TDs 2013 Correction

8/9/2019 TDs 2013 Correction

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ECOLE CENTRALE PARIS

1reANNE DTUDES

THERMODYNAMIQUE APPLIQUE

PCs

Corrig

2012 - 2013


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2


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PC N1

Un modle simple dbullition en paroi

Corrig

Lorsque lon fait bouillir de leau dans une casserolle, au moment o lbullition se dclenche,

on observe que des bulles apparaissent sur la paroi chauffe des endroits bien prcis appels sitesde nuclation. Si lon continue de chauffer leau, on observe que le nombre de sites de nuclationaugmente. La question que lon se pose est de comprendre comment se dclenche lbullition etpourquoi le nombre de sites de nuclation augmente au fur et mesure que lon chauffe leau.

1 La tension interfaciale

1.1 La tension interfaciale dun point de vue nergtique

Si lon observe une bulle de savon ou une bulle de gaz dans un liquide, ces bulles ont toujoursune forme proche dune sphre ; en tout cas, elles sont toujours plus proches dune sphre que dun

cube ou dun ttrahdre ! En outre, on observe que les petites bulles sont toujours plus sphriquesque les grosses qui sont plus facilement dformables.

Quelle explication nergtique peut tre donne pour expliquer ces observations ?

Correction

La sphre est la forme gomtrique qui minimise la surface pour un volume donn. On peutconsidrer en premire approximation que les bulles de savon ou de gaz dans un liquide sont iso-thermes. On observe que si la bulle est sphrique, elle nvolue pas alors que si elle est dformepar rapport la forme sphrique, elle volue spontanment pour trouver sa forme dquilibre sph-rique. Or, tout systme isotherme volue spontanment vers son tat dquilibre caractris par un

minimum dnergie libre. Cela signifie donc que, dun point de vue thermodynamique, la formesphrique doit correspondre un minimum dnergie du systme, ce systme comprenant linter-face et les phases fluide qui lentourent. Si lon suppose en premire approximation que les phasesqui entourent linterface ont une nergie qui reste constante (ce qui est le cas si, en premire approxi-mation, leur volume et leur temprature restent constants), leur nergie nvolue pas. Si lnergievolue, pour tre minimum lquilibre, cest que linterface doit tre dote dune nergie.

Ainsi, si lon postule que linterface est dote dune nergie par unit de surface, alors cela ex-plique pourquoi les bulles tendent tre sphriques : en minimisant laire de la surface de la bulle,le systme minimise son nergie, cette minimisation tant caractristique de lquilibre thermody-namique.

On postule donc quil existe une nergie par unit de surface, appele tension interfaciale, que

lon note.Cela explique aussi pourquoi les bulles les plus petites sont moins dformables que les grosses.Si lon dforme une surface, plus la longueur donde est petite, plus laugmentation relative daireest grande. Or, pour les bulles les plus petites, les longueurs donde permettant de les dformer sont

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ncessairement faibles, ce qui engendre une augmentation relative daire plus grande que pourles grosses bulles dont la surface peut tre dforme avec des longueurs donde plus grandes etengendrer donc une augmetation relative de laire plus faible.

1.2 La relation de Laplace

On sintresse ici aux consquences thermodynamiques de lexistence dune tension interfaciale.

1.2.1 Conditions dquilibre isotherme

On considre le systme thermodynamique diphasique schmatis sur la figure ci-dessous. Cesystme est ferm et est maintenu isotherme une temprature T0. Il est constitu de deux phases,de masse M1et M2et de volumeV1et V2spares par une interface daire A. On suppose quil nya pas de transfert de masse entre ces deux phases (de leau et de lair par exemple).

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

11111111111111111111111111111111111

V1M1

V2M2

A

T0

Quelle est lnergie libre totale du systme ?

Correction

Lnergie est une grandeur extensive. Or, le systme est constitu de 3 sous-systmes : le liquide,le gaz et linterface. Lnergie libre totale du systme est donc la somme des nergies libres de ces 3sous-systmes :

F=Fl+ Fg+A

oA reprsente laire de linterface.

En tenant compte des diffrentes contraintes appliques au systme, dterminer les diffrentiellesde lnergie libre des phases liquide et gaz.

Correction

Chaque phase peut tre caractrise par sa temprature T, son volumeVet sa masse M. On adonc

dFl,g=Sl,gdTl,g Pl,gdVl,g+gl,gdMl,g

Or, le systme est suppos tre isotherme, si bien que dTg = dTl = 0 et il ny a pas dchangede masse entre les phases, si bien quedMl =dMg =0. Enfin, le volume total du systme ne variepas :

Vg+Vl =cte

si bien quedVl =dVg

Par consquent, on a dFl =PldVg

dFg =PgdVg

2


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Caractriser lquilibre thermodynamique du systme et en dduire une expression gnrale dela diffrence(Pg Pl). On supposera que la tension interfaciale est une constante.

Correction

Le systme tant isotherme, son quilibre thermodynamique est caractris par un minimumdnergie libre. A lquilibre, on a par consquent

dF =0

En tenant compte de lexpression deFet des diffrentielles des nergies libres des phases, onen dduit facilement

dF=

Pl Pg

dVg+dA

Lquilibre est donc caractris par

Pg Pl = dA

dVg

On remarque que cette relation est la gnralisation de la condition dquilibre des pressionsdans le cas o on nglige leffet de la tension interfaciale : si= 0, Pg =Pl.

Pour simplifier lanalyse, on simplifie la gomtrie du systme en supposant quelle est sphrique.Le volume total est donc une sphre de rayon Re. On suppose dans un premier temps que le gaz estsitu au centre et que le liquide est situ lextrieur.

Dterminer la diffrence(Pg Pl)en fonction deet du rayonRde la bulle de gaz. Cette relationest appele relation de Laplace.

Correction

Dans le cas particulier considr, on a

A= 4R2

Vg =4

3R3

Par consquentdA

dVg=

2

R

et

Pg Pl =2

R

Cette relation montre que la pression lintrieur de la bulle de gaz est suprieure la pres-sion dans le liquide environnant et que cette diffrence de pression est proportionnelle la tensioninterfaciale et inversement proportionnelle au rayon.

Quen est-il dans le cas dune goutte de liquide, cest--dire lorsque le liquide se situe au centre etle gaz autour ?

Correction

Dans ce cas, on a

Vg =4

3

R3e4

3

R3

etdA

dVg=

2

R

3


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Par consquent

Pl Pg =2

R

Cette relation montre que, dans ce cas, cest la pression dans le liquide qui est suprieure lapression dans le gaz.

On peut donc gnraliser la relation par

Pg Pl =2

R

o R > 0 dans le cas dune bulle de gazet R < 0 dans le cas dune goutte de liquide.

Cette relation est appele relation de Laplaceet constitue la consquence principale de lexis-tence de la tension interfaciale.

1.2.2 Conditions dquilibre gnrales

On gnralise prsent le systme en supposant que la temprature peut varier et que les phasespeuvent changer de la masse entre elles. On considre cependant que le systme diphasique estferm et isol.

Dterminer les conditions dquilibre du systme.

Correction

Le systme tant ferm, sa masse totale et son volume total sont constants :

Ml+ Mv=cte

Vl+Vv=cte

Le systme tant isol, son nergie interne est constante :

Ul+Uv+A = cte

Enfin, lentropie totale du systme est donne par

S=Sl+ Sv

car on ne considre pas que la surface est dote dune entropie.Or, le systme tant ferm isol, lquilibre est caractris par un maximum dentropie, ce qui

signifie que, lquilibre, on adS=0

On adUl,v =Tl,vdSl,v Pl,vdVl,v+gl,vdMl,v

En utilisant les relations ci-dessus, on montre facilement que lquilibre est caractris par

(Tv Tl ) dSv (Pv Pl) dVv+(gv gl) dMv+dA = 0

Etant lquilibre, cette relation doit tre vraie pour toute transformation infinitsimale. On peutpar exemple considrer une transformation infinitsimale pour laquelle la gomtrie des phases ne

varie par (dVv =0 etd A= 0) et la masse des phases ne varients pas (dMv =0) mais o lentropiede la phase vapeur varie. On doit donc avoir, pour toute transformation de ce type et en particulierquel que soit le signe dedSv

(Tv Tl) dSv=0

4


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osest lentropie massique etvest le volume massique.En faisant un dveloppement limit lordre 1 de la premire relation et en tenant compte du

fait que la temprature est constante, on a

gv(Psat (T), T) +vsatv dPv g l(P

sat (T), T) +vsatl dPl

ov

sat

est le volume massique saturation.Or, saturation, les enthalpies libres des deux phases sont gales

gv(Psat (T), T) =g l(P

sat (T), T)

et on a doncvsatv dPvv

satl dPl

Au premier ordre dapproximation,dPvet dPl sont donc solution du systme suivant :

vsatv dPv vsatl dPl 0

dPv dPl =

2

R

La solution de ce systme est la suivante :

dPv vsatl

vsatv vsatl

2

R

dPl vsatv

vsatv vsatl

2

R

Ces relations montrent quaucune pression nest gale la pression de saturation. Elles montrent

en outre que dPv et dPl ont le mme signe et que ce signe dpend du signe du rayon de courbure.Ainsi, dans le cas dune bulle (R > 0), les deux pressions sont infrieures la pression de satura-tion et que, dans le cas dune goutte (R < 0), les deux pressions sont suprieures la pression desaturation.

Remarquons que ces relations sont totalement indpendantes de la forme des quations dtatdes phases liquide et vapeur.

Dans un diagramme( P; T), reprsenter les points caractristiques des phases liquide et vapeurdans le cas dune bulle de vapeur de rayon R et dans le cas dune goutte de liquide de rayon R.

Quelle phase a ses caractristiques les plus proches de la saturation ? Que dire de la stabilit thermo-dynamique des phases ?

Correction

Dans le cas dune bulle de vapeur (R > 0), les pressions des deux phases sont infrieures la

pression de saturation et la pression de la phase vapeur est plus proche de la saturation (vsat

v >

vsat

let dPv/dPl = v

satl /v

satv ). Les points caractristiques des phases sont donc ceux du graphique ci-

dessous. Dans ce cas, la phase vapeur est stable alors que la phase liquide est mtastable : sa pressionest infrieure la pression de saturation.

6


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T

P

solide

P

T

Psat (T)

2/R

T0

vapeur

liquidedPl

saturation

gaz

liquide

Dans le cas dune goutte de liquide (R < 0), les pressions des deux phases sont suprieuresla pression de saturation et la pression de la phase vapeur reste plus proche de la saturation. Lespoints caractristiques des phases sont reprsents sur le graphique ci-dessous o lon voit que,dans ce cas, la phase liquide est stable mais la phase vapeur est mtastable.

