Travaux Dirigs dElectromagntismePrparation lagrgation de Montrouge

2010 2011

Table des matires

1 TD1 : nonc 1.0Exercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1Exercice 2 Sphre sous influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1Exercice 3 Interaction molcule-paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1Exercice 4 Aspects lectromagntiques de la propagation dondes sur une ligne coaxiale . 1.2

Partie 1 tude lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Partie 2 tude magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Partie 3 tude en rgime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Partie 4 Modle constantes rparties (non faite en TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Partie 5 Rflexion des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3

2 TD1 : Corrig 1.C-0Exercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-1Exercice 2 Sphre sous influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-1Exercice 3 Interaction molcule-paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-3Exercice 4 Aspects lectromagntiques de la propagation donde sur une ligne coaxiale . . 1.C-5

Partie 1 tude lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-5Partie 2 tude magntostatqiue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-6Partie 3 tude en rgime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-8Partie 4 Modle constantes rparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-10Partie 5 Rflexion des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-10

3 TD2 : nonc 2.0Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1

Exercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1Exercice 3 Oscillateurs mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1Exercice 4 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2

Ondes electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Exercice 5 Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Exercice 6 Polarisation et photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3Exercice 7 Ondes vanescentes - paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4

4 TD2 : Corrig 2.C-0Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-1

Exercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-1Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-2Exercice 3 Oscillateurs mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-4Exercice 4 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-5

Ondes electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-7Exercice 5 Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-7Exercice 6 Polarisation et photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-12Exercice 7 Ondes vanescentes - paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-15

1.2

5 TD3 : nonc 3.0Relativite restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1

Exercice 1 Collisions lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1Exercice 2 Collisions inlastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1

Partie 1 Notion de centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1Partie 2 Matrialisation de photons par cration de paire ee+ . . . . . . . . . . . . . . . 3.1

Charges et champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Exercice 3 Mouvement dun particule charge dans un champ magntique uniforme . . . 3.2Exercice 4 Pigeage dun lectron dans le champ magntique terrestre Aurores borales 3.2

6 TD3 : Corrig 3.C-0Relativite restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.C-1

Exercice 1 Collisions lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.C-1Exercice 2 Collisions inlastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.C-2

Partie 1 Notion de centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.C-2Partie 2 Matrialisation de photons par cration de paires ee+ . . . . . . . . . . . . . . 3.C-3

Charges et champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.C-4Exercice 3 Mouvement dune particule charge dans un champ magntique uniforme . . . 3.C-4Exercice 4 Pigeage dun lectron dans le champ magntique terrestre Aurores borales 3.C-5

1.3

nonc TD n1

SommaireExercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1Exercice 2 Sphre sous influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1Exercice 3 Interaction molcule-paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1Exercice 4 Aspects lectromagntiques de la propagation dondes sur une ligne co-

axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2

Prparation lagrgation de MontrougeTD1 dlectromagntismeSeptembre 2010

Clment Sayrinclement.sayrin@ens.fr

lectro- et Magntostatique

Exercice 1 Gnralits 1. Rappeler lexpression des potentiels V(r, t) et A(r, t) en fonction des sources de champ lectroma-

gntique : et j. En dduire les expressions des champs E et B dans le cas lectrostatique.Mme question dans le cas de distributions surfaciques et liniques.

2. En dduire la relation entre les proprits de symtrie des champs lectrique et magntique et dessources de champ.

3. Rappeler les expressions des quations de Maxwell. En dduire les quations fermes vrifies parles potentiels.

Exercice 2 Sphre sous influence

On considre une boule conductrice de rayon R maintenue au potentiel nul et plonge dans un champlectrique extrieur uniforme E = E0ux. Il se produit un phnomne dinfluence qui amne un dplace-quivalence de

deux problmesde Laplace ;

Approximationdipolaire

ment des charges dans le conducteur et la production dun champ par la sphre, qui sajoute au champextrieur. On recherche lexpression du potentiel et du champ lectrique total en tout point lextrieur,ainsi que la distribution des charges sur la sphre, lquilibre. ( Quid des charges en volume dans leconducteur ? Quel est le temps caractristique dvolution de ces charges ? )

1. Dterminer qualitativement la nature (signe) des chargessur la sphre.

2. Proposer une superposition de deux champs simples d-crivant le champ total lextrieur de la sphre.

3. Dterminer la densit de charge sur la sphre.

4. Tracer les lignes de champs. ( Comment calculer leursquations ? )

Exercice 3 Interaction molcule-paroi

1. Une particule de charge q est situe en un point A distance z dun plan mtallique maintenuau potentiel nul. Justifier que le potentiel et le champ dans le demi-espace o se trouve la chargepeuvent tre calculs comme ceux crs dans le vide par deux charges : q en A et q en A,Mthode des

images symtrique de A par rapport au plan (particule image).2. Dterminer la charge porte par la surface. Interprter. 3. On remplace la charge prcdente par un diple permanent p. Calculer lnergie dinteraction du

diple avec la paroi. En moyennant sur les diffrentes directions possibles du diple, supposesMoyenneangulaire quiprobables, montrer que lnergie dinteraction molcule - paroi se met sous la forme K/z3.

Comment appelle-t-on cette interaction ? ( Quid de linteraction avec un atome ? Quel autre nomdonne-t-on cette force ? )

Lgende : Question ou exercice important ou plus dlicat. Question facultative, quon pourra sauter en premire lecture, mais laquelle il faudra pouvoir

rpondre aprs quelques temps.

Formulaire Oprateurs en coordonnes cylindriques :

div A =1r(rAr)r

+1rA

+Azz

rot A =(

1rAz A

z

)ur +

(Arz Az

r

)u +

1r

((rA)r

Ar

)uz

1.1

Exercice 4 Aspects lectromagntiques de la propagation dondes sur une ligne coaxiale

On propose dans ce problme dexaminer diffrentes reprsentations de la propagation dondes lec-Thormes deGauss et

dAmpre ;Relations de

passage ;Impdance ...

tromagntiques dans une ligne coaxiale. La ligne est constitue de deux cylindres (1) et (2) de mmeaxe Oz, et de rayons R1 = 0, 43mm et R2 = 1, 47mm, assimils des surfaces parfaitement conduc-trices. Lisolant entre les conducteurs est un milieu non magntique de permittivit dilectrique relativer = 2, 25.

Partie 1 tude lectrostatique

Soit une portion de longueur h de la ligne ; on suppose que les deux conducteurs (1) et (2) sont enquilibre lectrostatique et portent respectivement les charges Q et Q rparties uniformment sur leurssurfaces. ( Quelle information peut-on dores et dj en tirer sur les lignes de champ lectrique ? ) 1. Exprimer le champ lectrique en tout point. Vrifier les relations de continuit la traverse des

surfaces. ( partir de quelles quations de Maxwell drive-t-on ces relations de continuit ? Quedeviennent-elles dans le cas dun milieu quelconque ? Et en rgime variable ? )

2. Exprimer la diffrence de potentiel entre ces deux conducteurs. En dduire la capacit de la portionde longueur h de la ligne, et la capacit linique de la ligne. Application numrique.

3. Dterminer lnergie lectrostatique emmagasine dans cette portion. Vrifier le rsultat prcdent.

Partie 2 tude magntostatique

Le conducteur central (orient selon Oz) constitue le conducteur aller dun courant lectrique din-tensit I ; le conducteur extrieur est alors parcouru par un courant de mme intensit circulant en sensinverse. Compte tenu de lhypothse dpaisseur nulle pour les conducteurs, ces courants sont rpartissurfaciquement : les densits correspondantes sont uniformes.

1. Exprimer le champ magntique en tout point de lespace. Vrifier les relations de continuit sur lessurfaces.( Mmes questions qu la question 1 de la Partie 1 )

2. Calculer de deux faons diffrentes linductance linique de la ligne. On sinspirera des questions2 et 3 de la partie 1.

3. On constate que par rapport une ligne bifilaire, la ligne coaxiale permet une meilleure indpen-dance entre des cbles mis cte cte (diaphonie plus faible). Justifier cette proprit.

4. Les potentiels des conducteurs tant respectivement V1 et V2, dterminer le champ lectrique danslespace entre les cylindres, puis le vecteur de Poynting. En dduire la puissance transitant traversune surface z constant. Interprter.

Partie 3 tude en rgime variable

On conserve les notations prcdentes, mais le courant i dans un conducteur ne prsente plus lunifor-mit suppose prcdemment : les densits surfaciques de courant deviennent fonctions de z et du tempst. On notera donc i(z, t) lintensit du courant pour le conducteur (1) la cote z. Les champs lectrique etmagntique sont recherchs sous la forme dune fonction de r, z et du temps t et ont mme direction queceux dtermins dans les tudes en rgime stationnaire.

1. Rappeler lquation de Maxwell-Gauss. Exprimer alors le champ lectrique en fonction de la den-sit surfacique de charge sur le conducteur intrieur 1(z, t).

2. laide du thorme dAmpre ( justifier sa validit ), dterminer lexpression du champ ma-gntique.

3. Quelles relations fournissent les quations de Maxwell-Ampre et Maxwell-Faraday ? En dduireune quation diffrentielle vrifie par ces champs. Idem pour i(z, t).

4. Quelle est la forme gnrale des solutions de cette quation ? Comment appelle-t-on le mode depropagation considr ? Comparer au cas dun guide donde rectangulaire. Quid de la dispersion ?

5. Retrouver la loi de conservation de la charge.

1.2

6. Montrer quil est possible de dfinir une diffrence de potentiel u(z, t) entre les deux conducteurs la cote z. Exprimer u(z, t) en fonction de (z, t).

7. Montrer que la puissance rayonne par le champ lectromagntique sexprime simplement en fonc-tion de u(z, t) et i(z, t). Commenter.

