Mecanique du solide cours

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  • 1. SOMMAIRE CHAPITRE I - COURS1.1DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS 1 1.1.1 Vecteur libre,1 1.1.2 Vecteur glissant 1 1.1.3 Vecteur li1 1.1.4 Remarque 21.2DEFINITION DUN GLISSEUR 21.3MOMENT DUN GLISSEUR EN UN POINT 3 1.3.1 Dfinition 3 1.3.2 Remarques3 1.3.3 Thorme 3 1.3.4 Remarques4 1.3.5 Coordonnes du moment dun glisseur4 1.3.6Changement dorigine des moments5 1.3.7Coordonnes dun glisseur : thorme5 1.3.8 Remarques6 1.3.9 Exercice 71.4MOMENT DUN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE8 1.4.1 Dfinition 8 1.4.2 Thorme 8 1.4.3 Exercice 81.5TORSEURS (OU DYNAMES)9 1.5.1 Dfinition 9 1.5.2 Dfinition concernant les torseurs 10 a) somme b) moment en 0 c) quivalence de deux torseurs d) torseur nul e) remarque f) exercice [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

2. 1.5.3 Formule de changement de lorigine des moments 111.5.4 Condition ncessaire et suffisante de lquivalence dedeux torseurs111.5.5 Coordonnes dun torseur121.5.6 Invariant scalaire dun torseur - Automoment 121.5.7 Comoment de deux torseurs12a) dfinitionb) le comoment est un invariant1.5.8 Moment par rapport un axe14a) dfinitionb) thormec) exercice1.5.9 Torseurs spciauxJ4a) dfinitionb) thormec) coupled) remarque1.5.10Systme de vecteurs glissants particulier16a) systme de vecteurs glissants concourantsb) systme de vecteurs glissants parallles1.5.11Axe central dun torseur - Rpartition 18 a) thorme prliminaire b) axe central : thorme et dfinition c) exercices dapplication d) rpartition des moments autour de laxe central1.5.12 Champ de moments24a) dfinitionb) quiprojectivit du champ de moments : thorme de DELASSUS25 [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 3. La thorie des torseurs a acquis une grandeimportance enmcanique par la grande clart quelle procure dans des problmes clas- siques. Elle permet de modliser de manire remarquable aussi bien les actions mcaniquesappliques un systme que ltat des vitesses dun solide ( ) Historiquement cette thorie est ne de cette profonde*. analogie(thorie de la vis de Bail). Elle donne uneexpression trs concise des thormes gnraux caractre vectoriel en dynamique. Par ailleurs la mcanique analytique nchappe pas au domaine de ses appli- cations : la puissance virtuelle dveloppe par les actions appliques un solide sexprime systmatiquement en connaissant le torseur des actions mcaniques et celui des vitesses virtuelles.Cette importance justifie ltude systmatique qui est faite en prambule au cours de mcanique gnrale. (*)La couverture reprsente la formulation du torseur arodynamiqueet du torseur des vitesses pour un vhicule automobile. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 4. -1 - I.IDIFFERENTS TYPES DE VECTEURS - ASPECT PHYSIQUESuivant la nature des grandeurs physiques qui peuvent trereprsentes par des vecteurs, ceux-ci peuvent tre divises en troiscatgories :- vecteurs libres- vecteurs glissants- vecteurs lis 1.1.1Vecteur libre : Supposons qu une grandeur physique puisse tre reprsente par un vecteur li; mais que tout vecteur li quipollent reprsente la mme grandeur. On dit / . alors que cette grandeur est reprsentable mathmati- quement par un vecteur libre. Exemple : en mcanique nous verrons quun systme de / r force de somme nulle, encore appel couple> est