Marc François

Physique de la plasticité

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Master 2 de Mécanique NumériqueFaculté des Sciences de Nantes

1 Présentation de la plasticité

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1.1 Les concepts de base en plasticité

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Déformation permanente.

Dissipation d’énergie : la cuillère chauffe lorsqu’on la plie.

Indépendance au temps : la vitesse ne change rien (sinon on parle de viscoplasticité).

Au delà de l’élasticité : tous les solides présentent d’abord une phase élastique.

1.2 Les matériaux concernés

Les métaux (la plupart), matières plastiques, roches et céramiques (à chaud), bétons (en phase de prise), les biomatériaux…

Certains matériaux ne présentent pas de plasticité : verre, céramiques, aciers trempés… Ils sont élastiques fragiles. D’autres (bétons, roches…) sont quasi-fragiles.

La plasticité consomme énormément d’énergie : c’est le mécanisme qui permet aux métaux de résister aussi bien aux chocs, une des raisons majeures de leur utilisation massive.

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Haches préhistoriquesen pierre (plus dure)

et en bronze (plus résistante aux chocs)

1.3 La courbe contrainte-déformation

Pour les essais mécaniques on utilise principalement une éprouvette de traction :

Dans la zone de mesure, le champ de contrainte est homogène :

en petites perturbations ou hors effet de localisation (sera étudié ensuite). La déformation peut être mesurée de manière globale par :                  

ou plus finement, de manière locale.5

TecQuipment

zone d’accrochezone d’adaptation des contrainteszone de mesure

La courbe contrainte-déformation montre plusieurs phases et elle n’est pas univoque (elle dépend de l’histoire des contraintes). Voici une courbe typique :• élasticité linéaire•      limite élastique initiale• plasticité, avec écrouissage• décharge élastique•      déformation permanente• remise en plasticité• Etc…

On observe la non-linéarité, la dépendance à l’histoiredu chargement, l’hysteresis.

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1.4 Domaines d’application des calculs de plasticité

Mise en forme

À froid (emboutissage, estampage…)ou à chaud (forgeage, laminage…)

Prédiction de la tenue en service

Le calcul de plasticité est utilisé pourprédire l’amorçage de fissure ou le tauxd’endommagement du matériau.

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Simulation d’un emboutissage profond avec PamStamp

(Arts et Métiers ParisTech Angers)

!Déroulement d’un pipeline

(IFP)

Génie Civil

Tenue au séismes.

Automobile

L’énergie du crash est presque intégralement absorbée par la plasticité de la coque

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Une simulation de crash (BMW)

Usinage

Formation du copeau. Effets thermiques très importants. Bandes de glissement adiabatiques possibles.

Militaire

Perforation des blindages. La viscosité devient prépondérante. Localisation systématique.

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1.5.1 Hypothèse d’indépendance au temps physique

Les contraintes et déformations sont indépendantes du temps séparant les événements, tant que l’ordre est respecté (principe de causualité).

Contres-exemples :

Vieillissement (polymères) : dépendance à t0

Viscosité, viscoélasticité…(certains métaux…)dépendance à la vitessede déformation

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1.5 Spécificités et limites de la plasticité

t=0 t=1 an

Par conséquence, les lois de plasticité ne dépendent pas du temps physique.

1.5.2 Hypothèse de conservation de l’élasticité

(vu au T6).

Contre-exemple : endommagement(création de micro-fissures, de pores…).Concerne beaucoup de métaux,mais surtout en fatigue (déformationsrépétées), c’est à dire au delà d’une certaine«dose» de plasticité.

Par contre, pour les bétons, céramiques, roches… l’endommagement est prépondérant devant la plasticité.

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Endommagement d’un acier 9Cr-1MoNbV (CNRS U.M.R. 7633)

1.5.3 Symétrie traction-compression

Les effets de traction et de compressionsont supposés symétriques. Bien vérifié pour les métaux. Tout àfait faux pour les bétons.

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Élastoplasticité symétrique typique d’un

métal

traction

compression

Réponse asymétrique typique d’un béton ou

d’une roche

traction

compression

1.5.4 Indépendance à la pression hydrostatique

Les essais de Bridgman [1913], [1952] ont montré l’indépendance de la plasticité (des métaux) sous la pression hydrostatique p.