Partie 4 Modle constantes rparties (non faite en TD)

Une autre description de la propagation des signaux lectriques consiste en lapplication des lois dellectrocintique une portion de ligne situe entre les cotes z et z + dz. On modlise alors cet lmentcomme indiqu figure 4.1. La capacit et linductance liniques ont t calcules dans les deux premiresparties.

Figure 4.1 Modle constantes rparties

1. Relier les drives partielles de la tension u(z, t) et du courant i(z, t) par rapport au temps et lacote z.

2. En dduire lquation de propagation vrifie par ces deux signaux et exprimer la clrit des ondesen fonction de linductance et de la conductance liniques. Application au cas dune ligne coaxiale.Interprter.

3. La solution gnrale de lquation pour u(z, t) scrit u(z, t) = Ui(t z/c) + Ur(t + z/c). Montrerque i(z, t) sexprime en fonction des mmes termes et dune rsistance caractristique Rc que lonexprimera, puis calculera. (Cette question peut aussi tre faite partir des rsultats de la Partie 3uniquement.)

Partie 5 Rflexion des ondes

On place lextrmit de la ligne de cote z = L une rsistance de valeur R entre les conducteurs (1) et(2). On souhaite dterminer le rapport entre les amplitudes instantanes de londe rflchie et de londeincidente.

1. laide de la question 4.3, exprimer en fonction de R et Rc le coefficient de rflexion

=Ur(t + L/c)Ui(t L/c) .

2. Dterminer le coefficient de rflexion dans le cas dun circuit ouvert (R = ), dun court-circuit(R = 0) et dune charge adapte (R = Rc). Interprter.

3. Analogie optique ? (Et pour dautres exemples : cf TP)

4. On suppose R nulle. Exprimer u(z, t) et i(z, t) dans le cas dune onde incidente sinusodale dampli-tude A. Comment varient les valeurs efficaces de u et i le long de la ligne un instant t donn ?

5. Mme question dans le cas dune charge adapte.

6. On suppose kL 1. Lapproximation semble-t-elle raisonnable ? Montrer alors que le cble secomporte comme une capacit dans le cas dun circuit ouvert en bout de ligne, comme une in-ductance dans le cas dun court-circuit. ( Retrouver ces rsultats qualitativement. Analogie mca-nique ? )

1.3

7. On dfinit le taux dondes stationnaires (TOS) comme le rapport des amplitudes du champ lec-trique aux ventres et nuds de londe, soit :

TOS =|Emax||Emin|

Calculer le TOS pour les diffrentes charges tudies ci-dessus. Exprimer le TOS en fonction de .

1.4

Corrig TD n1

SommaireExercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-1Exercice 2 Sphre sous influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-1Exercice 3 Interaction molcule-paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.C-3Exercice 4 Aspects lectromagntiques de la propagation donde sur une ligne coaxiale1.C-5

Prparation lagrgation de MontrougeTD1 dlectromagntisme CorrectionSeptembre 2010

Clment Sayrinclement.sayrin@ens.fr

Exercice 1 Gnralits

1. Dans un cadre non-relativiste :

V(r, t) =1

4pi0

$d3 u

(u, t)|r u| A(r, t) =

04pi

$d3 u

j(u, t)|r u|

En statique : E(r) = V = 14pi0

$d3 u

((u)|r u|

)=

14pi0

$d3 u

(u)|r u|2

r u|r u|

Et de mme : B(r) =04pi

$d3 u

j(u) (r u)|r u|3 = rot A

Dans le cas de distributions surfaciques et liniques, les expressions deviennent :

E(r) =1

4pi0

"d2 u

(u)|r u|2

r u|r u| =

14pi0

d u

(u)|r u|2

r u|r u|

B(r) =04pi

"d2 u

js(u) (r u)|r u|3 =

04pi

I dl (r u)|r u|3

2. Daprs les expressions ci-dessus, E est proportionnel . Donc toute symtrie de est une sym-trie de E.B dpend de j via un terme de la forme j u. Le produit vectoriel dpendant de lorientation delespace, une symtrie ngative 1 de j est une antisymtrie de B. Une symtrie positive de j est enrevanche une symtrie de B.

3. partir de lquation de Maxwell-Ampre, on obtient :

rot (rot A) = 0j 1c2(Vt

) 1

c22At2

= (div A) A

soit(

1c22

t2

)A = 0j

(1c2Vt

+ div A)

Dans la jauge de Lorentz :1c2Vt

+ div A = 0, et donc :(

1c22

t2

)A = 0j.

De mme, partir de lquation de Maxwell-Gauss, on obtient lquation 2 :(1c22

t2

)V =

0

Exercice 2 Sphre sous influence

1. En prsence du champ lectrique permanentE0, les charges de la sphre conductrice sedplacent vers la surface du conducteur, desorte crer un champ antagoniste Ea tel quela champ lintrieur du conducteur soit nul. lquilibre, les charges ne sont donc plusquen surface et sont rparties qualitativementcomme montr sur la figure ci-contre.

Si lon sintresse galement aux charges volumiques dans le conducteur, en crivant la loi de conser-vation de la charge, et en utilisant le fait que dans un conducteur j = E, on obtient :

t+

0 = 0

1. Une isomtrie ngative transforme une base directe de lespace en une base indirecte : symtrie par rapport un plan ou unpoint par exemple ; une rotation est une isomtrie positive.

2. Dite quation de Poisson. En statique et en labsence de sources, on lappelle quation de Laplace.

1.C-1

est donc une fonction exponentiellement dcroissante du temps, avec une constante de temps =0/ 1019 s. On ne peut donc manifestement pas imposer de densit volumique de charges dans leconducteur, et les seules charges considrer sont en surface.

2. La distribution de charges telle que reprsente nous fait songer un diple lectrique, plac aucentre de la sphre. Nous allons donc essayer 3 de trouver un diple p ad hoc, tel que le potentielquil cre soit le mme que celui de la sphre, en prsence de E0. Nous avons donc deux problmes :une sphre conductrice maintenue au potentiel nul, dans le champ E0 ; et un diple p inconnu dansle mme champ lectrique. quelle condition pourra-t-on dire que ces deux situations sont quivalentes, i.e. que le potentielV(r) lextrieur de la sphre est le mme ? Il est, dans les deux problmes, solution de lquationde Poisson qui, lextrieur de la sphre, scrit :

V(r) = 0

Lexpression du potentiel ne dpend donc que des conditions aux limites du domaine, i.e. r = R etr = . Si elles sont identiques pour les deux situations envisages, alors V aura mme expressionpour les deux problmes.Dans le cas de la sphre conductrice, les conditions aux limites sont :

V(r = R) = 0 (II.1)V(r ) = r E0 = V0(r) (II.2)

Il faut donc trouver, si elle existe, la valeur du diple p telle quen r = R, Vdipole + V0(R) = 0. linfini, le potentiel cr par un diple peut tre choisi comme nul et la seconde condition auxlimites est donc vrifie quel que soit p.

Calculons donc dans un premier temps le potentielcr par un diple p en tout point de lespace. Cestpar exemple celui cr par deux charges q et q, s-pares dune distance a, dans lapproximation dipo-laire : on se place dans la situation o a est trs pe-tite devant la distance r au point dobservation, et onne garde que le terme de premier ordre en r/a 1(terme dipolaire, le terme de second ordre serait leterme quadripolaire. Rappelons par ailleurs quundiple est une distribution de charges {qi} telle que

i qi = 0 et

i qiri = p , 0 ).

On a donc :

Vd(r) =q

4pi0

( 1|r + a/2| +

1|r a/2|

)Or, |r + a/2|2 = r2 + a2/4 + r a r2

(1 + r ar2

)au premier ordre en r/a. En injectant cette relation dans

lexpression de V , on obtient finalement :

Vd(r) =q

4pi0r3r a = p r

4pi0r3

Vrifions alors que lon peut imposer la condition aux limites : Vtot(r = R) = 0.

Vtot(r = R) =pR cos 4pi0R3

E0R cos = 0

qui a pour solution : p = 4pi0E0R3.Il est donc possible de trouver un diple p tel que les deux problmes considrs aient la mme

solution, et ce diple doit avoir la valeur donne ci-dessus.

3. A priori, on ne peut pas tre certain de trouver un diple qui vrifie les bonnes conditions. Ce nest ici quune intuition...

1.C-2

Figure 2.1 Lignes de champ

+

+

+p

p'p z

Figure 2.2 Mthode des images

Remarquons par ailleurs quun tel rsultat correspond une densit volumique de diple :

P = 30E0

Sachant que le champ cr par une sphre de polarisation uniforme P est, lintrieur de la sphre,Ea = P/(30), on retrouve bien que cest ce choix de diple qui permet dannuler le champ lintrieurde la sphre (Ea = E0).

On a alors par la mme occasion lexpression du potentiel en tout point en dehors de la sphre :

Vtot(r) = E0[(R

r

)3 1

]r cos

3. Pour calculer la densit surfacique de charges, il suffit alors de calculer le champ lectrique auniveau de la surface de la sphre. On obtient sans difficults :

E = E0(1 +

2R3

r3

)cos ur + E0 sin

[(Rr

)3 1

]u

et finalement

() = 0

E(r R+) E(r R) 0

ur = 30E0 cos On retrouve par ailleurs la relation () = P ur.On vrifie par la mme occasion la continuit de la composante tangentielle du champ.