un vecteur libre. Remarque : on dit que les vecteurs ne sont pas loca-Fig 1.1 lises.1.1.2 Vecteurs glissants :Supposons quune grandeur physique puisse se reprsenter par unvecteur li* mais quen outre tout vecteur li ayant mme support repr-sente la mme grandeur. On dit que cette grandeur est reprsentable math-matiquement par un vecteur glissant.Exemple : En mcanique du solide indformable, les forces sont mathmati-quement des vecteurs glissants. Sur la Fig 2, lquilibre du cadre est lemme que la force F soit applique en A ou en B condition de supposerle cadre rigide.Remarque : on dit encore que chacun des vecteurs considr reprsentatifde cette grandeur est localis sur une droite.1.1.3. Vecteurs liesSupposons quune grandeur soit reprsentable mathmatiquementpar un vecteur li mais que tout autre vecteur li reprsente une grandeurdiffrente. On dit que cette grandeur physique est reprsentable mathma-tiquement par un vecteur li. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 5. -2~ Exemple: forces appliques un solide dformble. Suivant que le point dapplication se trouve en A ou en B, la dformation du cadre est diff- rente. Fig 1.31.1.4 Remarquea/ le nombre de paramtres ncessaires la reprsentation de cestrois types de vecteurs est diffrent. La description : -dun vecteur li ncessite 6 scalaires - dun vecteur glissant"5 scalaires ff - dun vecteur libre3 scalaires b/ en gnral, il est convenu de noter - un vecteur li :[ABj - un vecteur glissant : (AB) - un vecteur libre :AB1.2DEFINITION DUN GLISSEURSoit [AB] un vecteur li. Sur la droite (D) support de [AB] onpeut dfinir un ensemble de vecteurs lis quipollents [B]. (Voir Fig 4).Cest ce quon appelle un glissew? [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 6. 3- Si [BJ est un reprsentant dun glisseur, on dsigne le vecteur glissant par ( E . On pourra ainsi dire que ce vecteur glissant est constitu par5) lassociation dune droite (D) et dun vecteur libre v = B- On peut noter (B) - { yff ->. OA = OA + XU(1.13) Le point A est unique. Tous les points rpondant la question sont sur une parallle mene par A* U. Cest laxe du glisseur (le produit vectoriel U A OG dtermine un vecteur et un seul).1.3.8 Remarques a/ Remarque 1 A un glisseur on peut faire correspondre deux vecteurs U et [pQf . Rciproquement deux vecteurs U et [OG] on peut faire correspondre un glis- seur et un seul. Cest pourquoi on peut vraiment parler de coordonnes dun glisseur. b/ Remarque 2Si lon avait dfini le moment dun vecteur li on aurait pu luiassocier deux vecteurs j et [GJ Mais rciproquement deux vecteurs U et [G] tels que U.G 0 on peut faire correspondre une infinit de vecteurs lis qui seraient tous quipollents et de mme support. Autrement dit, on naurait pas pu avoir une correspondance biuni- voque. c/ Remarque S On peut parfaitement caractriser une droite (D) quand on connait un vecteur glissant port par cette droite. Par consquent les coordonnes pluckriennes de la droite (D) dans un repre orthonorm sont les composantes scalaires dun glisseur quelconque ayant (D) pour support. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 10. - 7-1.3*9 Remarque 2 : On peut parfaitement caractriser une droite (D) quand on connait un vecteur glissant port par cette droite. Par consquent les coordonnes pluckviennes de la droite (D) dans un repre orthonorm sont les composantes scalaires dfun glisseur quelconque ayant (D) pour support. Soit un repre orthonorm R dorigine 0.