T

P

solide

P

T

Psat (T)

T0

2/R

vapeur

liquidedPl

saturation

gaz

liquide

1.3.2 Temprature dquilibre dune bulle de vapeur

Supposons prsent que lon fixe la pression de la phase liquideP0. On cherche dterminer latemprature laquelle une bulle de vapeur de rayon R peut tre lquilibre thermodynamique.

En saidant du diagramme(P, T)et en supposant que la temprature dquilibreTbest proche dela temprature de saturation, dterminer une approximation de cette temprature dquilibre.

Correction

La pression du liquide est fixe une valeur donne P0. Du fait que le rayon de la bulle est nonnul (et du fait de lexistence de la tension interfaciale), on sait que le liquide nest pas saturationmais quil est lgrement mtastable : son point caractristique ne se situe pas sur la courbe desaturation mais sur une courbe parallle dcalle verticalement de dPl (les variations tant faibles,on suppose en premire approximation que les volumes massiques saturation ne dpendent pasde la temprature). La temprature Tb est donc celle pour laquelle le liquide est lquilibre lapressionP0. Cette condition scrit

P0 = Peq

l

(Tb; R) Psat (Tb)

vsatv

vsatv vsatl

2

R

Cette condition est reprsente sur le graphe ci-dessous qui montre que la temprature dqui-libreTbest suprieure la temprature de saturation T

sat(P0).

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P

T

Psat (T)

TbTsat (P0)

dTb

liquidedPlP0

On suppose que la tempratureTbest proche de la temprature de saturation la pressionP0eton a donc

Tb=Tsat (P0) +dTb

avec |dTb|1. Si lon fait un dveloppement limit lordre 1 endTb de la relation au-dessus, onobtient :

P0Psat (Tsat (P0)) + d Psat

dT dTb v

satv

vsatv vsatl

2 R

OrPsat (Tsat (P0)) =P0

dPsat

dT =

L

T

vsatv vsatl

On obtient donc

dTb T

satv L

2

R

soit

TbTsat (P0) +

Tsat (P0)

satv L

2

R

Remarquons que cette relation est valable quelle que soit lquation dtat des phases.

Cette relation confirme que la temprature dquilibre est suprieure la temprature de satu-ration. Cela signifie donc que, du fait de lexistence de la tension interfaciale, pour quune bulle devapeur existe, il est ncessaire que la temprature du systme soit suprieure la temprature desaturation la pression fixe.

1.3.3 Temprature dquilibre dune goutte de liquide

Si lon suppose que la pression de la phase vapeur est fixe, on peut, par le mme raisonnement,dterminer la temprature dquilibre dune goutte de liquide de rayon R. Cette dtermination estlaisse en guise dexercice complmentaire.

Correction

En raisonnant de manire analogue au cas dune bulle, le point reprsentatif de la vapeur (donton fixe la pression) dans le diagramme(P, T)est figure sur le graphe ci-dessous. Ce graphe montreen particulier que la temprature dquilibreTgest infrieure la temprature de saturation.

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P

T

Psat (T)

P0vapeur

Tsat (P0)Tg

dTg

La condition dquilibre scrit

P0=Pv(Tg) Psat (Tg)

vsatlvsatv v

satl

2

R

En faisant un dveloppement limit de cette relation lordre 1 en (Tg Tsat (P0)), on trouvefacilement

Tg Tsat (P0) +

Tsat (P0)

satl L

2

R

Il faut se rappeler que, dans le cas dune goutte, R < 0 et on trouve bien que la tempraturedquilibre est infrieure la temprature de saturation. Cela signifie donc que, du fait de lexistencede la tension interfaciale, pour quune goutte de liquide existe, il est ncessaire que la tempraturedu systme soit infrieure la temprature de saturation la pression fixe.

1.3.4 Quelques ordres de grandeur

A pression atmosphrique, on a

vsatv 1.694m3/kg

vsatl 1.043 103 m3/kg

L 2257 kJ/kg 0.059 N/m

Dterminer la surchauffe ncessaire pour quune bulle de vapeur de 1 mm de rayon soit en qui-libre thermodynamique. Idem pour une bulle de 1 m de rayon.

Correction

On a

dTb 373.15 1.694

2257103

2 0.059

R

3.305 105

R

Pour une bulle de 1 mm de rayon, la surchauffe est donc denviron 3.3 102 K et pour une bulle

de 1 m de rayon, la surchauffe est denviron 33 K .

1.3.5 Stabilit de lquilibre

Dun point de vue physique, ltat dquilibre dtermin pression extrieure fixe est-il stable ?

En dautres termes, supposons quune bulle de vapeur de rayon R soit lquilibre la pressionextrieureP0et la temprature dquilibre Tb correspondante. Supposons que le rayon de la bulledevienne lgrement suprieur R. Le rayon de la bulle aura-t-il tendance diminuer ? On pourrasaider du diagramme(P; T)pour rpondre.

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Correction

A lquilibre pour le rayonR, le systme, et en particulier la phase liquide qui entoure la bulle,est la temprature Tb > T

sat (P0). Si le rayon de la bulle augmente lgrement la valeur (R+dR), la nouvelle temprature dquilibre sera infrieure la temprature Tb. Cela signifie que la

bulle de rayon (R+dR)sera entoure de liquide une tempratureTbsuprieure la tempraturedquilibre de la bulle. Le liquide aura donc tendance se vaporiser, ce qui fera augmenter le rayonde la bulle de vapeur, ce qui augmentera encore le dsquilibre thermique. Le systme est doncinstable.

P

T

Psat (T)

liquideP0

Tb(R+dR)Tb(R)T

sat (P0)

Si le rayon de la bulle diminue et passe de R (R dR), la temprature dquilibre de labulle sera suprieure la temprature du liquide environnant. Le liquide tant plus froid que latemprature dquilibre, la vapeur aura tendance se condenser, ce qui fera diminuer le rayon dela bulle, ce qui tendra augmenter encore le dsquilibre.

Ainsi, lorsque la pression du liquide est impose, lquilibre thermodynamique est instable.

2 Un modle simple dbullition paritale

On considre une paroi chauffe sur laquelle une bullition se dveloppe. On suppose que la tem-prature de la paroi est maintenue une temprature Tw > T

sat (P). On considre pour simplifierque, partir dune distancet de la paroi, la temprature est constante et gale la temprature desaturation la pression du liquide :T(y= t) =Tsat (P).

000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111

bre

t

Tw

Tsat (P)

rc

Lorsquune bulle se dtache de la paroi aprs avoir suffisamment grossi, son mouvement esttel que du liquide saturation est ramen au contact de la paroi. Ce liquide va se rchauffer aucontact de la paroi. Pour simplifier, on suppose que la couche de liquide se rchauffe uniquementpar conduction. Lquation dvolution spatio-temporelle de la temprature sur lpaisseur de liquide

[0; t]est la suivante (cf. cours de transferts thermiques)

t = l

2

y2

10


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ol est un paramtre physique appel diffusivit thermique et o

(y; t) =T(y; t) Tsat

oTest la temprature du liquide.

Les conditions initiale et aux limites de cette quation sont les suivantes :

(y; t= 0) =0 la couche de fluide est initialement saturation

(y= 0; t) =w la temprature de la paroi est impose

(y= t; t) =0 le liquide est toujours saturation eny = t

On peut montrer (cf. cours de transferts thermiques) que la solution de cette quation est la sui-vante :

(y, t)

w= t y

t+

2

n=1

cos(n)

n sin

n

t y

t

en

22(l t/2t)

Cette solution est reprsente schmatiquement sur la figure ci-dessous. Cette figure montre quetous les points de la couche de liquide se rchauffent avec le temps et que, au bout dun temps infini,le profil de temprature en yest linaire.

y/t

t

1

/w

1

On suppose que des bulles peuvent se crer en paroi et que ces bulles se crent prfrentiellementsur des cavits de la paroi tel que reprsent sur le schma au-dessus. On suppose que les cavits sontconiques et que les bulles sont sphriques. On note bla hauteur de la bulle,reson rayon et on notercle rayon de la bouche de la cavit. Pour simplifier, on suppose que

b= 2 rc

ce qui implique queb= 1.6 re

Dans le modle considr, on suppose quune cavit devient active, cest--dire que lbullitionpeut se dvelopper sur cette cavit, si, un instant donn, le liquide tout autour de la bulle a unetemprature suprieure la temprature dquilibre thermodynamique de la bulle. Ainsi, du fait dece dsquilibre thermodynamique, la bulle pourra grossir et ainsi se dtacher de la paroi.

2.1 Condition dquilibre thermodynamique au sommet de la bulle

Dterminer cette condition dquilibre thermodynamique en exprimant la temprature au som-

met de la bulle sous la forme de la fonction(b/w)(b/t).

Correction

11


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On a montr que la temprature dquilibre dune bulle de rayon Rest

Teq =Tsat +

Tsat

satv L

2

R

Ici, le rayon de la bulle est re = b/1.6. Par consquent, la condition dquilibre thermodyna-mique du sommet de la bulle scrit

Tb = Tsat +

Tsat

satv L

3.2

b

soit

bw

= 3.2 Tsat

satv L (b/t) tw

Tracer lallure de la fonction(b/w)(b/t)pour plusieurs valeurs de la temprature de paroiw.

Correction

La fonction(b/w)(b/t)est une hyperbole et cette hyperbole est une fonction dcroissante dew. Le faisceau de courbes paramtr par west schmatis sur la figure ci-dessous.

y/t1

1

w

b/t

b/w/w

2.2 Critre de dclenchement de lbullition

En dduire quil existe une temprature minimale de paroi minw en dea de laquelle aucune cavitnest active et dterminer sa valeur.

Correction

Lorsque w est trop faible, on a b > , (t;y; b), ce qui signifie que quelle que soit la taillede la bulle considre, cest--dire b, la temprature du fluide sera toujours infrieure latemprature dquilibre thermodynamique au sommet de la bulle b, si bien que toute la bulle nesera pas entoure de liquide surchauff et la bulle ne pourra pas crotre suffisamment pour quele site soit actif (le sommet de la bulle sera le sige de condensation et non pas de vaporisation).Ainsi, si la temprature de paroi est trop faible, aucun site nest actif. On nobservera donc pasde changement de phase alors que la temprature de paroi est suprieure la temprature de

saturation :w =Tw Tsat

>

0. Ceci est d lexistence de la tension interfaciale.

Le premier site sera actif lorsque la courbe (b/w)(b/t) est tangente la courbe (/w) =1 (y/t).

