Fascicule_TP Meca Solide

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Sites expérimentaux : machine de traction, polariscope, analyse d’image et camera CCD Fascicule TP préparé par : MAALEJ Yamen CHEVALIER Luc Année Universitaire 2005-2006 1 ère année Travaux pratique de Mécanique des solides déformables Filière Génie Mécanique

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▲ Sites expérimentaux : machine de traction, polariscope, analyse d’image et camera CCD

Fascicule TP préparé par : MAALEJ Yamen CHEVALIER Luc

Année Universitaire 2005-2006

1ère année

Travaux pratique de Mécanique des solides

déformables

Filière Génie Mécanique

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TP Mécanique des solides déformables 2

Sommaire Avant propos Préliminaire Rappels généraux de la mécanique des milieux continus……………………………..………...………………...4 Plaque Trouée : Travail préliminaire aux TP 1, 2 et 3……………………………..……………...………………...8 Textes TP TP 1 : Plaque Trouée : Mesure de champs de Contraintes par photoélasticité et confrontation essai-calcul par éléments finis………………….…………..……………….10 TP 2 : Extensomètre………………………………………………………………………...…………..…..……..……………...…13 TP 3 : Mesure de champs de déplacement par analyse d'images …...……………………..………………...16 TP 4 : Système de mesure basé sur la déformation : Balance à capteur déformable ……………...19 Annexes Annexe A : Mesure par photo-élasticité Annexe B : Coefficient de concentration des contraintes Annexe C : Jauges de déformations Annexe D : Dépouillement des rosettes

Annexe E : Corrélation d’image (à consulter sur la plateforme TP) Annexe F : Liaisons élastiques : calculs et applications

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TP Mécanique des solides déformables 3

Avant propos

La formation en mécanique au sein de l’école Ingénieurs 2000 de l’Université de Marne la Vallée est résolument tournée vers les applications. En mécanique des solides déformables, qui est une discipline théorique considérée comme difficile par les étudiants, les travaux pratiques sont bâtis autour d’applications concrètes et s’attachent autant à illustrer par des mesures expérimentales, les concepts théoriques présentés en cours et TD. Pour comparer les avantages et inconvénients des différentes méthodes expérimentales et chiffrer leur précision, on propose pour trois des quatre sujets de travaux pratiques de se focaliser sur le cas de la plaque trouée sollicitée en traction qui présente le double avantage de faire apparaître des contraintes et des déformations non homogènes (ce qui rend le problème non trivial) et d'avoir une solution analytique dans le cas où le trou est petit devant la largeur de la plaque. Ce cas d’école, très classique, trouve néanmoins beaucoup d’applications concrètes pour l’étude des assemblages boulonnés ou rivetés, l’allègement des pièces de structure par ajourage, l’arrêt des fissures etc… Le quatrième TP concerne une application industrielle utilisant des liaisons élastiques. Un travail de préparation à réaliser avant le démarrage des TP est commun aux trois TP de la plaque trouée : les diverses questions permettrons de comparer les résultats « attendus » aux résultats effectivement mesurés. Il est clair que sans préparation, aucun résultat n’étant « attendu » il est très difficile de se faire une idée sur la pertinence des mesures faites. En ce qui concerne le 4ème TP, une documentation annexe est proposée et il est vivement recommandé de s’imprégner de son contenu avant le TP. Le travail demandé lors des TP est assez dense et la mise en route doit être rapide, il convient donc de ne pas négliger le travail préparatoire.

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TP Mécanique des solides déformables 4

Rappels généraux de la mécanique des milieux continus

1. Un aperçu du comportement des matériaux : Si on fait une expérience de traction sur un matériau (l’acier par exemple), on constate que, tant que les efforts de traction ne dépassent pas une certaine limite, la relation contraintes-déformation reste linéaire. Cependant au-delà du seuil, on constate que la linéarité et la mémoire de la configuration initiale sont perdues : le matériau a une loi de comportement différente. La courbe de la figure 1 montre l’allure du comportement d’un acier dans un essai de traction sur une éprouvette, dans un plan déformation-contrainte. On y constate clairement deux phases de comportements :

- Tant qu’on reste en dessous du point de limite élastique, le comportement reste élastique, c'est-à-dire que la courbe de décharge est confondue avec la courbe de charge. Quand le chargement redevient nul, l’éprouvette retrouve donc sa forme initiale.