4. Pour calculer les quations des lignes de champ, traces figure 2.1, il faut rsoudre le systmediffrentiel obtenu en crivant que le champ E est parallle un lment de longueur dl de laligne : Er drE r d

= 0Exercice 3 Interaction molcule-paroi

1. Comme pour lexercice prcdent, montrer que deux situations sont quivalentes revient montrerque les conditions aux limites du domaine sont les mmes, lquation sur le potentiel tant identiquedans les deux cas (quation de Laplace). Dans le cas dune particule charge et dun plan infiniconducteur maintenu au potentiel nul, il faut trouver une distribution de charge pour laquelle lepotentiel est nul lendroit o se trouve le plan dans le problme initial. Si lon considre deux

1.C-3

charges opposes, symtriques lune de lautre par rapport au plan (qui nexiste plus maintenant),lune en A, lautre en A, le potentiel cr par les deux charges en tout point M du plan est :

V(M) =q

4pi0

(1

AM 1

AM

)= 0

car M est sur le plan mdiateur de AA.

2. Regardons dabord comment dcrot le champ linfini. On vient de montrer que le problme estquivalent deux particules de charges opposes. Elles forment un diple lectrique pour lequel Evarie comme 1/r3.Considrons alors une surface quelconque (par exemple une sphre), de taille caractristique R,englobant la particule q, et intersectant le plan. Daprs le thorme de Gauss, le flux du champlectrique travers (R) est :

(R) =Qint0

=q + Qplan(R)

0,

o Qplan(R) est la charge contenue dans la surface du plan intercepte par (R). Si lon fait tendreR vers linfini, alors :

q + Qplan(R )0

=q + Qplan

0,

o Qplan est la charge contenue sur tout le plan.Or, laire de la surface (R) croissant en R2 tandis que le champ lectrique dcrot en 1/R3 (du ctde la charge, dans le conducteur il est carrment nul !), le flux (R) tend vers 0 quand R tend verslinfini. On en dduit immdiatement que le conducteur porte la charge Qplan = q !On aurait galement pu remarquer que les deux charges du problme analogue sont en influencetotale : toutes les lignes de champ partant de A arrivent en A et inversement. Dans le problmeinitial, du ct de la charge, les lignes de champ sont inchanges. Toutes les lignes de champ partantde A arrivent donc ncessairement sur le plan, et inversement. Le plan et la charge sont aussi eninfluence totale, et portent donc des charges opposes : Qplan = q.

3. partir de la question 1, il vient immdiatement que les deux situations FIG. 2.2 sont quivalentes,le diple p tant lantisymtrique de p par rapport au plan conducteur (considrer p comme formde deux charges opposes).Lnergie lectrostatique du diple pour une orientation donne (fixe par les deux angles et des coordonnes sphriques, laxe z tant choisi comme sur la FIG. 2.2) est donne par 4 :

E = p E = p(

cos sin

) p

4pi0(2z)3

(2 cos sin

)= p

2

32pi0z3(1 + cos2 )

Il faut maintenant moyenner sur toutes les orientations possibles du diple :

E = pi

0 d sin 2pi

0 dE() pi0

d sin 2pi

0d

4pi

= p2

24pi0z3

On retrouve ainsi la bien connue force de van der Waals ! Cette expression en 1/z3 nest en faitvalable que pour des distances z suffisamment grandes : trop prs de la surface, des effets dusaux temps finis de propagation des interactions interviennent, et des termes en 1/z4 apparaissent :on passe au cas de linteraction de Casimir-Polder.Le calcul a t fait ici pour un diple quelconque sans plus de prcision. Si lon faisait lexprienceavec un atome, mme sans diple permanent (orbitale s par exemple), on observerait une telleinteraction. Cest la moyenne de p2 (fluctuations quantiques) et non celle de p qui caractrise laforce de linteraction.

4. Le diple p ninteragit pas avec le champ quil cre, cest donc bien E seulement quil faut mettre dans lexpression delnergie dinteraction. Le calcul de p E donnerait le mme rsultat.

1.C-4

Exercice 4 Aspects lectromagntiques de la propagation donde sur une ligne coaxiale

Partie 1 tude lectrostatique

On suppose ici que Q1 = Q2. Comme de plus toutes les lignes de champ partant du conducteurcentral arrivent sur le conducteur extrieur du fait de la gomtrie du problme, on peut en dduire que larciproque doit tre vraie (les deux conducteurs sont en influence totale). En particulier, il ny a aucuneligne de champ partant du conducteur extrieur et arrivant linfini. On doit donc sattendre trouver unchamp lectrique nul lextrieur du cble.

1. Le systme est invariant par translation selon laxe Oz et par rotation autour de ce mme axe. Dansles coordonnes cylindriques usuelles, on a donc E(r, , z) = E(r).Par ailleurs, tout plan contenant laxe Oz et tout plan perpendiculaire laxe Oz sont plans desymtrie de la distribution de charges. Ce sont donc des plans de symtrie de E. On en dduit queE(r) = E(r)ur.Pour calculer le champ cr par la ligne en un point M(r, , z), on utilise le thorme de Gauss. Lasurface ferme choisie est un cylindre de mme axe que la ligne, de rayon r, de longueur h (voirFIG. 4.1).

Figure 4.1 Thorme de Gauss

Les surfaces S 1 et S 2 sont orientes selon uz donc le flux de E travers elles est nul. La surface est oriente selon ur donc le flux du champ est (E) = E(r) d = E(r) 2pirh. Par le thormede Gauss, on a par ailleurs :

(E) =Qint0r

doE(r) = 0 pour r R1E(r) =

Q2pihr

ur pour R1 r R2E(r) = 0 pour R2 r

On vrifie alors les relations de passage travers les surfaces latrales des deux conducteurs :[0rE(r R+1 ) 0E(r R1 )

] ur = Q2pihR1 = 1[0E(r R+2 ) 0rE(r R2 )

] ur = Q2pihR2 = 2Remarque : La discontinuit de la composante normale de E dcoule de lquation de Maxwell-Gauss. Dans le cas dun milieu quelconque, non isotrope en particulier, elle scrit div D = , etcest donc la composante normale de D qui est discontinue !Au contraire, la continuit de la composante tangentielle de E dcoule de lquation de Maxwell-Faraday, inchange lors du passage un milieu quelconque. Cest donc toujours E, et non D quilfaut prendre en compte pour lquation de continuit.En rgime variable, ces relations de continuit sont inchanges 5.

5. Malgr le terme en B/t qui apparat dans lquation de Maxwell-Faraday. Reprendre la dmonstration pour se convaincreque ce terme ne modifie pas les relations ci-dessus.

1.C-5

2.

V1 V2 = R1

R2V(r) ur dr =

R2R1

E(r) ur dr = Q2pih ln(

R2R1

)=

QC

doCh

= =2pi0rln

(R2R1

) = 102 pF m1Pour les lignes coaxiales utilises en TP, on retient = 100 pF m1.

3. Lnergie lectrostatique contenue dans la portion de longueur h est donne par :

Ee =$

d120rE2 =

R2R1

(2pirh dr)12E(r)2

=Q2

4pihln

(R2R1

)=

Q2

2C

On retrouve la formule usuelle de lnergie contenue dans une capacit.

Partie 2 tude magntostatqiue

1. Par les mmes arguments que pour E, B(r, , z) = B(r).Tout plan contenant Oz tant plan de symtrie de la distribution de courants, cest un plan dantisy-mtrie pour B. Donc B(r) = B(r)u.On utilise alors le thorme dAmpre pour calculer le champ magntique en tout point M(r, , z)de lespace. Le contour ferm choisi est un cercle de rayon r centr sur laxe Oz, et orient dans lesens de u. Un courant enlac est alors compt positivement sil est dans le sens des z croissants(rgle de la main droite) . On a alors :

C(B) =

B(r) d lu

= B(r) 2pir = 0Ienlac

B(r) = 0 pour r R1=0I2pir

u pour R1 r R2= 0 pour R2 r

On vrifie alors les relations de passage travers les surfaces latrales des deux conducteurs :

[B(r R+1 ) B(r R1 )

]=

0I2piR1

= 0 jSI/(2piR1)uz

nintext ur[

B(r R+2 ) B(r R2 )]

=0(I)2piR2

= 0 jSI/(2piR2)uz

nintext ur

Remarque : Par les mmes arguments que prcdemment, dans le cas dun milieu quelconque,cest la composante tangentielle de H qui est discontinue, tandis que la composante normale de Best continue.

2. Il faut calculer le flux du champ magntique travers une boucle de courant de longueur h.Bien que la ligne soit suppose infinie, on peut considrer quelle est la juxtaposition dune infinitde boucles de courants de longueur h, parcourues par un courant I : le courant rsultant dans lesbras radiaux est nul (voir FIG. 4.2). Quelle forme doit-on maintenant choisir pour ces spires/pour lasurface dintgration ? ne dpend en fait pas du choix dune telle surface. Considrons deux surfaces quelconques Set S tel que sur la figure FIG. 4.3. Construisons partir de ces deux surfaces une surface ferme laide des surfaces et , respectivement portes par les cylindres intrieur et extrieur, et des

1.C-6

Courant

rsultant nul

I

Figure 4.2 Calcul de linductance linique

S

S

Figure 4.3 Choix de la surface dintgration

surfaces latrales (de normale uz). B tant flux conservatif (sa divergence est nulle), son flux tot travers la surface ferme est nul :

tot = S S + + + laterales = 0Enfin, B tant orthoradial, = = laterales = 0. Dont on dduit immdiatement S =

S = .

Choisissons donc comme surface simple le rectangle de longueur h et de largeur R2R1, de vecteurnormal u. Le flux travers une tranche lmentaire de rayon r et dpaisseur dr est :

(r) = B S = 0I2pir

h dr

Finalement, =

dr (r) =0h2pi

ln(

R2R1

)I LI.

On peut aussi retrouver L en calculant lnergie magntostatique de la portion :

Em =$

d1

20B2 =

0I2h4pi

ln(

R2R1

)Or, pour une inductance L, lnergie magntique est donne par Em = 1/2 LI2. Do linductancelinique de la ligne :

Lh

= =02pi

ln(

R2R1

)= 0, 25H m1

Pour les lignes coaxiales utilises en TP, = 300 nH m1.3. Le champ magntique cr lextrieur de la ligne est nul. Pour deux tels cbles placs cte cte,

il ny aura donc pas de couplage par mutuelle inductance, phnomne que lon observerait dans lecas de deux lignes bifilaires.