12


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y/tb/t

/wb/

minw

bmin /t

La fonction(b/w)(b/t)est de la forme

y(x) = A

wx

avec

A= 3.2 Tsat

satv L t

La tangente la courbey(x)au pointx0est

y= A

wx0

A

wx20(x x0)

Par identification avec la droite 1 x, on obtient le systme :

A

wx20=1

2A

wx0=1

dont la solution est

x0 =1

2

w =4A

En remplaantA par sa valeur, on a donc

minw =12.8 Tsat

sat

v L t

(bmin /t) =1

2

soit

rminc = t

4

orminc est la taille des premires cavits qui deviennent actives.

2.3 Augmentation du nombre de cavits actives

Montrer graphiquement que pour une temprature paritale w suprieure minw , il existe un

intervalle de tailles de cavits actives.

13


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Correction

y/tb/t

b/w/w

(b/t)i(b/t)1 (b/t)2

ti

Pour w > minw , la courbe(b/w)(b/t) a la forme donne sur la figure ci-dessus. Toutes les

cavits dont la taille est situe entre(b/t)1et(b/t)2sont actives. Par exemple, les cavits caract-

rises par une taille(b/t)idevient active au tempsti: au-del detilensemble du liquide entourantla bulle a une temprature suprieure la temprature dquilibre thermodynamique de la bulle etla bulle peut donc grossir.

Pourquoi les cavits les plus petites ne sont-elles pas actives ?

Correction

Les cavits les plus petites ne sont pas actives car les bulles qui y sont attaches sont trs petiteset,du fait de la tension interfaciale, la temprature dquilibre thermodynamique est plus grande quela temprature du liquide ; elles ne sont donc pas suffisamment en dsquilibre pour crotre.

Dans le cadre de ce modle, les cavits les plus grandes ne sont pas actives non plus car latemprature dquilibre thermodynamique au sommet de la bulle est suprieure la tempraturedu liquide qui aura donc tendance se condenser. De lvaporation a lieu en bas de la bulle mais dela condensation se produit au sommet de la bulle, si bien que le transfert de masse global ne permetpas ncessairement la bulle de grossir.

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PC N2

Etude du cycle dun turbo-racteur

Corrig

Les moteurs turbine gaz sont largement utiliss pour la propulsion des avions car ils sontlgers et compacts. Les turbines gaz des avions fonctionnent sur le principe dun cycle ouvertsch-matis sur la figure 1.

654321

FIGURE1 Schma de principe de fonctionnement dun turbo-racteur

Le gaz entre dans le racteur et passe dans un diffuseur pour diminuer la vitesse en entre ducompresseur. Le gaz est comprim par le compresseur et entre dans la chambre de combustion o ilest chauff. Le gaz est alors partiellement dtendu dans la turbine qui fournit la puissance ncessaireau compresseur. En sortie de turbine, le gaz reste une pression relativement leve par rapport lapression extrieure et il est dtendu dans une tuyre, ce qui permet dacclrer le gaz, cette acclra-tion servant propulser lavion.

On admet que, moyennant quelques approximations, un bilan de quantit de mouvement permet

de montrer que la force applique par le moteur lair est la suivante :

F= m (Vs Ve)

o mest le dbit dair dans le moteur et Vset Vesont les vitesses du gaz respectivement de sortie etdentre dans le moteur.

Par application du principe de laction et de la raction, la force applique par lair sur le moteur,et donc lavion, est loppose de la force ci-dessus. En rgime de croisire ( i.e.lorsque la vitesse delavion est constante), cette force sert contre-balancer la force de frottement que lair applique surlavion.

Soit Vala vitesse de lavion dans lair suppos tre au repos. La puissance dveloppe par la forcede propulsion est donne par

qp= F Va

Soit un avion volant une vitesse de 260 m/s une altitude o lair est une pression de 34.5 kPaet une temprature de40C. Le compresseur a un rapport de pression de 10 et la temprature des

1


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gaz lentre de la turbine est de 1093C. Lair entre dans le compresseur un dbit massique de45 kg/s.

Le but de ce problme est de dterminer lefficacit du moteur. Pour cela, on supposera que legaz a le comportement dun gaz parfait Cp et Cv constants et on prendra Cp = 1.1 kJ/(kgK),r= 0.287 kJ/(kg.K) et = 1.353.

1 Cycle du gaz

Bien que les compositions du gaz lentre et la sortie de la chambre de combustion soient diff-rentes, pour simplifier la modlisation, on suppose que la chambre de combustion sert uniquement rchauffer lair et que les proprits de lair (par ex. sa masse molaire) ne sont pas modifies par cechangement de composition. En outre, on suppose que la pression dans la chambre de combustion estuniforme. On suppose enfin que toutes les compressions et dtente sont adiabatiques et rversibles.

Dans ces conditions, reprsenter les diffrents tats du gaz la traverse du racteur sur un dia-gramme de Mollier.

Correction

Le cycle thermodynamique idal dun tel moteur est reprsent sur la figure suivante.

h

s

q2P

=cte

1

2

3 6

5

4

Les compressions et dtentes tant adiabatiques et rversibles, elles sont isentropiques. Lenthal-pie tant une fonction croissante de la pression,haugmente lors dune compression et diminue lorsdune dtente. La chaleur est suppose tre fournie pression constante qui est une exponentiellepour un gaz parfait Cpconstant.

La compression dans le diffuseur et la dtente dans la tuyre sont sans apport de chaleur et detravail.

2 Etat du gaz lentre du compresseur

Pour simplifier, on considre que le diffuseur prsent en amont du compresseur est idal, dans lesens o la vitesse du gaz en entre du compresseur est si faible que lnergie cintique du gaz peut ytre nglige devant les autres contributions nergtiques.

En ngligeant le travail et la chaleur fournie au gaz dans le diffuseur, dterminer la diffrencedenthalpie massique du gaz entre lentre et la sortie du diffuseur.

En dduire la tempratureT2 lentre du compresseur.Dterminer la pressionP2 lentre du compresseur.

Correction

On considre comme systme le gaz entre lentre et la sortie du diffuseur. Le bilan dnergieappliqu ce systme scrit :

U+ Ec+Ep

t

= es

mh+ec+ep

+ Q+ W

2


19/64

o U, Ec et Ep sont les nergies interne, cintique et potentielle du systme, h, ec et ep sont lesenthalpies, nergies cintique et potentielle massiques, m est le flux de masse, Q et W sont lespuissances calorifique et mcanique fournies au systme.

Lcoulement tant suppos tre stationnaire, le membre de gauche est nul et m est constantentre lentre et la sortie. Enfin, il ny a pas de variation dnergie potentielle. On a donc :

m [h+ec]

s

e = Q+ W

Cette relation est vraie pour tous les composants du turbo-racteur.

Si on lapplique au cas du diffuseur, on obtient :

m

h2

h1+

V2a2

= 0

soit

h2h1=V2a

2

Le gaz tant suppos avoir un comportement de gaz parfait Cpconstant, on a

h2h1=Cp (T2T1)

On a donc :

T2 = T1+ V2a2Cp

Lapplication numrique donne :T2=263.88 K

La transformation du fluide la traverse du diffuseur est adiabatique rversible et le fluideayant un comportement de gaz parfait constant, on peut appliquer la formule

P1T =cste

On en dduit donc

P2 = P1

T2T1

1

Lapplication numrique donne :P2=55.44 kPa

3 Etat la sortie du compresseur

Dterminer la pressionP3en sortie de compresseur.En dduire la tempratureT3.

Correction

Le compresseur est suppos avoir un rapport de compression de 10, ce qui signifie que

P3 = 10 P2=554.4 kPa

3


20/64

La compression tant suppose tre adiabatique rversible et le gaz tant suppos avoir uncomportement de gaz parfait constant, on peut appliquer la formule

T3 = T2

P3P2

1


4 Travail de compression et de dtente

Dterminer le travail du compresseur et en dduire ltat du gaz la sortie de la turbine.

Correction

Lapplication du bilan dnergie au gaz travers le compresseur donne :

m Cp (T3T2)= Wc =10.761 MW

Cette puissance est fournie par la turbine. On a donc

Wc = Wt

o Wtest la puissance fournie par la turbine au gaz ; elle est donc bien ngative.Lapplication du bilan dnergie au gaz travers la turbine donne :

m Cp (T5T

4)= W

t= W

c= m Cp (T

2T

3)

soitT5=T4+T2T3


On a galement

P5 = P4

T5T4

1

Lapplication numrique donne :

P5 = 285.38 kPa

5 Energie de combustion

Dterminer lnergie fournie sous forme de chaleur dans la chambre de combustion.

Correction

Lapplication du bilan dnergie au gaz travers la chambre de combustion donne :

m Cp (T4T3)= Q

On obtient :Q= 43.8 MW

4


21/64

6 Etat la sortie de la tuyre

Exprimer la temprature la sortie de la tuyre en fonction de P5,T5et P6. Donner sa valeur.

En ngligeant lnergie cintique du gaz la sortie de la turbine par rapport aux autres contribu-tions nergtiques ainsi que le travail des forces extrieures et la chaleur fournie au gaz, dterminerla vitesse de sortie du gaz V6.

Correction

Dans la tuyre, on a :

T6 = T5

P6P5

1

=661.83 K

Le bilan dnergie appliqu au gaz travers la tuyre donne :

Cp (T6T5)+V2

62 =

0

soit

V6 =

2Cp (T5T6)= 1035 m/s

7 Rcapitulatif

Rcapituler les rsultats sous la forme de tableaux donnant ltat du fluide aux diffrents points

caractristiques de son volution et les puissances mcaniques et thermiques mises en jeu.

Correction

Les conditions thermodynamiques du gaz aux diffrents points caractristiques de son volu-tion sont rcapitules dans le tableau suivant :

P(kPa) T(K) V(m/s)

1 34.5 233.15 2602 55.44 263.88 03 554.4 481.27 04 554.4 1366.15 05 285.38 1148.76 06 34.5 661.83 1035

Les diffrentes puissances mcaniques et thermiques mises en jeu au cours de la transformationdu fluide sont rcapitules dans le tableau suivant :

Q(kW) W(kW)

Diffuseur 0 0

Compresseur 0 10761

Combustion 43800 0Turbine 0 10761

Tuyre 0 0

5


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23/64

PC N2

Dimensionnement dune pompe de relevage

Corrig

Soit une source souterraine dont la surface libre se situe 60 m sous le niveau du sol. Leau doittre leve 5 m au-dessus du sol par une pompe. Le diamtre du tuyau est 10 cm lentre et 15 cm la sortie.

La masse volumique de leau est de 1000 kg/m3 et leau est suppose tre incompressible lapression atmosphrique.

15 l/s

60 m

5 m

eau

pompe

En ngligeant les changes de chaleur avec lextrieur et dus aux frottements dans la canalisation,dterminer la puissance fournir la pompe pour obtenir un coulement stationnaire un dbit de15 l/s.