- Par contre, si le chargement dépasse la limite élastique, et si on décharge ensuite l’éprouvette, on constate qu’on revient à un autre état : le matériau a perdu la mémoire de son état initial et se comporte comme si l’état initial était changé.

Figure 1 : Courbe contrainte-déformation dans un essai de traction

Dans les TP proposés on s’intéresse plus particulièrement à la phase élastique initiale du comportement.

Re ou σe

Pente E

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TP Mécanique des solides déformables 5

2. Equations générales de l’élasticité :

• Loi de comportement : On rappelle que la loi de comportement élastique linéaire, dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations HPP (petits déplacements et petites déformations), et en évolution isotherme est :

1σσε1εεσ TrEE

TrE νν

νν

ν−+=⇔

−+

+= 1

211

où E est le module d’Young, c’est le coefficient de proportionnalité entre la contrainte normale dans la direction de traction et l’allongement relatif dans cette même direction. ν est le coefficient de Poisson qui traduit le rapport entre l’allongement relatif transversal et l’allongement relatif longitudinal en traction. Si on veut prendre en compte les effets dûs à la dilatation thermique, on ajoute la déformation thermique isotrope ( )10TT −α due à la variation ( )0TT − de température aux déformations

dues aux contraintes. La loi de comportement devient :

( ) ( )11 1σσε1εεσ 00

1

21211TTTr

EETT

ETr

E −+−+=⇔−−

−+

+= αννα

ννν

ν où α est le coefficient de dilatation linéaire.

• Détermination de E et νννν :

Dans un essai de traction, S

F=σ où F est l’effort de traction (indiqué par une cellule d’effort

sur la machine) et S est la section de l’éprouvette. On connaît donc facilement la contrainte σ. Les allongements relatifs sont mesurés avec des extensomètres placés dans les bonnes directions. On peut donc tracer la courbe des contraintes σ en fonction de l’allongement relatif ε dans la direction de traction. On obtient une droite de pente E (tant qu’on reste dans le domaine élastique). La pente de la courbe de l’allongement relatif dans la direction orthogonale à celle de traction, en fonction de l’allongement relatif dans la direction de traction donne le coefficient de Poisson.

3. Principe fondamental de la mécanique : En statique des solides élastiques, on ne s’intéresse pas au mouvement que prend le solide pendant l’application du chargement pour atteindre la position d’équilibre final. Dans l’équilibre final, l’équation de mouvement devient l’ équation d’équilibre :

0=+ fσdiv

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TP Mécanique des solides déformables 6

où f est le champ de forces volumiques extérieures s’exerçant sur l’état final et où σσσσ est le tenseur des contraintes à l’état final. En utilisant la loi de comportement, puis la définition de εεεε en fonction du déplacement u, l’équation d’équilibre devient l’équation de Navier. Après calcul on trouve :

( ) ( )( ) 0211212

=+−+

++

fugradu∆ divEE

ννν

4. Représentation du tenseur des contraintes (tricercle de Mohr) :

Il s’agit de la représentation graphique la plus simple d’un état de déformation (ou de contrainte). Soit σσσσ un tenseur symétrique, n une direction unitaire et T = σσσσ.n la contrainte sur une facette de direction n. Soit Tn = n.σσσσ.n la contrainte normale dans la direction n :

( ) ( ) ( )233

222

211 nnnTn σσσ ++=

Soit Tt = σσσσ.n - Tn.n la contrainte tangentielle dans la direction n. On a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )223

23

22

22

21

21

222

nn TnnnT −++=−= σσσTTt

Figure 2 : Contrainte normale et tangentielle sur une facette

Supposons qu’on se donne un tenseur des contraintes σσσσ, une contrainte normale Tn et une norme de contrainte tangentielle ║Tt║. On se propose de chercher les directions n pour lesquelles ces contraintes sont possibles. Les trois nombres {n1, n2, n3} doivent être solution des 3 équations : ( ) ( ) ( ) 12

32

22

1 =++ nnn

( ) ( ) ( )233

222

211 nnnTn σσσ ++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23

23

22

22

21

21

22nnnTn σσσ ++=+tT

dont la solution est :