4. On peut rcrire E, entre les conducteurs, sous la forme

E(r) =V1 V2r ln

(R2R1

)urLe vecteur de Poynting, entre les conducteurs (ailleurs, il est nul) est alors :

(r) =E B0

=(V1 V2) I

2pi r2 ln(

R2R1

)uzLa puissance transitant travers une surface z constant est enfin :

P ="

(r) dS = R2

R1(r) (2pi r dr) = (V1 V2) I

On retrouve donc les lois de llectrocintique !Remarquons par ailleurs que lnergie ne se propage pas dans les conducteurs mais entre les deuxconducteurs, dans lisolant, i.e. l o il y a du champ.

1.C-7

Partie 3 tude en rgime variable

1. Lquation de Maxwell-Gauss div E = / a la mme forme que les champs soient variables oustationnaires. Le thorme de Gauss est donc toujours valable et on retrouve les mmes rsultatsque prcdemment :

E(r, z, t) =1(z, t)

R1r

ur

2. De faon gnrale, le thorme dAmpre nest valable en rgime variable quen tenant compte ducourant de dplacement. Reprenons sa dmonstration pour vrifier quon peut sen affranchir ici.

rot B = 0j + 0r0Et

donc C

B dl ="

rot B dS ="

0j dS 0Ienlac

+0r0

!E dSt

Or, le contour C que nous avions pris en compte a sa surface oriente selon uz, et lon supposeque les champs ont mme direction que dans le cas statique. Donc E ur uz et le deuximeterme (flux du courant de dplacement) est nul. On retrouve alors la forme statique du thormedAmpre. Les rsultats de la partie prcdente sont donc encore valables, en remplaant I pari(z, t).

3. Par hypothse, B u et ne dpend que de r et z. De plus r B(r, z, t) ne dpend pas de r. Daprsle formulaire, on a alors entre les conducteurs, avec c = (r00)1/2 :

rot B = B(r, z, t)z

ur =1c2E(r, z, t)

tet de mme rot E =

E(r, z, t)z

u = B(r, z, t)t

On montre alors facilement que E et B vrifient la mme quation :(1c22

t2

2

z2

)B(r, z, t) = 0

Par ailleurs, B tant proportionnel i, i(r, z, t) vrifie la mme quation.

4. Il sagit dune quation de propagation la vitesse de la lumire dans un milieu de permittivit r,c = (r00)1/2. La forme gnrale des solutions est la somme dun terme se propageant vers lesz croissants F(t z/c) et dun terme se propageant vers les z dcroissants G(t + z/c).Si lon sintresse la structure du champ, on voit que E et B sont tous deux orthogonaux ladirection de propagation uz. Londe considre est donc transverse lectromagntique. On parle demode TEM.

Si lon compare la situation connue du guide donde rectangulaire, la diffrence est frappante :il ny a pas de modes TEM dans un tel guide, seulement des modes TE ou TM. O se situe donc ladiffrence ?Tout rside dans le fait que le guide rectangulaire est un conducteur creux 6. On peut en effetmontrer, et on le fait ci-dessous dans notre exemple, que le champ lectrique dun mode TEM, dansun plan P z fix, drive dun potentiel. Ce potentiel est par ailleurs ncessairement constant surla surface des conducteurs. On se convainc alors aisment que pour le guide donde rectangulaire,et pour tout autre guide creux, le potentiel est uniforme sur ce plan P, et donc le champ lectriquenul : il ny a pas de mode TEM.La prsence du conducteur intrieur dans le cble coaxial, qui nest pas au mme potentiel que leconducteur extrieur, autorise en revanche ltablissement dun tel mode.Remarquons enfin que le champ lectrique est en tout point normal aux surfaces des conducteurs,et que le champ magntique leur est tangentiel. Or ces surfaces sont le lieu de charges et de cou-rants surfaciques. Le champ lectrique (normal) et le champ magntique (tangentiel) nont donc

6. ou simplement connexe, pour tre prcis

1.C-8

Figure 4.4 Dfinition dune tension

pas sannuler sur les parois ! Il ny a pas de conditions aux limites pour le champ ! Londe sepropage donc comme dans un milieu dilectrique libre de permittivit relative r : il ny a pas dedispersion. Il ny a pas non plus, contrairement au cas du guide donde rectangulaire, de frquencede coupure qui limite la bande passante du guide, et lon retrouve le fait que le mode TEM peut sepropager dans le guide.

5.1t

=rR1

Et

= 12pir

iz

rR1

= j1s

zsoit

t+ div js = 0

On retrouve donc la forme usuelle de la loi de conservation de la charge.6. La tension entre deux points M1 et M2 est dfinie comme :

V1 V2 = M2

M1E dl

Cette dfinition na de sens que si lintgrale ne dpend pas du chemin C suivi pour aller de M1 M2. Vrifions que cest bien le cas ici. Soit donc deux chemins C1 et C2 reliant un point M1 duconducteur 1 un point M2 du conducteur 2, et I1 et I2 les circulations respectives de E sur ceschemins (voir FIG. 4.4).

I1 I2 =C1 C2 E dl =

"

rot E d

o est la surface dfinie par le contour ferm C1 C2.Par ailleurs,

rot E = Bt

Donc I1 I2 est simplement la drive temporelle du flux du champ magntique travers unesurface dfinie par C1 C2. Si lon prend les deux chemins dans un mme plan de cote z fixe, onpeut choisir la surface dans ce mme plan perpendiculaire laxe Oz. est alors oriente selonuz et le flux de B, parallle u est donc nul. Do I1 I2 = 0.On peut donc dfinir la tension u(z, t) par :

u(z, t) = I1,2 = 1(z, t)

R1 ln(

R2R1

).

7. Les expressions de E et B nayant pas chang, le vecteur de Poynting a la mme expression quedans ltude statique. La puissance rayonne par la champ lectromagntique est donc :

P(z, t) = u(z, t) i(z, t)

On retrouve une nouvelle fois les lois de llectrocintique.

1.C-9

Partie 4 Modle constantes rparties

1. La loi des mailles entre les cotes z et z + dz, et la loi des nuds donnent respectivement :

u(z, t) dz i(z, t)t

u(z + dz, t) = 0 et i(z, t) = i(z + dz, t) + dz u(z + d, z)t

On en dduit :u(z, t)z

= i(z, t)t

eti(z, t)z

= u(z, t)t

2. (

2

t2

2

z2

) (u(z, t)i(z, t)

)=

(00

)Il sagit donc dondes se propageant la vitesse c0 = 1/

. Pour une ligne coaxiale, partir des

rsultats des deux premires parties, on obtient aisment : c0 = c = (r00)1/2.3. partir des quation ci-dessus, on montre sans difficults 7 que si u(z, t) = Ui(t z/c) + Ur(t + z/c)

alors

i(z, t) =1

Rc[Ui(t z/c) Ur(t + z/c)] o Rc =

=

ln(

R2R1

)2pi

00r

= 49

Pour les cbles utiliss en TP, Rc = 50 .

Partie 5 Rflexion des ondes

1.

u(L, t) = R i(L, t) =RRc

[Ui

(t L

c

) Ur

(t +

Lc

)]= Ui

(t L

c

)+ Ur

(t +

Lc

)

On en dduit simplement : =Ur

(t + Lc

)Ui

(t Lc

) = R RcR + Rc

2. Dans le cas dun circuit ouvert (R infini), = 1 ; en z = L, il y a un nud de courant (UiUr = 0).Dans le cas dun court-circuit (R = 0), = 1 ; en z = L, il y a un nud de tension (Ui + Ur = 0).Dans ces deux cas, londe incidente est donc rflchie par limpdance en bout de ligne.En revanche, dans le cas dune charge adapte (R = Rc), = 0 : toute londe incidente estabsorbe par la charge en bout de ligne. La ligne coaxiale se comporte alors comme une ligneinfinie.

3. Il y a une exacte analogie avec ce que lon rencontre en optique, au niveau dun dioptre. Pour deuxmilieux dindices respectifs n1 et n2, on rappelle en effet lexpression des coefficients de rflexionet transmission :

=ErEi

= BrBi

=n1 n2n1 + n2

t =EtEi

=BtBi

=2n1

n1 + n2Ainsi, quand les indices sont adapts, n1 = n2, et il ny a pas donde rflchie : Er = 0 etEt = Ei.

4. On suppose R nulle. En z = L, on a un nud de tension. On peut donc choisir pour u la forme :

u(z, t) = 2A sin(

c(z L)

)sin(t)

7. En crivant que i(z, t) = Ii(t z/c) + Ir(t + z/c), on peut montrer que Ui = RcIi et Ur = RcIr . Le terme constant quiapparat est nglig : on ne sintresse quaux ondes donc quaux termes propageants.

1.C-10

Dont on dduit que :

i(z, t) =2ARc

cos(

c(z L)

)cos(t)

On peut alors calculer les valeurs efficaces :

U(z) =

u(z, t)2

=

2Asin (c (z L)

) et I(z) = 2 ARccos (c (z L)

)Il y a donc succession de nuds et de ventres de tension et de courant, situation usuelle dune ondestationnaire.

5. Dans le cas dune charge adapte, il ny a pas donde se propageant selon les z dcroissants. Lesvaleurs efficaces de la tension et du courant sont alors simplement :

U(z) =A2

et I(z) =A2Rc

Il ny a plus de nuds ni ventres de u ou i.