Correction

On considre comme systme leau comprise entre lentre et la sortie du tuyau tel que repr-sent sur la figure ci-dessous.

W

s

e

Ce systme est un systme ouvert. Le bilan dnergie pour ce systme scrit :

U+ Ec+ Ep

t =

es

mh+ec+ep

+ W + Q

1


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o U, Ecet Epsont les nergies respectivement interne, cintique et potentielle du systme, o h,ecetepsont respectivement lenthalpie, lnergie cintique et lnergie potentielle par unit de masse,o W et Qsont les puissances respectivement mcanique et calorifique fournies au systme et omsont les dbits de masse.

Par ailleurs, le bilan de masse scrit :

M

t = es m

o M est la masse du systme.Lcoulement tant stationnaire, les membres de gauche des deux quations sont nuls. Par

ailleurs, le systme ne comprenant quune entre et quune sortie, le bilan de masse donne :

ms+ me = 0

On note simplement mle flux de masse sortant (qui est positif).Les changes de chaleur tant ngligs, lquation de bilan dnergie devient :

mh+ec+ep

se = W

Pour dterminer les nergies cintiques lentre et la sortie, il est ncessaire de connatre lavitesse de leau ces endroits. Pour les calculer, on utilise la dfinition du flux de masse :

m=

A v n dS

oAest la surface considre (ici dentre ou de sortie), est la masse volumique locale du fluidesur cette surface, vest la vitesse locale du fluide et nest la normale unitaire de la surface dirige

vers lextrieur du systme. Si lon prend comme surface une section droite de canalisation et si onsuppose que la vitesse est uniforme sur la surface et colinaire la normale, on a :

m= veAe = vsAs

ovest la norme de la vitesse etA est laire de la surface.On a donc

ve = m

Ae=

15 1

1000 (0.1)2/4 =1.9 m/s

vs = m

As=

15 1

1000 (0.15)2/4 =0.85 m/s

La variation dnergie cintique massique est donc

[ec]se =

v2s2

v2e

2 = 1.46 J/kg

La diffrence dnergie potentielle massique est donne par

epse=g (zs ze)= 9.81 65= 638 J/kg

Il reste dterminer la variation denthalpie. Pour cela, il est ncessaire de connatre ltat ther-modynamique du fluide lentre et la sortie de la canalisation. Tout dabord, on peut considrerquil ny a pas de variation de temprature entre lentre et la sortie. Par ailleurs, lentre et la

2


25/64

sortie de la canalisation, leau est en contact avec lair environnant et il y a quilibre des pressionsde leau et de lair. Lair tant globalement en quilibre, la pression de lair est la pression hydrosta-tique :

Ps Pe = airg (zs ze)

Or, la masse volumique de lair est beaucoup plus faible que celle de leau et on peut donc ngligerles variations de la pression de lair.

Par consquent, la temprature et la pression de leau en entre et en sortie de canalisation sontgales (en premire approximation). Or, lenthalpie tant une fonction dtat, sa valeur ne dpendque de ltat de leau, cet tat tant le mme lentre et la sortie de la canalisation. On a donc :

[h]se 0

On a doncW = m

h+ec+ep

se

15 (638 1.46)= 5.54 kW

Discuter les diffrentes contributions de cette puissance.

Correction

On remarque que la variation dnergie cintique est beaucoup plus faible que la variationdnergie potentielle. Lessentiel de la puissance de la pompe est donc lie la variation dnergiepotentielle. Il est en effet clair que si lon devait faire le travail la place de la pompe, ce qui nousfatiguerait le plus serait le fait de monter leau et pas de lui donner de la vitesse !

Cet exemple montre que, suivant les applications, il est important de ngliger ou non certaines

parties de lnergie totale. Dans cet exemple, il est essentiel de prendre en compte la variationdnergie potentielle alors que dans dautres applications, elle peut tre nglige alors que lavariation dnergie cintique doit imprativement tre prise en compte.

Revenons prsent sur lhypothse de faible variation de la pression atmosphrique. On a

Ps Pe = airg (zs ze) 1 9.81 65= 638 Pa

Or h

P

T

=1

+

T

2

T

P

0 (car m > 0). Or,

pour un compresseur, Wc > 0. Par consquent, la puissance ncessaire est plus grande lorsque latransformation est irrversible.

1.3 Puissance de dtente

On considre un autre tat du gaz, not 3, caractris par une pressionP1et une entropies3 > s1.On suppose que ce gaz est dtendu dans une turbine adiabatique pour lamener la pressionP0. Onnote 4ltat du fluide si la dtente est rversible et 4son tat si la dtente est irrversible.

En suivant un raisonnement identique celui de la compression, pour quelle transformation lapuissance rcupre la turbine est-elle la plus grande ?

Correction

s

P1P0h

44

s3

3

FIGURE2 Dtentes rversible et irrversible.

En suivant le mme raisonnement que pour la compression, on a :

m (h4 h4)= Wd Wdsoit

Wd =

Wd

m (h4

h4)

Or le graphe montre que(h4 h4) > 0, ce qui signifie que Wd 0). Or, pourune turbine, Wd < 0. Par consquent, en valeur absolue, la puissance rcupre la turbine ( savoir Wd) est plus faible lorsque la transformation est irrversible.

2


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30/64

Les donnes thermodynamiques du gaz considr sont les suivantes :

Cp 1, 04 kJ/(kg.K)

1, 4

r 0.297 kJ/(kg.K)

Les donnes connues sont les suivantes :

P1 = 1 barP2 = 1 bar T2=265 KP3 = 3 barP4 = 3 bar T4=305 K

On cherche dterminer la puissance Wm apporter la turbine par lintermdiaire dun moteurauxiliaire (cf. schma) ainsi que lefficacit thermodynamique de ce cycle.

2.1 Reprsentation du cycle sur un diagramme de Mollier

Tracer lallure du trajet thermodynamique de lvolution du gaz dans linstallation dans un dia-

gramme(h; s). Prciser le sens du cycle.

Correction

Le cycle est reprsent sur la figure ci-dessous. On note en particulier que les compression etdtente ntant pas rversibles, lentropie entre les tats 2 et 3, dune part, et 4 et 1, dautre part,est croissante (elle serait constante si les transformations taient rversibles). Entre les tats 1 et2, le gaz se rchauffe de manire extraire la chaleur de la chambre froide. Le sens du cycle est

reprsent sur cette figure.

s

P2h

1

3

s4 s2

P1

24

FIGURE4 Reprsentation du cycle thermodynamique dans le diagramme(h; s).

2.2 Dtermination de tous les tats du fluide au cours du cycleDterminer les tempraturesT1et T3.

Correction

On suppose tout dabord que la compression est adiabatique rversible, cest--dire isentro-pique. On note Tis3 la temprature correspondant cette compression isentropique. Le gaz tantsuppos avoir un comportement de gaz parfait ettant suppos tre constant, on a

T2

Tis3

=

P2P3

1

soit

Tis3 =T2

P3P2

1

4


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On trouve :Tis3 =362.72 K

Par dfinition du rendement isentropique dun compresseur, on a :

isc =his3 h2h3

h2

Or, le gaz tant supppos avoir un comportement de gaz parfait C pconstant, on a

h h0=C p (T T0)oh0 = h(T0)et oT0est une temprature de rfrence. Par consquent

isc = Tis3 T2

T3 T2soit

T3 = T2+Tis3 T2

isc

Lapplication numrique donne

T3=366,79 K

En appliquant la mme dmarche la turbine, on a :Tis1T4

=

P1P4

1

soit

T

is

1 =T4P1

P4

1

On trouve :Tis1 =222.83 K

Le rendement isentropique de la turbine est

isd = T4 T1T4 Tis1

soitT1=T4+

isd

Tis1 T4

Lapplication numrique donneT1=226,12 K

En rsum, on a :

P1 = 1 bar T1=226.12 KP2 = 1 bar T2 = 265 KP3 = 3 bar T3=366.79 KP4 = 3 bar T4 = 305 K

5


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2.3 Dtermination des nergies changes chaque composant du circuit

Dterminer les nergies calorifiques massiques fournies au fluide aux changeurs et les nergiesmcaniques massiques fournies au fluide au compresseur et la turbine.

En dduire lnergie massique devant tre fournie par le moteur au compresseur.

Correction

Pour toutes ces dterminations, on applique le premier principe de la thermodynamique unsystme ouvert. Lcoulement tant stationnaire et les variations dnergies potentielle et cintiquetant ngligeables, on a

m (hs he)= W+ Qohset hesont les enthalpies massiques respectivement en sortie et en entre du composant consi-dr. Du fait des hypothses sur le comportement thermodynamique du fluide, on a

W+ Qm

=C p (Ts Te)

Pour le compresseur et la turbine, Q= 0 et pour les changeurs,

W = 0.

Au compressur, on aWcm

=C p (T3 T2)On obtient

Wcm

=105.78 kJ/kg

Le signe est positif car le fluide reoit de lnergie au compresseur.

A la turbine, on aWtm

=C p (T1 T4)On obtient

Wtm

=81.98 kJ/kg

Le signe est ngatif car le fluide cde de lnergie la turbine.

On remarque que le travail fourni par le fluide la turbine nest pas suffisant pour que laturbine puisse fournir tout le travail ncessaire au compresseur pour augmener la pression dufluide. Cest pourquoi un moteur auxiliaire est ncessaire au compresseur.

A lchangeur avec la chambre froide, on a

Qf

m =C p (T2 T1)

On obtient

Qf

m =40.41 kJ/kg

Le signe est positif car le fluide reoit de lnergie cde par la chambre froide.

A lchangeur atmosphrique, on a

Qcm

=C p (T4 T3)

6


33/64

On obtient

Qcm

=64.21 kJ/kg

Le signe est ngatif car le fluide cde de la chaleur lextrieur.

Pour dterminer lnergie massique fournie par le moteur auxiliaire au compresseur, on doitdcomposer la puissance massique fournie au fluide par le compresseur : cette puissance est lasomme de la puissance transmise par la turbine et de la puissance fournie par la moteur. On adonc :

Wc =Wt+ WmLa puissance fournie par la turbine au compresseur est bien loppose de la puissance fournie parla turbine au fluide.

On obtient :

Wmm

=23.81 kJ/kg

Ce rsultat peut galement se trouver en faisant un bilan dnergie sur le cycle complet :

Wm+ Qf+ Qc

m =0

On trouveWmm

=23.81 kJ/kg

On trouve donc bien le mme rsultat.

Les diffrentes nergies massiques sont rsumes dans le tableau ci-dessous.