( ) ( )( )( )( )3121

3221 σσσσ

σσ−−

−−+= nn TT

n tT

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TP Mécanique des solides déformables 7

( ) ( )( )( )( )1232

1322 σσσσ

σσ−−

−−+= nn TT

n tT

( ) ( )( )( )( )2313

2123 σσσσ

σσ−−

−−+= nn TT

n tT

En supposant que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , une telle solution n’est possible que si

( )( ) 032 ≥−−+ σσ nn TTtT

( )( ) 013 ≤−−+ σσ nn TTtT

( )( ) 021 ≥−−+ σσ nn TTtT

Ces inégalités s’interprètent géométriquement dans le demi-plan (Tn, Tt ≥ 0) : Le point (Tn, Tt) doit se trouver dans la zone délimitée par les trois cercles de la figure 3. On voit que pour un tenseur des contraintes en un point σσσσ donné (c'est-à-dire {σ1, σ2, σ3} donnés), pour toutes les directions n autour de ce point, la contrainte normale Tn et la contrainte tangentielle Tt ne peut être quelconque : le point (Tn, Tt) doit se trouver dans le tricercle de Mohr.

Figure 3 : Tricercle de Mohr

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TP Mécanique des solides déformables 8

PLAQUE TROUEE : TRAVAIL PRELIMINAIRE AUX TP 1, 2 ET 3 Objectif : Préparer l’analyse et l’exploitation des résultats des TP de Mécanique des solides déformables dont le support est la plaque trouée. Une plaque de largeur 2b, percée d'un trou circulaire de rayon « a » (voir figure 4) est soumise à un état de tension de densité surfacique uniforme σ suivant l’axe X. La plaque est en état de contraintes planes. Le rayon du trou est supposé petit devant les dimensions de la plaque. On peut donc négliger l'influence du trou sur l’état des contraintes dès que le point courant M se trouve à une distance « r > R » où « R » est une limite grande devant le rayon « a » du trou. La matrice des contraintes est de la forme :

σ =

( )Zee

r

rrr

r ,,000

0

0

θ

θθθ

θ

σσσσ

σ

σ

x2

er

x1

θ

Μ

X

Y

R

Figure 4 : Schématisation du problème de la plaque trouée en traction simple

On superpose à l’état de contrainte de traction loin du trou, un champ complémentaire qui assure les conditions limites de bord libre sur le rayon « a » et on détermine (par une méthode détaillée dans beaucoup d’ouvrages de mécanique et notamment dans « mécanique des systèmes et des milieux déformables » par Luc Chevalier aux éditions Ellipses), les expressions des trois composantes adimensionnées. C’est-à-dire :

M

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TP Mécanique des solides déformables 9

−+−=

=

++

+−=

−+

+−=

θρρσ

σ

ρρ

θρσ

σ

ρθ

ρρσσ

θ

θθ

2sin32

12

1

: avec 1

12cos3

121

112cos

341

2

1

42

24

242

r

rr

a

r

Compte tenu des symétries on ne représentera les composantes de la matrice des contraintes que dans le quart de la pièce et jusqu’à un rayon R. On demande : 1.1 Tracer l’allure des trois composantes σrr, σθθ et σrθ sur le domaine défini sur la figure.

Commenter l’allure de σθθ le long du bord libre. En déduire comment se déforme le trou circulaire.

1.2 Exprimer les contraintes σxx, σxy et σyy dans la base cartésienne X,Y en fonction des

contraintes σrr, σθθ et σrθ Tracer ces composantes sur le même domaine que précédemment.

1.3 Quel est l’état de contrainte sur chacun des deux axes de symétrie de la plaque ?

Tracer l’allure de σxx ainsi que l’allure de σyy le long des axes de symétrie OX et OY. 1.4 On définit le coefficient de concentration de contrainte par KT = σMAX /σ, où σMAX est

la plus grande valeur de σθθ sur le bord du trou. Que vaut le coefficient de concentration de contrainte KT ?