6. On suppose kL 1, ou encore = 2pi c/L. Pour des longueurs de cbles de lordre du mtre,cette hypothse revient suppose 30 MHz, ce qui est plus que raisonnable en lectroniquecourante !Revenons alors au cas du court-circuit. On a montr que :

u(z, t) = 2A sin(

c(z L)

)sin(t) et i(z, t) =

2ARc

cos(

c(z L)

)cos(t)

En passant en notations complexes, on a donc pour tout z :

u(z, t)i(z, t)

= jRc tan(

c(z L)

)Dans lapproximation kL 1, et donc k(z L) 1, on trouve alors :

u(z, t)i(z, t)

jRcc (z L) = j

(z L) = j [(z L)]

Et en particulieru(0, t)i(0, t)

= j [L] = jLVu de son extrmit z = 0, le cble se comporte comme une inductance L = L !De la mme faon, on pourrait montrer que dans le cas dun circuit ouvert, le cble, vu de z = 0, secomporte comme une capacit C = L.Retrouvons maintenant ce rsultat de manire qualitative. Si lon impose un court-circuit en bout deligne, u = 0 en bout de ligne. Or kL 1 donc L ; londe de tension naura alors pas le tempsde prendre de valeurs notables sur la longueur du cble, sa distance caractristique dvolution tant nettement plus grande que celle du cble. Si on peut alors supposer quen tout point du cble,u 0, alors le cble se rsume en une succession dinductances en srie, sur une longueur L, avecune inductance linique : cest une inductance L = L.Le mme type de raisonnement est faisable pour un circuit ouvert.

Analogie mcanique : Lanalogie lectronique mcanique usuelle repose sur lidentification entre : inductance et masse : L m, capacit et constante de raideur dun ressort : C 1/K, intensit et vitesse : i v, tension lectrique et tension dun ressort : u T .

1.C-11

Le cble coaxial, comme chane dinductances et de capacits, est donc lanalogue lectrique dunechane AB de masses relies par des ressorts.Un circuit ouvert revient annuler le courant en bout de ligne, i.e. annuler la vitesse en bout dechane : on fixe lextrmit z = L (B) une paroi immobile. Si lon met en mouvement lautreextrmit (A) de la chane trs basse frquence (mouvement quasi statique), tous les points de lachane se dplacent en phase au cours de la dformation, et lon va avoir limpression de tirer surun ressort. Plus on tire lentement, plus les effets dinertie diminuent alors que la force lastique,elle, ne change pas. La chane se comporte donc essentiellement comme un ressort, i.e. comme unecapacit.Plus prcisment, calculons la valeur de la capacit effective. On note L la longueur dun lment{masse+ressort} et la densit linique dinverse de raideur. La chane se comporte ici comme Nressorts en srie de raideur k = 1/( L), donc comme un ressort de raideur K = k/N = 1/(L).Son analogue lectrique est une capacit de capacitance 1/K = L L = C. On retrouve bien lersultat prcdent !

Dans le cas dun court-circuit, la tension en B est nulle : on laisse donc cette extrmit libre dese dplacer. On sent bien, une nouvelle fois, que si lon tire lentement sur A, tous les points de lachane vont avoir le mme mouvement, et les effets lastiques vont donc disparatre au profit deseffets dinertie. On aura seulement limpression de mettre en mouvement une masse. On retrouvealors bien que le cble se comporte comme une masse/inductance seule.

Prcisons enfin lapproximation faite ici. Lhypothse que lon avait formule en lectronique taitkL 1. Traduisons la en termes mcaniques. Linductance linique doit tre remplace par lamasse linique m = m/L ; la capacit linique doit tre remplace par la densit linique de 1/Ki.e. = 1/(KL). Lhypothse mentionne devient donc :

cL = L

m =

mK 1 soit 0 =

Km

Il faut donc que la mise en mouvement se fasse des frquences plus faibles que la frquencecaractristique du systme. On retrouve une hypothse de quasi-staticit usuelle, qui traduit entermes prcis lhypothse tirer lentement.

7. Comme E(z, t) u(z, t), on peut redfinir le TOS partir de la tension u. De faon gnrale, et enposant z = z L, on peut crire :

u(z, t) = A cos(t kz) + A cos(t + kz) = A[2 cost cos kz + (1 ) cos(t kz)]soit la somme dune onde stationnaire et dune onde qui se propage selon les z croissants. Le TOSest alors le rapport des amplitudes aux ventres (kz = 0[pi], soit aventre = 2 + (1 )) et nuds(kz = pi/2[pi], soit anud = 1 ) de londe stationnaire :

TOS =aventreanud

=1 + 1

soit 1 pour une charge adapte, 0 pour un court-circuit, et pour un circuit ouvert.

1.C-12

nonc TD n2

SommaireInduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1

Exercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1Exercice 3 Oscillateurs mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1Exercice 4 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2

Ondes electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Exercice 5 Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Exercice 6 Polarisation et photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3Exercice 7 Ondes vanescentes - paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4

Prparation lagrgation de MontrougeTD2 dlectromagntismeSeptembre 2010

Clment Sayrinclement.sayrin@ens.fr

Partie 1 : Induction

Exercice 1 Gnralits 1. Rappeler la 1 loi de transformation des champs, dans la limite non-relativiste, lors du passage du

rfrentiel R du laboratoire au rfrentiel R se dplaant la vitesse U. Dfinir le champ lectro-moteur.

2. Rappeler brivement en quoi consiste lapproximation des rgimes quasi-stationnaires (ARQS).(Pour une prsentation plus dtaille de cette approximation, plus subtile quil ny parat, on se reportera avecintrt au BUP de novembre 2004, vol.98, n868(2), p.71 et ses rfrences. Voir aussi lpreuve C de 2008.)

3. Soit un conducteur filiforme AB parcouru par un courant i et mobile dans un champ B. DanslARQS, exprimer la diffrence de potentiel ses bornes sous la forme : VA VB = RABi eAB. Onappelle eAB la force lectromotrice du tronon.

4. partir de lexpression prcdente, retrouver pour un circuit ferm la loi de Faraday.

Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone

1. Soit une tige rectiligne AB parcourue par un courant I et place dans un champ magntique Buniforme. Montrer que laction des forces de Laplace peut tre modlise par une seule force,applique au centre de la tige, dintensit que lon prcisera.

Soit alors un cadre carr vertical (de normale n uz)de ct a autour duquel on a bobin N spires. Le cou-rant circulant dans chaque spire est constant gal I.On plonge le cadre dans un champ magntique uni-forme permanent et horizontal B. Le cadre est mo-bile autour de son axe de symtrie uz. On note langle (ux,n) et langle (ux,B), et on choisit lori-gine des axes O au centre du cadre.

2. Exprimer le moment par rapport et la rsultantedes forces de Laplace subies par le cadre.

3. Montrer quon peut se ramener un diple magn-tique de moment dipolaire exprimer.

B

n

x

I

O

1C

4C

2C

3C

4. On suppose maintenant que B est un champ tournant la vitesse angulaire 0 autour de . Montrerque si le cadre tourne la vitesse autour de , il existe une unique valeur de permettantdobtenir un couple moyen non nul. Justifier alors lappellation synchrone ? (Quel inconvnientprsente ce moteur ? Connaissez-vous dautres types de moteurs ? )

5. En prsence dun couple rsistant k, tudier le rgime permanent du moteur synchrone ainsiconstitu. On montrera qu I donn, il existe une valeur maximale de k admissible. Commenter.

Exercice 3 Oscillateurs mcaniques

Deux tiges T1 et T2 identiques (masse m) sont mobiles sans frottements sur deux rails parallles(distance d) situs dans un plan horizontal. Chacune est lie un ressort (non conducteur lectrique) deraideur k, et daxe parallle aux rails. Un champ magntique permanent, uniforme et vertical rgne entout point. La rsistance de lensemble du circuit lectrique constitu des deux tiges spares par deuxportions de rail est constante gale R. On nglige les frottements mcaniques.

1. Il ny en a en fait pas quune seule... Voir la remarque la question suivante.

2.1

1. crire le systme dquations diffrentielles rgissant lvolution des positions des tiges (comptes partir des positions dquilibre).

2. Montrer que, pour des conditions initiales quelconques, le mouvement de chaque tige obtenu aprsun temps trs long est sinusodal et prciser sa priode.

3. Interprter en voquant les aspects nergtiques.

Exercice 4 Courants de Foucault

1. Un barreau cylindrique de cuivre (conductivit 6 107 1 m1), daxe Oz, de rayon R, et delongueur h est plac dans un champ magntique uniforme, parallle Oz, damplitude B0, et variantdans le temps de manire sinusodale la pulsation .

(a) Il apparat dans le barreau des courants volumiques dits courants de Foucault. Expliquer lephnomne. Dans quelles situations courantes rencontre-t-on ce phnomne ?

(b) Vrifier que le potentiel vecteur A = 12 B r est solution pour un champ uniforme.(c) Calculer la puissance moyenne dissipe dans le barreau par effet Joule. Application au cas

dune casserole. Commenter.

(d) Est-il prfrable, dans un machine lectrique, dutiliser des conducteurs de forte section ouun ensemble de petits conducteurs indpendants mis en parallle ( section totale gale) ?

2. On laisse tomber un barreau aimant de moment m (type agitateur magntique) dans un cylindrede cuivre. Que se passe-t-il ? Quen serait-il dans le cas dun cylindre de plexiglas ? Et dacier ?Expliquer qualitativement. Le comportement est-il modifi si lon fend le barreau sur sa longueur ?( Quelle est la dpendance du phnomne en et en m ? )

Partie 2 : Ondes lectromagntiques

Exercice 5 Pression de radiation

Un milieu mtallique occupe le demi-espace infini x 0. On envoie la surface de ce mtal une ondelectromagntique plane monochromatique, polarise selon uy et note Ei =

5. Mmoire optique. On considre un Fabry-Protde coefficients de rflexion et de transmission enamplitude r et t respectivement, supposs rels.

