[Tdm][CO]Theorie Des Mecanismes

7/26/2019 [Tdm][CO]Theorie Des Mecanismes

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Lyce Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 /15

CPGE TSI - Sciences de lIngnieur TSI2

Thorie des mcanismes Cours

Rf. Programme: S411 - Solide indformable, lois de mouvement

Comptences vises: A3-03, B2-05, B2-07, C2-13 v1.1

Lyce Richelieu 64, rue George Sand 92500 Rueil-Malmaison - Acadmie de Versailles

Comptences vises :

A3-03 Identifier les architectures fonctionnelles et structurelles

B2-05 Dterminer la liaison cinmatiquement quivalente un ensemble de liaisons

B2-07 Raliser le graphe de structure de tout ou partie dun mcanisme

C2-13 Dterminer le degr de mobilit et dhyperstatisme


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CPGE TSI2 - S2I Thorie des mcanismes Cours

Sommaire

1 Introduction 4

2 Rappel 4

2.1 Les diffrents types de schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Le schma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Le schma technologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.3 Le schma architectural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.4 Le schma cinmatique minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Chanes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Chane ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Chane ferme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.3 Chane complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Liaison quivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Liaison en srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 Liaison en parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.3 Composition de chanes sries et parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Modlisation et structure dune chaine ferme de solide 9

3.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Le nombre cyclomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Approche cinmatique de la thorie des mcanismes 10

4.1 Nombre dquations cinmatiquesEc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Nombre dinconnues cinmatiquesIc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Mobilit dun mcanismem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1 Signification mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.2 Signification mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4 Degr dhyperstatisme h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Approche statique de la thorie des mcanismes 11


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5.1 Nombre dquations statiquesEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Nombre dinconnues statiquesIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Degr dhyperstatisme h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4 Mobilit dun mcanismem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Mise en vidence gomtrique de lhyperstatisme 14

6.1 Tolrancement gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.2 Rendre lassemblage isostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Ce quil faut (au minimum) retenir 15

7.1 Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2 Quelle approche privilgier ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


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1 Introduction

La thorie des mcanismes sappuie sur ltude des chanes fermes de solides et a pour buts :

lanalyse de la structure dun mcanisme, afin dmettre un avis sur la pertinence des solutionsadoptes pour remplir la fonction mcanique souhaite.

la dtermination de la(les) loi(s) entre-sortie.

lanalyse de la transmission dnergie en vue du dimensionnement des organes mcaniques.

Lanalyse des chaines fermes de solides est oriente dans ce cours vers la recherche, dune part, decaractristiques telles que lisoou lhyperstatisme(ou hyperstaticit) et, dautre part, la recherchede solution technologique qui permettent de maitriser ou modifier lhyperstatisme.

2 Rappel

2.1 Les diffrents types de schmas

2.1.1 Le schma de principe

Ce mode de reprsentation dcrit les donnes strictementncessaires la dfinition du principe de fonctionnementdune solution.

2.1.2 Le schma technologique

Le schma technologique vise une description de la na-ture et de lagencement des principaux composants dun pro-duit.

2.1.3 Le schma architectural

Il met en vidence la nature et les positions relatives desdiffrentes liaisons lmentaires. Contrairement au schmatechnologique, les pices sans mouvement relatif ne sont pasdistingues les unes des autres.

2.1.4 Le schma cinmatique minimal

Ce mode de reprsentation met en vidence les mouve-ments relatifs entre sous-ensembles cinmatiques.

A la diffrence du schma architectural, on ne sintresse

pas la ralisation des liaisons mais uniquement aux mobilits.


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Il fait lobjet de la norme NF EN 23-952.

2.2 Chanes de solides

2.2.1 Chane ouverte

Une chane de solides S1, S2, S3, . . ., Sn est dite ouverte si les solides placs lextrmit sontdiffrents.

S1 S2 S3 . . . . . . Sn

Exemple :Robot Ericc 3

Poignet 4

Main 5

Avant-bras3

Bras 2

paule 1

Socle 0

0

1

2

3 4

5

L0/1

L1/2

L2/3

L3/4

L4/5

2.2.2 Chane ferme

Une chane de solidesS1,S2,S3, . . .,Snest dite ferme si le solide initial est le mmeque le solidefinal.

S1 S2 S3 . . . . . . Sn S1

Exemple :Bras Maxpid

0 4

3

2

1

L0/1

L1/2 L2/3

L3/4

L4/0


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2.2.3 Chane complexe

Une chane de solides S1, S2, S3, . . ., Sn est dite complexe si elle comporte plusieurs chanesouvertes ou fermes.