1.5 Déterminer les contraintes principales et tracer les contraintes équivalentes de Tresca

sur le domaine étudié. 1.6 L’orientation des directions principales par rapport aux directions X et Y sont

obtenues par la relation classique :

yyxx

xy

σσσϕ −= 22tan

On appelle θ l’angle que fait la 1ère direction principale par rapport à l’axe X. On définit une isocline comme une ligne suivant laquelle θ est constant. Tracer les isoclines du problème de la plaque trouée sur le domaine étudié.

1.7 Calculer la contrainte de Von Mises en chaque point du domaine étudié. En comparant

la contrainte de Von Mises avec celle correspondant à une traction simple, déterminer à partir de quel rayon R l’influence du trou est inférieur à 10% de l’état de contrainte σ. Quelles doivent être les longueur (2L) et largeur (2b) minimales de la plaque pour vérifier cette condition ? On commentera les proportions des plaques proposées dans les méthodes expérimentales.

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TP Mécanique des solides déformables 10

TP 1 PLAQUE TROUEE : MESURE DE CHAMPS DE CONTRAINTES PAR

PHOTOELASTICITE ET CONFRONTATION ESSAI -CALCUL PAR ELEMENTS FINIS

Figure 5 : Plaque trouée, visualisation des isochromes par biréfringence

Objectif : Analyser le champs des contraintes par observation des phénomènes optiques (Annexe A Mesure par photo-élasticité) et confronter ces résultats à ceux obtenus par une démarche de calcul. En préalable de cette activité, relever la géométrie de la plaque trouée en élastomère étudiée sur le site de photoélasticité.

Partie 1. Analyse expérimentale par photoélasticité 1. Vérifier l’extinction de la lumière par rotation d’un filtre polarisateur face à un même

filtre fixe. Dans quelle configuration se trouve le groupe polarisateur et analyseur ? 2. Solliciter la plaque trouée en contrainte unidirectionnelle (ne pas trop charger la plaque)

a. Quelles lignes apparaissent obscures quelle que soit l’intensité de la traction ? b. Que se passe t’il lorsque l’analyseur et le polarisateur croisés ont tourné d’un même

angle α = π/2 par rapport à l’axe yr

de sollicitation ? c. Tracer les isoclines à 0°, 15°, 45°, 60°, 75° par projection sur papier calque, que

représentent-elles ? comparer aux résultats de la partie analytique et commenter. d. Charger la plaque trouée de telle sorte qu’apparaissent des franges d’ordre 4 sur un

bord libre (non soumis à une force). Tracer les isochromatique violettes (passage du rouge au bleu pour l’ordre 1 et du rouge au vert pour les ordres supérieurs), à quoi correspondent-elles ?

e. En se plaçant dans une zones de contraintes uniformes connues, évaluer la valeur de variation de contrainte pour une frange (en traction SF /=σ ), déduire la constante de Brewster.

f. Donner l’allure de la contrainte équivalente de Tresca. Quelles sont les zones à risques pour cette sollicitation ?

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TP Mécanique des solides déformables 11

3. Evaluer la concentration de contrainte à l’aide du facteur théorique de concentration de contraintes Kt défini par le rapport de la contrainte maximale réelle de fond d’entaille sur la contrainte nominale maximale dans la section nette.

On prendra comme contrainte nominale, la valeur calculée dans la zone connue de la partie loin du trou. 4. Evaluer la concentration de contrainte pour les différentes éprouvettes disponibles et en déduire la variation de Kt en fonction du diamètre du trou rapporté à la largeur de la plaque. Comparer cette allure avec celle fournis par l’abaque de CETIM (Annexe B).

Partie 2. Modélisation éléments finis Dans le cas d’un trou de grande taille par rapport à la largeur de la plaque, la solution analytique donne une approximation erronée de la concentration de contrainte. Sur ce site, le logiciel RdM6 est à votre disposition pour réaliser tout calcul par éléments finis de la plaque percée d'un trou circulaire de rayon « a ». On demande de construire le modèle éléments finis qui représente la géométrie de plaque trouée étudiée par photoélasticité ainsi qu’une plaque trouée d’un « petit » trou. L’objectif est de déterminer l’état des contraintes dans ces différentes situations pour comparer avec les résultas expérimentaux et analytique. Pour s’assurer de la fiabilité des calculs numériques on testera les différents points suivants : 1. Influence des conditions limites. Justifier le choix de la modélisation (4) parmi celles proposées : (1) charge répartie de chaque coté ; (2) charge d’un coté + déplacements bloqués de l’autre ; (3) axe de symétrie vertical ; (4) Axes de symétrie vertical et horizontal. 2. Influence du maillage. Comparer les répartitions de contraintes au bord du trou en faisant varier : (i) le type d’éléments (linéaire, quadratique) ; (ii) la finesse du maillage global. Conclure sur ces différents cas. 3. Précision du calcul EF. On note ε % l’erreur relative entre la solution analytique donnée pour un ‘petit’ trou et la solution approchée par éléments finis.