Q/m (kJ/kg) W/m (kJ/kg)Compresseur 0 105.78

Refroidisseur atmosphrique 64.21 0Turbine 0 81.98

Echangeur 40.41 0

Moteur 0 23.81

2.4 Dissipations exergtiques

On suppose que les changes thermiques au refroidisseur atmosphrique et lchangeur avecla chambre froide se font une temprature dchange respectivement de 300 K et de 260 K. Onconsidre que le milieu ambiant est pression atmosphrique et une temprature de 280 K.

Dterminer les dissipations exergtiques chaque composant du circuit.

Correction

On commence par dterminer une forme gnrale de la dissipation dexergie D. Considronscomme systme le fluide circulant dans un composant quelconque du circuit. Lexpression gnrale

du bilan dexergie pour ce systme est le suivant :dU T S+ Ec+ Ep

dt =

esm

h Tas+ec+ep

+ Q

1 Ta

Tech

+ W D

7


34/64

Par ailleurs, lexpression gnrale du bilan dnergie est le suivant :

dU+ Ec+ Ep

dt =

esm

h+ec+ep

+ Q+ W

Lcoulement tant stationnaire et les variations dnergies cintique et potentielle tant suppo-ses ngligeables, ces expressions deviennent :

es

m (h Tas)+ Q

1 TaTech

+ W D =0

es

m h+ Q+ W =0

En combinant ces deux quations, on arrive lexpression suivante de la dissipation dexergie :

D =Ta

esm s Q

Tech

On peut remarquer que cette expression peut se retrouver facilement partir de lexpression du

bilan dentropie et du lien entre les dissipations dentropie et dexergie.Par ailleurs, chaque composant tant travers par un seul fluide et lcoulement tant station-

naire, mest constant et on a donc

D

m =Ta

ess Q/m

Tech

Cette expression montre quil est ncessaire de calculer la variation dentropie. Le fluide tantsuppos avoir le comportement dun gaz parfait C pconstant, on a :

sj si =C p lnTj

Ti r lnPj

Pi On applique ces relations chaque composant.

CompresseurDcm

=Ta(s3 s2)Refroidisseur atmosphrique

Dchm

=Ta

(s4 s3) Qc/m(Tech )ch

TurbineDtm

=Ta(s1 s4)Echangeur chambre froide

Df rm

=Ta

(s2 s1)

Qf/m

(Tech )f r

Les calculs numriques donnent les valeurs donnes dans le tableau suivant :

D/m (kJ/kg)Compresseur 3.25

Refroidisseur atmosphrique 6.25

Turbine 4.26

Echangeur 2.66

8


35/64

On remarque avant tout que toutes les valeurs de D sont positives, ce qui est cohrent avec lesecond principe de la thermodynamique.

Ce tableau montre que lessentiel de la dissipation dexergie a lieu au refroidisseur atmo-sphrique alors que lchangeur de la chambre froide est le composant qui dissipe le moinsdexergie. On note enfin que le rendement isentropique de 96% du compresseur et de la turbine estresponsable dune part non ngligeable de la dissipation dexergie totale.

Dun point de vue physique, les sources de dissipation ne sont pas les mmes aux changeurs(refroidisseur atmosphrique et changeur) et dans les machines tournantes (compresseur et tur-

bine). Dans les machines tournantes, lessentiel de la dissipation est d des irrversibilits internesau fluide telles que le frottement du fluide (effets visqueux qui reprsentent le frottement entre lesfilets fluides). Dans les changeurs, lessentiel de la dissipation est d aux diffrences de tempra-ture entre le fluide externe et le gaz du cycle : du fait de cette diffrence de temprature, mme sichaleur perdue par le fluide chaud est gale la chaleur reue par le fluide froid (par applicationdu bilan dnergie), lentropie cde nest pas gale lentropie reue. Le transfert de chaleur sefaisant pour une valeur finie de lcart de temprature entre les fluides chaud et froid, le transfertthermique (par conduction travers la paroi solide sparant les deux fluides) induit une dissipation

dentropie (par conduction).

2.5 Rendement exergtique de linstallation

Dfinir et dterminer le rendement exergtique de linstallation.

Correction

Le rendement exergtique dune installation est le rapport entre les puissances exergtiques utiles et les puissances exergtiques dpenses . Dans le cas de cette installation, on est in-tress par la puissance exergtique de lchangeur avec la chambre froide et on doit dpenser la

puissance fournie au compresseur.On peut donc dfinir le rendement exergtique de linstallation de la manire suivante :

ex =

( Qf/m)(1 Ta/Tech ) Wm/mOn trouve

ex =13%

2.6 Dbit de masse

On suppose que, en fonctionnement stationnaire, la chambre froide a une perte thermiquemoyenne de 100 kW.

En dduire le dbit de masse de gaz dans le circuit ainsi que la puissance du moteur coupl aucompresseur.

Correction

On fait un bilan dnergie sur lensemble des constituants de la chambre froide (air, denres,etc.). On noteU lnergie interne de ce systme et Qp la puissance des pertes thermiques de lachambre froide ( Qp > 0 car la chambre froide a tendance se rchauffer et reoit donc de la chaleurde lextrieur). Le systme considr est ferm et il ny a pas de variation dnergies cintique et

potentielle ; le premier principe de la thermodynamique scrit donc

dUdt

= Qp Qf

9


36/64

La puissance thermique fournie au gaz du circuit de refroidissement Qf est extraite de lachambre froide et la puissance correspondante fournie (algbriquement) la chambre froide estdonc( Qf).

En stationnaire, on a doncQf = Qp=100 kW

On a donc

m= Qpm

Qf=

100

40.41 =2.47 kg/s

La puissance du moteur est donc

Wm=2.47 23.81= 58.92 kW

3 Questions complmentaires

3.1 Utilisation de lnergie cde lchangeur atmosphrique

Dans le cycle considre, lnergie thermique cde par le gaz lchangeur atmosphrique est perdue . Cette nergie pourrait tre utilise pour fournir du travail au compresseur.

Dterminer lnergie mcanique massique maximale pouvant tre rcupre lchangeur atmo-sphrique.

Si lintgralit de cette nergie est rcupre pour tre transmise au compresseur, dterminer lenouveau rendement exergtique de linstallation.

Correction

Aucune machine ne peut tre plus efficace quune machine de Carnot. On suppose donc que

la chaleur cde par le gaz lchangeur atmosphrique est couple une machine de Carnot : legaz constitue la source chaude tandis que lair ambiant en constitue la source froide (on a en effet(Tech )ch > Ta).

Or, si une quantit dnergie thermique Q est fournie la machine de Carnot rversible par lasource chaude, le travail fourni est(1 Ta/ (Tech )ch)Qet lnergie thermique transmise la sourcefroide est(Ta/Tech )Q.

Appliqu linstallation considre, on a :

Wmaxechm

=

1 Ta

(Tech )ch

Qcm

=4.28 kJ/kg

Ici, le signe est bien ngatif si lon se place du point de vue de la machine de Carnot qui fournit dutravail lextrieur.Cette valeur est comparer aux 23.81 kJ/kg de lnergie ncessaire au moteur, ce qui reprsente

prt de 20% de la puissance du moteur.

Si on suppose que toute cette nergie peut effectivement tre rcupre et transmise au com-presseur, la puissance du moteur se trouve diminue dautant et on trouve une nouvelle nergiemassique de 19.53 kJ/kg. On trouve alors un nouveau rendement exergtique de 16%.

3.2 Utilisation de plusieurs tages de compression

3.2.1 Compression isothermePar un bilan dnergie, montrer quune compression isotherme est gratuite en nergie.

Correction

10


37/64

Le bilan dnergie scrit :m (hs he)= W+ Q

dans le cas o lon nglige les variations dnergies potentielle et cintique et o lon suppose quelcoulement est stationnaire. Si le gaz est modlis comme un gaz parfait C pconstant, on a :

m Cp (Ts

Te)= W+ Q

Par consquent, siTs = Te, la compression est nergtiquement gratuite : lnergie fournie sousforme de travail est transforme en chaleur.

3.2.2 Etude dun tage de compression

Il est technologiquement difficile de faire une compression isotherme. Cest pourquoi on essaiede sapprocher dune telle transformation en effectuant des compressions par tages : on comprimele fluide dans un compresseur adiabatique puis on fait passer le fluide dans un refroidisseur inter-mdiaire pour le ramener sa temprature initiale. Cette double transformation constitue un tage.On multiplie les tages pour arriver la pression finale dsire. La question qui se pose est de sa-

voir comment optimiser le systme en dterminant les pressions intermdiaires de chaque tage decompression.

En supposant la compression adiabatique rversible (et le gaz parfait C pconstant), dterminerla dissipation dexergie dun tage en fonction du rapport des pressions et de la temprature dentre.

Correction

Au compresseur, on a

TsTe

=

PsPe

1

et

m Cp (Ts Te)= WDo :

W

m =C p Te

PsPe

1

1

=Qm

Avec les hypothses du problme, le bilan dexergie sur ltage scrit :

m (exs exe)= Q

1 TaTech

+ W D

Or,Ts =Teet

ss se =r ln

PsPe

On a donc :

D

m =Tar ln

PsPe

+Cp Te

PsPe

1

1

TaTech

3.2.3 Optimisation dune compression deux tages

On considre une compression deux tages. Les pressions dentre et de sortie Pe et Ps sont

supposes fixes et on noteP2la pression intermdiaire (sortie du premier tage et entre du second).On cherche dterminer la pressionP2qui optimise le systme.

Dterminer la dissipation dexergie totale de la compression deux tages et en dduire la valeurdu facteur de compression optimal du premier tage(P2/Pe).

11


38/64

Correction

Les dissipations des deux tages sadditionnent et on a donc (en supposant que la tempraturedchange est la mme pour les changeurs des deux tages) :

D

m

=

Tar lnP2

Pe +lnPs

P2 +Cp Te P2

Pe

1

+ PsP2

1

2 Ta

Tech

soit

D

m =Tar ln

PsPe

+Cp Te

P2Pe

1

+

PsP2

1

2

TaTech

Le systme est optimal lorsque la dissipation dexergie est minimale. Ici, la seule variable dusystme est P2 et cet optimum, on a donc ( D/P2) = 0. Daprs lexpression ci-dessus, onmontre que cette condition scrit :

P2=

PePs

ce qui peut se rcrire sous la forme :

P2Pe

= Ps

P2

Cela signifie que les deux tages de la compression ont le mme rapport de compression.

3.2.4 Gnralisation un nombreNdtages

En suivant le mme raisonnement mais pour un nombre Nquelconque dtages de compression,dterminer les facteurs de compression optimaux des tages de compression.

Correction

On note( P2, . . . , PN) les pressions intermdiaires. Pour simplifier lcriture on note P1 = Pe etPN+1=Ps, sachant que ces deux pressions sont fixes.

