Licence de Physique et Applications Electromagnétisme II

TD4

Rappels de magnétostatique

On rappelle qu’il existe deux façons de calculer le champ magnétique créé par une distribution de

courant :

Le calcul direct par la formule de Biot-Savart :

𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ =𝜇0

4𝜋

𝑑𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑃𝑀3

où 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ est la contribution au champ d’un élément de courant 𝑑𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ placé en P.

Lorsque les symétries et les invariances du système s’y prêtent bien, l’application du théorème

d’Ampère peut se révéler plus immédiate :

∮ �⃗� ⋅ 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑙𝐶

1) Calculer le champ magnétique créé dans tout l’espace par un fil infini parcouru par l’intensité I.

2.a) Calculer le champ magnétique créé en un point quelconque de son axe par une spire de rayon R

parcourue par un courant I, en fonction de l’angle 𝛼 sous lequel elle est vue.

2.b) En utilisant la conservation du flux du champ magnétique, montrer que proche de l’axe, les

composantes du champ vérifient la relation

𝐵𝑟(𝑟, 𝑧) = −𝑟

2

𝜕𝐵𝑧

𝜕𝑧

Indication : on supposera la composante verticale Bz indépendante de r au voisinage de l’axe.

3.a) Déduire de la question 2.a) le champ créé par un solénoïde fini en un point situé sur son axe en

fonction des angles 𝛼1 et 𝛼2 et de la densité linéique de spires 𝑛.

α

I

𝛼1 𝛼2

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3.b) En déduire que le champ créé sur son axe par un solénoïde infini s’écrit

�⃗� = 𝜇0𝑛 𝐼 𝑒𝑧⃗⃗ ⃗

3.c) En utilisant le théorème d’Ampère sur un contour intelligemment choisi, montrer que le champ

magnétique est uniforme au sein du solénoïde, puis montrer qu’il s’annule en dehors de ce dernier.

4) Calculer le champ magnétique créé au point O par une sphère de centre O et de rayon R, portant la

charge surfacique 𝜎 et tournant autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire Ω.

5) Calculer le champ magnétique sur l’axe d’un cylindre infiniment long de rayon a, parcouru par un

courant surfacique axial 𝑗𝑠⃗⃗ = 𝐽 sin𝜃 𝑒𝑧⃗⃗ ⃗ orienté selon ce même axe.

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TD5

Milieux aimantés (aspects macroscopiques)

1. Sphère uniformément aimantée

Une sphère S de centre O et de rayon R est constituée d’un milieu uniformément aimanté suivant la

direction Oz : l’aimantation s’écrit M = M uz

1. Déterminer les courants d’aimantation équivalents et les représenter.

2. Exprimer le champ démagnétisant Bd au centre de la sphère en fonction de 0 et de

l’aimantation M (on pourra utiliser un résultat du TD4).

3. En déduire l’expression de l’excitation démagnétisante Hd, toujours au centre de la sphère.

4. Le matériau est LIH (linéaire isotrope homogène), de susceptibilité magnétique et son

aimantation uniforme est obtenue en le plongeant dans un champ magnétique extérieur

uniforme B0.

a) Etablir l’expression de l’aimantation M et du champ magnétique total B en fonction du

champ extérieur B0 et de

b) Quels sont les ordres de grandeur de pour un diamagnétique et un paramagnétique ?

En déduire l’ordre de grandeur de Bd par rapport au champ extérieur B0.

2. Cylindre à aimantation axiale

Un barreau cylindrique très long, de rayon R, possède une aimantation axiale M = M uz, uniforme,

parallèle à son axe.

1. Déterminer les courants d’aimantation équivalents et les représenter.

2. Exprimer le champ démagnétisant Bd et l’excitation démagnétisante Hd à l’intérieur et à

l’extérieur du cylindre.

Le barreau de susceptibilité magnétique χ est placé à l’intérieur d’un solénoïde qui comprend n spires

par unité de longueur parcourues par un courant permanent I. Ce solénoïde crée au sein du barreau un

champ uniforme axial B0. L’aimantation M résulte de l’application de ce champ B0.

3. a) Quelle est la relation entre M et B0 si l’on suppose le milieu LIH ?

b) Discuter l’orientation respective de M et de B0 selon le signe de χ. Faire un schéma.

4. a) Rappeler l’expression de B0 en tout point intérieur ou extérieur au solénoïde en fonction de

0, n et I.

b) Le courant I qui parcourt le solénoïde peut être décrit par une distribution de courants

surfaciques « libres » jl. Quelle est la relation entre jl, n et I ?