ε % = KTex.

− KTEF

KTex.

× 100

Tracer ε % en fonction du nombre de degrés de liberté du modèle numérique. Conclure. 4. Influence du diamètre du trou. Effectuer des calculs EF en faisant varier la dimension du trou et évaluer la variation de Kt en fonction du diamètre du trou rapporté à la largeur de la plaque.

nomtK

σσ max=

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TP Mécanique des solides déformables 12

(1) (2)

(3) (4)

Figure 6 : Plusieurs modélisations des conditions limites

pour le problème de la plaque percée

4. Faire une synthèse des différents calculs en comparant la contrainte de Tresca avec la solution analytique et les résultats de photoélasticité. Faire un bilan sur la concentration de contrainte en comparant vos résultats (EF et photoélasticité) à l’abaque du guide des concentrations de contrainte du CETIM (Annexe B : Coefficient de concentration des contraintes).

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TP Mécanique des solides déformables 13

TP 2

EXTENSOMETRIE

OBJECTIFS DU TP :

1. Mettre en œuvre la mesure du module d’élasticité d’une plaque en alliage d’aluminium par différentes techniques (déplacement traverse, jauges à fil, extensomètre) et analyser les divergences. 2. Déterminer localement la matrice des déformations par dépouillement d’une rosette sur une plaque en alliage d’aluminium percée d’un trou.

Quelques mots sur la mesure des déformations par jauges à fil et extensomètre Une manière de mesurée localement l'allongement subit par une pièce déformable consiste à utiliser des jauges à fil. Sous sa forme la plus simple, une jauge est constituée par un fil très fin (20 à 30 µm de diamètre) collé sur un support. La jauge est disposée de telle sorte que la direction du fil soit parallèle à la direction dans laquelle on souhaite mesurer l'allongement relatif. Le fil subit la même déformation que la surface sur laquelle il est collé.

• Jauges à fil

Cette jauge est reliée à un pont de Wheatstone qui permet la mesure de la variation de résistance du fil. Cette mesure permet de déterminer l'allongement relatif du fil et par suite, en supposant que l'adhérence est parfaite entre la jauge et la pièce déformée, la déformation locale de la pièce. La déformation est proportionnelle à la variation de résistance relative de la jauge :

∆RR

= K ∆ll

K est une constante connue qui dépend du matériau constituant la jauge. On l'appelle facteur de jauge : il est de l'ordre de 2 pour les jauges standard à fil Nickel. Il existe des jauges de toutes tailles et formes. Les plus petites, utilisées pour des mesures de déformations très locales, font quelques dixièmes de millimètres de large. D'autres plus grosses, utilisées pour des essais sur le béton par exemple, font plusieurs centimètres de long.

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TP Mécanique des solides déformables 14

∆−∆+∆−∆=4

4

3

3

2

2

1

1

4 R

R

R

R

R

R

R

RUe

U

e

F

F

Vous disposez d’un extensomètre composé d’une lame flexible entre deux couteaux. L’allongement ∆l entre les deux couteaux est évalué par la flexibilité de la lame mesuré par quatre jauges de déformations (voir « un capteur de déformation pour un TD de flexion » Luc Chevalier).

Extensomètre Deltalab avec et sans carter de protection Le matériel utilisé

• La machine de traction compression de type TS sert aux essais sur métaux caoutchouc, matières plastiques, composites, métaux …

• La vitesse est réglable entre 1 et 500mm/min. • L’éprouvette soumise à la traction est plate en aluminium, les dimensions de

l’éprouvette sont de (245*38.8*5) en mm. Cette éprouvette est munie de deux jauges identiques, placées selon les axes de symétrie de l’éprouvette.