La dissipation totale scrit :

D

m =Tar ln

PsPe

+Cp Te

N

i=1

Pi+1

Pi

1

N

TaTech

Cest une fonction de(P2, . . . , PN). A son minimum, on a donc( D/Pi) =0,i {2 , . . . ,N}.

Cette condition amne la condition suivante :

i {2 , . . . ,N}, PiPi1

= Pi+1Pi

= N

PsPe

ce qui signifie que tous les tages ont le mme facteur de compression.

3.2.5 Application au cycle de rfrigration

Comment appliquer ce rsultat au cas du cycle de rfrigration tudi?

Ce cycle complet peut tre tudi en guise dexercice complmentaire (en imposant que les tatsdu fluide en entre et sortie de lchangeur avec la chambre froide sont les mmes que dans le cas ducycle tudi).

Correction

12


39/64


40/64

Les deux compresseurs ayant le mme taux de compression (Ps/Pe) et le mme rendementisentropique et la temprature lentre des deux compresseurs tant la mme, les tempratures ensortie des deux compresseurs sont les mmes. On trouve :

T3 = T5=311.91 K

De mme, la turbine, on a TissTe

=

PsPe

1et

ist = Ts TeTiss Te

On trouveT1=226.12 K

Pour chaque compresseur, lapplication du premier principe de la thermodynamique scrit(avec lensemble des hypothses faites) :

m Cp (Ts Te)= WcOn en dduit :

Wc1m

=Wc2

m =48.75 kJ/kg

Les tats du fluide en entre et en sortie de la turbine tant les mmes que dans le cycle prc-dant, le travail massique fourni au fluide est galement le mme :

Wtm

=81.98 kJ/kg

OrWt = Wm Wc = Wm Wc1 Wc2

On trouve alors facilement :Wmm

=15.52 kJ/kg

Les diffrentes nergies massiques sont rsumes dans le tableau ci-dessous.

Q/m (kJ/kg) W/m (kJ/kg)Compresseur 1 0 48.75

Refroidisseur intermdiaire 48.75 0Compresseur 2 0 48.75

Refroidisseur atmosphrique 7.18 0Turbine 0 81.98

Echangeur 40.41 0

Moteur 0 15.52

La puissance thermique change avec la chambre froide est la mme que dans le premier cycletudi. Le bilan dnergie de la chambre froide est donc identique et le dbit de masse galement :

m= 2.47 kg/s

La puissance du moteur est donc

14


41/64

Wm =38.41 kW

Cette puissance est infrieure celle du premier cycle tudi, ce qui montre lintrt dutiliserplusieurs tages de compression avec refroidissement intermdiaire.

Pour ce qui est des dissipations dexergie, les calculs numriques donnent les valeurs donnes

dans le tableau suivant :

D/m (kJ/kg)Compresseur 1 1.76

Refroidisseur intermdiaire 5.07

Compresseur 2 1.76

Refroidisseur atmosphrique 0.18

Turbine 4.26

Echangeur 2.66

On remarque que la dissipation dexergie au refroidisseur atmosphrique est fortement dimi-

nue, ce qui est d au fait que la quantit dnergie change a fortement diminue.Le rendement exergtique garde la mme dfinition mais sa valeur est augmente du fait de labaisse de la puissance lectrique ncessaire. On trouve en effetex =20%.

15


42/64

16


43/64

PC N4

Dimensionnement dune pompe chaleur

Corrig

Lobjectif est dtudier une pompe chaleur. Cette pompe chaleur fonctionne sur la base dun

cycle de Rankine avec comme fluide caloporteur le R142b dont certaines proprits thermodyna-miques sont donnes en annexe.

Le circuit fluide et ses diffrents composants sont schmatiss sur la figure ci-dessous.

Moteur

Evaporateur

air

air

CondenseurDetendeur Compresseur

Lobjectif de cette pompe chaleur est de chauffer lair dun btiment.

1 Description du cycle

Indiquer le sens de circulation du fluide et dcrire le cycle.

Correction

Lobjectif de ce cycle tant de rchauffer lair, la chaleur est transmise du fluide caloporteur lair du btiment au condenseur : en se condensant, le fluide caloporteur cde son nergie lair. Lesens de circulation du fluide dans le circuit est donc celui indiqu sur la figure ci-dessous.

Moteur

Evaporateur

air

air

CondenseurDetendeur

5 2

1

Compresseur

1


44/64


45/64

On suppose dans un premier temps que la compression est rversible ; tant adiabatique, elleest donc isentropique. La vapeur se trouve alors une pression de 5.2 bar et son entropie est gale 1.820 kJ/(kg.K). Les donnes thermodynamiques thermodynamiques ne donnent pas les caract-ristiques du fluide pour cet tat. On effectue alors une interpolation linaire entre les tats voisins :

his2 450.84+544.62 450.84

1.825 1.811 (1.820 1.811)= 453.91 kJ/kg

P(bar) h(kJ/kg) s(kJ/(kg.K))

5.2 450.84 1.811

5.2 453.91 1.820

5.2 455.62 1.825

Le rendement isentropique du compresseur est de 84.8%. On a donc :

C = his2 h1h2 h1

soit

h2=h1+ his

2 h1C

h2=417.80+543.91 417.80

0.848 =460.4 kJ/kg

Les donnes thermodynamiques permettent alors de dterminer les proprits de la vapeurdans ltat 2.

P(bar) T(C) h(kJ/kg) s(kJ/(kg.K))

5.2 60 460.40 1.840

Etat 5 en sortie de condenseur

La condensation se fait pression constante de 5.2 bar. A cette pression, les donnes thermody-namiques indiquent que la temprature de saturation est de 40C. Or, en sortie de condenseur, latemprature (35C) est infrieure la temprature de saturation, ce qui signifie que le fluide est duliquide sous-refroidi. A 5.2 bar et 35C, les donnes thermodynamiques permettent de dterminerh5ets5.


5.2 35 245.57 1.150

Etat en sortie de dtendeurPar application du bilan dnergie sur le fluide dans le dtendeur, on a

h6 = h5=245.57 kJ/kgOn sait par ailleurs que la pression en sortie du dtendeur est de 1.5 bar. Les donnes thermo-

dynamiques montrent que, pour cette pression, lenthalpie du fluide (245.57 kJ/kg) est suprieure lenthalpie du liquide saturation (187.19 kJ/kg). Cela signifie donc que le fluide en sortie dudtendeur est diphasique. Le titre de vapeurxvest donn par

xv = h hsatlhsatv h

satl

=26, 23%

Lentropie du systme diphasique est alors donne par

s6 = ssatl +xv ssatv ssatl = 0.952+0.2623 (1.798 0.952)= 1.174 kJ/(kg.K)

A ce stade de lanalyse, on a dtermin que lallure du cycle est celui de la figure ci-dessous.

3


46/64

1

2

5

T

s

binodale

4 3

76

Il ne reste alors plus qu dterminer les caractristiques des tats du fluide saturation.

Etat 7Cet tat correspond la vapeur saturation 1.5 bar dont on peut trouver les caractristiques

thermodynamiques dans la table.


1.5 10 409.76 1.798

Etats 3 et 4Ce sont les tats saturation respectivement vapeur et liquide du fluide 5.2 bar dont on peut

connatre les caractristiques grce aux donnes thermodynamiques.


5.2 40 252.14 1.177

5.2 40 441.27 1.781

RcapitulatifLes caractristiques du fluide dans les tats des points caractristiques du cycle sont rcapitules

dans le tableau suivant. Les donnes envertsont celles fournies, celles enbleuont t dtermines partir des tables thermodynamiques et celles enmauveont t dtermines par calcul.

Etat P T h s xv

1 1.5 273.15 417.8 1.8202 5.2 333.15 460.4 1.8403 5.2 313.15 441.27 1.7814 5.2 313.15 252.14 1.1775 5.2 308.15 245.57 1.1506 1.5 263.15 245.57 1.174 0.26237 1.5 263.15 409.76 1.798

3 Transferts nergtiques

Dterminer les transferts nergtiques aux diffrents composants du systme.

Correction

Le bilan dnergie scrit

U+ Ep+ Ec

t

= es

m

h+ep+ec

+ Q+ W

4


47/64

Lcoulement tant stationnaire et les variations dnergies cintique et potentielle pouvant trengliges, ce bilan devient :

m [h]se =Q+ W

DtendeurIl ny a aucun transfert dnergie dans le dtendeur.

EvaporateurAucun travail nest fourni au fluide et on a

Qevap

m =h1 h6=172.23 kJ/kg

CompresseurAucun change de chaleur na lieu au compresseur et on a

Wcomp

m =h2 h1=42.6 kJ/kg

CondenseurAucun travail nest founi au fluide et on a

Qcondm

=h5 h2=214.83 kJ/kg

RcapitulatifLes caractristiques des composants de la machine tudie sont donnes dans le tableau suivant.

Composant Q/m(kJ/kg) W/m(kJ/kg)

Compresseur 0 42.6

Condenseur 214.83 0

Dtendeur 0 0

Evaporateur 172.23 0

On vrifie que la somme des nergies transfres est bien nulle.

Dfinir et dterminer le coefficient de performance de linstallation.

Correction

On dfinit le coefficient de performance par

= Qcond

Wcomp=

214.83

42.6 =5.04

On remarque que ce coefficient de performance est effectivement plus faible que celui dunemachine de Carnot rversible fonctionnant entre deux sources temprature de 3.5C et 26.4C (cf.donnes fournies pour lanalyse exergtique) :

max =

Tc

Tc Tf =13.08

On verra dans lanalyse exergtique quil peut tre plus judicieux de dfinir une autre machinede Carnot.

5


48/64

On suppose que la puissance change au condenseur est de 31.18 kW.

Dterminer le dbit de masse de fluide frigorigne et en dduire la puissance du moteur.Analyser lintrt dune pompe chaleur.

Correction

On am=

Qcond

Qcond/m=

31.18

214.83 =0.145 kg/s

La puissance du moteur est donne par

W =0.145 42.6= 6.2 kW

Cette analyse montre que pour fournir 31.18 kW sous forme de chaleur, il est ncessaire de four-nir seulement 6.2 kW sous forme de travail, par exemple lectrique. Cela signifie que lon dpense 5fois moins dnergie quon en reoit (do la valeur du coefficient de performance). Le complmentnergtique est apport par lnergie thermique transfre de la source froide la source chaude.

Mais, daprs le second principe, ce transfert ne pouvant pas se faire de manire spontane, il est n-cessaire de fournir du travail pour que ce transfert puisse se faire. Mais il nempche que lessentieldu transfert thermique se fait par transfert de chaleur entre la source froide et la source chaude.