Contre-exemple : les matériaux granulaires (sables, sols…) sont très sensibles à la pression hydrostatique.

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Matelas coquille(Hellopro)

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2 Physique de la plasticité (bases)

52 CHAPITRE 3. PLASTICITE MICROSCOPIQUE

Fig. 3.26 – Interactions avec la foret

Pour faire glisser les dislocations au milieu du reseau de frank-Read la contrainte appliquee doitetre superieure au seuil :

⌅C = �µb⇧

⇤D avec � ⇥ {14� 1

3} (3.15)

Lorsque ⇤D augmente ⌅C augmente traduisant l’ecrouissage du materiau a l’echelle macroscopique.

Microdeformation du cristal

Tant que la contrainte appliquee ⌅ ne depasse pas la force de Peierls-Nabarro ⌅PN , les dislocationssont immobiles et le materiau se comporte de facon parfaitement elastique.

Des qu’elles commencent a bouger, elles forment des arcs entres les points d’ancrage et balayentdes aires A conduisant a une deformation macroscopique supplementaire produisant une diminutionapparente du module d’elasticite. Cependant, tant que ⌅ reste inferieur au seuil d’instabilite des arcs⌅FR elles reviennent a leur position initiale a la decharge. Le cristal reste elastique mais la courbecontrainte deformation presente de petites boucles d’hysteresis. Ce phenomene dissipatif anelastiquecorrespond a l’accroissement du frottement interne avec l’augmentation de la deformation.

Le moment ou ⌅ atteint la limite d’instabilite ⌅FR des arcs coıncide avec la micro limite elastiquedi⇥cile a mesurer car correspondant a de tres faibles deformations.

Fig. 3.27 – Dislocations dans un alliage hastalloy : Recuit, Ecroui, Ecroui a 15% avec formation d’amas(photos CEA.SRMA)

Puis, au fur et a mesure que ⌅ croit, la densite ⇤D des dislocations augmente et la foret devient deplus en plus dense provoquant un fort durcissement par formation de barrieres de Lomer-Cottrell. Leslignes de glissement se raccourcissent mais leur distance diminue egalement. Comme les distances entrepoints d’ancrage sont distribuees statistiquement il existe des zones dures aux endroits ou la foret estplus tou�ue. Lorsqu’une dislocation glisse dans une telle foret elle abandonne des boucles de dislocationautour des zones dures. Le passage des dislocations successives provoque donc la creation d’echeveauxde dislocations fortement stabilises. La resistance au mouvement des dislocations correspond a lacontrainte necessaire pour franchir les espaces plus clairsemes. Les passages entre zones dures sebouchent progressivement par l’accumulation des boucles conduisant au durcissement d’ecrouissage.L’ecrouissage est un mode de durcissement tres utilise (tubes de Cu, fil etire, acier de precontrainte,...).

Hastalloy aux états recuits, écrouis et écrouis à 15% (formation d’amas). Photos CEA-SRMA et ECP

2.0 Rappels : les liaisons atomiques

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Les atomes subissent des forcesélectromagnétiques d’attraction en 1/r2.

Elles dérivent d’un potentiel en -1/r3.

Pauli (1925) a trouvé le Principe d’Exclusion : les nuages électroniquesne peuvent se pénétrer. Il en résulte unpotentiel de répulsion en 1/rn, avecn>3 (souvent 7 ou 8).

Il en résulte une distance intératomique r0 stable au minimum de ce potentiel.

r0

La force F(r) entre les deux atomes est donc la dérivée de ce potentiel.

Et le module d’Young (ou le module de compressibilité hydrostatique) s’obtient par le calcul de la tangente dF/dr(r=r0).

On identifie une valeur Fmax qui permet de calculer une certaine contrainte à rupture mais qui est plusieurs ordres de grandeurs (103…) fois trop grande.

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F(r)

rr0 E

Fmax

C’est que l’on suppose alors que tous les atomes seraient en même temps à ce stade, ce qui est faux car cela correspondrait à un mode de rupture «d’un bloc» :

tandis que celle-ci se fait par le processus de fracturation qui est moins gourmand en énergie :

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2.1 Amorphe et cristallin

Les atomes peuvent s’organiser de manière aléatoire : la structure amorphe. Les verres et beaucoup de polymères sont amorphes. Ils peuvent aussi s’organiser de manière régulière : la structure cristalline.