• L’éprouvette percée d’un trou à les mêmes dimensions transversales et présente un trou de 10 mm de diamètre en son centre. Une rosette placée près du trou permet la détermination du champ de déformation dans cette zone.

• Le pont de mesure de l’extensomètre qui permet de mesurer les déformations de 10-5 à 10-1. Son fonctionnement est donné en annexe.

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TP Mécanique des solides déformables 15

Le mode opératoire pour la détermination du module élastique et du coefficient de Poisson Installer l’éprouvette sur la machine de traction et programmer un cycle de charge de 2 000N en 2 000 N jusqu’à 10 000 N. A chaque palier, stopper la machine pendant un minimum de trente secondes afin de noter les valeurs fournis par les jauges de déformation. Décharger l’éprouvette par retour jusqu’à zéro Newton de l’effort de traction. La vitesse de chargement sera réglée à 1mm/min. Ce programme devra être enregistré. Enregistrer le déplacement et le chargement en fonction du temps.

On mesure la déformation longitudinale par un premier montage en 1/2 pont de Wheatstone sur la voie 1 et la déformation transversale sera mesurée par un second montage sur la voie 2 (étalonner l’appareil à zéro à déformation nulle et régler le facteur de jauge en basculant le bouton vers le bas, il est identique pour toutes les voies).

1. Effectuer un montage permettant de récupérer uniquement la déformation longitudinale sans les effets de température. Faites de même pour obtenir la déformation transversale et solliciter l’éprouvette selon le mode décrit ci-dessus.

2. Tracer les deux courbes permettant de mesurer le module de Young et le coefficient de poisson de l’aluminium.

3. Comparer les résultats donnés par les jauges, avec ceux de l’extensomètre et ceux obtenus directement à partir du déplacement de la traverse.

Le mode opératoire pour la détermination du champ de déformation au bord du trou En suivant le même mode opératoire, mais cette fois en tirant sur une plaque trouée, on va déterminer le champ de déformation au voisinage du trou pour différents niveau de contraintes.

On réalise 3 montages en demi pont avec jauges de compensation pour les 3 jauges de la rosette. On relève les déformations εa, εb et εc de ces trois jauges. Par la suite on demande :

1. Déterminer la matrice des déformations dans la base X,Y pour le point où se trouve collé la rosette (voir rappel de cours : dépouillement des rosettes)

2. A l’aide des caractéristiques mécaniques de la première partie, calculer la matrice

des contraintes. Tracer les cercles de Mohr et comparer avec la zone loin du trou. 3. Comparer les contraintes obtenues à celles calculées à l’aide de la solution

analytique. Commenter les dispersions éventuelles. Dans le cas où le trou s’avère trop grand, on cherchera à confronter les résultats expérimentaux à ceux d’un calcul par éléments finis.

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TP Mécanique des solides déformables 16

TP 3 MESURE DE CHAMPS DE DEPLACEMENT PAR ANALYSE

D' IMAGES

Les mesures classiques par jauges de déformations ne conviennent pas aux matériaux souples. De plus, elles ne donnent que des informations locales au point où jauge ou rosette sont collées. Afin d’accéder à tout un champ de déformation, nous avons développé une technique de corrélation d'images. Cette technique permet de déterminer le champ de déplacement sur toute une zone plane en comparant l'image de la surface déformée avec l'image non déformée, elle a aussi l’avantage d’être une technique de mesure et de contrôle sans contact avec le matériau étudié. Sur la surface photographiée, on dépose au préalable un mouchetis aléatoire et c'est le déplacement des points de ce mouchetis qui permet de construire les cartes d'iso-déplacement. Le matériau utilisé lors du TP est une plaque d’élastomère chargée de noir de carbone et de nom commercial Smactane.

Eprouvette préparée pour mesure Eprouvette étirée sous une charge de de déformation par caméra. On réalise 2000 N. La corrélation entre les un mouchetis sur la surface deux images permet de déterminer de l’éprouvette. le champ de déplacement.