5. a) Montrer que la densité de courant à la surface du barreau aimanté s’écrit jS = jl.

b) Déterminer le champ magnétique total B et l’excitation H au sein du barreau aimanté.

c) Commenter le résultat dans le cas d’un matériau paramagnétique ou diamagnétique.

6. Que devient l’auto-inductance L du solénoïde si le barreau aimanté est constitué d’un

matériau ferromagnétique de perméabilité relative μr qui remplit tout l’espace intérieur au

solénoïde ?

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3. Mesure de susceptibilité magnétique.

On rappelle que la force s’exerçant par unité de volume de matière aimantée sous l’effet d’un

champ magnétique extérieur permanent Be a pour composantes cartésiennes:

𝐹𝑖 = �⃗⃗� .𝜕𝐵𝑒⃗⃗⃗⃗

𝜕𝑥𝑖

1. Exprimer la force exercée par unité de volume sur un matériau magnétique de

susceptibilité magnétique χ (|χ|≪1) placé dans un champ magnétique inhomogène.

2. Un tube en U est rempli d’un liquide incompressible de masse volumique et de

susceptibilité magnétique χ. Une des deux branches du tube est insérée dans l’entrefer

d’un électroaimant où règne un champ d’intensité B0.

Montrer qu’un dénivelé de hauteur Δh apparaît entre les deux branches du tube et

l’exprimer en fonction de , χ et B0.

Faire un schéma suivant le signe de χ.

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TD6

Modèles microscopiques. Diamagnétisme.

1. Diamagnétisme et moment magnétique orbital

1. En l’absence de champ magnétique appliqué, les électrons atomiques (masse me, charge

électrique –e) décrivent, selon le modèle de Bohr, un cercle de rayon avec la vitesse

angulaire autour du noyau.

a) Faire le bilan des forces agissant sur l’électron. Faire un schéma représentant ces forces.

Ecrire le PFD.

b) En déduire l’expression de en fonction de e, me et . Estimer numériquement cette

fréquence.

c) Calculer le courant I associé à la trajectoire de l’électron, son moment cinétique

vme

et son moment magnétique SIm

d) En déduire qu’il existe une relation de proportionnalité entre le moment cinétique et le

moment magnétique de l’électron. On notera la constante de proportionnalité.

Déterminer l’expression de .

Représentez le moment cinétique et le moment magnétique sur un même schéma.

e) Comment s’appelle la constante ?

f) Expérimentalement, on trouve plutôt :

gm

Où g est le facteur de Landé.

Quelles sont les prédictions de la mécanique quantique pour g ?

Comment s’appelle la quantité eB me 2 ?

2. L’atome précédent est plongé dans un champ magnétique axial B

dirigé dans le sens du

moment cinétique.

a) Quelle est la nouvelle force qui s’applique sur l’électron ? Représenter toutes les forces

s’exerçant sur l’électron sur un même schéma.

b) On considérera dans la suite que le rayon de la trajectoire n’est pas modifié par la

présence du champ B

. Montrer que la nouvelle vitesse de rotation angulaire vérifie

l’équation :

02

0

2 C

Où C est une fréquence que l’on définira.

c) Estimer quelle serait la valeur du champ B

si C = 0

d) Déterminer une approximation pour lorsque 10 C

e) La vitesse angulaire est-elle augmentée ou diminuée par l’application du champ

magnétique ?

f) Quelle est la direction du moment magnétique induit par rapport au champ magnétique

extérieur ?

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2.Susceptibilité diamagnétique

On considère un matériau dont les atomes qui le composent ne possèdent pas de moments

magnétiques orbitaux ou de spins. Ce matériau est placé dans un champ magnétique B

.

Chaque atome comprend Z électrons que l’on supposera sans interactions.

1. Exprimer le moment magnétique induit moyen m

de l’atome en fonction de la distance

quadratique moyenne 2

r des électrons au noyau.

2. Soit n le nombre d’atomes par unité de volume dans le matériau. Quelle est la relation

entre le moment magnétique atomique m

et l’aimantation macroscopique M

?

3. Estimer numériquement la quantité 0 M / B dans le cas d’un gaz.

4. En déduire la relation liant le champ magnétique B

et l’excitation H

.

5. Donner l’expression de la susceptibilité magnétique du matériau. Faire l’application

numérique.