Si lon devait utiliser un systme lectrique direct pour apporter lnergie ncessaire, il faudraittransfrer 31.18 kW directement par effet Joule. Cela signifie quun systme de ce type permet defaire des conomies dnergie substantielles (mais au prix dun investissement plus important).

4 Analyse exergtique

On suppose que les changes thermiques au condenseur et lvaporateur se font une temp-rature dchange respectivement de 26.4C et 3.5C. On considre enfin que les conditions ambiantessont 1 bar et 18C.

Dterminer les variations dexergie massique la traverse de chaque composant et les crationsdexergie et dentropie par unit de masse chaque composant du circuit.

Commenter, en particulier la variation dexergie la traverse de lvaporateur.

Correction

Lexergie massique est dfinie par

ex = h+ec+ep Tas

oTaest la temprature du milieu ambiant.En ngligeant les variations dnergies cintique et potentielle, la variation dexergie massique

est[ex]se =[h]

se Ta[s]

se

La cration dexergie est donne par (pour un coulement stationnaire qui est tel que ms = me =m)

D

m

=Ta es

s Q/m

Tech

Applique aux diffrents composants, on obtient les valeurs donnes dans le tableau suivant.

6


49/64

Composant [ex]se(kJ/kg) D/m(kJ/kg) /m(kJ/(kg.K))

Compresseur 36.76 5.82 0.0200

Condenseur 13.92 7.90 0.0271

Dtendeur 6.99 6.99 0.0240

Evaporateur 15.85 6.83 0.0234

Total 0 27.54 0.0946

On remarque que lexergie diminue entre lentre et la sortie de lvaporateur alors que le fluidegagne de lnergie thermique. Ceci est d au fait que lon chauffe le fluide une temprature qua-siment constante (du fait du changement de phase) et infrieure la temprature ambiante.

Pour toute transformation augmentant lenthalpie du fluide, si cette transformation saccom-pagne dune augmentation de son entropie et mme si cette transformation est rversible, lintgra-lit de laugmentation denthalpie ne peut pas se transformer en travail utile. Cest ce que traduit leterme en(Tas)de lexpression de lexergie, ce terme tant lanergie du fluide. Il y a augmentationdexergie uniquement si la pente de la droite reliant les points reprsentatifs des tats du fluide endbut et fin de transformation est suprieure Ta (cf. schma ci-dessous). Cette condition traduitle fait que quand il y a augmentation dentropie, pour retourner ltat ambiant, il faut cder une

partie de lnergie du fluide sous forme de chaleur la source froide (dans le cas o lexergie estpositive), cette partie ne pouvantjamaistre rcupre sous forme de travail , cette part perdue tant appele anergie. Il faut donc que laugmentation denthalpie soit suprieure cette augmen-tation danergie.

h

s

ha+Ta(s sa )

2

1

ex2

ex1

P= Pa

sa

ha

Dans le cas qui nous intresse de la vaporisation du fluide, la transformation se produit unetemprature infrieure la temprature ambiante, ce qui se traduit par le fait que lexergie du fluidediminue alors que son enthalpie augmente. Cest ce qui est schmatis sur la figure ci-dessous.Cela revient dire que laugmentation dentropie de la transformation est telle que, lorsque lonramnera le fluide dans un tat dquilibre avec le milieu ambiant, on perdra plus dnergie sousforme de chaleur que lon rcuprera de travail.

ha+Ta(s sa )

P= Pa

ha

s

h

ex2

ex1

1

2

sa

On remarque que les dissipations dexergie sont assez bien rparties entre les diffrents compo-sants du circuit.

7


50/64

Dfinir et calculer le rendement exergtique de chaque composant et de la machine.

Correction

Au compresseur, on a

ex = ex

W

comp/mAu condenseur, on a

ex =Qcond(1 Ta/Tech )

mex

A lvaporateur, on a

ex =Qevap(1 Ta/Tech )

mex

Au dtendeur, il ny a ni travail ni chaleur change alors que la variation dexergie est nonnulle, ce qui signifie que le rendement est nul.

Enfin, on peut dfinir le rendement exergtique de la manire suivante :

ex =

Qcond(1 Ta/Tech )W

Composant ex

Compresseur 86%

Condenseur 43%

Dtendeur 0%

Evaporateur 57%

Machine 14%

On rappelle que le coefficient de performance de la pompe chaleur est dfini par

=

QcondW

et que le coefficient de performance dune machine de Carnot fonctionnant entre les tempratures(chaude)Tech et (froide)Taest

max = Tech

Tech Ta

On a doncex =

max

Dans le cas considr, les tempratures dchange au condenseur (Tech = 26.4C) et ambiante(Ta =18 C) sont assez voisines si bien que le coefficient de performance de la machine de Carnot esttrs lev (35.66), ce qui explique la faible valeur du rendement exergtique. Plus les tempraturesdes sources froide et chaude sont voisines, moins il est compliqu de transfrer la chaleur dela source froide la source chaude, ce qui explique que le coefficient de performance tende verslinfini si les deux tempratures sont gales.

5 Optimisation exergtique

On suppose que lon napporte aucune modification au cycle thermodynamique du fluide calo-

porteur. On change cependant les caractristiques de lchangeur lvaporateur et les conditionsambiantes afin dtudier leffet de ces modifications sur le rendement de lvaporateur et de la ma-chine.

8


51/64

On suppose que la temprature dchange lvaporateur est 0C et on considre deux tempra-tures ambiantes : 18C (cas prcdent) et 25C.

Pour les deux tempratures ambiantes considres, dterminer la dissipation dentropie et le ren-dement exergtique de lvaporateur pour les deux tempratures dchange considres.

Tech ex /m

3.5C0C

Correction

A lvaporateur, on a :

m =[s]16

Qevap/m

Tech

Ltat du fluide ntant pas modifi,[s]16 etQevap/msont donns et leurs valeurs ne sont donc

pas modifies. Lentropie cre dpend donc uniquement de la temprature dchange Tech :

m=0.646

172.23

Tech

Tech /m

3.5C 0.0234

0C 0.0155

Cela montre en particulier que la cration dentropie est plus faible pour une tempraturedchange de 0C. Ceci est d au fait que lcart de temprature entre le fluide caloporteur et lair

avec lequel il change la chaleur est plus faible, ce qui rduit les irrversibilits externes.

Lexpression du rendement exergtique de lvaporateur est

ex =Qevap(1 Ta/Tech )

mex

soit

ex =Qevap

m

1 Ta/Tech

[h]16 Ta[s]16

Dans cette expression, seulesTaet Tech varient. On a donc

ex =172.23 1 Ta/Tech

172.23 0.646 Ta

A la temprature ambiante de 18C, on a :

Tech ex /m

3.5C 57% 0.0234

0C 71% 0.0155

Ce tableau montre que le rendement exergtique augmente dans une proportion plus forte quela baisse de la production dentropie.

A la temprature ambiante de 25C, on a :

9


52/64

Tech ex /m

3.5C 66% 0.0234

0C 77% 0.0155

Ces deux tableaux montrent linfluence de la temprature ambiante sur le rendement exerg-tique : alors que la source dentropie nest pas influence par la temprature ambiante, le rendement

exergtique de lvaporateur augmente avec la temprature ambiante. Cette augmentation estdue au fait que si lon considre une machine de Carnot entre lair ambiant et lair servant lchange avec le fluide caloporteur lvaporateur, le travail fourni par cette machine de Carnotsera dautant plus important que la temprature ambiante est grande.

Le tableau ci-dessous donne le rendement exergtique de la machine pour les deux tempraturesambiantes.

Ta =18C Ta =25C

14% 2%

Ce tableau montre que le rendement exergtique de la machine baisse fortement lorsque la tem-prature ambiante augmente (alors que son rendement nergtique reste inchang) : plus la temp-rature ambiante augmente, moins le travail pouvant tre obtenu partir de la chaleur fournie aucondenseur est faible.

Il faut noter que la trs faible valeur du rendement exergtique provient du fait que la temp-rature ambiante est trs proche de la temprature dchange au condenseur, ce qui implique que lecoefficient de performance de la machine de Carnot correspondante est trs lev. La forte baissedu rendement exergtique provient donc de la forte augmentation du coefficient de performancemaximum.

10


53/64

Annexe : quelques donnes thermodynamiques du R142b

Donnes saturation

T(C) Psat (bar) hsatl (kJ/kg) hsatv (kJ/kg) s

satl (kJ/(kg.K)) s

satv (kJ/(kg.K)) L (kJ/kg)

10 1.5 187.19 409.76 0.952 1.798 222.618 3.13 213.52 425.48 1.062 1.790 212.0

40 5.2 252.14 441.27 1.177 1.781 189.1

Autres donnes


1.5 25 168.64 0.875

1.5 20 174.83 0.901

1.5 15 181.01 0.926

1.5 10 187.19 0.9521.5 10 409.76 1.798

1.5 5 414.26 1.812

1.5 0 417.80 1.820

1.5 5 423.26 1.840

3.13 5 197.00 0.994

3.13 10 203.36 1.020

3.13 15 209.71 1.046

3.13 18 213.52 1.062

3.13 18 425.48 1.790

3.13 20 427.33 1.796

3.13 25 431.95 1.8103.13 30 436.58 1.824

5.2 25 232.43 1.096

5.2 30 239.00 1.123

5.2 35 245.57 1.150

5.2 40 252.14 1.177

5.2 40 441.27 1.781

5.2 45 446.05 1.796

5.2 50 450.84 1.811

5.2 55 455.62 1.825

5.2 60 460.40 1.840

11


54/64

12


55/64

PC N5

Etude dun racteur nuclaire caloporteur gaz hautetemprature

Corrig

Dans ce problme, on tudie les principales caractristiques nergtiques dun concept de racteur nu-claire caloporteur gaz cycle direct haute temprature (HTR). Le circuit primaire dun tel racteur estconstitu dun coeur nuclaire, dune turbine, dun changeur et dun compresseur (voir Fig. 1). On convientde numroter les diffrents tats du fluide caloporteur comme indiqu sur la Fig. 1.

3

changeur 4

compresseur turbine

1

2 coeur

FIGURE1 Reprsentation schmatique dun HTR.

Lnergie libre par la raction de fission nuclaire dans le coeur du racteur est cde au fluide calopor-teur. A lchangeur, le fluide caloporteur du circuit primaire cde une partie de son nergie au fluide duncircuit secondaire non reprsent ici. Dans ce concept de racteur, la puissance lectrique est gnre grce autravail rcupr la turbine du circuit primaire, raison pour laquelle on parle de cycle direct.