Exemple :Plateforme Stewart

Plateau 1

Vrin i

Socle 0

0 1

v1

v2

v3

L0/v1

L0/v2

L0/v3

L1/v1

L1/v2

L1/v3

2.3 Liaison quivalente

2.3.1 Liaison en srie

On dira que plusieurs solides sont en liaison srie si la chane de solides est de la forme :

1

23

n

Considrons par exemple une chane de trois solides S1, S2 et S3 en liaison srie avec des effortsextrieurs uniquement sur S1

Approche cinmatique

On noteV2/1

etV3/2

les torseurs cinmatiques respectifs de S2 par rapport S1et de S3par

rapport S2.

On peut alors dfinir un torseur cinmatiqueV3/1

de la liaison cinmatique quivalente entre

S3et S1dfini par la loi de composition des vitesses :

V3/1

A

=V3/2

A

+V2/1

A

cinmatique quivalente

(S1 S2 S3) (S1 S3)

Approche statique

On applique le principe fondamental de la statique S1 :


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{TextS1}A+{TS2S1}A = {0} do {TextS1}A= {TS1S2}A

On applique le principe fondamental de la statique {S1+S2}:


On applique le principe fondamental de la statique S1 pour la liaison quivalente :


Alors :

{TS1S3}A= {TS2S3}A= {TS1S2}Astatique quivalente

(S1 S2 S3) (S1 S3)

Remarque 1

Pour quune composante du torseur {TS1S3}A soit nulle, il faut que toutes les composantescorrespondantes des autres torseurs soient nulles.

Remarque 2Pour reconnatre immdiatement le torseur, il faut lcrire au point dintersection des formescanoniques.

2.3.2 Liaison en parallle

On dira que plusieurs solides sont en liaison parallle si la chane de solides est de la forme :

1 2

Approche cinmatique :

Considrons par exemple une chane de deux solides S1 et S2 en liaison parallle suivant deux

liaisons L1et L

2. On note

VL1

2/1

et

VL2

2/1

les torseurs cinmatique de S2par rapport S1dans les

liaisons respectives L1

et L2.

On peut alors dfinir un torseur cinmatique quivalent de S2par rapport S1V2/1

tel que :


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M tqV2/1

M

=VL1

2/1

M

=VL2

2/1

M

cinmatique quivalente

(S1 S2) (S1 S2)

On en dduira alors des degrs de libert bloqus dans les liaisons L1

et L2, correspondant des

degrs de liaison de la cinmatique globale entre S2 et S1.

Remarque

Pour reconnatre immdiatement le torseur, il faut lcrire au point dintersection des formescanoniques.

Approche statique :

On applique le principe fondamental de la statique S2 :

nliaisons Li :

TiS1S2

+{TextS2}= {0}

nliaisons quivalente : {TS1S2}+{TextS2}= {0}

Do :

{T12}A =

i

T

Li12

A

statique quivalente

(S1 S2) (S1 S2)

Remarque 1

Pour quune composante du torseur{TS1S2}soit diffrente de zro, il suffit quune seule com-

posante de lun desT

Li

S1S2

soit diffrente de zro (il suffit quune seule des liaisons puisse

transmettre la composante daction mcanique).

Remarque 2

Une simple analyse globale des degrs de libert nous donne galement le rsultat.

2.3.3 Composition de chanes sries et parallles

S1

Si1

Si2

Sj1

Sj2

S2


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On dfinira tout dabord les liaisons quivalentes des chanes srie

S1 S2

Liaison qui. 1

Liaison qui. 2

Puis de la chane parallle

S1 S2Liaison qui. globale

3 Modlisation et structure dune chaine ferme de solide

3.1 Objectif

Lanalyse des mcanismes a toujours pour point de dpart un modle du mcanisme tudier.Les schmas les plus couramment utiliss dans ce domaine sont les graphes de liaisons et les schmascinmatiques. Les rsultats de lanalyse dpendent des modles associs au rel.

Une chaine ferme de solides est composes de liaisons en srie qui forment :

soit une seule boucle (chaine simple),

soit plusieurs boucles (chaine complexe).

Le nombre de chaines dpend directementdu schma cinmatique et donc des modles adopts.

Conseil :

Gnralement, il est prfrable de modliser les liaisons entre chacun des solides de la chainesans entrer, lorsque les liaisons sont composes, dans le dtail de leur structure. Cela simplifie

notablement la suite et vite de faire une analyse globale qui mle chaine de solide et liaisonscomposes.