(a) Exprimer le rapport de lintensit intraca-vit sur lintensit incidente G = I+intra/I0et le reprsenter en fonction de = 2kL.Faire apparatre la finesse F de lappareil.( Ordre de grandeur de F pour un inter-fromtre de (haute) prcision ? )

Interfromtrede Fabry-Prot

(b) Exprimer en fonction de F la variation minimale L de la longueur du Fabry-Prot que lonpeut dtecter avec un tel dispositif interfrentiel. De mme en fonction du facteur de qualit Qdont on rappellera la dfinition. Retrouver alors la relation entre facteur de qualit et finesse.Faire apparatre lordre dinterfrence p. ( quel ordre travaille-t-on en laboratoire pourrsoudre une raie atomique ? De quelle finesse a-t-on besoin ? )

(c) On suppose maintenant quun des miroirs est libre de se dplacer selon laxe optique, parexemple sil est reli un ressort de raideur . Exprimer le dplacement L du miroir sousleffet de la pression de radiation.

(d) On suppose que la longueur de la cavit a t choisie pour tre un minimum de G. MontrerBistabilit etmmoire quil y a bistabilit du systme lorsque lon fait varier la puissance incidente. tudier la stabi-

lit des points de fonctionnement. Comment peut-on utiliser ce systme pour constituer unemmoire optique ?

Exercice 6 Polarisation et photon

Une onde lectromagntique a pour champ lectrique en notations complexes :

E(r, t) = E0ei(kzt)(ux + iuy)

1. Caractriser sa polarisation.

2. Cette onde interagit avec un atome dont le noyau est suppos fixe. On modlise cet atome par unlectron lastiquement li : la force de rappel vaut m20r. Il est par ailleurs soumis une force defrottement 1/mr. Calculer sa mobilit .

3. Calculer la puissance moyenne cde latome par londe.

4. Calculer le moment moyen de la force quexerce londe sur latome.

5. En adoptant le point de vue corpusculaire, dterminer le moment cintique des photons propageantune telle onde. ( Comment appelle-t-on ce moment cintique ? Combien dtats diffrents luisont associs ? )

Les questions suivantes sont facultatives, ne seront pas corriges pendant le TD, et demandent desconnaissances en Mcanique Quantique.

6. Quel formalisme peut-on alors utiliser pour reprsenter une telle onde ? crire ltat correspondant unepolarisation linaire, circulaire et elliptique. Comment faire pour une onde partiellement polarise ?

7. Dans ce mme formalisme, crire laction dun polariseur dangle quelconque (commencer par un cas simple !).Comment appelle-t-on un tel objet ? Rapprocher cette action du concept de mesure. En quoi lanalogienest-elle pas complte ? Quel autre appareil sy prterait mieux ?Retrouver la loi de Malus en lumire totalement ou partiellement polarise.

8. Idem dans le cas dune lame faces parallles et dun milieu pouvoir rotatoire. Dans ces deux derniers cas,comment crirait-on une quation dvolution ?

2.3

Exercice 7 Ondes vanescentes - paisseur de peau

Un conducteur de conductivit occupe le demi-espace z 0. Une onde lectromagntique depulsation est envoye depuis le vide vers le mtal. On la suppose polarise selon uy.

1. Pour quelle gamme de frquence peut-on ngliger le courant de dplacement ? On supposera quonsera toujours dans ce cas par la suite.

2. tablir alors lquation vrifie par le champ E. Trouver la forme gnrale des solutions pour uneonde en incidence normale et faire apparatre une longueur caractristique dabsorption appelepaisseur de peau. Application numrique pour le cuivre et une onde de frquence 50 Hz, 109 Hzet 5 1014 Hz. ( quoi correspondent ces frquences ? )

3. On se place maintenant dans la situation o londe est en incidence telle quil y ait rflexion totale.

(a) Montrer tout dabord que, pour le vecteur donde transmis, kt x |kt|. Que peut-on en d-duire ?

(b) En dduire la structure de londe dans le milieu. On sintressera plus particulirement auvecteur de Poynting : quelle puissance instantane passe travers une surface de normale uz ?Y a-t-il propagation ? O londe rflchie est-elle restitue ?

(c) Que se passerait-il si le milieu noccupait quune tranche finie de lespace ? ( quel phno-mne quantique cela vous fait-il penser ? )

2.4

Corrig TD n2

SommaireInduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-1

Exercice 1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-1Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-2Exercice 3 Oscillateurs mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-4Exercice 4 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-5

Ondes electromagnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-7Exercice 5 Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-7Exercice 6 Polarisation et photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-12Exercice 7 Ondes vanescentes - paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.C-15

Prparation lagrgation de MontrougeTD2 dlectromagntisme CorrectionSeptembre 2010

Clment Sayrinclement.sayrin@ens.fr

Partie 1 : Induction

Exercice 1 Gnralits

1. On crit linvariance de la force de Lorentz par changement de rfrentiel :

F = F soit q(E + v B) = q(E + v B)o v = v U. En prenant le produit scalaire de lquation ci-dessus avec v, on obtient :

v E v = E v + (U B) vet donc :

E = E + U BEn rinjectant cette expression dans la conservation de F on obtient alors B = B.Remarquons alors que E scrit comme E = V + (tA + U B). Le champ lectrique estdonc modifi par un champ magntique variable dans le temps (tA) ou par un dplacement dansun champ magntique (U B). La somme de ces deux termes est le champ lectromoteur.

2. Grossirement, lARQS consiste ngliger le temps de propagation des signaux T = l/c ,o l est une longueur caractristique du systme tudi, c la vitesse de la lumire, et le tempscaractristique dvolution des signaux. En lectronique, l 1 m et on a donc la condition =1/ 1 GHz.Formellement, passer dans lARQS revient donc faire tendre la vitesse de la lumire vers linfini :c . Lquation de Maxwell-Ampre devient alors :

rot B = 0j

le terme de courant de dplacement proportionnel 1/c2 tant nglig. On retrouve alors la loi desnuds sous sa forme locale :

div j = 0

De mme, la jauge de Lorentz est transforme en la jauge de Coulomb : div A = 0.

Remarque : La lecture de la rfrence dans le BUP est vivement conseille, lARQS tant en faitbien plus complique que ne le laisse supposer la rponse cette question. On pourra par exemplese convaincre de linsuffisance de la rflexion ci-dessus en remarquant que dans une telle limite,div j = 0 interdit laccumulation de charges, et donc la description dans lARQS de condensa-teurs !?La rponse la question 1 sen trouvera galement complte.

3. Dans un conducteur, on a la relation j = E. Si on calcule la circulation de j le long du circuit, onaura alors : B

Aj dl =

BA

iS

dl =i lAB

S

=

BA

E dl o E = V + Em

=

VA VB + B

AEm dl

e

o on a utilis le fait que j = (i/S )( dl/ dl). On appelle force lectromotrice le terme e, circulationdu champ lectromoteur le long du circuit orient, et on a la relation :

VA VB = Ri e

2.C-1

4. On calcule la force lectromotrice pour un circuit ferm mobile dans un champ magntique B :

e =

Em dl =

(tA + U B) dl

=

"

(tB + rot (U B)) dS

Par ailleurs, rot (U B) = Udiv B (U )B. Do :

e = (t + U )("

B dS)

= DDt

o lon a reconnu loprateur drive totale par rapport au temps D/Dt. On retrouve donc la loi deFaraday.

Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone

1. La densit de force de Laplace applique sur la tige est dF = j B d. Sa rsultante est donc :

F =$

dF =($

j d) B =

BA

I dl B = IAB B

Pour connatre son point dapplication, il faut calculer son moment par rapport un point quel-conque, par exemple le centre O de la tige :

MO = B

AOM (I dl B) = I

( BA

OM dOM) (u B)

o u = AB/AB. Lintgrale tant trivialement nulle, MO = 0. La force de Laplace est doncapplique au centre de la tige.

2. Les tiges orientes AB et CD, et BC et AD sont antisymtriques deux deux (voir FIG. 2.1). Lechamp magntique tant homogne, la rsultante des forces de Laplace est donc nulle :

R = F1 + F2 + F3 + F4 = F1 F1 + F3 F3 = 0Calculons alors le moment rsultant par rapport au centre O du cadre 1. Comme OC1 F1 etOC2 F2, on a simplement :

MO = M(F3) + M(F4) = OC3 F3 + OC4 F4 = 2OC4 F4= 2

a2|F4| sin

((pi

2+

)

(pi

2+

))u

= Na2I B sin( )u = Nm B = M Bo lon a pos M = Nm = Na2In.

3. On a par ailleurs R = 0 = (M B).Le cadre se comporte donc exactement comme un diple magntiqueM dans le champ magntiqueB. On retrouve par ailleurs la formule usuelle donnant le moment magntique dune spire : m = ISo S est le vecteur surface de la spire.

4. On considre maintenant la situation o le champ magntique tourne autour de u la vitesse 0soit = 0t. On suppose alors que le cadre tourne lui la vitesse , soit 2 = t 0.Le couple subi par le cadre scrit alors :

= MB sin((0 )t + 0)uqui a une moyenne non nulle seulement si :

= 0.

1. Qui est bien un point de laxe fixe u.2. (t) et (t) nont aucune raison de sannuler au mme instant, do la prsence du terme 0.

2.C-2

B

n

x

I

1F

4F

2F

3F

1C

4C

2C

3C

O

A

B

C

D

Figure 2.1 Moteur synchrone

Do lappellation synchrone de ce moteur, qui nest dailleurs moteur que si 3 = MB sin0 0soit sin0 > 0. Remarquons enfin que 0 peut sinterprter soit comme le retard du cadre sur lechamp dans le rfrentiel du laboratoire, soit comme langle reprant la position, fixe, de M dansle rfrentiel tournant.