+[] 2il Soit un glisseur (V) 3 dont un reprsentant a pour origine A 0 . Considrons aussi O f fIUp1 *LQU RLiJR1/ Calculer son moment au point 0 _^ + pi M f" (0) VL - OA A V = 0 * 3 - -1WR LJE bJR 2/ Calculer son moment au point Opar la dfinition M, ,.( - -* * OA A V- F011!1 *F31 - 2 = f2-2" Lo-il R jJ R NR 3/ Retrouver le moment en O y en utilisant la formule du changement dforigine= + V)"(o) * f" olF-il fi"= -1+-1 A 3L3jR L-iJR LdR F 1 F 21 F 2 " [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.v> -v :! " 1 11. -8-1.4MOMENT DUN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE1.4.1Dfinition : Soient (AB) un glisseur ayant pourreprsentant le vecteur.glissant ($),et un axe (X) de vecteur unitaire (a) Soit 0 un point de laxe (X) . On appelle moment dun glisseur parrapport un axe la projection sur cetaxe du moment par rapport un point delfaxe.M, (A3) =(A A B).a (1.14) 7(X) 1.4.2 Thorme :Le moment par rapport un axe est indpendant du point choisisur oet axe. Soit O 1 un autre point de laxe ( ) X. Calculons la quantit (TA A B).a (1.15) - [ ( + OA) A B] .a(O CT ( )0 A B) .a -H (OA A B) .a Or(OO A AB).a 0 (produit mixte de deux vecteurs colinaires) ( 7 A B).a! = (OA A B) .a - M/ x ( 5 3)(1.16) 1.4.3.Exercice : Reprenons lexercice trait au paragraphe 1.3.10 et calculons1/ le moment par rapport OX M. (V) =(OA A V) .x 6x H.*=M ()x 0roi fii"-.i . o NR W, [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 12. -9-Rsultat vident puisque V coupe laxe OX. 2/ le moment par rapport OY =5 ? V^ r*oi [o = - 1 . 1 = -iNRWR 3/ le moment par rapport QZ = s o) V^ r^[2= -2 . 1//3 = -.2j R [l//3J ^1.5TORSEURS ; (OU DYNAME)1.5.1Dfinition :On appelle torseur ou dynome, un ensemble de vecteurs glissantsen nombre quelconque. On le notera par exemple([T] = {(^B!) , (Ttp ^?n)} d-17) [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 13. -.10-1,5.2 Dfinitions concernant les torseurs : a) on appelle somme du torseur le vecteur libre somme des vecteurs libres des diffrents vecteurs glissants 3= l Bi: 0-18> i-1 3 - Ui + . .. + 5. + . . + t1 i .n b) on appelle moment en 0 du systme [T] le vecteur li dorigine 0 somme des moments en 0 des divers glisseurs de (T) *v 0 -() O^i A A75T (1.19) i=l - ^o) * %o)+ " %(o)+ + OIT A A.B!)..f;. 11 i i i M(0f)-M(0) -H ^O A S (S =l A.B!) (1.20) i=l1.5.4 Conditions ncessaireet suffisante de lfquivalence de deux torseurs a) condition ncessaire (analyse)Soient deux torseurs [ ] et [r1] quivalents. On a donc par hypothseT S P - Sf(P)() pour (P) M(P) = S 0 + P > > < a p a p> }La Vsomme (S) de ce torseur est par dfinition^ n ^p^S - A.B. + l a. g. --S x + S2 i-.l > * j=j J JLe moment M(0) est par dfinition^n ^^ p ^M(0) - OA. A A.B. + Oa. A o-g.X L1-1 j-1 JJ J- Mi(0) H- Mz(0) : Le torseur somme a pour somme la somme des sommes des torseursconstitutifs et pour moment en un point la somme des momentsdes torseurs constitutifs.^ 2l2-.-i2-.i2YEBL1automoment du torseur [ ] = [ l + [iz] est un invariant T i]U 0 -;($! + t2) pi(0) +S2(0)J ( )=SiM!(0) - ?2Mi(0) + "S^CO) + ^ (0) 2- - ^ 0 $ ( ) + "2fi2(0) + .C12S.M(O) est invariant (automoment de [ T ) YSiMi(O)(-" [i )T]?2S2(0) ( " " [2 )1]Ci2 diffrence de deux quantits invariantes est invariant.c) Remarque. Comoment dun torseur avec lui-mme. Le comoment estCH -