De mêmes atomes peuvent choisir l’une ou l’autre structure, en fonction de la vitesse de refroidissement (rapide ➛amorphe).

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ex. SiO2 vitreux : verre ex. SiO2 cristallin : quartz

Une géode est au départ une bulle de roche en fusion. La surface se refroidit plus vite que le cœur. La surface possède donc une structure amorphe (verre) tandis que des cristaux apparaissent au niveau du cœur.

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zone vitreuse

zone cristalline

ortho.free.fr

2.2.1 La structure cristalline

Dans un cristal, les atomes sont rangés de manière ordonnée : il existe un motif élémentaire qui se répète «à l’infini».

Il existe une grande variété de cristaux, répertoriés par la cristallographie.

Les positions respectives des atomes sont dues aux orientations des liaisons (covalentes ou ioniques) et à la géométrie dans l’espace. Mais les liaisons métalliques ne sont pas orientées. Pour un métal pur (donc une seule sorte d’atomes) il n’existe que qualques cristaux possibles dont les cubique face centrée (CFC) et hexagonal compact (HC) qui ont la compaction maximale.

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Cristal monoclinique de martensite d’un Nickel-Titane

(geocities.jp)

2.2 Les cristaux

Dans le plan, l’empilement compact est celui du réseau à 120degrés : tous les atomessont à même distance.

Pour remplir l’espace, il faut une seconde couche. L’atome de la seconde couche se place au sommet d’un tétraèdre.

On a le choix entre deuxpositions pour cetteseconde couche : la B ou la C

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2.2.2 Les mailles CFC et HC

La suite de couches A,B,C,A,B,C… donne le réseau nommé cubique faces centrées, du nom d’une maille que l’on peut créer (voir démo avec les magnets)

De même la suite de couches A,B,A,B,… donne le réseau nommé hexagonal compact.

Les plans A,B ou C sontdes plans denses du cristal.

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Ces figures illustrent la construction des deux empilements compacts et le choix des mailles élémentaires du CFC et du HC.

23wikipedia.org

En plus des réseaux CFC et HC, on trouve parfois le réseau cubique centré, mais qui n’est pas un empilementdense.

On définit la compacité comme :

Les empilements denses HC et CFC ont une compacité maximale (conjecture de Kepler) :

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Hexagonal compact HC

Cubique à faces centrées CFC

Cubique centré CC

Dorlot, 77

2.2.3 Mono et poly cristaux

Les métaux sont en général des polycristaux dont la taille dépend du processus d’obtention (traitements thermiques). On peut observer les grains (un cristal) par procédés optiques. Leur taille typique est de quelques 10ème mm.

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un grain (un cristal)

métal polycristallin Certains sont suffisamment gros pour être vus à l’œil nu (par exemple sur les barrières publiques zinguées).

On sait aujourd’hui créer des monocristaux métalliques. Il n’y a qu’un seul grain dont on controle les direction atomiques. C’est encore réservé aux applications militaires et aéronautiques.

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Aubages monocristallins

Moteur M88 SNECMA du Rafale

2.2.4 Le clivage des cristaux

Les roches ont souvent des structures cristallines et des liaisons covalentes ou ioniques.

Certains cristaux clivent, c’est à dire se cassent suivant des plans parfaits :

Remarque : l’abbé René Just Haüy a déduit l’existence de la structure cristalline de cette observation au XVIIIème siècle.

Le clivage se produit suivant les plans denses. Par exemple, pour un CFC (compter ces plans) :

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Fluorite (wikipedia)

On peut considérer que la rupture se propage suivant ce plan dense :

pourtant d’autres cristaux se rompent suivant des surfaces non régulières (la forme régulière initiale a été obtenue au moment de la croissance du cristal).

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2.3.1 Le cisaillement du cristal métallique

Le cristal se «rompt» le long d’un plan dense mais la liaison métallique va permettre le «recollement».

L’état final est indiscernable de l’initial : il s’agit d’un nouvelle configuration. On parle de déformation plastique.Le vecteur de Burgers   mesure le déplacement des deux parties.La contrainte de cisaillement génère la déformation plastique.

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2.3 Les dislocations et la plasticité des métaux

2.3.2 Les systèmes de glissement

En 3D le glissement du cristal a lieu dans un plan de glissement.

Comme en 2D, ces plans sont préférentiellement des plans denses.