On supposera que les changes de chaleur se font pression constante, que les compression et dtente sontadiabatiques et que lcoulement du fluide dans le circuit est stationnaire. On supposera en outre que les ca-nalisations sont adiabatiques et on ngligera les pertes de pression dans les canalisations. On supposera enfinque les variations dnergies cintique et potentielle sont ngligeables par rapport aux autres contributions.

Le fluide caloporteur du circuit primaire est de lhlium dont le comportement thermodynamique peuttre approch avec une bonne prcision par une loi dtat de gaz parfait. Ses capacits calorifiques massiques pression constante et volume constant sont considres constantes. Les donnes relatives au cycle et aufluide sont donnes au Tab. 1.

Description Variable ValeurTemprature maximale du fluide caloporteur 850CTemprature minimale du fluide caloporteur 30CPression de sortie du compresseur 72 barTaux de dtente de la turbine rp 2.7Puissance thermique du coeur Qc 600 MWCapacit calorifique massique pression constante cp 5.2 kJ/(kg.K)Rapport des capacits calorifiques 1.67Rendement isentropique de compression C 0.87Rendement isentropique de dtente T 0.93

TABLE1 Donnes de dimensionnement dun racteur HTR.

1


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Dans le problme, on notez = r(1)/p .

1 Description gnrale du cycle

De quel cycle idal ce cycle sapproche-t-il ?Dcrire le cycle tudi ici en dterminant en particulier le sens de circulation du fluide caloporteur et re-

prsenter ce cycle dans un diagramme de Mollier en justifiant.Prciser enfin en quels points le fluide caloporteur atteint ses tempratures minimale et maximale et lavaleur de la pression aux diffrents points du circuit.

Correction

Ce cycle gaz sapparente au cycle idal de Brayton compos de deux isentropiques (compression etdtente) et de deux isobares (coeur et changeur).

Lobjectif de ce cycle thermodynamique est de fournir de la puissance mcanique la turbine. Une partiede la chaleur fournie par la source chaude, ici le coeur du racteur nuclaire, est transforme sous formede travail, ici le travail rcupr la turbine pour alimenter un alternateur, lnergie complmentaire tantcde la source froide, ici lchangeur. Le sens de circulation du fluide est donc le sens 1-2-3-4 de la Fig. 1.Si le fluide circulait en sens inverse, de la chaleur serait fournie la source chaude et serait soutire lasource froide et on devrait doncfournirdu travail au fluide.

Le cycle est reprsent sur le diagramme de Mollier ci-dessous.

s

Qe < 0

h

P=cte

4

3

2

1

Qc > 0

P=

cte

Les changes de chaleur tant supposs avoir lieu pression constante et lhlium tant suppos avoirun comportement de gaz parfait, les courbes 2-3 et 3-4 sont des portions dexponentielles. Si les compressionet dtente taient rversibles, les changes de chaleur tant nuls au compresseur et la turbine, ellesseraient isentropiques et les courbes 1-2 et 3-4 seraient des segments de droite verticaux. Or, les rendementsisentropiques du compresseur et de la turbine tant infrieurs 1, les compression et dtente ne sont pasrversibles. Etant adiabatiques, lentropie du fluide augmente la traverse du compresseur ainsi qu latraverse de la turbine. On a doncs2 > s1et s4 > s3, ce qui justifie lallure du cycle sur la figure ci-dessus.

Lenthalpie dun gaz parfait ntant fonction que de la temprature et tant en outre une fonction crois-sante de la temprature, la figure ci-dessus montre que la temprature la plus basse est atteinte au point 1,cest--dire la sortie de lchangeur, et que la temprature la plus leve est atteinte au point 3, cest--dire

la sortie du coeur.On a doncT1 = 303,15 K

T3 = 1123,15K

Il est prcis dans lnonc que la pression en sortie de compresseur est de 72 bar ; on a donc

P2= 72bar

Lchange thermique dans le coeur tant suppos tre pression constante, on a

P3= P2 = 72 bar

Le taux de dtente la turbine est rpet on a donc

P4 = P3rp

2


57/64

soit

P4= 72

2.7=26.67bar

Enfin, lchangeur tant suppos tre isobare, on a

P1= P4 = 26.67bar

2 Etats du fluide au cours du cycle

2.1 Bilan dnergie la traverse du coeur nuclaire

Montrer que la puissance de coeur, Qc, le dbit-masse du fluide caloporteur, m, et les tempratures dentreet de sortie du coeur sont lies par une relation que lon explicitera. Le systme tudi sera identifi et toutes leshypothses utilises pour aboutir au rsultat seront explicites.

Correction

Le systme considr est le fluide caloporteur situ entre lentre et la sortie du coeur ; ce systme est doncouvert. Le bilan dnergie de ce systme scrit :

dU+ Ep+ Ec

dt

= se

m

h+ep+ec

+ W + Q

oU, Epet Ecsont les nergies respectivement interne, potentielle et cintique du systme fluide considr, mest le flux de masse aux frontires du domaine,h,epet ecsont lenthalpie massique et les nergies potentielle

et cintique massiques du fluide au frontire du systme fluide, W est la puissance mcanique fournie ausystme et Qest la puissance calorifique fournie au systme.

Lcoulement tant stationnaire, le membre de gauche de cette quation est nul et le dbit de masse sortantest gal au dbit de masse entrant. Le systme ne possde que 2 frontires ouvertes, 2 et 3, lentre tant en2 et la sortie en 3. Par ailleurs, on peut ngliger les variations dnergie potentielle et dnergie cintiqueentre lentre et la sortie du coeur. Enfin, aucune puissance nest fournie au fluide sous forme mcanique la

traverse du coeur. Lquation gnrale de bilan dnergie se simplifie alors en

m (h3 h2)= Qc

Lhlium tant suppos avoir un comportement de gaz parfait, son enthalpie massique h ne dpend quede la tempratureTet on a

dh

dT =c p

La capacit calorifique massiquec ptant suppose tre constante, on a

h3 h2= c p (T3 T2)

On a finalement

m cp (T3 T2)= Qc (1)

2.2 Temprature de sortie du compresseur

Dterminer lexpression de la temprature de sortie du compresseur en fonction deT1,zetC. Les hypothsespour aboutir au rsultat seront explicites.

Correction

On commence par dterminer la temprature de sortie du compresseur T2is correspondant une com-pression isentropique.

Lhlium tant suppos avoir un comportement de gaz parfait et tant suppos tre constant (cp et cv

sont supposs constants), la relation suivante sapplique :

T2isT1

=

P2P1

1

3


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Or, si lon se rfre par exemple au diagramme de Mollier, le taux de compression ( P2/P1) est gal autaux de dtente(P3/P4), si bien que la relation prcdente peut scrire :

T2isT1

=

P3P4

1

=r1

p =z (2)

Lcoulement tant stationnaire, les variations dnergie et potentielles tant ngliges, la puissance ca-

lorifique tant nulle et lhlium ayant un comportement de gaz parfait, lapplication du bilan dnergie aufluide compris entre lentre et la sortie du compresseur donne :

WCis = m cp (T2is T1) (3)

La puissance de compression relle WC est suprieure la puissance isentropiqueWCis , le rapport entre

les deux tant donn par le rendement isentropique de compression C :

WCisWC

= C (4)

Lapplication du premier principe la transformation relle donne (toutes les hypothses ncessaires pourarriver cette relation tant vrifies) :

WC = m cp (T2 T1) (5)

En combinant les relations (3), (4) et (5), on montre immdiatement :

T2is T1T2 T1

= C

En utilisant la relation (2), on montre facilement la relation suivante :

T2 = T1

1+

z 1

C

(6)

2.3 Temprature de sortie de la turbine

Dterminer la temprature du fluide la sortie de la turbine en fonction deT3,zet T.

Correction

Le raisonnement suivi pour la turbine est identique celui suivi pour le compresseur. On a donc :

WT= m cp (T3 T4) (7)

WTis = m cp (T3 T4is)

Or

T4is

T3=

P4

P3

1

=1

zsi bien que

WTis = m cp T3

1

1

z

Par dfinition du rendement Tde la turbine, on a :

WTWTis

= T

Par consquentT3 T4

T3 1 1z

= T

Soit :

T4 = T3

1 T

1

1

z

(8)

4


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2.4 Application numrique

Donner les tats du fluide(P; T)aux diffrents points du circuit sous la forme dun tableau rcapitulatif.

Correction

On a :z= (2.7)

1.6711.67 =1.49

P1 = P4 = 72

2.7=26.67 bar

Daprs les relations (6) et (8), on a :

T2 = (273.15+30)

1+

1.49 1

0.87

= 473.9 K= 200.75 C (9)

T4 = (273.15+850)

1 0.93

1

1

1.49

= 779.65 K= 506.5 C (10)

P(bar) T(K) T(C)

1 26.67 303.15 302 72 473.9 200.753 72 1123.15 8504 26.67 779.65 506.5

3 Puissances changes aux diffrents composants du circuit et rende-

ment nergtique

Dterminer le dbit de masse dhlium travers le circuit et en dduire les puissances fournies au fluideaux diffrents composant du circuit.

En dduire le rendement nergtique du cycle et discuter sa valeur.

Correction

Dbit de masseLa relation (1) permet de dterminer la valeur du dbit de masse dhlium dans le circuit :

m=Qc

cp (T3 T2) =

600 106

5.2 103 (1123.15 473.9) =177.7 kg/s (11)

Puissances mcaniques au compresseur et la turbineLa puissance mcanique fournie au fluide par le compresseur est donne par la relation (5) ; on en dduit :

WC = 177.7 5.2103 (473.9 303.15) =157.8 MW (12)

Cette puissance est bien positive : le compresseur fournie de lnergie au fluide.

La puissance mcanique fournie au fluide par la turbine est donne par la relations (7) ; on en dduit :

WT=177.7 5.2103 (779.65 1123.15) = 317.4 MW (13)

Cette puissance est ngative car le fluide cde son nergie thermique sous forme dnergie mcanique la turbine, si bien que la puissance fournie par la turbine au fluide est ngative.

Puissance calorifique lchangeurAvec lensemble des hypothses du problme, lapplication du bilan dnergie au fluide compris entre len-

tre et la sortie de lchageur donne :

Qe= m cp (T1 T4) =177.7 5.2103 (303.15 779.65) = 440.3 MW (14)

Cette puissance est bien ngative car le fluide caloporteur cdeson nergie au fluide du circuit secondaire.

5


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Rcapitulatif

W (MW) Q(MW)

Compresseur 157.8 0Coeur 0 600

Turbine 317.4 0

Echangeur 0 440.3

On vrifie que la somme des nergies fournies au fluide sur le cycle est nulle ( moins de 0.1% prs).

Rendement nergtiqueUne partie de la puissance mcanique fournie la turbine par le fluide (soit WT) est fournie au compres-seur ( WC), le complment tant effectivement util

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