5. On suppose maintenant quon applique un couple rsistant r = k. lquilibre, le momentcintique du cadre est constant 4 donc le couple total appliqu est nul :

r + = 0 soit MB sin0 = k0 0Il y a donc deux tats dquilibre diffrents, lquation ci-dessus admettant deux solutions pour 0.

Soit (1)0 et (2)0 ces solutions, avec 0 (1)0 = pi (2)0

pi

2. Supposons qu un instant donn,

le cadre sloigne de sa position dquilibre : 0 = (i)0 + , avec par exemple 0 : le cadre

sloigne du champ magntique. Le couple moteur devient alors :

=MB sin((i)0 + ) et T = + r =MB(sin((i)0 + ) sin((i)0 )

) MB cos(i)0

On voit alors que si i = 1, T 0 et le cadre est ramen vers le champ magntique, i.e. vers saposition dquilibre. Au contraire, si i = 2, T 0 et le cadre continue sloigner de sa positiondquilibre. (1)0 est donc une position dquilibre stable,

(2)0 est une position dquilibre instable.

Une autre faon de retrouver ce rsultat consiste imaginer qu un instant donn le couple rsistantvarie lgrement, diminue par exemple. Dans ce cas, le cadre se met tourner plus vite et rduitson retard sur B. Si i = 1, une rduction du retard induit une diminution du couple moteur, et lecadre ralentit donc pour retourner vers son tat dquilibre. Si i = 2, au contraire, le couple moteuraugmente et le cadre continue acclrer, sloignant dautant plus de sa position dquilibre.

Enfin, il faut noter quil existe une valeur maximale du couple rsistant auquel le couple moteurpeut sopposer :

maxr =MBet donc une valeur maximale pour k : kmax =MB/0. Au del, le cadre ralentit jusqu larrt.

2.C-3

Figure 3.1 Oscillateurs mcaniques

Exercice 3 Oscillateurs mcaniques

1. Les quations mcaniques sur chaque tige scrivent, en considrant les forces de rappel lastiqueet de Laplace :

mx1 = kx1 idBmx2 = kx2 + idB

Reste alors calculer le courant i en fonction des positions xi. Il suffit de considrer les champslectromoteurs Emi = vi B, et dcrire que la force lectromotrice du circuit A1A2B2B1 est :

e =

A2B2Em2 dl +

B1A1

Em1 dl= Bdx2 + Bdx1= +Ri

le signe dans la dernire relation ntant valable que parce que lon a intgr dans le sens ducontour, comme indiqu FIG. 3.1, i.e. dans le sens de i.On obtient finalement le systme dquations :

x1 +B2d2

mR(x1 x2) + km x1 = 0

x2 B2d2

mR(x1 x2) + km x2 = 0

2. On pose alors S = x1 + x2 et D = x1 x2, ces variables vrifiant les quations fermes :S + 20S = 0

D + 20D + 20D = 0

o lon a pos 0 =

k/m et = B2d2/(R

km) 0.Ces deux quations diffrentielles fermes correspondent en fait aux deux modes doscillation destiges : le mode symtrique : x1 = x2 = S/2 D = 0, oscillateur harmonique non amorti 0 ; le mode antisymtrique : x1 = x2 = D/2 S = 0, oscillateur harmonique amorti. temps long, le mode antisymtrique samortit donc, tandis que le mode symtrique subsiste :

x1 = x2 =S2

= x0 sin(0t)

3. La dissipation de lnergie ici se fait uniquement par effet Joule. Il ny a donc plus dissipationquand le courant dans le circuit est nul. Ceci correspond e = 0 et donc 5 un flux constant de B travers le circuit. On retrouve ainsi rapidement qu temps long, une fois le rgime stationnaireatteint, les deux tiges doivent se mouvoir en phase de sorte maintenir la surface intercepte par lecircuit constante.

3. Parce que lon a suppos 0. Dans le cas oppos, il faudrait sin0 0 pour que le couple soit moteur. Dans tous les cas,il faut que le cadre soit en retard par rapport au champ magntique.

4. Le cadre nest immobile que dans le rfrentiel tournant 0.5. en invoquant la loi de Faraday

2.C-4

Exercice 4 Courants de Foucault

1. (a) Le champ magntique variable B = B0 cos(t)uz induit un champ lectrique E (champ lec-tromoteur) dans le cylindre, qui lui-mme cre des courants volumiques j = E. On a ainsi :

j = At

Ce phnomne est typiquement utilis dans le chauffage par induction, ou encore dans lefreinage magntique des poids lourds ou des trains.

(b) On pose A =12

B r, avec B un champ uniforme. On a alors :

rot A =12

rot (B r) = 12

[B div r (B )r] = 12

[3B B] = B

(c) La puissance moyenne dissipe par effet Joule est donne par :

dP = j E d = E2 dPar ailleurs :

E = At

= 12Bt r = B0

2r sin(t)u

dont on dduit :

dP = B20

2

4r2 sin2(t)

dPt =B20

2

8r2

Une intgration sur le volume du cylindre donne finalement :

P = piB20

2

16hR4 KR4

Dans le cas dun chauffage par induction en cuisine, les frquences utilises sont de lordrede 20 100 kHz, et les champs magntiques de lordre de 20T. Pour une casserole encuivre dpaisseur 2 mm et de diamtre 20 cm, on obtient une puissance de chauffage P 15 400 W... ce qui est plutt faible ! pleine puissance, il faudrait prs de 15 minutespour amener un litre deau 100C. La solution rside dans le fait que le cuivre nest pasle matriau adapt au chauffage par induction : on lui prfre des matriaux de permabilitmagntique beaucoup plus grande, de sorte augmenter significativement le champ dans lacasserole, et donc la puissance de chauffage.

(d) On considre un ensemble de N fils de rayon rN , tels que la surface totale soit celle du cylindreci-dessus :

N pir2N = piR2La puissance dissipe dans N fils est alors :

PN = N Kr4N = N K(

RN

)4=PN

Il est donc plus intressant du point de vue nergtique dutiliser N fils plutt quun seul, surface totale gale, la puissance dissipe dcroissant avec N.

2. Laimant se dplaant dans le cylindre, le conducteur voit un champ magntique variable B. Cettevariation induit des courants dans le conducteurs, qui vont eux-mmes crer un champ magntiqueau niveau de laimant, imposant ainsi une force sur le diple magntique. Pour savoir si cette forceaura tendance acclrer ou ralentir laimant, on assimile le cylindre une superposition depetites spires, et on dtermine le signe de la force cre par chaque spire. Il suffit en fait de nesintresser qu une spire au-dessus et une autre en-dessous de laimant.

2.C-5

m

0zB0zB0i

0i

zz

1B 2B

(1)

(2)

Figure 4.1 Freinage par courants de Foucault

On oriente les spires tel quindiqu FIG. 4.1, et on sintresse en premier lieu la spire (1). Ledplacement de m saccompagne dune variation du flux de B travers la spire. Avec lorienta-tion choisie, cela correspond une augmentation du flux de B, et donc une force lectromotricengative. Do le sens du courant positif indiqu sur le schma.On trace sur la gauche du dessin le profil du champ magntique cr par cette spire. Au niveau dem, on a donc zB 0 et la force subie par laimant vrifie :

dF1 = (m B) = mzB uz soit dF1 uz 0La spire (1) tend donc freiner laimant.Si lon considre la spire (2), le mme type de raisonnement mne une diminution du flux de Blors du dplacement de laimant, dont on dduit le sens du courant positif dans (2) et le signe dugradient du champ magntique cr au niveau de laimant : zB 0. Les spire situes au-dessus dem tendent donc elles aussi freiner laimant.

Laimant est ainsi frein au cours de son mouvement dans le cylindre. Cette force de frottementest par ailleurs proportionnelle au champ cr par les spires, donc au courant y circulant, donc laforce lectromotrice, elle-mme proportionnelle au flux du champ magntique de laimant, donc ce champ magntique, et donc m. Le courant circulant dans la spire tant par ailleurs proportionnel , et m nen dpendant pas, on a la relation :

Rfreinage m2

On explique alors le fait exprimental que le freinage est plus important dans un cylindre de cuivreque dans un dacier, et nul dans un cylindre de plexiglas.Si lon fend maintenant le cylindre sur sa longueur, les spires de courant considres ne peuvent plusexister. On comprend alors bien quen empchant aux courants de Foucault de stablir facilement,on rduit le phnomne de freinage, sans pour autant lannihiler (des spires, la gomtrie pluscomplexe, sont encore possibles).

2.C-6

Partie 2 : Ondes lectromagntiques

Exercice 5 Pression de radiation

1. On dcrit le champ lectromagntique dans le milieu comme une onde plane de vecteur donde ket de pulsation , telle que E = E0ei(kxt)uy, o k = kr + iki est valeurs complexes, de sorte dcrire la dcroissance du champ dans le milieu ( linfini, le champ est nul). Ainsi, en notationsrelles, E = E0eki x cos(kr x t)uy.Lquation de Maxwell-Faraday permet dcrire, en notations complexes :

B = k E

Par ailleurs, la prsence de ce champ variable dans le conducteur induit des courants qui, dans lechamp magntique, subissent une force, la force de Laplace.