Principe de la mesure de champs de déplacement Le principe de la méthode de mesure du champ de déplacement par auto-corrélation d'images (Annexe corrélation d’image) consiste à rechercher dans l’image de l’échantillon déformé, le même mouchetis que dans l’image de référence. Un point de coordonnées (x,y) de l’image initiale est caractérisé par une valeur f(x,y) qui représente son niveau de gris. Cette valeur est comprise entre 0 et 255. Après déformation le point (x,y) se trouve en (X,Y) tels que :

X = x + u(x,y)

Y = y + v(x, y)

Pour déterminer les composantes « u » et « v » du déplacement du point (x,y) par analyse d'image on compare la fonction f(x,y) de l'image de référence avec la fonction g(x,y) de la fonction "niveau de gris" de l'image déformée. On montre que la fonction de corrélation C(x,y) définie par :

C(x,y) = f (α ,β ).g(α + x,β + y)−∞

+∞

∫ dαdβ−∞

+∞

X

Y

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TP Mécanique des solides déformables 17

est maximale pour x=u et y=v. La recherche du maximum du coefficient de corrélation permet de déterminer le déplacement d'un point (x,y). On illustre sur un cas uni-dimensionel, l'exemple d’un motif de type « échelon» que l’on a décalé sans déformation d’une valeur d (figures de gauche) et sur le cas du même signal déformée d'une valeur ε (figures de droite).

f(α)

α

1

L0

g(α)

α

1

L+d0 d

f(α)

α

1

L0

g(α)

α0,5

(ε+1)L0

² Il est facile de montrer que dans le cas de gauche, C(x) est une fonction qui présente un maximun en x=d. C’est le déplacement du motif initial. Concernant le cas de droit, C(x) présente un plateau dont le centre est en x=εL/2. Là encore, il s’agit du déplacement moyen du motif.

Partie I : Traction simple du Smactane Dans cette partie, on s'intéresse au comportement uniaxial du Smactane, on utilise le portique conçu pour cette manipulation (figure 7) le chargement est appliqué par des masses que l’on accrochera pour étirer la plaque de Smactane et les images sont prises par une caméra CCD. Les déformations εxx et εyy seront obtenues par analyse d'images. L’effort de traction F dans la direction X est donné par la valeur des masses. La technique de mesure de champ de déplacement permet d'obtenir des cartes d'iso déplacement. Ces déplacements ne sont pas donnés en mètres ou millimètres, mais en pixels. Pour la détermination des déformations, cela ne constitue nullement un handicap. 1 Lors de l’essai de traction de l’éprouvette sans trou, capturée l’image de l’éprouvette

au repos et les 5 images successives de l’éprouvette en état de déformations. Relever les Forces correspondantes, calculer les contraintes.

2 Dessiner l’allure des déplacements longitudinaux et transversaux obtenus par

« correli » et évaluer sur chaque image les déformations εxx, εyy par la fonction « jauge ». Déduire le coefficient de poisson du Smactane.

3 Représenter la courbe contrainte déformation (par la fonction jauge), calculer le

module de Young.

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TP Mécanique des solides déformables 18

.

Figure 7 : Dispositif expérimental

Partie II : Traction simple d’une plaque trouée en Smactane Dans cette partie, on s'intéresse aux déformations d’une plaque trouée en Smactane. Les déformations εxx et εyy seront obtenues par analyse d'images dans la zone voisine du trou. On prendra soin de cadrer au plus près la zone d’étude. 1 Réaliser 5 images de la plaque trouée déformée pour différentes charges. 2 Donner l’allure des déplacements U et V obtenus par « correli » au voisinage du trou.

Evaluer, pour chaque image, les déformations εxx, εyy et εxy par la fonction « jauge ». 3 Calculer les contraintes correspondant aux déformations obtenues au voisinage du trou

et en déduire la concentration de contrainte. Que devient la valeur de cette concentration en fonction de la charge ?

Masses

Plaque en Smactane

Caméra

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TP Mécanique des solides déformables 19

TP 4 SYSTEME DE MESURE BASE SUR LA DEFORMATION :

BALANCE A CAPTEUR DEFORMABLE

On se propose d'analyser le fonctionnement d'une balance de type "pèse colis" de capacité 5 kg. Cette balance, représentée sur la photo ci-dessous est constituée d'un socle dans lequel est monté un corps d'épreuve déformable qui soutient le plateau réceptacle des charges à peser. Le corps d'épreuve est un parallélogramme déformable réalisé d'un seul bloc. Quatre amincissements permettrent de localiser les zones déformables au droit desquelles on place des jauges de déformation à fil.