Il vaut mieux, chaque fois que cela est possible, distinguer ltude de liso ou hyperstatisme de lachaine de solide et celle de liso ou hyperstatisme interne des liaisons de la chaine

3.2 Le nombre cyclomatique

Dans le cas dune chaine complexe, le nombre de boucle indpendantes, appel nombre cyclomatique, se calcule simplement en faisant la diffrence entre le nombre de liaisons NL et le nombre de picesNPdans le mcanisme :

= NLNS+ 1


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Remarque

On peut aussi dterminer graphiquement en comptant le nombre de boucles sur le graphedes liaisons.

4 Approche cinmatique de la thorie des mcanismes

La loi de composition de mouvement applique chacune des chaines indpendantes dumcanisme permet dcrire pour chacune :

i,Vi/i

= {0}

4.1 Nombre dquations cinmatiques Ec

Il y a donc autant dquations torsorielles indpendantes que de chanes fermes indpendantes. OnposeEcle nombre dquations scalaires issues de ces quations de fermeture cinmatique, donn par :

Ec= 6

4.2 Nombre dinconnues cinmatiques Ic

Ce nombre se dtermine en sommant les degrs de libert de chacune des NL liaisons. Lenombre dinconnues dpend donc du modle adopt pour les liaisons.

Soit rsoudre le systme de Ec quations obte-nues Ic inconnues dnombres. Ce systme est unsystme linaire homogne, qui peut tre crit sousla forme matricielle ci-contre.

On dfinit lindice de mobilit comme tant lenombre m = IcEc. Lindice de mobilit est unentier relatif. Il se dtermine sans crire le systmedquations. Il servira de base la rflexion menelors dune approche globale.

4.3 Mobilit dun mcanisme m

4.3.1 Signification mathmatique

La rsolution du systme dquations prcdent prend en compte son rang, not Rg[Ec]. Le rangdsigne le nombre dquations indpendantes. Cest galement le nombre dquation significative (parexemple une quation 0 = 0nest pas significative).

On dfinit la mobilit du mcanisme m(entier positif ou nul) :

m= Icrg [Ec]


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4.3.2 Signification mcanique

La mobilit dun mcanisme est le nombre de paramtres cinmatiques indpendants quil fautdfinir pour connatre les mouvements de toutes les pices du mcanisme, ou comme le nombre de

paramtres de situation ncessaires pour connatre sa configuration.

On appelle mobilit utile, note mu, le nombre de paramtres cinmatiques indpendants quilfaut dfinir pour connatre les mouvements des pices dentre et de sortie du mcanisme, ou commele nombre de paramtres de situation ncessaires pour connatre la configuration des pices dentreset de sortie du mcanisme.

On appellemobilit interne, note mi, le nombre de mouvements indpendants ne faisant inter-venir aucun des paramtres dentre-sortie.

On a bien videmment :m= mu+mi

4.4 Degr dhyperstatisme h

On dfinit h le degr dhyperstatisme (ou parfois dhyperstaticit ) du mcanisme (entier positifou nul) :

h= Ecrg [Ec]

Mathmatiquement, il exprime le nombre dquations ne servant pas la rsolution. (Le plussouvent de la forme 0 = 0).

Mcaniquement, il dfinit le nombre de degrs de libert ajouter pour garantir un montage etun fonctionnement sans contrainte du mcanisme.

Finalement, la forme du systme dquation peut tre prsente de la manire suivante

Sachant que :

m= Icrg [Ec]

h= Ecrg [Ec]

On peut crire :

mh = IcE

c

Lindice de mobilit dun mcanisme estgal la diffrence entre sa mobilit et sondegr dhyperstatisme.

5 Approche statique de la thorie des mcanismes

Ce paragraphe dtaille une seconde approche de la thorie des mcanismes qui conduit au mmersultat que prcdemment. Dans ce cours, lapproche est mene en statique, elle se gnralise trs

simplement la dynamique.


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5.1 Nombre dquations statiques Es

Une tude statique systmatique est mene en tudiant le mouvement ou lquilibre de chacune despices du mcanisme.

Le mouvement ou lquilibre tant ncessairement relatif une de ces pices, prise comme rfrentiel,on dnombre alors NP 1solides tudier. (En gnral, le -1 correspond au bti qui est considrcomme un rfrentiel galilen et comme solide de rfrence pour la dynamique ou lquilibre. On nepeut donc pas lisoler).