La direction de glissement est telle qu’elle permet de subsituer un atome à son voisin, de manière à reconstituer le cristal à l’identique.

Un système de glissement est composé d’un plan de glissement et d’une direction de glissement.

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Trois des systèmes de glissement de la maille HC

2.3.3 Les dislocations mobiles

En fait le glissement n’a pas lieu en bloc (c’est bien trop coûteux en énergie), mais par propagation d’un défaut d’empilement:

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Wikipedia commons

déformation élastique une liaison «lache» l’atome se lie avec son voisin décalé, tout en faisant lacher le second

le processus se répète avec les suivants au final on a décalé d’une distance interatomique les deux moitiés du massif

En 3D ces défaut d’empilement s’organisent en une ligne nommée dislocation.

Il existe des dislocations coins et des dislocation vis.

Il existe aussi des dislocationsintermédiaires, ou des transitionsvis coin, etc…

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À chaque passage d’une dislocation à travers un monocristal correspond l’apparition d’une «marche» en surface et d’un décalage des deux parties. L’ensemble de ces décalages génère la déformation plastique observable à l’échelle macroscopique.

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Hanriot (1993)

Déformation macroscopique résultant de nombreux glissements

2.3.4 Les dislocations piégées

Certaines dislocations ne peuvent pas «balayer» tout le cristal car elles peuvent être bloquées par :• d’autres dislocations (effet d’écrouissage)• des atomes étrangers (alliages)• les joints de grains (polycristaux)• des cristaux plus compliqués (trempe)

On peut alors les voir :

CNRS

34

Dans 1cm3 de métal on peut avoir environ :• 10m de dislocations pour un monocristal• 10km pour un polycristal recuit• 10.000km pour un polycristal faiblement écroui• 10.000.000km pour un polycristal fortement écroui

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2.3.5 Écrouissage

Pour mettre en mouvement les dislocations, il faut d’autant plus de contraintes qu’il y a de pièges à dislocation donc :

• des déformations plastiques intenses ou répétées augmentent le nombre de dislocation donc durcissent le métal : c’est le phénomène d’écrouissage.

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L’effet d’écrouissage peut rendre impossible de reprendre un trou si l’on a laissé le foret frotter sans percer.

Ces pièces acquièrent leur dureté sous l’effet des chocs répétés.

L’écrouissage cinématique est associé à la translation du domaine d’élasticité.

C’est l’effet Bauschinger : après une traction, la contrainte seuil en compression est moins importante (en valeur absolue). On peut le vérifier facilement avec une petite cuillère.

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effet Bauschinger

Johann Bauschinger (Polytechnic Munich),

1834-1893

L’écrouissage isotrope est un modèle qui correspond à une dilatation du domaine d’élasticité : la contrainte seuil évolue symétriquement en traction et compression.

Il s’agit d’un «vrai» effet de durcissement, bilatéral.

Le milieu du domaine reste toujours en38

On observe en général une combinaison des deux écrouissages.

Lors de la transformation plastique, l’évolution est en général non linéaire :

Différent modèles existent, dont les écrouissages cinématique et isotropes linéaire et non linéaire qui seront vus.

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Boger, Wagoner, Barlat, Lee & Chung, Continuous, large strain, tension/compression testing of sheet material, Int. J. Plast., 21 512), 2005.

Mesure expérimentale (cycles en déformation imposée) sur un acier : l’effet Baushinger est bien visible.

2.3.6 Aspects thermodynamiques simples

L’écrouissage s’accompagne d’une dissipation thermique. Sur un cycle stabilisé on a :

Le premier principe de la thermodynamique :

Sur un cycle (donc si on revient à la même température) :

éorème de l’énergie cinétique :

sur un cycle

second principe de la thermodynamique :

sur un cycle :40

Les cycles «stabilisent» sur cet essai cyclique.

au bilan :

par définition du travail des efforts intérieurs en Mécanique des Milieux Continus :

Second principe :

donc il faut refroidir pour maintenir T cst

donc la courbe doit être parcourue dans le sens horaire.

41

Aire sous la courbe

Quantité de chaleurdissipée par la plasticité

Quantité de chaleurà apporter de

l’extérieur pour ramener la

température à sa valeur initiale

remarque : le sens de parcours garantila positivité de la dissipation (2nd principe).