2. On veut calculer ici la valeur moyenne de la densit de force dans le milieu, i.e.

ft = j BtOn fera ici tout le calcul en notations complexes. Le produit tant une opration non-linaire, on nepeut pas calculer directement cette moyenne en notations complexes. On peut cependant calculersa moyenne temporelle par la formule bien connue :

j Bt = 12

3. Dans le cadre dun modle surfacique, le champ magntique est discontinu, et il apparat doncdifficile de calculer sa valeur en x = 0, i.e. linterface. Il faut donc rester dans le cadre dunmodle continu.Utilisons cependant la puissance et la simplicit du modle surfacique, pour mieux le quitter par lasuite. Dans le cadre de ce modle, le champ lectrique, tangent la surface, est en effet toujourscontinu. Il est par ailleurs nul dans le conducteur. On en dduit donc, quen x = 0 :

E(x = 0) = Ei + Er = Et = 0,

relation qui reste valable dans le modle continu !La situation est plus complique pour le champ magntique, comme voqu ci-dessus. Cependant,la relation prcdente nous permet dcrire :

Bi(x = 0) = Br(x = 0),

relation elle aussi valable dans le cadre du modle continu !Dans ce mme modle, o crire B en x = 0 a un sens, il vient alors que :

B(x = 0) = B(x = 0) = Bi(x = 0) + Br(x = 0) = 2Bi(x = 0)

La pression de radiation prend alors la forme simple :

P =1

20

(Bi + Br)2

t+02

(Ei + Er)2

t

=2B2i

t

0

Enfin, lnergie arrivant sur la paroi de surface S en dt est lnergie continue dans un cylindre daxeux, de longueur c dt et de section S , i.e.

dE = Pinc dt = S c dt

B2i20

+02

E2i

= S c

B2i0

dt

Des deux expressions ci-dessus, on dduit finalement :

P =2Pinc

S c=

2incc

o inc est le flux surfacique incident. Lapplication numrique pour un faisceau de 10W cm2donne une pression de 0, 67 mPa.

4. Si lon considre londe comme une assemble de photons, et que lon note le flux incident dephotons, on a la relation :

Pinc = ~La force subie par le mtal scrit alors simplement F =

2~c

ux = 2~k.

Si lon considre par ailleurs les photons comme des particules dimpulsion p = pux se rfl-chissant sur la paroi, le bilan dimpulsion de la paroi, entre t et t + dt scrit :

pparoi = dt [(+p) (p)] = F dtdo lon tire F = 2p. On retrouve alors le rsultat bien connu : limpulsion dun photon estp = ~k.

5. (a) On choisit lorigine des abscisses au niveau du premier miroir (x = 0), le second tant alorsen x = L, et on crit le terme de phase des champs sous la forme ei(kxt). On a alors lesrelations :

En x = 0 : E+ = tE0 + rE

En x = L : EeikL = rE+eikL

EteikL = tE+eikL

2.C-8

50=F

Figure 5.1 Fonction de transmission normalise dun interfromtre de Fabry-Prot de finesse F = 50,en fonction de = 2kL

La deuxime quation peut aussi scrire E = rE+eik(2L) : londe a mme phase et am-plitude que londe + aprs rflexion (facteur r) et aprs propagation sur 2L, correspondant laller-retour entre les deux miroirs (terme e2ikL).On en dduit finalement la relation :

E+ =t

1 r2ei E0

o lon a pos = 2kL.On montre alors sans problmes que :

G =E+E0

2 = T(1 R)2 11 + 4R(1R)2 sin2 2o R = r2 et T = t2. On reprsente G() FIG. 5.1 pour une finesse de 50. On note la largeur mi-hauteur dune rsonance, et la distance entre deux rsonances. La finesse est alorsdonne par :

F =

=2pi

Par ailleurs, au voisinage de = 0, sin2

2

(

2

)2. Ainsi, en = /2 :

G(

2

)=

Gmax2

=Gmax

1 + 4R(1R)2(4

)2dont on dduit = 2

1 RR

qui est bien trs petit devant 1 pour les interfromtres dintrt.

Finalement,

F = pi

R1 R

G peut alors tre rcrit comme :

G =T

(1 R)21

1 +(

2Fpi

)2sin2 2

2.C-9

Remarque : Les interfromtres optiques de comptition peuvent atteindre des finesses delordre de F 106. Le record toutes gammes de frquence confondues est cependant deF 5 109 !, obtenu avec une cavit microonde supraconductrice oprant moins d1 K.

(b) En se plaant au voisinage dune rsonance de linterfromtre, la variation minimale dtec-table L de la longueur de la cavit correspond une variation de phase de lordre de :

= 2kL =

F do : L =pi

kFque lon peut rcrire :

L/2

=1F

On dfinit par ailleurs le facteur de qualit Q comme le rapport

, o est la variation de

frquence correspondant , i.e. la variation minimale de frquence dtectable avec un telinterfromtre L fix :

= 2L2pi

c= 2L

2pic

1Q

partir des expressions prcdemment obtenues, on trouve finalement :

Q =LL

Par ailleurs, on trouve aussi Q = (2L/c) F . En remarquant alors que (c/2L) est lintervalle de frquence correspondant , i.e. la gamme de frquence entre deux rsonances delinterfromtre, appele intervalle spectral libre, et note ISL, on retrouve la formule :

Q = F ISL

= pF

o p est lordre dinterfrence :

p =

ISL=

L/2

Enfin, les rsonances du Fabry-Prot sont obtenues pour gal un nombre entier dISL, ouencore L un nombre entier de demies longueur donde, soit pour p N.Pour rsoudre une raie atomique de quelques MHz de large, avec un laser de quelques cen-taines de nanomtre de longueur donde, il faut un interfromtre de facteur de qualit Q 108. Typiquement, un Fabry-Prot a pour longueur 5 cm, do un ordre dinterfrence p 2 105. Il faut donc, pour rsoudre une telle raie atomique, une finesse F 5 102.

(c) Le principe fondamental de la dynamique scrit simplement, en notant x lcart algbriquedu ressort sa position dquilibre, compt positivement pour un allongement de la longueurde la cavit :

F x = 0 avec x = L

On a alors :

2~k = L

L =2~k

= (h) 2c

= I = G

T L

2F k

L L

On en dduit donc : L = L0 + GI0 et les relations : L L0 + GI0 PS x : la pression de radiation domine ; L L0 + GI0 PS x : la tension du ressort domine.

2.C-10

GL

(2) (1)

(3)

0L

bas interm. haut

Figure 5.2 Trac de G en fonction de la longueur L de la cavit. Les droites correspondent diffrentesvaleurs du flux incident.

(d) On a donc deux relations liant G et L :

G =Gmax

1 +(

2Fpi

)2sin2(kL)

=L L0I0

o L0 correspond un minimum de G : kL0 = pi/2 par exemple.On trace FIG. 5.2 ces deux fonctions, pour diffrentes valeurs du flux incident. Les points defonctionnement du systme correspondent alors aux points dintersection des deux courbes.On voit apparatre deux valeurs particulires du flux, et + : Si , alors il ny a quun seul point de fonctionnement correspondant une valeur

faible de G, et L L0. Si +, alors il y a trois points de fonctionnement diffrents. Si + enfin, alors il ny a plus quun seul 6 point de fonctionnement, correspondant

une nouvelle fois une valeur faible de G.On trace FIG. 5.3 la valeur de G en ces points en fonction de . On distingue alors trois tatsdiffrents de linterfromtre : Un tat bas, accessible pour + seulement, et atteint par exemple en augmentant

progressivement le flux incident partir dune valeur nulle. Un tat haut, accessible pour seulement, et atteint par exemple en diminuant

progressivement le flux incident partir dune valeur leve (> +). Un tat intermdiaire enfin, a priori accessible pour + seulement.tudions la stabilit de ces trois tats possibles. Supposons qu partir dune position dqui-libre, le flux incident augmente soudainement, i.e. sans modification de L. On se retrouvealors dans la situation o L L0 + GI0, et la pression de radiation a un effet plus importantque le ressort, ce qui tend faire augmenter L. Or : pour les tats haut et bas, si le flux incident augmente, alors la longueur de linterfromtre

lquilibre Leq augmente aussi ; pour ltat dit intermdiaire, en revanche, une augmentation du flux incident induit une

diminution de la longueur dquilibre.Ainsi, dans ltat intermdiaire, la pression de radiation tend faire sloigner linterfromtrede sa position dquilibre (L augmente alors que Leq diminue), alors quelle len rapprochedans les deux autres tats. Seuls les tats haut et bas sont donc stables.

6. En oubliant les pics de rsonances plus lointains.

2.C-11

( )G

tat bas

tat haut

Figure 5.3 Trac de G() (chelle logarithmique). Les trois courbes correspondent trois modes diff-rents de fonctionnement de linterfromtre. Ltat dit intermdiaire est cependant instable.

Le systme prsente donc ce que lon appelle une bistabilit : une valeur de donne peutcorrespondre deux rponses diffrentes (G) de linterfromtre. Un tel systme peut alors treutilis comme bit dinformation (0 pour ltat bas, 1 pour ltat haut par exemple) et doncconstituer un lment dune mmoire optique.

Exercice 6 Polarisation et photon

1. En notations relles :

E(r, t) = E0[cos(kz t)ux sin(kz t)uy

]Ainsi, E2x + E

2y = cte = E

20 : la polarisation est circulaire.

Par ailleurs, si un instant t0 et une position z0 donnes, Ex = E0 et Ey = 0, i.e. kz0 t0 = 0, un instant t1 = t0 + dt, kz0 t1 0 do 0 Ex, Ey. Avec laxe Oz pointant vers lobservateur,londe tourne donc dans le sens direct : londe est circulaire gauche.De manire quivalente, E(r, t) = E0

[cos(kz t)ux + cos

(kz

(t pi2

))uy

], do lon dduit

que Ey est en retard sur Ex. On retrouve alors le fait que londe est circulaire gauche.

2. On suppose maintenant que londe interagit avec un lectron en prsence dune force de rappel etdune force de frottements visqueux. Le principe fondamental de la dynamique scrit alors :

mr = m20r 1

mr eE

En rgime forc, r = ir et on obtient finalement :

r =e

20 2 i1mE

o = 1. La mobilit dfinie par v = E est alors :

=i

20 2 iem

2.C-12

3. La puissance cde par londe latome est celle de la force de Lorentz :

P = v (eE)Les notations complexes nous permettent de calculer facilement la valeur moyenne de cette gran-deur :

P = 12< (v E) (e) = e

2