TD Chap.2 : Cinématique du solide

Exercice 1 Soit R0 (O, e

r1 , e

r2 , e

r3) un repère orthonormé direct lié à l'espace de référence absolu R0.

On désigne par Ri (O, x i , y i , z i) un repère orthonormé lié au solide Si en mouvement par rapport à R0. S1 est une barre O1L1 de longueur 2L dont l'extrémité O1 coïncide constamment avec O; elle

se déplace dans le plan (O, x 0 , y 0) et on le repère par le paramètre ΨΨΨΨ = (O, x 0 , x 1), mesuré

autour de z 0 ; 11LO = 2L x 1 (avec z 0 = z 1).

S2 est une plaque carrée, de côté 2a, qui peut glisser et tourner autour de (O1, x 1 ).

22 BA = 2a x 2 ; G2 étant le centre de la plaque et O2 est le milieu de A2B2,

on pose 22GO = a y 2. On repère S2 par les paramètres : 21OO : λλλλ. x 1 ; ( z 1, z 2) = θθθθ mesuré

autour de x 1. 1) Calculer vectoriellement la vitesse relative et la vitesse d'entrainement de G2 (repère relatif R1 absolu R0). En déduire les composantes dans R1 de la vitesse absolue de G2. 2) Calculer les composantes de l'accélération absolue de G2 en projection dans R1 a) par la méthode de dérivation vectorielle composée, b) en appliquant le théorème de composition des accélérations.

Exercice 2 On considère une barre AB rectiligne de longueur 2L, dont l’extrémité A est en mouvement sur l’axe Ox3 d’un référentiel fixe R0(O, e

r1 , e

r2 , e

r3). L’extrémité B est mobile dans le plan

(O, x1x2). Pour étudier le mouvement de la barre on se propose d’introduire deux référentiels mobiles par rapport à R0 : R1(O, u

r , vr

, er

3) où vr

est un vecteur unitaire parallèle au plan (O, x1x2). R2 (G, u

r , w

r , u

r3) lié au solide S tel que : u

r ∧ w

r = u

r3, G est le centre d’inertie de la barre

AB.

vr

θ

θ

Ψ

O y0

x0

z0

A compléter

1. Déterminer la position du Point G au moyen des angles d’Euler. 2. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point A. 3. Déterminer la vitesse absolue au point G de 3 façons différentes.

Exercice 3 Une sphère S de centre G et de rayon R est en mouvement par rapport au référentiel fixe R0(0, e

r1 , e

r2 , e

r3). La sphère roule sans glisser sur le plan horizontal π(O, e

r1 , e

r2) de telle

sorte que le point O1 lié à S et situé à une distance égale à R du plan π, reste fixe

« 31 eROO = .

1. Représenter graphiquement l’état du mouvement à un instant t, en définissant le repère orthonormé d’origine O1 lié à la sphère par ses angles d’Euler

2. déduire la résultante du torseur cinématique. 3. Exprimer la condition de roulement sans glissement.

Exercice 4 Soit le référentiel R0 auquel est attaché le repère direct R0 (O, 0x

r, 0yr

, 0zr

) orthonormé

direct, vis-à-vis duquel le repère R1 (O, 1xr

, 1yr

, 0zr

) est mobile. Les vecteurs 1xr

, 1yr

restent

dans le plan (O, 0xr

, 0yr

) tels que : ( 0xr

, 1xr

) = θθθθ(t), OI = λλλλ.

Un cercle C de centre G et de rayon R se déplace dans le plan (O,1xr

, 1yr

) en restant constamment en contact avec (O,1x

r). Le vecteur unitaire u

r lié au cercle C est tel que :

( 1xr

,ur

) = ϕϕϕϕ(t).

Les paramètres de position du cercle sont données à travers les coordonnées du point G « qui est le centre d’inertie du cercle »

O1

O

G

H ur

vr

wr

ur

ur

θ G

θ

Ψ

Ψ B

A

O x2

x1

x3

1. Donner la position du centre d’inertie du cercle dans le repère R1.

2. Déterminer par leurs composantes dans le repère R1 :

• les éléments de réduction au point G du torseur cinématique VVVVC/R1 associé au mouvement du cercle par rapport à R1.

• les éléments de réduction au point G du torseur cinématique VVVVC/R0 associé au mouvement du cercle par rapport à R0.

3. Déterminer dans R1 les composantes des vecteurs Vr

C/R1(P) et V

r

C/R0(P)

I

G

P

θθθθ

ϕϕϕϕ

1yr

0xr

1xr

0yr

ur

O