort F n en un point A,

uA . n =Wint

F(2.56)

Pour un couple Cn en un point A,

A . n =Wint

C(2.57)

Erreur classique : Il ne faut pas calculer lintegrale de lenergie de deformation, avant defaire la derivation par rapport au parametre q, mais echanger les signes integration et derivation

48

cel00611692,

version1

27Jul2011


50/55

Figure 2.33 Un systeme hyperstatique interieurement necessite deffectuer une coupure en unpoint arbitraire C.

pour faire la derivation en premier. En effet, si une composante ne depend pas du parametre de

derivation (par exemple N), le terme 2NNq = 0, cela naurait servi a rien de calculer12

poutre

N2

ES. utilisation en un point non charge : Ajout au chargement reel dun chargement fictif dual du

deplacement recherche, puis utilisation du theoreme de Castigliano, pour enfin annuler le charge-ment fictif.



2.5.3 resolution de systemes hyperstatiques

exterieurement

Dans le paragraphe 2.3.3, vous avez determine si le syteme etudie etait isostatique ou hypersta-tique par rapport aux liaisons avec le monde exterieur. Pour chaque inconnue hyperstatique, vousavez ecrit, paragraphe 2.3.3, lequation cinematique associee permettant dobtenir une equationsupplementaire. le calcul de la valeur du degre de liberte associe peut etre faite :

par les formules de Bresse, appliquees au systeme isostatique associe. par Castigliano.

interieurement

Un systeme est hyperstatique interieurement, lorsque pour la fibre moyenne est fermee.En effet, si lon effectue une etude du torseur des efforts interieurs en un point H, il est necessaire

de definir les segments seg+ et seg -. Or, ces segements sont relies entre eux par la fibre moyennesans passer par H, car cette fibre moyenne est fermee. Il est alors impossible de definir le torseurdes efforts interieurs.

Le demarche a suivre est donc la suivante : on choisit un point de coupure C sur la fibre moyenne ferme.

on coupe par la pensee la fibre moyenne en C on charge les deux faces de la coupure avec deux torseurs {1} et {2} sont les 6 composantessont inconnues. Nous avons donc a priori 12 inconnues hyperstatiques. Dans le cas dun

49

cel00611692,

version1

27Jul2011


51/55

probleme plan, les deux torseurs nauront que 3 inconnues chacun : deux de resultantes etune de moment.

Des relations existent entre ces 12 composantes. Pour les trouver, on isole un petit tronconde fibre moyenne de longueur 2ds autour du point C ce qui definit les point C et C, puis onecrit lequilibre de ce petit troncon qui est charge par {1}C , {2}C et eventuellement unchargement concentre connu en C {C}. Lequilibre fournit 6 equations reliant les composantesde {2} a celles de {1} et {C}. On fera tendre ds vers 0, afin de simplifier les relations.

La fibre moyenne de la structure nest alors plus fermee, le torseur des efforts interieurs enun point H peut etre calcule classiquement en fonction des chargements exterieurs et descomposantes de {1}

pour determiner les valeurs des inconnues hyperstatiques, on agira classiquement en utilisantCastigliano : ceci traduit que les deplacements et rotations relatifs de C et C sont nuls.


Si vous avez des difficultes, je vous invite a contacter le referent du brevet correspondant, dont


2.5.4 Systemes articule

Si la barre est droite, articulee et non chargee sur sa longueur alors,

{H} =

Ni

0

H

(2.58)

avec i direction de la barre

treillis hyperstatique plan

2.6 Une cinematique mieux adaptee

2.6.1 Cisaillement

exemple

contraintes dans la section droite

cas dun effort tranchant constant xy =TymyIzb

cas dun effort tranchant variable ; charge repartie ; poids propre

deformations

calcul de la section corrigee

section corrigee : section rectangulaire Sy = 5/6S autres section : (voir tableau en fin dechapitre)

negligence

2.6.2 Torsion

2.7 Dimensionnement : cette partie nest vue que lors destravaux pratiques


50

cel00611692,

version1

27Jul2011


52/55

Figure 2.34 Les concepts utiles au passage direct du torseur des efforts interieurs au torseur dedeplacement.

2.7.1 Cercle de Mohr des contraintes

rappel : plan de Mohr

quelques sollicitations simples pour une poutre

experience de traction

experience de compression

experience de torsion dun arbre

experience de traction biaxe cylindrique

experience de traction triaxiale

2.7.2 Criteres de limite delasticite

rappels

contraintes principales

=

1 0 00 2 0

0 0 3

(2.59)

invariants

I1(s) = trace = 1 + 2 + 3 (2.60)

I2(s) = (trace)2 + trace2 = +12 + 23 + 31 (2.61)

I3(s) = det(s) = 123 (2.62)

parties spherique et deviatorique

Critere de Von-Mises

I2(d) < g2 (xx yy)

2 + (yy zz)2 + (zz xx)

2 + 6(xy + yz + zx)2 < g2 (2.63)

Critere de TrescatLe vecteur contrainte tangentielle a un module inferieur a une valeur

51

cel00611692,

version1

27Jul2011


53/55

Representations

quelques materiaux usuels

2.7.3 Methode de calculLors des travaux pratiques, les charges maximales a appliquer a la structure doivent absolument

etre calculee avant de faire les essais. Lenseignant, ne vous donnera lautorisation de charger cettestructure que lorsque vous lui aurez fourni les valeurs que vous ne depasserez pas.

La demarche a suivre est la suivante : bilan des actions calcul du torseur des efforts interieurs determination des evolutions de ses composantes le long de la poutre (avec labscisse curviligne

s) : effort normal : N(s) = effort tranchant dans la direction y : Ty(s) = effort tranchant dans la direction z : Tz(s) =

moment de torsion : Mx(s) = moment de flexion autour de laxe Hy : Mfy (s) = moment de flexion autour de laxe Hz : Mfz (s) =

recherche du point le plus sollicite : Les criteres de limite delasticite secrivant en elasticite,il faudrait calculer le tenseur des contraintes en tout point P est lui appliquer un critere (parexemple de Von Mises pour de lacier). Nous garderons cette demarche pour la deuxiemeannee. On peut simplifier le critere dans quelques cas particuliers :

si la poutre est soumise a de la flexion Mfz , de leffort tranchant Ty et de leffort

normal N, la contrainte en un point P de la section droite tel que HP = yy + zz est donneepar :

xx(s, y) =N(s)

S(s)

Mfz (s)y

IHz (s)

. (2.64)

Il faut rechercher le maximum et le minimum de xx. On considerera donc les demie-epaisseursde la poutre ymaxi = h(s)/2 ou ymaxi = h(s)/2. On se limitera : pour de lacier a 240 MP a < xx < 240 M P a , pour de laluminium et ses alliages a 30 MPa < xx < 30 MP a , pour du bois sollicite dans le sens des fibres (longitudinalement) a 20 M P a < xx

Theorie Des Poutres_2011

Documents

Transcript of Theorie Des Poutres_2011