Pèse-colis AND Corps d'épreuve du pèse-colis

L'objectif de ce travail est de valider la solution technique retenue pour le capteur est faisant le bilan des exigences à satisfaire (capacité, précision, amplitude des déformations, etc …). Pour cela une première étape du travail proposé consiste à modéliser le système proposé et de calculer la rigidité des liaisons élastiques qui constituent le corps d'épreuve. L'objectif secondaire, mais néanmoins important, est de confronter les résultats de calculs "numériques" réalisés à l'aide d'un code de calculs par éléments finis avec des résultats "analytiques" obtenus, moyennant quelques hypothèses simplificatrices, par la RdM.

Partie 1 : Etude analytique simplifiée des caractéristiques du pèse colis

On fournit en annexe un article du numéro 108 de la revue "Technologie" sur les liaisons élastiques. Les auteurs y présentent des résultats assez complets sur la conception de liaisons élastiques par amincissement.

1. En considérant que chaque amincissement se comporte comme une articulation, proposer un schéma cinématique du pèse-colis. Quel est le type de mouvement possible entre le plateau porte colis et le bâti du pèse-colis ?

2. Les articulations sont élastiques et présentent une rigidité à la flexion. En vous aidant des abaques proposés en annexe, déterminer cette rigidité en rotation C0.

3. Formuler un bilan d’efforts et de moments en isolant le plateau puis les brins de liaison entre les articulations. On exprimera ces composantes en fonction de la position (X,Y) de la charge sur le plateau. En déduire une relation entre la charge P

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mise sur le plateau et le couple appliqué sur les articulations. Préciser notamment les sollicitations autres que la flexion encaissée par l'articulation déformable et déterminer la position de la charge de façon à ce qu’ils s’annulent.

4. On dépose un colis assimilé à une charge verticale P sur le plateau (P = 50 N). Le corps d'épreuve se déforme. Déterminer l'énergie potentielle élastique globale en fonction des angles de rotation αi caractéristiques des différentes articulations (i). Calculer l'énergie potentielle de pesanteur de la charge P et en retrouver à partir du bilan d'énergie la valeur des rotations αi et le déplacement U de la charge.

5. Déduire des résultats précédents, le moment fléchissant Mfi encaissé par chaque articulation ainsi que la rigidité globale (i.e., K = P/U) du corps d'épreuve.

6. Le corps d'épreuve est en acier de type S235 (ex E24). Compte tenu des contraintes générées par les moments Mfi, déterminer le niveau de sécurité de la conception.

Partie 2 : Confrontation entre l'approche de la première partie et des résultats numériques obtenus par la méthode des éléments finis

Une attention particulière doit être apportée au dépouillement des calculs par éléments finis. En effet, compte tenu de la particularité géométrique des amincissements, l'influence du choix des éléments et de la finesse du maillage est très grande et peut-être source de fortes erreurs.

On propose de réaliser deux simulations numériques avec le même modèle volumique du corps d'épreuve et les mêmes conditions limites en effort et en déplacement. Représenter les iso-contraintes de Von Mises dans deux cas assez différents de maillages et d'éléments (linéaire et quadratique).

1. Représenter les iso-contraintes de Von Mises dans deux cas assez différents de maillages et d'éléments. Commenter l'influence du choix des éléments et de la finesse du maillage sur les résultats.

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2. Où sont localisées les valeurs maximales de contraintes ? Combien valent-elles pour chacune des deux simulations ? Commenter les différences éventuelles.

Tous les résultats seront calculés à partir du second calcul : maillage "fin" et éléments quadratiques.

3. Compte tenu du champ de déplacement, la modélisation des amincissements comme des articulations vous apparaît-elle comme valide ? Que vaut le déplacement de la charge P appliquée ? Comparer la rigidité K obtenue par éléments finis avec celle de la première partie. Conclure sur l'approche proposée dans l'article.

4.4.4.4. Déterminer les déformations au niveau des deux amincissements supérieurs (là où sont collées les jauges à fil). La gamme de déformation est elle compatible avec ce que ce type de jauge peut encaisser ?

Jaujes