S’il n’y a pas de dissipation• on est en élasticité (pas forcément linéaire !)• La relation est univoque. On peut alors définir un potentiel.

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La courbe de réponse d’un caoutchouc montre un faible hysteresis mais, à déformation donnée, la détente est

moins forte que la tension précédente.

Toki, Fujimaki & Okuyama, Polymer, 41 (14), 2000

Une élasticité imaginaire (fortement) non linéaire

2.3.7 Principe des alliages : durcissement par présence d’atomes étrangers ou précipités

Les dislocations auront du mal à passer un atome étranger qui va les piéger. Par exemple l’acier (Fe+C) est bien plus dur (10 à 100x) que le fer pur.

Elles seront aussi piégées par des précipités (oxydes métalliques très dures en général). Par exemple, l’acier Maraging est utilisé pour les blindages.

43

K.Gangadhara Reddy, Abhay K. Jha, , V. Diwakar. Failure of cadmium plated maraging steel tension bolt. Eng. Fail. Anl., 8 [3], 2001

Les (petits) atomes étrangers (par ex. H dans Pd) peuvent se positionner dans les sites octahédriques présents dans les empliements HC et CFC.

44

site octahédrique(avec un atome

étranger dedans)

2.3.8 Role de la taille des grains

Les joints de grains constituent autant d’obstacles au passage des dislocations. Les aciers à grains fins sont généralement plus résistant à la fatigue (Loi de Hall-Petch).

où est la contrainte seuil,       et des constantes et la taille moyenne des grains.

On raffine la taille des grains par des traitements thermiques.

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2.3.9 Influence du carbone dans le fer : les aciers

Les structures complexes présentes pour les hauts taux de Crendent le déplacementdes dislocations plus difficiles.

Les aciers à «haut carbone»sont durs mais cassants.

Au contraire, les aciersà bas carbone sont«doux» mais acceptentune grande plasticité (et absorbent alors beaucoupd’énergie).

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2.3.10 Traitements thermiques

Le procédé de trempe consiste à refroidir brutalement (de 100°K/s à 1000°K/s). À haute température (~900°C) l’acier est de l ’austenite, une microstructure formée de cristaux CFC mais très irrégulière. Si l’on refroidit lentement les cristaux de ferrite (CC) ont le temps de se constituer. Au contraire si l’on refroidit très vite la structure obtenue est de la martensite (CFC) dont l’arrangement, proche de l’austenite, ne permet pas un passage facile des dislocations. L’acier trempé obtenu est dur et cassant.

47austenite martensiteune trempe

à l’huile

2.3.11 Les critères cristallins

Le critère de Schmid (3D) postule que le glissement d’un plan dense de normale est activé (parcouru par une dislocation provoquant un glissement) dans la direction de glissement      si le cisaillement atteint une valeur critique      caractéristique du matériau.

si                            alors pasde glissement (élasticité)

48

m n

plan dense

2.3.12 Le critère de Tresca

Le critère de Tresca est une extension du critère de Schmid au cas polycristallin. On considère que dans un polycristal, on a toutes les chances de tomber sur un cristal orienté le plus défavorablement possible. On peut écrire alors :

On peut démontrer que cela correspond, en contraintes principales, à

qui est l’expression classique du critère de Tresca.

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2.3.13 Le critère de Von Mises

Le critère de Von Mises (ou Henki, Huber et Von Mises…) postule la limitation de l’énergie de cisaillement. On peut le considérer moins «rigoureux» que le critère de Tresca mais, au contraire de celui-ci, il est lisse (de classe C-inifini) et peu différend (revoir les cours de M1 à ce sujet).

Son expression en contraintes principales est :

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TrescaVon Mises

Dans le plan des contraintes principales [1,2]

Les polymères initialement amorphes deviennent cristallins (par orientation des macro-molécules) sous l’effet de la déformation plastique. Leur contrainte (vraie) augment considérablementdans la zone destriction.

51

2.4 La plasticité des polymères

état amorphe initialétat cristallin,

orienté

Sur la plasticité des métaux• Élasticité et plasticité (D. François, A. Pineau et A. Zaoui), Hermès Science Publications. ISBN 978-2-7462-2347-9

• Cours de Sylvie Pommierhttp://www.lmt.ens-cachan.fr/cours/POLY-LA3T2-Mecanique-Materiaux.pdf

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Biographie