Soit Es le nombre dquations scalaires obtenues aprs une tude exhaustive :

Es = 6(NP1)

5.2 Nombre dinconnues statiques Is

Soit Is le nombre dinconnues dactions mcaniques transmissibles par les liaisons du problme.Ce nombre se dtermine en sommant les nombres de paramtres dactions mcaniques transmissiblespar chacune des NL liaisons. Encore une fois, le nombre dinconnues dpend de la nature des modlesadopts pour les liaisons.

Soit rsoudre le systme de Esquations obtenues Isinconnues dnombres. Ce systme est unsystme linaire avec second membre, qui peut tre crit sous la forme matricielle suivante :

(1) : Poids - Couple ou effort, mo-teur ou rsistant - actions externes ou

internes dues des lments dformables...

(2) : cf. cours de dynamique, gales 0 en statique

On constate lgalit suivante :

IcEc= EsIs

On dfinit ainsi lindice de mobilit comme tant galement : m= EsIs

5.3 Degr dhyperstatisme h

La rsolution du systme dquations prcdent prend en compte son rang, not Rg[ES] (nombredquations significatives).

Un mcanisme est dit isostatique si, en labsence dactions mcaniques extrieures, toutes lesinconnues dactions mcaniques transmissibles par les liaisons sont nulles.

Un mcanisme est dit hyperstatique si, en labsence dactions mcaniques extrieures, il existedes inconnues non nulles dactions mcaniques transmissibles par les liaisons, dans les faits ind-termines.


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Supposons connu le rang du systme et les quations disposes ainsi :

Mathmatiquement, on dfinit le degr dhyperstatisme h par h = Is rg[Es]. Le nombredfinissant le degr dhyperstatisme est un entier naturel, h 0.

Mcaniquement, le degr dhyperstatisme h reprsente le nombre dinconnues ne pouvant pastre dtermines laide de la statique ou de la dynamique.

5.4 Mobilit dun mcanisme m

Soit le nombre mdfini (mathmatiquement, pour la statique) par :

m= Esrg[Es]

Ce nombre est la mobilit du mcanisme. Cest un entier positif ou nul. Il exprime le nombredquations ne servant pas la rsolution (le plus souvent de la forme 0 = 0pour lquation homogneassocie).

Mcaniquement, en statique et cinmatique, la mobilit est dfinie de la mme faon.

Finalement, la forme du systme dquation peut tre prsente de la manire suivante :

On a donc les deux relations :

m= Esrg [Es] et h= Isrg [Es]

On en tire alors :mh = EsIs


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Ce rsultat est bien identique celui trouv par lapproche cinmatique (Es Is = Ic Ec, cfci-dessus).

Remarque

h= 0: le mcanisme est ditisostatique.

h= n >0 : il est dit hyperstatique dordre n.

h= n


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7 Ce quil faut (au minimum) retenir

7.1 Rcapitulatif

Appr. cinmatique Appr. statique

Nombre de pices dun mcanisme NP NP

Nombre de liaisons NL NL

Nombre cyclomatique = NLNP+ 1

Nombre dquations Ec= 6 Es = 6 (NP1)

Nombre dinconnues Ic Is

Indice de mobilit IcEc EsIs

Mobilit dun mcanisme m= mu+mi m= mu+mi

Formule globale mh = IcEc mh = EsIs

7.2 Quelle approche privilgier ?

Toute tude commence par une approche globale.

En effet, il est inutile de se lancer dans des calculs qui deviennent trs rapidement complexes pourdboucher sur des conclusions triviales. Par ailleurs, il nest pas inutile davoir une ide prliminairede ce vers quoi on tend.

Pour une recherche de mobilit et de degr dhyperstatisme, lapprochecinmatiquesouventplus commode, et ce pour deux raisons :

Les grandeurs manipules sont observables et mesurables.

Le nombre dquations manipuler est en gnral bien infrieur celui obtenu par lapprochedynamique.

Pour une recherche de la loi entre-sortie dun point de vue dynamique, lapproche nerg-tique est privilgier. Le thorme de lnergie cintique donne un rsultat immdiat.

Lapproche dynamique enfin est mener lorsque lon cherche dimensionner les composantsdun mcanisme. Il est alors seulement ncessaire de connatre les torseurs dactions mcaniquestransmissibles par les liaisons.

Rfrences

[1] A. Meurdefroid: Cours de mcanique, 2013. TSI2 - Lyce Richelieu - Rueil-Malmaison.

[2] A. Chabert: Cours de mcanique, 2012. TSI2 - Lyce Richelieu - Rueil-Malmaison.

[3] P. Berthet: Cours de mcanique, 1998. PT* - Lyce Livet - Nantes.

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